2014-2015学年上海市虹口高中高三(上)摸底数学试卷(解析版)

2014年上海市虹口区高三年级二模试卷——数学（理科）2014年4月（考试时间120分钟，满分150分）一、填空题（每小题4分，满分56分）1、已知集合{}12A x x =-<，{}2B 4x x =<，则A B ⋂= ．2、函数2()41f x x x =-++（[]1,1x ∈-）的最大值等于 .3、在ABC ∆中，已知sin :sin :sin 1:A B C =，则最大角等于 ．4、已知函数()y f x =是函数x y a =(0a >且1a ≠）的反函数，其图像过点2(,)a a ，则()f x = ．5、复数z 满足，则复数z 的模等于_______________．6、已知tan 2α=，tan()1αβ+=-，则tan β= ．7、抛物线28y x =-的焦点及双曲线的左焦点重合，则双曲线的两条渐近线的夹角为 .8、某校一天要上语文、数学、外语、历史、政治、体育六节课，在所有可能的安排中，数学不排在最后一节，体育不排在第一节的概率．．是 ． 9、已知(12)n x -关于x 的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则展开式的系数之和为 .10、等差数列{}n a 的通项公式为28n a n =-，下列四个命题．1α：数列{}n a 是递增数列；2α：数列{}n na 是递增数列；3α：数列是递增数列；4α：数列{}2n a 是递增数列．其中真命题的是 ．11、椭圆(0a b >>，参数ϕ的范围是02ϕπ≤<）的两个焦点为1F 、2F ，以12F F 为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另两条边，且124F F =，则a 等于 ．12、设A B C D 、、、是半径为1的球面上的四个不同点，且满足0AB AC ⋅=，0AC AD ⋅=，0AD AB ⋅=，用123S S S 、、分别表示△ABC 、△ACD 、△ABD 的面积，则123S S S ++的最大值是 .13、在ABC ∆中，，向量AM 的终点M 在ABC ∆实数m 的取值范围是 ．14、对于数列{}n a ，规定{}1n a ∆为数列{}n a 的一阶差分数列，其中11()n n n a a a n N *+∆=-∈．对于正整数k ，规定{}k n a ∆为{}n a 的k 阶差分数列，其中111k n k n k n a a a -+-∆=∆-∆．若数列{}n a 有11=a ，22a =，且满足2120()n n a a n N *∆+∆-=∈，则14a = ．二、选择题（每小题5分，满分20分）15、已知:α“2=a ”；:β“直线0=-y x 及圆2)(22=-+a y x 相切”．则α是β的（ ）.A 充分非必要条件 .B 必要非充分条件 .C 充要条件 .D 既非充分也非必要条件16、若函数()1f x ax =+在区间(1,1)-上存在一个零点，则实数a 的取值范围是（ ）.A 1a > .B 1a <- .C 1a <-或1a > .D 11a -<<AB17、已知数列{}n a 是首项为1a ，公差为(02)d d π<<的等差数列，若数列{cos }n a 是等比数列，则其公比为（ ）.A 1 .B 1- .C 1± .D 2 18、函数x x f sin )(=在区间)10,0(π上可找到n 个不同数1x ，2x ，……，n x ，使得nn x x f x x f x x f )()()(2211=== ，则n 的最大值等于（ ） .A 8 .B 9 .C 10 .D 11三、解答题（满分74分）19、（本题满分12分）已知圆锥母线长为6，底面圆半径长为4，点M 是母线PA的中点，AB 是底面圆的直径，底面半径OC 的大小等于θ．（1）当60θ=︒时，求异面直线MC 及PO （2）当三棱锥M ACO -的体积最大时，求θ的值．20、（本题满分14分）已知函数()2()cos 2cos y f x x x x a x R ==++∈，其中a 为常数．（1）求函数()y f x =的周期；（2）如果()y f x =的最小值为0，求a 的值，并求此时)(x f 的最大值及图像的对称轴方程.21、（本题满分14分）某市2013年发放汽车牌照12万张，其中燃油型汽车牌照10万张，电动型汽车2万张．为了节能减排和控制总量，从2013年开始，每年电动型汽车牌照按50%增长，而燃油型汽车牌照每一年比上一年减少0.5万张，同时规定一旦某年发放的牌照超过15万张，以后每一年发放的电动车．．．的牌照的数量维持在这一年的水平不变．（1）记2013年为第一年，每年发放的燃油型汽车牌照数构成数列{}n a ，每年发放的电动型汽车牌照数为构成数列{}n b ，完成下列表格，并写出这两个数列的通项公式；（2）从2013年算起，累计各年发放的牌照数，哪一年开始超过200万张？22、（本题满分16分）函数)(x f y =的定义域为R ，若存在常数0>M ，使得x M x f ≥)(对一切实数x 均成立，则称)(x f 为“圆锥托底型”函数．（1）判断函数x x f 2)(=，3()g x x =是否为“圆锥托底型”函数？并说明理由． （2）若1)(2+=x x f 是“圆锥托底型” 函数，求出M 的最大值．x（3）问实数k 、b 满足什么条件，b kx x f +=)(是“圆锥托底型” 函数．23、（本题满分18分）如图，直线:l y kx b =+及抛物线22x py =（常数0p >）相交于不同的两点11(,)A x y 、22(,)B x y ，且21x x h -=（h 为定值），线段AB 的中点为D ，及直线l y kx b =+：平行的切线的切点为C （不及抛物线对称轴平行或重合且及抛物线只有一个公共点的直线称为抛物线的切线，这个公共点为切点）． （1）用k 、b 表示出C 点、D 点的坐标，并证明CD 垂直于x 轴； （2）求C AB ∆的面积，证明C AB ∆的面积及k 、b 无关，只及h 有关；（3）小张所在的兴趣小组完成上面两个小题后，小张连AC 、BC ，再作及AC 、BC 平行的切线，切点分别为E 、F ，小张马上写出了CE A ∆、CF B ∆的面积，由此小张求出了直线l 及抛物线围成的面积，出理由．参考答案（理科）D OCBAMP一、填空题（每小题4分，满分56分）1、(1,2)-；2、4；3、43π； 4、2()log f x x =； 56、3；7、 3π； 8、710； 9、1； 10、1α，3α；111+； 12、2； 13、； 14、26 ； 二、选择题（每小题5分，满分20分）15、A ； 16、C ； 17、B ； 18、C ； 三、解答题（满分74分）19、(12分) 解：（1） 连MO ，过M 作MD AO ⊥交AO 于点D ，连DC ．又PO ==，MD ∴=43OC OM ==，．//MD PO ，∴DMC ∠等于异面直线MC 及PO 所成的角或其补角．//MO PB ，∴60MOC ∠=︒或120︒．……………5分当60MOC ∠=︒时，∴MC =∴cos 13MD DMC MC ∠==，∴ 当120MOC ∠=︒时，∴MC =．∴cos MD DMC MC ∠==∴ 综上异面直线MC 及PO 所成的角等于或．………………8分（2）三棱锥M ACO -的高为MDM ACO -的体积最大只要底面积OCA ∆的面积最大．而当OC OA ⊥时，OCA ∆的面积最大．…………10分又OC OP ⊥，此时OC PAB ⊥平面，∴OC PB ⊥，90θ=︒………………12分21、（14分）解：（1）………………………………2分当120n ≤≤且n N *∈，2110(1)(0.5)22n n a n =+-⨯-=-+； 当21n ≥且n N *∈，0n a =．∴21,120220,21n n n n N a n n N **⎧-+≤≤∈⎪=⎨⎪≥∈⎩且且……………………5分而4415.2515a b +=>，∴132(),1426.75,5n n n n Nb n n N -**⎧⋅≤≤∈⎪=⎨⎪≥∈⎩且且………………8分（2）当4n =时，12341234()()53.25n S a a a a b b b b =+++++++=． 当521n ≤≤时，1212345()()n n n S a a a b b b b b b =++++++++++432[1()](1)1210() 6.75(4)32212n n n n --=+⨯-++--………………………………11分由200n S ≥ 得216843200444n n -+-≥，即2688430n n -+≤，得3416.3021n -≈≤≤ ……………………13分∴到2029年累积发放汽车牌照超过200万张．…………………………14分22、（16分）解：（1）．222x x x =≥，即对于一切实数x 使得()2f x x ≥成立，∴x x f 2)(=“圆锥托底型” 函数． (2)分对于3()g x x =，如果存在0M >满足3x M x ≥，而当时，由，∴，得0M ≤，矛盾，∴3()g x x =不是“圆锥托底型” 函数． (4)分（2）1)(2+=x x f 是“圆锥托底型” 函数，故存在0>M ，使得2()1f x x M x =+≥对于任意实数恒成立．∴当0x ≠时，，此时当1x =±时，取得最小值2，∴2M ≤． (7)分而当0x =时，(0)100f M =≥=也成立．∴M 的最大值等于2．……………………8分（3）①当0b =，0k =时，()0f x =，无论M 取何正数，取00x ≠，则有00()0f x M x =<， ()0f x =不是“圆锥托底型” 函数．………………10分②当0b =，0k ≠时，()f x kx =，对于任意x 有()f x kx k x =≥，此时可取0M k <≤∴()f x kx =是“圆锥托底型” 函数．………………12分③当0b ≠，0k =时，()f x b =，无论M 取何正数，取．有0b M x <，∴()f x b =不是“圆锥托底型” 函数．………………14分④当0b ≠，0k ≠时，b kx x f +=)(，无论M 取何正数，取，有00()0<M bf x M x k=-=，∴b kx x f +=)(不是“圆锥托底型” 函数．由上可得，仅当0,0b k =≠时，b kx x f +=)(是“圆锥托底型” 函数．…………16分x23、（18分）解：（1）由222202y kx bx pkx pb x py=+⎧⇒--=⎨=⎩，得122x x pk +=，122x x pb ⋅=-点2(,)D pk pk b +…………………………2分 设切线方程为y kx m =+，由222202y kx mx pkx pm x py=+⎧⇒--=⎨=⎩,得22480p k pm ∆=+=，，切点的横坐标为pk 得…………4分由于C 、D 的横坐标相同，∴CD 垂直于6分（2）22222211212)448h x x x x x x p k pb =-=+-=+（，∴．………8分232211122216ABCpk h S CD x x h pk b p∆=⋅-=+-=．……………………11分 C AB ∆的面积及k 、b 无关，只及h 有关．………………12分（本小题也可以求AB h =，切点到直线l的距离2d ==，相应给分）（3）由（1）知CD 垂直于x 轴，2C A B C hx x x x -=-=，由（2）可得CE A ∆、CF B ∆的面积只及2h 有关，将中的h 换成2h ，可得31816ACE BCF h S S p∆∆==⋅．……14分记，321416ACE BCFh a S S p∆∆=+=⋅，按上面构造三角形的方法，无限的进行下去，可以将抛物线C 及线段AB 所围成的封闭图形的面积，看成无穷多个三角形的面积的和，即数列{}n a 的无穷项和，此数列公比为14．所以封闭图形的面积…………………………18分。

上海市虹口区2014届高三第一学期期终教学质量监控测英语试题考生注意：1. 考试时间120分钟，试卷满分150分。

2. 本考试设试卷和答题纸两部分。

试卷分为第Ⅰ卷（第1—9页）和第Ⅱ卷（第10页），全卷共10页。

所有答题必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，做在试卷上一律不得分。

3．答题前，务必在答题纸上填写准考证号和姓名，并将核对后的条形码贴在指定位置上，在答题纸反面清楚地填写姓名。

第I卷(共103分)I. Listening ComprehensionSection ADirections In Section A, you will hear ten short conversations between two speakers. At the end of each conversation, a question will be asked about what was said. The conversations and the questions will be spoken only once. After you hear a conversation and the question about it, read the four possible answers on your paper, and decide which one is the best answer to the question you have heard.1. A. Kate. B. Anna. C. Jane. D. Mary.2. A. 205. B. 155. C. 145. D. 215.3. A. Malaysia. B. Korea. C. Japan. D. Singapore.4. A. A doctor. B. A professor. C. A guide. D. A businessman.5. A. She hasn’t a dictionary. B. She is not sure how to read the word.C. She has looked the word up in the dictionary.D. She is going to buy a dictionary.6. A. To live in the country. B. To live in a big city alone.C. To live with her parents.D. To live in a big city.7. A. Buying another bicycle. B. Buying a used bicycle.C. Buying a new bicycle.D. Not buying a bicycle.8. A. There’s something wrong with the bus. B. He’s in the hospital.C. It’s going in the wrong direction.D. He missed the bus.9. A. Please sit down. B. She doesn’t want the man to sit with her.C. She’ll mind if he sits down.D. It doesn’t matter whether he sits down or not.10. A. To draw a picture. B. To open the window.C. To look at somebody.D. To take a photo with the camera.Section BDirections In Section B, you will hear two short passages, and you will be asked three questions on each of the passages. The passages will be read twice, but the questions will be spoken only once. When you hear a question, read the four possible answers on your paper and decide which one would be the best answer to the question you have heard.Questions 11 through 13 are based on the following passage.11. A. Sunny. B. Cloudy. C. Freezing. D. Wet.12. A. Two to four feet. B. Three feet. C. Seven feet. D. Two to three feet.13. A. A gallery. B. An exhibit. C. A device. D. A Coffee Shop.Questions 14 through 16 are based on the following passage.14. A. A certificate. B. A sofa. C. A visit to a dog hotel. D. A spa (水疗).15. A. By reviewing a vet’s certificate. B. By collecting information from witnesses.C. By checking the photographs.D. All of the above.16. A. Because she is dying. B. Because she is too old to move forward.C. Because she suffers from joint problems.D. Because she usually has spa at home.Section CDirections In Section C, you will hear two longer conversations. The conversations will be read twice. After you hear each conversation, you are required to fill in the numbered blanks with the information you have heard. Write your answers on your answer sheet.Blanks 17 through 20 are based on the following conversation.Blanks 21 through 24 are based on the following conversation.II. Grammar and VocabularySection ADirections Read the following two passages. Fill in the blanks to make the passage coherent. For the blanks with a given word, fill in each blank with the proper form of the given word. For the other blanks, fill in each blank with one proper word. Make sure that your answers are grammatically correct.(A)After the birth of my second child, I got a job at a restaurant. Having worked with_____25_____ experienced waitress for a few days, I was allowed to wait tables on my own. All went well that first week. When Saturday night came, I _____26_____ (give) the tables not far from the kitchen. However, I still felt it a little hard to carry the heavy trays(托盘).The restaurant was full of people _____27 _____I could realize that. I moved slowly, and minded every step. I remember how happy I was when I saw the tray stand near the tables; It had nice handles, _____28_____ (make) it easier to move around. I was pleased with everything and began to believe I was a natural at this job.Then, an old man came to me and said, “Excuse me, dear, my wife and I loved watching you work. _____29_____ seems that your tray stand has been very useful to you, but we are getting ready to leave now, and my wife _____30_____ wait to take her walker back.”At first his message did not get across. “What was he talking about!”Then, I got it. I _____31_____(set) my trays on his wife’s orthopedic walker(助步器). My face was on fire. I wanted to get into a hole and hide.Since then, I’ve learned that sometimes there’s no point _____32_____ (be) too sure of myself.(B)There are a variety of techniques used to bring about success in selling. Here are the most important ones _____33_____ are often mentioned by successful salespeople.•Find out _____34_____ your customers’real wants and needs are. Listen as they tell you their favours.•Know all about your product and what it can do for your customers. Product knowledge is a “must”in personal selling because it creates confidence, builds enthusiasm, and makes the situation more professional. Lay emphasis on the unique advantage of your product _____35_____ others.•Take a confident attitude in selling your product. It is _____36_____(effective) when the salesperson says, “May I help you?”than when he or she says “You wouldn’t like to see our model, _____37_____you?”•Prepare yourself _____38_____(deal) with objections. If the customer says the price is too high, you might reply, “Yes, the price may be a little higher than _____39_____(plan). However, actually, you will save money _____40_____ high quality of this product.”D on’t disagree with your customer in any case when he or she says the price is too high.•Use praise wisely.Section BDirections Complete the following passage by using the words in the box. Each word can only be used once. Note that there is one word more than you need.Television watching is an activity which is known to be harmful to health and is distinct from getting too little exercise. But a new study suggests its damaging effects may even _____41_____ alongside those from smoking and obesity(肥胖). Researchers who studied television viewing habits in Australia calculated that people who watch for a(n) _____42_____ of six hours a day shorten their life expectancy(预期寿命) by almost five years.They based their calculations on data on the _____43 _____between television viewing and death from the Australian obesity and lifestyle study which involved 11,000 adults aged 25 and over. Applying these findings to the whole population over 25, who are estimated to have watched 9.8 billion hours of TV in 2008, they concluded that it _____44_____ for 286,000 years of life lost — equivalent to 22 minutes for each hour watched. By _____45_____, smoking one cigarette is estimated to shorten life expectancy by 11 minutes — equivalent to half an hour of TV watching.Writing in the British Journal of Sports Medicine, the authors from the University of Queensland, say the figures suggest “huge loss of life may be _____46_____ with too much TV viewing.” The UK and other industrialized countries are likely to be similarly affected “given the typically large amounts of time spent watching TV and the similarities in disease patterns.” The researchers add “If these figures are_____47_____ and shown to reflect a cause and effect relationship, TV viewing is a public health problem comparable in size to established behavioral risk factors.”Researchers from Taiwan University found even those who did as little as 92 minutes’exercise a week —equivalent to 15 minutes a day for six days a week —reduced their _____48_____ of death by 14 per cent. Even this small amount of exercise could _____49_____ one in six of all deaths —similar to the effects of a stop-smoking programme. Each _____50_____ 15 minutes a day reduced the death rate by a further 4 per cent.III. Reading ComprehensionSection ADirections For each blank in the following passage there are four words or phrases marked A, B, C and D. Fill in each blank with the word or phrase that best fits the context.To understand how Americans think about things, it is necessary to understand “the point”. Americans mention it often “Let’s get right to the point”, they will say “My point is …”“What’s the point of all this?”The “point”is the _____51_____ or piece of information that Americans suppose is, or should be, _____52_____ of people’s thinking, writings, and spoken comments. Speakers and writers are supposed to ”make their points clear”, _____53_____ that they are supposed to say or write clearly the idea or piece of information they wish to _____54_____.People from many other cultures have different ideas about the _____55_____. Africans traditionally tell stories that express the _____56_____ they have in mind, rather than stating out “the point”clearly. Japanese traditionally speak _____57_____, leaving the listener to _____58_____ what the point is. _____59_____, while an American might say to a friend, “I don’t think that coat goes very well with the rest of your outfit”, a Japanese might say, “Maybe another coat would look even _____60_____ than the one you have on.”Americans _____61_____ a person who “gets right to the point”. Japanese are likely to consider such a person lacking thoughtfulness and sympathy if not _____62_____.The Chinese and Japanese languages are characterized by vagueness and ambiguity(模棱两可). The precision and directness Americans associate with “the point” cannot be _____63_____, at least not with any grace, in Chinese and Japanese. Speakers of those languages thus have to _____64_____ a new way of reasoning and expressing their ideas _____65_____ they are going to communicate satisfactorily with Americans.51. A. word B. idea C. place D. time52. A. at the center B. on the basis C. on the part D. beyond the reach53. A. thinking B. explaining C. meaning D. stating54. A. discuss B. remember C. express D. criticize55. A. point B. information C. reasons D. feelings56. A. comments B. meanings C. secret D. thought57. A. frankly B. indirectly C. reluctantly D. truly58. A. figure out B. search for C. make up D. look over59. A. Otherwise B. However C. Moreover D. Thus60. A. tighter B. better C. thicker D. longer61. A. value B. forgive C. punish D. insult62. A. sensitive B. foolish C. rude D. loyal63. A. corrected B. achieved C. changed D. explained64. A. learn B. consider C. suggest D. decide65. A. although B. because C. until D. ifSection BDirections Read the following three passages. Each passage is followed by several questions or unfinished statements. For each of them there are four choices marked A, B, C and D. Choose the one that fits best according to the information given in the passage you have just read.(A)When you are little, it’s not hard to believe you can change the world. I remember my enthusiasm when, at the age of 12, I addressed the delegates at the Rio Earth Summit. “I am only a child,” I told them. “Yet I know that if all the money spent on war was spent on ending poverty and finding environmental answers, what a wonderful place this would be. In school you teach us not to fight with others, to work things out, to respect others, to clean up our mess, not to hurt other creatures, to share, not to be greedy. Then why do you go out and do the thing you tell us not to do? You grown-ups say you love us, but I challenge you, please, to make your actions reflect your words.”I spoke for six minutes and received a standing ovation. Some of the delegates even cried. I thought that maybe I had reached some of them, that my speech might actually spur(激励) action. Now, a decade from Rio, after I’ve sat through many more conferences, I’m not sure what has been accomplished. My confidence in the people in power and in the power of an individual’s voice to reach them has been deeply shaken.When I was little, the world was simple. But as a young adult, I’m learning that as we have to make choices —education, career, lifestyle —life gets more and more complicated. We are beginning to feel pressure to produce and be successful. We are taught that economic growth is inprogress, but aren’t taught how to pursue a happy, healthy or sustainable(可持续的) way of living. And we are learning that what we wanted for the future when we were 12 was ideal and innocent.Today I’m no longer a child, but I’m worried about what kind of environment my children will grow up in. I know change is possible, because I am changing, still figuring out what I think. I am still deciding how to live my life. The challenges are great, but if we accept individual responsibility and make sustainable choices, we will rise to the challenges, and we will become part of the positive tide of change.66. The purpose of what the writer said at the age of 12 was to _____.A. end poverty and make school beautifulB. find environmental answers and keep the words that they always told themselvesC. end poverty and solve the problems about environmentD. find a wonderful place and clean it up67. What does the underlined word “ovation” in the second paragraph refer to _____.A. a long period of laughingB. a warm welcomeC. an expression used for greetingD. a long period of clapping and applause68. It becomes clear that the writer is possibly _____ now.A. in his teensB. in his twentiesC. in his thirtiesD. in his forties69. Which of the following is true according to the passage?A. the writer thinks what he thought at the age of 12 is mature.B. the writer’s children will certainly live in an ideal environment.C. the writer’s confidence in the people in power has deeply shaken their voice.D. the writer’s belief does not change when he grows up.(B)70. Zeo is a revolution in the science of sleep mainly because it _____.A. can record one’s sleep processB. is the first product to manage one’s sleepC. is free of medical risksD. provides access to sleep fitness websites71. What is the most remarkable feature of Zeo?A. Its direct contact with sleep scientists.B. Its individualized coaching program.C. Its effectiveness in curing sleep disorders.D. Its immediate analysis of sleep data.70. What customer service does Zeo provide?A. Cheap online tools.B. A 30-day action plan.C. Personalized bedside display.D. Free delivery of the product.71. The passage is primarily written to _____.A. encourage people to try the new productB. instruct people how to use a new toolC. provide the latest health informationD. illustrate the importance of good sleep habit(C)Although websites such as Facebook and MySpace experienced rapid growth during the middle of the first decade of the 21st century, some users remain unaware of the fact that the information they post online can come back to haunt them. First, employers can monitor employees who maintain a blog, photo diary, or website. Employers can look for controversial(引起争议的) employee opinions, sensitive information disclosures, or wildly inappropriate conduct. For example, a North Carolina newspaper fired one of its features writers after she created a blog on which she wrote about the strange things of her job and coworkers without signing her real name.The second unintended use of information from social networking websites is employers who check on prospective employees. A June 11, 2006 New York Times article reported that many companies use search engines and social networking websites such as MySpace, Xanga, and Facebook to conduct background checks on college campuses. Although the use of MySpace or Google to check a student’s background is somewhat unsettling to many undergraduates, the Times noted that the use of Facebook is especially shocking to students who believe that Facebook is limited to current students and recent alum(校友).Corporate employers are not the only people interested in college students’ lives. The third unintended use of social networking websites is college administrators who monitor the Internet — especially Facebook — for student bad behavior. For example, a college in Boston’s Back Bay expelled (除名) its student Government Association President for joining a Facebook group highly critical of a campus police sergeant. In addition, fifteen students at a state university in North Carolina faced charges in court for underage drinking because of photos that appeared on Facebook.Although more users of websites such as Facebook are becoming aware of the potential dangers of online identities, many regular users still fail to take three basic security precautions(警惕). First, only make your information available to a specific list of individuals whom you approve. Second, regularly search for potentially harmful information about yourself that may have been posted by mistake or by a disgruntled(不满的) former associate. Third, never post obviously offensive material under your name or on your page, because, despite the best precautions, this material will likely make its way to the wider world. By taking these simple steps, members of the digital world can realize the many benefits of e-community without experiencing some of the damaging unintended consequences.74. The main purpose of the passage is to _____.A. explain the growth of the digital world from the view of privacyB. discuss the risks of the digital world and suggest ways to protect yourselfC. propose steps Facebook, MySpace, and Google can take to protect user privacyD. illustrate potential unintended uses of private information75. The writer implies that users should take all of the following actions to protect their online privacy EXCEPT _____.A. know to whom you make your online information availableB. actively hunt for damaging information posted about you or under your nameC. speak with employers to inform them of any misinformation published about youD. avoid uploading information that would be extremely damaging if it were discovered76. According to the passage, which of the following does the author imply?A. Information obtained unwillingly from the Internet is permitted in court.B. It is impossible to protect yourself from unintended uses of information online.C. Even if you restrict who can view your data, the government may still access it.D. Done properly, posting offensive information about oneself brings no risk.77. In the last paragraph the author mainly _____.A. offers detailed examples to support previous viewpointsB. further explores the ill-effects of the Internet on the protection of privacyC. summarizes the points of the above paragraphsD. provides suggestions to overcome the previously mentioned problemsSection CDirections Read the passage carefully. Then answer the questions or complete the statements in the fewest possible words.New technology links the world as never before. Our plant has shrunk. It’s now a “global village” where countries are only seconds away by fax or phone satellite link. And, of course, our ability to benefit from this high-tech communications equipment is greatly enhanced by foreign language skills.Deeply involved with this new technology is a breed of modern business people who have a growing respect for the economic value of doing business abroad. In modern markets, success overseas often help support domestic business efforts.Overseas assignments are becoming increasingly important to advancement within executive ranks. The executive stationed in another country no longer need fear being “out of sight and out of mind.”He or she can be sure that the overseas effort is central to the company’s plan for success, and that promotions often follow or accompany an assignment abroad. If an employee can succeed in a difficult assignment overseas, superiors will have greater confidence in his or her ability to cope back in the United States where cross-cultural considerations and foreign language issues are becoming more and more prevalent(流行的).Thanks to a variety of relatively inexpensive communications devices with business applications, even small businesses in the United States are able to get into international markets.English is still the international language of business. But there is an ever-growing need for people who can speak another language. A second language isn’t generally required to get a job in business, but having language skills gives a candidate the edge when other qualifications appear to be equal.The employee posted abroad who speaks the country’s principal language has an opportunity to fast-forward certain negotiations, and can have the cultural insight to know when it is better to move more slowly. The employer at the home office who can communicate well with foreign clients over the telephone or by fax machine is an obvious asset to the firm.(Note Answer the questions or complete the statements in NO MORE THAN SIX WORDS.)78. In this passage, “out of sight and out of mind”in paragraph 3 probably means ________________.79. What is the author’s attitude toward high-tech communications equipment?80. According to the passage, what is an important consideration of international corporations inemploying people today?81. The advantage of employees having foreign language skills is that they can __________________.第II卷(共47分)I. TranslationDirections Translate the following sentences into English, using the words given in the brackets.1. 不努力我们是很容易落伍的。

虹口区2013学年度第一学期高三年级数学学科期终教学质量监控测试题（时间120分钟，满分150分）2014.1一、填空题（每小题4分，满分56分）1、已知全集，，如果U C A =，则 {}2,1,0=U {}0=-=m x x A {}1,0=m ．2、不等式的解集是．0212<---x x 3、如果对一切都成立，则实数的取值范围是x x cos sin +>λR x ∈λ．4、从长度分别为1、2、3、4的四条线段中任意取三条，则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是．5、双曲线的焦点到渐近线的距离等于．19422=-y x 6、已知是定义在上的偶函数，且在上单调递增，则满足)(x f y =R ),0[∞+ 的实数的范围是．)1()(f m f <m 7、已知的展开式中，含项的系数等于160，则实数．6)1(ax +3x =a 8、已知是各项均为正数的等比数列，且与的等比中项为2，则的最小{}n a 1a 5a 42a a +值等于．9、已知椭圆的中心在原点，一个焦点与抛物线的焦点重合，一个顶点的坐标为x y 82=，则此椭圆方程为．)2,0(10、给出以下四个命题：（1）对于任意的，，则有成立；0>a 0>b a b b a lg lg =（2）直线的倾斜角等于；b x y +⋅=αtan α（3）在空间如果两条直线与同一条直线垂直，那么这两条直线平行；（4）在平面将单位向量的起点移到同一个点，终点的轨迹是一个半径为1的圆．其中真命题的序号是．11、已知是定义在上的奇函数，且当时，，则此函)(x f y =R 0≥x x x x f 2141)(+-=数的值域为．12、已知函数，对于实数、、有，x x f 10)(=m n p )()()(n f m f n m f +=+，则的最大值等于．)()()()(p f n f m f p n m f ++=++p 13、已知函数，且，则 2sin)(2πn n n f =)1()(++=n f n f a n =++++2014321a a a a 。

上海市虹口区2015届高三数学上学期期末教学质量监控测试试题一、填空题（本大题满分56分）本大题共14题，只要求在答题纸相应题号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1、椭圆2214x y +=的焦距为 .2、在91x ⎛⎫ ⎪⎝⎭的展开式中，各项系数之和为 .3、若复数z 满足22zii i=-+（i 为虚数单位），则复数z = . 4、若正实数a b ，满足ab =32，则2a b +的最小值为 .5、行列式()3sin tan 4cos tan()2x x x x ππ-+的最小值为 .6、在ABC ∆中，角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、，若75,60,3A B b =︒=︒，则c = .7、若()22sin 00x x f x x x π≤≤⎧=⎨<⎩，，，，则方程()1f x =的所有解之和等于 .8、若数列{}n a 为等差数列，且12341,21a a a a =++=，则122limnn a a a n →∞+++= .9、设等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，若12,,n n n S S S ++成等差数列，则q = .10、已知12,l l 是分别经过()()2102A B ,，,两点的两条平行直线，当12,l l 之间的距离最大时，直线1l 的方程是 .11、若抛物线24y x =上的两点A 、B 到焦点的距离之和为6，则线段AB 的中点到y 轴的距离为 .12、10件产品中有8件正品，2件次品，从中任取3件，则恰好有一件次品的概率为 .（结果用最简分数表示）13、右图是正四面体的平面展开图，M N G 、、分别为DE BE FE 、、的中点，则在这个正四面体中，MN 与CG 所成角的大小为 .E14、右图为函数()()=sin (0,0,0)2f x A x A πωϕωϕ+>><<的部分图像，M N 、是它与x 轴的两个交点，D C 、分别为它的最高点和最低点，()0,1E 是线段MD 的中点，且28MD MN π⋅=，则函数()f x 的解析式为 .二、选择题（本大题共4题，满分20分）每题有且仅有一个正确答案，考生应在答题纸的相应题号上，将所选答案的代号涂黑，选对得5分，否则一律零分. 15、设全集(){}{},ln 1,11U R A x y x B x x ===-=-<，则()U C A B = （ ）.A.()2,1-B.(]2,1-C.[)1,2D.()1,216、设,a b 均为非零向量，下列四个条件中，使a b ab=成立的必要条件是 （ ）.A.a b =-B.//a bC.2a b =D.//a b 且a b =17、关于曲线42:1C x y +=，给出下列四个命题： ①曲线C 关于原点对称； ②曲线C 关于直线y x =对称 ③曲线C 围成的面积大于π ④曲线C 围成的面积小于π上述命题中，真命题的序号为 （ ）A.①②③B.①②④C.①④D.①③18、若直线1y kx =+与曲线11y x x x x=+--有四个不同交点，则实数k 的取值范围是 （ ）.A.11,0,88⎧⎫-⎨⎬⎩⎭ B.11,88⎧⎫-⎨⎬⎩⎭ C.11,88⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D.11,88⎛⎫- ⎪⎝⎭三、解答题（本大题共5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸的规定区域内写出必要步骤.19、（本题满分12分）已知3cos ,424x x πππ⎛⎫⎛⎫-=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求sin ,sin ,cos 24x x x π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值20、（本题满分14分）本题共2个小题，每小题7分一个透明的球形装饰品内放置了两个公共底面的圆锥，且这两个圆锥的顶点和底面圆周都在这个球面上，如图，已知圆锥底面面积是这个球面面积的316，设球的半径为R ，圆锥底面半径为r .（1）试确定R 与r（2）求出两个圆锥的体积之和与球的体积之比.21、（本题满分14分）本题共2小题，第1小题6分，第2小题8分 已知函数()f x 和()g x 的图像关于原点对称，且2()f x x x =+ （1）求函数()y g x =的解析式；（2）若()()()3h x g x m f x =-⋅+在[]1,1-上是增函数，求实数m 的取值范围.22、（本题满分16分）本题共3小题，第1小题5分，第2小题5分，第3小题6分. 已知各项均不为零的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()141n n n S a a n N *+=⋅+∈，其中11a =. （1）求证：135,,a a a 成等差数列； （2）求证：数列{}n a 是等差数列； （3）设数列{}n b 满足()121n b nn N a *=+∈，且n T 为其前n 项和，求证：对任意正整数n ，不等式212log n n T a +>恒成立.23、（本题满分18分）本题共3个小题，第1小题5分，第2小题7分，第3小题6分.已知12F F 、为为双曲线22221x y C a b-=：的两个焦点，焦距12=6F F ，过左焦点1F 垂直于x 轴的直线，与双曲线C 相交于,A B 两点，且2ABF ∆为等边三角形. （1）求双曲线C 的方程；（2）设T 为直线1x =上任意一点，过右焦点2F 作2TF 的垂线交双曲线C 与,P Q 两点，求证：直线OT 平分线段PQ （其中O 为坐标原点）；（3）是否存在过右焦点2F 的直线l ，它与双曲线C 的两条渐近线分别相交于,R S 两点，且使得1F RS ∆的面积为l 的方程；若不存在，请说明理由.2015年虹口区高三一模数学试卷理科（参考答案）一．填空题1. 2. 1； 3. 5i -； 4. 16； 5. 5-； 7. 1π-； 8. 1.5； 9. 2-； 10. 230x y --=； 11. 3； 12.715；13. 14. 2sin(2)4y x π=+；二．选择题15. C ； 16. B ； 17. D ； 18. A ； 三．解答题19. 解：(,)442x πππ-∈，在第一象限，∴sin()410x π-==； 4sin sin()sin()cos cos()sin 4444445x x x x ππππππ=-+=-+-=； 27cos 212sin 25x x =-=-；20. （1）解：223416r R ππ=⨯，r R =；::3:1V V h h ==大小大小； （2）解：22232321143():()::3338h r V V V r h r h R r h R R R πππ+=+==⋅=小大小球大小小； 21. （1）解：2()g x x x =-+；（2）解：2()(1)(1)3h x m x m x =--+-+， 当10m -->，即1m <-时，对称轴112(1)mx m -=≤-+，∴31m -≤<-；当10m --=，即1m =-时，()23h x x =+，符合题意，∴1m =-； 当10m --<，即1m >-时，对称轴112(1)m x m -=≥+，∴113m -<≤-；综上，133m -≤≤-； 22. （1）解：141n n n S a a +=+ ①；1141n n n S a a --=+ ②；①－②得114n n a a +--=，得证；（2）解：由11a =，得23a =，结合第（1）问结论，即可得{}n a 是等差数列； （3）解：根据题意，22log 21n n b n =-，22462log 13521n nT n =⨯⨯⨯⨯-…； 要证2122log log (21)n n T a n +>=+，即证246213521nn ⨯⨯⨯⨯>-… 当1n =时，2> 假设当n k =时，246213521kk ⨯⨯⨯⨯>-…成立； 当1n k =+时，24622222135212121k k k k k k ++⨯⨯⨯⨯⨯>-++…=；>2(22)(21)(23)k k k +>++，展开后显然成立， 所以对任意正整数n ，不等式212log n n T a +>恒成立；23. （1）3c =，∵等边三角形，∴2AF =，1AF =a =22136x y -=； （2）解：设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，中点为00(,)T x y '，然后点差法，即得2121212122()1312()PQ PF T Tx x y y k y y x x k y y +--===-==+-， ∴001TOT OT y y k k x '===，即点T '与点T 重合，所以T 为PQ 中点，得证； （3）解：假设存在这样的直线，设直线:3l x my =+，(,)R R R x y ，(,)S S S x y联立3y x my ⎧=⎪⎨=+⎪⎩得R y =3y x my ⎧=⎪⎨=+⎪⎩得S y =116()2F RSR S Sy y =⨯⨯-=()R S y y -=+=l。

虹口区2013学年高三年级二模数学答案（理科）D O C B A MP一、填空题（每小题4分，满分56分）1、(1,2)-；2、4；3、43π； 4、2()log f x x =； 56、3；7、 3π； 8、710； 9、1； 10、1α，3α； 111； 12、2； 13、304m <<； 14、26 ； 二、选择题（每小题5分，满分20分）15、A ； 16、C ； 17、B ； 18、C ；三、解答题（满分74分）19、(12分) 解：（1） 连MO ，过M 作MD AO ⊥交AO 于点D ，连DC ．又PO ==MD ∴=43OC OM ==，． //MD PO ，∴DMC ∠等于异面直线MC 与PO 所成的角或其补角．//MO PB ，∴60MOC ∠=︒或120︒．……………5分当60MOC ∠=︒时，∴MC =∴cos 13MD DMC MC ∠==，∴arccos 13DMC ∠= 当120MOC ∠=︒时，∴MC =∴cos MD DMC MC ∠==∴DMC ∠= 综上异面直线MC 与PO所成的角等于arccos 13或arccos 37．………………8分 （2）三棱锥M ACO -的高为MD，要使得三棱锥M ACO -的体积最大只要底面积OCA ∆的面积最大．而当OC OA ⊥时，OCA ∆的面积最大．…………10分 又OC OP ⊥，此时OC PAB ⊥平面，∴OC PB ⊥，90θ=︒………………12分21、（14分）解：（1）110a =29.5a = 3a = 9 4a = 8.5 ………… 12b = 2b =33b = 4.5 4b = 6.75 ………… ………………………………2分当120n ≤≤且n N *∈，2110(1)(0.5)22n n a n =+-⨯-=-+； 当21n ≥且n N *∈，0n a =． ∴21,120220,21n n n n N a n n N **⎧-+≤≤∈⎪=⎨⎪≥∈⎩且且……………………5分而4415.2515a b +=>，∴132(),1426.75,5n n n n N b n n N -**⎧⋅≤≤∈⎪=⎨⎪≥∈⎩且且………………8分 （2）当4n =时，12341234()()53.25n S a a a a b b b b =+++++++=． 当521n ≤≤时，1212345()()n n n S a a a b b b b b b =++++++++++432[1()](1)1210() 6.75(4)32212n n n n --=+⨯-++--216843444n n =-+- ………………………………11分由200n S ≥ 得216843200444n n -+-≥，即2688430n n -+≤，得31316.3021n -≈≤≤ ……………………13分∴到2029年累积发放汽车牌照超过200万张．…………………………14分22、（16分）解：（1）．222x x x =≥，即对于一切实数x 使得()2f x x ≥成立，∴x x f 2)(=“圆锥托底型” 函数．…………………………2分对于3()g x x =，如果存在0M >满足3x M x ≥，而当x =时，由M ≥，∴2M M ≥，得0M ≤，矛盾，∴3()g x x =不是“圆锥托底型” 函数．……………4分（2）1)(2+=x x f 是“圆锥托底型” 函数，故存在0>M ，使得2()1f x x M x =+≥对于任意实数恒成立．∴当0x ≠时，11M x x x x≤+=+，此时当1x =±时，1x x +取得最小值2，∴2M ≤．…………………………7分而当0x =时，(0)100f M =≥=也成立．∴M 的最大值等于2．……………………8分（3）①当0b =，0k =时，()0f x =，无论M 取何正数，取00x ≠，则有00()0f x M x =<，()0f x =不是“圆锥托底型” 函数．………………10分②当0b =，0k ≠时，()f x kx =，对于任意x 有()f x kx k x =≥，此时可取0M k <≤∴()f x kx =是“圆锥托底型” 函数．………………12分③当0b ≠，0k =时，()f x b =，无论M 取何正数，取0bx M >．有0b M x <，∴()f x b =不是“圆锥托底型” 函数．………………14分④当0b ≠，0k ≠时，b kx x f +=)(，无论M 取何正数，取00b x k =-≠，有00()0<M b f x M x k=-=，∴b kx x f +=)(不是“圆锥托底型” 函数． 由上可得，仅当0,0b k =≠时，b kx x f +=)(是“圆锥托底型” 函数．…………16分x23、（18分）解：（1）由222202y k x b x p k x p b x p y=+⎧⇒--=⎨=⎩，得122x x pk +=，122x x pb ⋅=-点2(,)D pk pk b +…………………………2分 设切线方程为y kx m =+，由222202y k x m x p k x p m x p y=+⎧⇒--=⎨=⎩,得22480p k pm ∆=+=，22pk m =-，切点的横坐标为pk ，得2(,)2pk C pk …………4分 由于C 、D 的横坐标相同，∴CD 垂直于x （2）22222211212)448h x x x x x x p k pb =-=+-=+（，∴22248h p k b p -=．………8分 232211122216ABC pk h S CD x x h pk b p∆=⋅-=+-=．……………………11分 C AB ∆的面积与k 、b 无关，只与h 有关．………………12分 （本小题也可以求AB h =，切点到直线l 的距离2d ==（3）由（1）知CD 垂直于x 轴，2C A B C h x x x x -=-=，由（2）可得CE A ∆、CF B ∆的面积只与2h 有关，将316ABC h S p ∆=中的h 换成2h ，可得31816ACE BCF h S S p ∆∆==⋅．……14分记3116ABC h a S p ∆==，321416ACE BCF h a S S p∆∆=+=⋅，按上面构造三角形的方法，无限的进行下去，可以将抛物线C与线段AB所围成的封闭图形的面积，看成无穷多个三角形的面积的和，即数列{}n a的无穷项和，此数列公比为14．所以封闭图形的面积3114131214a hS ap===-…………………………18分。

上海市虹口区复兴高中2015届高三上学期摸底数学试卷一、填空题（每小题4分，满分56分）1. （4分）不等式’|的解集是.K+4 '2. （4分）在厶ABC中，角A, B, C满足si nA : si nB : si nC=1 : 2： . _，则最大的角等于.3. （4分）若复数z满足z=i （2 - z）（i是虚数单位），则|z|=.4. （4 分）已知全集U=R 集合A=｛x|x+a >0, x€ R｝, B=｛x||x - 1| < 3, x € R｝.若（？U A） n B=[-2, 4]，则实数a的取值范围是.5. （4分）从甲、乙、丙、丁四人中任选两名代表，甲被选中的概率为6. （4分）设直线I仁ax+2y=0的方向向量是，[，直线l 2：x+ （a+1）y+4=0的法向量是：.,若与.平行，则a=.7. （4分）若圆锥的侧面积为3n,底面积为n,则该圆锥的体积为.X 1& （4分）若不等式：>0对任意x € R恒成立，则实数a的取值范围是.-1计曰2 2 29. （4分）若抛物线y =2px （p > 0）的焦点与双曲线x - y =2的右焦点重合，贝U p的值为."log, （x+1 ）!xE [6,十8）10. （4分）设函数f （x）= * J 的反函数为f 1（x），若_6I圧（-卩6〕|L3K-1 | —：1,贝U f （a+4）=.11.（4分）设a € R, （x- a）&的二项展开式中含x5项的系数为乙则15 （針/ + ・■・+ =.12. （4分）等差数列｛a n｝的通项公式为a n=2n - 8，下列四个命题.a 1 ：数列｛a n｝是递增数列；a 2：数列｛na n｝是递增数列；a 3：数列是递增数列；na 4：数列｛a n2｝是递增数列.其中真命题的是.13. ( 4分)设定义域为R 的函数f (工)斗丘二1 1 ’ ,若关于x 的方程f 2 (x ) +bf (x )| [1, 1=1+c=0有3个不同的整数解Xi ，X2, X3，则X I 2+X 22+X 32等于.14. ( 4分)将数轴Ox 、Oy 的原点放在一起，且使/ xOy=45，则得到一个平面斜坐标系.设二、选择题(每小题 5分，满分20分)215. (5分)若a € R,则"关于x 的方程x +ax+1=0无实根”是"z= ( 2a - 1) + (a - 1) i (其 中i 表示虚数单位)在复平面上对应的点位于第四象限”的()A.充分非必要条件 B .必要非充分条件 C.充要条件D.既非充分又非必要条件16. ( 5分)已知m 和n 是两条不同的直线，a 和B 是两个不重合的平面，那么下面给出的 条件中一定能推出 mX3的是()A. a 丄B,且 m? a B . m 〃 n ,且 n 丄B C. a 丄B,且 m 〃a D . ml n ,且 n 〃B2 2 ~* *_ • ■17. ( 5分)已知直线 x+y=a 与圆x +y =4交于A B 两点，且| I i ，|=|- , ,|，其中O为原点，则实数a 的值为()A. 2 B . - 2 C. 2 或-2 D.I,或-I,18. ( 5分)对于函数f (x ),若存在区间 A=[m, n]，使得{y|y=f (x ), x € A}=A ，则称函数f(x )为“可等域函数”，区间 A 为函数f (x )的一个“可等域区间”.给出下列4个函数：I 兀 ① f ( x ) =sin ( x );② f ( x ) =2x - 1; ③ f ( x ) =|1 - 2X | ; ④ f ( x ) =log 2 (2x - 2).其中存在唯一“可等域区间”的“可等域函数”为()A.①②③ B .②③ C.①③ D.②③④三、解答题P 为坐标平面内的一点，其斜坐标定义如下：若——•・分别为与x 轴、y轴同向的单位向量)，则点P 的坐标为x , y )若 Fi (- 1 , 0), F2 (1, 0),且动点 M(x , y )则点M 的轨迹方程为.19. ( 12分)如图，在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形，PU底面ABCD E是PC的中点, 已知AB=2, AD=2 ： \ PA=2 求：(1)三角形PCD的面积；(2)异面直线BC与AE所成的角的大小.20. (14分)在厶ABC中，角A, B, C所对的边长分别为a, b, c,向量；_ ：'『，,::,(1) 求角B；(2) 若b=2，求△ ABC的面积的最大值.21. ( 14分)抛物线C: y2=2px (p>0)的焦点恰是椭圆=1的一个焦点，过点4 3的直线与抛物线C交于点A, B.(1)求抛物线C的方程;(2) O是坐标原点，求△ AOB的面积的最小值;(3) O是坐标原点，证明:证明：数列｛b n｝是等比数列; 求数列｛nb n｝的前n项和T n；2+ < +1的前n项和，求不超过P2014的最大的整气+c n数.23. (18 分)设a 是实数，函数f (x) =4x+|2x- a| (x € R).(1)求证：函数f (x)不是奇函数；(2)当a<0时，求满足f (x) > a2的x的取值范围；(3)求函数y=f (x)的值域(用a表示).F（・0）22. (16分)在数列{a n}中,, 2a n=a n2 -1- n- 1 （n》2, n€ N*）,设b n=a n+n.（出）,P n为数列参考答案与试题解析 一、填空题（每小题 4分，满分56分）1.（ 4分）不等式’|的解集是（-汽-4）U [3 , +R ）x+4考点：其他不等式的解法. 专题：不等式的解法及应用. 分析：由不等式可得!心-小‘创）氏，由此求得x 的范围.R+4 穽 0解答：解：由不等式'■，可得、■■ ’ ■',求得x V- 4，或x >3,X +Q JU U+4^0I故答案为：（-a,- 4）U [3 , +m ）.点评： 本题主要考查分式不等式的解法，体现了转化的数学思想，属于基础题.2. （4分）在厶ABC 中，角A , B, C 满足si nA : si nB : si nC=1 : 2:衙，则最大的角等于孕」考点：余弦定理的应用；正弦定理. 专题： 计算题；解三角形. 分析：运用正弦定理，可得三边之比，判断最大的角，再由余弦定理，即可解得.解答： 解：运用正弦定理，得， sinA : sinB : sinC=1 : 2 :沐匚 即为 a : b : c=1 : 2： ||, 可令a=t , b=2t , c V 「t ，显然c 最大，由于0 V C Vn,即有C=—3点评： 本题考查正弦定理和余弦定理的运用，考查判断和运算能力，属于基础题.3. （4分）若复数z 满足z=i （2 - z ） （i 是虚数单位），则|z|=二考点： 复数求模；复数代数形式的乘除运算. 专题： 计算题.分析：由题意可得（1+i ） z=2i ，可得z=，再利用两个复数代数形式的除法，虚数单位1+ii 的幕运算性质求得 z 的值，即可求得|z| .解答： 解：T 复数z 满足z=i （2 - z ） （i 是虚数单位），二z=2i - iz ,即（1+i ） z=2i , 2L 2i （1-i ）……z= ------ = =1+i ,1+i （LH ） （1-D，故|z|=:对 故答案为打理. 点评：本题主要考查两个复数代数形式的除法，虚数单位属于基础题.4. (4 分)已知全集U=R 集合A={x|x+a >0, x € R}, B={x||x - 1| < 3, x € R}.若(？u A ) n B=[-由余弦定理，得,1i 的幕运算性质，求复数的模,2, 4]，则实数a的取值范围是a v- 4.考点：交、并、补集的混合运算.专题：集合.分析：表示出A中的解集确定出A,求出B中不等式的解集确定出B,根据A补集与B的交集确定出a的范围即可.解答：解：由A中的不等式解得：x>- a,即A=[ - a, +a）,•••全集U=R ••• ?U A= (-a,- a),由B中的不等式变形得：-3W x- K3,即-2W x w4, •- B=[ - 2, 4],•••( ?u A)n B=[ - 2, 4],••- a>4, 即卩a v- 4.故答案为：a v- 4点评：此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键.（4分）从甲、乙、丙、丁四人中任选两名代表，甲被选中的概率为考点：等可能事件的概率.专题：计算题.分析：由题意列出选出二个人的所有情况，再根据等可能性求出事件“甲被选中”的概率.解答：解：由题意：甲、乙、丙、丁四人中任选两名代表，共有六种情况：甲和乙、甲和丙、甲和丁、乙和丙、乙和丁、丙和丁，因每种情况出现的可能性相等，所以甲被选中的概率为2故答案为：2.2点评：本题考查了等可能事件的概率的求法，即列出所有的实验结果，再根据每个事件结果出现的可能性相等求出对应事件的概率.6. （4分）设直线I仁ax+2y=0的方向向量是dr，直线l 2：x+ （a+1）y+4=0的法向量是口^ ,1 2若-"与门，平行，则考点：平行向量与共线向量；平面向量的坐标运算.专题：平面向量及应用.分析：先求出直线的法向量，再利用向量共线的充要条件即可得出a的值.解答： 解：由直线1仁ax+2y=0可得方向向量= （- 2, a ）;由直线丨2： x+ （a+1） y+4=0可得方向向量为（a+1，- 1）,其法向量门？= （1, a+1）;T J 与、平行，「•- 2 (a+1) - a=0,解得 a=-故答案为 点评：正确理解直线的法向量和向量的共线是解题的关键.7. （4分）若圆锥的侧面积为 3n,底面积为n,则该圆锥的体积为 f 「考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）. 专题： 空间位置关系与距离. 分析：由圆锥的侧面积求出圆锥的母线长度，由底面面积球底面圆半径，进一步求出圆锥的高，求体积. 解答：解：根据题意，圆锥的底面积为n,则其底面半径是1，底面周长为2n,又-X 2n l=3 n,•••圆锥的母线为3，则圆锥的高• ： ：「-二,故答案为：■'二3点评：本题是基础题，考查圆锥的有关计算，圆锥的侧面积，体积的求法，考查计算能力.| x&（ 4分）若不等式对任意x € R 恒成立，则实数 a 的取值范围是（-2, 2）.> 0对任意x € R 恒成立，因此△ =a - 4v 0，解得可得a 的范围.••X +ax+1 > 0对任意x € R 恒成立,2=a — 4v 0••- 2 v a v 2,故答案为：（-2, 2） 点评：本题主要考查二次不等式的解法，解一元二次不等式要借助于一元二次函数解决.一 1 x-Fa考点： 专题： 函数恒成立问题. 函数的性质及应用. 分析:不等式2 2-1X(- 1)> 0，即 x +ax+1 > 0,故 x +ax+1解答：解：：•不等式|等价于 x (x+a )- 1X> 0,即 x 2+ax+1 > 0,9. (4分)若抛物线y 2=2px (p >0)的焦点与双曲线 x 2-y 2=2的右焦点重合，贝U p 的值为4.考点：双曲线的简单性质；抛物线的简单性质. 专题：计算题. 分析：将双曲线化成标准方程，求得a 2=b 2=2的值，从而得到双曲线的右焦点为 F (2, 0),该点也是抛物线的焦点，可得=2，所以p 的值为4.22 2解答： 解：•••双曲线x 2- y 2=2的标准形式为：乙二12 2.•.a 2=b 2=2,可得c=.・|「=2，双曲线的右焦点为 F (2, 0) T 抛物线y 2=2px ( p > 0)的焦点与双曲线 x 2 - y 2=2的右焦点重合， •••丄=2,可得p=42故答案为：4 点评：本题给出抛物线与双曲线右焦点重合，求抛物线的焦参数的值，着重考查了双曲线的标准方程和抛物线简单几何性质等知识点，属于基础题._log, (x+1 ) , xf [6,十8)10. (4分)设函数f (x )二J的反函数为f 1 (x )，若3旷耳疋(一7 6)考点：反函数.专题：函数的性质及应用. 分析：由于f 7(丄)二且，可得f (a ) j.对a 分类讨论，即可得出.9 9解答：解：T f 7讣)=a ,当 x >6 时，f (x ) =- log 3 (x+1) <- log 37V 0，不符合条件，舍去； 当 x v 6 时，f (x ) =3x -6,令=3-2,. a - 6=- 2，解得 a=4,满足条件.g• f ( 8) = - log 39=- 2. 故答案为：-2. 点评：本题考查了分类讨论、反函数的性质、分段函数的性质，属于基础题.x 5项的系数为7,则• f ( a )一二 方.则 f (a+4) =- 2.11. ( 4分)设a € R , (x - a ) 8的二项展开式中含故答案为：-土. 3点评：本题主要考查二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质,等比数列的前n 项和公式，属于基础题.12. （ 4分）等差数列｛a n ｝的通项公式为a n =2n - 8，下列四个命题. a i :数列｛a n ｝是递增数列；a 2：数列｛na n ｝是递增数列； a 3：数列是递增数列；na 4：数列｛a n ）是递增数列.其中真命题的是 a i ,a 4.考点：等差数列的性质.专题：等差数列与等比数列.分析： 利用函数的单调性直接进行判断，从而得出结论. 解答： 解：•••等差数列｛a n ｝的通项公式为a n =2n -8, 数列｛a n ｝是递增数列，故 a 1是真命题；2T na n =2n - 8n ,•••数列｛na n ｝是先减后增数列，故 a 2是假命题； 匸=2弟•数列｛ ―-｝是递增数列，故 a 3是真命题；n2 2• a n =4n — 32n+64,••数列｛a n ｝不是递增数列，故 a 4是假命题. 故答案为：a i ,a 4. 点评：本题考查数列的函数特性的应用，是基础题，解题时要注意函数的单调性的灵活运用，属于基础题.13. ( 4分)设定义域为R 的函数f (工)二 丘二1 1‘ ,若关于x 的方程f 2 (x ) +bf (x )考点： 二项式系数的性质. 专题： 二项式定理.由条件求得a=-丄，可得a+a'+a 3*-2+a 的值，从而求得 li值. 解答:解：由于（x - a ） 8的二项展开式中含 x 5项的系数为3 ? (- a ) 3=7,•. a=-=3 (1 -屮)拎［「（令I=1 -a占1 -1乳（-丄）2分析: 2 - 二 a+a +a3 n]=-_一 ["T ■怕L尸1. . 2 2 2+c=0有3个不同的整数解x i, X2, x s,则x i +X2 +X3等于5.考点：分段函数的解析式求法及其图象的作法；根的存在性及根的个数判断. 专题：计算题；数形结合；分类讨论./ X f l \ I> 好1分析：根据已知中函数F (Q二彳一1 | 的解析式，我们可以画出函数F (工)二|x 一1「"厂1的图象，根据图象我们可以判断出关于x的方程f2(x) +bf (x)1 J尸1\. . ___________________________________________________________________________ _ 2 2 2+c=0有3个不同的整数解x i, X2, x s时，x i, X2, x s的值，进而求出X1 +X2+X3的值.|[| 1P占1解答：解：函数f (门二< 玄一1丨的图象如图所示：[1,孟二1由图易得函数的值域为(0, +8)令t=f (X )则方程f2(x) +bf (x) +c=02可化为t +bt+c=O ,若此方程无正根，则方程f2(x) +bf (x) +c=0无根若此方程有一个非1的正根，则方程f2(x) +bf (x) +c=0有两根；若此方程有一个等1的正根，则方程f2(x) +bf (x) +c=0有三根；2 2 2此时t=f (x) =1, X1=0, X2=1, X3=2, X1 +X2 +X3 =5若此方程有两个非1的正根，则方程f2(x) +bf (x ) +c=0有四根；若此方程有一个非1，一个等1的正根，则方程f2(x ) +bf (x) +c=0有五根；综上X12+X22+X32=5点评：本题考查的知识点是分段函数的解析式及其图象的作法，根的存在性及根的个数判1 ]厂,尹断，其中画出函数f(X)- is-1 r 的图象，根据图象我们可以判断出关于x的方程[1* x二1f2(x) +bf (x)+c=0有3个不同的整数解x i, X2, x s时，所满足的条件是解答醒本题的关键.14. ( 4分)将数轴Ox、Oy的原点放在一起，且使/ xOy=45，则得到一个平面斜坐标系.设P为坐标平面内的一点，其斜坐标定义如下：若_ , . 分别为与x轴、y轴同向的单位向量)，则点P的坐标为(x, y).若F i (- 1 , 0) , F2 (1, 0),且动点M(x, y)I臥I L满足f二i，则点M的轨迹方程为y=-“叵x.|o2| —_考点：轨迹方程.专题：圆锥曲线的定义、性质与方程.分析：欲求点M在斜坐标系中的轨迹方程，只须求出其坐标x, y之间的关系即可，根据M 两I(x, y)满足L =1，建立等式关系，解之即可求出点M的轨迹方程.iMFjl解答：解：TF 1 (- 1 , 0), F2 (1 , 0),•••由定义知，帀=(—1—X)哥-药，丽;=(1 -X)哥-爲,I MP, I由动点M(x, y)满足 _____ i ~1 ,|化|得：I|=|W^|,所以(—1 - x) +y +2 (1+x) y..・.=(1 - x) +y - 2 (1 - x)y.. | ,所以(-1 - x) 2+y2+2 (1+x) y x二=(1 - x) 2+y2- 2 (1 - x) y X ',2 2整理得v <x+y=0,即y= - : :x.点M的轨迹方程为y= .点评：本题是新信息题，读懂信息，斜坐标系是一个两坐标轴夹角为45°的坐标系，本小题主要考查向量的模、平面向量的基本定理及其意义、轨迹方程等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想.属于中档题.二、选择题(每小题5分，满分20分)15. ( 5分)若a€ R,则"关于x的方程x2+ax+1=0无实根”是"z= ( 2a - 1) + (a - 1) i (其中i表示虚数单位)在复平面上对应的点位于第四象限”的()A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件考点：复数的代数表示法及其几何意义；必要条件、充分条件与充要条件的判断.分析：一方面由a€ R,且"关于x的方程x2+ax+1=0无实根"，得到厶=a 2- 4 v 0,解得a 的取值范围，即可判断出“ z= ( 2a- 1) + ( a- 1) i (其中i表示虚数单位)在复平面上对应的点是否位于第四象限”；另一方面，由“ a€ R, z= (2a- 1) + (a - 1) i (其中i表示虚数单位)在复平面上对应的点位于第四象限”，可得1>0，解出a的取值范围，即可判断出△<0是否成立即可.a-l< -0解答：解：①••• a€ R,且“关于x的方程x2+ax+1=0无实根”，•••△ =a - 4v 0,解得-2v a v2.•••- 3v2a - 1 v3,- 3v a- 1 v 1,因此z= ( 2a- 1) + (a - 1) i (其中i表示虚数单位)在复平面上对应的点不一定位于第四象限；②若“a€ R, z= (2a- 1) + (a- 1) i (其中i表示虚数单位)在复平面上对应的点位于第四象限”正确，f2a-l>0^[a-KO •••△< 0,•关于x的方程x2+ax+1=0无实根正确.综上①②可知：若a€ R,则“关于x的方程x2+ax+1=0无实根”是“ z= ( 2a - 1) + (a - 1) i(其中i表示虚数单位)在复平面上对应的点位于第四象限”的必要非充分条件.故选B.点评：熟练掌握实系数一元二次方程的是否有实数根与判别式△的关系、复数z位于第四象限的充要条件事件他的关键.16. ( 5分)已知m和n是两条不同的直线，a 和B是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中一定能推出mX3的是()A. a丄B,且m? aB. m〃n,且n丄BC. a丄B,且m〃aD. ml n,且n〃B考点：直线与平面垂直的判定.专题：计算题；空间位置关系与距离.分析：根据A, B, C, D所给的条件，分别进行判断，能够得到正确结果.解答：解：alB，且m? a ? n? B,或m//B,或m与B相交，故A不成立；m// n,且n lB ? m±B，故B成立；alB,且m//a ? m? B,或m//B,或m与B相交，故C不成立；由ml n,且n //B,知m±B不成立，故D不正确.故选B.点评：本题考查直线与平面的位置关系的判断，是基础题，解题时要认真审题，仔细解答.17. ( 5分)已知直线x+y=a与圆x2+y2=4交于A B两点，且|八丨，|=| j ，其中0为原点，则实数a的值为()A. 2B. - 2C. 2 或-2D. 「或—「④••• f ( x ) =log 2 (2x - 2)单调递增，且函数的定义域为(1, +8), 加-2-严若存在“可等域区间”，则满足1□吕 2_” 二E log 2（2n - 2）-n，即[2n-2= 2n考点： 直线和圆的方程的应用；向量的模；向量在几何中的应用.专题：计算题.分析：条件"丨J -」=| I, - [I ”是向量模的等式，通过向量的平方可得向量的数量积I 丨，|2=|—- 「I 2,广；？|飞=0，可得出垂直关系，接下来，如由直线与圆的方程组成方程组求出A 、B 两点的坐标，势必计算很繁，故采用设而不求的方法.2 2解答： 解：由丨F 1 「一 . •」得1丨m | 一 . |」，？ I ,=o ,丄■,三角形AOB 为等腰直角三角形，圆心到直线的距离为鳥即一J = ', a=±2,故选C.V2点评：若非零向量 U ，满足iZ.-m* 「二i ，则□丄工.模的处理方法一般进行平方，转化成向量的数量积.向量是既有大小，又有方向的量，它既有代数特征，又有几何特征，通过向量可以实现代数问 题与几何问题的互相转化，所以向量是数形结合的桥梁.18. ( 5分)对于函数f (x ),若存在区间 A=[m, n]，使得{y|y=f (x ), x € A}=A ，则称函数f(x )为“可等域函数”，区间 A 为函数f (x )的一个“可等域区间”.给出下列 4个函数:I TT① f ( x ) =sin ( x );2② f ( x ) =2x - 1; ③ f ( x ) =|1 - 2x | ; ④ f ( x ) =log 2 (2x - 2).其中存在唯一“可等域区间”的“可等域函数”为()考点： 正弦函数的定义域和值域. 专题： 新定义；函数的性质及应用.分析： 根据“可等域区间”的定义分别进行判断即可得到结论. 解答：I JT解：①函数f (x ) =sin (x )的周期是4，正弦函数的性质我们易得，A=[0 , 1]为函数的一个“可等域区间”，同时当 A=[ - 1 , 0]时也是函数的一个“可等域区间”，.••不 满足唯一性. ② 当A=[ - 1 , 1]时，f (x )€ [ - 1, 1]，满足条件，且由二次函数的图象可知，满足条件的 集合只有A=[ - 1, 1] 一个.③ A=[0, 1]为函数f (x ) =|2x - 1|的“可等域区间”，当 x € [0 , 1]时，f (x ) =2x - 1,函数单调递增，f (0) =1 - 1=0, f (1) =2 - 1=1 满足条件, •••m n 取值唯一.故满足条件.A.①②③B .②③C.①③D.②③④••• m n是方程2x - 2x+2=0 的两个根，设f (x) =2x-2x+2, f '( x) =2x ln2 - 2，当x> 1时, f '( x)> 0，此时函数f (x)单调递增，• f( x)=2x- 2x+2=0不可能存在两个解，故f (x) =log 2 (2x - 2)不存在"可等域区间”.故选：B.点评：本题主要考查与函数有关的新定义问题，根据“可等域区间”的定义，建立条件关系是解决本题的关键，综合性较强，有一定的难度.三、解答题19. ( 12分)如图，在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形，PU底面ABCD E是PC的中点, 已知AB=2, AD=2 :，PA=2 求：(1)三角形PCD的面积；(2)异面直线BC与AE所成的角的大小.考点：直线与平面垂直的性质；异面直线及其所成的角. 专题：证明题；综合题；空间位置关系与距离；空间角.分析：(1)可以利用线面垂直的判定与性质，证明出三角形PCD是以D为直角顶点的直角三角形，然后在Rt△ PAD中，利用勾股定理得到PD=2l ；，最后得到三角形PCD的面积S；(2)［解法一］建立如图空间直角坐标系，可得B、C E各点的坐标，从而「= (1，二1),此可得异面直线BC与AE所成的角的大小为［解法二］取PB的中点F,连接AF、EF, △ PBC中，禾U用中位线定理，得到EF// BC从而/ AEF 或其补角就是异面直线BC与AE所成的角，然后可以通过计算证明出：△ AEF是以F为直角顶兀TT点的等腰直角三角形，所以/ AEF=，可得异面直线BC与AE所成的角的大小为•.4 4解答：解：(1)v PAL底面ABCD CD?底面ABCD•CD L PA•••矩形ABCD中, CDLAD PA AD是平面PDC内的相交直线.•CDL平面PDA••• PD?平面PDA • CD L PD三角形PCD是以D为直角顶点的直角三角形.•/ Rt△ PAD 中,AD=2 :■: , PA=2,• PD=.L；；'=2■.0),利用空间向量数量积的公式，得到「.与I…夹角0满足：cos•••三角形PCD 的面积 S=_ X PDX DC=2. （2）［解法一］如图所示，建立空间直角坐标系，可得 B （2, 0, 0）, C （2, 卫,0）, E （1,血，1）.• AE = （1，近，1）, BC =（0,应,0）,设垃与P 夹角为B,则cos 0= 订…’：= ■: :=::|AE| |BC| 2X2^22長—，由此可得异面直线 BC 与 AE 所成的角的大小为4［解法二］取PB 的中点F ,连接AF 、EF 、AC,•••△ PBC 中，E 、F 分别是PC PB 的中点，• EF// BC / AEF 或其补角就是异面直线 BC 与AE 所成的角.••• Rt △ PAC 中，PC=]…，眾'=4.• AE J PC=22点评： 本题根据一个特殊的四棱锥，求异面直线所成的角和证明线面垂直，着重考查了异面直线及其所成的角和直线与平面垂直的性质等知识，属于中档题.7T 7•••在△ AEF 中, EF 二BC 八:,AF 」PB=:• AF 2+EF 2=A^,^ AEF 是以F 为直角顶点的等腰直角三角形, • / AEF=，可得异面直线BC 与AE 所成的角的大小为47T720. ( 14分)在厶ABC中，角A, B, C所对的边长分别为a, b, c,向重 | 一一二址.匚二二，-- :"■，.，且''-.(1)求角B;(2)若b=2，求△ ABC的面积的最大值.考点：平面向量数量积的运算；两角和与差的正弦函数；余弦定理.专题：解三角形.分析：(1 )利用数量积的运算法则、倍角公式、两角和差的正弦余弦公式及三角函数的单调性即可得出.(2)利用余弦定理和基本不等式即可得出ac< 4,再利用三角形的面积计算公式即可得出.解答：解：(1)，5 5二1 ,「•器］边- 2®/片1 ,•••拆匚g2B二2,五口(2B- —)二1, &又0V B<n,.・.—卫<證一6 6 6(2)v b=2, b2=a2+c2-2ac?cosB,•_ 二.-i - - ：；-：■：：!■ 一，即4=a2+c2—ac,•4=a2+c2- ac>2ac- ac=ac，即ac< 4,当且仅当a=c=2 时等号成立.—丄-「…：一，当a=b=c=2 时，「厂(:-:.点评：熟练掌握数量积的运算法则、倍角公式、两角和差的正弦余弦公式及三角函数的单调性、余弦定理和基本不等式、三角形的面积计算公式是解题的关键.21. ( 14分)抛物线C: y2=2px (p>0)的焦点恰是椭圆' =1的一个焦点，过点F (上，0)4 3 2 的直线与抛物线C交于点A, B.(1)求抛物线C的方程；(2)O是坐标原点，求△ AOB的面积的最小值；(3)O是坐标原点，证明：〔为定值.考点：椭圆的简单性质.专题：平面向量及应用；圆锥曲线的定义、性质与方程.分析：(1 )根据已知条件知抛物线C的焦点(专，0)是椭圆的右焦点(1, 0),这样便可求得p=2,也就得到了抛物线方程为y2=4x；| - -T -—.-、； -：■:，而△ AOB 的面积可表示成> 2;而不存在斜率时容易求得S=2,所以△ AOB 的面积的最小值为 2;（3）由（2）即可求出|「- •；,所以说「=■为定值.解答： 解：（1）由已知条件知（三.I ）= （1, 0）;2.p=2;•••抛物线C 的方程为y 2=4x ;2 2（2） F （1, 0）, .F 是抛物线C 的焦点，如图，设直（牛，和），B 〔冷一，y 2）;根据题意知k z 0,.••扯J*],带入抛物线方程 y 2=4x 并整理得:2;•••即 S >2;②当过F 的直线不存在斜率，即垂直于x 轴时，直线方程为 x=1 ;（2）过F 的直线根据题意可分成两种情况：存在斜率 k ，（ k z 0）,和不存在斜率•存在斜率k 时，方程为y=kx - k ，联立抛物线方程可得/4二。

虹口区2014届高三5月模拟考试（三模）数学文（时间120分钟，满分150分）一、填空题（每小题4分，满分56分） 1、θ是第二象限角，则2θ是第 象限角． 分析： 一或三2、复数z 满足1z z i -=-，则此复数z 所对应的点的轨迹方程是 . 分析：0x y -=．3、已知全集U R =，集合{}2230,A x x x x R =-->∈,{}22B x m x m =-≤≤+,若(){}03U C A B x x ⋂=≤≤，则实数m 的值为 .分析：[]1,3U C A =-，则2m =．4、一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与某一个球的直径相等，这时圆柱、圆锥、球 的体积之比为 .分析： 设底面半径为r ，则它们的高2h r =23122V r r r ππ=⋅=，23212233V r r r ππ=⋅=，3343V r π=，则123::3:1:2V V V =. 5、已知1tan 63πα⎛⎫-=⎪⎝⎭，则2cos 23πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为 . 分析：设6t πα=-，即6t πα=-，1tan 3t = 则()222tan 3cos 2cos 2cos 231tan 5t t t t παπ⎛⎫+=-=-=-=- ⎪+⎝⎭. 6、定义在R 上的奇函数()f x ，()12f -=，且当0x ≥时， ()()22xf x a x b =+++（,a b为常数），则()10f -的值为 .分析：()010f b =+=，b a f f +++=-=--=222)1()1(，则1-=b ,5-=a ，当0x ≥时，132)(--=x x f x，993)10()10(-=-=-f f .7、公差不为零的等差数列}{n a 中，237110a a a -+=，数列}{n b 是等比数列，且77a b =，则1213b b b ⋅等于 .分析：等差数列}{n a 中，237110a a a -+=，则27720a a -=，70,2a = 取772b a ==，13131213728192b b b b ⋅===.8、设x 、y 满足约束条件10103x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，则23z x y =-的最小值是 ．分析：6-9、已知等差数列{}n a 的通项公式为35n a n =-，则5671)1)1)x x x +++++（（（的展开式中4x 项的系数是数列{}n a 中的第 项． 分析： 2010、已知θ为实数，若复数)sin 211z iθθ=-+-是纯虚数，则z 的虚部为分析：sin 21sin 210410cos 2,2244k k k πθθπθππθθθππ⎧=⎧=+⎪-=⎧⎪⎪⎪⇒⇒⎨⎨-≠≠⎪⎪≠+-⎩⎪⎩ 则()524k k Z πθπ=+∈12θ-=-.z 的虚部为2-. 11、一个口袋内有4个不同的红球，6个不同的白球，若取一个红球记2分，取一个白球记1分，从中任取5个球，使总分不少于7分的取法有多少种 .分析：设取红球x 个，白球y 个，则5(04)27(06)x y x x y y +=≤≤⎧⎨+≥≤≤⎩234,,321x x x y y y ===⎧⎧⎧∴⎨⎨⎨===⎩⎩⎩，取法为233241464646186C C C C C C ++=. 12、棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -及其内部一动点P ，集合{}1Q P PA =≤,则集合Q构成的几何体表面积为 .分析： 221151341484S πππ=⋅⋅+⋅⋅= . 13、P 是双曲线221916x y －＝的右支上一点，M 、N 分别是圆22(5)4x y ++=和22(5)1x y -+=上的点，则PM PN -的最大值等于 .分析：两个圆心正好是双曲线的焦点，21max +=PF PM ，22max -=PF PN ，再根据双曲线的定义得 PM PN -的最大值等于9.14、设,x y 为实数，且满足：()()32014201320142013x x -+-=-，()()32014201320142013y y -+-=，则x y += .分析：()()()()332014201320142014201320142013x x y y -+-=-+-=-，令()()32013f t t t t R =+∈，则()f t 是递增函数，且()()20142014f x f y -=- 则20142014x y -=-，即4028x y +=.二、选择题（每小题5分，满分20分） 15、已知(2,1)a =，(1,)b k =-,如果a ∥b ，则实数k 的值等于（ ）.A 2 .B 2- .C12 .D 12- 分析：D16、已知a 、b 、c 是ABC ∆的三边长，且满足0222=ac b c b a ，则ABC ∆一定是（ ）．A 、等腰非等边三角形B 、等边三角形C 、直角三角形D 、等腰直角三角形分析： 方程化为0222222222=---++ca bc ab c b a ，选B .17、“1=a ”是“函数()||f x x a b =-+（,a b R ∈）在区间[)1,+∞上为增函数”的( )A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件分析：1=a 时，()|1|f x x b =-+在[)1,+∞上为增函数；反之，()||f x x a b =-+在区间[)1,+∞上为增函数，则1a ≤，故选A .18、如果函数()f x 在[,]a b 上的最大值和最小值分别为M 、m ，那么()()()b a m b a f x M b a -≤∆≤-.根据这一结论求出2212x--∆的取值范围（ ）. A 、[0,3] B 、3[,3]16 C 、33[,]162 D 、3[,3]2分析：求22x -在[]2,1-上的最值，选B .三、解答题（满分74分）19、（本题满分12分）如图，直四棱柱1111ABCD A B C D -底面ABCD 直角梯形，AB ∥CD ，90BAD ∠=︒，P 是棱CD 上一点，2AB =，AD =13AA =，3CP =，1PD =.）PC 21PC PB =1B B ⊥平面120、（本题满分14分）已知椭圆()222210x y a b a b+=>>，()11,0F -、()21,0F 是椭圆的左右焦点，且椭圆经过点31,2⎛⎫⎪⎝⎭. （1）求该椭圆方程；（2）过点1F 且倾斜角等于34π的直线l ，交椭圆于M 、N 两点，求2MF N ∆的面积.解（1）2224222214499019134a b a b b b a b ⎧=+⎧=⎪⎪⇒--=⇒⎨⎨+==⎪⎩⎪⎩，则椭圆方程为22143x y +=. …………………………6分 （2）设11(,)M x y ，22(,)N x y ，直线:1(1)l y x =-⋅+.……………………8分由22217880143y x x x x y =--⎧⎪⇒+-=⎨+=⎪⎩， (10)128x x +=-，128x x ⋅=-21、（本题满分14分）如图，C 、D 是两个小区所在地，C 、D 到一条公路AB 的垂直距离分别为1CA =km ，2DB =km ，AB 两端之间的距离为6km .（1）某移动公司将在AB 之间找一点P ，在P 处建造一个信号塔，使得P 对A 、C 的张角与P 对B 、D 的张角相等，试确定点P 的位置.（2）环保部门将在AB 之间找一点Q ，在Q 处建造一个垃圾处理厂，使得Q 对C 、D 所张角最大，试确定点Q 的位置.ABC DQPDC BA解：（1）设PA x =，CPA α∠=，DPB β∠=.依题意有1tan x α=，2tan 6xβ=-.……………………3分 由tan tan αβ=，得126x x=-，解得2x =，故点P 应选在距A 点2km 处.…………6分（2）设PA x =，CQA α∠=，DQB β∠=. 依题意有1tan x α=，2tan 6xβ=-， 21266tan tan[()]tan()126216x x x CQD x x x x παβαβ++-∠=-+=-+=-=-+-⋅-…………10分 令6t x =+，由06x <<，得612t <<，2261tan 7462187418x t CQD x x t t t t+∠===-+-++-， ………………12分747455274663tt ≤+<+=，74118183t t∴≤+-<，当7418180t t-≤+-<，所张的角为钝角，最大角当即6x =时取得，故点Q 应选在距A 点6-km 处.………………14分 22、（本题满分16分）阅读：应用上述解法，求解下列问题：（1）已知(),,0,a b c ∈+∞，1a b c ++=，求111y a b c=++的最小值； （2）已知10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求函数1812y x x=+-的最小值； （3）已知正数1a 、2a 、3,,n a a ，1231n a a a a ++++=，求证：2222312122334112n n a a a a S a a a a a a a a =++++≥++++. 解（1）()1111113b a c a c b y a b c a b c a b c a b a c b c ⎛⎫⎛⎫=++=++++=++++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ……………………………………2分而6b a c a c ba b a c b c+++++≥， 当且仅当13a b c ===时取到等号，则9y ≥，即111y a b c=++的最小值为9.………………………………5分（2）()28281222121028212212212x x y x x x x x x x x-⎛⎫=+=+⋅+-=+⋅+⋅⎪---⎝⎭， ………………………………7分而10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，122288212x x x x-⋅+⋅≥=-， 当且仅当12228212x xx x-⋅=⋅-，即110,62x ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭时取到等号，则18y ≥， 所以函数1812y x x=+-的最小值为18.……………………10分 （3）()()()2221212231122312nn n a a a S a a a a a a a a a a a a ⎛⎫=+++++++++⎡⎤⎪⎣⎦+++⎝⎭()()()()()22222221211223121211223112n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ⎡⎤=++++⋅++⋅+++⋅++⋅+⎢⎥++++⎣⎦()()()22221212231122221n n n a a a a a a a a a a a a ≥+++++++=+++=当且仅当121n a a a n ====时取到等号，则12S ≥.………………………16分 23、（本题满分18分）已知数列{}n a 和{}n b 满足：()()112,4,13213nn n n n a a a n b a n λ+==+-=--+，其中λ为实数，n 为正整数.（1）对任意实数λ，求证：123,,a a a 不成等比数列； （2）试判断数列{}n b 是否为等比数列，并证明你的结论；（3）设n S 为数列{}n b 的前n 项和.是否存在实数λ，使得对任意正整数n ，都有12n S >-?若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由.解（1）证明：假设存在一个实数λ，使123,,a a a 是等比数列，则有2213a a a =,即,094949494)494()332(222=⇔-=+-⇔-=-λλλλλλλ矛盾. 所以123,,a a a 不成等比数列.…………………………4分（2）因为()()()111121312112143n n n n n b a n a n ++++⎛⎫=--++=--+⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭22(1)(321)33n n n a n b =--+=-……………………6分 又1(18)b λ=-+,所以当18λ=-，10n b b ==，(n 为正整数)，此时{}n b 不是等比数列.……8分 当18λ≠-时，10b ≠，由上式可知0n b ≠，∴123n n b b +=-(n 为正整数) ， 故当18λ≠-时，数列{}n b 是以()18λ-+为首项，－32为公比的等比数列. ………………………………10分（3）由（2）知，当18λ=-时，0n b =, 则0n S =，所以12n S >-恒成立.当18λ≠-，得12(18)()3n n b λ-=-+-，于是n S =-.321·)18(53⎥⎦⎤⎢⎣⎡+n ）－（－　λ……………………………………13分要使对任意正整数n ，都有12n S >-成立，即32(18)[1()]1253nλ-+-->-2018213nλ<-⎛⎫-- ⎪⎝⎭，令2()13nf n ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭， 则当n 为正奇数时，()51;3f n <≤ 当n 为正偶数时，5()1,9f n ≤<∴()f n 的最大值为()513f =, 于是可得320186,5λ<⨯-=-综上所述，存在实数(,6)λ∈-∞-，使得对任意正整数n ，都有12n S >- ………………………………………………18分。

2014上海虹口区高考数学（文）三模试题及答案解析（时间120分钟，满分150分）一、填空题（每小题4分，满分56分）1、是第二象限角，则2是第象限角．分析：一或三2、复数z 满足1z z i ，则此复数z 所对应的点的轨迹方程是.分析：0xy ．3、已知全集UR ，集合2230,A x xx xR ,22Bx m x m ,若03U C ABx x，则实数m 的值为 . 分析：1,3U C A，则2m．4、一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与某一个球的直径相等，这时圆柱、圆锥、球的体积之比为 .分析：设底面半径为r ，则它们的高2hr 23122V rr r ，23212233V r rr ，3343V r ，则123::3:1:2V V V .5、已知1tan63，则2cos23的值为 .分析：设6t，即6t ，1tan 3t 则222tan 3cos2cos2cos 231tan 5t ttt .6、定义在R 上的奇函数f x ，12f ，且当0x 时，22xf xa xb （,a b为常数），则10f 的值为 . 分析：010f b ，b af f 222)1()1(，则1b,5a，当0x时，132)(x x f x，993)10()10(f f .7、公差不为零的等差数列}{n a 中，237110a aa ，数列}{nb 是等比数列，且77a b ，则1213b b b 等于 .分析：等差数列}{n a 中，237110a a a ，则27720a a，70,2a 取772b a ，13131213728192b b b b.8、设x 、y 满足约束条件10103xy x y x，则23zxy 的最小值是．分析：69、已知等差数列n a 的通项公式为35na n ，则5671)1)1)x x x （（（的展开式中4x 项的系数是数列n a 中的第项．分析：2010、已知为实数，若复数sin 212cos 1z i 是纯虚数，则z 的虚部为分析：sin 21sin 210422cos10cos2,2244kkk则524k k Z ，2cos 12.z 的虚部为2.11、一个口袋内有4个不同的红球，6个不同的白球，若取一个红球记2分，取一个白球记1分，从中任取5个球，使总分不少于7分的取法有多少种.分析：设取红球x 个，白球y 个，则5(04)27(06)x y x xyy234,,321x x xyyy ，取法为233241464646186C CC C C C.12、棱长为1的正方体1111ABCDA BC D 及其内部一动点P ，集合1QP PA,则集合Q构成的几何体表面积为.分析：221151341484S.13、P 是双曲线221916x y－＝的右支上一点，M 、N 分别是圆22(5)4x y和22(5)1x y上的点，则PM PN 的最大值等于 .分析：两个圆心正好是双曲线的焦点，21maxPF PM，22maxPF PN，再根据双曲线的定义得PM PN 的最大值等于9.14、设,x y 为实数，且满足：32014201320142013x x，32014201320142013yy，则x y.分析：332014201320142014201320142013xx yy，令32013f t tt t R ，则f t 是递增函数，且20142014f x f y则20142014xy ，即4028xy.二、选择题（每小题5分，满分20分）15、已知(2,1)a ，(1,)bk ,如果a ∥b ，则实数k 的值等于（）.A 2.B 2.C 12.D 12分析：D16、已知a 、b 、c 是ABC 的三边长，且满足0222acbc b a ，则ABC 一定是（）．A 、等腰非等边三角形B 、等边三角形C 、直角三角形D 、等腰直角三角形分析：方程化为0222222222cabcab cb a ，选B .17、“1a”是“函数()||f x x a b （,a bR ）在区间1,上为增函数”的( )A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件分析：1a时，()|1|f x x b 在1,上为增函数；反之，()||f x x a b 在区间1,上为增函数，则1a ，故选A .18、如果函数()f x 在[,]a b 上的最大值和最小值分别为M 、m ，那么()()()bam ba f x Mb a.根据这一结论求出2212x 的取值范围（）.A 、[0,3]B 、3[,3]16C 、33[,]162D 、3[,3]2分析：求22x 在2,1上的最值，选B .三、解答题（满分74分）19、（本题满分12分）如图，直四棱柱1111ABCDA BC D 底面ABCD 直角梯形，AB ∥CD ，90BAD ，P 是棱CD 上一点，2AB ，2AD ，13AA ，3CP，1PD .（1）求直四棱柱1111ABCDA BC D 的侧面积和体积；（2）求证：PB 平面11BCC B .解：（1）底面直角梯形的面积122S 底面梯形（AB+CD)AD=3，192V S AA 体积底面积,,,,,,,,2分过B 作BM CD 交CD 于M ，在R tB MC 中，2BM，2MC ，则6BC，,,,,,4分侧面积22643183236S 侧（）,,6分（2）2213332PC ，216315BC ，213PB 22211PCPBBC ，1PB BC ,,,,,,9分1B BABCD 平面，1B BPB .又1B BBC B ，PB平面11BCC B .,,12分20、（本题满分14分）已知椭圆222210x y a bab，11,0F 、21,0F 是椭圆的左右PDCBAD 1C 1B 1A 1MPDO CBAD 1C 1B 1A 1焦点，且椭圆经过点31,2.（1）求该椭圆方程；（2）过点1F 且倾斜角等于34的直线l ，交椭圆于M 、N 两点，求2MF N 的面积.解（1）2224222214499019134aba bbbab，则椭圆方程为22143xy.,,,,,,,,,,6分（2）设11(,)M x y ，22(,)N x y ，直线:1(1)l yx .,,,,,,,,8分由22217880143yx xx xy，,,,,,,,,101287x x ，1287x x 212121212211(1)(1)2MF NSF F y y y y x x x x 222112288122()44777x x x x .,,,,,,14分21、（本题满分14分）如图，C 、D 是两个小区所在地，C 、D 到一条公路AB 的垂直距离分别为1CAkm ，2DB km ，AB 两端之间的距离为6km .（1）某移动公司将在AB 之间找一点P ，在P 处建造一个信号塔，使得P 对A 、C 的张角与P 对B 、D 的张角相等，试确定点P 的位置.（2）环保部门将在AB 之间找一点Q ，在Q 处建造一个垃圾处理厂，使得Q 对C 、D 所张角最大，试确定点Q 的位置.ABCDQPDCBA解：（1）设PA x ，CPA，DPB.依题意有1tan x，2tan6x.,,,,,,,,3分由tantan，得126x x，解得2x ，故点P 应选在距A 点2km 处.,,,,6分（2）设PA x ，CQA，DQB.依题意有1tanx，2tan6x，21266tan tan[()]tan()126216x xx CQD xx x x,,,,10分令6t x ，由06x ，得612t ，2261tan 7462187418x tCQDxx tt tt，,,,,,,12分747455274663t t ，74127418183tt，当7427418180tt，所张的角为钝角，最大角当t=74，即746x 时取得，故点Q 应选在距A 点746km 处.,,,,,,14分22、（本题满分16分）阅读：已知a 、0,b ，1a b ，求12y a b的最小值.解法如下：121223322b a ya bab a bab，当且仅当2b a a b，即21,22a b 时取到等号，则12yab的最小值为322.应用上述解法，求解下列问题：（1）已知,,0,a b c，1a b c ，求111y abc的最小值；（2）已知10,2x ，求函数1812yxx的最小值；（3）已知正数1a 、2a 、3,,n a a ，1231na a a a ，求证：2222312122334112nn aaaaSa a a a a a a a .解（1）1111113b ac a c b yabcabcabcabacbc，,,,,,,,,,,,,,,2分而6b a c a c b aba cb c，当且仅当13a bc时取到等号，则9y，即111yabc的最小值为9.,,,,,,,,,,,,5分（2）28281222121028212212212x x yx x xxxxxx，,,,,,,,,,,,,7分而10,2x ，122282168212x x x x，当且仅当12228212x x x x，即110,62x时取到等号，则18y ，所以函数1812yxx的最小值为18.,,,,,,,,10分（3）2221212231122312nn n aa a Sa a a a a a a a a a a a 22222221211223121211223112nnn na aa aaaaa a a a a a a a a a a a a a a a 22221212231122221nn naaa a a a a a a a a a 当且仅当121na a a n时取到等号，则12S.,,,,,,,,,16分23、（本题满分18分）已知数列n a 和n b 满足：112,4,13213nnnn na a a nb a n ，其中为实数，n 为正整数.（1）对任意实数，求证：123,,a a a 不成等比数列；（2）试判断数列n b 是否为等比数列，并证明你的结论；（3）设n S 为数列n b 的前n 项和.是否存在实数，使得对任意正整数n ，都有12n S ?若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由.解（1）证明：假设存在一个实数，使123,,a a a 是等比数列，则有2213aa a ,即,094949494)494()332(222矛盾.所以123,,a a a 不成等比数列.,,,,,,,,,,4分（2）因为111121312112143n n nnnb a n a n 22(1)(321)33nnn a n b ,,,,,,,,6分又1(18)b ,所以当18，10nb b ，(n 为正整数)，此时n b 不是等比数列.,,8分当18时，10b ，由上式可知0nb ，∴123n nb b (n 为正整数)，故当18时，数列n b 是以18为首项，－32为公比的等比数列.,,,,,,,,,,,,10分（3）由（2）知，当18时，0n b , 则0nS ，所以12n S 恒成立.当18，得12(18)()3n nb ，于是nS .321·)18(53n）－（－　,,,,,,,,,,,,,,13分要使对任意正整数n ，都有12n S 成立，即32(18)[1()]1253n2018213n，令2()13nf n ，则当n为正奇数时，51;3f n当n为正偶数时，5()1,9f n∴f n的最大值为513f, 于是可得320186,5综上所述，存在实数(,6)，使得对任意正整数n，都有12nS ,,,,,,,,,,,,,,,,,,18分。

2014年上海市虹口区高考数学一模试卷一、填空题（每小题4分，满分56分）1．（4分）已知全集，A＝{x|x﹣m＝0}，如果∁U A＝，则m ＝．2．（4分）不等式|2x﹣1|﹣|x﹣2|＜0的解集为．3．（4分）如果λ＞sin x+cos x对一切x∈R都成立，则实数λ的取值范围是．4．（4分）从长度分别为2，3，4，5的四条线段中任意取出三条，以这三条线段为边可以构成三角形的概率是．5．（4分）双曲线的焦点到渐近线的距离等于．6．（4分）已知y＝f（x）是定义在R上的偶函数，且在[0，+∞）上单调递增，则满足f（m）＜f（1）的实数m的范围是．7．（4分）已知（1+ax）6的展开式中，含x3项的系数等于160，则实数a＝．8．（4分）已知{a n}是各项均为正数的等比数列，且a1与a5的等比中项为2，则a2+a4的最小值等于．9．（4分）已知椭圆的中心在原点，一个焦点与抛物线y2＝8x的焦点重合，一个顶点的坐标为，则此椭圆方程为．10．（4分）给出以下四个命题：（1）对于任意的a＞0，b＞0，则有a lgb＝b lga成立；（2）直线y＝x•tanα+b的倾斜角等于α；（3）在空间如果两条直线与同一条直线垂直，那么这两条直线平行；（4）在平面将单位向量的起点移到同一个点，终点的轨迹是一个半径为1的圆．其中真命题的序号是．11．（4分）已知y＝f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，，则此函数的值域为．12．（4分）已知函数f（x）＝10x，对于实数m、n、p有f（m+n）＝f（m）+f （n），f（m+n+p）＝f（m）+f（n）+f（p），则p的最大值等于．13．（4分）已知函数，且a n＝f（n）+f（n+1），则a1+a2+a3+…+a2014＝．14．（4分）函数f（x）＝2sinπx与函数的图象所有交点的橫坐标之和为．二、选择题（每小题5分，满分20分）15．（5分）已知，，则下列结论中正确的是（）A．B．C．D．16．（5分）函数，下列结论不正确的（）A．此函数为偶函数B．此函数是周期函数C．此函数既有最大值也有最小值D．方程f[f（x）]＝1的解为x＝117．（5分）在△A n B n∁n中，记角A n、B n、∁n所对的边分别为a n、b n、c n，且这三角形的三边长是公差为1的等差数列，若最小边a n＝n+1，则＝（）A．B．C．D．18．（5分）如图1，一个密闭圆柱体容器的底部镶嵌了同底的圆锥实心装饰块，容器内盛有a升水．平放在地面，则水面正好过圆锥的顶点P，若将容器倒置如图2，水面也恰过点P．以下命题正确的是（）A．圆锥的高等于圆柱高的B．圆锥的高等于圆柱高的C．将容器一条母线贴地，水面也恰过点PD．将容器任意摆放，当水面静止时都过点P三、解答题（满分74分）19．（12分）如图在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝a，AD＝b，AC1＝c，点M为AB的中点，点N为BC的中点．（1）求长方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积；（2）若a＝4，b＝2，，求异面直线A1M与B1N所成的角．20．（14分）已知．，其中α、β为锐角，且．（1）求cos（α﹣β）的值；（2）若，求cosα及cosβ的值．21．（14分）数列{a n}是递增的等差数列，且a1+a6＝﹣6，a3•a4＝8．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{a n}的前n项和S n的最小值；（3）求数列{|a n|}的前n项和T n．22．（16分）已知圆C过定点A（0，1），圆心C在抛物线x2＝2y上，M、N为圆C与x轴的交点．（1）当圆心C是抛物线的顶点时，求抛物线准线被该圆截得的弦长．（2）当圆心C在抛物线上运动时，|MN|是否为一定值？请证明你的结论．（3）当圆心C在抛物线上运动时，记|AM|＝m，|AN|＝n，求的最大值，并求出此时圆C的方程．23．（18分）设函数．（1）求函数f2（x）在上的值域；（2）证明对于每一个n∈N*，在上存在唯一的x n，使得f n（x n）＝0；（3）求f1（a）+f2（a）+…+f n（a）的值．2014年上海市虹口区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题（每小题4分，满分56分）1．（4分）已知全集，A＝{x|x﹣m＝0}，如果∁U A＝，则m ＝2．【解答】解：由A中的方程解得：x＝m，即A＝{m}，∵全集U＝{0，1，2}，∁U A＝{0，1}，∴A＝{2}，则m＝2．故答案为：22．（4分）不等式|2x﹣1|﹣|x﹣2|＜0的解集为{x|﹣1＜x＜1}．【解答】解：|2x﹣1|﹣|x﹣2|＜0移向得：|2x﹣1|＜|x﹣2|两边同时平方得（2x﹣1）2＜（x﹣2）2即：4x2﹣4x+1＜x2﹣4x+4，整理得：x2＜1，即﹣1＜x＜1故答案为：{x|﹣1＜x＜1}．3．（4分）如果λ＞sin x+cos x对一切x∈R都成立，则实数λ的取值范围是．【解答】解：∵sin x+cos x＝，∴sin x+cos x的最大值为，∴要使λ＞sin x+cos x对一切x∈R都成立，则λ＞．故答案为：．4．（4分）从长度分别为2，3，4，5的四条线段中任意取出三条，以这三条线段为边可以构成三角形的概率是．【解答】解：由题意知，本题是一个古典概率∵试验发生包含的基本事件为2，3，4；2，3，5；2，4，5；3，4，5共4种；而满足条件的事件是可以构成三角形的事件为2，3，4；2，4，5；3，4，5共3种；∴以这三条线段为边可以构成三角形的概率是．故答案为：5．（4分）双曲线的焦点到渐近线的距离等于3．【解答】解：由题意可得双曲线中，a＝2，b＝3，c＝，故其焦点为（±，0），渐近线方程为y＝±x＝±x，不妨取焦点（，0），渐近线y＝﹣x，即3x+2y＝0，由点到直线的距离公式可得：所求距离d＝故答案为：36．（4分）已知y＝f（x）是定义在R上的偶函数，且在[0，+∞）上单调递增，则满足f（m）＜f（1）的实数m的范围是﹣1＜m＜1．【解答】解：∵函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞）上单调递增．∴不等式f（m）＜f（1）等价为f（|m|）＜f（1），即|m|＜1，∴﹣1＜m＜1，即实数m的取值范围是﹣1＜m＜1，故答案为：﹣1＜m＜1．7．（4分）已知（1+ax）6的展开式中，含x3项的系数等于160，则实数a＝2．【解答】解：∵（1+ax）6的展开式为T r+1＝•（ax）r，令r＝3，可得含x3项的系数等于a3•＝160，解得a＝2，故答案为：2．8．（4分）已知{a n}是各项均为正数的等比数列，且a1与a5的等比中项为2，则a2+a4的最小值等于4．【解答】解：∵等比数列{a n}，a1与a5的等比中项为2，∴a1a5＝4，∵等比数列{a n}各项均为正数，∴a 2+a4≥＝＝4，当且仅当a1＝a5＝2时，取等号，∴a1＝a5＝2时，a2+a4的最小值为4．故答案为：49．（4分）已知椭圆的中心在原点，一个焦点与抛物线y2＝8x的焦点重合，一个顶点的坐标为，则此椭圆方程为．【解答】解：抛物线y2＝8x的焦点为F（2，0），∵椭圆的中心在原点，一个焦点与抛物线y2＝8x的焦点重合，∴F（2，0）为椭圆的右焦点，设椭圆的方程为（a＞b＞0），∵椭圆的一个顶点的坐标为，且c＝2．∴，解得a2＝8且b2＝4，∴椭圆的方程为．故答案为：10．（4分）给出以下四个命题：（1）对于任意的a＞0，b＞0，则有a lgb＝b lga成立；（2）直线y＝x•tanα+b的倾斜角等于α；（3）在空间如果两条直线与同一条直线垂直，那么这两条直线平行；（4）在平面将单位向量的起点移到同一个点，终点的轨迹是一个半径为1的圆．其中真命题的序号是（1）（4）．【解答】解：（1）中，∵a＞0，b＞0，若a lgb＝b lga，则lga lgb＝lgb lga，即lgb•lga ＝lga•lgb成立，∴命题正确；（2）中，直线y＝x•tanα+b的斜率是k＝tanα，当α∈[0，π）且α≠时，倾斜角等于α，否则，命题不成立；（3）中，在空间如果两条直线与同一条直线垂直，那么这两条直线不一定平行，也可能异面或相交，∴命题不成立；（4）中，∵单位向量的模长是1，∴在平面内将单位向量的起点移到同一个点，终点的轨迹是一个半径为1的圆，命题正确；∴正确的命题有（1）（4）；故答案为：（1）（4）．11．（4分）已知y＝f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，，则此函数的值域为．【解答】解：设t＝，当x≥0时，2x≥1，∴0＜t≤1，f（t）＝﹣t2+t＝﹣+，∴0≤f（t）≤，故当x≥0时，f（x）∈[0，]；∵y＝f（x）是定义在R上的奇函数，∴当x≤0时，f（x）∈[﹣，0]；故函数的值域时[﹣，]．12．（4分）已知函数f（x）＝10x，对于实数m、n、p有f（m+n）＝f（m）+f （n），f（m+n+p）＝f（m）+f（n）+f（p），则p的最大值等于2lg2﹣lg3．【解答】解：由f（x）＝10x得：f（m+n）＝f（m）f（n），∵f（m+n）＝f（m）+f（n），∴f（m）f（n）＝f（m）+f（n），设f（m）f（n）＝f（m）+f（n）＝t，则f（m）、f（n）是x2﹣tx+t＝0的解，∵△＝t2﹣4t≥0，∴t≥4或t≤0（舍去）．又f（m+n+p）＝f（m）f（n）f（p）＝f（m）+f（n）+f（p），∴tf（p）＝t+f（p），∴f（p）＝＝1+（t≥4），显然t越大，f（p）越小，∴当t＝4时，f（p）取最大值，又f（p）＝10p，∴f（p）取到最大值时，p也取到最大值，即p max＝lg＝2lg2﹣lg3．13．（4分）已知函数，且a n＝f（n）+f（n+1），则a1+a2+a3+…+a2014＝﹣4032．【解答】解：∵f（n）＝n2sin，∴a n＝f（n）+f（n+1）＝n2sin+（n+1）2sin＝n2sin+（n+1）2cos，∴a1＝1，a2＝a3＝﹣32，a4＝a5＝52，a6＝a7＝﹣72，…a2012＝a2013＝20132，a2014＝﹣20152．∴a1+a2+a3+…+a2014＝（a1+a3+…+a2013）+（a2+a4+…+a2014）＝[（1﹣32）+（52﹣72）+…+（20092﹣20112）+20132]+[（﹣32+52）+（﹣72+92）+…+（﹣20112+20132）﹣20152]＝﹣2（4+12+20+…+4020）+20132+2（8+16+…+4024）﹣20152＝﹣2×+2×﹣20152+20132＝503×8﹣2×4028＝﹣4032．14．（4分）函数f（x）＝2sinπx与函数的图象所有交点的橫坐标之和为17．【解答】解：函数关于（1，0）对称，函数g（x）单调递增，且函数f（x）＝2sinπx也关于（1，0）对称，由，解得x﹣1＝8，即x＝9，由，解得x﹣1＝﹣8，即x＝﹣7，∴两个函数f（x）和g（x）共有17个交点，除（1，0）外，其他16个交点关于（1，0）对称，设对称的两个点的横坐标分别为a，b，则，即a+b＝2，∴函数f（x）＝2sinπx与函数的图象所有交点的橫坐标之和为：8（a+b）+1＝8×2+1＝17．故答案为：17．二、选择题（每小题5分，满分20分）15．（5分）已知，，则下列结论中正确的是（）A．B．C．D．【解答】解：∵，，∴＝（﹣1，1），∴＝﹣1×1+1×1＝0，∴，故选：A．16．（5分）函数，下列结论不正确的（）A．此函数为偶函数B．此函数是周期函数C．此函数既有最大值也有最小值D．方程f[f（x）]＝1的解为x＝1【解答】解：A．若x为有理数，则﹣x也为有理数，∴f（﹣x）＝f（x）＝1，若x为无理数，则﹣x也无有理数，∴f（﹣x）＝f（x）＝π，∴恒有f（﹣x）＝f（x），∴函数f（x）为偶函数．∴A正确．B．设T为一个正数．当T为无理数时，有f（0）＝1，f（0+T）＝f（T）＝π，∴f（0）＝f（0+T）不成立，∴T不可能是f（x）的周期；当T为有理数时，若x为有理数，易知x+kT（k为整数）还是有理数，有f（x+T）＝f（x），若x为无理数，易知x+kT（k为整数）还是无理数，仍有f（x+T）＝f（x）．综上可知，任意非0有理数都是f（x）的周期．此命题也是对的．C．由分段函数的表达式可知，当x为有理数时，f（x）＝1，当x为无理数时，f（x）＝π，∴函数的最大值为π，最小值为1，∴C正确．D．当x为有理数时，f（x）＝1，则f[f（x）]＝f（1）＝1，此时方程成立．当x为无理数时，f（x）＝π，则f[f（x）]＝f（π）＝π，∴D错误．故选：D．17．（5分）在△A n B n∁n中，记角A n、B n、∁n所对的边分别为a n、b n、c n，且这三角形的三边长是公差为1的等差数列，若最小边a n＝n+1，则＝（）A．B．C．D．【解答】解：∵三角形的三边a n、b n、c n，是公差为1的等差数列，且最小边a n ＝n+1，∴b n＝n+2，c n＝n+3．由余弦定理可得：cos∁n＝＝，∴＝＝．∴．故选：B．18．（5分）如图1，一个密闭圆柱体容器的底部镶嵌了同底的圆锥实心装饰块，容器内盛有a升水．平放在地面，则水面正好过圆锥的顶点P，若将容器倒置如图2，水面也恰过点P．以下命题正确的是（）A．圆锥的高等于圆柱高的B．圆锥的高等于圆柱高的C．将容器一条母线贴地，水面也恰过点PD．将容器任意摆放，当水面静止时都过点P【解答】解：设圆柱的高为H，圆锥的高为h，由题意知，Sh﹣Sh＝Sh＝S（H﹣h）⇒h＝H，∴A、B错误；∵由旋转体的性质得，将容器一条母线贴地，过高中点的平面，分几何体为体积相等的两部分，∴C正确；∵斜放几何体时，几何体的体积不对称，∴D错误．故选：C．三、解答题（满分74分）19．（12分）如图在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝a，AD＝b，AC1＝c，点M为AB的中点，点N为BC的中点．（1）求长方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积；（2）若a＝4，b＝2，，求异面直线A1M与B1N所成的角．【解答】解：（1）连AC、AC1，∵△ABC是直角三角形，∴．∵ABCD﹣A1B1C1D1是长方体，∴C1C⊥BC，C1C⊥CD，又DC∩BC＝C，∴C1C⊥平面ABCD，∴C1C⊥AC．又在Rt△ACC1中，AC1＝c，，∴，∴（2）取AD的中点E，连A1E、EM，∵，∴四边形A 1B1NE为平行四边形，∴A1E∥B1N，∴∠EA1M等于异面直线A1M与B1N所成的角或其补角．∵AM＝2，AE＝1，AA 1＝1，得，，，∴，．∴异面直线A1M与B1N所成的角等于20．（14分）已知．，其中α、β为锐角，且．（1）求cos（α﹣β）的值；（2）若，求cosα及cosβ的值．【解答】解：（1）∵，，，∴，平方整理，得，解得因此，；（2）∵，∴．∵α为锐角，∴，又∵α﹣β∈（﹣，），∴，①当时，．②当时，cosβ＝cos[α﹣（α﹣β）]＝cosα•cos（α﹣β）+sinα•sin（α﹣β）＝0．又∵β为锐角，∴cosβ＝0不符合题意，舍去．因此可得cosβ的值为．21．（14分）数列{a n}是递增的等差数列，且a1+a6＝﹣6，a3•a4＝8．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{a n}的前n项和S n的最小值；（3）求数列{|a n|}的前n项和T n．【解答】解：（1）由得：，∴a3、a4是方程x2+6x+8＝0的二个根，∴x1＝﹣2，x2＝﹣4；∵等差数列{a n}是递增数列，∴a3＝﹣4，a4＝﹣2，∴公差d＝2，a1＝﹣8．∴a n＝2n﹣10；（2）∵S n＝＝n2﹣9n＝﹣，∴（S n）min＝S4＝S5＝﹣20；（3）由a n≥0得2n﹣10≥0，解得n≥5，此数列前四项为负的，第五项为0，从第六项开始为正的．当1≤n≤5且n∈N*时，T n＝|a1|+|a2|+…+|a n|＝﹣（a1+a2+…+a n）＝﹣S n＝﹣n2+9n；当n≥6且n∈N*时，T n＝|a1|+|a2|+…+|a5|+|a6|+…+|a n|＝﹣（a1+a2+…+a5）+（a6+…+a n）＝S n﹣2S5＝n2﹣9n﹣2（25﹣45）＝n2﹣9n+40．∴T n＝．22．（16分）已知圆C过定点A（0，1），圆心C在抛物线x2＝2y上，M、N为圆C与x轴的交点．（1）当圆心C是抛物线的顶点时，求抛物线准线被该圆截得的弦长．（2）当圆心C在抛物线上运动时，|MN|是否为一定值？请证明你的结论．（3）当圆心C在抛物线上运动时，记|AM|＝m，|AN|＝n，求的最大值，并求出此时圆C的方程．【解答】解：（1）抛物线x2＝2y的顶点为，准线方程为，∵圆C过定点，圆心C是抛物线的顶点，∴圆的半径等于1，圆C的方程为x2+y2＝1．∴弦长…（4分）（2）设圆心，则圆C的半径，圆C的方程是为：…（6分）令y＝0，得x2﹣2ax+a2﹣1＝0，得x1＝a﹣1，x2＝a+1，∴|MN|＝|x2﹣x1|＝2是定值．…（8分）（3）由（2）知，不妨设，，，．．…（11分）当a＝0时，．…（12分）当a≠0时，．当且仅当时，等号成立…（14分）所以当时，取得最大值，此时圆C的方程为．…（16分）23．（18分）设函数．（1）求函数f2（x）在上的值域；（2）证明对于每一个n∈N*，在上存在唯一的x n，使得f n（x n）＝0；（3）求f1（a）+f2（a）+…+f n（a）的值．【解答】（1）解：，由，令，则y＝4t2+2t﹣4．对称轴，∴y＝4t2+2t﹣4在上单调递增，∴f2（x）在上的值域为．…（4分）（2）证明：∵对于1≤x1＜x2≤2，m∈N*有，，从而，∴，m∈N*，在上单调递减，∴，在上单调递减．又，．…（7分）当n≥2时，，又f1（2）＝﹣2+1＝﹣1＜0，即对于任意自然数n有，∴对于每一个n∈N*，存在唯一的，使得f n（x n）＝0…（11分）（3）解：．当a＝2时，，∴．…（14分）当a≠2且a≠0时，．∴…（18分）。

2014-2015学年上海市虹口高中高三（上）摸底数学试卷一、填空题（每小题4分，满分56分）1．已知集合，则A∩B=．2．已知向量=（2，﹣1），=（﹣1，m），=（﹣1，2），若（+）∥，则m= ．3．在二项式的展开式中，常数项等于．4．若复数z满足||=1+i，（其中i为虚数单位），则|z| ．5．不等式x2﹣2x+3≤a2﹣2a﹣1在R上的解集是∅，则实数a的取值范围是．6．已知数列{a n}是等差数列，a4=15，S5=55，则过点P（4，a2010）和点Q（3，a2011）的直线的倾斜角是．（用反三角函数表示结果）7．若圆锥的侧面积为20π，且母线与底面所成的角为，则该圆锥的体积为．8．等轴双曲线C：x2﹣y2=a2与抛物线y2=16x的准线交于A、B两点，|AB|=4，则双曲线C的实轴长等于．9．设{a n}是公比为q的等比数列，|q|＞1，令b n=a n+1（n=1，2，…），若数列{b n}有连续四项在集合{﹣53，﹣23，19，37，82}中，则6q= ．10．将3本数学书4本英语书和2本语文书排成一排，则三本数学书排在一起的概率为．11．定义：关于x的不等式|x﹣A|＜B的解集叫A的B邻域．若a+b﹣2的a+b邻域为区间（﹣2，2），则a2+b2的最小值是．12．已知函数，若函数g（x）=f（x）﹣m有3个零点，则实数m的取值范围是．13．在面积为2的△ABC中，E，F分别是AB，AC的中点，点P在直线EF上，则的最小值是．14．在直角坐标系中，如果两点A（a，b），B（﹣a，﹣b）在函数y=f（x）的图象上，那么称[A，B]为函数f（x）的一组关于原点的中心对称点（[A，B]与[B，A]看作一组）．则函数g（x）=关于原点的中心对称点的组数为．二、选择题（每小题5分，满分20分）15．命题A：|x﹣1|＜3，命题B：（x+2）（x+a）＜0；若A是B的充分而不必要条件，则a 的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣4） B． [4，+∞）C．（4，+∞）D．（﹣∞，﹣4]16．己知空间两条直线m，n，两个平面α，β，给出下面四个命题：①m∥n，m⊥α⇒n⊥α；②α∥β，m⊊α，n⊊β⇒m∥n；③m∥n，m∥α⇒n∥α；④α∥β，m∥n，m⊥α⇒n⊥β；其中正确命题的序号是（）A．①④B．②③C．①②④D．①③④17．将函数y=f（x）的图象向右平移个单位，再向上平移1个单位后得到的函数对应的表达式为y=2sin2x，则函数f（x）的表达式可以是（）A． 2sinx B． 2cosx C． sin2x D． cos2x18．已知集合M={（x，y）|y=f（x）}，若对于任意（x1，y1）∈M，存在（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，则称集合M是“好集合”．给出下列4个集合：①②M={（x，y）|y=e x﹣2}③M={（x，y）|y=cosx}④M={（x，y）|y=lnx}其中所有“好集合”的序号是（）A．①②④B．②③C．③④D．①③④三、解答题19．如图已知四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为6的正方形，侧棱PA的长为8，且垂直于底面，点M、N分别是DC、AB的中点．求（1）异面直线PM与CN所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；（2）四棱锥P﹣ABCD的表面积．20．设△ABC三个内角A、B、C所对的边分别为a，b，c．已知C=，acosA=bcosB．（1）求角A的大小；（2）如图，在△ABC的外角∠ACD内取一点P，使得PC=2．过点P分别作直线CA、CD的垂线PM、PN，垂足分别是M、N．设∠PCA=α，求PM+PN的最大值及此时α的取值．21．已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长为4，且点在椭圆C上．（1）求椭圆C的方程；（2）设P是椭圆C长轴上的一个动点，过P作方向向量的直线l交椭圆C于A、B两点，求证：|PA|2+|PB|2为定值．22．已知函数f（x）=ax2﹣|x|+2a﹣1（a为实常数）．（1）若a=1，作函数f（x）的图象；（2）设f（x）在区间[1，2]上的最小值为g（a），求g（a）的表达式；（3）设，若函数h（x）在区间[1，2]上是增函数，求实数a的取值范围．23．若数列{a n}的每一项都不为零，且对于任意的n∈N*，都有=q（q为常数），则称数列{a n}为“类等比数列”．已知数列{b n}满足：b1=b（b∈R，b≠0），对于任意的n∈N*，都有b n•b n+1=2n+1．（1）求证：数列{b n}是“类等比数列”；（2）若{b n}是单调递增数列，求实数b的取值范围；（3）设数列{b n}的前n项和为S n，试探讨是否存在，说明理由．2014-2015学年上海市虹口高中高三（上）摸底数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（每小题4分，满分56分）1．已知集合，则A∩B=[﹣1，3）．考点：交集及其运算．专题：计算题．分析：利用指数函数的性质求出集合A中不等式的解集，确定出集合A，求出集合B中函数的定义域，确定出B，找出两集合的公共部分，即可求出两集合的交集．解答：解：集合A中的不等式变形得：2﹣1≤2x＜24，解得：﹣1≤x＜4，∴A=[﹣1，4）；由集合B中函数得：9﹣x2＞0，即x2＜9，解得：﹣3＜x＜3，∴B=（﹣3，3），则A∩B=[﹣1，3）．故答案为：[﹣1，3）点评：此题属于以其他不等式的解法及函数的定义域为平台，考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．已知向量=（2，﹣1），=（﹣1，m），=（﹣1，2），若（+）∥，则m= ﹣1 ．考点：平面向量共线（平行）的坐标表示．分析：先求出两个向量的和的坐标，再根据向量平行的充要条件写出关于m的等式，解方程得到要求的数值，注意公式不要用错公式．解答：解：∵+=（1，m﹣1），∵（+）∥∴1×2﹣（m﹣1）×（﹣1）=0，所以m=﹣1故答案为：﹣1点评：掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题，能用坐标形式的充要条件解决求值问题．3．在二项式的展开式中，常数项等于160 ．考点：二项式定理．专题：计算题．分析：展开式的通项为=，要求常数项，只要令6﹣2r=0可得r，代入即可求解答：解：展开式的通项为=令6﹣2r=0可得r=3常数项为=160故答案为：160点评：本题主要考查了利用二项展开式的通项求解指定项，属于基础试题4．若复数z满足||=1+i，（其中i为虚数单位），则|z| ．考点：复数求模．专题：数系的扩充和复数．分析：利用行列式偶的运算性质可得zi﹣2=1+i，化简再利用模的计算公式即可得出．解答：解：∵=1+i，∴zi﹣2=1+i，化为zi=3+i，∴﹣i•iz=﹣i（3+i），∴z=1﹣3i．∴|z|==．故答案为：．点评：本题考查了行列式的运算性质、复数的运算性质、模的计算公式，属于基础题．5．不等式x2﹣2x+3≤a2﹣2a﹣1在R上的解集是∅，则实数a的取值范围是{a|﹣1＜a＜3} ．考点：一元二次不等式的解法．专题：计算题．分析：把不等式的右边移项到左边合并后，设不等式的坐标为一个开口向上的抛物线，由不等式的解集为空集，得到此二次函数与x轴没有交点即根的判别式小于0，列出关于a的不等式，求出不等式的解集即可得到a的取值范围．解答：解：由x2﹣2x+3≤a2﹣2a﹣1移项得：x2﹣2x+3﹣a2+2a+1≤0，因为不等式的解集为∅，所以△=4﹣4（3﹣a2+2a+1）＜0，即a2﹣2a﹣3＜0，分解因式得：（a﹣3）（a+1）＜0，解得：﹣1＜a＜3，则实数a的取值范围是：{a|﹣1＜a＜3}．故答案为：{a|﹣1＜a＜3}点评：此题考查学生掌握二次函数与x轴有无交点的判断方法，考查了一元二次不等式的解法，是一道综合题．6．已知数列{a n}是等差数列，a4=15，S5=55，则过点P（4，a2010）和点Q（3，a2011）的直线的倾斜角是π﹣arctan4 ．（用反三角函数表示结果）考点：直线的倾斜角；等差数列的性质；反三角函数的运用．专题：计算题．分析：由题意可得，a1+3d=15，5a1+=55，解得 a1=3，d=4，直线的斜率为=﹣d=﹣4，由tanθ=﹣4，和θ的范围，求出θ值．解答：解：设公差为d，由题意可得，a1+3d=15，5a1+=55，解得 a1=3，d=4．则过点P（4，a2010）和点Q（3，a2011）的直线的斜率为=﹣d=﹣4，设直线的倾斜角是θ，则 tanθ=﹣4，又0≤θ＜π，∴θ=π﹣arctan4，故答案为π﹣arctan4．点评：本题考查等差数列的定义和性质，通项公式，直线的倾斜角和斜率的关系，以及倾斜角的取值范围，已知三角函数值求角的大小，求出首项a1和公差d的值，是解题的关键．7．若圆锥的侧面积为20π，且母线与底面所成的角为，则该圆锥的体积为16π．考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．分析：根据圆锥的侧面积和圆锥的母线长求得圆锥的弧长，利用圆锥的侧面展开扇形的弧长等于圆锥的底面周长求得圆锥的底面半径即可．解答：解：∵设圆锥的母线长是l，底面半径为r，母线与底面所成的角为，可得①∵侧面积是20π，∴πrl=20π，②由①②解得：r=4，l=5，故圆锥的高h===3则该圆锥的体积为：×πr2×3=16π故答案为：16π．点评：本题考查了圆锥的有关计算，解题的关键是正确的进行圆锥与扇形的转化．8．等轴双曲线C：x2﹣y2=a2与抛物线y2=16x的准线交于A、B两点，|AB|=4，则双曲线C的实轴长等于 4 ．考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：抛物线y2=16x的准线为x=﹣4．与双曲线的方程联立解得．可得4=|AB|=，解出a 即可得出．解答：解：抛物线y2=16x的准线为x=﹣4．联立，解得．∴4=|AB|=，解得a2=4．∴a=2．∴双曲线C的实轴长等于4．故答案为：4．点评：本题考查了抛物线与双曲线的标准方程及其性质，属于基础题．9．设{a n}是公比为q的等比数列，|q|＞1，令b n=a n+1（n=1，2，…），若数列{b n}有连续四项在集合{﹣53，﹣23，19，37，82}中，则6q= ﹣9 ．考点：等比数列的性质；数列的应用．专题：等差数列与等比数列．分析：根据B n=A n+1可知 A n=B n﹣1，依据{Bn}有连续四项在{﹣53，﹣23，19，37，82}中，则可推知则{A n}有连续四项在{﹣54，﹣24，18，36，81}中，按绝对值的顺序排列上述数值，相邻相邻两项相除发现﹣24，36，﹣54，81是{A n}中连续的四项，求得q，进而求得6q．解答：解：{Bn}有连续四项在{﹣53，﹣23，19，37，82}中B n=A n+1 A n=B n﹣1则{A n}有连续四项在{﹣54，﹣24，18，36，81}中{A n}是等比数列，等比数列中有负数项则q＜0，且负数项为相隔两项等比数列各项的绝对值递增或递减，按绝对值的顺序排列上述数值18，﹣24，36，﹣54，81相邻两项相除=﹣=﹣=﹣=﹣很明显，﹣24，36，﹣54，81是{A n}中连续的四项q=﹣或 q=﹣（|q|＞1，∴此种情况应舍）∴q=﹣∴6q=﹣9故答案为：﹣9点评：本题主要考查了等比数列的性质．属基础题．10．将3本数学书4本英语书和2本语文书排成一排，则三本数学书排在一起的概率为．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：所有的排法共有种，其中三本数学书排在一起的方法有种，由此求得三本数学书排在一起的概率．解答：解：所有的排法共有种，其中三本数学书排在一起的方法有种，故三本数学书排在一起的概率为=，故答案为．点评：本题考查古典概型及其概率计算公式的应用，相邻问题的排列，属于基础题．11．定义：关于x的不等式|x﹣A|＜B的解集叫A的B邻域．若a+b﹣2的a+b邻域为区间（﹣2，2），则a2+b2的最小值是 2 ．考点：绝对值不等式的解法．专题：计算题．分析：根据新定义由题意得：|x﹣（a+b﹣2）|＜a+b的解集为区间（﹣2，2），从而得到关于 a，b的等量关系，再利用基本不等式求得a2+b2的最小值．解答：解：由题意得：|x﹣（a+b﹣2）|＜a+b的解集为区间（﹣2，2），∵|x﹣（a+b﹣2）|＜a+b⇔（﹣2，2（a+b）﹣2），∴2（a+b）﹣2=2，⇒a+b=2，∴a2+b2≥（a+b）2=2，当且仅当a=b时取等号，则a2+b2的最小值是2．故答案为：2．点评：本小题主要考查绝对值不等式的解法、基本不等式等基础知识，考查运算求解能力与化归与转化思想．属于基础题．12．已知函数，若函数g（x）=f（x）﹣m有3个零点，则实数m的取值范围是（0，1）．考点：函数的零点与方程根的关系；分段函数的解析式求法及其图象的作法．专题：数形结合．分析：将方程的零点问题转化成函数的交点问题，作出函数的图象得到m的范围．解答：解：令g（x）=f（x）﹣m=0，得m=f（x）作出y=f（x）与y=m的图象，要使函数g（x）=f（x）﹣m有3个零点，则y=f（x）与y=m的图象有3个不同的交点，所以0＜m＜1，故答案为：（0，1）．点评：本题考查等价转化的能力、利用数学结合解题的数学思想方法是重点，要重视．13．在面积为2的△ABC中，E，F分别是AB，AC的中点，点P在直线EF上，则的最小值是2．考点：解三角形；平面向量数量积的运算．专题：综合题；平面向量及应用．分析：根据△ABC的面积为2，可得△PBC的面积=1，从而可得PB×PC=，故=PB×PCcos∠BPC=，由余弦定理，有：BC2=BP2+CP2﹣2BP×CPcos∠BPC，进而可得BC2≥2BP×CP﹣2BP×CPcos∠BPC．从而≥，利用导数，可得最大值为，从而可得的最小值．解答：解：∵E、F是AB、AC的中点，∴EF到BC的距离=点A到BC的距离的一半，∴△ABC的面积=2△PBC的面积，而△ABC的面积=2，∴△PBC的面积=1，又△PBC的面积=PB×PCsin∠BPC，∴PB×PC=．∴=PB×PCcos∠BPC=．由余弦定理，有：BC2=BP2+CP2﹣2BP×CPcos∠BPC．显然，BP、CP都是正数，∴BP2+CP2≥2BP×CP，∴BC2≥2BP×CP﹣2BP×CPcos∠BPC．∴≥PB×PCcos∠BPC+2BP×CP﹣2BP×CPcos∠BPC=令y=，则y′=令y′=0，则cos∠BPC=，此时函数在（0，）上单调增，在（，1）上单调减∴cos∠BPC=时，取得最大值为∴的最小值是故答案为：点评：本题考查平面向量的数量积运算，考查三角形面积的计算，考查导数知识的运用，综合性强．14．在直角坐标系中，如果两点A（a，b），B（﹣a，﹣b）在函数y=f（x）的图象上，那么称[A，B]为函数f（x）的一组关于原点的中心对称点（[A，B]与[B，A]看作一组）．则函数g（x）=关于原点的中心对称点的组数为 2 ．考点：分段函数的应用．专题：函数的性质及应用．分析：与函数y=log4（x+1），x＞0图象关于原点对称的图象与函数y=（x+2）2﹣1，x≤0图象交点个数即为“函数g（x）关于原点的中心对称点的组数”，画出图象，看交点个数．解答：解：函数y=log4（x+1）可以由对数函数y=log4x的图象向左平移1个单位得到，则函数y=log4（x+1），x＞0图象关于原点对称的图象与函数y=（x+2）2﹣1，x≤0图象交点个数即为“函数g（x）关于原点的中心对称点的组数”，图象如下：其中虚的曲线部分为函数y=log4（x+1），x＞0图象关于原点对称的图象，此部分与函数y=（x+2）2﹣1，x≤0图象交点个数是2个，所以，函数g（x）关于原点的中心对称点的组数为2组，故答案为：2．点评：本题考查分段函数的图象，涉及分段函数与对数函数的图象，注意其图象中的特殊点进行分析即可．二、选择题（每小题5分，满分20分）15．命题A：|x﹣1|＜3，命题B：（x+2）（x+a）＜0；若A是B的充分而不必要条件，则a 的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣4） B． [4，+∞）C．（4，+∞）D．（﹣∞，﹣4]考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；一元二次不等式的解法；绝对值不等式．专题：计算题．分析：解不等式我们可以求出命题A与命题B中x的取值范围，然后根据“谁小谁充分，谁大谁必要”的原则，结合A是B的充分不必要条件，则A⊊B，将问题转化为一个集合关系问题，分析参数a的取值后，即可得到结论．解答：解：由|x﹣1|＜3，得﹣2＜x＜4，∴命题A：﹣2＜x＜4．命题B：当a=2时，x∈φ，当a＜2时，﹣2＜x＜﹣a，当a＞2时，﹣a＜x＜﹣2．∵A是B的充分而不必要条件，∴命题B：当a＜2时，﹣2＜x＜﹣a，∴﹣a＞4，∴a＜﹣4，综上，当a＜﹣4时，A是B的充分不必要条件，故选A．点评：本题考查的知识点是充要条件与集合之间的关系，其中根据“谁小谁充分，谁大谁必要”的原则，将充要条件问题转化为集合关系问题是解答本题的关键．16．己知空间两条直线m，n，两个平面α，β，给出下面四个命题：①m∥n，m⊥α⇒n⊥α；②α∥β，m⊊α，n⊊β⇒m∥n；③m∥n，m∥α⇒n∥α；④α∥β，m∥n，m⊥α⇒n⊥β；其中正确命题的序号是（）A．①④B．②③C．①②④D．①③④考点：空间中直线与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：利用结论“两条平行线中的一条垂直于平面，则另一条也垂直于这个平面”可判断①是否正确；根据分别位于两个平行平面的直线的位置关系是平行或异面，可判断②是否正确；根据直线有可能在平面内，可判断③是否正确；利用结论“两条平行线中的一条垂直于平面，则另一条也垂直于这个平面”和“两个平行平面中的一个垂直于直线，则另一个平面也垂直于直线”，可判断④是否正确．解答：解：①，根据“两条平行线中的一条垂直于平面，则另一条也垂直于这个平面”，m∥n，m⊥α⇒n⊥α，∴①正确②，α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n或m、n异面，∴②不正确；③，m∥n，m∥α，则n∥α或n⊂α，∴③不正确；④，α∥β，m∥n，m⊥α，则n⊥α，又α∥β，∴n⊥β，∴④正确．故选A．点评：熟练掌握线线、线面、面面的平行与垂直的性质与判定定理是解题的关键．17．将函数y=f（x）的图象向右平移个单位，再向上平移1个单位后得到的函数对应的表达式为y=2sin2x，则函数f（x）的表达式可以是（）A． 2sinx B． 2cosx C． sin2x D． cos2x考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：化简变换后的函数解析式，结合函数的变换，逆推求出函数的解析式即可．解答：解：y=2sin2x=1﹣cos2x，要求函数f（x），函数y=f（x）=sin2x的图象向右平移个单位，得到y=sin2（x﹣）=﹣cos2x，故所求函数解析式为y=sin2x．故选：C．点评：本题考查了三角函数图象的平移，三角函数的化简，属于中档题．18．已知集合M={（x，y）|y=f（x）}，若对于任意（x1，y1）∈M，存在（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，则称集合M是“好集合”．给出下列4个集合：①②M={（x，y）|y=e x﹣2}③M={（x，y）|y=cosx}④M={（x，y）|y=lnx}其中所有“好集合”的序号是（）A．①②④B．②③C．③④D．①③④考点：命题的真假判断与应用；元素与集合关系的判断．专题：阅读型；新定义．分析：对于①，利用渐近线互相垂直，判断其正误即可．对于②，画出图象，说明满足好集合的定义，即可判断正误；对于③，画出函数图象，说明满足好集合的定义，即可判断正误；对于④，画出函数图象，取一个特殊点即能说明不满足好集合定义．解答：解：对于①y=是以x，y轴为渐近线的双曲线，渐近线的夹角为90°，在同一支上，任意（x1，y1）∈M，不存在（x2，y2）∈M，满足好集合的定义；对任意（x1，y1）∈M，在另一支上也不存在（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，所以不满足好集合的定义，不是好集合．对于②M={（x，y）|y=e x﹣2}，如图（2）在曲线上两点构成的直角始存在，例如取M（0，﹣1），N（ln2，0），满足好集合的定义，所以正确．对于③M={（x，y）|y=cosx}，如图（3）对于任意（x1，y1）∈M，存在（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，例如（0，1）、（，0），∠yox=90°，满足好集合的定义，旋转90°，都能在图象上找到满足题意的点，所以集合M是好集合；对于④M={（x，y）|y=lnx}，如图（4）取点（1，0），曲线上不存在另外的点，使得两点与原点的连线互相垂直，所以不是好集合．故选B．点评：本题考查了命题真假的判断与应用，考查了元素与集合的关系，考查了数形结合的思想，解答的关键是对新定义的理解，是中档题．三、解答题19．如图已知四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为6的正方形，侧棱PA的长为8，且垂直于底面，点M、N分别是DC、AB的中点．求（1）异面直线PM与CN所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；（2）四棱锥P﹣ABCD的表面积．考点：异面直线及其所成的角；棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）解法一：连接AM，∵底面ABCD是边长为6的正方形，点M、N分别是DC、AB的中点，可得，于是四边形AMCN是平行四边形，可得CN∥AM，因此∠PMA（为锐角）是异面直线PM与CN所成角，利用直角三角形的边角关系求出即可．解法二：以A为坐标原点建立空间直角坐标系，利用异面直线的方向向量的夹角公式即可得出异面直线所成的角；（2）由PA垂直于底面，利用线面垂直的性质定理可得PA⊥AB，PA⊥AD，即Rt△PAB≌Rt△PDC，再利用线面垂直的判定定理可得BC⊥PB；同理CD⊥PD，Rt△PBC≌Rt△PAD，利用直角三角形的面积计算公式分别计算即可．解答：解：（1）解法一：连接AM，∵底面ABCD是边长为6的正方形，点M、N分别是DC、AB的中点，∴，∴四边形AMCN是平行四边形，∴CN∥AM，∴∠PMA（为锐角）是异面直线PM与CN所成角．因为PA垂直于底面，所以PA⊥AM，点M分别是DC的中点，DC=6，∴．在Rt△PAM中，PA=8，，∴，∴，即异面直线PM与CN所成角的大小为．解法二：以A为坐标原点建立空间直角坐标系，可得M（3，6，0），P（0，0，8），N（3，0，0），C（6，6，0），∴，，直线PM与CN所成角为θ，向量的夹角为ϕ，∵，又，，即异面直线PM与CN所成角的大小为．（2）因为PA垂直于底面，所以PA⊥AB，PA⊥AD，即Rt△PAB≌Rt△PAD，又PA⊥BC，AB⊥BC，AB∩BC=B，∴BC⊥平面PAB，∴BC⊥PB．同理CD⊥PD，∴Rt△PBC≌Rt△PDC，∵底面四边形ABCD是边长为6的正方形，所以S底=36又S侧=S△PAB+S△PAD+S△PBC+S△PCD=．S表=108+36=144所以四棱锥P﹣ABCD的表面积是144．点评：本题综合考查了利用“平移法”和通过建立空间直角坐标系利用向量的方向向量的夹角求异面直线的夹角、线面垂直的判定与性质、四棱锥的表面积等基础知识与基本技能，考查了空间想象能力、推理能力和计算能力．20．设△ABC三个内角A、B、C所对的边分别为a，b，c．已知C=，acosA=bcosB．（1）求角A的大小；（2）如图，在△ABC的外角∠ACD内取一点P，使得PC=2．过点P分别作直线CA、CD的垂线PM、PN，垂足分别是M、N．设∠PCA=α，求PM+PN的最大值及此时α的取值．考点：三角形中的几何计算；正弦定理．专题：综合题；解三角形．分析：（1）由acosA=bcosB及正弦定理可得sin2A=sin2B，即A=B或A+B=，结合C=，可求角A的大小；（2）求出PM，PN．可得PM+PN=2sinα+2sin （α+）=3sinα+cosα=2sin（α+），即可求PM+PN的最大值及此时α的取值．解答：解：（1）由acosA=bcosB及正弦定理可得sinAcosA=sinBcosB，即sin2A=sin2B，又A∈（0，π），B∈（0，π），所以有A=B或A+B=．…3分又因为C=，得A+B=，与A+B=矛盾，所以A=B，因此A=．…6分（2）由题设，得在Rt△PMC中，PM=PC•sin∠PCM=2sinα；在Rt△PNC中，PN=PC•sin∠PCN=PC•sin（π﹣∠PCB）=2sin[π﹣（α+）]=2sin （α+），α∈（0，）．…8分所以，PM+PN=2sinα+2sin （α+）=3sinα+cosα=2sin（α+）．…12分因为α∈（0，），所以α+∈（，），从而有sin（α+）∈（，1]，即2sin（α+）∈（，2]．于是，当α+=，即α=时，PM+PN取得最大值2．…16分．点评：本题考查三角形中的几何计算，考查正弦定理，考查三角函数知识的运用，确定PM+PN 是关键．21．已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长为4，且点在椭圆C上．（1）求椭圆C的方程；（2）设P是椭圆C长轴上的一个动点，过P作方向向量的直线l交椭圆C 于A、B两点，求证：|PA|2+|PB|2为定值．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）由于C的焦点在x轴上且长轴为4，可设椭圆C的方程为（a＞b＞0），把点代入椭圆的方程可得，解出即可．（2）设P（m，0）（﹣2≤m≤2），由于直线l方向向量，可得直线l的方程是．与椭圆的方程联立得到根与系数的关系，再利用两点间的距离公式即可证明．解答：（1）解：∵C的焦点在x轴上且长轴为4，故可设椭圆C的方程为（a＞b＞0），∵点在椭圆C上，∴，解得b2=1，∴椭圆C的方程为．（2）证明：设P（m，0）（﹣2≤m≤2），∵直线l方向向量，∴直线l的方程是，联立⇒2x2﹣2mx+m2﹣4=0（*）设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1、x2是方程（*）的两个根，∴x1+x2=m，，∴===（定值）．点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、两点间的距离公式，考查了推理能力和计算能力，属于难题．22．已知函数f（x）=ax2﹣|x|+2a﹣1（a为实常数）．（1）若a=1，作函数f（x）的图象；（2）设f（x）在区间[1，2]上的最小值为g（a），求g（a）的表达式；（3）设，若函数h（x）在区间[1，2]上是增函数，求实数a的取值范围．考点：带绝对值的函数；函数的图象；二次函数的性质；二次函数在闭区间上的最值．专题：计算题．分析：（1）当a=1时，f（x）=x2﹣|x|+1=，由此作出函数的图象．（2）当x∈[1，2]时，f（x）=ax2﹣x+2a﹣1，分a=0、a＜0、、、这几种情况，结合函数的图象，利用函数的单调性，求出g（a）的解析式．（3）根据h（x）在区间[1，2]上是增函数，h（x2）﹣h（x1）＞0，可得ax1x2＞2a﹣1，分a=0、a＞0、a＜0分别求得实数a的取值范围，再取并集即得所求．解答：解：（1）当a=1时，f（x）=x2﹣|x|+1=．作图（如图所示）（4分）（2）当x∈[1，2]时，f（x）=ax2﹣x+2a﹣1．若a=0，则f（x）=﹣x﹣1在区间[1，2]上是减函数，g（a）=f（2）=﹣分）若a≠0，则，f（x）图象的对称轴是直线．当a＜0时，f（x）在区间[1，2]上是减函数，g（a）=f（2）=6a﹣分）当，即时，f（x）在区间[1，2]上是增函数，g（a）=f（1）=3a﹣分）当，即时，，（8分）当，即时，f（x）在区间[1，2]上是减函数，g（a）=f（2）=6a﹣分）综上可得．（10分）（3）当x∈[1，2]时，，在区间[1，2]上任取x1，x2，且x1＜x2，则=．（12分）因为h（x）在区间[1，2]上是增函数，所以h（x2）﹣h（x1）＞0，因为x2﹣x1＞0，x1x2＞0，所以ax1x2﹣（2a﹣1）＞0，即ax1x2＞2a﹣1，当a=0时，上面的不等式变为0＞﹣1，即a=0时结论成立．（14分）当a＞0时，，由1＜x1x2＜4得，，解得0＜a≤1，（16分）当a＜0时，，由1＜x1x2＜4得，，解得，（17分）综上，实数a的取值范围为．（18分）点评：本题主要考查带有绝对值的函数的图象和性质的应用，体现了分类讨论的数学思想，注意分类讨论的层次，这是解题的难点，属于中档题．23．若数列{a n}的每一项都不为零，且对于任意的n∈N*，都有=q（q为常数），则称数列{a n}为“类等比数列”．已知数列{b n}满足：b1=b（b∈R，b≠0），对于任意的n∈N*，都有b n•b n+1=2n+1．（1）求证：数列{b n}是“类等比数列”；（2）若{b n}是单调递增数列，求实数b的取值范围；（3）设数列{b n}的前n项和为S n，试探讨是否存在，说明理由．考点：数列的应用；等比数列的性质．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：（1）利用=计算即可；（2）通过b1=b及（1）可知b n=，进而只需解不等式b2k﹣1≤b2k≤b2k+1即可；（3）通过（2）分别计算出n=2k﹣1（k∈N*）、n=2k（k∈N*）时的表达式并令两者相等，通过方程有无解即可判断．解答：（1）证明：∵b n•b n+1=2n+1，∴b n+1•b n+2=2n+2，∴===2，∴数列{b n}是“类等比数列”；（2）解：∵b1=b，b n•b n+1=2n+1，∴b2==，∴b n=，∵数列{b n}是单调递增数列，∴b2k﹣1≤b2k≤b2k+1，即b•2k﹣1≤•2k﹣1≤b•2k，整理得：b≤≤2b，解得：≤b≤2，∴实数b的取值范围为：[，2]；（3）结论：当b=±时=，否则不存在．理由如下：由（2）可知b n=，①当n=2k﹣1（k∈N*）时，b n+b n+1=b2k﹣1+b2k=b•2k﹣1+=（b+）•2k﹣1，S n=（b1+b3+…+b2k﹣1）+（b2+b4+…+b2k﹣2）=+=（2b+）•2k﹣1﹣（b+），∴===2﹣；②当n=2k（k∈N*）时，b n+b n+1=b2k+b2k+1=+b•2k=（2b+）•2k﹣1，S n=（b1+b3+…+b2k﹣1）+（b2+b4+…+b2k﹣2）+b2k=（2b+）•2k﹣1﹣（b+）+=2（b+）•2k﹣1﹣（b+），∴===1+；令2﹣=1+，化简得：b4=8，解得：b=±，综上所述，当b=±时=，否则不存在．点评：本题考查数列的通项及求和，考查分类讨论的思想，考查极限思想，注意解题方法的积累，属于中档题．。