方法3.4定义法(测)-2017年高考数学(文)二轮复习讲练测Word版含解析

专题13 圆锥曲线压轴解答题常考套路归类【命题规律】解析几何是高考数学的重要考查内容，常作为试卷的拔高与区分度大的试题，其思维要求高，计算量大．令同学们畏惧．通过对近几年高考试题与模拟试题的研究，分析归纳出以下考点：（1）解析几何通性通法研究；（2）圆锥曲线中最值、定点、定值问题； （3）解析几何中的常见模型；解析几何的核心内容概括为八个字，就是“定义、方程、位置关系”．所有的解析几何试题都是围绕这八个字的内容与三大核心考点展开．【核心考点目录】核心考点一：轨迹方程核心考点二：向量搭桥进行翻译 核心考点三：弦长、面积背景的条件翻译 核心考点四：斜率之和差商积问题 核心考点五：弦长、面积范围与最值问题 核心考点六：定值问题 核心考点七：定点问题 核心考点八：三点共线问题 核心考点九：中点弦与对称问题 核心考点十：四点共圆问题 核心考点十一：切线问题 核心考点十二：定比点差法 核心考点十三：齐次化 核心考点十四：极点极线问题【真题回归】1．（2022·浙江·统考高考真题）如图，已知椭圆22112x y +=．设A ，B 是椭圆上异于(0,1)P 的两点，且点0,21Q ⎛⎫⎪⎝⎭在线段AB 上，直线,PA PB 分别交直线132y x =-+于C ，D 两点．（1）求点P 到椭圆上点的距离的最大值； （2）求||CD 的最小值．2．（2022·全国·统考高考真题）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的右焦点为(2,0)F ，渐近线方程为y =．（1）求C 的方程；（2）过F 的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点，点()()1122,,,P x y Q x y 在C 上，且1210,0x x y >>>．过P 且斜率为Q M ．从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立：①M 在AB 上；②PQ AB ∥；③||||MA MB =．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．3．（2022·全国·统考高考真题）设抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点(),0D p ，过F 的直线交C 于M ，N 两点．当直线MD 垂直于x 轴时，3MF =． （1）求C 的方程；（2）设直线,MD ND 与C 的另一个交点分别为A ，B ，记直线,MN AB 的倾斜角分别为,αβ．当αβ-取得最大值时，求直线AB 的方程．4．（2022·全国·统考高考真题）已知椭圆E 的中心为坐标原点，对称轴为x 轴、y 轴，且过()30,2,,12A B ⎛--⎫⎪⎝⎭两点．（1）求E 的方程；（2）设过点()1,2P -的直线交E 于M ，N 两点，过M 且平行于x 轴的直线与线段AB 交于点T ，点H 满足MT TH =．证明：直线HN 过定点．5．（2022·全国·统考高考真题）已知点(2,1)A 在双曲线2222:1(1)1x yC a a a -=>-上，直线l 交C 于P ，Q 两点，直线,AP AQ 的斜率之和为0． （1）求l 的斜率；（2）若tan PAQ ∠=PAQ △的面积．【方法技巧与总结】1、直接推理计算，定值问题一般是先引入参数，最后通过计算消去参数，从而得到定值．2、先猜后证，从特殊入手，求出定点或定值，再证明定点或定值与参数无关．3、建立目标函数，使用函数的最值或取值范围求参数范围．4、建立目标函数，使用基本不等式求最值．5、根据题设不等关系构建不等式求参数取值范围．【核心考点】核心考点一：轨迹方程 【规律方法】求动点的轨迹方程有如下几种方法：（1）直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程；（2）定义法：如果能确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程；（3）相关点法：用动点Q 的坐标x 、y 表示相关点P 的坐标0x 、0y ，然后代入点P 的坐标()00,x y 所满足的曲线方程，整理化简可得出动点Q 的轨迹方程；（4）参数法：当动点坐标x 、y 之间的直接关系难以找到时，往往先寻找x 、y 与某一参数t 得到方程，即为动点的轨迹方程；（5）交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程．【典型例题】例1．（2022·全国·高三专题练习）双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一条渐近线为y =，且一个焦点到渐（1）求双曲线方程；（2）过点()0,1的直线l 与双曲线交于异支两点,,P Q OM OP OQ =+，求点M 的轨迹方程．例2．（2022春·吉林辽源·高三辽源市第五中学校校考期中）已知过定点()01P ，的直线l 交曲线2214y x -=于A ，B 两点．（1）若直线l 的倾斜角为45︒，求AB ；（2）若线段AB 的中点为M ，求点M 的轨迹方程．例3．（2022·全国·高三专题练习）在学习数学的过程中，我们通常运用类比猜想的方法研究问题． （1）已知动点P 为圆222:O x y r +=外一点，过P 引圆O 的两条切线PA 、PB ，A 、B 为切点，若0PA PB ⋅=，求动点P 的轨迹方程；（2）若动点Q 为椭圆22:194x y M +=外一点，过Q 引椭圆M 的两条切线QC 、QD ，C 、D 为切点，若0QC QD ⋅=，求出动点Q 的轨迹方程；（3）在（2）问中若椭圆方程为22221(0)x y a b a b +=>>，其余条件都不变，那么动点Q 的轨迹方程是什么（直接写出答案即可，无需过程）．核心考点二：向量搭桥进行翻译 【规律方法】把几何语言转化翻译为向量语言，然后用向量知识来解决． 【典型例题】例4．（2023·广西南宁·南宁二中校考一模）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，倾斜角为30︒的直线过椭圆的左焦点1F 和上顶点B ，且11ABF S =△A 为右顶点）． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若过点(0,)M m 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点P ，Q ，且2PM MQ =，求实数m 的取值范围．例5．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的离心率e =(),0A a 、()0,B b（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若经过点(且斜率为k 的直线l 与椭圆C 有两个不同的交点P 和Q ，则是否存在常数k ，使得OP OQ +与AB 共线？如果存在，求k 的值；如果不存在，请说明理由．例6．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线2212:14x y bΓ-=与圆2222:4(0)x y b b Γ+=+>交于点(),(A A A x y 第一象限)，曲线Γ为1Γ、2Γ上取满足A x x >的部分．（1）若A x b 的值；（2）当b =2Γ与x 轴交点记作点1F 、2F ，P 是曲线Γ上一点，且在第一象限，且18PF =，求12F PF ∠；（3）过点20,22b D ⎛⎫+ ⎪⎝⎭斜率为2b-的直线l 与曲线Γ只有两个交点，记为M 、N ，用b 表示OM ON ⋅，并求OM ON ⋅的取值范围．例7．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，且128F F =，()4,6P 是C 上一点． （1）求C 的方程；（2）过点()1,1M 的直线与C 交于两点A ，B ，与直线:312l y x =-交于点N ．设NA AM λ=，NB BM μ=，求证：λμ+为定值．核心考点三：弦长、面积背景的条件翻译 【规律方法】首先仍是将题目中的基本信息进行代数化，坐标化，遵循直线与圆锥曲线题目通解中的套路，即设点设线、直由联立、看判别式、韦达定理．将有关弦长、面积背景的问题进行条件翻译时，一般是应用弦长公式、点到直线的距离公式及面积公式（在圆中要用半径、半弦、弦心距组成的直角三角形求弦长）将有关弦长、面积的条件翻译为：（1）关于某个参数的函数，根据要求求出最值；（2）关于某个参数的方程，根据要求得出参数的值或两参数间的关系．【典型例题】例8．（2022春·内蒙古呼和浩特·高三呼市二中阶段练习）已知椭圆222:1(0)8x y C a a +=>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 为C 上一点，且当1PF x ⊥轴时，2103PF =． （1）求C 的方程；（2）设C 在点P 处的切线交x 轴于点Q ，证明：1221PF QF PF QF ⋅=⋅．例9．（2022春·江苏徐州·高三期末）已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>，直线l 过C 的焦点且垂直于x 轴，直线l 被C （1）求C 的方程；（2）若C 与y 轴的正半轴相交于点P ，点A 在x 轴的负半轴上，点B 在C 上，PA PB ⊥，60PAB ∠=︒，求PAB 的面积．例10．（2022春·浙江金华·高三期末）已知双曲线22:143x y C -=上一点()4,3P ，直线()0y x b b =-+<交C于A ，B 点．（1）证明：直线PA 与直线PB 的斜率之和为定值； （2）若PAB 的外接圆经过原点O ，求PAB 的面积．核心考点四：斜率之和差商积问题 【规律方法】在面对有关等角、倍角、共线、垂直等几何特征时，可设法将条件翻译成关于斜率的关系式，然后将斜率公式代入其中，得出参数间的关系式，再根据要求做进一步的推导判断．【典型例题】例11．（2022·浙江·模拟预测）已知曲线C 上的任意一点到点)F和直线x =． （1）求曲线C 的方程；（2）记曲线的左顶点为A ，过()4,0B 的直线l 与曲线C 交于P ，Q 两点，P ，Q 均在y 轴右侧，直线AP ，AQ 与y 轴分别交于M ，N 两点．若直线MB ，NB 的斜率分别为1k ，2k ，判断12k k 是否为定值．若是，求出该定值；若不是，请说明理由．例12．（2022春·云南昆明·高三昆明市第三中学校考期末）如图，已知抛物线C ：24y x =，过焦点F 斜率大于零的直线l 交抛物线于A 、B 两点，且与其准线交于点D ．（1）若线段AB 的长为5，求直线l 的方程；（2）在C 上是否存在点M ，使得对任意直线l ，直线,,MA MD MB 的斜率始终成等差数列，若存在求点M 的坐标；若不存在，请说明理由．例13．（2022·安徽·校联考二模）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>经过点12⎫⎪⎭，其右焦点为)F．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）椭圆C 的右顶点为A ，若点,P Q 在椭圆C 上，且满足直线AP 与AQ 的斜率之积为120，求APQ △面积的最大值．例14．（2022春·云南·高三校联考阶段练习）已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的离心率为2，H ⎛ ⎝⎭是C 上一点． （1）求C 的方程．（2）设A ，B 分别为椭圆C 的左、右顶点，过点()1,0D 作斜率不为0的直线l ，l 与C 交于P ，Q 两点，直线AP 与直线BQ 交于点M ，记AP 的斜率为1k ，BQ 的斜率为2k ．证明：①12k k 为定值；②点M 在定直线上．核心考点五：弦长、面积范围与最值问题 【规律方法】弦长和面积的最值问题首先需要将弦长和面积表达出来，弦长可用弦长公式求出；面积的表达以直线与椭圆相交得到的OAB 为例，总结一下高考中常见的三角形面积公式．对于OAB ，有以下三种常见的表达式：①1||||2OABSAB OH =⋅（随时随地使用，但是相对比较繁琐，想想弦长公式和点到直线距离）②121||2OABSOM y y =⋅-（横截距已知的条件下使用） ③121||2OABS ON x x =⋅-（纵截距已知的条件下使用） 【典型例题】例15．（2021秋·上海普陀·高三曹杨二中阶段练习）已知椭圆22:184x y C +=，过点(0,4)P 作关于y 轴对称的两条直线12,l l ，且1l 与椭圆交于不同两点2,,A B l 与椭圆交于不同两点D ，C ．（1）已知1l 经过椭圆的左焦点，求1l 的方程； （2）证明：直线AC 与直线BD 交于点(0,1)Q ； （3）求线段AC 长的取值范围．例16．（2022·四川达州·统考一模）平面直角坐标系 xOy 中， 已知椭圆22:14x C y +=， 椭圆2:16x E +214y =．设点P 为椭圆C 上任意一点， 过点P 的直线y kx m =+交椭圆E 于A B ，两点， 射线PO 交椭圆E 于点Q ．（1）求 OQ OP的值；（2）求 ABQ 面积的最大值．例17．（2022春·吉林通化·高三梅河口市第五中学校考期末）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形，直线3460x y ++=与圆222()x y b a +-=相切．（1）求椭圆C 的方程；（2）过点)M作两条互相垂直的直线12,l l ，与椭圆C 分别交于,,,A B C D 四点，如图，求四边形ACBD 的面积的取值范围．核心考点六：定值问题 【规律方法】求定值问题常见的方法有两种：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 【典型例题】例18．（2022春·广东肇庆·高三肇庆市第一中学校考阶段练习）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的离心率是2，直线l 过双曲线C 的右焦点F ，且与双曲线C 的右支交于,A B 两点．当直线l 垂直于x 轴时，6AB =．（1）求双曲线C 的标准方程．（2）记双曲线C 的左､右顶点分别是,D E ，直线AD 与BE 交于点P ，试问点P 是否恒在某直线上？若是，求出该直线方程；若不是，请说明理由．例19．（2022春·湖南株洲·高三校联考阶段练习）已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的右焦点为F ，上顶点为1B ，下顶点为2B ，12B FB △为等腰直角三角形，且直线1FB 与圆221x y +=相切． （1）求椭圆C 的方程；（2）过()0,2P 的直线l 交椭圆C 于D ，E 两点（异于点1B ，2B ），直线1B E ，2B D 相交于点Q ．证明：点Q 在一条平行于x 轴的直线上．例20．（2022春·北京丰台·高三北京丰台二中校考阶段练习）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>过点为()()2,0,0,1A B -．（1）求椭圆E 的方程及其焦距；（2）过点()2,1P -的直线与椭圆E 交于不同的两点,C D ，直线,BC BD 分别与x 轴交于点,M N ，求AM AN的值．核心考点七：定点问题 【规律方法】求解直线过定点问题常用方法如下：（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；（3）求证直线过定点()00,x y ，常利用直线的点斜式方程()00y y k x x -=-或截距式y kx b =+来证明． 【典型例题】例21．（2023·河南郑州·高三阶段练习）已知抛物线2:2C y px =（其中6p >-F ，点M 、N 分别为抛物线C 上两个动点，满足以MN 为直径的圆过点F ，设点E 为MN 的中点，当MN EF ⊥时，点E 的坐标为()3-． （1）求抛物线C 的方程；（2）直线MF 、NF 与抛物线的另一个交点分别为A 、B ，点P 、Q 分别为AM 、BN 的中点，证明：直线PQ 过定点．例22．（2023春·甘肃兰州·高三兰化一中校考阶段练习）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为12，右顶点为A ，上顶点为B ，右焦点为F ，斜率为2的直线经过点A ，且点F （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线l ：y kx m =+与椭圆C 交于E 、F 两点（E 、F 两点与A 、B 两点不重合），且以EF 为直径的圆过椭圆C 的右顶点，证明：直线l 过定点，并求出该定点坐标．例23．（2023·江苏苏州·苏州中学校考模拟预测）已知动圆M 与圆(22:4A x y +=及圆(22:4B x y +=中的一个外切，另一个内切．（1）求动圆圆心M 的轨迹C 的方程；（2）若直线l 与轨迹C 相交于P 、Q 两点，以线段PQ 为直径的圆经过轨迹C 与x 轴正半轴的交点D ，证明直线l 经过一个不在轨迹C 上的定点，并求出该定点的坐标．核心考点八：三点共线问题 【规律方法】证明共线的方法：（1）斜率法：若过任意两点的直线的斜率都存在，通过计算证明过任意两点的直线的斜率相等证明三点共线；（2）距离法：计算出任意两点间的距离，若某两点间的距离等于另外两个距离之和，则这三点共线；（3）向量法：利用向量共线定理证明三点共线；（4）直线方程法：求出过其中两点的直线方程，在证明第3点也在该直线上；（5）点到直线的距离法：求出过其中某两点的直线方程，计算出第三点到该直线的距离，若距离为0，则三点共线．（6）面积法：通过计算求出以这三点为三角形的面积，若面积为0，则三点共线，在处理三点共线问题，离不开解析几何的重要思想：“设而不求思想”．【典型例题】例24．（2023·全国·高三专题练习）已知2222:1(0,0)x y E a b a b -=>>的右焦点为2F ，点2F 到E 的一条渐近线2F 的直线与E 相交于,A B 两点．当AB x ⊥轴时，||AB = （1）求E 的方程．（2）若3,02M ⎛⎫⎪⎝⎭，N 是直线1x =上一点，当,,B M N 三点共线时，判断直线AN 的斜率是否为定值．若是定值，求出该定值；若不是定值，说明理由．例25．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b +=>>，右焦点为F ，且离心（1）求椭圆C 的方程；（2）设M ，N 是椭圆C 上的两点，直线MN 与曲线222(0)x y b x +=>相切．证明：M ，N ，F 三点共线的充要条件是||MN =例26．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>经过点()0,1C O 为坐标原点．（1）求椭圆E 的方程；（2）设A 、B 分别为椭圆E 的左、右顶点，D 为椭圆E 上一点（不在坐标轴上），直线CD 交x 轴于点P ，Q 为直线AD 上一点，且4OP OQ =⋅，求证：C 、B 、Q 三点共线．核心考点九：中点弦与对称问题 【规律方法】对于中点弦问题常用点差法解决． 【典型例题】例27．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>的离心率为12，点A ，B 分别为椭圆E 的左右顶点，点C 在E 上，且ABC 面积的最大值为 （1）求椭圆E 的方程；（2）设F 为E 的左焦点，点D 在直线x ＝﹣4上，过F 作DF 的垂线交椭圆E 于M ，N 两点．证明：直线OD 平分线段MN ．例28．（2023春·江苏南京·高三统考阶段练习）已知O 为坐标原点，点⎛ ⎝⎭在椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>上，直线l ：=+y x m 与C 交于A ，B 两点，且线段AB 的中点为M ，直线OM 的斜率为12-．（1）求C 的方程；（2）若=1m ，试问C 上是否存在P ，Q 两点关于l 对称，若存在，求出P ，Q 的坐标，若不存在，请说明理由．例29．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线C ：()220y px p =>的焦点为F ，准线为l ，记准线l 与x 轴的交点为A ，过A 作直线交抛物线C 于()11,M x y ，()22,N x y （21x x >）两点．（1）若122x x p +=，求MF NF +的值；（2）若M 是线段AN 的中点，求直线MN 的方程；（3）若P ，Q 是准线l 上关于x 轴对称的两点，问直线PM 与QN 的交点是否在一条定直线上？请说明理由．核心考点十：四点共圆问题 【规律方法】 证明四点共圆的方法：方法一：从被证共圆的四点中先选出三点作一圆，然后证另一点也在这个圆上，若能证明这一点，则可肯定这四点共圆．方法二：把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形，且两三角形都在这底边的同侧，若能证明其顶角相等，则可肯定这四点共圆（根据圆的性质一一同弧所对的圆周角相等证）．方法三：把被证共圆的四点连成四边形，若能证明其对角互补或能证明其中一个外角等于其内对角时，则可肯定这四点共圆（根据圆的性质一一圆内接四边形的对角和为180︒，并且任何一个外角都等于它的内对角）．方法四：证明被证共圆的四点到某一定点的距离都相等，或证明被证四点连成的四边形其中三边中垂线有交点），则可肯定这四点共圆（根据圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹为圆）．【典型例题】例30．（2022春·山西运城·高三校考阶段练习）已知点(4,4)M 在抛物线2:2x py Γ=上，过动点P 作抛物线的两条切线，切点分别为A ､B ，且直线PA 与直线PB 的斜率之积为2-． （1）证明：直线AB 过定点；（2）过A ､B 分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为C ､D ，问：是否存在一点P 使得A ､C ､P ､D 四点共圆？若存在，求所有满足条件的P 点；若不存在，请说明理由．例31．（2022·浙江丽水·高三统考竞赛）如图，已知抛物线24x y =的焦点为F ，直线:l y m =与抛物线交于,D E 两点，过,D E 分别作抛物线的切线12,l l ，12,l l 交于点A ．过抛物线上一点M （在l 下方）作切线3l ，交12,l l 于点,B C ．（1）当=1m 时，求ABC 面积的最大值； （2）证明A B F C 、、、四点共圆．例32．（2022·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系xOy 中，已知()1,1A ，()1,1B -，动点P 满足OP mOA nOB =+，且1mn =．设动点P 形成的轨迹为曲线C ．（1）求曲线C 的标准方程；（2）过点()2,2T 的直线l 与曲线C 交于M ，N 两点，试判断是否存在直线l ，使得A ，B ，M ，N 四点共圆．若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．核心考点十一：切线问题 【规律方法】（1）若点()00,P x y 是圆222x y r +=上的点，则过点P 的切线方程为0x x +20y y r =．（2）若点()00,P x y 是圆222x y r +=外的点，由点P 向圆引两条切线，切点分别为A ，B ，则弦AB 所在直线方程为200x x y y r +=．（3）若点()00,P x y 是椭圆22221x y a b +=上的点，则过点P 的切线方程为00221x x y ya b+=．（4）若点()00,P x y 是椭圆22221x y a b+=外的点，由点P 向椭圆引两条切线，切点分别为A ，B ，则弦AB 所在直线方程为00221x x y ya b+=． 【典型例题】例33．（2023·全国·高三校联考阶段练习）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22143x y +=的左、右顶点分别为,A B ，过左焦点1F 的直线与椭圆交于点,P Q （点Q 在点P 的上方）．（1）求证：直线,AP AQ 的斜率乘积为定值；（2）过点,P Q 分别作椭圆的切线，设两切线交于点M ，证明：1MF PQ ⊥．例34．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的右焦点为(1,0)F，且点P 在椭圆C 上，O 为坐标原点 （1）求椭圆C 的标准方程（2）过椭圆22122:153x y C a b +=-上异于其顶点的任一点Q ，作圆224:3O x y +=的切线，切点分别为M ，(N M ，N 不在坐标轴上），若直线MN 的横纵截距分别为m ，n ，求证：22113m n +为定值例35．（2023·全国·高三专题练习）已知中心在原点的椭圆1Γ和抛物线2Γ有相同的焦点(1,0)，椭圆1Γ的离心率为12，抛物线2Γ的顶点为原点．（1）求椭圆1Γ和抛物线2Γ的方程；（2）设点P 为抛物线2Γ准线上的任意一点，过点P 作抛物线2Γ的两条切线PA ，PB ，其中,A B 为切点．设直线PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，求证：12k k 为定值．核心考点十二：定比点差法 【典型例题】例36．已知椭圆2222:1x y C a b+=（0a b >>，过右焦点F 且斜率为k （0k >）的直线与C 相交于A ，B 两点，若3AF FB =，求k例37．已知22194x y +=，过点(0,3)P 的直线交椭圆于A ，B （可以重合），求PA PB 取值范围．例38．已知椭圆22162x y +=的左右焦点分别为1F ，2F ，A ，B ，P 是椭圆上的三个动点，且11PF F A λ=，22PF F B μ=若2λ=，求μ的值．核心考点十三：齐次化 【典型例题】例39．已知抛物线2:4C y x =，过点(4,0)的直线与抛物线C 交于P ，Q 两点，O 为坐标原点．证明：90POQ ︒∠=．例40．如图，椭圆22:12x E y +=，经过点(1,1)M ，且斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点P ，Q（均异于点(0,1)A -，证明：直线AP 与AQ 的斜率之和为2．例41．已知椭圆22:14x C y +=，设直线l 不经过点2(0,1)P 且与C 相交于A ，B 两点．若直线2P A 与直线2P B 的斜率的和为1-，证明：直线l 过定点．核心考点十四：极点极线问题 【典型例题】例42．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为12，短轴长为（1）求椭圆C 的方程；（2）设A ，B 分别为椭圆C 的左、右顶点，若过点()4,0P 且斜率不为0的直线l 与椭圆C 交于M 、N 两点，直线AM 与BN 相交于点Q ．证明：点Q 在定直线上．例43．（2022·全国·高三专题练习）已知A ，B 分别是双曲线22:14y E x -=的左，右顶点，直线l （不与坐标轴垂直）过点()2,0N ，且与双曲线E 交于C ，D 两点．（1）若3CN ND =，求直线l 的方程；（2）若直线AC 与BD 相交于点P ，求证：点P 在定直线上．例44．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆()2222:10,0x y C a b a b +=>>与y 轴的交点,A B （点A 位于点B的上方），F 为左焦点，原点O 到直线FA 2． （1）求椭圆C 的离心率；（2）设2b =，直线4y kx =+与椭圆C 交于不同的两点,M N ，求证：直线BM 与直线AN 的交点G 在定直线上．【新题速递】1．（2023春·福建泉州·高三阶段练习）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点()1,0F ，直线l ：=1x -，P 为平面上的动点，过点P 作直线l 的垂线，垂足为点Q ，分别以PQ ，PF 为直径作圆1C 和圆2C ，且圆1C 和圆2C 交于P ，R 两点，且PQR PFR ∠=∠．（1）求动点P 的轨迹E 的方程；（2）若直线1l ：x my a =+交轨迹E 于A ，B 两点，直线2l ：1x =与轨迹E 交于M ，D 两点，其中点M 在第一象限，点A ，B 在直线2l 两侧，直线1l 与2l 交于点N 且MA BN AN MB ⋅=⋅，求MAB △面积的最大值．2．（2023·北京·高三专题练习）已知椭圆C 中心在原点O 为()0,1F ．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点F 且不与坐标轴垂直的直线l 与椭圆相交于,A B 两点，直线,OA OB 分别与直线2y =相交于,M N 两点，若MON ∠为锐角，求直线l 斜率k 的取值范围．3．（2023·青海海东·统考一模）已知函数()32ln 13x f x x x x =-+-．（1）求曲线()y f x =在1x =处的切线方程；（2）若()y f x =在点A 处的切线为1l ，函数()e e x xg x -=-的图象在点B 处的切线为2l ，12l l ∥，求直线AB 的方程．4．（2023春·重庆·高三统考阶段练习）已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>的左右焦点分别为12,F F ，右顶点为A ，上顶点为B ，O 为坐标原点，||2||OA OB =．（1）若12BF F △的面积为1C 的标准方程；（2）如图，过点(1,0)P 作斜率(0)k k >的直线l 交椭圆1C 于不同两点M ，N ，点M 关于x 轴对称的点为S ，直线SN 交x 轴于点T ，点P 在椭圆的内部，在椭圆上存在点Q ，使OM ON OQ +=，记四边形OMQN 的面积为1S ，求21OT OQ S k⋅-的最大值．5．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的右顶点为A ，过左焦点F 的直线1(0)x ty t =-≠交椭圆于M ，N 两点，交y 轴于P 点，PM MF λ=，PN NF μ=，记OMN ，2OMF △，2ONF △（2F 为C 的右焦点）的面积分别为123,,S S S ．（1）证明：λμ+为定值；（2）若123S mS S μ=+，42λ-≤≤-，求m 的取值范围．6．（2023·四川成都·统考二模）已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左､右焦点分别为12,F F ，离心率2e =，22a c=． （1）求椭圆的标准方程；（2）过点1F 的直线l 与该椭圆交于M N 、两点，且222263F M F N +=l 的方程．7．（2023·全国·高三专题练习）设12,F F 分别是椭圆2222:1(0)x y D a b a b +=>>的左､右焦点，过2F 作倾斜角为π3的直线交椭圆D 于,A B 两点，1F 到直线AB 的距离为3，连接椭圆D 的四个顶点得到的菱形面积为4． （1）求椭圆D 的方程；（2）已知点()1,0M -，设E 是椭圆D 上的一点，过,E M 两点的直线l 交y 轴于点C ，若CE EM λ=，求λ的取值范围；（3）作直线1l 与椭圆D 交于不同的两点,P Q ，其中P 点的坐标为()2,0-，若点()0,N t 是线段PQ 垂直平分线上一点，且满足4NP NQ ⋅=，求实数t 的值．8．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，,A B 为椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左､右顶点，焦距长为P 在椭圆E 上，直线,PA PB 的斜率之积为14-．（1）求椭圆E 的方程；（2）已知O 为坐标原点，点()2,2C -，直线PC 交椭圆E 于点(,M M P 不重合），直线,BM OC 交于点G ．求证：直线,AP AG 的斜率之积为定值，并求出该定值．9．（2023·全国·高三专题练习）已知F ，F '分别是椭圆221:171617C x y +=的上、下焦点，直线1l 过点F '且垂直于椭圆长轴，动直线2l 垂直1l 于点G ，线段GF 的垂直平分线交2l 于点H ，点H 的轨迹为2C ． （1）求轨迹2C 的方程；（2）若动点P 在直线:20l x y --=上运动，且过点P 作轨迹2C 的两条切线PA 、PB ，切点为A 、B ，试猜想PFA ∠与PFB ∠的大小关系，并证明你的结论的正确性．10．（2023春·江西·高三校联考阶段练习）已知椭圆22x a ＋22y b ＝1（a ＞b ＞0），右焦点F （1，0），离心率为F 作两条互相垂直的弦AB ，CD ．（1）求椭圆的标准方程；（2）求以A ，B ，C ，D 为顶点的四边形的面积的取值范围．11．（2023·全国·高三专题练习）如图，椭圆22:12+=x E y ，经过点(1,1)M ，且斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点P ，Q （均异于点(0,1)A -，证明：直线AP 与AQ 的斜率之和为2．12．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆22162x y +=的左右焦点分别为1F ，2F ，A ，B ，P 是椭圆上的三个动点，且11PF F A λ=，22PF F B μ=，若2λ=，求μ的值．13．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为12，且直线1:1x y l a b +=被椭圆1C ． （1）求椭圆1C 的方程；（2）以椭圆1C 的长轴为直径作圆2C ，过直线2:4l y =上的动点M 作圆2C 的两条切线，设切点为,A B ，若直线AB 与椭圆1C 交于不同的两点C ，D ，求||||CD AB ⋅的取值范围．14．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>的两个焦点1F ，2F ，动点P 在椭圆上，且使得1290F PF ∠=︒的点P 恰有两个，动点P 到焦点1F 的距离的最大值为2（1）求椭圆1C 的方程；（2）如图，以椭圆1C 的长轴为直径作圆2C ，过直线x =-T 作圆2C 的两条切线，设切点分别为A ，B ，若直线AB 与椭圆1C 交于不同的两点C ，D ，求弦||CD 长的取值范围．15．（2023·全国·高三专题练习）已知1F 、2F 分别为椭圆2222:1(0)x yC a b a b+=>>的左、右焦点，且右焦点2F 的坐标为(1,0)，点(P 在椭圆C 上，O 为坐标原点．（1）求椭圆C 的标准方程（2）若过点2F 的直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，且||AB =l 的方程；。

192017年高考数学（文）专题练习（四）定义法（讲）解 析例1．例2．【解析】，所以是充分非必要条件，选A 例3．例4． 【解析】对于①，若令，则其伴随点为，而的伴随点为，而不是，故①错误；对于②，设曲线关于轴对称，则与方程表示同一曲线，其伴随曲线2211,111a a a a a >⇒>>⇒><-或(1,1)P 11(,)22P '-11(,)22P '-(1,1)--P (,)0f x y =x (,)0f x y -=(,)0f x y =分别为与也表示同一曲线，又曲线与曲线的图象关于轴对称，所以②正确；③设单位圆上任一点的坐标为，其伴随点为仍在单位圆上，故②正确；对于④，直线上任一点的伴随点是，消参后点轨迹是圆，故④错误．所以正确的为序号为②③． 例5．例6． 【解析】，选B ． 例7． 【解析】，所以的实部为1． 例8． 【解析】向量，由得，解得，故选D ．例9． 【解析】2222(,)0y x f x y x y -=++2222(,)0y xf x y x y--=++2222(,)0y x f x y x y -=++2222(,)0y xf x y x y --=++y (cos ,sin )P x x (sin ,cos )P x x '-y kx b =+P (,)x y 'P 2222(,)y x x y x y -++'P 22(1)1,11(1)(1)i z i z i i i i +===+∴=---+2(1)211i z z ii +=⇒==-+z a b (4,m 2)+=-r r (a b)b +⊥r r r 43(m 2)(2)0⨯+-⨯-=m 8=设，，∴，， ，∴，故选B ．例10．例11． 【解析】（I ）由已知可得，，所以平面． 又平面，故平面平面．（II ）过作，垂足为，由（I ）知平面．以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系．由（I ）知为二面角的平面角，故，则，，可得BA a =u u u r r BC b =u u u r r11()22DE AC b a ==-u u u ru u ur r r 33()24DF DE b a ==-u u u r u u u r r r 1353()2444AF AD DF a b a a b =+=-+-=-+u u u r u u u r u u u r r r r r r 25353144848AF BC a b b ⋅=-⋅+=-+=u u u r u u u r r rr F DF A ⊥F F A ⊥E F A ⊥FDC E F A ⊂F ABE F ABE ⊥FDC E D DG F ⊥E G DG ⊥F ABE G GF u u u rx GFu u u r G xyz -DF ∠E D F -A -E DF 60∠E =o DF 2=DG 3=例12． 【解析】．故答案应填：．例13．222227,3,7310,2a b c a b c c ==∴=+=+=∴=∴=Q（Ⅱ）当与轴不垂直时，设的方程为，，．由得．则，．所以．过点且与垂直的直线：，到的距离为，所以．故四边形的面积．l x l )0)(1(≠-=k x k y ),(11y x M ),(22y x N ⎪⎩⎪⎨⎧=+-=134)1(22y x x k y 01248)34(2222=-+-+k x k x k 3482221+=+k k x x 341242221+-=k k x x 34)1(12||1||22212++=-+=k k x x k MN )0,1(B l m )1(1--=x k y A m 122+k 1344)12(42||22222++=+-=k k k PQ MPNQ 341112||||212++==k PQ MN S。

专题02 正余弦定理在解三角形中的高级应用与最值问题【命题规律】解三角形是每年高考常考内容，在选择、填空题中考查较多，有时会出现在选择题、填空题的压轴小题位置，综合考查以解答题为主，中等难度．【核心考点目录】核心考点一：倍长定比分线模型 核心考点二：倍角定理 核心考点三：角平分线模型 核心考点四：隐圆问题核心考点五：正切比值与和差问题 核心考点六：四边形定值和最值 核心考点七：边角特殊，构建坐标系核心考点八：利用正、余弦定理求解与三角形的周长、面积有关的问题 核心考点九：利用正、余弦定理求解三角形中的最值或范围【真题回归】1．（2022·全国·高考真题（理））已知ABC 中，点D 在边BC 上，120,2,2ADB AD CD BD ∠=︒==．当ACAB取得最小值时，BD =________．2．（2022·全国·高考真题）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，分别以a ，b ，c 为边长的三个正三角形的面积依次为123,,S S S ，已知12313S S S B -+==． （1）求ABC 的面积；（2）若sin sin A C =b ．3．（2022·全国·高考真题（文））记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ﹐已知()()sin sin sin sin C A B B C A -=-． （1）若2A B =，求C ； （2）证明：2222a b c =+4．（2022·全国·高考真题）记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos sin21sin1cos2A BA B=++．（1）若23Cπ=，求B；（2）求222a bc+的最小值．【方法技巧与总结】1、正弦定理和余弦定理的主要作用，是将三角形中已知条件的边、角关系转化为角的关系或边的关系，基本思想是方程思想，即根据正弦定理、余弦定理列出关于未知元素的方程，通过解方程求得未知元素．2、与三角形面积或周长有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理，进行边和角的转化．要适当选用公式，对于面积公式111sin sin sin222S ab C ac B bc A===，一般是已知哪一个角就使用哪个公式．3、对于利用正、余弦定理解三角形中的最值与范围问题，主要有两种解决方法：一是利用基本不等式，求得最大值或最小值；二是将所求式转化为只含有三角形某一个角的三角函数形式，结合角的范围，确定所求式的范围．4、利用正、余弦定理解三角形，要注意灵活运用面积公式，三角形内角和、基本不等式、二次函数等知识．5、正弦定理和余弦定理是求解三角形周长或面积最值问题的杀手锏，要牢牢掌握并灵活运用．利用三角公式化简三角恒等式，并结合正弦定理和余弦定理实现边角互化，再结合角的范围、辅助角公式、基本不等式等求其最值．6、三角形中的一些最值问题，可以通过构建目标函数，将问题转化为求函数的最值，再利用单调性求解．7、“坐标法”是求解与解三角形相关最值问题的一条重要途径．充分利用题设条件中所提供的特殊边角关系，建立恰当的直角坐标系，选取合理的参数，正确求出关键点的坐标，准确表示出所求的目标，再结合三角形、不等式、函数等知识求其最值．【核心考点】核心考点一：倍长定比分线模型【规律方法】如图，若P 在边BC 上，且满足PC BP λ=，AP m =，则延长AP 至D ，使PD AP λ=，连接CD ，易知AB ∥DC ，且DC c λ=，(1)AD AP λ=+．180BAC ACD ∠+∠=︒．【典型例题】例1．（2022·福建·厦门双十中学高三期中）如图，在ABC 中，π3BAC ∠=，2AD DB =，P 为CD 上一点，且满足12AP mAC AB =+，若2AC =，3AB =，则||AP 的值为（ ）A B C D例2．（2021·全国·高考真题）记ABC 是内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知2b ac =，点D 在边AC 上，sin sin BD ABC a C ∠=.（1）证明：BD b =；（2）若2AD DC =，求cos ABC ∠.例3．（2022·湖南·宁乡一中高三期中）设a ，b ，c 分别为ABC 的内角A ，B ，C 的对边，AD 为BC 边上的中线，c ＝1，23BAC π∠=，12sin cos sin sin sin 2c A B a A b B b C =-+．(1)求AD 的长度；(2)若E 为AB 上靠近B 的四等分点，G 为ABC 的重心，连接EG 并延长与AC 交于点F ，求AF 的长度．例4．（2022·广西柳州·高三阶段练习（文））已知2()sin cos f x x x x =，将()f x 的图象向右平移π0<<2ϕϕ⎛⎫ ⎪⎝⎭单位后，得到()g x 的图象，且()g x 的图象关于,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称．(1)求ϕ；(2)若ABC 的角,,A B C 所对的边依次为,,a b c ，且182A g ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，=1,=2b c ，若点D 为BC 边靠近C 的三等分点，试求AD 的长度．例5．（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中，D 为BC 上靠近点C 的三等分点，且1AD CD ==．记ABC 的面积为S ．(1)若sin 2sin C B =，求S ； (2)求S 的取值范围．例6．（2022·全国·高三专题练习）已知a ，b ，c 分别是ABC 内角A ，B ，C 所对的边，且满足1cos 2c A b a =-，若P 为边AB 上靠近A 的三等分点，1CP =，求：（1）求C 的值； （2）求2+a b 的最大值．例7．（2022·全国·高三专题练习）在①ANBN=AMN S =△AC AM =这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并进行求解.问题：在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，3B π=，c =8，点M ，N 是BC 边上的两个三等分点，3BC BM =，___________，求AM 的长和ABC 外接圆半径.例8．（2022·湖北·高三期中）ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知()sin sin()a c A a B C -=-，b =(1)求角B ；(2)若AC 边上的点D 满足2CD DA =，BD =ABC 的面积．核心考点二：倍角定理 【规律方法】例9．（2022·广西·灵山县新洲中学高三阶段练习（文））在锐角ABC 中，角A B C ，，所对的边为a b c ，，，且()cos 1cos a B b A ⋅=+.(1)证明:2A B =(2)若2b =，求a 的取值范围.例10．（2022·黑龙江·哈师大附中高三阶段练习）已知a ，b ，c 分别为ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，S 是ABC 的面积,()222sin SB C a c +=-．(1)证明：A ＝2C ；(2)若a ＝2，且ABC 为锐角三角形，求b ＋2c 的取值范围．例11．（2022·福建龙岩·高三期中）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知22sin sin sin sin B C A C -=．(1)证明：2B C =；(2)若A 是钝角，2a =，求ABC 面积的取值范围．例12．（2022·江苏·宝应中学高三阶段练习）在ABC 中，设角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足()2a b b c +=.(1)求证：2C B =； (2)求4cos a bb B+的最小值.例13．（2022·江苏连云港·高三期中）在ABC 中，AB ＝4，AC ＝3． (1)若1cos 4C =-，求ABC 的面积；(2)若A ＝2B ，求BC 的长．例14．（2022·浙江·绍兴鲁迅中学高三阶段练习）在锐角ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足()22sin sin sin sin A B B A B -=+.(1)证明：2A B =. (2)求bc 的取值范围.核心考点三：角平分线模型 【规律方法】斯库顿定理：如图，AD 是ABC △的角平分线，则2·AD AB AC BD DC =⋅-，可记忆：中方=上积一下积．【典型例题】例15．（2022·湖北·武汉市武钢三中高三阶段练习）ABC 中，2AB =，1AC =，BD BC λ=，()0,1λ∈. (1)若120BAC ∠=︒，12λ=，求AD 的长度； (2)若AD 为角平分线，且1AD =，求ABC 的面积.例16．（2022·黑龙江齐齐哈尔·高三期中）在锐角ABC 中，内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，且满足cos cos cos c a bC A B+=+ (1)求角C 的大小；(2)若c =A 与角B 的内角平分线相交于点D ，求ABD △面积的取值范围.例17．（2022·江苏泰州·高三期中）在①sin (cos cos )sin sin sin C a B b A a B a A b B +-=+；②22sin sin cos cos B A B B A A -=两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题．已知△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a b ， ．(1)求角C 的大小；(2)若∠ACB 的角平分线CD 交线段AB 于点D ，且4,4CD BD AD ==，求△ABC 的面积．例18．（2022·辽宁·东北育才学校高三阶段练习）已知向量()3sin ,cos a x x =，()cos ,cos b x x =-，函数()32f x a b =⋅+． (1)求函数()y f x =的最小正周期；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，∠ACB 的角平分线交AB 于点D ，若()f C 恰好为函数()f x 的最大值，且此时()CD f C =，求3a ＋4b 的最小值．例19．（2022·河北·高三阶段练习）已知ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，其中=4a ，=3b . (1)若点D 为AB 的中点且=2CD ，求ACB ∠的余弦值；(2)若ACB ∠的角平分线与AB 相交于点E ，当c CE ⨯取得最大值时，求CE 的长.例20．（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且______．在①cos cos2b C B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭；②2ABC S BC =⋅△；③tan tan tan A C A C +=这三个条件中任选一个，补充在上面的问题中，并进行解答． (1)求角B 的大小；(2)若角B 的内角平分线交AC 于D ，且1BD =，求4a c +的最小值．例21．（2022·贵州贵阳·高三开学考试（理））已知ABC 的内角,,A B C 对应的边分别是,,a b c ， 内角A 的角平分线交边BC 于D 点， 且 4=AD ．若(2)cos cos 0b c A a C ++=， 则ABC 面积的最小值是（ ）A ．16B ．C ．64D ．核心考点四：隐圆问题 【规律方法】若三角形中出现(1)b a λλ=>，且c 为定值，则点C 位于阿波罗尼斯圆上．【典型例题】例22．（2022·全国·高三专题练习（文））阿波罗尼奥斯是与阿基米德、欧几里得齐名的古希腊数学家，以他姓名命名的阿氏圆是指平面内到两定点的距离的比值为常数()0,1λλλ>≠的动点的轨迹．已知在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且sin 2sin A B =，cos cos 3a B b A +=，则ABC 面积的最大值为（ ）A ．3B ．C ．6D ．例23．（2022·全国·高三专题练习）阿波罗尼斯是古希腊数学家，他与阿基米德、欧几里得被称为亚历山人时期的“数学三巨匠”，以他名字命名的阿波罗尼斯圆是指平面内到两定点距离比值为定值(0,1)λλλ>≠的动点的轨迹.已知在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且sin 2sin A B =，cos cos 2a B b A +=，则ABC ∆面积的最大值为（ ）AB C ．43D ．53例24．（2022·全国·高三专题练习）阿波罗尼斯（古希腊数学家，约公元前262—190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽几乎使后人没有插足的余地.他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k （0k >且1k ≠）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆，现有ABC ，6AC =，sin 2sin C A =，则当ABC 的面积最大时，BC 的长为______.例25．（2022·全国·高三专题练习）阿波罗尼斯是古希腊数学家，他与阿基米德、欧几里得被称为亚历山大时期的“数学三巨匠”，以他名字命名的阿波罗尼斯圆是指平面内到两定点距离之比为定值λ（0,1λλ>≠）的动点的轨迹.已知在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，sin 2sin ,A B =cos cos 2,a B b A +=则ABC 面积的最大值为__________．例26．（2022·全国·高三专题练习）波罗尼斯（古希腊数学家，约公元前262-190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽几乎使后人没有插足的余地.他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k （0k >且1k ≠）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.现有ABC ∆，4,sin 2sin AC C A ==，则当ABC ∆的面积最大时，AC 边上的高为_______________.核心考点五：正切比值与和差问题 【规律方法】例27．（2022·江苏南通·高三期中）在ABC 中，点D 在边BC 上，且AD BD =，记BDCDλ=. (1)当13λ=，π3ADB ∠=，求ABAC ；(2)若tan 2tan BAC B ∠=，求λ的值.例28．（2022·河南焦作·高三期中（文））在锐角ABC 中，,,a b c 分别为角,,A B C 所对的边，2b =，且ABC 的面积2S =．(1)若4sin 5A =，求a ； (2)求tan B 的最大值．例29．（2022·江西·芦溪中学高三阶段练习（理））已知在ABC 中，角A ，B ，C ，的对边分别为a ，b ，c ，且222b a c ac =+-，1b =(1)若)tan tan 1tan tan A C A C -=+，求边c 的值； (2)若2a c =，求ABC 的面积．例30．（2022·江西赣州·高三期中（理））在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足(2)a c BA BC cCB CA -⋅=⋅．(1)求角B 的大小； (2)若tan tan 4tan tan B B A C+=，求sin sin AC 的值．例31．（2022·湖南·高三阶段练习）在ABC 中，内角A ，B ，C 满足22222a b c +=且90B ≠︒． (1)求证：tan 3tan C A =； (2)求111tan tan tan A B C++的最小值．例32．（2022·全国·高三专题练习）已知三角形ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且222tan tan tan a b c A B Cλλ+=>（1）. (1)当,14A a π==，2λ=时，求c 的值；(2)判断ABC 的形状.例33．（2022·湖北·高三开学考试）在ABC 中，内角,,A B C 满足2222sin sin 2sin A B C +=. (1)求证：tan 3tan C A =； (2)求123tan tan tan A B C++最小值.例34．（2022·江苏南京·高三开学考试）记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知222222a b a b c c ab -+-=. (1)若4C π=，求A ，B ；(2)若△ABC 为锐角三角形，求2cos ab B的取值范围.例35．（2022·全国·高三专题练习）已知锐角ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若向量(,sin )m a b C =-，(3,sin sin )n c b A B =-+，(0)m n λλ=≠，则1tan 24b Cc +的最小值为（ ）A B ．C D例36．（2022·山西吕梁·高三阶段练习）在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且22222a c b +=，则tan tan BC=______．例37．（2022·河南安阳·高三阶段练习（文））在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若113tan tan sin B C bc A+=⋅，且()1sin sin 2C B A -=，则22c b -=__________．核心考点六：四边形定值和最值 【规律方法】正常的四边形我们不去解释，只需多一次余弦定理即可，我们需要注意一些圆内接的四边形，尤其是拥有对角互补的四边形，尤其一些四边形还需要引入托勒密定理．勒密定理：在四边形ABCD 中，有AB CD AD BC AC BD ⋅+⋅≥⋅，当且仅当四边形ABCD 四点共圆时，等号成立．【典型例题】例38．（2022·甘肃·兰州西北中学高三期中（理））在四边形ABCD 中，2,3AB BC CD AD ====，则四边形ABCD 面积的最大值为______.例39．（2022·江苏无锡·高三期中）如图，在平面四边形ABCD 中，cos AB BD ABD =∠．(1)判断ABD △的形状并证明；(2)若AB =，BC =，12BC =，求四边形ABCD 的对角线AC 的最大值．例40．（2022·山西忻州·高三阶段练习）在平面四边形ABCD 中，20AB AD ==，π3BAD ∠=，2π3BCD ∠=．(1)若5π12ABC ∠=，求BC 的长； (2)求四边形ABCD 周长的最大值．例41．（2022·黑龙江·齐齐哈尔市实验中学高三阶段练习）已知函数()((1sin cos 1sin cos f x x x x x ⎡⎤⎡⎤=-⋅-⎣⎦⎣⎦.(1)求()f x 的最小正周期T 和单调递减区间；(2)四边形ABCD 内接于⊙O ，BD =2，锐角A 满足314A f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，求四边形ABCD 面积S 的取值范围.例42．（2022·辽宁·朝阳市第一高级中学高三阶段练习）如图，在平面凹四边形ABCD 中，=2AB ，=3BC ，60B ∠=︒.(1)若sin sin AD A CD C =且=1AD ，求凹四边形ABCD 的面积； (2)若120ADC ∠=︒，求凹四边形ABCD 的面积的最小值.例43．（2022·全国·高三阶段练习（理））如图，在平面四边形ABCD 中，AD CD ⊥，()090BAD BCD θθ∠=∠=<<，6AB BC +=.(1)若=2BC AB ，75θ=，求对角线AC 的长；(2)当AD CD =，=3BC 时，求平面四边形ABCD 的面积的最大值及此时θ的值.例44．（2022·上海·华师大二附中高三开学考试）设()()cos sin f x x x ϕ=--，其中0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，已知03f π⎛⎫= ⎪⎝⎭. (1)求()f x 的最小值；(2)已知凸四边形ABCD 中，()114,7AB AC AD f A ====，求ABCD 面积的最大值.核心考点七：边角特殊，构建坐标系 【规律方法】利用坐标法求出轨迹方程 【典型例题】例45．在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若2a +2228b c +=，则ABC △的面积的最大值为______．【解析】:方法1:如图，在ABC ∆中，以线段AB 所在的直线为x 轴，AB 的中垂线为y 轴，建立平面直角坐标系，则,02c A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，,02c B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设(,)C x y ，得222c x y ⎡⎤⎛⎫-++⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦222822c x y c ⎡⎤⎛⎫++=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，整理得222544x y c +=-，当ABC ∆面积最大时0x =，故12ABC S c ∆=⨯=285c =时，ABC ∆.方法2:如图，设AD x =，BD y =，CD h =，由22228a b c ++=，得()()22222(h y h x x +++++2)8y =，即222222()8h x y x y ++++=，又2222x yx y ++222()(2x y x y ++当且仅当x y =时取等号)，所以2252()82h x y ++，又1()2ABC S x y h x∆=+=+22y =⨯1)2x y⎤+=⎥⎦15)25x y⎤+⨯⨯⎥⎦2252()25225h x y++(当且仅当)x y+=时，等号成立，即h，将h=与x y=代人222222()8h x y x y++++=中，得x y==⎭.所以ABC∆.方法3:由三角形面积公式，得1sin2ABCS ab C∆=，即()222222211sin1cos44ABCS a b C a b C∆==-，由22228a b c++=，得22282a b c+=-，由余弦定理，得283cos2cCab-=，所以()222222211sin1cos44ABCS a b C a b C∆==-=()22222222831831142416cca b a bab⎡⎤-⎛⎫-⎢⎥⋅-=-⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦()()2222242835161616a b c cc+--=-+(当且仅当a b=时取等号)，当285c=时，42516cc-+，取得最大值45，即245ABCS∆，所以ABC∆面积的最大值为(也可以用基本不等式求2ABCS∆的最大值，即42516ABCcS∆=-+()2225165145165c cc-=⋅，所以ABC∆).方法4:在ABC∆中，由余弦定理，得2222cosc a b ab C=+-，由22228a b c++=，得()222222cos8a b a b ab C+++-=，即()22384cosa b ab C+=+，又222a b ab+，所以84cos6ab C ab+，即(32cos)4ab C-，故432cosabC-，又1sin2ABCS ab C∆=，所以2sin32cosABCCSC∆-，令2sin()32cosxf xx=-，(0,)xπ∈，得26cos4()(32cos)xf xx-'=-，令6cos40x-=，得2cos3x=，即当2cos3x=时，sin x=ABC∆.例46．在ABC△中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a b==ABC△所在的平面内存在点M ，使得2223MA MB MC +==3，则ABC △的面积的最大值为______．【解析】:以AB 所在直线为x 轴，AB 边的垂直平分线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设(,0)A m -，(,0)B m ，(0,)C n ，(,)M x y ，0m >，0n >.由223MA MB +=，得2222()()3x m y x m y +++-+=，即22232x y m +=-①，又21MC =，故22()1x y n +-=②，其中①式可以看作以(0，0)的圆的轨迹方程，②式可以看作以(0,)n 为圆心，半径为1的圆的轨迹方程，由题意知两圆有公共点，即点M ，则2311(3)2n m -③，又a b =得223m n +=④，由③，④得223016m <，因为ABC S mn ∆=，所以()22223ABCSm n m∆==-，2223924m m ⎛⎫=--+⎪⎝⎭，当22316m =时，2ABC S ∆取得最大值575256，故BC S ∆的最大值核心考点八：利用正、余弦定理求解与三角形的周长、面积有关的问题 【规律方法】与三角形面积或周长有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理，进行边和角的转化．要适当选用公式，对于面积公式111sin sin sin 222S ab C ac B bc A ===，一般是已知哪一个角就使用哪个公式．【典型例题】例47．（2022·重庆一中高三期中）在ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，且满足()22sin cos cos B A C B =-+.(1)证明：a ，b ，c 成等比数列；(2)若a c >且22252a cb +=，ABC ABC 的周长.例48．（2022·山东聊城·高三期中）已知ABC 中，A 、B 、C 所对边分别为a 、b 、c ，且2b a =，3c =． (1)若2π3C =，求ABC 的面积； (2)若2sin sin 1B A -=，求ABC 的周长．例49．（2022·山西·高三阶段练习）在①cos sin c A C =；②()(sin sin )()sin a b A B c C -+=-；③3cos cos b A a B c +=+这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题．问题：在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足___________． (1)求角A 的大小；(2)若D 为线段CB 延长线上的一点，且2,CB BD AD AC ===，求ABC 的面积．例50．（2022·云南云南·模拟预测）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且(cos sin )b c A A =-.(1)求角C ；(2)若c =，D 为边BC 的中点，ADC △的面积1S =且B A >，求AD 的长度.例51．（2022·全国·武功县普集高级中学模拟预测（理））如图，△ABC 中，点D 为边BC 上一点，且满足AD CDAB BC=．(1)证明：πBAC DAC ∠+∠=；(2)若AB ＝2，AC ＝1，BC =ABD 的面积．核心考点九：利用正，余弦定理求解三角形中的最值或范围 【规律方法】对于利用正、余弦定理解三角形中的最值与范围问题，主要有两种解决方法：一是利用基本不等式，求得最大值或最小值；二是将所求式转化为只含有三角形某一个角的三角函数形式，结合角的范围，确定所求式的范围．【典型例题】例52．（2022·黑龙江·大庆实验中学高三开学考试）ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知()()2sin 2sin 2sin a c A c a C b B -+-=.(1)求B ；(2)若ABC 为锐角三角形，且2b =，求ABC 周长的取值范围.例53．（2022·宁夏六盘山高级中学高三期中（理））已知向量()cos ,sin a x x =，()3sin ,sin =b x x ，函数()12=⋅-f x a b ．将函数()f x 的图像向左平移π4个单位长度后得到函数()g x 的图像．(1)求函数()g x 的零点；(2)若锐角ABC 的三个内角,,A B C 的对边分别是a ，b ，c ，且()1f A =，求b ca+的取值范围．例54．（2022·山东菏泽·高三期中）已知函数()()πsin cos sin π2f x x x x x m ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭．(1)在下列三个条件中选择一个作为已知，使得实数m 的值唯一确定，并求出使函数()f x 在区间[]0,a 上最小值为12-时，a 的取值范围；条件①：()f x 的最大值为1；条件②：()f x 的一个对称中心为7π,012⎛⎫⎪⎝⎭；条件③：()f x 的一条对称轴为π3x =．(2)若12m =-，在锐角ABC 中，若()1f A =，且能盖住ABC 的最小圆的面积为π，求+AB AC 的取值范围．例55．（2022·河南·汝阳县一高高三阶段练习（理））已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，cos sin sin cos a A A B b B =+，且ab ．(1)求角C 的大小；(2)若△ABC 为锐角三角形，且2c =，求△ABC 面积的取值范围．例56．（2022·湖南·安仁县第一中学模拟预测）在,ABC 中内角A ，B ，C 所对应的边分别为,,.a b c 已知22cos 2sin sin 12A B A B -⎛⎫-= ⎪⎝⎭ (1)求角C 的大小. (2)若1c =，求ABCS 的最大值.例57．（2022·山东·日照市教育科学研究中心高三期中）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，点D 满足3BD BC =，且0AD AC ⋅=． (1)若b ＝c ，求A 的值； (2)求B 的最大值．例58．（2022·河南·驻马店市第二高级中学高三阶段练习（文））在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知()()22232cos b c b c a abc C -+-=．(1)求tan A ；(2)若b c +=ABC 面积的最大值．例59．（2022·湖北黄冈·高三阶段练习）在①πsin sin 3a B b A ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；②S BA CA =⋅；③tan (2)tan c A b c C =-.三个条件中选一个，补充在下面的横线处，并解答问题.在ABC 中，内角A ､B ､C 的对边分别为a ､b ､c ，ABC 的面积为S ，且满足___________ (1)求A 的大小；(2)设ABC 的面积为D 在边BC 上，且2BD DC =，求AD 的最小值.【新题速递】一、单选题1．（2022·河南驻马店·高三期中（文））在ABC 中，已知30B =︒，1b =，则AB AC ⋅的最小值为（ ） A ．-1B ．14-C ．13-D ．12-2．（2022·黑龙江·大庆实验中学高三开学考试）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知()()()sin sin sin sin a b A B c C B +-=+，若角A 的内角平分线AD 的长为3，则4b c +的最小值为（ ）A ．21B ．24C ．27D ．363．（2022·山西·高三阶段练习）在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．点D 为BC 的中点，π1,3AD B ==，且ABC c =（ ）A ．1B ．2C ．3D ．44．（2022·山东菏泽·高三期中）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos sin 0a C C b c --=，则ABC 外接圆面积与ABC 面积之比的最小值为（ ）．A B C D5．（2022·湖北·高三期中）在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c tan tan A B =+，下列结论正确的是（ ） A ．6A π=B ．当2a =，4c =时，ABC 的面积为C ．若AD 是BAC ∠的角平分线，且AD =112b c+=D ．当b c -=ABC 为直角三角形6．（2022·贵州·模拟预测（理））在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，D 是边AB 上一点，CD 平分ACB ∠，且CD =cos cos 2cos a B b A c C +=，则2a b +的最小值是（ ）A ．4+B ．6C ．3+D ．47．（2022·宁夏·银川一中高三阶段练习（理））已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若△ABC 是锐角三角形，且满足()()0b a a b ac -+-=，若△ABC 的面积2S =，则()()c a b c b a +-+-的取值范围是（ ）A ．()88， B ．()0,8C ．⎝D ．8）8．（2022·重庆·西南大学附中高三阶段练习）已知O 是三角形ABC 的外心，若()2AC ABAB AO AC AO m AO AB AC⋅+⋅=，且sin sin B C +=m 的最大值为（ ） A ．6 B ．65C ．145D ．3二、多选题9．（2022·江苏南通·高三期中）在圆O 的内接四边形ABCD 中，2AB =，6BC =，4CD DA ==，则（ ）A ．27BD =B ．四边形ABCD 的面积为C ．12AO BD ⋅=D ．16AC BD ⋅=10．（2022·江苏淮安·高三期中）在ABC 中，角A,B,C 所对的边分别为,,a b c ，若2228a b c ++=，则下列四个选项中哪些值可以作为三角形的面积（ ）AB C D 11．（2022·湖北·高三阶段练习）已知ABC 外接圆的面积为π，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin A ，sin B ，sin C 成等比数列，设ABC 的周长和面积分别为P ，S ，则（ ）A ．π03B <≤B ．0b <≤C ．0P <≤D ．0S <≤12．（2022·山西太原·高三期中）已知,,a b c 分别是ABC 内角,,A B C 的对边，cos 0C <，且tan bB c=，则下列结论正确的是（ ） A ．06B π<<B ．sin cos 0BC +=C ．5cos cos cos (1,]4A B C ++∈D ．5cos cos cos (1,]4A B C ++∈-三、填空题13．（2022·四川成都·高三阶段练习（文））在ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，若2sin 3tan ,2c B a A a ==；则当角A 最大时，ABC 的面积为______.14．（2022·四川南充·高三期中（文））已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若()sin sin2B Ca A Cb ++=，且ABC 内切圆面积为4π，则ABC 周长的最小值是______． 15．（2022·安徽·砀山中学高三阶段练习）在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，5sin()cos 06a B b A ππ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭，10a =，若点M 满足25BM BC =，且MAB MBA ∠=∠，则AMC 的面积为_________________．16．（2022·全国·高三专题练习）已知A 、B 、C 、D 四点共圆，且AB ＝1，CD ＝2，AD ＝4，BC ＝5，则P A 的长度为______．四、解答题17．（2022·黑龙江·哈师大附中高三阶段练习）已知a ，b ，c 分别为ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，S 是ABC 的面积,()222sin SB C a c +=-．(1)证明：A ＝2C ；(2)若a ＝2，且ABC 为锐角三角形，求b ＋2c 的取值范围．18．（2022·河北·模拟预测）已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足)cos cos 2sin a C c A b B +=，且c b >．(1)求角B ；(2)若b =ABC 周长的取值范围．19．（2022·湖北·高三期中）如图，在平面凹四边形ABCD 中，2AB =，3BC =，120ADC ∠=，角B 满足：(1sin cos )(cossin )cos 222B B BB B ++-=．(1)求角B 的大小;(2)求凹四边形ABCD 面积的最小值．20．（2022·湖北襄阳·高三期中）在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin()cos .B C a B c ++=(1)求角A 的大小；(2)若ABC 为锐角三角形，且6b =，求ABC 面积的取值范围.21．（2022·湖北·高三阶段练习）已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()2c a a b =+.(1)求证：2C A =；(2)若ABC 为锐角三角形，求sin 3sin B A +的取值范围.22．（2022·安徽·砀山中学高三阶段练习）在ABC 中，sin sin sin sin sin sin sin C B A BA B C-+=+，(1)求角C 的大小；(2)求sin 22πsin 4B B +⎛⎫+ ⎪⎝⎭的取值范围．。

2017年普通高等学校招生全国统一考试文科数学【试卷解析】一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设集合{1,2,3},{2,3,4}A B ==，则A B =UA ．{}123,4，， B ．{}123，， C ．{}234，， D ．{}134，， 【答案】A 【解析】由题意得{}A B A ，故选4,3,2,1=⋃【考点】集合的运算【点睛】集合运算注意点：①看元素组成，集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提 ②有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决。

③注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴，坐标系和韦恩图。

2．(1i)(2i)++=A ．1i -B ．13i +C ．3i +D ．33i + 【答案】B【解析】由题意2(1i)(2i)23i i 13i ++=++=+，故选B.【考点】复数运算【点睛】首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如(+i)(+i)()+a b c d =ac bd - (+)i(,,,)ad bc a b c d ∈R . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数+i(,)a b a b ∈R 的实部为a 、虚部为b 、(,)a b 、共轭复数为i a b -.3．函数π()sin(2)3f x x =+的最小正周期为 A ．4πB ．2πC ．πD ．π2【解析】由题意得ππ==22T 故选C 【考点】正弦函数周期【点睛】的性质：函数)0,0()sin(>>++=ωϕωA B x A y 求减区间求增区间由④求对称轴③由②最小正周期，①ππϕωππππϕωπππϕωωπk x k k x k x T BA yB A y 22322222222min max +≤+≤++≤+≤+-=+=+-=+=4．设非零向量a ，b 满足+=-a b a b ，则A ．a ⊥bB ．=a bC ．a ∥bD ．>a b 【答案】A 【解析】由+=-a b a b 平方得222222+⋅+=-⋅+a a b b a a b b ，即0⋅=a b ，则⊥a b ，故选A.【考点】向量数量积【点睛】已知1122(,),(,)x y x y ==a b .(1)向量平行：1221x y x y ⇒=∥a b ，,,λλ≠⇒∃∈=0R ∥a b b a b ,11BA AC OA OB λλ=⇔=++u u u r u u u r u u u r u u u r 1OC λλ+u u u r . (2)向量垂直：121200x x y y ⊥⇔⋅=⇔+=a b a b .(3)向量运算：221212(,),||,||||cos ,x x y y ±=±±=⋅=⋅a b a a a b a b a b . 5．若1a >，则双曲线2221x y a-=的离心率的取值范围是 A．)+∞ B．2) C． D ．(1,2)【解析】由题意得222222111a a a a c e +=+==所以C e a 故选即,2121112<<<+< 【考点】双曲线离心率【点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题的关键就是确立一个关于a,b,c 的方程或不等式，再根据a,b,c 的关系消掉b 得到a,c 的关系式，而建立关于a,c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标范围等。

.绝密★启用前2017 年一般高等学校招生全国一致考试文科数学注意事项：1.答题前，考生务势必自己的姓名、准考据号填写在本试卷和答题卡相应地点上。

2. 回答选择题时，选出每题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需变动，用橡皮擦洁净后，再选涂其余答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：此题共12 小题，每题 5 分，共 60 分。

在每题给出的四个选项中，只有一项是切合题目要求的。

1.设会合 A1，2，3， B 2，3，4，则AUB=A.12，，3,4B.12，，3C.2，3，4D.13，，42.（ 1+i ）（2+i） =B. 1+3iC. 3+iD.3+3i3.函数 f x=sin（ 2x+）的最小正周期为3C. D.24.设非零向量 a ，b知足a+b = a-b则A a⊥b B.a = b C. a ∥b D. a b5. 若a＞1，则双曲线x2- y21的离心率的取值范围是a2A.（2，+）B.（ 2，2）C.（ 1， 2）D.（1，2）6. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为2x+3y 307. 设x、y知足拘束条件2x 3y 3 0。

则z2x y的最小值是y 30A. -15B.-9C. 1 D 98.函数 f ( x) ln( x2 2x 8) 的单一递加区间是A.(- ,-2)B. (-,-1)C.(1, +)D. (4, +)9.甲、乙、丙、丁四位同学一同去处老师咨询成语比赛的成绩，老师说，你们四人中有 2 位优异， 2 位优异，我此刻给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩，看后甲对大家说：我仍是不知道我的成绩，依据以上信息，则A. 乙能够知道两人的成绩B.丁可能知道两人的成绩C.乙、丁能够知道对方的成绩D. 乙、丁能够知道自己的成绩10. 履行右边的程序框图，假如输入的a=-1，则输出的S=11. 从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取 1 张，放回后再随机抽取 1 张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为A.1132 B.5C. D. 1010512.过抛物线 C: y2=4x的焦点 F，且斜率为 3 的直线交 C 于点 M（ M在 x 轴上方），l为 C 的准线，点 N在l上且 MN⊥l,则 M到直线 NF 的距离为A. 5B.22C.23D.33二、填空题，此题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分.13.函数 f x=2cosx sinx 的最大值为.14.已知函数f x是定义在 R 上的奇函数，当x -，0时， f x2 x3x2,则 f 2 =15.长方体的长、宽、高分别为3,2,1 ，其极点都在球 O的球面上，则球 O的表面积为16.△ ABC的内角 A,B,C 的对边分别为a,b,c,若 2b cosB=a cosC+c cosA, 则 B=三、解答题：共70 分。

专题08 立体几何解答题常考全归类【命题规律】空间向量是将空间几何问题坐标化的工具，是常考的重点，立体几何解答题的基本模式是论证推理与计算相结合，以某个空间几何体为依托，分步设问，逐层加深．解决这类题目的原则是建系求点、坐标运算、几何结论．作为求解空间角的有力工具，通常在解答题中进行考查，属于中等难度．【核心考点目录】核心考点一：非常规空间几何体为载体核心考点二：立体几何探索性问题核心考点三：立体几何折叠问题核心考点四：立体几何作图问题核心考点五：立体几何建系繁琐问题核心考点六：两角相等（构造全等）的立体几何问题核心考点七：利用传统方法找几何关系建系核心考点八：空间中的点不好求核心考点九：创新定义【真题回归】1．（2022·天津·统考高考真题）直三棱柱111ABC A B C 中，112,,AA AB AC AA AB AC AB ===⊥⊥，D 为11A B 的中点，E 为1AA 的中点，F 为CD 的中点．(1)求证：//EF 平面ABC ；(2)求直线BE 与平面1CC D 所成角的正弦值；(3)求平面1ACD 与平面1CC D 所成二面角的余弦值．2．（2022·全国·统考高考真题）如图，四面体ABCD 中，,,AD CD AD CD ADB BDC ⊥=∠=∠，E 为AC 的中点．(1)证明：平面BED ⊥平面ACD ；(2)设2,60AB BD ACB ==∠=︒，点F 在BD 上，当AFC △的面积最小时，求CF 与平面ABD 所成的角的正弦值．3．（2022·浙江·统考高考真题）如图，已知ABCD 和CDEF 都是直角梯形，//AB DC ，//DC EF ，5AB =，3DC =，1EF =，60BAD CDE ∠=∠=︒，二面角F DC B --的平面角为60︒．设M ，N 分别为,AE BC 的中点．(1)证明：FN AD ⊥；(2)求直线BM 与平面ADE 所成角的正弦值．4．（2022·全国·统考高考真题）如图，PO 是三棱锥-P ABC 的高，PA PB =，AB AC ⊥，E 是PB 的中点．(1)证明：//OE 平面PAC ；(2)若30ABO CBO ∠=∠=︒，3PO =，5PA =，求二面角C AE B --的正弦值．5．（2022·全国·统考高考真题）如图，四面体ABCD 中，,,AD CD AD CD ADB BDC ⊥=∠=∠，E 为AC 的中点．(1)证明：平面BED ⊥平面ACD ；(2)设2,60AB BD ACB ==∠=︒，点F 在BD 上，当AFC △的面积最小时，求三棱锥F ABC -的体积．6．（2022·全国·统考高考真题）在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥底面,,1,2,ABCD CD AB AD DC CB AB DP =====∥(1)证明：BD PA ⊥；(2)求PD 与平面PAB 所成的角的正弦值．7．（2022·北京·统考高考真题）如图，在三棱柱111ABC A B C 中，侧面11BCC B 为正方形，平面11BCC B ⊥平面11ABB A ，2AB BC ==，M ，N 分别为11A B ，AC 的中点．(1)求证：MN ∥平面11BCC B ；(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线AB 与平面BMN 所成角的正弦值． 条件①：AB MN ⊥；条件②：BM MN =．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．8．（2022·全国·统考高考真题）如图，直三棱柱111ABC A B C 的体积为4，1A BC 的面积为(1)求A 到平面1A BC 的距离；(2)设D 为1A C 的中点，1AA AB =，平面1A BC ⊥平面11ABB A ，求二面角A BD C --的正弦值．【方法技巧与总结】1、用综合法求空间角的基本数学思想主要是转化与化归，即把空间角转化为平面角，进而转化为三角形的内角，然后通过解三角形求得．求解的一般步骤为：（1）作图：作出空间角的平面角．（2）证明：证明所给图形是符合题设要求的．（3）计算：在证明的基础上计算得出结果．简称：一作、二证、三算．2、用定义作异面直线所成角的方法是“平移转化法”，可固定一条，平移另一条；或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选在特殊的位置上．3、求直线与平面所成角的常见方法（1）作角法：作出斜线、垂线、斜线在平面上的射影组成的直角三角形，根据条件求出斜线与射影所成的角即为所求．（2）等积法：公式θ=sin h l，其中θ是斜线与平面所成的角，h 是垂线段的长，是斜线段的长，其中求出垂线段的长（即斜线上的点到面的距离）既是关键又是难点，为此可构造三棱锥，利用等体积法来求垂线段的长．（3）证垂法：通过证明线面垂直得到线面角为90°．4、作二面角的平面角常有三种方法（1）棱上一点双垂线法：在棱上任取一点，过这点分别在两个面内作垂直于棱的射线，这两条射线所成的角，就是二面角的平面角．（2）面上一点三垂线法：自二面角的一个面上一点向另一面引垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点（即垂足），斜足与面上一点连线和斜足与垂足连线所夹的角，即为二面角的平面角．（3）空间一点垂面法：自空间一点作与棱垂直的平面，截二面角得两条射线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角．【核心考点】核心考点一：非常规空间几何体为载体【规律方法】关键找出三条两两互相垂直的直线建立空间直角坐标系．【典型例题】例1．（2022·陕西安康·统考一模）如图，已知AB 为圆锥SO 底面的直径，点C 在圆锥底面的圆周上，2BS AB ==，6BAC π∠=，BE 平分SBA ∠，D 是SC 上一点，且平面DBE ⊥平面SAB .(1)求证：SA BD ⊥；(2)求二面角E BD C --的正弦值.例2．（2022·安徽·校联考二模）如图，将长方形11OAAO （及其内部）绕1OO 旋转一周形成圆柱，其中11,2OA O O ==，劣弧11A B 的长为,6AB π为圆O 的直径.(1)在弧AB 上是否存在点C （1,C B 在平面11OAAO 的同侧），使1BC AB ⊥，若存在，确定其位置，若不存在，说明理由；(2)求平面11A O B 与平面11B O B 夹角的余弦值.例3．（2022·山东东营·胜利一中校考模拟预测）如图，,AB CD 分别是圆台上､下底面的直径，且AB CD ，点E 是下底面圆周上一点，AB =(1)证明：不存在点E 使平面AEC ⊥平面ADE ；(2)若4DE CE ==，求二面角D AE B --的余泫值.例4．（2022·河北·统考模拟预测）如图，在圆台1OO 中，上底面圆1O 的半径为2，下底面圆O 的半径为4，过1OO 的平面截圆台得截面为11ABB A ，M 是弧AB 的中点，MN 为母线，cos NMB ∠=(1)证明：1AB ⊥平面1AOM ； (2)求二面角M NB A --的正弦值.核心考点二：立体几何探索性问题【规律方法】与空间向量有关的探究性问题主要有两类：一类是探究线面的位置关系；另一类是探究线面角或二面角满足特定要求时的存在性问题．处理原则：先建立空间直角坐标系，引入参数（有些是题中已给出），设出关键点的坐标，然后探究这样的点是否存在，或参数是否满足要求，从而作出判断．【典型例题】例5．（2022·上海虹口·统考一模）如图，在三棱柱111ABC A B C 中，底面ABC 是以AC 为斜边的等腰直角三角形，侧面11AAC C 为菱形，点1A 在底面上的投影为AC 的中点D ，且2AB =．(1)求证：1BD CC ⊥；(2)求点C 到侧面11AA B B 的距离；(3)在线段11A B 上是否存在点E ，使得直线DE 与侧面11AA B B 请求出1A E 的长；若不存在，请说明理由．例6．（2022春·山东·高三山东省实验中学校考阶段练习）如图，在三棱柱111ABC A B C 中，1AB C 为等边三角形，四边形11AA B B 为菱形，AC BC ⊥，4AC =，3BC =.(1)求证：11AB AC ⊥；(2)线段1CC 上是否存在一点E ，使得平面1AB E 与平面ABC 的夹角的余弦值为14？若存在，求出点E 的位置；若不存在，请说明理由.例7．（2022春·黑龙江绥化·高三海伦市第一中学校考期中）如图1，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝1，E 是DC 的中点，将DAE 沿AE 折起，使得点D 到达点P 的位置，且PB ＝PC ，如图2所示．F 是棱PB 上的一点．(1)若F 是棱PB 的中点，求证：//CF 平面P AE ；(2)是否存在点F ，使得二面角F AE C --？若存在，则求出PF FB 的值；若不存在，请说明理由．例8．（2022·广东韶关·统考一模）已知矩形ABCD 中，4AB =，2BC =，E 是CD 的中点，如图所示，沿BE 将BCE 翻折至BFE △，使得平面BFE ⊥平面ABCD .(1)证明：BF AE ⊥；(2)若(01)DP DB λλ=<<是否存在λ，使得PF 与平面DEF 求出λ的值；若不存在，请说明理由.核心考点三：立体几何折叠问题【规律方法】1、处理图形翻折问题的关键是理清翻折前后长度和角度哪些发生改变，哪些保持不变．2、把空间几何问题转化为平面几何问题，把握图形之间的关系，感悟数学本质．【典型例题】例9．（2022春·江苏南通·高三期中）已知梯形ABCD 中，//AD BC ，π2∠=∠=ABC BAD ，24AB BC AD ===，E ，F 分别是AB ，CD 上的点，//EF BC ，AE x =，G 是BC 的中点，沿EF 将梯形ABCD 翻折，使平面AEFD ⊥平面EBCF ．(1)当2x =时①求证：BD EG ⊥；②求二面角D BF C --的余弦值；(2)三棱锥D FBC -的体积是否可能等于几何体ABE FDC -体积的一半？并说明理由．例10．（2022春·辽宁·高三辽宁实验中学校考期中）如图1，在平面四边形ABCD 中，已知ABDC ，AB DC ∥，142AD DC CB AB ====，E 是AB 的中点．将△BCE 沿CE 翻折至△PCE ，使得2DP =，如图2所示．(1)证明：DP CE ⊥；(2)求直线DE 与平面P AD 所成角的正弦值．例11．（2022春·湖南长沙·高三宁乡一中校考期中）如图，平面五边形P ABCD 中，PAD 是边长为2的等边三角形，//AD BC ，AB ＝2BC ＝2，AB BC ⊥，将PAD 沿AD 翻折成四棱锥P －ABCD ，E 是棱PD 上的动点（端点除外），F ，M 分别是AB ，CE 的中点，且PC =(1)证明：AB FM ⊥；(2)当直线EF 与平面P AD 所成的角最大时，求平面ACE 与平面P AD 夹角的余弦值．例12．（2022·四川雅安·统考模拟预测）如图①，ABC 为边长为6的等边三角形，E ，F 分别为AB ，AC 上靠近A 的三等分点，现将AEF △沿EF 折起，使点A 翻折至点P 的位置，且二面角P EF C --的大小为120°（如图②）．(1)在PC 上是否存在点H ，使得直线//FH 平面PBE ？若存在，确定点H 的位置；若不存在，说明理由． (2)求直线PC 与平面PBE 所成角的正弦值．核心考点四：立体几何作图问题 【规律方法】（1）利用公理和定理作截面图（2）利用直线与平面平行的性质定理作平行线 （3）利用平面与平面垂直作平面的垂线 【典型例题】例13．（2022·贵州·校联考模拟预测）如图，已知平行六面体1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是菱形，112CD CC AC ===，3DCB π∠=且113cos cos 4C CD C CB ∠=∠=.(1)试在平面ABCD 内过点C 作直线l ，使得直线//l 平面1C BD ，说明作图方法，并证明：直线11//l B D ； (2)求点C 到平面1A BD 的距离.例14．（2022秋·河北石家庄·高一石家庄市第十五中学校考期中）如图为一块直四棱柱木料，其底面ABCD 满足：AB AD ⊥，AD BC ∥．(1)要经过平面11CC D D 内的一点P 和棱1BB 将木料锯开，在木料表面应该怎样画线？（借助尺规作图，并写出作图说明，无需证明）(2)若2AD AB ==，11BC AA ==，当点P 是矩形11CDD C 的中心时，求点1D 到平面1APB 的距离．例15．（2022·全国·高三专题练习）如图多面体ABCDEF 中，面FAB ⊥面ABCD ，FAB 为等边三角形，四边形ABCD 为正方形，//EF BC ，且332EF BC ==，H ，G 分别为CE ，CD 的中点.（1）求二面角C FH G --的余弦值；（2）作平面FHG 与平面ABCD 的交线，记该交线与直线AB 交点为P ，写出APAB的值（不需要说明理由，保留作图痕迹）.例16．（2022·全国·高三专题练习）四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，23DAB π∠=.ACBD O =,且PO ⊥平面ABCD ，PO =点,F G 分别是线段.PB PD 上的中点，E 在PA 上.且3PA PE =.（Ⅰ）求证：//BD 平面EFG ；（Ⅰ）求直线AB 与平面EFG 的成角的正弦值；（Ⅰ）请画出平面EFG 与四棱锥的表面的交线，并写出作图的步骤.核心考点五：立体几何建系繁琐问题 【规律方法】 利用传统方法解决 【典型例题】例17．如图，已知三棱柱-111ABC A B C 的底面是正三角形，侧面11BB C C 是矩形，M ，N 分别为BC ，11B C 的中点，P 为AM 上一点．过11B C 和P 的平面交AB 于E ，交AC 于F ． （1）证明：1//AA MN ，且平面⊥1A AMN 平面11EB C F ；（2）设O 为△111A B C 的中心．若//AO 平面11EB C F ，且=AO AB ，求直线1B E 与平面1A AMN 所成角的正弦值．例18．如图，在锥体-P ABCD 中，ABCD 是边长为1的菱形，且∠=︒60DAB ，==PA PD ，=2PB ，E ，F 分别是BC ，PC 的中点（1）证明：⊥AD 平面DEF （2）求二面角--P AD B 的余弦值．例19．（2022春·福建南平·高三校考期中）在三棱柱111ABC A B C 中，AB AC ⊥，1B C ⊥平面ABC ，E 、F 分别是棱AC 、11A B 的中点.(1)设G 为11B C 的中点，求证：//EF 平面11BCC B ；(2)若2AB AC ==，直线1BB 与平面1ACB 所成角的正切值为2，求多面体1B EFGC -的体积V .核心考点六：两角相等（构造全等）的立体几何问题 【规律方法】 构造垂直的全等关系 【典型例题】例20．如图，已知三棱柱-111ABC A B C 的底面是正三角形，侧面11BB C C 是矩形，M ，N 分别为BC ，11B C 的中点，P 为AM 上一点．过11B C 和P 的平面交AB 于E ，交AC 于F ． （1）证明：1//AA MN ，且平面⊥1A AMN 平面11EB C F ；（2）设O 为△111A B C 的中心．若//AO 平面11EB C F ，且=AO AB ，求直线1B E 与平面1A AMN 所成角的正弦值．例21．如图，在锥体-P ABCD 中，ABCD 是边长为1的菱形，且∠=︒60DAB ，==PA PD ，=2PB ，E ，F 分别是BC ，PC 的中点（1）证明：⊥AD 平面DEF （2）求二面角--P AD B 的余弦值．核心考点七：利用传统方法找几何关系建系【规律方法】利用传统方法证明关系，然后通过几何关系建坐标系． 【典型例题】例22．如图：长为3的线段PQ 与边长为2的正方形ABCD 垂直相交于其中心()O PO OQ >． （1）若二面角P AB Q --的正切值为3-，试确定O 在线段PQ 的位置；（2）在（1）的前提下，以P ，A ，B ，C ，D ，Q 为顶点的几何体PABCDQ 是否存在内切球？若存在，试确定其内切球心的具体位置；若不存在，请说明理由．例23．在四棱锥P ABCD -中，E 为棱AD 的中点，PE ⊥平面ABCD ，//AD BC ，90ADC ∠=︒，2ED BC ==，3EB =，F 为棱PC 的中点．（Ⅰ）求证：//PA 平面BEF ；（Ⅰ）若二面角F BE C --为60︒，求直线PB 与平面ABCD 所成角的正切值．例24．三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，2AB AC ==，侧面11BCC B 为矩形，123A AB π∠=，二面角1A BC A --的正切值为12． （Ⅰ）求侧棱1AA 的长；（Ⅰ）侧棱1CC 上是否存在点D ，使得直线AD 与平面1A BC ，若存在，判断点的位置并证明；若不存在，说明理由．核心考点八：空间中的点不好求 【规律方法】 方程组思想 【典型例题】例25．（2022·江苏南京·模拟预测）已知三棱台111ABC A B C 的体积为143，且π2ABC ∠=，1A C ⊥平面11BB C C . (1)证明：平面11A B C ⊥平面111A B C ；(2)若11AC B C =，11112A B B C ==，求二面角1B AA C --的正弦值.例26．（2022春·浙江·高三浙江省新昌中学校联考期中）如图，在四棱台1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，3DAB π∠=，平面11BDD B ⊥平面ABCD ，点1,O O 分别为11,B D BD 的中点，1111,,O B A AB O BO ∠∠=均为锐角.(1)求证：1AC BB ⊥；(2)若异面直线CD 与1AA ，四棱锥1A ABCD -的体积为1，求二面角1B AA C --的平面角的余弦值.例27．（2022春·辽宁沈阳·高三沈阳市第一二〇中学校考期中）如图，在几何体ABCDE 中，底面ABC 为以AC为斜边的等腰直角三角形.已知平面ABC ⊥平面ACD ，平面ABC ⊥平面,//BCE DE 平面,ABC AD DE ⊥.(1)证明；DE ⊥平面ACD ；(2)若22AC CD ==，设M 为棱BE 的中点，求当几何体ABCDE 的体积取最大值时,AM 与CD 所成角的余弦值.核心考点九：创新定义 【规律方法】以立体几何为载体的情境题都跟图形有关，涉及在具体情境下的图形阅读，需要通过数形结合来解决问题．图形怎么阅读一是要读特征，即从图形中读出图形的基本特征；二是要读本质，即要善于将所读出的信息进行提升，实现“图形→文字→符号”的转化；三是要有问题意识，带着问题阅读图形，将研究图形的本身特征和关注题目要解决的问题有机地融合在一起；四是要有运动观点，要“动手”去操作，动态地去阅读图形．【典型例题】例28．（2022·安徽合肥·合肥一六八中学校考模拟预测）已知顶点为S 的圆锥面（以下简称圆锥S ）与不经过顶点S 的平面α相交，记交线为C ，圆锥S 的轴线l 与平面α所成角θ是圆锥S 顶角（圆S 轴截面上两条母线所成角θ的一半，为探究曲线C 的形状，我们构建球T ，使球T 与圆锥S 和平面α都相切，记球T 与平面α的切点为F ，直线l 与平面α交点为A ，直线AF 与圆锥S 交点为O ，圆锥S 的母线OS 与球T 的切点为M ，OM a =，MS b =．(1)求证：平面SOA ⊥平面α，并指出a ，b ，θ关系式； (2)求证：曲线C 是抛物线．例29．（2022·全国·高三专题练习）类比于二维平面中的余弦定理，有三维空间中的三面角余弦定理；如图1，由射线PA ，PB ，PC 构成的三面角-P ABC ，APC α∠=，BPC β∠=，APB γ∠=，二面角A PC B --的大小为θ，则cos cos cos sin sin cos γαβαβθ=+．（1）当α、π0,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，证明以上三面角余弦定理；（2）如图2，四棱柱1111ABCD A B C D -中，平面11AA C C ⊥平面ABCD ，160A AC ∠=︒，45BAC ∠=︒， ①求1A AB ∠的余弦值；②在直线1CC 上是否存在点P ，使//BP 平面11DA C ？若存在，求出点P 的位置；若不存在，说明理由．例30．（2022·全国·校联考模拟预测）蜂房是自然界最神奇的“建筑”之一，如图1所示．蜂房结构是由正六棱柱截去三个相等的三棱锥H ABC -，J CDE -，K EFA -，再分别以AC ，CE ，EA 为轴将ACH ∆，CEJ ∆，EAK ∆分别向上翻转180︒，使H ，J ，K 三点重合为点S 所围成的曲顶多面体（下底面开口），如图2所示．蜂房曲顶空间的弯曲度可用曲率来刻画，定义其度量值等于蜂房顶端三个菱形的各个顶点的曲率之和，而每一顶点的曲率规定等于2π减去蜂房多面体在该点的各个面角之和（多面体的面角是多面体的面的内角，用弧度制表示）．（1）求蜂房曲顶空间的弯曲度；（2）若正六棱柱的侧面积一定，当蜂房表面积最小时，求其顶点S 的曲率的余弦值．【新题速递】1．（2022·重庆沙坪坝·重庆八中校考模拟预测）如图，在三棱柱111ABC A B C 中，1BC CC =，1AC AB =.(1)证明：平面1ABC ⊥平面11BCC B ；(2)若BC =，1AB B C =，160CBB ∠=︒，求直线1BA 与平面111A B C 所成角的正弦值.2．（2022·四川达州·统考一模）如图，三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 为等腰直角三角形，112AB AC BB ===，，160ABB ∠=.(1)证明: 1AB B C ⊥；(2)若12B C =，求1AC 与平面1BCB 所成角的正弦值.3．（2022·陕西宝鸡·统考一模）如图在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，且底面ABCD 是平行四边形.已知2,1,PA AB AD AC E ====是PB 中点.(1)求证：平面PBC ⊥平面ACE ；(2)求平面PAD 与平面ACE 所成锐二面角的余弦值.4．（2022·广东广州·统考一模）如图，已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是菱形，平面PBC ⊥平面ABCD ，30,ACD E ∠=为AD 的中点，点F 在PA 上，3AP AF =.(1)证明：PC //平面BEF ；(2)若PDC PDB ∠∠=，且PD 与平面ABCD 所成的角为45，求平面AEF 与平面BEF 夹角的余弦值.5．（2022·上海奉贤·统考一模）如图，在四面体ABCD 中，已知BA BD CA CD ===.点E 是AD 中点.(1)求证：AD ⊥平面BEC ；(2)已知95,arccos,625AB BDC AD ∠===，作出二面角D BC E --的平面角，并求它的正弦值.6．（2022·上海浦东新·统考一模）如图，三棱锥-P ABC 中，侧面P AB 垂直于底面ABC ，PA PB =，底面ABC 是斜边为AB 的直角三角形，且30ABC ∠=︒，记O 为AB 的中点，E 为OC 的中点.(1)求证：PC AE ⊥；(2)若2AB =，直线PC 与底面ABC 所成角的大小为60°，求四面体P AOC 的体积.7．（2022·四川成都·石室中学校考模拟预测）如图，在四棱锥P ABCD -中，AB BD BP ===PA PD ==90APD ∠=︒，E 是棱PA 的中点，且BE 平面PCD(1)证明：CD ⊥平面PAD ；(2)若1CD =，求二面角A PB C --的正弦值.8．（2022春·江苏徐州·高三期末）如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，AD ∥BC ，N 为PB 的中点.(1)若点M 在AD 上，2AM MD =，34AD BC =，证明：MN 平面PCD ； (2)若3PA AB AC AD ====，4BC =，求二面角D AC N --的余弦值.9．（2022·陕西汉中·统考一模）如图，多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为菱形，60,ABC FA ∠=⊥平面,ABCD ED FA ∥，且22AB FA ED ===.(1)求证：BD FC ⊥；(2)求二面角F AC E --的大小.10．（2022·陕西汉中·统考一模）如图，多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为菱形，60,ABC FA ∠=⊥平面,ABCD FA ED ∥，且22AB FA ED ===.(1)求证：BD FC ⊥；(2)求点A 到平面FBD 的距离.11．（2022·四川广安·广安二中校考模拟预测）APD △是等腰直角三角形，AP PD ⊥且AD =ABCD 是直角梯形，AB BC ⊥，DC BC ⊥，且222AB BC CD ===，平面APD ⊥平面ABCD .(1)求证：AP ⊥平面BPD ；(2)若点E 是线段PB 上的一个动点，问点E 在何位置时三棱锥D APE -.12．（2022·四川南充·统考一模）在平面五边形ABCDE 中（如图1），ABCD 是梯形，//AD BC ，2AD BC ==AB =90ABC ∠=︒，ADE 是等边三角形．现将ADE 沿AD 折起，连接EB ，EC 得四棱锥E ABCD -（如图2）且CE =(1)求证：平面EAD ⊥平面ABCD ；(2)在棱EB 上有点F ，满足13EF EB =，求二面角E AD F --的余弦值．13．（2022·贵州贵阳·贵阳六中校考一模）如图，在四棱锥P ABCD -中，DA AB ⊥，PD PC ⊥，PB PC ⊥，1AB AD PD PB ====，4cos 5DCB ∠=.(1)求证：BD ⊥平面PAC .(2)设E 为BC 的中点，求PE 与平面ABCD 所成角的正弦值.14．（2022春·广东广州·高三校考期中）如图所示，在四棱锥P ABCD -中，PC ⊥底面ABCD ，四边形ABCD 是直角梯形，AB AD ⊥，//,222AB CD PC AB AD CD ====，点E 在侧棱PB 上.(1)求证：平面EAC ⊥平面PBC ；(2)若平面PAC 与平面ACE PE BE 的值.。

为坐标原点，GF 的方向为GF 为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系为二面角的平面角，故60∠，则ABCD EFDC 面，可得BE 60，从而可得所以(1,0,3),(0,4,0),(3,4,3),(4,0,0)EC EB AC AB ===--=-设(,,)n x y z =是平面BCE 的法向量，则00n EC n EB ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即所以可取(3,0,n =-设m是平面m ACm AB⎧=⎪⎨=⎪⎩，同理可取(0,3,4)m=219,19n mn mn m==-E BC--的余弦值为219192017年高考数学（文）专题练习（四）定义法（讲）解 析例1．例2．【解析】，所以是充分非必要条件，选A 例3．例4． 【解析】对于①，若令，则其伴随点为，而的伴随点为，而不是，故①错误；对于②，设曲线关于轴对称，则与方程表示同一曲线，其伴随2211,111a a a a a >⇒>>⇒><-或(1,1)P 11(,)22P '-11(,)22P '-(1,1)--P (,)0f x y =x (,)0f x y -=(,)0f x y =曲线分别为与也表示同一曲线，又曲线与曲线的图象关于轴对称，所以②正确；③设单位圆上任一点的坐标为，其伴随点为仍在单位圆上，故②正确；对于④，直线上任一点的伴随点是，消参后点轨迹是圆，故④错误．所以正确的为序号为②③． 例5．例6． 【解析】，选B ． 例7． 【解析】，所以的实部为1． 例8． 【解析】向量，由得，解得，故选D ． 例9． 【解析】2222(,)0y x f x y x y -=++2222(,)0y xf x y x y--=++2222(,)0y x f x y x y -=++2222(,)0y xf x y x y --=++y (cos ,sin )P x x (sin ,cos )P x x '-y kx b =+P (,)x y 'P 2222(,)y x x y x y -++'P 22(1)1,11(1)(1)i z i z i i i i +===+∴=---+2(1)211i z z ii +=⇒==-+z a b (4,m 2)+=-(a b)b +⊥43(m 2)(2)0⨯+-⨯-=m 8=设，，∴，， ，∴，故选B ．例10．例11． 【解析】（I ）由已知可得，，所以平面． 又平面，故平面平面．（II ）过作，垂足为，由（I ）知平面． 以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系．由（I ）知为二面角的平面角，故，则，，可得BA a =BC b =11()22DE AC b a ==-33()24DF DE b a ==-1353()2444AF AD DF a b a a b =+=-+-=-+25353144848AF BC a b b ⋅=-⋅+=-+=F DF A ⊥F F A ⊥E F A ⊥FDC E F A ⊂F ABE F ABE ⊥FDC E D DG F ⊥E G DG ⊥F ABE G GF x GFG xyz -DF ∠E D F -A -E DF 60∠E =DF 2=DG 3=例12． 【解析】．故答案应填：．例13．222227,3,7310,2a b c a b c c ==∴=+=+=∴=∴=（Ⅱ）当与轴不垂直时，设的方程为，，．由得．则，．所以．过点且与垂直的直线：，到的距离为，所以．故四边形的面积．l x l )0)(1(≠-=k x k y ),(11y x M ),(22y x N ⎪⎩⎪⎨⎧=+-=134)1(22y x x k y 01248)34(2222=-+-+k x k x k 3482221+=+k k x x 341242221+-=k k x x 34)1(12||1||22212++=-+=k k x x k MN )0,1(B l m )1(1--=x k y A m 122+k 1344)12(42||22222++=+-=k k k PQ MPNQ 341112||||212++==k PQ MN S。