数列通项公式之累加法与累乘法知识分享

数列通项公式之累加法与累乘法数列是一种非常常见的数学对象，它由一系列按照一定规律排列的数所组成。

数列中每一个数被称为该数列的项，数列中相邻的两项之间的差或比被称为公差或公比。

数列通项公式即指的是能够表示数列中第n项与n的关系的公式。

在数列通项公式中，最常见的两种形式分别是累加法和累乘法。

1.累加法：累加法指的是通过将数列中每一项与前面所有项的和相加来求得数列的通项。

累加法适用于具备递推关系的数列，即每一项可以通过前面的项得到。

例如，我们考虑一个最简单的等差数列：1，2，3，4，5，...。

这个数列的通项可以通过累加法来求得。

观察数列的规律，我们可以发现第n 项为n。

因此，这个等差数列的通项公式就是An=n，其中n为项数。

再例如，我们考虑一个等差数列：4，7，10，13，16，...。

这个数列的通项也可以通过累加法来求得。

观察数列的规律，我们可以发现每一项与前一项的差都是3，即公差为3、因此，我们可以得到公式An=4+(n-1)*3，其中n为项数。

2.累乘法：累乘法指的是通过将数列中每一项与前面所有项的积相乘来求得数列的通项。

累乘法适用于具备递推关系的数列，即每一项可以通过前面的项得到。

例如，我们考虑一个最简单的等比数列：2，4，8，16，32，...。

这个数列的通项可以通过累乘法来求得。

观察数列的规律，我们可以发现第n项为2的幂次方，即An=2^n，其中n为项数。

再例如，我们考虑一个等比数列：1，-2，4，-8，16，...。

这个数列的通项也可以通过累乘法来求得。

观察数列的规律，我们可以发现每一项与前一项的比都是-2，即公比为-2、因此，我们可以得到公式An=(-2)^(n-1)，其中n为项数。

总结来说，数列通项公式之累加法和累乘法都是通过观察数列的规律，并通过对前面的数进行累加或累乘来得到通项公式。

这些公式的求得可以帮助我们更好地理解数列的性质，进而解决与数列有关的问题。

b10－b₃ 解析：设{bn}的公差为 d，则 d＝ ＝2，∴ bn＝b₃＋(n－3)d＝2(n－4)，即 an+1－an＝2(n－4)． 10－3 则 a₂－a₁＝－6，a₃－a₂＝－4，a4－a₃＝－2，…，an－an-1＝2(n－5)， 累加得到 an－a₁＝(－6)＋(－4)＋(－2)＋…＋2(n－5)＝(n－8)(n－1)， 故 an＝3＋(n－8)(n－1)，a8＝3．
2＋n 1 1 1 1 1 n 1 n ①－②，得 Tn＝1＋ ＋ ＋ ＋……＋ n-1－ n＝2(1－ n)－ n＝2－ n ， 2 2 2² 2³ 2 2 2 2 2 2＋n 2＋n 2＋n ∴ Tn＝4－ n-1 ．∴ Sn＝n(n＋1)－(4－ n-1 )＝n(n＋1)－4＋ n-1 ． 2 2 2
7.
解析：原式可化为(an+2－an+1)－(an+1－an)＝d． 令 bn＝an+1－an，则 bn+1－bn＝d，所以数列{bn}是以 b₁＝a₂－a₁＝q－p 为首项，以 d 为公差的等差数列． ∴ bn＝b₁＋(n－1)d＝q－p＋(n－1)d． 即 an+1－an＝q－p＋(n－1)d．于是有 an－a₁ ＝(an－an-1)＋(an-1－an-2)＋(an-2－an-3)＋……＋(a₂－a₁) ＝[q－p＋(n－2)d]＋[q－p＋(n－3)d]＋[q－p＋(n－4)d]＋……[q－p＋0d] n－2 ＝(n－1)(q－p)＋ ×(n－1)d 2 n－2 ＝(n－1)(q－p＋ d)， 2 n－2 n－2 ∴ an＝a₁＋(n－1)(q－p＋ d)＝p＋(n－1)(q－p＋ d) (n≥2)． 2 2 n－2 经检验当 n＝1 时也符合该式．∴ an＝p＋(n－1)(q－p＋ d)． 2 n＋2 ☆[累乘法] 已知数列{an}中，a₁＝2，满足 an+1＝ a ，求数列{an}的通项公式． n n an+1 n＋2 an an an-1 an-2 a₂ ＝ ，于是有 ＝ × × ×…× an n a₁ an-1 an-2 an-3 a₁

求数列通项公式常用的七种方法一、公式法：已知或根据题目的条件能够推出数列{}n a 为等差或等比数列，根据通项公式()d n a a n 11-+=或11-=n n q a a 进行求解.例1：已知{}n a 是一个等差数列，且5,152-==a a ，求{}n a 的通项公式.二、前n 项和法：已知数列{}n a 的前n 项和n s 的解析式，求n a . 例2：已知数列{}n a 的前n 项和12-=n n s ，求通项n a .三、n s 与n a 的关系式法：已知数列{}n a 的前n 项和n s 与通项n a 的关系式，求n a . 例3：已知数列{}n a 的前n 项和n s 满足n n s a 311=+，其中11=a ，求n a .注：解决这类问题的方法，用具俗话说就是“比着葫芦画瓢”，由n s 与n a 的关系式，类比出1-n a 与1-n s 的关系式，然后两式作差，最后别忘了检验1a 是否适合用上面的方法求出的通项.四、累加法：当数列{}n a 中有()n f a a n n =--1，即第n 项与第1-n 项的差是个有“规律”的数时，就可以用这种方法.例4：()12,011-+==+n a a a n n ，求通项n a五、累乘法：它与累加法类似 ，当数列{}n a 中有()1nn a f n a -=，即第n 项与第1-n 项的商是个有“规律”的数时，就可以用这种方法.例5：111,1n n na a a n -==- ()2,n n N *≥∈ 求通项n a六、构造法：㈠、一次函数法：在数列{}n a 中有1n n a ka b -=+（,k b 均为常数且0k ≠），从表面形式上来看n a 是关于1n a -的“一次函数”的形式，这时用下面的方法:一般化方法：设()1n n a m k a m -+=+ 则()11n n a ka k m -=+- 而1n n a ka b -=+ ∴()1b k m =- 即1b m k =- 故111n n b b a k a k k -⎛⎫+=+ ⎪--⎝⎭∴数列11n b a k -⎧⎫+⎨⎬-⎩⎭是以k 为公比的等比数列，借助它去求n a例6：已知111,21n n a a a -==+ ()2,n n N *≥∈ 求通项n a㈡、取倒数法：这种方法适用于11n n n ka a ma p--=+()2,n n N *≥∈（,,k m p 均为常数0m ≠）， 两边取倒数后得到一个新的特殊(等差或等比)数列或类似于1n n a ka b -=+的式子. 例7：已知11122,2n n n a a a a --==+ ()2,n n N *≥∈ 求通项n a㈢、取对数法：一般情况下适用于1k l n n a a -=（,k l 为非零常数）例8：已知()2113,2n n a a a n -==≥ 求通项n a七、“m n n c ba a +=+1（c b ,为常数且不为0，*,N n m ∈）”型的数列求通项n a .例9：设数列{}n a 的前n 项和为n s ，已知*11,3,N n s a a a n n n ∈+==+，求通项n a .注：求m n n c ba a +=+1（c b ,为常数且不为0，*,N n m ∈）”型的数列求通项公式的方法是等式的两边同除以1+n c ，得到一个“1n n a ka b -=+”型的数列，再用上面第六种方法里面的“一次函数法”便可求出n n ca 的通式，从而求出n a .另外本题还可以由n n n s a 31+=+得到nn n n s s s 31+=-+即 n n n s s 321+=+,按照上面求n a 的方法同理可求出n s ,再求n a .您不不妨试一试.除了以上七种方法外，还有嵌套法（迭代法）、归纳猜想法等，但这七种方法是经常用的，将其总结到一块，以便于学生记忆和掌握.。

和a1求出{sn
nan}的通项公式，
然后利用由 sn求an , 最后用累乘法求得）
谢谢大家！
有问题随时欢迎大家提问
1、已知数列{an}满足a1
1.an
an-1
n -1 (n n 1
2)求其通项公式。
2、已知数列{an}满足a1
1, an1
2an an 2
, 求其通项公式。
3、已知数列{an}满足a1 1, an an-1 2（n n 2）, 求其通项公式。
4、设数列{an}的前n项和为sn,a1 1｛, sn nan}为常数列， 求其通项公式。
a3 2
an 1
a2
3
a1 n
a4 3
a3
4
an 1
...
1n
an n -1 注意：有n-1个式子
a n -1
n
1 an n
二、累乘法
3、注意事项：
适用题型：已知a1且
an an-1
f (n)(n
2)
或者会写成： an an-1 f (n)
将n=2,3,4...n代入给出得式子列出各式
数列通项公式的求法 第2课时
累加法，累乘法，倒数法
主讲人:张佩
本节课主要内容
一、了解什么题型使用累加法及累加法的具体使用步骤 二、了解什么题型使用累乘法及累乘法的具体使用步骤 三、了解什么题型使用倒数法及倒数法的具体使用步骤 四、总结并区分（灵丹妙药） 五、过关斩将
一、累加法
1、累加法适用题型：已知a1且an - an-1 f (n)(n 2) 2、例题: 已知数列{an}满足an - an-1 3n - （ 2 n 2), a1 1, 求其通项公式。
将各式相乘时要注意哪些项约掉了

求数列通项公式累乘和累加法数列是指一列按照一定规律排列的数。

数列通项公式是指数列中每一项与该项所在的位置之间的关系式。

数列通项公式有很多种求法，其中比较常用的有累乘法和累加法。

下面将以两种方法分别介绍数列通项公式的求解过程。

一、累乘法：累乘法是指通过乘法运算，逐步求出数列的每一项。

以下是求解数列通项公式的步骤：1.确定数列的通项公式为f(n)。

2.基于数列的前几项，找出数列中各项之间的乘法关系。

3.根据乘法关系推导数列的通项公式。

示例1：已知数列的前三项分别为1、2、4，求数列的通项公式。

解：根据数列的前三项，可以得到乘法关系：2=1*2，4=2*2、则可以推测数列的通项公式为f(n)=f(n-1)*2、再通过f(1)=1确定通项公式。

根据递推式可以列出数列的前n项：f(1)=1f(2)=f(1)*2=2f(3)=f(2)*2=4通过不断应用递推式，可以得到f(n)=2^(n-1)。

示例2：已知数列的前三项分别为2、6、24，求数列的通项公式。

解：根据数列的前三项，可以得到乘法关系：6=2*3，24=6*4、则可以推测数列的通项公式为f(n)=f(n-1)*n。

再通过f(1)=2确定通项公式。

根据递推式可以列出数列的前n项：f(1)=2f(2)=f(1)*2=4f(3)=f(2)*3=12通过不断应用递推式，可以得到f(n)=2*3*4*...*n。

二、累加法：累加法是指通过加法运算，逐步求出数列的每一项。

以下是求解数列通项公式的步骤：1.确定数列的通项公式为f(n)。

2.基于数列的前几项，找出数列中各项之间的加法关系。

3.根据加法关系推导数列的通项公式。

示例1：已知数列的前三项分别为1、3、6，求数列的通项公式。

解：根据数列的前三项，可以得到加法关系：3=1+2，6=3+3、则可以推测数列的通项公式为f(n)=f(n-1)+n-1、再通过f(1)=1确定通项公式。

根据递推式可以列出数列的前n项：f(1)=1f(2)=f(1)+1=2f(3)=f(2)+2=4通过不断应用递推式，可以得到f(n)=1+2+3+...+(n-1)=n(n-1)/2示例2：已知数列的前三项分别为2、5、9，求数列的通项公式。

求数列通项公式之累加法（1）累加法：如果递推公式形式为：()1n n a a f n +-=或)(1n f a a n n +=+，则可利用累加法求通项公式注意：①等号右边为关于n 的表达式，且能够进行求和②1,n n a a +的系数相同，且为作差的形式 ③、具体操作流程之一：若1()n n a a f n +-=，则21321(1)(2) ()n n a a f a a f a a f n +-=-=-=两边分别相加得111()nn k a a f n +=-=∑例1：数列{}n a 满足：11a =，且121n n n a a +-=+，求n a解：121n n n a a +-=+ 累加可得：()2112221n n a a n --=++++-【关键提示】：是否能利用累加法，首先要看能否将数列的递推公式整理成)(1n f a a n n =-+或例2：已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。

解：【变式训练】：变式1、已知数列{}n a 的首项为1，且n a a n n 21+=+写出数列{}n a 的通项公式.变式2、在数列{}n a 中，01=a 且121-+=+n a a n n ，求数列{}n a 的通项公式。

变式3、已知数列{}n a 满足1=a变式4、在数列{}n a 中，1=a变式5、已知数列{}n a 满足1321+⋅+=+n n n a a ，31=a ，求数列{}n a 的通项公式。

累 乘 法1、数列}{n a 中，12a =, 1(1)n n na n a +=+ , 求}{n a 通项公式 解：因为1(1)n nna n a +=+所以n n a a nn 11+=+ 则11-=-n na a n n (1) . （2） . . . .1212=a a (n-1)将上式中的（1）*（2）*………*（n-1）化简得,1n a a n=（n 》2） 所以na n 2= （n 》2）当n=1时满足上式，所以na n 2=总结：满足n1a a n 与+的比值为常数或者变量的时候都可以采用累乘法变式1：数列}{n a 中，12a =,32=a ，n n a n na )1(1-=+ , 求}{n a 通项公式 解：变式2：数列}{n a 中，12a =, n n a n na )2(1+=+ , 求}{n a 通项公式 解：变式3：已知数列{}n a 中，311=a ，前n 项和n S 与n a 的关系是 n n a n n S )12(-= ，试求通项公式n a 。

数列的通项公式求法一、累加法：一阶递推数列，系数相等1.（全国高考）已知数列{}n a 满足a 1=1,a n =a n-1+3n-1 (n ≥2) ; 求a n .2.已知数列{}n a 满足a 1=1, a n =a n-1+)2(,)1(1≥-n n n , 求a n3.已知数列{}n a 满足a 1=1, a n+1=a n +lg )11(n+求a n4.已知数列{}n a 满足a 1=1, nnn na a a +=+11, 求a n二．累乘法： 形如)(1n f a a n n=+ 1.数列{}n a 中，0)1(,0,121211=-⋅++>=++n n n n n na a a a n a a 且求数列的通项公式a n2.已知数列{}n a 中，a 1=1,n n n a nn a a 求,21+=+3.已知数列{}n a 满足n n n a a n S a 求,,2121⋅==三．构造等比数列：一阶递推数列，系数不相等1.已知数列{}n a 满足a 1=2，231+=+n n a a , 求a n2.已知数列{}n a 满足a 1=1, 1211+-=+n n a a ,求a n3,设二次方程36260112=+-=+-+βαβαβα满足，有两根x a x a n n 试用1+n n a a 表示 (2) 当{}的通项公式。

时，求n a a 671=四、公式法：⎩⎨⎧≥-==-)2(,)1(,11n S S n S a n n n1.已知数列{}n a 满足前n 项和S n =n 2+1,数列{}12+=n n a b ,且前n 项和为T n ,设n n n T T c -=+12.(1)求{}n a 和{}n b 的通顶公式； （2）判断{}n c 的单调性。

2.已知数列{},6921n S n a n n n -=⋅-项和的前则数列{}n a 的通项公式为______________3.（全国高考）已知数列{}n a 满足：n n S a a 31,111==+ (1)求a n ; (2) 求n a a a 242+++4.已知数列{}n a 满足 a n >0,其前n 项和为S n ,2111322,32++=+=n n n a S S a 且满足 (1)求数列{}n a 的通项公式； (2) .49111122242322<++++≥n a a a a n 时，求证：当5.设 数列{}n a 其前n 项和为S n , 且01,)1(，其中-≠-+=λλλn n a S （1）证明：数列{}n a 是等比数列；（2）设 数列{}n a 的公比为q=f(λ),数列 {}n b 满足)2,)((,2111≥∈==*-n N n b f b b n n , 求{}n b 的通项公式； （3)记{}.),11(1n n nn n T n C b a C 项和的前求数列，-==λ6.已知数列{}n a 满足,25212121221n a a a n n +=+++ 求{}n a 和前n 项和S n.7.（山东高考）数列{}n a 满足)(,333313221*-∈=++++N n na a a a n n (1)求a n ; (2)设{}n nn b a nb 求数列,=的前n 项和S n .五、.构造等差数列、等比数列 1. 数列{}n a 满足：a 1=1,221+=+n nn a a a , 求 a n_2数列 {}n a 中，)2(,2,111≥⋅==-n S S a a n n n , 求a n ;3、数列 {}n a 中，a 1=1,当)21(22-=≥n n n S a S n 时，有(1)求S n 的表达式； (2)设12+=n S b nn , 求数列{}n b 的前n 项和T n .4.已知)0(,3,2)(,≥x x f x 等差数列，又数列 {}n a 中a n >0,a 1=3,前n 项和S n 对的正整数都有1≥∀n )(S 1-=n n S f(1) 求数列{}n a 的通项公式； (2) 设{}n n n nn n T n b T a a b 项和，求的前为的等比中项，且是1,11+.5、 数列 {}n a 中，a n >0,前n 项和为,,21n nn n S a a S =+且 求a n6、正数数列{}n a 的前n 项和为S n ,且对任意正整数n 都有12+=n n a S (1)求数列{}n a 的通项公式； (2) 设11+⋅=n n n a a b ,求{}n b 的前n 项和T n .7、正数数列{}n a 中，前n 项和S n 满足2)2(81+=n n a S (1)求数列{}n a 的通项公式； (2) 若{}项和。

数列通项公式之累加法与累乘法数列是数学中常见的一种数的排列形式，其中通项公式是指能够表示该数列中任意一项的数学公式。

有时候，我们需要计算数列的累加和或累乘积，这时候累加法和累乘法是非常有用的工具。

一、累加法：累加法是指计算数列项的和的方法。

我们可以使用累加法来计算一个数列的累加和。

具体的步骤如下：1.确定数列的通项公式。

数列的通项公式用来表示数列中任意一项的公式。

例如，对于等差数列1，4，7，10，13，...，其通项公式为an = 1 + 3(n-1)，其中n为项数。

2.确定累加的上限。

累加的上限是指要计算数列的前多少项的和。

通常我们用n来表示累加的上限值。

3.将通项公式中的n替换成累加的上限。

通过将通项公式中的n替换成累加的上限值，我们可以得到每一项的具体数值。

4.将每一项相加得到累加和。

将每一项的具体数值相加，即可得到数列的累加和。

举例说明：1. 确定通项公式：an = 1 + 3(n-1)2.确定累加的上限：n=103.将通项公式中的n替换成累加的上限：a10=1+3(10-1)=284.将每一项相加得到累加和：1+4+7+10+13+...+25+28=190因此，等差数列1，4，7，10，13，...的前10项的和为190。

二、累乘法：累乘法是指计算数列项的积的方法。

我们可以使用累乘法来计算一个数列的累乘积。

具体的步骤如下：1.确定数列的通项公式。

与累加法类似，数列的通项公式用来表示数列中任意一项的公式。

2.确定累乘的上限。

累乘的上限是指要计算数列的前多少项的积。

通常我们用n来表示累乘的上限值。

3.将通项公式中的n替换成累乘的上限。

通过将通项公式中的n替换成累乘的上限值，我们可以得到每一项的具体数值。

4.将每一项相乘得到累乘积。

将每一项的具体数值相乘，即可得到数列的累乘积。

举例说明：1. 确定通项公式：an = 2^n2.确定累乘的上限：n=53.将通项公式中的n替换成累乘的上限：a5=2^5=32总结：累加法和累乘法是计算数列累加和和累乘积的常用方法。

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四、总结并区分（灵丹妙药）
1、累加法的适用条件：已 a 1 且 知 a n-a n -1f(n )( 2 n) 2、累乘法的适用条件：已知 a1且aann-1 f(n)(n2) 3、倒数法的适用条件：已a知 1且 anpanan-1-11(n2)
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五、过关斩将
1、已{ 知 an}满 数 a1 足 列 1.anan-1n n -1 1(n2)求其通项公
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三、倒数法
1、倒数法适用题型：已a知 1且 anpanan-1-11(n2) 分式的形式
2、例题: 已知{a 数 n}满 列 a足 n3aa n-n1-11(n2)a ,11,求其通项公
解：将原式两边同时取倒数得：
1 1 (n -1) 3 3n - 2
1 3an-113 1
an
an
an-1
2、已知 {an}数 满列 a足 11,an1a2nan2,求其通项公式。 3、已{ 知 an}满 数 a1 足 列 1,anan-12（ n n2） ,求其通项
4、设{an数 }的列 n项 前和 sn,a1为 1｛ , snnna}为常数列， 求其通项公式。
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五、过关斩将答案
1、 ann22n（提示：本 法题 的在 时用 候累 ， 算 乘 等 结式 果右 是边 保 前两项的分 项子 的与 分最 母后 ）两
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2、an
2（提示：倒数同法时，取两倒边数） n1
3、 an2n1-（ 3 提示：累 右加 边法 是， 一等 个 前 n-1式 等 项比 的
4、 ann21n （提示：先 和 a1根 求{据 s出 nn常 na}的 数 通 列 项公 然后利 sn求 a用 n,最 由 后用累 . 乘法求得）

数列的通项与求和计算方法总结(总15页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--数列的通项与求和计算方法总结第一章 数列通项公式的十种求法一、公式法例1 已知数列{}n a 满足1232n n n a a +=+⨯，12a =，求数列{}n a 的通项公式。

解：1232n n n a a +=+⨯两边除以12n +，得113222n n n n a a ++=+，则113222n n n n a a ++-=，故数列{}2n n a 是以1222a 11==为首项，以23为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得31(1)22n na n =+-，所以数列{}n a 的通项公式为31()222n n a n =-。

评注：本题解题的关键是把递推关系式1232n n n a a +=+⨯转化为113222n n n n a a ++-=，说明数列{}2nna 是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出31(1)22n na n =+-，进而求出数列{}n a 的通项公式。

二、累加法例2 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。

解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则112322112()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)12[(1)(2)21](1)1(1)2(1)12(1)(1)1n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n n n n n n ---=-+-++-+-+=-++-+++⨯++⨯++=-+-++++-+-=+-+=-++=所以数列{}n a 的通项公式为2n a n =。

评注：本题解题的关键是把递推关系式121n n a a n +=++转化为121n n a a n +-=+，进而求出11232211()()()()n n n n a a a a a a a a a ----+-++-+-+，即得数列{}n a 的通项公式。

求递推数列通项公式的常用方法一、 累加法：利用1211()()n n n a a a a a a -=+-+⋅⋅⋅-求通项公式的方法称为累加法。

累加法是求“1()n n a a f n +=+”型的递推数列通项公式的基本方法（()f n 可求前n 项和）.例1. 在数列{}n a 中，11111,(1)2n n n n a a a n ++==++ （I ）设n n a b n=，求数列{}n b 的通项公式 （II ）求数列{}n a 的前n 项和n S二、累乘法:利用恒等式321121(0,2)n n n n a a a a a a n a a a -=⋅⋅⋅≠≥求通项公式的方法称为累乘法,累乘法是求: “1()n n a g n a +=”型的递推数列通项公式的基本方法(数列()g n 可求前n 项积). 例2．已知11a =,1()n n n a n a a +=-*()n N ∈,求数列{}n a 通项公式. .三、构造新数列:(一) 数列形式及构造方法1．形式1：n+1n a pa q =+（,p q 为常数，0p ≠，0q ≠）构造1：通过待定系数法，1()()n n a x p a x ++=+，反解x ,可得{}n a x +为等比数列，进而求解{}n a 构造2：由n+1n a pa q =+得n 1n a pa q -=+，两式作差：“11()n n n n a a p a a +--=-”，可得1{}n n a a --为等比数列，进而求解{}n a例3.1 已知数列{}n a 中, 11a =,121(2)n n a a n -=+≥,求{}n a 的通项公式.2．形式2：)(1n f pa a n n +=+构造1：1(1)[()]n n a g n p a g n +++=+；构造2：等式左右同除以1n p +，得111()n n n n n a a f n P p p +++=+； 例3.2设数列{}n a ：)2(,123,411≥-+==-n n a a a n n ，求n a .例3.3已知数列{}n a 中，651=a ,11)21(31+++=n n n a a ，求n a 。

+1

=
2
.
(+1)
11.设数列{an }是首项为 1 的正项数列，且(n＋1)·an＋12－nan2＋an＋1an＝0(n∈N*)，
1
则它的通项公式是 an＝________．
n
an＋1
n
解析 原式可化为[(n＋1)an＋1－nan](an＋1＋an)＝0.∵an＋1＋an>0，∴
＝
.
an n＋1
9.已知数列{an}满足 a2=6,
解析∵a2=6,
+1-
由累乘法得 an=
+
-
=n(n∈N*),求数列{an}的通项公式.
=n(n∈N*),∴a1=3
2
· ·…· ·a1=
-1
-1
-2
1
-1
2
-2
1
=
· ·…· ·a1=na1=3n(n≥2).
-1
又 a1=3 满足上式,∴an=3n(n∈N*).
an n－1
a2 1 a3 2 a4 3
a 1
则 ＝ ， ＝ ， ＝ ，…，
＝
(n≥2)，逐项相乘，得 n＝ ，又 a1＝1，
a1 2 a2 3 a3 4
a1 n
an－1
n
1
1
故 an＝ . a1＝1 也符合上式，故 an＝ .
n
n
12.已知数列{an}的前 n 项和为 S n ,首项 a1=1,且满足 3Sn =(n+2)an ,则
- =4n,所以当 n≥2 时,
+
1
-
1
-1
+…+
-2
1-4

求数列通项公式累乘和累加法数列通项公式是指能够描述数列中每一项与其位置之间的关系的公式。

本文将介绍数列通项公式的两种求解方法：累乘法和累加法。

一、累乘法累乘法是指通过逐项将数列中的各项相乘来得到通项公式的求解方法。

这种方法常用于数列中每一项与前一项之间存在乘法关系的情况。

例如，考虑以下数列：1，2，4，8，16，32，64......我们可以观察到，这个数列中的每一项都是前一项的两倍。

因此，我们可以使用累乘法来求取通项公式。

首先，我们设数列的第n项为aₙ，第n-1项为aₙ₋₁。

根据数列的定义，我们有aₙ=2*aₙ₋₁。

然后，我们观察到数列的第一项是1，即a₁=1利用递推关系aₙ=2*aₙ₋₁和初始条件a₁=1，我们可以开始求解通项公式。

根据递推关系，我们可以得到a₂=2*a₁=2，a₃=2*a₂=4，以此类推。

我们可以得到一个结论：第n项的值是2的n-1次方，即aₙ=2^(n-1)。

通过累乘法，我们成功地求解了数列的通项公式。

二、累加法累加法是指通过逐项将数列中的各项相加来得到通项公式的求解方法。

这种方法常用于数列中每一项与前一项之间存在加法关系的情况。

例如，考虑以下数列：1，3，6，10，15，21，28......我们可以观察到，这个数列中的每一项都是前一项加上一个特定的常数。

因此，我们可以使用累加法来求取通项公式。

首先，我们设数列的第n项为aₙ，第n-1项为aₙ₋₁。

根据数列的定义，我们有aₙ=aₙ₋₁+n。

然后，我们观察到数列的第一项是1，即a₁=1利用递推关系aₙ=aₙ₋₁+n和初始条件a₁=1，我们可以开始求解通项公式。

根据递推关系，我们可以得到a₂=a₁+2=1+2=3，a₃=a₂+3=3+3=6，以此类推。

我们可以得到一个结论：第n项的值可以通过前n个自然数的累加来得到，即aₙ=1+2+3+⋯+n=n*(n+1)/2通过累加法，我们成功地求解了数列的通项公式。

综上所述，通过累乘法和累加法，我们可以求解数列的通项公式。

①若 f(n)是关于 n 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和; ②若 f(n)是关于 n 的二次函数，累加后可分组求和; ③若 f(n)是关于 n 的指数函数，累加后可转化为等比数列求和; ④若 f(n)是关于 n 的分式函数，累加后可裂项求和。
例 3.已知数列{an }中,
an
0且 Sn

( 1 ) n1 2
1
2．形如： a n1 p an q n
(其中 q 是常数，且 n 0,1)
①若 p=1 时，即： a n1 an q n ，累加即可.
②若 p 1 时，即： a n1 p an q n ，
求通项方法有以下三种方向：i. 两边同除以 p n1 .目的是把所求数列构造成等差数列
)

(
an 3n
2 2

an 3n
3 3
)


(
a2 32

3a11)

a1 3

(
2 3

1 3n
)

(
2 3

1 3n 1
)

(
2 3

1 3n 2
)


(
2 3

1 32
)

3 3

2(n 1) 3

(31n

1 3n

1 3n 1

1 3n 2


1 32
)
1
因此 an 3n
求数列通项公式的十一种方法（方法全，例子全，归纳细）
总述：一．利用递推关系式求数列通项的 11 种方法： 累加法、 累乘法、 待定系数法、 阶差法（逐差法）、 迭代法、 对数变换法、 倒数变换法、 换元法（目的是去递推关系式中出现的根号）、 数学归纳法、 不动点法（递推式是一个数列通项的分式表达式）、 特征根法

求数列通项的方法总结求数列的通项公式是数列中一类常见的题型，这类题型如果单纯的看某一个具体的题目，它的求解方法灵活是灵活多变的，分享了求数列通项的方法，一起来看看吧！一、累加法：利用an=a1+（a2-a1）+…（an-an-1）求通项公式的方法称为累加法。

累加法是求型如an+1=an+f（n）的递推数列通项公式的基本方法（f （n）可求前n项和）.例1.已知数列an满足an+1=an+2n+1，a1=1，求数列an的通项公式。

解：由an+1=an+2n+1得an+1-an=2n+1则an=（an-an-1）+（an-1-an-2）+…+（a3-a2）+ （a2-a1）+a1=[2（n-1）+1]+[2（n-2）+1]+…+（2×2+1）+（2×1+1）+1=2[（n-1）+（n-2）+…+2+1]+（n-1）+1=2+（n-1）+1=（n-1）（n+1）+1=n2所以数列an的通项公式为an=n2。

例2：在数列{an}中，已知an+1= ，求该数列的通项公式.备注：取倒数之后变成逐差法。

解：两边取倒数递推式化为：=+，即-=所以-=，-=，-=…-=.…，将以上n-1个式子相加，得：-=++…+即=+++…+==1-故an==二、累乘法：利用恒等式an=a1…（an≠0，n？叟n）求通项公式的方法称为累乘法，累乘法是求型如：an+1=g（n）an的递推数列通项公式的基本方法（数列g（n）可求前n项积）.例3.已知数列{an}中a1=，an=an-1（n？叟2）求数列{an}的通项公式。

解：当n？叟2时，=，=，=，…=将这n-1个式子累乘，得到=，从而an=×=，当n=1时，==a1，所以an= 。

注：在运用累乘法时，还是要特别注意项数，计算时项数容易出错.三、公式法：利用熟知的的公式求通项公式的方法称为公式法，常用的公式有an=Sn-Sn-1（n？叟2），等差数列或等比数列的通项公式。

（条件：若 {an }的相邻两项关系式可化为： 条件： Aan+1 ⋅ an + Ban+1 + Can + D = 0 (A ≠ 0) 可用这种方法；(其中方程 Ax + (B + C)x + D = 0 可用这种方法； 其中方程
2
该数列的特征根） 的根称为该数列的特征根）
可视an +1与an都为x得到x的一元二次方程求出特 征根
6
三、待定系数法
类型:an +1 = k ⋅ an + b
例 6:在数列{an}中，a1 = 1, an+1 = 3 ⋅ an − 1, 求 an .
7
四 Sn与 n及 的 系 ， 通 an .知 a n 关 式 求 项
(n =1 ) S1 类 :应 公 an = 型 用 式 求 解 Sn − Sn−1(n ≥ 2)
17
七、对数法
q an +1 = pan ( p > 0) 类型七 类型七：
例
2 a1 = 2, an +1 = 3an + 6an + 2 ，求 17：数列 {a n }满足 ：
数列 {a n }的通项公式
18
七、对数法
q an +1 = pan ( p > 0) 类型七 类型七：
的图象上，其中n = 1, 2,3,⋯，求数列{an }的通项公式。
13
引 拓 :an+1 = qan + An + Bn +C 伸 展
2
例13 :已知数列{an } 满足a1 = 1， 且an +1 = 2an + n − n + 1，

求通项公式的5种重要方法一、Sn 法，根据等差数列、等比数列的定义求通项an=Sn-S n-1*121{}(1)()3(1),;(2):{}.n n n n n a n S S a n N a a a =-∈ 已知数列的前项为，求求证数列是等比数列二、累加、累乘法1、累加法 适用于：1()n n a a f n +=+若1()n n a a f n +-=(2)n ≥，则 21321(1)(2)()n n a a f a a f a a f n +-=-=-=两边分别相加得 111()nn k a a f n +=-=∑例2 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。

例3 已知数列{}n a 满足112313n n n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式。

例12、累乘法 适用于： 1()n n a f n a += 若1()n n a f n a +=，则31212(1)(2)()n na a a f f f n a a a +=== ，，， 两边分别相乘得，1111()n n k a a f k a +==⋅∏ 例4 已知数列{}n a 满足112(1)53n n n a n a a +=+⨯=，，求数列{}n a 的通项公式。

例5 已知11a =,1()n n n a n a a +=-*()n N ∈,求数列{}n a 通项公式.例6 已知数列{}n a 满足11231123(1)(2)n n a a a a a n a n -==++++-≥ ，，求{}n a 的通项公式。

三、待定系数法 适用于1()n n a qa f n +=+分析：通过凑配可转化为1121()[()]n n a f n a f n λλλ++=+;解题基本步骤：1、确定()f n2、设等比数列{}1()n a f n λ+，公比为2λ3、列出关系式1121()[()]n n a f n a f n λλλ++=+4、比较系数求1λ，2λ5、解得数列{}1()n a f n λ+的通项公式6、解得数列{}n a 的通项公式例7 已知数列{}n a 中，111,21(2)n n a a a n -==+≥，求数列{}n a 的通项公式。