数列累加_累乘

累加法和累乘法公式
累加法是指在一个序列中，每一项的值都是前一项的值再加上一
个常数，而累乘法则指的是每一项的值都是前一项的值再乘以一个常数。

累加法和累乘法都是数学上的重要规律，它们都可以应用到日常
生活中，发挥出实际价值。

以累加法为例，如果我们想计算一组数字中数字相加的累积和，
我们可以使用累加法，将前面的数字的累积和依次加上接下来的数字。

举个例子，如果我们每月存30元，以后每月增加10元，而我们想知
道一年内总共存款多少，我们可以使用累加法将累积的存款相加，便
可得出每个月存款的总和。

累乘法也可以在日常生活中得到应用。

举个例子，如果我们想知
道  的结果，我们可以使用累乘法来计算。

即 ， 的结
果为 243。

累加法和累乘法既是数学的重要规律，也在日常生活中可以起到
实际作用。

在经济中，累加法可以用来算出投资收益，累乘法则可以
用于计算货币贬值或者物价上涨的幅度。

在工程中，累加法可以用于
统计某一段道路的总长度，而累乘法则可以用来计算某一材料的力学
性能。

总之，累加法和累乘法是相当重要的数学规律，也可以用来解决
日常生活中的实际问题。

只要把这两种数学规律运用得当，就能够使
我们的算数准确无误，提高我们的学习和工作效率。

n a ．2n(n ＋3) 经检验当n ＝1 时也符合该式．∴　a n ＝(n ≥2)．2＝2 ＝2 n2＋3n －4 n2＋3n n(n ＋3) ∴　a n ＝a?＋，n2＋3n －4 2×(n －1)＝2 (n ＋1)＋3 ＝解析：由已知得a n+1－a n ＝n ＋2，于是有a n －a?＝(a n －a n -1)＋(a n-1－a n-2)＋(a n-2－a n-3)＋……＋(a?－a?)＝(n ＋1)＋n ＋(n －1)＋……＋3∴　a n ＝a?＋(n ＋2)(n －1)＝3＋(n ＋2)(n －1)＝n2＋n ＋1 (n ≥2)．经检验当n ＝1 时也符合该式．∴　a n ＝n2＋n ＋1．×(n －1)＝(n ＋2)(n －1)．22n ＋4 ＝解析：由已知得a n －a n -1＝2n ，于是有a n －a?＝(a n －a n -1)＋(a n-1－a n-2)＋(a n-2－a n-3)＋……＋(a?－a?)＝2n ＋2(n －1)＋2(n －2)＋……＋2×2数列之累加法与累乘法老师专用1. ☆[累加法] 设数列{a n }中，a?＝2，a n+1＝a n ＋n ＋2，则通项a n ＝．2. ◇设数列{a n }中，a?＝3，a n ＝a n-1＋2n ，则通项a n ＝．3. ◇(2010 辽宁卷T16) 已知数列{a n }满足a?＝33，a n+1－a n ＝2n ，则a n 的最小值为．4. ◇(2011 四川卷T8) 数列{a n }的首项为3，{b n }为等差数列且b n ＝a n+1－a n (n ∈N *)．若b?＝－2，b 10＝12，则a 8＝．5. ◇(2015 江苏卷T11)[累加法＆裂项相消法] 设数列{a n }满足a?＝1，且a n +1－a n ＝n ＋1 (n ∈N *)，则数列{ 1 }n前10 项的和为．为2．n 21 所以a n 的最小值21 53 5 33 n ＝6 ＋＝2 ＜5 ，当n ＝6 时，a n 53 4 33 n ＝5 ＋＝5 ；5 和6．*/当n ＝5 时，a n x ≥2 33，当且仅当x ＝33时取得最小值．最接近33的两个整数是x＋/*若x ＞0，x ∈R ，由基本不等式可得33＋n －1，n n 33 ∴　a n ＝a?＋n(n －1)＝33＋n(n －1)，则a n ＝解析：a?－a?＝2，a?－a?＝4，a 4－a?＝6，…，a n －a n-1＝2(n －1)，以上各式左右两边分别相加，得a n －a?＝2＋4＋6＋…＋2(n －1)＝n(n －1)，b 10－b?解析：设{b n }的公差为d ，则d ＝10－3＝2，∴　bn ＝b?＋(n －3)d ＝2(n －4)，即a n+1－a n ＝2(n －4)．则a?－a?＝－6，a?－a?＝－4，a 4－a?＝－2，…，a n －a n-1＝2(n －5)，累加得到a n －a?＝(－6)＋(－4)＋(－2)＋…＋2(n －5)＝(n －8)(n －1)，故a n ＝3＋(n －8)(n －1)，a 8＝3．＋n ＝，满足( ＋6. ◇数列{a n }满足a?＝1，且对任意的m, n ∈N *，都有a m+n ＝a m ＋a n ＋mn ，则1 ＋ 1 ＋1 ＋…＋ 1 ＝．a?a?a?a 20127.◇已知数列{a n }中，a?＝p ，a?＝q ，且a n+2－2a n+1＋a n ＝d ，求数列{a n }的通项公式．8.◇已知数列{a n }中，a?＝5，满足a n ＝(1 1 )a n-1，求数列{a n }的通项公式．9.◇已知数列{a n }中，a? 1 a n+1＝ 1 2)a n ，求数列{a n }的通项公式．3 3 3n 11 1110 11 2 2 3 10 n a 1 20 1 1 1 1 1 { }前10 项的和为S ＝2(1－＋－＋…＋－)＝2(1－)＝．故数列 1 n n ＋11 ＝2( －)，a n n(n ＋1)2 1 则 1 ＝，2 n(n ＋1) ＝n n-1 n a ＝a?＋(a?－a?)＋(a?－a?)＋…＋(a －a )＝1＋2＋3＋…＋n 解析：由a?＝1，且a n+1－a n ＝n ＋1 (n ∈N *)得，2012 2013 20132 23 a 2012 a?a?a?n n ＋1 1 1 4024 1 ＝2( －)，∴＋＋＋…＋＝2(1－＋－＋…＋－)＝．a n n(n ＋1) 1 1 1 1 1 1 1 2 1 ∴ 1 ＝，2＝2 ，故a n ＝a?＋2 (n ＋2)(n －1) n(n ＋1) (n ＋2)(n －1) 累加得到a n －a?＝2＋3＋4＋…＋n ＝解析：令m ＝1，则有a n +1＝a?＋a n ＋n ，即a n+1－a n ＝n ＋1，所以a?－a?＝2，a?－a?＝3，a 4－a?＝4，……，a n －a n-1＝n ，d)．2n －2 经检验当n ＝1 时也符合该式．∴　a n ＝p ＋(n －1)(q －p ＋2d)＝p ＋(n －1)(q －p ＋d) (n ≥2)．2 n －2 n －2 2∴　a n ＝a?＋(n －1)(q －p ＋n －2 ＝(n －1)(q －p ＋d)，2n －2 ＝(n －1)(q －p)＋×(n －1)d 解析：原式可化为(a n+2－a n+1)－(a n+1－a n )＝d ．令b n ＝a n+1－a n ，则b n+1－b n ＝d ，所以数列{bn}是以b?＝a?－a?＝q －p 为首项，以 d 为公差的等差数列．∴　b n ＝b?＋(n －1)d ＝q －p ＋(n －1)d ．即a n+1－a n ＝q －p ＋(n －1)d ．于是有a n －a?＝(a n －a n -1)＋(a n-1－a n-2)＋(a n-2－a n-3)＋……＋(a?－a?)＝[q －p ＋(n －2)d]＋[q －p ＋(n －3)d]＋[q －p ＋(n －4)d]＋……[q －p ＋0d]5 (n ＋1)．2 n n ＋1 ∴　a ＝a?×＝2n n －1 n －2 2 4 3 n ＋1n ＋1 n n －1＝×××…× 3 ×2＝．a?×a? a n a n-1 a n-2×…a?＝a n-1×a n-2×a n-3 于是有a n ，n 1 ＝n ＋1＋na n-1 解析：原式可化为a n ＝110.◇在数列{a n }与{b n }中，a?＝1，b?＝4，数列{a n }的前n 项和S n 满足nS n+1－(n ＋3)S n ＝0，2a n+1 为b n 与b n+1 的等比中项，n ∈N *．⑴ 求a?, b?的值；⑵ 求数列{a n }与{b n }的通项公式．＝2×3n ．2 (n ＋1)n (n ＋1)n 1 ＝3n ×(n ＋1)n 2 1 ∴　a n ＝a?×3n -1×．2 1 (n ＋1)n (n ＋1)n 3n -1×　2×1 ＝3n -1×＝ 1 2 ×1 5 ×4 3 ×3…n －1 n －2 n －3 n －4n ＋1 n n －1 n －2×××××3 ＝( 1 )n -1a?×a?a n a n a n -1 a n-2×… 1 n ＋2n n ＋2 a n ＝3n ＝3 ×，于是有a?＝a n-1×a n-2×a n-3 解析：原式可化为a n +1．2＝6 －6 (n ＋2)(n ＋1)n (n ＋1)n(n －1) (n ＋1)n 则当n ≥2 时，a n ＝S n －S n-1＝，6．于是有S n-1＝6 ＝6 (n ＋1)n(n －1) (n ＋2)(n ＋1)n (n ＋2)(n ＋1)n ∴　S n ＝S?×．6 ＝3×2×1(n ＋2)(n ＋1)n (n ＋2)(n ＋1)n ＝n －1 n －2 n －3 n －46 5 4 n ＋2 n ＋1 n n －1＝××××…× 3 ×2 ×1S ?S?S?S n-1 S n-2 S n-3 S ?S?S?S 4 S n S n-1 S n-2 于是有S n ＝×××…× ××．n ＋3 nn+1 S n ＝n n+1 S ⑵由原式可得nS ＝(n ＋3)S ，∴＝9．b?(2a?)2＝∵2a?为b?与b?的等比中项，∴　b?解析：⑴ 令n ＝1 可得S?＝4S?＝4，∴　a?＝S?－a?＝3．/* 令n ＝2 可得2S?＝5S ?＝20，∴　S?＝10，a?＝S ?－S?＝6．*/综上，恒有b n ＝(n ＋1)2．＝(2n ＋1)2．(2n ＋2)2＝b 2n+1 [(2n ＋1)(2n ＋2)]2[(2n ＋1)(2n ＋2)]2再由①式可得：b 2n ＝∴　b 2n+1＝b?×(n ＋1)2＝(2n ＋2)2＝[(2n ＋1)＋1]2．b 2n +1＝(n ＋1)2，得：b?以上各式连乘可)2．2nb 2n-1 6 b 5 b? 2 b? 4 b n n ＋1 2n ＋2 b 2n+1 8 b 7 6 b 5 b? 4 n ＋3 两式相除得b n+2＝( )2，于是有＝( )2，＝( )2，＝( )2，……，＝( 由已知b n ·b n+1＝(2a n+1)2＝[(n ＋1)(n ＋2)]2，①则b n+1·b n+2＝[(n ＋2)(n ＋3)]2，②．2(n ＋1)n 经检验当n ＝1 时也符合上式，∴　a n ＝。

全国名校高中数学优质学案、专题汇编（附详解）1专题：求数列的通项公式——累加法和累乘法学习目标1. 掌握并能熟练应用数列通项公式的常用方法：累加法和累乘法；2. 通过对例题的求解引导学生从中归纳相应的方法，明确不同的方法适用不同的前提、形式，使学生形成解决数列通项公式的通法；3. 感受知识的产生过程，通过方法的归纳，形成事物及知识间联系与区别的哲学观点，体会数学累加思想和累乘思想。

________________________________________________________________________________ 自学探究：回顾等差、等比数列的通项公式推导过程，完成下列任务。

例：已知数},{n a 其中,,111n a a a n n +==+ ① 求它的通项n a 。

变题1：把①式改为;11+=+n n a a变题2：把①式改为;21n n n a a +=+小结1：通过求解上述几个题，你得到什么结论？变题3：把①式改为;11n n a nna +=+变题4：把①式改为;21n n a a =+小结2：通过求解上述2个题，你得到什么结论？挑战高考题：1.(2015.浙江.17）已知数列{}n a 满足n nn a a a 2,211==+，)*∈N n （。

（1）求n a2.（2008.江西.5）在数列{}n a 中，)11ln(,211na a a n n ++==+，则=n a （ ）. A.n ln 2+ B.n ln 1-n 2）（+ C.n n ln 2+ D.n n ln 1++你能否自己设计利用累加法或累乘法求解数列通项公式的题？通过本节课的学习你收获了什么？。

大招10累加法与累乘法大招总结累加法和累乘法是高中常见的求通项的方法,学生必须掌握,勇哥觉得这一讲严格上来说,应该称不上大招.当出现()1n n a a f n +=+,采用累加法即可.方法如下: 若()()12n n a a f n n +-=,则()211a a f -=, ()322a a f -=, ()1.n n a a f n +-=两边分别相加得()111nn k a a f k +=-=∑(∑为连加符号,读作“西格玛”).当出现()1n n a f n a +=,可采用累乘法.方法如下:若()1n na f n a +=,则 ()211a f a =, ()322a f a =, ()1.n na f n a +=两边分别相乘得,()111n n k a f k a +==∏(I 为连乘符号,读作“派”). 典型例题例1.已知数列{}n a 满足1121,1n n a a n a +=++=,求数列{}n a 的通项公式.解由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+, 则n a ()()()()11232211n n n n a a a a a a a a a ---=-+-++-+-+()][()()()2112212212111]n n ⎡⎤=-++-+++⨯++⨯++⎣⎦()()()2122111n n n ⎡⎤=-+-++++-+⎣⎦()()()()21211111.2n n n n n n -=+-+=-++=所以数列{}n a 的通项公式为2n a n =.12n -=,则214n na -=,故2221214411143n n na a a --+++=⨯=-.故本题正确答案为D .例 3.已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()11f x f x +=-,数列{}n a 的前项n S ,且22n n S a =+,则()()n f a =.A.0B.0或1C.1-或0D.1或1-解1122,22n n n n S a S a --=+=+两式相减得:()12n n n a a a -=-,化简得:11112,22n n a a S a a -===+,解得12a =-,则2n n a =-.()f x 为奇函数,则()00f =,由()()11f x f x +=-得:()()()()02220n n f f f f ====--=,即()()20n n f a f =-=.故本题正确答案为A .(例 4.(2021秋-青羊区校级期末)已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且满足1n n a S +=,则39121239()S S S S a a a a ++++= A.1013 B.1035 C.2037 D.2059解1n =时,11111,,22a S a n +==时,111,1n n n n a S a S --+=+=,112n n a a -∴=,则数列{}n a 是首项为12公比为12的等比数列.11,122n n n n a S ∴==-.21nn n S a ∴=-.则293912123922291024111013S S S S a a a a ++++=+++-=-=.故选A.例 5.(2021秋-许昌月考)已知正项数列{}n a 的前n 项的乘积等于()26*21,log 4n nn nn T n ba -⎛⎫=∈= ⎪⎝⎭N ,则数列{}n b 的前n 项和n S 中最大值是()A.6SB.5SC.4SD.3S解由已知当1n =时,5511144a T -⎛⎫=== ⎪⎝⎭,当2n 时,2711,14n n n n T a n T --⎛⎫=== ⎪⎝⎭时也适合上式,数列{}n a 的通项公式为2721,log 1444n n n n a b a n -⎛⎫=∴==- ⎪⎝⎭,数列{}n b 是以10为首项,以4-为公差的等差数列.()()2214102122(3)92n n n S n n n n -⨯-⎡⎤=+=-+=---⎣⎦,当3n =时取得最大值.故选D.(例6.数列{}n a 满足()*32132,123n na a a a n n n++++=-∈N ,则n a = 解因为数列{}n a 满足()*32132,123n n a a a a n n n ++++=-∈N ,(1)1n =时,11a =,当1n >时,1312132231n n a a a a n --++++=--,(2)利用(1)式减(2)式可得133n n n an-=-,即123n n a n -=⋅.故本题正确答案为11,1,23, 2.n n n a n n -=⎧=⎨⋅⎩例7.(2021秋-南岗区校级期末)已知数列{}n a 满足()12347324n a a a n a n ++++-=,则23342122;n a a a a a a a =+++=解由题意,当1n =时,14a =.当2n 时,由()12347324n a a a n a n ++++-=,可得()()1231473541n a a a n a n -++++-=-.两式相减,可得()324n n a -=,14.432n a a n ∴==-也适合上式,432n a n ∴=-. 又()()12161611313433134n n a a n n n n ++⎛⎫==- ⎪++++⎝⎭,23342122161111111134771010136164a a a a a a ⎛⎫∴+++=-+-+-++- ⎪⎝⎭1611534644⎛⎫=-= ⎪⎝⎭.故答案为:45,324n -. (例8.)(2021-浙江模拟)已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且11a =,当2n 时,2121n n n a S S n -+=-,则2a ;若()1112m m t t a a a a m +-++++=且21t m -=,则m =解当2n =时,有222121a S S +=,即()222211a a ++=,解得:21a =-,又当2n 时,1n n n a S S -=-,∴由2121n n n a S S n -+=-可得:2211n n S S n -+=-,又2222111,1,2n n n n S S n S S n ++-+=∴-=,又121,0S S ==,∴数列{}221n S -是首项为1,公差为1的等差数列;数列{}22n S 是首项为0,公差为1的等差数列,22212111,1,1n n m m t t t m S n S n a a a a S S -+--∴==-++++==-,且21t m -=,2111m m S S +-∴-=,易知21m +与1m -奇偶性相同,∴当m 为奇数时,有1=解得:53m =;当m 为偶数时,有1=解得:50m =, 综上,53m =或50,故答案为:1;53-或50.(例9.(2015-浙江卷)已知数列{}n a 和{}n b 满足()()**11112311112,1,2,123n n n n a b a a n b b b b b n n++===∈++++=-∈N N .(I)求n a 与();n b II 记数列{}n n a b 的前n 项和为n T ,求n T .解(I)由112,2n n a a a +==,得()*2n n a n =∈N .由题意知:当1n =时,121b b =-,故22b =.当2n 时,11n n n b b b n +=-,整理得11n n b b n n+=+,所以()*n b n n =∈N . (II)由(1)知2nn n a b n =⋅,因此232341222322,2222322n n n n T n T n +=+⋅+⋅++⋅=+⋅+⋅++⋅,所以231222222n n n n T T n +-=++++-⋅,故()()1*122n Tn n n +=-+∈N .例2.已知数列{}n a 满足11231,3nn n a a a +=+⨯+=,求数列{}n a 的通项公式.解：由1231n n n a a +=+⨯+得1231nn n a a +-=⨯+,则()()()()()()()())()()()()11232211122112211231231231231132333313313213133313313 1.n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n a n --------=-+-++-+-+=⨯++⨯+++⨯++⨯+-+=+++++-+-=+-+-=-+-+=+-=+-，所以例3.已知数列{}n a 满足()*111,33n n n a a a n +==⋅∈N ,则数列{}n a 的通项公式为( ) A.2223n n n a -= B.22223n n n a --=C.2223n n n a --=D.2223n n n a -=解：方法1:累乘法:121123,3n n n n n n a a a a -----=⋅=⋅⋯⋯累乘可得2223n n n a --=.方法()()*1313323,log log 3log n n n n n n n a a n a a a n ++=⋅∈∴=⋅=+N ,331log log 1n n a a n -∴=+-, 3132log log 2n n a a n --=+-,...3231log log 1a a =+,累加得:()()()233131112log log 121log 1,3222n n n n n n n n a a n a ----=++++-=+=-+=∴=2223n n --.故选C.例4.已知数列{}n a 满足()111,n n n a a n a a +==-,则通项公式为( )A.n a n =B.21n a n =-C.2n a n =D.11n n n a n -+⎛⎫= ⎪⎝⎭解：方法1:整理()1n n n a n a a +=-得11n n a n a n++=, 32121123121n n n a a a a nn a a a n a -∴⋅⋅=⨯⨯⨯==-,即11,n n a n a na n a =∴==.故选A. 方法2:此题也可用构造,非常简单,()1n n n a n a a +=-得1111,1,11n n n n n a a a a n a n a n n n +++====∴=+. 例 5.(2021春-渝中区校级期末)已知数列{}n a 满足:11a =,且对任意的*,m n ∈Z 都有:m n m n a a a +=+mn +,则19a =.解：解法一：数列{}n a 满足:11a =,且对任意的*,m n ∈Z ,都有:m n m n a a a mn +=++,234816193,6,10,36,136,190a a a a a a ∴======,解法二:数列{}n a 满足:11a =,且对任意的*,m n ∈Z ,都有:m n m n a a a mn +=++,令1m =,可得1111112211,1,2,,1n n n n n n a a a n a a a n a a a n a a a +---=++=++-=++-=++,累加可得:()111121n a n a a n =-+++++-可得()191.1902n n n a a +=∴=,故答案为:190例6：(2021秋-浙江月考)已知数列{}an 中,()*11121,222n n n n a a a n ++==-∈Z . 1) 求数列{}2nn a 的通项公式;2) 设数列na n ⎛⎫⎪⎝⎭的前n 项和n T ,求证:2n T <. 解：(1)依题意,由12122n n nn a a ++=-,两边同时乘以2n,可得()112221n n n n a a n ++=-+,即112221n n n n a a n ++-=+令2n n nb a =,则11112212b a =⋅=⨯=,且*121,,n n b b n n +-=+∈N1213211,3,5,,21n n b b b b b b b n -∴=-=-=-=-,各项相加,可得()()22*12113521,2,2n n n n n b n n a n n +-=++++-==∴=∈N（2）证明：由（1）知,2*,,22n n n n a n n a n n =∴=∈N ,则()()123123111123112,2222222222n n n n nn n n n nT T -+--=+++++=++++, 两式相减,可得123111111111122221,22122222222212n n n n n n n n n n n n T T ++++-++=++++-=-=-∴=-<-所以不等式2n T <成立.自我检测1.已知数列{}n a 满足11a =,且12nn n a a n +=++,则() n a =A.()11212n n n --+-B.()1212n n n -+-C.()11212n n n -++-D.()1212n n n ++-答案：()()()()()()()()11112211121222,2,12221211212221121=212212n n n n n n n n n n n n n n n n n a a n a a n a a a a a a a a n n n n n n n n++-------∴=++∴-=+∴=-+-++-+⎡⎤⎡⎤=-++-+++++⎣⎦⎣⎦⎡⎤=-+-+++++++⎣⎦---=++--故答案选D2.已知正项数列{}n a 满足()()221111,210n n n n a n a n a a a ++=+-++=,则它的通项公式为( )A.11n a n =+B.21n a n =+ C.12n n a +=D.n a n =答案：方法 1: 由 ()()2211210n n n n n a n a a a +++-++=, 得()2111121121121,.21221131n n n n n n n n n n n a a a n n n a a a n a a a n n a a a a a n n n B+++---⎛⎫++⋅+=+= ⎪+⎝⎭-∴=⋅⋅=⋅⋅=++即，故选 方法 2 :此题用构造法可以秒.()()111,212n n n n a n n a n a a n +++=+=++, 所以 ()1n n a + 是常数列.()()1122122,1n n n n a n a a a n ++=+===+ 3.(2011-四川)数列{}n a 的首项为{}3,n b 为等差数列且()*1n n n b a a n +=-∈N,若3102,12b b =-=,则8a =（ ）A.0B.3C.8D.11答案：依题意可知 1122912b d b d +=-⎧⎨+=⎩ 求得11121186,2,,,n n n n n b d b a a b b b a a a ++=-==-∴+++=-∴=()1276673332b b b -+⨯++++=+= 故选 B.4.(2021春-定州市校级月考)数列{}n a 满足11a =,且对任意的*,m n ∈N 都有m n m n a a a mn +=++,则等于122017111a a a +++等于( )A.20162017 B.20172018 C.40342018 D.40242017答案：数列 {}n a 满足 11a =, 且对任意的 *,m n ∈N 都有 n n m n a a a mn +=++, 则:21132113,a a a a a a =++==+ 26,+=则 ()11232n n n a n +=++++=. 所以:()1211211n a n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭, 则122017201811114034212018a a a a ⎛⎫+++=-=⎪⎝⎭.故选 C . 5.(2021春-香坊区校级期中)如果数列{}n a 中,满足321121,,,,nn a a a a a a a -是首项为1公比为3的等比数列,则100a 等于()A.1003B.903 C.49503D.50503答案：321121,,,,n n a a a a a a a - 是首项为 1 公比为 3 的等比数列, 113n n n a a --∴=, 则()(1)1211213221121133333n n n n nn n a a a a a a a a -+++---=⋅=⋅⋅==()n(n 1)121121233333n n -+++--⋅==, 则 190944950210033a ⨯==, 故选 C.6.(2021春-济南校级期末)如果数列{}n a 满足121321,,,,n n a a a a a a a ----是首项为1,公比为3的等比数列,则n a 等于( )A.312n +B.332n +C.312n -D.332n -答案：121321,,,,,n n a a a a a a a ---- 是首项为 1 , 公比为 3 的等比数列()()()()12132111331.132nnn n n a a a a a a a a -⨯--∴=+-+-++-==-故选 C. 7.(2021秋-粑宁区校级期末)设数列{}n a 中,112,n n a a a n +==+,则通项n a = .答案：数列 {}n a 中, 112,n n a a a n +==+, 则112211,2,,1n n n n a a n a a n a a ----=--=--=,故()111121212n n n n a a a a n --=+-=++-=, 所以 242n n n a -+= (首项符合通项),故答案为 242n n -+8.(2010-辽宁)已知数列{}n a 满足1133,2n n a a a n +=-=,则na n的最小值为 . 答案：()()()()211221121213333n n n n n a a a a a a a a n n n ---⎡⎤=-+-++-+=+++-+=+-⎣⎦, 所以331n a n n n =+- , 设()331f n n n =+-, 令 ()23310f n n-=+>', 则()f n 在 上)+∞是单调递增，在0（ )上是单调递减的,因为 n +∈N , 所以当 5n = 或 6时()f n 有最小值. 又因为56536321,55662a a ===, 所以n an的最小值为 62162a = 9.(2015-江苏)设数列{}n a 满足11a =,且()*11n n a a n n +-=+∈N ,则数列1n a ⎛⎫⎪⎝⎭的前10项的和为 .答案：数列{}n a 满足11a =,且()*11,n n a a n n +-=+∈∴N 当2n 时,()()1211n n n a a a a a a -=-++-+ ()1212n n n +=+++=. 当1n =时,上式也成立,()()11211,2.211n n n n a a n n n n +⎛⎫∴=∴==-∴ ⎪++⎝⎭ 数列 1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的 n 项的和 11111122121.223111n n S n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-=∴ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 数列 1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前 10 项的和为2011, 故答案为 201110.(2021-和平区校级一模)在数列{}n a 与{}n b 中,111,4a b ==,数列{}na 的前n 项和n S 满足1n nS +-()130,2n n n S a ++=为nb 与1n b +的等比中项,n +∈N .(1)求22,a b 的值;(2)求数列{}n a 与{}n b 的通项公式. 答案： (1)数列 {}n a 与 {}*b 中,()11112111,4,30,40,1n n a b nS n S a a a a +==-+=∴+-==,解得2 3.a =12n a +为nb 与1n b +的等比中项, 21214,4a b b b ∴==, 解得 29b =.(2) 由题设 ()1130,1n n nS n S a +-+==,14b =,及223,9a b ==, 进一步可得33446,16,10,25a b a b ====, 由此猜想()1,2n n n n a b +==2(1),n n ++∈N 先证()1,2n n n a n ++=∈N . 当 1n = 时, ()11112a ⨯+=, 等式成立. 当 2n 时用数学归纳法证明如下: 当 2n = 时, ()22212a ⨯+=, 等式成立. 假设n k =时等式成立, 即()1,22k k k a k +=. 由题设, ()13k k kS k S +=+①, ()()112k k k S k S --=+②, ①的两边分别减去②的两边, 整理得, 1k ka +=()2k k a +, 从而()()()111112222k k k k k k k k a a k k +⎡⎤++++++⎣⎦==⋅=. 这就是说, 当 1n k =+时等式也成立. 综上可知, 等式()12n n n a +=对任何的n +∈N 都成立.再证 2(1),n b n n +=+∈N , 当 1n = 时, 1b = 4,∴ 等式成立. 假设 n k = 时, 等式成立,即2(1)k b k =+, 那么1n k =+时,()2112,k k k a b b ++=()()()22221112[2(1).(2)[11].12k k k k k b b k k n k ++⎤++∴⋅=+⋅∴=+=++∴=+⎥⎦时等式成立. ∴ 综上知, 2(1),n b n n +=+∈⋅N11.（2021春-河西区校级月考)在数列{}n a 中,11111,12n n nn a a a n ++⎛⎫==++ ⎪⎝⎭. 1) 设nn a b n =,求1n n b b +-2) 求数列{}n b 的通项公式3) 求数列{}2n n a -的前n 项和n S .答案：(1)数列 {}1111,1,12n n n nn a a a a n ++⎛⎫==++∴ ⎪⎝⎭ 由已知得 111b a ==, 且 1112n n n a a n n +=++, 即 1n n b b +=+ 12n , 从而 ()()213211*********,,2.,2.22222n n n n n n n n nb b b b b b n b b n b b --+--=+=+=+∴-=∴-=(2)()121111112,22222n n n b b n +-=++++=-. 又 11b =, 故所求的通项公式为 1122n n b -=-. (3) 由 (2) 知 112,222n n n n n n a n n a --=--=, 故 2312342341,222211234222222n n n n nS n S -=+++++=+++++①②①-②得231111111112221241222222222212n n n n n n n n n n n n n S S ---+=+++++-=-=--∴=-- 12.(2021秋-洛阳期中)已知数列{}n a 满足:122,23a a ==且()11322n n n a a a +--+=. (1)令1n n n b a a -=-,求证:{}n b 是等差数列,并求{}n a 的通项公式; (2)为使123111152n a a a a ++++>成立的最小的正整数n . 答案：(1) 证明:()11322n n n a a a +--+=, 变形为:111122.,33n n n n n n n n n a a a a b a a b b +--+-=-+=-∴-=, 由21101222,2333a a a a b -=-+∴-=+, 解得 {}12.3n b b = 是等差数列, 首项为23, 公差为2.3n b ∴= ()2221.333n n +-⨯= (2) 由 (1) 可得: ()()(1121322.3n n n n a a n a a a a a a a --=∴=+-+-++-)()112312222111111123,3.3333331n n nn n a n a n n a a a a -+⎛⎫=+⨯+⨯++=∴=-∴++++= ⎪+⎝⎭ 111111351312231112n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++-=-=> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 成立, 则 5n >. 因此为使1211a a ++ 31152n a a ⎫++>⎪⎭成立的最小的正整数6n =. 13.(2021-雁塔区校级模拟)已知数列{}n a 中,1228,39a a ==.当2n 时,1134(,n n n a a a n +-=-∈N*)(1)证明:{}1n n a a +-为等比数列; (2)求数列{}n a 的通项;(3)若数列{}n b 满足n n b n a =⋅,求{}n b 的前n 项和n S .答案：(1) 由题意, 当 11112,3433n n n n n n n n a a a a a a a +-+-=-⇒-=-, 所以()1113n n n n a a a a +--=-, 所以 {}1n n a a +- 是以 2129a a -= 为首项, 13为公比的等比数列.(2) 由 (1) 得 11121,93n n n n n a a a a -+-⎛⎫-=- ⎪⎝⎭22121219393n a a -⎛⎫⎛⎫=-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭, 累加得11133nn a a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭, 得 113nn a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.(3) 212,123333n n n n n n b n S n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()2121233313234432n n n n n n n ⎛⎫=+++-+++⎪⎝⎭++=-++⋅14.(2020春潞州区校级期末)已知数列{}n a 的前n 项和为*2,,3n n n n S S a n +=∈N ,且11a =.数列{}n b 为等比数列,13454,1b a b a =-=+. (1)求{}n a 和{}n b 的通项公式; (1)设*1,N nn n n b c n a +⋅=∈,数列{}n c 的前n 项和为n T ,求n T 的最小值. 答案：(1) 12,13n n n S a a +==, 当 2n 时, 112133n n n n n n n a S S a a --++=-=-, 为 ()1121n n a n n a n -+=-, 即有n a =()3211211341112212n n n n aa a n n a a a a n n -++⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=⋅--, 上式对 1n = 也成立, 则 ()12n n n a +=, {}*;n n b ∈N 为公比设为q 的等比数列,13454,1b a b a =-=+. 可得14642,15116b b =-==+=, 则 3q 8=, 即*2,2,;n n q b n =∴=∈N()()()121122221221n n n n n n n b n c a n n n n ++++⋅⋅===-++++, 前 n 项和为 ()()()23243212111222222222,0324321223n n n n n n n n n T T T c n n n n n +++++++⋅=-+-++-=--==>+++++ , 即 1n n T T +>, 可得 n T 递增，故n T 的最小值为12=3T 。

巧用累加式和累乘式解数列高考题本页仅作为文档页封面，使用时可以删除This document is for reference only-rar21year.March巧用累加式和累乘式解数列高考题 湖北省广水市一中 刘才华 432700数列中有两个常见的重要恒等式，累加式：121()n a a a a =+-+3(a -2)a +(n a +- 1)n a -和累乘式：321121nn n a a a a a a a a -=.运用它们可以求数列通项和证明数列与不等式的综合题.本文就这两个恒等式在解高考题中的应用举几例，算作是抛砖引玉. 一、累加式：121()n a a a a =+-＋32()a a -+(n a +-1)n a -求数列通项例1 （2003年高考全国卷文科第22题） 已知数列{}n a 满足11a =，113n n n a a --=+ （n ≥2）.（1）求23,a a ；（2）求证：312n n a -=.解（1）∵113n n n a a --=+，11a =， ∴2134a a =+=，232313a a =+=. （2） ∵113n n n a a --=+， ∴113n n n a a ---=（n ≥2）. ∴121321()()()n n n a a a a a a a a -=+-+-++-=211333n -++++=1(13)13n ⋅--=312n -.1.2 证明数列不等式例2 （2005年高考湖北卷理科第22题（Ⅰ）） 已知不等式12+13+1n +21[log ]2n >,其中n 为大于2的整数，2[log ]n 表示不超过2log n 的最大整数.设数列{}n a 各项为正，且满足1(0)a b b =>，n a ≤11n n na n a --+，2,3,4,.n =证明： 22,3,4,5,2[log ]n ba nb n <=+.证明 ∵n a ≤11n n na n a --+，2,3,4,.n =又0n a >，∴1n a ≥11n n n a na --+，即1na ≥111n a n -+. 设n b =1n a ，则111n n b a --=，∴1n n b b --≥1n（n ≥2）.∴1213()(n b b b b b =+-+-21)()n n b b b -++-≥1b 11123n++++ . 又1111b a b ==，且11123n +++21[log ]2n >（n ≥3）; ∴211[log ]2n b n b >+，即1n a 211[log ]2n b >+.∴n a 2111[log ]2n b <+222[log ]bb n =+.即n a 222[log ]bb n <+（n ≥3）.二、累乘式：321121nn n a a a a a a a a -= 求数列通项例3 （2000年高考全国卷理科第15题）{}n a 是首项为1的正项数列，且21(1)n n a ++ -2n na + 10n n a a +=（1,2,3,n =）,则它的通项公式为________.解 ∵2211(1)0n n n n n a na a a +++-+=，∴11()[(1)]0n n n n a a n a na ++++-=. ∵0n a >，∴10n n a a ++>.∴1(1)0n n n a na ++-=，即1(1)n n n a na ++=. ∴11n n a n a n +=+，即11n n a n a n--=（n ≥2）. ∴321121n n n a a a a a a a a -==121123n n -⋅⋅=1n（n ≥2）. 又11a =也满足上式，∴{}n a 的通项公式为1n a n=. 2.2 证明数列不等式例4 （2005年高考辽宁理科卷19题（I ））已知函数3()1x f x x +=+ (1).x ≠- 设数列{}n a 满足11a =，1()n n a f a +=，数列{}n b 满足n b = |n a .证明： n b ≤11)2nn -.证明 ∵3()(1)1x f x x x +=≠-+，又1()n n a f a +=， ∴131nn n a a a ++=+，∴131nn n a aa ++=+.即1na +=(11n na a+.∴11)|||1|n n n a a a+=+.又|n n b a =，∴1n n b+=.∴1n n n b b +=又∵11a =，131n n n a a a ++=+=211n a ++，∴n a ≥1.∴11|1|n n n b b a +=+. ∴1n n b b -（n ≥2）.∴321121nn n b b b b b b b b-= ≤1b ⋅131n--个111)2n b -=⋅. 又∴11|1b a =；∴n b ≤1n -，即n b ≤11)2nn -. 例5 (2005高考重庆卷第22题) 数列{}n a 满足11a =，且1n a +=21(1)n a n n +++12n（n ≥1）. (Ⅰ) 用数学归纳法证明：n a ≥2(n ≥2);(Ⅱ) 已知不等式ln(1)x x +<对0x >成立，证明：2n a e <（n ≥1），其中无理数 2.71828.e =证明 (Ⅰ)（略）(Ⅱ) ∵由(Ⅰ)n a ≥2（n ≥2），且11a =， ∴1211(1)2n nn a a n n +=+++211(1)2n na n n <+++， ∴1n n a a +21112n n n <+++. ∴1lnn n a a +211ln(1)2n n n <+++. 由不等式ln(1)x x +<对0x >成立， ∴221111ln(1)22n nn n n n ++<+++.∴1lnn n a a +11(1)2n n n <++，即 1ln n n a a +11112n n n <-++， ∴1n n a a +11112n n n e -++<，则1n n a a -111112n n n e --+-<（n ≥2）, ∴321121n n n a a a a a a a a -=2111111111123122221n n n e e e--+-+-+-<⋅⋅,∴n a <2111111111(1)()()()2231222n n n e--+-++-++++-111(1)(1)2n n e--+-=111222n n e e ---=<（n ≥2）.又1a =12e <, ∴2n a e <（n ≥1）.。