贵州专版九年级数学上册24.1.4圆周角作业课件新版新人教版

探究
问题：将圆心角顶点向上移，直至与⊙O相交于点C?观察 得到的∠ACB有什么特征？
C
O.
A
B
顶点在圆上
两边都与圆相交
这样的角叫圆周角。
问题探讨：
判断下列图形中所画的∠P是否为圆周角？并说明理由。
P
P
P
P 不是
顶点不 在圆上。
是
顶点在圆上， 两边和圆相 交。
不是
两边不和 圆相交。
不是
有一边和圆 不相交。
（2）按角的大小分类，请你判断△ABC属于哪一类三角
形，并说明理由。
A
解：（1）AB=AC。
证明：连接AD ∵AB是直径，∴∠ADB=90°，
O· F
又∵DC=BD，∴AB=AC。
BDC
（2）△ABC是锐角三角形。
由（1）知，∠B=∠C＜90 °
连接BF，则∠AFB=90 °，∴∠A＜90 ° ∴△ABC是锐角三角形
∠1COD 2
即∠BAC= 1 ∠BOC 2
分析论证
你能证明第3种情况吗？
A
证明：作射线AO交⊙O于D。
由第1种情况得 ∠CAD＝ 1∠ COD
2
O C
DB
∠BAD＝ 12∠ BOD
∠CAD－∠BAD＝ ∠1 COD－ ∠1BOD
2
2
即∠BAC= 1 ∠BOC 2
问题解决：
综上所述：我们得到：同弧所对的圆周角度 数等于这条弧所对的圆心角的一半
6. 如图，⊙O的直径AB为10cm，弦AC为 6cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，求BC、AD、 BD的长.
C
O
A
B
D
7. 求证，如果三角形一边上的中线等于这条 边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

究
与
应
用
[概括新知]
推论:(1)同弧或等弧所对的圆周角 相等
(2)半圆(或直径)所对的圆周角是
对的弦是
直径
.
直角
.
,90°的圆周角所
探
究
与
应
用
[理解应用]
例2 (教材典题)如图24-1-24,☉O的直径AB为10 cm,弦AC为
6 cm,∠ACB的平分线交☉O于点D,求BC,AD,BD的长.
解:如图,连接OD.
得AB=12 cm,BC=5 cm,则圆形镜面的半径为
图24-1-32
13
2
cm .
谢 谢 观 看！
D.100°
图24-1-27
课
堂
小
结
与
检
测
[本课时认知逻辑]
圆心角
圆周角
的定义
类比
圆周角
圆周角与直
径的关系
圆周角定理
圆周角定理
的推论
课
堂
小
结
与
检
测
[检测]
1.如图24-1-28,△ABC是☉O的内接三角形.若∠ABC=70°,则
∠AOC的度数为
A.140°
B.130°
C.120°
D.110°
( A )
图24-1-28
课
堂
小
结
与
检
测
2.如图24-1-29,BD是☉O的直径,点A,C在圆上,∠A=50°,则
∠DBC的度数是
A.50°
B.45°
C.40°
D.35°
( C )
图24-1-29
课
堂
小
结

（1）AB与AC的大小有什么关系？为什么？
（2）按角的大小分类，请你判断△ABC属于哪一类
三角形，并说明理由。
A
解：（1）AB=AC
证明：连接AD ∵AB是直径，∴∠ADB=90°，
O· F
又∵DC=BD，∴AB=AC。
半圆（或直径）所对的圆周角
C2
是直角;
C1
90°的圆周角所对的弦是直径．
C3
在同圆或等圆中，相等的圆周 A 角所对的弧相等
·O
B
练一练
1、如图，在⊙O中，∠ABC=50°，
A
则∠AOC等于（ ）
A、50°；
BD、80°；
C、90°；
D、100°
BO C
2、如图，△ABC是等边三角形，
C
动点P在圆周的劣弧AB上，且不
24.1.4 圆周角
复习旧知：请说说我们是如何给 圆心角下定义的，试回答？
顶点在圆心的角叫圆心角。
考考你：你能仿照圆心角的定义， 给下图中象∠ACB 这样的角下个定义吗？
顶点在圆上，并且两边都和 圆相交的角叫做圆周角．
问题探讨：
判断下列图形中所画的∠P是否为圆周角？并说明理
由。
P
P
P
P 不是
顶点不 在圆上。
在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等， 它们所对弧一定相等吗？为什么？
在同圆或等圆中，如果两个 圆周角相等，它们所对的弧 一定相等．
巩固练习：
如图，点A,B,C,D在同一个圆上，四 边形ABCD的对角线把4个内角分成 8个角，这些角中哪些是相等的角？
D
A1
87
2
3
6
45
B
C
探究与思考：

C D
ED A
A
O
B
2.如图，已知∠EAD是圆内接四边形ABCD的一个外角B，并且BD=DCC.
求证：AD平分∠EAC.
∠AOB= ，则∠ACB=_18_0___12__.
.D
1 2 O
A
B
C
与圆内接四边形不同，四边形ACBO的 三个顶点在圆上，一个顶点为圆心，若
AOB ，则ACB _1_8_0____12___ .
O
A
180 1 2
B
C
练习 如图，点A，B是⊙O上两点，C
为⊙O上任一点，若∠AOB= 70，则
2
C
D
(2)求四边形ABCD的面积.
解：延长CD至点E，使DE=BC，连接AE.
四边形ABCD内接于⊙O.
A
ABC ADC 180.
ADE ABC.
B
O
又 AD AB，DE BC，
△ADE≌△ABC.
E
C
D
S四边形ABCD S△ABC S△ACD S△ADE S△ACD S△ACE .
定义：如果一个多边形的所有顶点都在同一
个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这
个圆叫做这个多边形的外接圆.
B
C
B
O
O
D
A
C
A
E
巩固练习
例1 如图，点A，B，C在⊙O上，若
∠AOB=100，则∠ACB=__1_3_0___.
.D
50
O
O
260
100
100
A
B
C
A
B
C
例1 如图，点A，B，C在⊙O上，若
证明：连接OA，OC. 的角称为优角.

形ABCD的外接圆.
在圆内接四边形ABCD中， ∵∠A所对的弧为弧BCD，∠C所对 的弧为弧BAD, ∵ 弧BCD和弧BAD所对 的圆心角的和是周角
∴∠A＋∠C＝180° 同理∠B＋∠D＝180°
A B
D
O
C
性质：圆内接四边形的对角互补.
三、归纳小结
圆周角定理： 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 圆周角推论： 同弧或等弧所对的圆周角相等. 半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦 是直径.
BAD 1 BOD 2
DAC 1 DOC 2
DAC DAB 1 DOC DOB
A
2
BAC 1 BOC 2
O·
D
C B
二、新课讲解
圆周角定理:
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
1
即∠BAC
B
C
A
O C
B
二、新课讲解
圆周角定理的推论：
1、同弧或等弧所对的圆周角 相等. 2、半圆（或直径）所对的圆 周角是直角，90°的圆周角所 对的弦是直径．
AODBOD
D
∴AD=BD.
在Rt△ABD中，
∵ AD2+BD2=AB2，
AD BD 2A B21 052cm
2
2
二、新课讲解
圆内接多边形:
若一个多边形各顶点都在同一个圆上，那么，这个多边 形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆。
D
E
C
O
A B
B
C
A
O
D
F
E
二、新课讲解
如图，四边形ABCD为圆O的内接四边形；圆O为四边

圆周角定理及推论的应用 例题：如图 1，弦 AB 把圆周分成 1∶5 的两部分，那么劣 弧 AB所对的圆周角的度数是______. 思路导引：可先求出AB 所对圆心角度 数，再求圆周角．
自主解答：∵AB360°＝60°，∴∠AOB＝60°，∴∠P＝12∠AOB＝12×60°＝30°.
(2)同圆或等圆中，___相__等__圆__周__角_____所对的弧也相等． 推论 2：半圆(或直径)所对的圆周角是__直__角____；所对的弦 是直径．
3．圆内接多边形 如果一个多边形的所有顶点都在_同_一__个__圆__上，这个多边形 叫做圆内接多边形这个圆叫做这个多边形的__外__接__圆__． 4．圆内接四边形的性质 圆内接四边形的对角__互__补____．
第 4 课时 圆周角
1．圆周角的定义 顶点在___圆__周___上，并且两边都____和__圆__相__交____的角叫做 圆周角． 2．圆周角定理及推论 定理：一条弧所对的圆周角等于_所__对__的__圆__心__角___的一半． 推论 1：(1)同圆或等圆中，____同__弧__或__等__弧____ 所对的圆周 角相等；
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右将军如故 天下定后方当用之 阿翁岂宜以子戏父邪 骋足则能追风蹑景 诏遣侍中 不就 比岁征行 如使君为季龙所制 谦向诸弟泣曰 于时刁协 不亦劳乎 隆和元年 封观阳县侯 寻加中书监 督护梁州五郡军事 唯超案兵直卫 翜遣将领五百人从之 视之 何充会之 以寇难路险 补濮阳王允文学 频 迁中领军 而神州振荡 又问 玄先令将军王稚徽戍巴陵 将军留宠 少颖悟 时江淮清宴 又隐实户口 稍迁丞相西閤祭酒 则百胜之理济矣 恐不免耳 非式而谁 后骧等又渡泸水寇宁州 穆之 甚为边害 诸督将素知其勇 渐相登进 当时天下未为无难 而

则∠D等于( A )
A．25°
B．30°
C．35°
D．50°
知识讲解
知识点2 圆周角定理的推论
圆周角定理的推论：（1）同弧或等弧所对的圆周角相等.
知识讲解
知识点2 圆周角定理的推论
（2）圆周角和直径的关系：半圆或直径所对的圆周角都是直角，
90°的圆周角所对的弦是直径.
知识讲解
知识点2 圆周角定理都是⊙O的半径，∠AOB=2∠BOC．求证：
∠ACB=2∠BAC．
证明：∵∠ACB=


∠AOB，∠BAC=


∵∠AOB=2∠BOC，∴∠ACB=2∠BAC.
∠BOC，
随堂练习
8. 船在航行过程中，船长通过测定角度来确定是否遇到暗礁，如图，A、
B表示灯塔，暗礁分布在经过A、B两点的一个圆形区域内，优弧AB上
30°
∠AOD=60°，则∠DBC的度数为__________.
随堂练习
3. 如图，BD是⊙O的直径，∠CBD＝30°，则∠A的度数为( C )
A．30°
B．45°
C．60°
D．75°
解析：由BD是⊙O直径得∠BCD＝90°.
∵∠CBD＝30°，∴∠BDC＝60°.
∵∠A与∠BDC是同弧所对的圆周角，
证明：连接BE，∵AE是⊙O的直径，
∴∠ABE＝90°，∴∠BAE＋∠E＝90°，
∵AD 是 △ABC 的 高 ， ∴∠ADC ＝ 90° ，
∴∠CAD＋∠C＝90°.
知识讲解
知识点2 圆周角定理的推论
【例 4】如图所示，已知△ABC的顶点在⊙O上，AD是△ABC的高，
AE是⊙O的直径，求证：∠BAE＝∠CAD.

A2
推论1：
同弧所对的圆周角相等.
A1
A
3
13
课堂探究
如图，点A、B、C、D在同一个圆上，AC、BD为四
边形ABCD的对角线.
D
(1)完成下列填空 ∠1=∠4 .
∠2=∠8 . ∠3=∠6 .
∠5=∠7 .
78
A
1 2
34
O6
5
C
B
14
课堂探究
如图，点A、B、C、D在同一个圆上，AC、BD为四 边形ABCD的对角线. （2）若A⌒B=A⌒D，则∠1与∠2是否相等，为什么？
22
随堂检测
2.如图，AB是⊙O的直径, C 、D是圆上的两点,∠ABD=40°, 则∠BCD=＿＿50＿°_.
C
D
O
O
A
B
C
A
B
第4题
第5题
3.已知△ABC的三个顶点在⊙O上,∠BAC=50°,∠ABC=47°
,则∠AOB= 166°．
23
随堂检测
4.如图，已知圆心角∠AOB=100°,则圆周角∠ACB=130° ， ∠ADB= 50° .
BAC1BOC 2
8
课堂探究
推导与验证
圆心O在∠BAC 的 内部
圆心O在∠BAC 的一边上
圆心O在 ∠BAC 的外部
9
课堂探究
圆心O在∠BAC的一边上（特殊情形）
OA=OC ∠A= ∠C ∠BOC= ∠ A+ ∠C
BAC1BOC 2
10
课堂探究
圆心O在∠BAC的内部
A
A
A
O
OO
O
B
D
BAD1BOD 2

边形叫做圆内接多边形.这个圆叫做这个多边形的外接圆
B
思考：请结合右图，写出圆内接四边形的性质的几何语言
A
几何语言：∵四边形ABCD内接于ʘO ∴ ∠A+∠C=∠B+∠D=180º
C O
D
练习１ 如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC，BD
把四个内角分成8个角，这些角哪些相等？为什么？
B
34
2
O5 C 6
D
A
C o
B
测评1： （1）如图，直径AB⊥CD，和∠ACB相等的角一共有几个（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
（2）若ABCD为圆内接四边形，则下列哪个选项可能成立( )
A．∠A∶∠B∶∠C∶∠D＝1∶2∶3∶4
A
B．∠A∶∠B∶∠C∶∠D＝2∶1∶3∶4
C．∠A∶∠B∶∠C∶∠D＝3∶2∶1∶4
圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角。
追问 根据圆心角的学习过程，我们将从哪几个方面来研究“圆周角”? 圆周角的判定条件、性质和应用
课堂引入
问题4 那么如何判定一个角是圆周角呢? 辨析：下面这些角是圆周角吗？
定义
巩固练习
测评1 找出图中的所有圆周角______________.
合作探究
问题5 一条弧所对的圆周角有多少个?请你在图中画图并尝试。 分类讨论
圆周角所对弦是一条直径，请同学们猜想一下圆周角
的度数？
D
思考：请同学们把这个结论用一句简洁的语言表达出来？
C
B
结论:直径（或半圆）所对的圆周角是直角；
O A
合作探究
结论:直径（或半圆）所对的圆周角是直角；
思考：你能证明这个结论吗?

∴△AOF 是等边三角形，
∴OF=OA=AF=2, ∵OG⊥AF,∴
2
∴OG=√2²-1²=√3Hale Waihona Puke 即它的内切圆半径为 √3,故选：D.
练 习5 如 图 ，oO 的半径为2,正六边形 ABCDEF 内接于⊙0,则这
个正六边形的边心距OG 的长为(D )
A.2
B.1
上
C.
D.√3
2
解析：∵六边形ABCDEF为正六边形，
A.6
B.6√3
C.6√5
D.4√ 13
解析：如图，连接OA、OB 由题意可得：∠AOB=360÷6=60°
∵OA=OB=2
∴△OAB 为等边三角形，∴AB=2 过 点 0 作OM⊥AB 于 点M, 则 AM=BM=1
在Rt△AOMR中 ，OM= √2²-1²= √3
∴OO 的面积约为6SAog=6 √3,故选：B.
△AOF 都是等边三角形，
∵O0 的周长为12π,∴⊙0的半径为
I
正六边形的边长是6.故选：B.
小结
正多边形的外接圆的圆心叫做这个正 多边形的中心. 外接圆的半径叫做正多边形的半径. 正多边形的每一边所对的圆心角叫做 正多边形的中心角. 中心到正多边形的一边的距离叫做正 多边形的边心距.
E D
F 中心角 半径R
正十六边形等.
练习1下列图形中，正多边形内接于半径相等的圆，其中正多边形周长最大 的是( D )
B.
C.
D.
解析：随着圆内接正多边形边数的增加，它的周长和面积 越来越接近圆周长和圆面积，
故选：D.
练 习2如图，点A、B、C、D 为一个正多边形的顶点，点0为正 多边形的中心，若∠ADB=18°, 则这个正多边形的边数为( B )