第3次六校联考数学(理)参考答案及评分标准

主视图左视图222第三次六校联考 高三数学（理科）试题本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟． 参考公式：锥体体积公式13V Sh =，其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高． 第 Ⅰ 卷一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知,A B 是非空集合，命题甲：AB B =，命题乙：A B ⊂≠，那么 （ ）A.甲是乙的充分不必要条件B. 甲是乙的必要不充分条件C.甲是乙的充要条件D. 甲是乙的既不充分也不必要条件 2.复数21ii =- （ ）A . 1i - B. 1i -+ C. 1i + D. 1i --3.已知点(,)N x y 在由不等式组002x y x y x +≥⎧⎪-≥⎨⎪≤⎩确定的平面区域内，则(,)N x y 所在平面区域的面积是（ ）A ．1B ．2C ．4D ．84.等差数列{a n }中，已知35a =，2512a a +=，29n a =，则n 为 （ ） A. 13 B. 14 C. 15 D. 165. 函数21log 1xy x+=-的图像 （ ） A ． 关于原点对称 B. 关于主线y x =-对称 C. 关于y 轴对称 D. 关于直线y x =对称6.若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 （ ）A.B.7.已知平面,,αβγ，直线,m l ，点A ，有下面四个命题： A . 若l α⊂，mA α=则l 与m 必为异面直线；B. 若,l l m α则m α；C. 若 , , ,l m l m αββα⊂⊂则 αβ；D. 若 ,,,m l l m αγγαγβ⊥==⊥，则l α⊥.其中正确的命题是 （ ）8.某种游戏中，黑、黄两个“电子狗”从棱和为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的顶点A 出发沿棱向前爬行，每爬完一条棱称为“爬完一段”，黑“电子狗”爬行的路线是AA 1→A 1D 1→…，黄“电子狗”爬行的路线是AB →BB 1→…，它们都遵循如下规则：所爬行的第i +2段与第i 段所在直线必须异面直线(其中i 是正整数).设黑“电子狗”爬完段、黄“电子狗”爬完段后各自停止在正方体的某个顶点处，这时黑、黄“电子狗”间的距离是 （ ） A. 0B. 1C.2D.3第 Ⅱ 卷二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题：第9、10、11、12、13题是必做题，每道试题考生都必须做答． 9. 021x dx --=⎰.10.函数2()sin cos 2f x x x =+,x R ∈的最小正周期为 11.在直角ABC ∆中， 90=∠C ， 30=∠A ， 1=BC ，D 为斜边AB 的中点，则 ⋅= .12.若双曲线22219x y a -=(0)a >的一条渐近线方程为320x y -=，则以双曲线的顶点和焦点分别为焦点和顶点的椭圆的离心率为__________.13.将“杨辉三角”中的数从左到右、从上到下排 成一数列：1，1，1，1，2，1，1，3，3，1，1，4，6，4，1，…， 右图所示程序框图用来输出此数列的前若干项并求其和，若输入m=4则相应最后的输出S 的值是__________.ONMBA（二）选做题：第14、15题是选做题，考生只能从中选做一题．14．（坐标系与参数方程选做题）已知曲线1C 、2C 的极坐标方程分别为2cos()2πρθ=-+，cos()104πθ-+=，则曲线1C 上的点与曲线2C 上的点的最远距离为________.15．（几何证明选讲选做题） 如图，点M 为O 的弦AB 上的一点，连接MO .MN OM ⊥，MN 交圆于N ，若2MA =，4MB =，则MN = .三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，S 是该三角形的面积， （1）若(2sin cos ,sin cos )2B a B B B =-，(sin cos ,2sin )2Bb B B =+，//a b ，求角B 的度数；（2）若8a =，23B π=，S =b 的值.17（本小题满分12分）甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是32和4假设两人射击是否击中目标，相互 之间没有影响；每人各次射击是否击中目标，相互之间也没有影响⑴求甲射击3次，至少1次未击中．．．目标的概率； ⑵假设某人连续2次未击中．．．目标，则停止射击，问：乙恰好射击4次后，被中止射击的概率是多少？⑶设甲连续射击3次，用ξ表示甲击中目标时射击的次数，求ξ的数学期望E ξ. （结果可以用分数表示）图1图218. （本小题满分14分）如图，四边形ABCD 中（图1），E 是BC的中点，1,DC =BC =，AB AD ==将（图1）沿直线折起，使二面角A BD C --为060（如图2） （1）求证：AE ⊥平面BDC ；（2）求异面直线AB 与CD 所成角的余弦值； （3）求点B 到平面ACD 的距离.19（本小题满分14分）已知函数()241(12)ln(21)22x a f x a x x +=-+++ .（1）设1a =时，求函数()f x 极大值和极小值; （2）a R ∈时讨论函数()f x 的单调区间.20.（本小题满分l4分）如图，P 是抛物线C ：212y x =上横坐标大于零的一点，直线l 过点P 并与抛物线C 在点P 与抛物线C 相交于另一点Q .（1）当点P 的横坐标为2时，求直线l 的方程；（2）若0OP OQ ⋅=，求过点,,P Q O 的圆的方程.21. （本小题满分l4分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，正数数列{}n b 中 ,2e b = (e 为自然对数的底718.2≈)且*N n ∈∀总有12-n 是n S 与n a 的等差中项，1 1++n n n b b b 与是的等比中项.(1) 求证: *N n ∈∀有nn n a a 21<<+；(2) 求证：*N n ∈∀有13ln ln ln )1(2321-<+++<-n n n a b b b a .。

东莞中学、广州二中、惠州一中、深圳实验、珠海一中、中山纪念中学2024届高三第三次六校联考试题数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 集合{}0,1,2A =，集合{}2,0,1B =-，则A B = （ ）A. {}0,1B. {}2,0- C. {}2,1,0- D. {}0,1,22. 若复数z 满足()34i 1z -=，则z =（ ）A. 1B.15C.17 D.1253. 已知非零向量a 、b 满足2b a = ，且()a a b ⊥- ，则a 与b夹角为（ ）A.π3B.π2C.2π3D.5π64. 已知π17tan tan 422θθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则cos 2θ=（ ）A. 12-B.12C. 45-D.455. 已知函数()sin2f x x =和直线l ：2y x a =+，那么“直线l 与曲线()y f x =相切”是“0a =”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件6. 已知a ，b 为正实数，且21a b +=，则22121a b a b+++的最小值为（ ）A. 1+B. 2+C. 3+D. 4+7. 已知三棱锥S ABC -如图所示，AS 、AB 、AC两两垂直，且AS AB AC ===E 、F 分别是棱AS 、BS 的中点，点G 是棱SC 靠近点C 的四等分点，则空间几何体EFG ABC -的体积为（ ）的A.B.C.D.8. 已知数列{}k a 为有穷整数数列，具有性质p ：若对任意的{}1,2,3,4n ∈，{}k a 中存在i a ，1i a +，2i a +，…，i j a +（1i ≥，0j ≥，i ，N j *∈），使得12i i i i j a a a a n ++++++⋅⋅⋅+=，则称{}k a 为4-连续可表数列.下面数列为4-连续可表数列的是（ ）A. 1,1,1B. 1,1,2C. 1,3,1D. 2,3,6二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 关于平面向量，有下列四个命题，其中说法正确的是（ ）A 9,2a k ⎛⎫= ⎪⎝⎭，(),8b k = ，若//a b r r，则6k =B. 若a c b c =⋅⋅ 且0c ≠，则a b= C. 若点G 是ABC 的重心，则0GA GB GC ++=D. 若向量()1,1a =- ，()2,3b = ，则向量b 在向量a 上投影向量为2a10. 已知函数22si 1()s cos co n f x x x x =+-的图象为C ，以下说法中正确的是（ ）A. 函数()f xB. 图象C 相邻两条对称轴的距离为π2C. 图象C 关于π,08⎛⎫-⎪⎝⎭中心对称D.要得到函数in y x =的图象，只需将函数()f x 的图象横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移π4个单位.的11. 若函数()f x 的定义域为D ，若对于任意1x D ∈，都存在唯一的2x D ∈，使得()()121f x f x +=，则称()f x 为“Ⅰ型函数”，则下列说法正确的是（ ）A. 函数()ln f x x =是“Ⅰ型函数”B. 函数()sin f x x =是“Ⅰ型函数”C. 若函数()f x 是“Ⅰ型函数”，则函数()1f x -也是“Ⅰ型函数”D. 已知R m ∈，若()sin f x m x =+，ππ,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦是“Ⅰ型函数”，则12m =12. 已知棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为线段1AC 上一动点，则下列判断正确的是（ ）A. 存在点P ，使得11//C P AB B. 三棱锥1P BC D -C. 当P 为1AC 的中点时，过P 与平面1BC DD. 存在点P ，使得点P 到直线11B C 的距离为45三、填空题：本题共45分，共20分.13. 关于x 的不等式()220ax a b x +++>的解集为()3,1-，则a b +=______.14. 已知数列{}n a 的前n 项和，21n n S =-，则210log a =_________.15. 已知函数()()221,12,1x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩，关于x 的方程()()20f x a f x -⋅=有六个不等的实根，则实数a 的取值范围是______.16. 如图，已知函数()()sin f x A x ωϕ=+（其中0A >，0ω>，π2≤ϕ）的图象与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C ，2BC BD =，π3OCB ∠=，2OA =，AD =.则函数()f x 在[]1,6上的值域为______.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，且11a =，()211n n nS n S n n +=+++，n *∈N .（1）证明：数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，并求{}n S 的通项公式；（2）若11n n n b a a +=⋅，设数列{}n b 前n 项和为n T ，求n T .18. 在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且cos cos 2cos b A a B c A +=-.（1）求角A 的值；（2）已知点D 为BC 的中点，且2AD =，求a 的最大值.19. 若二次函数()f x 满足()()25152f x f x x x +=---（1）求()f x 的解析式；（2）若函数()()ln g x x x f x =+，解关于x 的不等式：()()22g x x g +≥.20. 如图（1）所示，在ABC 中，60ABC ∠= ，过点A 作AD BC ⊥，垂足D 在线段BC上，且AD =CD =，沿AD 将CDA 折起（如图（2）），点E 、F 分别为棱AC 、AB 的中点.的（1）证明：AD EF ⊥；（2）若二面角C DA B --所成角的正切值为2，求二面角C DF E --所成角的余弦值.21. 已知数列{}n a 是公比大于0的等比数列，14a =，364a =.数列{}n b 满足：21n n nb a a =+（N n *∈）.（1）求数列{}n b 的通项公式；（2）证明：{}22n n b b -是等比数列；（3）证明：)N*k n k =∑<∈22. 已知函数()()ln f x x t x =-，R t ∈（1）讨论函数()f x 的单调区间；（2）当1t =时，设1x ，2x 为两个不相等的正数，且()()12f x f x a ==，证明：121(2e)e ex x a +>-+-..东莞中学、广州二中、惠州一中、深圳实验、珠海一中、中山纪念中学2024届高三第三次六校联考试题数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 集合{}0,1,2A =，集合{}2,0,1B =-，则A B = （ ）A. {}0,1B. {}2,0- C. {}2,1,0- D. {}0,1,2【答案】A 【解析】【分析】根据交集的定义计算可得.【详解】因为{}0,1,2A =，{}2,0,1B =-，所以{}0,1A B = .故选：A2. 若复数z 满足()34i 1z -=（ ）A. 1 B.15C.17D.125【答案】B 【解析】【分析】利用复数的除法运算及模长公式计算即可.【详解】由()()()134i 34i 3434i 1i 34i 34i 34i 252525z z ++-=⇒====+-+⋅-，所以15z ==.故选：B.3. 已知非零向量a 、b 满足2b a = ，且()a ab ⊥- ，则a 与b的夹角为（ ）A.π3B.π2C.2π3D.5π6【答案】A【解析】【分析】分析可得()0a a b ⋅-= ，利用平面向量数量积的运算性质可得出cos ,a b的值，结合平面向量夹角的取值范围可得出a 与b的夹角.【详解】因为非零向量a 、b满足2b a = ，且()a ab ⊥- ，则()2222cos ,2cos ,0a a b a a b a a b a b a a a b ⋅-=-⋅=-⋅=-=，所以，1cos ,2a b = ，又因为0,πa b ≤≤ ，故π,3a b = .因此，a 与b 的夹角为π3.故选：A.4. 已知π17tan tan 422θθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则cos 2θ=（ ）A. 12-B.12C. 45-D.45【答案】C 【解析】【分析】利用两角和的正切公式可得出关于tan θ的方程，解出tan θ的值，再利用二倍角的余弦公式以及弦化切可求得cos 2θ的值.【详解】因为πtan tanπtan 1174tan tan π41tan 221tan tan 4θθθθθθ++⎛⎫+===- ⎪-⎝⎭-，整理可得2tan 6tan 90θθ-+=，解得tan 3θ=，所以，222222cos sin 1tan 194cos 2cos sin 1tan 195θθθθθθθ---====-+++.故选：C.5. 已知函数()sin2f x x =和直线l ：2y x a =+，那么“直线l 与曲线()y f x =相切”是“0a =”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据直线l 与曲线()y f x =相切，求出2π,a k k Z =-∈，利用充分条件与必要条件的定义即可判断出结论．【详解】设函数()sin 2f x x =和直线:2l y x a =+的切点坐标为()00,x y ，则()0000'2cos 22sin 22f x x x x a ⎧==⎨=+⎩，可得2π,a k k Z =-∈，所以0a =时，直线l 与曲线()y f x =相切；直线l 与曲线()y f x =相切不能推出0a =．因此“0a =”是“直线l 与曲线()y f x =相切”的必要不充分条件．故选：B ．6. 已知a ，b 为正实数，且21a b +=，则22121a b a b+++的最小值为（ ）A. 1+B. 2+C. 3+D. 4+【答案】D 【解析】【分析】根据给定条件，利用基本不等式“1”的妙用求解即得.【详解】正实数,a b 满足21a b +=，则221211111(2)()1(2)()a b a b a b a b a b a b+++=+++=+++2444b a a b =++≥+=+2b a a b =，即1a ==-时取等号，所以当1,1a b ==时，22121a b a b +++取得最小值4+.故选：D7. 已知三棱锥S ABC -如图所示，AS 、AB 、AC两两垂直，且AS AB AC ===E 、F 分别是棱AS 、BS 的中点，点G 是棱SC 靠近点C 的四等分点，则空间几何体EFG ABC -的体积为（ ）A.B. C.D.【答案】C 【解析】【分析】过点G 作//GH AC ，交SA 于点H ，证明出GH ⊥平面SAB ，计算出三棱锥C SAB -、G SEF -的体积，可得出EFG ABC C SAB G SEF V V V ---=-，即可得解.【详解】过点G 作//GH AC ，交SA 于点H ，因为AC AB ⊥，AC SA ⊥，AB AS A ⋂=，AB 、AS ⊂平面SAB ，所以，AC ⊥平面SAB ，因为//GH AC ，则GH ⊥平面SAB ，且34GH SG AC SC ==，则34GH AC ==因为E 、F 分别为SA 、BS 的中点，则(21111442SEF ABS S S ==⨯⨯=△△，所以，11133G SEF SEF V S GH -=⋅=⨯=△(3111332C SABSAB V S AC -=⋅=⨯⨯=△，因此，EFG ABC C SAB G SEF V V V ---=-==故选：C.8. 已知数列{}k a 为有穷整数数列，具有性质p ：若对任意的{}1,2,3,4n ∈，{}k a 中存在i a ，1i a +，2i a +，…，i j a +（1i ≥，0j ≥，i ，N j *∈），使得12i i i i j a a a a n ++++++⋅⋅⋅+=，则称{}k a 为4-连续可表数列.下面数列为4-连续可表数列的是（ ）A. 1,1,1 B. 1,1,2C. 1,3,1D. 2,3,6【答案】B 【解析】【分析】根据新定义进行验证即可得．【详解】选项A 中，1233a a a ++=，和不可能为4，A 不是4-连续可表数列；选项B 中，112231231,2,3,4a a a a a a a a =+=+=++=，B 是4-连续可表数列；选项C 中，没有连续项的和为2，C 不是4-连续可表数列；选项D 中，没有连续项的和为1，D 不是4-连续可表数列．故选：B ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 关于平面向量，有下列四个命题，其中说法正确的是（ ）A. 9,2a k ⎛⎫= ⎪⎝⎭，(),8b k = ，若//a b r r ，则6k =B. 若a c b c =⋅⋅ 且0c ≠，则a b= C. 若点G 是ABC 的重心，则0GA GB GC ++=D. 若向量()1,1a =- ，()2,3b = ，则向量b 在向量a 上的投影向量为2a【答案】CD 【解析】【分析】利用共线向量的坐标表示可判断A 选项；利用向量垂直的表示可判断B 选项；利用三角形重心的向量性质可判断C 选项；利用投影向量的定义可判断D 选项.【详解】对于A 选项，已知9,2a k ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，(),8b k = ，若//a b r r ，则298362k =⨯=，解得6k =±，A 错；对于B 选项，若a c b c =⋅⋅ 且0c ≠，则()0a c b c c a b ⋅-⋅=⋅-= ，所以，a b = 或()c a b ⊥-，B 错；对于C 选项，若点G 是ABC 的重心，则0GA GB GC ++=，C 对；对于D 选项，若向量()1,1a =- ，()2,3b =，则向量b 在向量a上的投影向量为21cos ,2a a b a a b b a b b a a a a b a a⋅⋅⋅=⋅⋅=⋅=⋅，D 对.故选：CD.10. 已知函数22si 1()s cos co n f x x x x =+-的图象为C ，以下说法中正确的是（ ）A. 函数()f xB. 图象C 相邻两条对称轴的距离为π2C. 图象C 关于π,08⎛⎫-⎪⎝⎭中心对称D.要得到函数in y x =的图象，只需将函数()f x 的图象横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移π4个单位【答案】BCD 【解析】【分析】利用二倍角公式及两角和的正弦公式将函数化简，再根据正弦函数的性质一一判断即可.【详解】因为22si 1()s cos co n f x x x x =+-cos 2111sin2π222224x x x x x ⎫+⎛⎫=+-=+=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭，所以函数()f x，故A 错误；函数()f x 的最小正周期2ππ2T ==，所以图象C 相邻两条对称轴的距离为π2，故B 正确；因为πππ20884f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=⨯-+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以图象C 关于π,08⎛⎫- ⎪⎝⎭中心对称，故C 正确；将()π24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变得到π4y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再将π4y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭向右平移π4个单位得到y x =，故D 正确；故选：BCD11. 若函数()f x 的定义域为D ，若对于任意1x D ∈，都存在唯一的2x D ∈，使得()()121f x f x +=，则称()f x 为“Ⅰ型函数”，则下列说法正确的是（ ）A. 函数()ln f x x =是“Ⅰ型函数”B. 函数()sin f x x =是“Ⅰ型函数”C. 若函数()f x 是“Ⅰ型函数”，则函数()1f x -也是“Ⅰ型函数”D. 已知R m ∈，若()sin f x m x =+，ππ,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦是“Ⅰ型函数”，则12m =【答案】ACD 【解析】【分析】根据所给函数的定义求解C ，根据对数运算求解A ，根据三角函数的周期性以及单调性求解BD.【详解】对于A,由()()121f x f x +=可得121212ln ln 1ln 1e x x x x x x +=⇒=⇒=，所以21ex x =，故A 正确，对于B ，取1π2x =，则由()()121f x f x +=以及()sin f x x =可得22sin 0π,Z x x k k =⇒=∈,故这与存在唯一2x D ∈矛盾，故B 错误，对于C ，由于函数()f x 是“Ⅰ型函数”，则对于任意1x D ∈，都存在唯一的2x D ∈，使得()()121f x f x +=，故()()12111f x f x -+-=，因此对于对于任意1x D ∈，都存在唯一的2x D ∈，使得()()12111f x f x -+-=，故()1f x -是“Ⅰ型函数”，C 正确，对于D ，对于任意1x D ∈，都存在唯一的2x D ∈，使得12sin sin 1m x m x +++=，所以21sin 12sin x m x =--，由于[]11ππ,,sin 1,122x x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣∈⎦，所以[]21sin 12sin 2,22,x m x m m =--∈--，由于sin y x =在ππ,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦单调递增，的所以21m -≥-且221m -≤，故12m =，D 正确，故选：ACD12. 已知棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为线段1AC 上一动点，则下列判断正确的是（ ）A. 存在点P ，使得11//C P ABB. 三棱锥1P BC D -C. 当P 为1AC 的中点时，过P 与平面1BC DD. 存在点P ，使得点P 到直线11B C 的距离为45【答案】BCD 【解析】【分析】建立空间坐标系，根据向量共线求解A ，根据正三棱锥的性质，结合外接球半径的求解即可判定B ，根据面面平行的性质，结合六边形的面积求解即可判定C ，建立空间坐标系，利用点线距离的向量求法，由二次函数的性质即可求解D.【详解】由于111BC C D BD BDC ===∴ 为等边三角形，且其外接圆的半径为12r ==，由于1AA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以1AA BD ⊥，又11,,,AC BD AC AA A AC AA ⊥⋂=⊂平面11AAC C ，所以BD ⊥平面11AAC C ，1AC ⊂平面11AAC C ，故1BD AC ⊥，同理可证11BC AC ⊥,因此11,,BD BC B BD BC ⋂=⊂平面1BDC ，故1AC ⊥平面1BDC ，因此三棱锥1P BC D -为正三棱锥，设外接球半径为R ，球心到平面1BDC 的距离为h ，则R =0h =时，R r ==B 正确，取11,,ABCD AD 的中点为,M Q ,N ,连接,,NM MQ NQ ,当P 是1AC 的中点，也是QM 的中点，则该截面为与平面1BC D 平行的平面截正方体所得的截面，进而可得该截面为正六边形，边长为NM==,所以截面面积为16sin602⎛⎫⨯=⎪⎪⎝⎭，C正确，对于D,建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()10,0,0,0,1,0,1,0,1D C A()111,0,0C B DA==,设()()111,1,1,,A P a A C a a a a==--=--，(01a≤≤),()()()1111,,0,1,0,1,B P A P A B a a a a a a=-=---=---,所以点P到直线11B C的距离为d====，由于01a≤≤，所以d⎤=⎥⎦，由于45⎤∈⎥⎦,故D正确，由于()()1,1,,1,,1B P a a a P a a a=---∴--，()10,1,1C,则()11,1,C P a a a=---,()()()111,0,0,1,1,1,0,1,1A B AB=,若()10,1,1AB=与()11,1,C P a a a=---共线，则10a-=，1a=，此时()10,0,1C P=-，此时()10,1,1AB=与()10,0,1C P=-不共线，故11,C P AB不平行故A错误，故选：BCD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 关于x 不等式()220ax a b x +++>的解集为()3,1-，则a b +=______.【答案】43-##113-【解析】【分析】分析可知，3-、1是关于x 的方程()220ax a b x +++=的两根，利用韦达定理可得出a b +的值.【详解】因为关于x 的不等式()220ax a b x +++>的解集为()3,1-，则a<0，且3-、1是关于x 的方程()220ax a b x +++=的两根，由韦达定理可得31a b a +-+=-，231a -⨯=，解得23a =-，所以，423a b a +==-.故答案为：43-.14. 已知数列{}n a 的前n 项和，21n n S =-，则210log a =_________.【答案】9【解析】【分析】根据10109a S S =-求出10a ，再根据对数的运算性质计算可得.【详解】因为数列{}n a 的前n 项和21n n S =-，所以()10991010921212a S S =-=---=，所以92102log log 29a ==.故答案为：9的15. 已知函数()()221,12,1x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩，关于x 的方程()()20f x a f x -⋅=有六个不等的实根，则实数a 的取值范围是______.【答案】(0,1)【解析】【分析】方程变形为()0f x =或()f x a =，其中()0f x =可解得两个根，因此()f x a =应有4个根，作出函数y =()f x 的图象与直线y a =，由图象得它们有4个交点时的参数范围．【详解】2()()0f x af x -=，则()0f x =或()f x a =，2100x x -=⇒=，2(2)02x x -=⇒=，即()0f x =有两个根，因此()f x a =应有4个根，作出函数y =()f x 的图象与直线y a =，由图象可知，当01a <<时满足题意，故答案为：(0,1)．16. 如图，已知函数()()sin f x A x ωϕ=+（其中0A >，0ω>，π2≤ϕ）的图象与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C ，2BC BD =，π3OCB ∠=，2OA =，AD =.则函数()f x 在[]1,6上的值域为______.【答案】816,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】π|sin |2A ϕω=+，sin(2)0ωϕ+=，可得A ，B ，C ，D 的坐标，根据||AD =222π28(1243A sin ϕω-+=，进而解出ω，ϕ，A ，即可求出()f x ，再由三角函数的性质求解．【详解】由题意可得：||||OB OC =，2πϕω=+，sin(2)0ωϕ+=，(2,0)A ，2,0B πω⎛⎫+ ⎪⎝⎭，(0,sin )C A ，πsin 1,22A D ϕω⎛⎫∴+ ⎪⎝⎭，AD = ，222πsin 281243A ϕω⎛⎫∴-+= ⎪⎝⎭，把πsin A ϕω=+代入上式可得：2ππ(2240ωω-⨯-=，0ω>.解得π6ω=，π6ω∴=，πsin()03ϕ∴+=，π||2ϕ≤，解得π3ϕ=-.πsin 263⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，0A >，解得163A =，所以函数16ππ()sin()363f x x =-，[]1,6x ∈时，πππ2π,6363x ⎛⎫⎛⎫-∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，ππ1sin(,1632x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，16ππ816()sin(),36333f x x ⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦故答案为：816,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，且11a =，()211n n nS n S n n +=+++，n *∈N .（1）证明：数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，并求{}n S 的通项公式；（2）若11n n n b a a +=⋅，设数列{}n b 的前n 项和为n T ，求n T .【答案】（1）证明见解析，2n S n = （2）n T =【解析】【分析】（1）利用等差数列的定义可证得数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，确定该数列的首项和公差，可求得数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，进而可得出数列{}n S 的通项公式；（2）利用n S 与n a 的关系可求出数列{}n a 的通项公式，再利用裂项相消法可求得n T .【小问1详解】解：对任意的n *∈N ，()211n n nS n S n n +=+++，则()()()21111111n n n n nS n S S S n nn n n n n n ++-++-===+++，所以，数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，且其首项为111S =，公差为1，所以，11nS n n n=+-=，故2n S n =.【小问2详解】解：当2n ≥时，()221121n n n a S S n n n -=-=--=-，11a =也满足21n a n =-，故对任意的n *∈N ，21n a n =-.所以，()()111111212122121n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪⋅-+-+⎝⎭，故111111111111232352212122121n n T n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ .18. 在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且cos cos 2cos b A a B c A +=-.（1）求角A 的值；（2）已知点D 为BC 的中点，且2AD =，求a 的最大值.【答案】（1）2π3A = （2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理结合两角和的正弦公式可求出cos A 的值，结合角A 的取值范围可求得角A 的值；（2）利用平面向量的线性运算可得出2AD AB AC =+，利用平面向量数量积的运算性质结合余弦定理、基本不等式可得出关于a a 的最大值.【小问1详解】解：因为A 、()0,πC ∈，则sin 0C >，由正弦定理可得()2cos sin sin cos sin cos sin sin A C B A A B A B C -=+=+=，所以，1cos 2A =-，故2π3A =.【小问2详解】解：因为D 为BC 中点，则()()111222AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+ ，所以，2AD AB AC =+，所以，22222222π422cos 163AD AC AB AC AB b c bc b c bc =++⋅=++=+-= ，由余弦定理可得222222π2cos 3a b c bc b c bc =+-=++，所以，222162a b c ++=，2216bc a =-，的由基本不等式可得222b c bc +≥，即2216162a a +≥-，解得0a <≤，当且仅当2216b cb c bc =⎧⎨+-=⎩时，即当4b c ==时，等号成立，故a的最大值为19. 若二次函数()f x 满足()()25152f x f x x x ++=---（1）求()f x 的解析式；（2）若函数()()ln g x x x f x =+，解关于x 的不等式：()()22g x x g +≥.【答案】（1）()2122f x x x =-- （2）[)(]2,10,1--⋃【解析】【分析】（1）()()20f x ax bx c a =++≠，根据()()25152f x f x x x ++=---可得出关于a 、b 、c 的方程组，解出这三个未知数的值，即可得出函数()f x 的解析式；（2）求出函数()g x 的定义域，利用导数分析函数()g x 的单调性，由()()22g x x g +≥可得出关于实数x 的不等式组，由此可解得实数x 的取值范围.【小问1详解】解：设()()20f x ax bx c a =++≠，则()()()()22111f x f x a x b x c ax bx c++=+++++++()225222252ax a b x a b c x x =+++++=---，所以，21225522a a b a b c ⎧⎪=-⎪+=-⎨⎪⎪++=-⎩，解得1220a b c ⎧=-⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎩，故()2122f x x x =--.【小问2详解】解：函数()()2l ln 1n 22x x x x g x x x f x +-==-的定义域为()0,∞+，且()ln 12ln 1g x x x x x '=+--=--，令()ln 1h x x x =--，其中0x >，则()111x h x x x-'=-=，由()0h x '>可得01x <<，由()0h x '<可得1x >，所以，函数()h x 的单调递增区间为()0,1，单调递减区间为()1,+∞，故对任意的0x >，()()()10g x h x h '=≤=，所以，函数()g x 在()0,∞+上为减函数，由()()22g x x g +≥可得202x x <+≤，解得21x -≤<-或01x <≤，因此，不等式()()22g x x g +≥的解集为[)(]2,10,1--⋃.20. 如图（1）所示，在ABC 中，60ABC ∠= ，过点A 作AD BC ⊥，垂足D 在线段BC 上，且AD =CD =，沿AD 将CDA 折起（如图（2）），点E 、F 分别为棱AC 、AB 的中点.（1）证明：AD EF ⊥；（2）若二面角C DA B --所成角的正切值为2，求二面角C DF E --所成角的余弦值.【答案】（1）证明见解析 （2）1319【解析】【分析】（1）证明出AD ⊥平面BCD ，可得出AD BC ⊥，利用中位线的性质可得出//EF BC ，即证得结论成立；（2）分析可知，二面角C DA B --的平面角为BDC ∠，以点D 为坐标原点，DB 、DA 所在直线分别为x 、y 轴，平面BCD 内过点D 且垂直于BD 的直线为z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得二面角C DF E --所成角的余弦值.【小问1详解】证明：翻折前，AD BC ⊥，则AD CD ⊥，AD BD ⊥，翻折后，则有AD CD ⊥，AD BD ⊥，因为BD CD D ⋂=，BD 、CD ⊂平面BCD ，所以，AD ⊥平面BCD ，因为BC ⊂平面BCD ，所以，AD BC ⊥，在四棱锥A BCD -中，因为点E 、F 分别为棱AC 、AB 的中点，则//EF BC ，因此，AD EF ⊥.【小问2详解】解：因为AD CD ⊥，AD BD ⊥，则二面角C DA B --的平面角为BDC ∠，即tan 2BDC ∠=，因AD ⊥平面BCD ，以点D 为坐标原点，DB 、DA 所在直线分别为x 、y 轴，平面BCD 内过点D 且垂直于BD 的直线为z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，因为60ABD ∠=o ，AD BD ⊥，AD =2tan 60AD BD ===，又因为CD =()0,A 、()2,0,0B 、()1,0,2C 、()0,0,0D、12E ⎛⎫⎪⎝⎭、()F ，设平面CDF 的法向量为()111,,m x y z =，()1,0,2DC =，()DF = ，则1111200m DC x z m DF x ⎧⋅=+=⎪⎨⋅==⎪⎩，取1x =，可得(2,m =- ，设平面DEF 的法向量为()222,,x n y z = ，1,0,12EF ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则22220102n DF x n EF x z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，取2x =，可得(n =- ，为所以，13cos ,19m n m n m n ⋅===⋅，由图可知，二面角C DF E --的平面角为锐角，故二面角C DF E --的余弦值为1319.21. 已知数列{}n a 是公比大于0的等比数列，14a =，364a =.数列{}n b 满足：21n n nb a a =+（N n *∈）.（1）求数列{}n b 的通项公式；（2）证明：{}22n n b b -是等比数列；（3）证明：)N*k n k =∑<∈.【答案】（1）2144nn n b =+（2）见解析 （3）见解析【解析】【分析】（1）由等比数列的通项公式运算可得{}n a 的通项公式，进而求出数列{}n b 的通项公式；（2）运算可得2224nn n b b -=⋅，结合等比数列的定义即可得证；（3）放缩得2222(21)(21)422n n n n n n b b -+<-⋅，进而可得112k k n n k ==-∑<∑，结合错位相减法即可得证.【小问1详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，则2231464a a q q =⋅==，则4q =，所以1444n n n a -=⋅=，又221144n n n n n b a a =+=+.【小问2详解】所以22242211442444n n n n n n nb b ⎛⎫⎛⎫-=+-+=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以220nn b b -≠，且211222224424n n n nn n b b b b +++-⋅==-⋅，所以数列{}22n n b b -是首项为8，公比为4的等比数列；【小问3详解】由题意知，()()2222222121(21)(21)414242222n n nn n n n n n n n b b -+-+-==<-⋅⋅⋅，12n n-<==，所以112k k n n k==-∑<∑，设10121112322222nn k n k k nT --===+++⋅⋅⋅+∑，则123112322222n n nT =+++⋅⋅⋅+，两式相减得21111111122121222222212nn n n n nn n n T -⎛⎫⋅- ⎪+⎝⎭=+++⋅⋅⋅+-=-=--，所以4n T =所以1112422k k n n n k n ==--+⎫∑<∑=-<⎪⎭【点睛】关键点点睛：最后一问考查数列不等式的证明，因为k n =∑相减法即可得证.22. 已知函数()()ln f x x t x =-，R t ∈（1）讨论函数()f x 的单调区间；（2）当1t =时，设1x ，2x 为两个不相等的正数，且()()12f x f x a ==，证明：121(2e)e ex x a +>-+-.【答案】22. ()10,e t -上单调递增，()1e,t -+∞上单调递减.23. 证明见解析【解析】【分析】（1）利用导数研究函数的单调性；（3）利用切割线放缩证明.【小问1详解】()()ln f x x t x =-,()n 1l 1ln t x f x t x x x ⎛'⎫-⎝=-+=-- ⎪⎭,()100e t f x x ->⇔<<',()10e t x f x -<⇔>',()10,e t -上单调递增，()1e,t -+∞上单调递减.【小问2详解】()()1ln f x x x =-,()ln f x x '=-,()()1ln f x x x =-在()0,1上单调递增，()1,+∞上单调递减.()11f =()e 0f =，()()00000211ln lim lim 1ln lim lim lim 011x x x x x x x f x x x x x x +++++→→→→→⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ -⎪ ⎪⎝⎭=--⎝-==⎭，因()10f x x'⎤⎦=-<⎡⎣'，所以函数()f x 在区间()0,e 上为上凸函数，函数()f x 在区间(]0,e 的图象如图所示.不妨设12x x <，则1201e x x <<<<.连接()1,1A 和点()e,0的直线l 2的方程为：()1e 1ey x =--,当y a =时，()41e e x a =-+,由图可知24x x >,所以要证明121(2e)e e x x a +>-+-，只需证明411(2e)e ex x a +>-+-，即只需证明1411(2e)e e ex a x a >-+--=-，连接OA 的直线1l 的方程为y x =,设函数()f x 的图象的与OA 平行的切线是直线3l ，为()1ln 1e x f x x '-===⇒，11121ln e e e e f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝-⎭=，直线3l 的方程为21e e y x -=-,即1ey x =+，令y a =,得直线y a =与直线3l 的交点横坐标为1ea -,由图可知，11ex a >-，故要证不等式成立.。

2019届高三六校第三次联考理科数学参考答案与评分标准13. 4- 14.6π 15.332 16.666 17.解（1）由正弦定理得：225sin sin sin cos sin 3A B B A A += 即225sin (sin cos )sin 3B A A A +=， ……………………………………2分 所以5sin sin 3B A =， ……………………………………4分 即53b a =.……………………………………6分（2）设5,3(0)b k a k k ==>，代入原式得2249c k =，即7c k =. ……………………………………8分由余弦定理得：222925491cos 2352k k k C k k +-==-⋅⋅.……………………………………10分 因为0C π<<，所以23C π=. ……………………………………12分18.解：(1)证明: E 、F 分别为PC , PB 的中点,//,BC EF ∴又,EF EFA BC EFA ⊂⊄面面//BC EFA ∴平面. ……………………………………3分又,,BC ABC EFA ABC l ⊂⋂=平面平面平面//BC l ∴.……………………………4分 又,,BC AC PAC ABC AC ⊥⋂=平面平面PAC ABC ⊥平面平面,BC PAC l PAC ∴⊥∴⊥平面平面. ……………………………6分(2)以C 为坐标原点, CA 所在的直线为x 轴, CB 所在的直线为y 轴，过C 垂直平面ABC 的直线为z 轴建立空间直角坐标系. 则(2,0,0)A ，(0,4,0)B ，(1,3)P ，1(,2E ，13(,)2F ， 33(,2AE =-(0,2,0)EF =， ……………………………7分设平面AEF 的一个法向量为(,,)m x y z =,则330220m AE xz m EF y ⎧⋅=-=⎪⎨⎪⋅==⎩令z =(1,3)m =，……………………………8分 设直线PQ 与平面AEF 所成的角为α， 则sin cos ,PQ m PQ m PQ mα⋅=<>=⋅…………9分设0(2,,0)Q y ，0(1,,3)PQ y =， 设直线PQ 与直线EF 所成的角为β，则cos cos ,PQ EF PQ EF PQ EFβ⋅=<>=⋅……………………………10分依题意得sin α=cos β，即PQ m PQ EF PQ mPQ EF⋅⋅=⋅⋅，代入整理得：01y =，01y =±，即1AQ =……………………………12分 ∴在l 上存在点Q ，1AQ =使直线PQ 分别与平面AEF 、直线EF 所成的角互余.19.解：（1）依题意，从该大型公司员工中随机抽取1名员工，其手机月流量不超过300M 的概率为(0.00080.0022)1000.3p =+⨯=………………2分 设从该大型公司员工中随机抽取3名员工中手机月流量不超过300M 的人数为X ，则(3,0.3)X B ……………………………3分则“从该大型公司员工中随机抽取3人，求这3人中至多有1人手机月流量不超过300M”为(1)(0)(1)P X P X P X ≤==+=003112330.3(10.3)0.3(10.3)0.784C C =⨯⨯-+⨯⨯-=…………………5分（2）依题意，从公司中随机抽取一名员工的手机使用流量在(300,500]和(500,700]的概率分别为0.6，0.1……………………………6分①当订购A 套餐时，设公司为一位员工承担的月费用为Y ，则Y 的可能取值为20，35，50，且(20)0.3P Y ==，(35)0.6P Y ==，(50)0.1P Y ==，所以Y 的分布列为：且()200.3350.6500.132E Y =⨯+⨯+⨯=（元）……………………………8分 ②当订购B 套餐时，设公司为一位员工承担的月费用为Z ，则Z 的可能取值为30，45， 且(Z 30)0.30.60.9P ==+=，(Z 45)0.1P ==，所以Z 的分布列为：且(Z)300.9450.131.5E =⨯+⨯=（元）……………………………11分 ③当订购C 套餐时，设公司为一位员工承担的月费用为38元； 因为31.5<32<38，所以订购B 套餐最经济……………………………12分 20.解：（1）设点(,)P x y ，由题意知2333AP BP k k x x ⋅==-+-，化简得点P 的轨迹方程为221(3)32x y x +=≠…………………………5分 （2）证明：由题意M 、N 是椭圆C 上不同于,A B 的两点， 由题意知，直线AP ，BP 斜率存在且不为0，又由已知23AP BP k k ⋅=-． 由//,//AP OM BP ON ，所以23OM ON k k ⋅=-…………………………6分 设直线MN 的方程为x my t =+，代入椭圆方程得222(23)4260m y mty t +++-=①…………………7分 设11(,)M x y ，22(,)N x y ，则122423mt y y m +=-+，21222623t y y m -=+………………………………8分 又212122222121212262()363OM ONy y y y t k k x x m y y mt y y t t m -⋅====-+++-………………9分 得22223t m =+………………………………10分所以221222261148247216222322MONt m t S t y y m t ∆-+=-===+ 即MON ∆的面积为定值6212分21.（I ）()()232cos sin 2g x a x x x x '=++-，……………1分 函数()g x 在0x =处的切线与x 轴平行，则()020g a '=+=……………2分 得2a =-.……………3分 （II ）证明：①要证[]0,1x ∈时，()211xx e x -+≥-，只需证明()1(1)x x x e x e -+≥-记()()1(1)xx h x x ex e -=+--，[]0,1x ∈，则()()0x x h x x e e -'=-≥，所以()h x 在[]0,1上是增函数，故()(0)0h x h ≥=，所以()1f x x ≥-；……………5分 ②要证[]0,1x ∈时，()2111xx ex-+≤+，只需证明1xe x ≥+ 记()1x k x e x =--，[]0,1x ∈，则()10x k x e '=-≥所以()k x 在[]0,1上是增函数，故()(0)0k x h ≥=，所以1()1f x x≤+； 综上，()111x f x x-≤≤+，[]0,1x ∈……………7分（III ）法一：()()3112cos 2x f x g x x ax x x ⎛⎫-≥--+++ ⎪⎝⎭2(12cos )2x x a x =-+++记2()2cos 2x G x x =+，[]0,1x ∈，则()2sin G x x x '=-，()12cos G x x ''=-， 当[]0,1x ∈时，()12cos 0G x x ''=-<，于是()G x '在[]0,1上单调递减， 从而()(0)0G x G ''≤=，所以()G x 在[]0,1上单调递减，有()(0)2G x G ≤=，212cos 32x a x a +++≤+，所以当3a ≤-时，()()f x g x ≥恒成立；…………………………9分 下证当3a >-时，()()f x g x ≥在[]0,1上不恒成立()()321112cos 2cos 1212x x f x g x ax x x x a x x x ⎛⎫⎛⎫-≤-+++=-+++ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭记211()2cos ()121x H x a x a G x x x=+++=++++， 则21()()0(1)H x G x x ''=-+<+，所以()H x 在[]0,1上单调递减，从而()H x 在[]0,1上的值域为[12cos 1,3]a a +++，当3a >-时，存在0(0,1)x ∈，使得0()0H x >，此时()()00f x g x <，即()()f x g x ≥在[]0,1上不恒成立.综上，实数a 的取值范围].3,(--∞………………………………12分 （III ）法二：令()()()32()112cos 2xx h x f x g x x eax x x -⎛⎫=-=+-+++ ⎪⎝⎭，注意到(0)0h =，故存在0(0,1)x ∈，当0[0,)x x ∈时，()h x 递增，从而必有(0)0h '≥， 而()()223()122cos sin 2xh x x ea x x x x -⎛⎫'=-+-++- ⎪⎝⎭，故(0)303h a a '=--≥⇒≤-…………………………9分关于3a ≤-的充分性与法一同.22.解：（1）由22cos ,2sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩消去参数ϕ可得1C 的普通方程为22(2)4x y -+=.4sin ρθ=， ∴24s i n ρρθ=，……………………………3分由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，得曲线2C 的直角坐标方程为22(2)4x y +-=；………………………5分 （2）由（1）得曲线1C ：22(2)4x y -+=，其极坐标方程为4cos ρθ=，……………………………6分 由题意设1(,)A ρα，2(,)B ρα，则12||||4|sin cos |AB ρραα=-=-42sin()|424πα=-=…………………8分∴sin()14πα-=±，∴42k ππαπ-=+()k Z ∈，0απ<<，∴34πα=.……………………………10分23. 解：（1）1a =，∴原不等式为2|1||1|4x x ++-<，∴12214x x x <-⎧⎨---+<⎩，或11,2214,x x x -≤≤⎧⎨+-+<⎩或1,2214,x x x >⎧⎨++-<⎩∴513x -<<-或11x -≤<或∅，∴原不等式的解集为5(,1)3-.……………………………5分（2）由题意得()()()g x f x f x =+-=112(||||)(||||)x a x a x x a a++-+++- 222|2|4||||||a a a a ≥+=+42≥ 当且仅当12||||a a =，计22a =±，且22x -≤≤时，()g x 取最小值42……………………………10分。

2023年湖北六校新高考联盟学校高三年级11月联考数学评分细则选择题：题号123456789101112答案ADCBCBABACBCDABCBCD填空题：13.()0,x ∃∈+∞，2230x x --≤14.2-15.(],e -∞16．3，,(12022)2022(1),(2023)n nn n a n ≤≤⎧=⎨⋅-≥⎩1.20231=1z i i =+-，=1+z i 在复平面上对应的点为（1,1），该点在第一象限,故选A.2.{}()()21,13,A x x A =->=-∞+∞ ，，()0,2B =，所以(0,1)A B = ，故选D.3.sin cos 2cos 2,22k k k Z ππααπαπ⎛⎫⎛⎫=-+=-+∈⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=2222k k ππβαπαπ∴-+-+或.选C4.因为33x y >，所以x y >，故1133xy⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选B .5.3126a a d π-==,202312023202266a a ππ=+⋅=，202320231sin sinsin(337)sin 6662a ππππ==+=-=-,故选C.6.由余弦定理得2222cos 22a cb a bc B c ac +-+==⨯，21c a b b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，∴2113b a b c b a b a =+⎛⎫+ ⎭+⎝+⎪≥=，当且仅当b a a b =即a b =时等号成立，所以2b c a b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的最小值为3．故选B ．7.由条件知，ααsin cos 2=，反复利用此结论，并注意到1sin cos 22=+αα，得)cos 1)(sin 1(sin sin sin cos cos sin 122224αααααααα-+=++=+2cos sin 22=-+=αα．故选A.8．因为()2sin cos 24f x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭所以()2sin sin 22sin 2sin cos 44444f x x x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭令4x πθ=+,则()2sin 2sin cos 2sin sin 2f θθθθθθ=+=+则()()222cos 2cos 222cos 12cos 4cos 2cos 2f θθθθθθθ'=+=-+=+-令()0f θ'=，得cos 1θ=-或1cos 2θ=当11cos 2θ-<<，即5(2,2)33k k ππθππ∈++，k Z ∈时，()0f θ'<，()f θ单调递减；当1cos 12θ<<，即(2,2)33k k ππθππ∈-++，k Z ∈时，()0f θ'>,()f θ单调递增；又()f θ周期为2π，所以=23k k Z πθπ+∈，时，()f θ取得最大值，所以()max33133222222f x =⨯+⨯=,故选B.9．因为(1,3),(,2)a b x =-=，所以()212,1a b x -=--- ，10．对于选项A，令t =，则3t ≥，则()g t t t=+，3t ≥，又()g t 在[)3,+∞为增函数，即min 10()(3)3g t g ==，即A 错误；对于选项B，当2x <时，20x ->，因此21(44)1()(2)22x x f x x x x+-+==+---2≥2=，当且仅当122x x=--时取等号.而此方程有解1(,2)x =∈-∞，故()f x 在(,2)-∞上最小值为2．对于选项C，()()141143()=15156152f x x x x x x x ⎛⎫=++++-≥⎡⎤ ⎪⎣⎦+-+-⎝⎭，当且仅当1x =时取等对选项D，112224+4=2+2(2)(2)2(22)(22)2222(22)x y x y x x y x y x y y x y ++⇒+=+⇒+-⋅⋅=+22222xyS S -=⋅⋅，又22(22)022222x y x yS +<⋅⋅≤=．22022S S S <-≤，解得24S <≤.故选BCD.11．当0x ≤时，()()'1xf x x e =+，当1x <-时，()'0f x <，故()f x 在(),1-∞-上为减函数，当10x -<<时，()'0f x >，故()f x 在()1,0-上为增函数，所以当0x ≤时，()f x 的最小值为()11f e-=-.又在R 上，()f x 的图像如图所示：因为()g x 有两个不同的零点，所以方程()f x m =有两个不同的解，即直线y m =与()y f x =有两个不同交点且交点的横坐标分别为12,x x ，故12m <<或0m =或1m e=-.若12m <<，则122x x +=；若0m =，则123x x +=；若1m e =-，则1211132x x e e+=-++=+.综上，选ABC.12．因为111ln(11x x x <+<+，令7x =，1118ln(1ln 17877=<+=+，则188e 7<，故A 错误；因为111ln(1)lnx x x x ++=<，则2ln 11<，31ln 22<，…，81ln 77<，以上各式相加有11ln 8127<+++ ，B 正确；因为111ln 1ln 1x x x x +⎛⎫<+= ⎪+⎝⎭，则12ln 21<，13ln 32<，…，18ln 87<，以上各式相加有111ln 8238+++< ，C 正确；由11ln(1)x x +<得，1ln(1)1x x +<，即1ln(1)1xx+<，1(1)e x x +<，因此0188888018C C C 1(1)e 8888+++=+< ，所以D 正确．故选：BCD13.“()0,x ∀∈+∞，2230x x -->”的否定是“()0,x ∃∈+∞，2230x x --≤”.14.因为()()()sin ,02,0x x f x x xπ⎧≥⎪=⎨<⎪⎩，所以13322sin f π⎛⎫==- ⎪⎝⎭，所以()3122f f f ⎡⎤⎛⎫=-=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，15.由()ln f x mx x ≤，得()e ln 0x m x x x--≥，即()ln eln 0x xm x x ---≥对任意的0x >恒成立，令()ln F x x x =-，则()111x F x x x-'=-=，所以当01x <<时，()0F x '<，()F x 单调递减；当1x >时，()0F x '>，()F x 单调递增，所以()()11F x F ≥=．令ln t x x =-，则[)1,t ∈+∞，则()ln eln 0x xm x x ---≥对任意的0x >恒成立，等价于e 0tmt -≥对任意的1t ≥恒成立，等价于e tm t ≤对任意的1t ≥恒成立，即mine t m t ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭．令()()1e t h t t t =≥，则()()22e 1e e 0tt t t t h t t t--'==≥，所以()h t 在[)1,+∞上单调递增，所以()()1e h t h ≥=，所以e m ≤，所以实数m 的取值范围为(],e -∞．16.(1)当1n =时,2311a a =,由10a ≠得11a =.当2n =时,2322(1)1a a +=+,由20a ≠得22a =或21a =-，当3n =时,2332323(1)1.a a a a ++=++若22a =得33a =或32a =-;若21a =-得31a =;综上,满足条件的三项数列有三个:3,2,1或2,2,1-或1,1,1-(2)令12,n n S a a a =+++ 则233312()n n S a a a n N *=+++∈ ，从而233331121().n n n n S a a a a a +++=++++ 两式相减,结合10n a +≠得2112n n n S a a ++=-当1n =时,由(1)知11a =;当2n ≥时,2211122()()(),n n n n n n n a S S a a a a -++=-=---即11()(1)0,n n n n a a a a +++--=所以1n n a a +=-或11n n a a +=+又120231,2022,a a ==-所以,(12022)2022(1),(2023)n nn n a n ≤≤⎧=⎨⋅-≥⎩.17.（10分）解：（1）[]3,4A =-,当5m =时，{}[]2650=1,5B x x x =-+≤，[]=1,4A B ∴ ………………5分（2）由题得B 是A 的真子集，不等式()210x m x m -++≤等价于()()10x x m --≤当1m =时，{}1B =，满足题意；当1m >时，[]1,B m =，则14m <≤；当1m <时，[],1B m =，31m -<<；综上所述，[]3,4m ∈-………………10分18.（12分）解：（1）()2cos cos f x a b x x x=⋅=+111sin2cos2sin222262x x xπ⎛⎫=++=++⎪⎝⎭，所以()f x的周期22Tππ==,令2()6x k k Zππ+=∈，得(),122kx k Zππ=-+∈所以()f x的对称中心1).1222k k Zππ-+∈（，）(………………6分（2）令222262k x kπππππ-≤+≤+（k Z∈）解得36k x kππππ-≤≤+（k Z∈），由于[]0,xπ∈，所以当0k=或1时，得函数()f x的单调递增区间为06π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，和2,3ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.………………12分19.（12分）解：（1）由1121S a=-得：11a=，因为()()1122(1)n n n nS S a n a n---=----(2)n≥，所以121n na a-=+，从而由()1121n na a-+=+得112(2)1nna na-+=≥+，所以{}1na+是以2为首项，2为公比的等比数列.………………6分（2）由（1）得21nna=-，所以13521na a a a+++++()321222(1)n n+=+++-+()1214(1)14nn+-=-+-232353n n+--=.………………12分20.（12分）解：（1）由题得()sin sin()a c C c B C-=-,即(sin sin)sin sin sin()A C C CB C-=-，由于sin0C≠，则有sin sin sin()A CB C-=-，即sin()sin sin()B C C B C+-=-,即2cos sin sin0B C C-=，由于sin0C≠，则有2cos=1B，即1cos=2B，又(0,2Bπ∈，故3Bπ=.………………6分（2）设ABC∆外接圆半径为R，则ABC∆的周长为222sin 2sin =2+(sin sin )=2+sin sin C a b c R B R C B C A A++=+++)cos )3=2+33sin sin tan 2A A A A A π++=+=+,由于ABC ∆为锐角三角形，所以(,,,tan (26221242A AA ππππ⎛⎫∈∈∈- ⎪⎝⎭所以6a b c <++<+即ABC ∆周长的取值范围是+………………12分21.（12分）解：（1）因为()1sin ()x f x e a x a R =--∈，所以()cos '=-x f x e a x ，设()(),()sin x h x f x h x e a x +=''=，当0a ≤时，即0a -≥时，因为[]0,,sin 0π∈≥x x ，所以sin 0-≥a x ，而10x e -≥，所以1sin 0--≥x e a x ，即f (x )≥0恒成立，当01a <≤时，()sin 0x h x e a x '=≥+，所以()f x '在[0，π]上递增，而(0)10'=-≥f a ，所以()(0)0f x f ''≥=，所以()f x 在[0，π]上递增，即()(0)0f x f ≥=成立，当1a >时，()sin 0x h x e a x '=≥+，所以()f x '在[0，π]上递增，而2(0)10,(02ππ''=-<=>f a f e ，所以存在[]00,x π∈，有()00f x '=，当00x x <<时，()0f x '<，()f x 递减，当0x x π<<时，()0f x '>，()f x 递增，所以当0x x =时，()f x 取得最小值，最小值为0()f x ，而0()(0)0f x f <=，不成立.综上：实数a 的取值范围(,1]-∞.………………6分（2）因为a =1，所以()()1sin ,0,1=--∈xf x e x x ，令()()1sin =-=---x g x f x x e x x ，所以()cos 1'=--x g x e x ，设()()u x g x ='，所以0n (i )s x u x e x +'=≥，所以()g x '在()0,1上递增，而(0)10,(1)cos110''=-<=-->g g e ，所以存在()10,1x ∈，()10g x '=，当10x x <<时，()0g x '<，()g x 递减，当11x x <<时，()0g x '>，()g x 递增，而(0)0,(1)1sin1120.840==---≈--<g g e e ，所以()0<g x ，即当()0,1x ∈时，()f x x <，而()10+-=-<n n n n a a f a a ，1n n a a +<，所以{a n }是递减数列.………………12分22.（12分）解：（1）由题知()f x a =有两个实数根，令()()g x f x a =-，即()ln g x x x a =--，则()g x 有两个零点，因为'1()=x g x x-，令'()=0g x 得1x =，所以在(0,1)上'()0g x <，()g x 单调递减；在(1,)+∞上'()0g x >，()g x 单调递增.故min ()(1)1g x g a ==-，则须有10a -<，即1a >.又()0aag ee--=>，22()212(1)0a a g e e a a a a =->+-=-≥，所以在(0,1)上存在1x 使得1()0g x =；在(1,)+∞上存在2x 使得2()0g x =，即1a >时，()g x 有两个零点，所以实数a 的取值范围是(1,)+∞.………………6分（2）由题知1122ln =ln x x x x --，要证明123x x ++>，只需证2112213ln ln x x x x x x -+>⋅-设120x x <<，令21(1)x t t x =>，则只需证1113(1)(1)ln t x t x t-++>只需证3(1)1ln t t t -++>，其中1t >，只需证ln t >1t >，方法一：易证明1t >时，>，证明如下：设2(1)()ln ,11x h x x x x -=->+，则2'2214(1)()0,1(1)(1)x h x x x x x x -=-=>>++所以()(1,)h x +∞在上单调递增，所以()(1)0h x h >=，所以2(1)1ln ,1x x x x ->>+当时，所以1t >时，>，即1t >时，ln t >，>，其中1t >>1t >，只需证2441)t +>+，其中1t >，只需证10t -+>，只需证21)0->，其中1t >，显然成立，故123x x +>得证.………………12分x =，即2,1t x x =>，，故只需证223(1)2ln ,11x x x x x ->>++设223(1)()2ln ,11x h x x x x x-=->++，则()'2224322222221(252)23(41)262()0(1)(1)(1)x x x x x x x x x h x x x x x x x x x x -+++++-++=-==>++++++()h x ∴在(1,)+∞上单调递增，()(1)0h x h ∴>=，223(1)2ln ,11x x x x x -∴>>++，即不等式3(1)1ln t t t-++>（1t >）成立所以123x x ++>。

2018 届广东省六校第三次联考理科数学第Ⅰ卷（共60 分）一、选择题：本大题共12 个小题 , 每小题 5 分 , 共 60 分 . 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合 M {( x, y) | x, y 为实数，且x2 y2 2} ，N {( x, y) | x, y为实数，且 x y 2} ，则 M N 的元素个数为( )A． 0 B ． 1 C．2 D．32. 设等差数列a n的前n 项和为S n，若S3 9，S5 30 ,则 a7 a8 a9 ( )A． 63 B ． 45 C ． 36 D ． 27y 03. 若变量 x, y 满足约束条件x 2 y 1 0 ，则 z 3x 5 y 的取值范围是( )x 4 y 3 0A．3， B ．8,3 C ．,9 D．8,94.1 ln | x |) 函数ysin x 的部分图象大致为(1 ln | x |A．B．C.D．5. 设函数f x cos 3x，其中常数满足0 .若函数 g(x) f ( x) f ' (x)（其中 f ' ( x) 是函数 f (x) 的导数）是偶函数，则等于()1A． B ．5D2C. ．3 6 6 36. 执行下面的程序框图，如果输入的a, b, k 分别为1，2，3，输出的M 15, 那么，判断框中8应填入的条件为 ( )A．n k B ． n k C. n k 1 D ． n k 17. 已知nb0 20 b1 2 i b2 22b n 2n1 i i i i （n 2,i 为虚数单位），又数列a n满足：当 n 1 2 ；当 n 2 an2 21为b2 2i的虚部，若数列时，a ，a n 的前 n 项和为S n，则S2018 ( )A． 2017 B ． 2018 C. 4035 D ． 40332018 2017 2018 20178. 如图，在同一个平面内，三个单位向量OA, OB, OC 满足条件： OA 与 OC 的夹角为，且tan7 ， OB 与 OC 与的夹角为45°. 若OC mOA nOB m,n R ，则 m n 的值为( )32C. 3 2 D．2A．3B．2229. 四面体SABC 中，三组对棱的长分别相等，依次为5，4， x ，则x 的取值范围是() A ．2，41B ． 3，9C.3， 41D ． 2，910. 从 2 个不同的红球、 2 个不同的黄球、 2 个不同的篮球共六个球中任取2 个，放入红、 黄、 蓝色的三个袋子中，每个袋子至多放入一个球， 且球色与袋色不同， 那么不同的放法有( ) A ．42 种B ．36 种C.72种D ．46 种 11. 已知点 F 为双曲线 E :x 2y 2 1 a, b 0 的右焦点，直线 y kx(k 0)与 E 交于 M,Na 2b 2两点，若 MFNF ,设MNF, 且12 ， ，则该双曲线的离心率的取值范围是6( )A ． 2,26B．2,31C.2, 2 6D．2,3112. 已知 A x 1, y 1 、 B x 2 , y 2 是函数 f xln x与 k图象的两个不同的交点，则xg xx 2f x 1 x 2 的取值范围是()A ． e 2B ．e 2 1C.1 2 ln ,2 ln , e0， eeee 2 D ．ln ,02e第Ⅱ卷（共 90 分） 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. 已知函数 yf ( x) 是定义在 R 上的奇函数，则3 21 dx ．f x1x14. 已知函数 f xa sin xb cosx ，若 fx f x ，则函数 y 3ax b 1 恒过定点．4415. 已知几何体的三视图如图所示，其中俯视图为一正方形，则该几何体的表面积为．316. 若函数 f x 的图象上存在不同的两点A x 1 , y 1 ,B x 2 , y 2 ，其中 x 1 , y 1, x 2 ,y 2 使得 x 1x 2 y 1 y 2x 12 y 12x 22 y 22 的最大值为 0，则称函数 f x 是“柯西函数” . 给出下列函数：① f x ln x 0 x 3 ；② f xx 1 x0 ；x③ f x2 x 2 8 ；④ f x2 x 28 .其中是“柯西函数”的为（填上所有正确答案的序号）．三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分 . 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . ）17. 设数列 a n 的前 n 项和为 S n ，数列 S n 的前 n 项和为 T n ，满足 T n 2S n n 2, n N.( Ⅰ ) 求 a 1 , a 2, a 3 的值；( Ⅱ ) 求数列a n 的通项公式.18. 某小店每天以每份 5 元的价格从食品厂购进若干份食品，然后以每份10 元的价格出售 . 如果当天卖不完，剩下的食品还可以每份1 元的价格退回食品厂处理 .( Ⅰ 若小店一天购进 16 份，求当天的利润 y （单位：元）关于当天需求量 （单位：份，n N ） )n的函数解析式；4( Ⅱ ) 小店记录了 100 天这种食品的日需求量（单位：份），整理得下表：日需求量 n 14 15 16 17 18 19 20 频数10 20 16 16 15 13 10 以 100 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率.(i)小店一天购进16 份这种食品，X 表示当天的利润（单位：元），求X的分布列及数学期望；(ii) 以小店当天利润的期望值为决策依据，你认为一天应购进食品16 份还是 17 份？19 如图，在四棱锥P A BCD 中， ABCD 是平行四边形，AB BC 1, BAD 120 ，PB PC2,PA 2, E,F 分别是 AD, PD 的中点.( Ⅰ ) 证明：平面EFC平面PBC；5( Ⅱ) 求二面角A BC P 的余弦值.20. 已知椭圆 C :x2y 2 1 a b 0 的离心率为 3， A 1、A 2 分别为椭圆 C 的左、右顶点a 2b 22点P2, 1 满足 PA 1 PA 2 1. ( Ⅰ) 求椭圆C 的方程；( Ⅱ ) 设直线l 经过点P 且与C 交于不同的两点M 、 N ，试问：在x 轴上是否存在点Q ，使得 QM 与直线 QN 的斜率的和为定值？若存在，请求出点Q 的坐标及定值；若不存在，请说明 理由 .21. 已知函数f xx1 exax 2，其中a R .2( Ⅰ ) 函数fx 的图象能否与x 轴相切？若能，求出实数a ，若不能，请说明理由；6( Ⅱ ) 求最大的整数 a ，使得对任意 x 1 R, x 2 0,，不等式 f x 1 x 2 f x 1 x 22x 2恒成立 .请考生在 22、 23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22. 选修 4-4 ：坐标系与参数方程x m t cos），以坐标原点为极点，以 x已知直线 l 的参数方程为（ t 为参数，y t sin轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为4cos ，射线 4, ， 分别与曲线 C 交于 A 、 B 、 C 三点（不包括极点 444O ） .(Ⅰ)求证：OBOC 2OA ；7( Ⅱ ) 当时，若B、C两点在直线l 上，求m与的值.12已知函数 f x 2x a 2 x 2a .( Ⅰ ) 若f 13 ，求实数a的取值范围；( Ⅱ ) 若不等式f x 2恒成立，求实数a的取值范围.2018 届广东省六校第三次联考理科数学参考答案一、选择题1-5: BADAA6-10: CCBCA 11、12：DD8二、填空题13. ln 314.1，315.42 23 216.①④三、解答题17.解：(Ⅰ)∵ S 1 T 12 S 1 1 , S 1 1 a 1 ，∴ a 1 1. ∵ S 1 S 2 T 2 2S 2 4 , ∴ a 2 4 .∵ S 1S 2 S 3 T 3 2S 3 9 , ∴ a 3 10 .( Ⅱ ) ∵ T n 2S n n 2①， T n12S n 1x 1 2, ②，∴① - ②得， S n 2a n 2n 1 n2，∵S 12a 1 2 1 1 ，∴ S n2a n 2n 1 n 1 , ③，Sn 1 2a n 1 2n 3,④，③ - ④得， a n2a n12 n2 ，a n 2 2(a n 1 2) .12 3 ，∴a n 2是首项3 公比 2 的等比数列，a n 23 2n 1 ，∵ a故a n 32n 12 .18. 解： ( Ⅰ ) 当日需求量 n 16 时，利润 y 80 ，当日需求量 n16 时，利润 y 5n 4(16 n) 9n 64 ，所以 y 关于 n 的函数解析式为y9n 64, n16N .80, n 16 n( Ⅱ )(i) X 可能的取值为 62， 71，80，并且PX62 0.1, P X 710.2, P X80 0.7 . X 的分布列为：X 62 71 80 P0.10.20.7X 的数学期望为 E X62 0.1 71 0.2 80 0.7 76.4 元 .(ii) 若小店一天购进17 份食品， Y 表示当天的利润（单位：元） ，那么 Y 的分布列为9Y 58 67 76 85 P0.10.20.160.54Y 的数学期望为 E Y 58 0.1 67 0.2 76 0.16 85 0.54 77.26 元.由以上的计算结果可以看出，E X E Y , 即购进 17 份食品时的平均利润大于购进 16 份时的平均利润．所以，小店应选择一天购进17份. 19.解法一： (Ⅰ)取BC 中点G ，连PG,AG,AC ,∵PBPC ,∴ PG BC , ∵ ABCD 是平行四边形， AB BC 1 , BAD 120,∴ ABC 60,∴ ABC 是等边三角形，∴ AG BC ,∵ AG PG G ,∴BC 平面 PAG ,∴ BCPA .∵ E,F 分别是 AD,PD 的中点 ,∴ EF // PA ,EC// AG , ∴BC EF , BC EC ,∵EF EC E ,∴BC 平面EFC , ∵ BC 平面 PBC , ∴平面 EFC 平面 PBC . (Ⅱ)由(Ⅰ)知PGBC,AG BC , ∴ PGA 是二面角 A BC P 的平面角.∵PG21 7,AG3,PA 2,422在 PAG 中，根据余弦定理得PG 2 AG 2 PA 221,cos PGA,2PG AG 7102018 届广东省六校第三次联考理科数学及答案解析∴二面角 A BC P 的余弦值为21. 7解法二：( Ⅰ ) ∵ABCD是平行四边形，AB BC1 ,BAD 120 ，∴ADC60 ,∴ADC 是等边三角形，∵E是AD的中点，∴CE AD,∵AD//BC,∴CE BC.分别以 CE,CB 的方向为x轴、y轴的正方向，C 为坐标原点，如图建立空间直角坐标系.则C 0,0,0 ,E3,0,0 ,A3,1,0 , D 3 ,1,0 ,2 2 2 2 22 2 23 , y 1 , z 1，设 P x, y, z ，∵ PB PC 2 , PA 4 ,解得x2 2∴可得 P3,1,1 , 2 2∵ F 是 PD 的中点，∴F 0,0,1,∵CB CF 0,∴CB CF,∵CE BC,2CE CF C,∴BC 平面 EFC ,∵ BC 平面 PBC ,∴平面 EFC 平面 PBC .(Ⅱ)由(Ⅰ)知，CB 0,1,0 , CP 3,1,1 , 设n x, y, z 是平面 PBC 的法向量，则2 2112018 届广东省六校第三次联考理科数学及答案解析 CB n ，∴ CB n y 03 x ，CP n CP n 1 y z 02 2令 x 2 ，则n ( 2,0, 3) ，又 m (0,0,1) 是平面ABC 的法向量，∴ cos m, n m n 21m n ，7∴二面角 A BC P 的余弦值为 21 .7注：直接设点 F 0，0，z ，或者说 CF 平面 ABCD , PA AD ，酌情扣分 .20. 解： ( Ⅰ ) 依题意， ,0 、 ， ， ，A 1a A 2 a,0 P 2 1∴ PA 1 PA 2 （ a 2,1) a 2,1 5 a 2 ,由 PA 1PA 2 1, a 0 , 得 a 2 ，∵ e c 3a ，2∴ c 3,b 2 a 2 c 2 1 ，故椭圆 C 的方程为 x 2 y 2 1 .4( Ⅱ ) 假设存在满足条件的点 Q t,0 . 当直线 l 与 x 轴垂直时，它与椭圆只有一个交点，不满足题意.因此直线 l 的斜率 k 存在，设 l : y y 1 k(x 2)1 k( x 2) ，由 x2 y 2，消 y 得141 4k2 x 2 16k 2 8k x 16k2 16k 0 ，设 M x 1 , y 1 、N x 2 , y 2 ，则 x 1 x 2 16k 2 8k , x 1x 2 16k 2 16k1 4k2 1 4k 2，∵ k QM k QN y 1 y 2 kx 1 2k 1 x 2 t kx 2 2k 1 x 1 tx 1 t x 2 t x 1 t x 2 t122kx1x2 2k 1 kt x1 x2 2 2k 1 t 4t 8 k 2t，x1x2 t x1 x2 t 2 4 t 2 2 k 2 8 2 t k t 2∴要使对任意实数k,k QMk QN为定值，则只有t 2 ，此时， k QMkQN 1 .故在 x 轴上存在点Q2,0 , 使得直线QM与直线QN的斜率的和为定值 1.21.解： ( Ⅰ ) 由于f '( x) xe x ax .假设函数 f x 的图象与 x 轴相切于点t,0 ，f (t ) 0t 1e'at20.2则有f '(t)，即0 te' at 0显然 t 0, e' a 0 代入方程t 1 e' at2 0 中得， t 2 2t 2 0 . 2∵ 4 0 ，∴无解．故无论 a 取何值，函数 f x 的图象都不能与x 轴相切. ( Ⅱ ) 依题意，f x1 x2 f x1 x2 x1 x2 x1 x2f x1 x2 x1 x2 f x1 x2 x1 x2 恒成立 .设 g x f (x) x ，则上式等价于g x1 x2 g x1 x2 ，要使 gx1 x2 g x1 x2, 0, 恒成立，即使 g x x a 2x 在R上单调递增，对任意x 1 e x x1 R x2 2∴ g'( x) xe x ax 1 0在R上恒成立.则 g' (1) e a 1 0, a e 1 ，∴ g' ( x) 0 在R上成立的必要条件是： a e 1 . 下面证明：当 a 3时， xe x 3x 1 0恒成立.设x，则xh x e x 1'(x)e1 ，当x 0时， h' (x) 0，当x 0时， h' ( x) 0 ，h∴ h(x)min h(0) 0 ，即x R,e x x 1. 那么，当 x 0 时，xe x x2 x, xe x 3x 1 x2 2x 1 x 1 2 0 ；当 x 0 时， e x 1, xe x 3x 1 x(e x 3 1 ) 0 ，∴ xe x 3x 1 0 恒成立 .x因此， a 的最大整数值为 3.22. 解： ( Ⅰ ) 证明：依题意，OA 4cos ，13OB 4 cos , OC 4 cos4 ，4则 OB OC 4 cos4 4 cos44 2 cos 2OA .(Ⅱ)当12 时， B、 C 两点的极坐标分别为2，，2 3，，3 6化直角坐标为B1，3，C 3， 3 .经过点 B、 C 的直线方程为y 3 x 2 ，又直线 l 经过点m,0 ，倾斜角为，故 m 2, 2. 323. 解： ( Ⅰ ) ∵f 1 3 ，∴ a 1 2a 3 ，①当 a 0 时，得 a (1 2a) 3, a 2，∴2a 0 ；3 3②当 01时，得 a (1 2a) 3, a2 ，∴0 a1a ；2 2③当 a 1(1 2a) 3, a4 1a4 时，得 a3，∴.2 2 3综上所述，实数 a 的取值范围是2 4. 3，3( Ⅱ ) ∵f xa1 x 2a ，根据绝对值的几何意义知，当x 1ax 的值2 x 时， f2 2最小 ,∴ f 1 a 2，即1 5a 2 ，2 2解得 a 6 2, 26,.或 a . ∴实数a的取值范围是5 5 5 514。

2024年中考六校联考数学试卷第Ⅰ卷(选择题，共48分)一、选择题（本大题满分48分，每小题4分）1．的相反数是（）A．B．C．2023D．2．体育精神就是健康向上，不懈奋斗的精神，下列关于体有运动的图标中是轴对称图形的是（）A．B．C．D．3．如右图是一个正方体的展开图，则与“学”字相对的是（ ）A．核B．心C．数D．养4．我国古代数学家刘徽用“牟合方盖”找到了球体体积的计算方法．“牟合方盖”是由两个圆柱分别从纵横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公共部分形成的几何体如图所示的几何体是可以形成“牟合方盖”的一种模型，则它的俯视图是（）A．B．C．D．5．下列计算正确的是（）A．B．C．D．6.《国务院2024年政府工作报告》中提到，今年发展主要预期目标是：国内生产总值增长5%左右；城镇新增就业1200万人以上，城镇调查失业率5.5%左右；居民消费价格涨幅3%左右；居民收入增长和经济增长同步；国际收支保持基本平衡；粮食产量1.3万亿斤以上；单位国内生产总值能耗降低2.5%左右，生态环境质量持续改善。

其中1200万用科学记数法表示为( )A.1.2×10⁶B.12×10⁶C. 1.2×10⁷D.12×10⁷7．如图是凸透镜成像原理图，已知物AB 和像DC 都与主光轴BC 垂直，∠BAO=63°, 则∠ODC的度数为()A. 27°B.37°C. 53°D.63°8.为了落实“作业、睡眠、手机、读物、体质”等五项管理要求，了解学生的睡眠状况，调查了一个班50名学生每天的睡眠时间，绘成睡眠时间频数分布直方图如图所示，则所调查学生睡眠时间的众数，中位数分别为（）A．7h，7h B．7h，7.5h C．8h，7.5h D．8h，8h9．如图，⊙O的直径AB=8，弦AC=4，过⊙O上一点D作切线DE，交AC的延长线于点E，若DE⊥AC，2023-12023-120232023-2242a a a+=22(3)6a a=426a a a+=23a a a⋅=第16题图DNBMAC第17题则DE 的长为（）A ．4B ．4C ． 2D ．310. 如图，已知点在函数位于第二象限的图像上，点在函数位于第一象限的图像上，点在轴的正半轴上，若四边形都是正方形，则正方形的边长为( )A. 1012B. C.D.11.已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）（的实数）；其中正确的结论有( )A. 5个B. 4个C. 3个D. 2个12.已知在扇形OAB 中，∠AOB ＝90°，OB ＝4，C 为弧AB 的中点，D 为半径OB 上一动点，点B 关于直线CD 的对称点为M ，若点M 落在扇形OAB内（不含边界），则OD 长的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．第Ⅱ卷(非选择题，共102分)二、填空题（本大题满分12分，每小题3 分）13.若，则的值为______．14．若关于x 的方程x2-x +m =0（m 为常数）有两个相等的实数根，则m =__________.15.一个扇形的圆心角为，面积为，则此扇形的弧长为__________．（结果保留）16．如图，在△ABC 中，按以下步骤作图：①分别以点A 、C 为圆心，大于AC 长为半径作弧，两弧分别相交于点M 、N ；②作直线MN 交BC 于点D .若AB =5，BD =3，∠C =45°，则△ABC 的面积等于．17．如图，在菱形ABCD 中，∠A =60°，AB =4，点E 在边AB 上，△EBC 绕点C 顺时针旋转60°，点E 落在BD33122024A ,A ,...,A 22y x =122024B ,B ,...,B 22y x =122024C ,C ,...,C y 111112222023202420242024O A C B ,C A C B ,...,C A C B 2023202420242024C A C B 202322(0)y ax bx c a =++≠0abc >b a c ->420a b c ++>23c b <()a b m am b +>+1m ≠4OD -<<OD <<0OD <<44OD -<<230x y +-=36x y +100 10ππ21第9题图第10题图第11题图延长线上的点F处，连接EF交AD于点H，若点E是AB的中点，则AH的长为_____.18.如图，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA=8，OB=11，以O为圆心，4为半经作⊙O，分别交两边于点C，D两点，P为劣孤CD上一动点，则12PA+PB的最小值_____.三、解答题19.（满分8分，每小题4分）（1）计算：38+|3―12|+(π2―1.57)0―2cos30°．(2)先化简，再求值：(2xx―2+xx+2)÷xx2―4，其中x=―3．20.（满分8分）习近平总书记在主持召开中央农村工作会议中指出：“坚持中国人的饭碗任何时候都要牢牢端在自己手中，饭碗主要装中国粮．”某粮食生产基地为了落实习近平总书记的重要讲话精神，积极扩大粮食生产规模，计划投入一笔资金购买甲、乙两种农机具，已知1件甲种农机具比1件乙种农机具多1万元，用15万元购买甲种农机具的数量和用10万元购买乙种农机具的数量相同．(1)求购买1件甲种农机具和1件乙种农机具各需多少万元？(2)若该粮食生产基地计划购买甲、乙两种农机具共20件，且购买的总费用不超过46万元，则甲种农机具最多能购买多少件？21.（满分8分）某学校积极开展了如下丰富多彩的课外兴趣活动：乒乓球，篮球，足球，自行车越野四种课程（依次用A，B，C，D表示），为了解学生对这四种课程的喜好情况，校学生会随机抽取部分学生进行了“你最喜欢哪一种课外活动（必选且只选一种）”的问卷调查．根据调查结果，小明同学绘制了如图所示的不完整的两个统计图．（1）请根据统计图将下面的信息补充完整；①参加问卷调查的学生共有______人；②扇形统计图中“D”对应扇形的圆心角的度数为______°；（2）若该校共有学生1200名，请你估计该校全体学生中最喜欢C课程的学生有多少人？（3）现从喜欢乒乓球的甲、乙、丙、丁四名学生中任选两人比赛，请用树状图或列表法求“恰好甲和丁同学被选到”的概率．22.（满分8分）如图，小明为了测量小河对岸大树BC 的高度，他在点A 处(点G 、A 、C 在同一水平线上)测得大树顶端B 的仰角为45°，沿着坡度i =1:的斜坡AE 走6米到达斜坡上点D 处，此时测得大树顶端B 的仰角为31°，点A 、B 、C 、D 在同一平面内.（1）填空：∠ADB =_____°；（2）求斜坡上点D 到AG的距离；（3）求大树BC 的高度（结果精确到0.1米）.参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60，≈1.73，≈1.41）.23.（满分10分）如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于A ，B 两点，已知A 点的横坐标是2．（1）分别求出这两个函数的表达式；（2）直接写出当时，x 的取值范围；（3）将直线y ＝kx 向下平移m 个单位长度，与反比例函数在第一象限的图象交于点C ，与x 轴和y 轴分别交于点D ，E ，若，求m 的值．24．（满分10分）如图，AB 是⊙O 的直径，点C 是圆上的一点，CD ⊥AD 于点D ，AD 交⊙O 于点F ，连接AC ，若AC 平分∠DAB ，过点F 作FG ⊥AB 于点G 交AC 于点H ．(1)求证：CD 是⊙O 的切线；(2)延长AB 和DC 交于点E ，若AE =4BE ，求的值；(3)在(2)的条件下，求FHAF的值．25.（满分12分）【综合与实践】在一节数学课上，张老师提出了这样一个问题：如图1，在等腰直角三角形ABC 中，∠BAC =90°，D 是2331y kx =25ky x-=12y y ≥12CD DE =∠C，BE⊥DE，DE交AB于点F.猜想线段BE，DF之间的数量边BC上一动点(不与点B重合)，∠EDB=12关系并说明理由．小聪与同桌小明讨论后，仍不得其解.张老师给出提示：“数学中常通过把一个问题特殊化来找到解题思路.”两人茅塞顿开，于是进行了如下讨论，请仔细阅读，并完成相应的任务．小聪：已知点D是动点，因此可以将点D移动到一个特殊的位置.当点D与点C重合时，如图2所示.此时可以分别延长BE，CA交于点H，如图3所示，可知△CBH是等腰三角形，证明△ABH≌△ACF，从而得出线段BE，DF之间的数量关系．小明：对于图2，我有不同的证明方法，过点F分别作BE，AC的平行线，交边BC于点M，N，如图4所示，可知△BEF∽△CFM，且FN=MN=CN，又∵FN=FB，可得△BEF与△CFM的相似比为1：2，从而得出线段BE，DF之间的数量关系．任务一：如图2，猜想线段BE，DF之间的数量关系为______ ；任务二：通过阅读上述讨论，请在小聪与小明的方法中选择一种，就图1中的情形判断线段BE，DF之间的数量关系，并给出证明；任务三：若AB=4，其他条件不变，当△ADF是直角三角形时，直接写出BD的长．26．（满分14分）如图11，抛物线与x轴交于A(-4,0)、B(1,0)两点，与y轴交于点C(0,2).（1）求该抛物线的解析式；（2）点P 是直线AC 上方抛物线上一动点，设点P 的横坐标为t (-4＜t ＜0)．①连接PO 交AC 于点D ，求的最大值；② 连接PC 、BC ，若∠PCA =2∠OCB ，求点P 的坐标；③点Q 在x 轴上，是否存在点P ，使得△PCQ 是等腰直角三角形.若存在，直接写出点P 的横坐标；若不存在，请说明理由.DOPD2024年中考六校联考数学试卷参考答案及评分标准一、CABAD CDBCB BA 二、13．9 14.15．16.14 17. 318. 三、19．（1）解：38+|3―12|+(π2―1.57)0―2cos 30°=2+23―3+1―2×32…(2分)=2+23―3+1―3…(3分)=3． …(4分)(2) (2xx ―2+x x +2)÷x x 2―4=[2x (x +2)(x ―2)(x +2)+x (x ―2)(x +2)(x ―2)]⋅(x +2)(x ―2)x…(5分)=x (2x +4+x ―2)(x ―2)(x +2)⋅(x +2)(x ―2)x…(6分)=3x +2，…(7分)当x =―3时，原式=―9+2=―7． …(8分)20. (1)设购买1件乙种农机具需要x 万元，则购买1件甲种农机具需要(x +1)万元，…(0.5分)依题意得：15x +1=10x ，…(2.5分)解得：x =2，…(3.5分)经检验，x =2是原方程的解，且符合题意，…(4.5分)∴x +1=2+1=3．答：购买1件甲种农机具需要3万元，1件乙种农机具需要2万元．…(5分)(2)设购买m 件甲种农机具，则购买(20―m )件乙种农机具，依题意得：3m +2(20―m )≤46，…(6分)解得：m ≤6．…(7分)答：甲种农机具最多能购买6件． …(8分)21．（1）①240，②36°；…(2分)（2）最喜欢D 课程人数所占百分比为∴最喜欢C 课程的人数所占百分比为…(3分)∴估计全体2100名学生中最喜欢C 课程的人数约为：1200×30%＝360（人）答：估计该校全体学生中最喜欢C 课程的学生有360人；…(4分)41103π5524100%10%240⨯=()125%35%10%30%-++=（3）画树状图为：…(6分)共有12种等可能的结果数，其中恰好甲和丁同学被选到的结果数为2…(7分)∴恰好甲和丁同学被选到的概率为．…(8分)22．（1）61. …(1分)（2）如图2，过点D 作DF ⊥AG 于点F .…(2分)在Rt △AFD 中，∵∠DAF =30°，AD =6，∴ DF =3.答：点D 到AG 的距离为3米. …(3分)（3）过点D 作DH ⊥BC 于点H ，则四边形DFCH 是矩形. ∴ CH =DF =3. 设BC =x ，则BH =BC -CH =x -3. …(4分)在Rt △ACB 中，∵ ∠BAC =45°， ∴ AC =BC =x .在Rt △AFD 中，AF =3. ∴ DH =FC =AC +AF =x+3，在Rt △BHD 中，tan ∠BDH =tan31°=，∴. …(6分)解得x =…(7分)答：大树BC 的高度约为15.3米. …(8分)23.（1）由已知可得：，解得k ＝1，…(1分)∴正比例函数为y ＝x ，反比例函数为…(2分)（2）或…(4分)（3）∵直线y ＝x 向下平移m 个单位长度，∴直线CD 解析式为：y ＝x －m 当y ＝0时，x ＝m ，∴点D 的坐标为…(5分)如图，过点C 作CF ⊥x 轴于点F ，则21126=33DHBH60.0333≈+-x x 3.1523915≈+522kk -=4y x=2x ≥20x -≤<(),0m CF OE∥∴，∴，∴…(6分)∵点C 在直线CD 上，∴，∴∴点C 的坐标是…(7分)∵点C 在反比例函数的图象上，∴，…(8分)解得…(9分) 由题意知m >0，∴…(10分)24. (1)证明：如图1，连接OC ，…(1分)∵OA =OC ，∴∠CAO =∠ACO ，∵AC 平分∠DAB ，∴∠DAC =∠OAC ，∴∠DAC =∠ACO ，∴AD //OC ，…(2分)∵CD ⊥AD ，∴OC ⊥CD ，∵OC 是⊙O 的半径，∴CD 是⊙O 的切线；…(4分)(2)解：∵AE =4BE ，OA =OB ，设BE =x ，则AB =3x ，∴OC =OB =1.5x ，∵AD //OC ，∴∠COE =∠DAB ，…(5分)∴cos ∠DAB =cos ∠COE =OCOE =1.5x2.5x =35；…(7分)(3)解：由(2)知：OE =2.5x ，OC =1.5x ，∴EC =OE 2―OC 2=(2.5x )2―(1.5x )2=2x ，…(8分)∵FG ⊥AB ，∴∠AGF =90°，∴∠AFG +∠FAG =90°，∵∠COE +∠E =90°，∠COE =∠DAB ，∴∠E =∠AFH ，∵∠FAH =∠CAE ，∴△AHF ∽△ACE ，…(9分)∴FHAF =CEAE =2x4x =12． …(10分)25.任务一:2BE =DF …(2分)12FD CD OD ED ==12FD m =32OF OD FD m =+=3122y m m m =-=12CF m =31,22m m ⎛⎫⎪⎝⎭4y x =31422m m ⨯=m =m =任务二：选择小明的方法：2BE =DF ．证明：如图4，过点F 分别作BE ，AC 的平行线，交BC 于点M ，N ，∵△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC =90°，∴∠C =∠ABC =45°，…(1分)∵FN //AC ，∠BFN =∠BAC =90°，∠BNF =∠C =45°，∴BF =FN ．…(2分)∵∠BNF =∠NFD +∠EDB ，∠EDB =12∠C ，∴∠NFD =12∠C =∠EDB ．∴FN =DN ．∵FM //BE ．∴∠EBF =∠BFM ，∠DFM =∠DEB ．∵BE ⊥DE ，∴∠DEB =∠DFM =∠EFM =90°．∴∠BFN =∠DFM =90°，即∠BFM +∠MFN =∠MFN +∠NFD =90°，∴∠EBF =∠BFM =∠NFD =∠EDB ．∴△EBF ∽△FDM ．…(6分)∴EBFD =BF DM ，∠BFE =∠DMF ．∵∠EFM =∠BFN =90°，即∠BFE +∠BFM =∠BFM +∠MFN =90°，∴∠BFE =∠MFN =∠DMF ．∴BF =FN =MN =DN ．∴EBFD =BFDM =12，∴2BE =DF ．…(8分)任务三：42或42―4，…(12分)22．（1）∵抛物线与x 轴交于A (-4,0)、B (1,0)两点，∴设所求抛物线的解析式为y =a (x +4)(x -1).把点C (0,2)代入，得2=a (0+4)(0-1)，解得a =.∴所求抛物线的解析式为y =-(x +4)(x -1).即. …(3分)（2）①经过A (-4,0)、C (0,2)两点的直线AC 的解析式为.如图4.1，过点P 作PE ∥y 轴，交AC 于点E ，则△PDE ∽△ODC ，∴. …(4分)21-21223212+--=x x y 221+=x y COPEDO PD =设点P 的坐标为(t ,)，则点E 的坐标为(t ,).∴PE =y P -y E=()-()=.∴.∵a =＜0，且-4＜t ＜0，∴当t =-2时，的最大值为1. …(7分)② 在Rt △AOC 中，tan ∠CAO =.在Rt △COB 中，tan ∠BCO =.∴∠CAO =∠BCO .如图4.2，过点C 作CF ∥x 轴，交PE 于点F . ∴∠FCA =∠CAO .∵∠PCA =2∠OCB ，∴∠PCF =∠ECF =∠CAO ，∴点F 是PE 的中点.∴y F =(y P +y E ).∴ 2=[()+()].解得t 1=-2，t 2=0(舍去).∴当∠PCA =2∠OCB 时，点P 的坐标为(-2,3). …(9分)③分三种情况讨论：(Ⅰ)如图4.3，当∠PCQ =90°，CP =CQ 时，过点P 作PM ⊥y 轴于点M ，则△PMC ≌△COQ . ∴PM =CO=2.∴点P 的横坐标为-2.…(10分)(Ⅱ)如图4.4，当∠CPQ =90°，PQ =PC 时，过点P 作PM ⊥y 轴于点M ，PN ⊥x 轴于点N ，则△PMC ≌△PNQ ，∴PM =PN . ∴. 解得， (舍去).∴点P 的横坐标为. …(12分)（Ⅲ）如图4.5，当∠PQC =90°，QP =QC 时，过点P 作PN ⊥x 轴于点N ，则△PNQ ≌△QOC . ∴PN =QO ，NQ =CO =2.∴PN +CO =NQ +QO =NO .∴.223212+--t t 221+t 223212+--t t 221+t t t 2212--1)2(41412221222++-=--=--=t t t t t DO PD 41-DOPD21=AO CO 21=CO OB 2121223212+--t t 221+t t t t -=+--22321221711--=t 21712+-=t 2171--t t t -=++--2)22321(2解得， (舍去).∴点P 的横坐标为.综上所述，△PCQ 是等腰直角三角形时，点P 的横坐标为：-2或或. …(14分)(注：用其它方法求解参照以上标准给分.)23311--=t 23312+-=t 2331--2171--2331--。

启用前：绝密2015届广东六校联盟第三次联考试题数学（理科）（满分150分） 考试时间：120分钟参考公式：柱体的体积公式V Sh =，锥体的体积公式13V Sh =.一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题只有一个正确答案，请把正确答案填涂在答题卡相应位置） 1. 设集合{}{}{}1,2,3,4,5,2,3,4,3,5U A B ===，则图中阴影部分所表示的集合为( ）A.{}2,3B.{}1,4C.{}5D.{}6 2. 已知复合命题()p q ∧⌝是真命题，则下列命题中也是真命题的是（ ）A.()p q ⌝∨B.p q ∨C.p q ∧D.()()p q ⌝∧⌝ 3. 已知向量()()()5,2,4,3,,a b c x y ==--=，若320a b c -+=，则c =（ ）A.()23,12--B.()23,12C.()7,0D.()7,0-4. 下列函数中，在其定义域上为奇函数的是（ ）A.xxy e e -=+B.y =C.tan y x =D.1ln1xy x+=- 5. 某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为（ ）A.263 B.83π+ C.143π D.73π 6. 已知等差数列{}n a 中，10,0a d >>，前n 项和为n S ，等比数列{}n b 满足11b a =，44b a =，前n 项和为n T ，则（ ） A.44S T >B.44S T <C.44S T =D.44S T ≤7. 已知直线()1:2110l ax a y +++=，()()2:110l a x a y ++-=,若12l l ⊥，则a =（ ）A.2或12 B.13或1- C.13D.1- 8. 已知函数()f x 的定义域为D ，如果存在实数M ，使对任意的x D ∈，都有()f x M ≤，则称函数()f x 为有界函数，下列函数： ①()2,xf x x R -=∈ ②()()ln ,0,f x x x =∈+∞③()()()2,,00,1xf x x x =∈-∞+∞+； ④()()sin ,0,f x x x x =∈+∞为有界函数的是（ ）A.②④B.②③④C.①③D.①③④U AB主视图 侧视图俯视图二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共计30分.）9. 函数()ln f x x x =在点()(),e f e 处的切线方程为___________________. 10. 在ABC ∆中，45,75,2A B c =︒=︒=，则此三角形的最短边的长度是________. 11. 已知递增的等差数列{}n a 满足21252,6a a a ==+，则n a =___________.12. 已知圆2220x y x +-=上的点到直线:2l y kx =-的最近距离为1，则k =______. 13. 如图，为了测量两座山峰上两点P 、Q 之间的距离，选择山坡上一段长度为P,Q 两点在同一平面内的路段AB 的 两个端点作为观测点，现测得四个角的大小分别是90PAB ∠=︒,60PAQ PBA PBQ ∠=∠=∠=︒,可求得P 、Q 两点间的距离为 米.14. 已知(){}:,23p M x y x x ∈+-+；()(){}()222:,10q M x y x y r r ∈-+<>如果p 是q 的充分但不必要条件，则r 的取值范围是_ .三、解答题（本大题共六个小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤） 15.（本小题满分12分）已知函数()sin 1f x x x ωω=+（其中0,x R ω>∈）的最小正周期为6π. （1）求ω的值； （2）设,0,2παβ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，13217f πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，()1135f βπ+=，求()cos αβ+的值. 16．（本小题满分12分）寒假期间校学生会拟组织一次社区服务活动，计划分出甲、乙两个小组，每组均组织①垃圾分类宣传，②网络知识讲座，③现场春联派送三项活动，甲组计划12的同学从事项目①，14的同学从事项目②，最后14的同学从事项目③；乙组计划15的同学从事项目①，另15的同学从事项目②，最后35的同学从事项目③，每个同学最多只能参加一个小组的一项活动，从事项目①的总人数不得多于20人，从事项目②的总人数不得多于10人，从事项目③的总人数不得多于18人，求人数足够的情况下，最多有多少同学能参加此次的社区服务活动？17.（本小题满分14分）如图，将长为4，宽为1的长方形折叠成长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的四个侧面，记底面上一边(),02AB t t =<<，连接A 1B,A 1C,A 1D.（1）当长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的体积最大时，求二面角B-A 1C-D 的值；（2）线段A 1C 上是否存在一点P ，使得A 1C ⊥平面BPD ，若有，求出P 点的位置，没有请说明理由.18.（本小题满分14分）已知数列{}n a 中，1141,13n n a a a +==-+ ，数列{}n b 满足()*1,1n n b n N a =∈+. （1）求数列{}n b 的通项公式； （2）证明：222121117nb b b +++<. 19.（本小题满分14分）已知直角坐标系中，圆O 的方程为222x y r +=()0r >，两点()()4,0,0,4A B ， 动点P 满足(),01AP AB λλ=≤≤. （1）求动点P 的轨迹C 方程；（2）若对于轨迹C 上的任意一点P ，总存在过点P 的直线l 交圆O 于M,N 两点，且点M 是线段PN 的中点，求r 的取值范围.20.（本小题满分14分）已知函数()()ln f x x a ax =++. （1）求函数()f x 的单调区间和极值；（2）若()1,0a ∈-，函数()()g x a f x '=的图像上存在12,P P 两点，其横坐标满足1216x x <<<，且()g x 的图像在此两点处的切线互相垂直，求a 的取值范围.C 1A BCD A 1B 1D 1六校联盟第三次联考理科数学参考答案及评分标准一、选择题：CBAD DABC二、填空题：9.20x y e --=；； 11.2n 12.0或者43-； 13. 900；14. r >)r ∈+∞或者直接)+∞均可三、解答题：15. 解：⑴ ()sin 12sin()13f x x x x πωωω=+=-+ …………3分26T ππω==，所以13ω=. ………………………………………………6分 ()12sin()133f x x π=-+注：如果()2cos()16f x x πω=-++等正确结果的话相应给分即可.⑵1132sin (3)12sin 12cos 12323217f ππππαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--+=-+=-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 所以8cos 17α= ………………………………………………………………7分()11132sin (3)12sin 1335f πβπβπβ⎛⎫+=+-+=+= ⎪⎝⎭所以3sin 5β= …………………………………………………………………8分因为,0,2παβ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以154sin ,cos 175αβ====，10分 所以()13cos cos cos sin sin 85αβαβαβ+=-=-. …………………………12分16.解：设甲组x 名同学，乙组y 名同学，根据题意有：……………………1分1120251110451318450,0x y x y x y x y ⎧+≤⎪⎪⎪+≤⎪⎨⎪+≤⎪⎪⎪≥≥⎩ 整理得： 52200542005123600,0x y x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨+≤⎪⎪≥≥⎩ 可行域如图： 参加活动的总人数z x y =+，变形为y x z =-+，当经过可行域内的点，斜率为1-的直线在y 轴上 截距最大时，目标函数z x y =+取得最大值. 由可行域图像可知，直线y x z =-+经过54200x y += 和512360x y +=的交点A 时，在y 轴上截距最大. ……………8分Ox y 54200x y += 52200x y += 512360x y += y x =- A （24，20） ………7分，约束条件和图像各3分，不化简不扣分解方程组54200512360x y x y +=⎧⎨+=⎩得：24,20x y == ……………………………………10分所以max 242044z x y =+=+= …………………………………………………11分答：甲组24名同学参加，乙组20名同学参加，此时总人数达到最大值44人.………12分 17.解：法一：⑴ 根据题意，长方体体积为()()2221212t t V t t t t +-⎛⎫=-⨯=-≤= ⎪⎝⎭……2分当且仅当2t t =-，即1t =时体积V 有最大值为1所以当长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的体积最大时，底面四边 形ABCD 为正方形 ……4分作BM ⊥A 1C 于M ，连接DM ，BD ……………5分因为四边形ABCD 为正方形，所以1A BC ∆与1A DC ∆全等，故DM ⊥A 1C ，所以BMD ∠即为所求二面角的平面角 ……6分因为BC ⊥平面AA 1B 1B ，所以1A BC ∆为直角三角形又11AB AC 11A B BC BM AC ⨯===3DM = 在∆BMD 中，根据余弦定理有：6621cos 2BMD +-∠==- ………………8分 因为()0,180BMD ∠∈︒︒，所以120BMD ∠=︒即此时二面角B-A 1C-D 的值是120︒. ……………………………………………………9分 ⑵ 若线段A 1C 上存在一点P ，使得 A 1C ⊥平面BPD ，则A 1C ⊥BD ………………10分 又A 1A ⊥平面ABCD,所以A 1A ⊥BD ，所以BD ⊥平面A 1AC所以BD ⊥AC ……………………………………………………………………12分底面四边形ABCD 为正方形，即只有ABCD 为正方形时，线段A 1C 上存在点P 满足要求，否则不存在 由⑴知，所求点P 即为BM ⊥A 1C 的垂足M此时，2111A B A P AC ===……………………………………………………14分 法二：根据题意可知，AA 1, AB,AD 两两垂直，以AB 为x 轴，AD 为y 轴，AA 1为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系：⑴长方体体积为()()2221212t t V t t t t +-⎛⎫=-⨯=-≤= ⎪⎝⎭………………………2分当且仅当2t t =-，即1t =时体积V 有最大值为1 …………………………………3分所以当长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的体积最大时，底面四边形ABCD 则()()()()()110,0,1,1,0,0,1,1,0,1,0,1,0,1,0A B C A B BC =-=， 设平面A 1BC 的法向量(),,m x y z =，则00x z y -=⎧⎨=⎩取1x z ==，得：()1,0,1m = ………………6分 同理可得平面A 1CD 的法向量()0,1,1n = ……7分AB C DA 1B 1C 1DM所以，1cos ,2m n m n m n⋅==⋅ ………………8分 又二面角B-A 1C-D 为钝角，故值是120︒.…………9分（也可以通过证明B 1A ⊥平面A 1BC 写出平面A 1BC 的法向量） ⑵ 根据题意有()()(),0,0,,2,0,0,2,0B tC t tD t --，若线段A 1C 上存在一点P 满足要求，不妨11A P AC λ=，可得()(),2,1P t t λλλ-- ()()(),2,1,,2,0BP t t t BD t t λλλ=---=--1100BP AC BD AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即：()()()()22221020t t t t t t λλλ⎧-+---=⎪⎨-+-=⎪⎩…………………………11分 解得：21,3t λ== …………………………………………………………13分即只有当底面四边形是正方形时才有符合要求的点P ，位置是线段A 1C 上1:2:1A P PC =处. ………………………………………………………14分18.解：⑴ 12241233nn n n a a a a +++=-=++ …………………………………………2分 ()()11123111112221122n n n n n n n n a a b b a a a a +++++====+=+++++ …………………6分又112b =，所以数列{}n b 是首项为12，公差为12的等差数列，2n n b = …………8分（也可以求出12341234,,,2222b b b b ====，猜想并用数学归纳法证明，给分建议为计算前2项1分，计算前3项或者更多2分，猜想通项公式2分，数学归纳法证明4分数学归纳法证明过程如下：① 当1n =时，112b =符合通项公式2n n b =；② 假设当n k =时猜想成立，即112k k kb a ==+，21k a k =-那么当1n k =+时12111123113k k k a k k a a k k +----===++-+，111111211k k k b a k+++===+++ 即1n k =+时猜想也能成立综合①②可知，对任意的*n N ∈都有2n n b =.⑵ 当1n =时，左边=21147b =<不等式成立；……………………………………9分当2n =时，左边=2212114157b b +=+=<不等式成立； …………………………10分当3n ≥时，()2214411411n b n n n n n ⎛⎫=<=- ⎪--⎝⎭左边=22212111111111414()23341n b b b n n+++<++-+-++-- 11454()772n n=+-=-<不等式成立 …………………………………………………………………………14分19.解：⑴ 设(),P x y ，因为(),01AP AB λλ=≤≤，所以444x y λλ-=-⎧⎨=⎩消去λ并注意到01λ≤≤可得动点P 的轨迹C 即为线段AB ，方程为：()40,04x y x +-=≤≤ ……5分，不写出x 的范围扣1分⑵ 设()()()00,,,4,04N x y P t t t -≤≤，则004(,)22x t y tM ++- 方程组22200222004()()22x y r x t y t r ⎧+=⎪⎨++-+=⎪⎩即2220022200()(4)4x y r x t y t r ⎧+=⎪⎨+++-=⎪⎩有解 ……7分 法一：将方程组两式相减得：()()22200224430tx t y t t r +-++--= ………8分原方程组有解等价于点()0,0到直线()()222:224430l tx t y t t r +-++--=的距离小于或等于r ，r ≤ …………………………………………………………9分整理得：()()()22222221683444t t rt t r +--≤+-即()()22222816281690t t rtt r -+--+-≤也就是，22228169r t t r ≤-+≤对任意的04t ≤≤恒成立 ……………………10分根据二次函数22816y t t =-+的图像特征可知，在区间[]0,4上，当0t =或者4t =时，()2m a x281616tt -+=；当2t =时，()2min28168t t -+= …………………………12分所以21689r ≤≤，43r ≤≤ ……………………………………………………13分特别的，当r =228xy +=与40x y +-=切于点()2,2，此时过C 上的点()2,2P 没有合乎要求的直线，故r ≠，即所求r 的范围为43r ⎡∈⎢⎣. ……14分法二：上述方程组有解即以()0,0为圆心，r 为半径的圆与以(),4t t --为圆心，2r 为半径的圆有公共点，故对于任意的04t ≤≤都有3r r ≤≤成立 ……9分整理得：22228169r t t r ≤-+≤对任意的04t ≤≤恒成立 ……………………10分根据二次函数22816y t t =-+图像特征可知，在区间[]0,4上，当0t =或者4t =时，()2m a x281616tt -+=；当2t =时，()2min28168t t -+=…………………………12分所以21689r ≤≤，43r ≤≤ ……………………………………………………13分特别的，当r =228xy +=与40x y +-=切于点()2,2，此时过C 上的点()2,2P 没有合乎要求的直线，故r ≠，即所求r 的范围为43r ⎡∈⎢⎣. ……14分20.解：⑴函数()()ln f x x a ax =++的定义域为(),a -+∞，()1f x a x a'=++ ……1分 当0a >时，原函数在区间(),a -+∞上有()0f x '>，()f x 单调递增，无极值； 当0a =时，原函数在区间()0,+∞上有()0f x '>，()f x 单调递增，无极值；……2分当0a <时，令()10f x a x a '=+=+得：1x a a=-- ………………………………3分 当1(,)x a a a ∈---时，()0f x '>，原函数单调递增；当1(,)x a a∈--+∞时，()0f x '<，原函数单调递减 …………………………………………………………………………………4分所以()f x 的极大值为()21ln 1f a a a a ⎛⎫--=---- ⎪⎝⎭………………………………5分 ⑵ 由⑴知，当()1,0a ∈-时()()221,(,)11,(,)a a x a a x a ag x a f x a a a x a a x a x aa ⎧+∈---⎪⎪+'==+=⎨+⎪--∈--+∞⎪+⎩ ……………………6分函数图像上存在符合要求的两点，必须12116x a x a<<--<<，得：13a -<<-+………………………………………………………………………8分 当1(,)x a a a∈---时，()2a g x a x a =++，函数在点1P 处的切线斜率为()121a k x a =-+； 当1(,)x a a ∈--+∞时，()2a g x a x a =--+，函数在点2P 处的切线斜率为()222ak x a =+； ………………………………………………………………10分 函数图像在两点处切线互相垂直即为：()()22121aax a x a ⋅=++，即()()22212x a x a a ++= ………………………………11分因为121016a x a x a a a<+<+<-<+<+，故上式即为()()12x a x a a ++=- …12分 所以()()1116a a a a a a⎧-+<-⎪⎪⎨⎪-+>-⎪⎩，解得：2a -<<综合得：所求a的取值范围是(a ∈-. ………………………………14分。

2024-2025学年江苏省南京市高二上学期10月六校联考数学检测试题一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1. 已知复数满足，则（ ）z ()i 12i34z +=-z=C. 3D. 52. 设为实数，已知直线，若，则（a ()12:320,:6340l ax y l x a y +-=+-+=12l l ∥a =）A. 6B. C. 6或 D. 或33-3-6-3. 已知焦点在轴上的椭圆的焦距为6，则实数等于（ ）x 2213x y m+=m A. B. C. 12D. 3421412-4. 已知，则（ ）cos πsin 4αα=⎛⎫- ⎪⎝⎭πtan 4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭A. B. D. 33-5. 设直线与圆相交于两点，且的面积为20x ay ++=22:(2)16C x y +-=,AB ABC V 8，则（ ）a=A. B. C. 11-6. 已知为直线上的动点，点满足，则点的轨迹方程M :2310l x y ++=P ()2,4MP =-P 为（）A. B.3290x y -+=2249(2)(4)13x y -++=C. D.2390x y ++=2249(2)(4)13x y ++-=7. 如图，两个相同的正四棱台密闭容器内装有纯净水，，图1中水面高度118,2AB A B ==恰好为棱台高度的，图2中水面高度为棱台高度的，若图1和图2中纯净水的体积分别1223为，则（ ）12,V V 12V V =A. B. C. D. 23652872083872088. 关于椭圆有如下结论：“过椭圆上一点作该椭圆的切线，()222210+=>>x y a b a b ()00,P x y 切线方程为.”设椭圆的左焦点为，右顶点为，00221x x y ya b +=()2222:10x y C a b a b +=>>F A 过且垂直于轴的直线与的一个交点为，过作椭圆的切线，若切线的斜率F x C M M l l 与直线的斜率满足，则椭圆C 的离心率为（ ）1k AM 2k 1220k k +=A.C.1323二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 国庆期间，某校开展“弘扬中华传统文化，传承中华文明”主题活动知识竞赛.赛前为了解学生的备赛情况，组织对高一年级和高二年级学生的抽样测试，测试成绩数据处理后，得到如下频率分布直方图，则下面说法正确的是（）A. 0.025a =B. 高一年级抽测成绩的众数为75C. 高二年级抽测成绩的70百分位数为87D. 估计高一年级学生成绩的平均分低于高二年级学生成绩的平均分10. 已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ m n αβ）A. 若，，，则B. 若，，，则//αβ//m αn β⊥m n⊥//αβm α⊂n β⊂//m nC .若，，，则 D. 若，，，则m α⊥//n β//m n αβ⊥αβ⊥m α⊂n β⊂m n⊥11. 已知圆C ：，以下四个命题表述正确的是（ ）22(2)4x y -+=A. 若圆与圆C 恰有3条公切线，则221080x y x y m +--+=16m =B. 圆与圆C 的公共弦所在直线为2220x y y =++20x y +=C. 直线与圆C 恒有两个公共点()()2132530m x m y m +++--=D. 点为轴上一个动点，过点作圆C 的两条切线，切点分别为，且的中点为P y P ,A B ,A B ，若定点，则的最大值为6M ()5,3N MN 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案直接填写在答题卡相应位置上.12. 从分别写有的五张卡片中任取两张，则抽到的两张卡片上的数字之和是3的倍1,2,3,4,5数的概率为______.13. 已知为椭圆上的点，，则线段长度的最小值为__________.P 22:194x y C +=()1,0A PA14. 已知，点是直线上的动点，若恒成立，则()()()0,2,1,0,,0A B C t D AC AD ≤正整数的最小值是__________.t 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15. 记的内角的对边分别为，且.ABC V ,,A B C ,,a b c sin2sin b A a B =（1）求角；A（2）若的周长.a ABC =△ABC V 16. 如图，圆柱中，是一条母线，是底面一条直径，是的中点.1OO PA AB C AB（1）证明：平面平面；PAC ⊥PBC （2）若，求二面角的余弦值.24PA AB ==A PB C --17. 某校为了厚植文化自信､增强学生的爱国情怀，特举办“中国诗词精髓”知识竞赛活动，比赛中只有两道题目，比赛按先题后题的答题顺序各答1次，答对题得2分，答,A B A B A 对题得3分，答错得0分.已知学生甲答对题的概率为，答对题的概率为，其中B A p B q ，学生乙答对题的概率为，答对题的概率为，且甲乙各自在答01,01p q <<<<A 34B 23两题的结果互不影响.已知甲比赛后得5分的概率为，得3分的概率为.,A B 1316（1）求的值；,p q （2）求比赛后，甲乙总得分不低于8分的概率.18. 已知圆过点，圆心在直线上，且直线与圆M ()3,3A M 250x y +-=250x y -+=相切.M（1）求圆的方程；M （2）过点的直线交圆于两点.若为线段的中点，求直线的方程.()0,2D -l M ,A B A DB l 19. 已知椭圆的离心率为分别为椭圆的左､右顶点，()2222:10x y C a b a b +=>>121,2A A ､C ､分别为椭圆的左､右焦点，.1F 2F C 126A F =（1）求椭圆的方程；C （2）设与轴不垂直的直线交椭圆于两点（在轴的两侧），记直线x l C P Q ､P Q ､x ，的斜率分别为.12,A P A P 21,A Q A Q 1234,,,k k k k （i ）求的值；12k k （ii ）若，问直线是否过定点，若过定点，求出定点；若不过定点，()142353k k k k +=+PQ 说明理由.2024-2025学年江苏省南京市高二上学期10月六校联考数学检测试题一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1. 已知复数满足，则（ ）z ()i 12i 34z +=-z=C. 3D. 5【正确答案】B【分析】根据复数的乘、除法运算可得，结合复数的几何意义计算即可求解.12i z =--【详解】由题意知，，34i (34i)(12i)36i 4i 812i 12i (12i)(12i)5z ------====--++-.=故选：B2. 设为实数，已知直线，若，则（a ()12:320,:6340l ax y l x a y +-=+-+=12l l ∥a =）A. 6B. C. 6或 D. 或33-3-6-【正确答案】A【分析】由两条直线的一般式方程平行的条件求解即可.【详解】因为，所以，解得：或.12l l ∥()318a a -=6a =3a =-当时，，平行；6a =12:6320,:6340l x y l x y +-=++=当时，，可判断此时重合，舍去.3a =-12:3320,:6640l x y l x y -+-=-+=故选：A3. 已知焦点在轴上的椭圆的焦距为6，则实数等于（ ）x 2213x y m +=m A. B. C. 12D.3421412-【正确答案】C【分析】根据椭圆的标准方程建立方程，解之即可求解.【详解】由题意知，，3,3m a b c >===又，所以，222a b c =+3912m =+=即实数的值为12.m 故选：C4. 已知，则（ ）cos πsin 4αα=⎛⎫- ⎪⎝⎭πtan 4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭A.B.D. 33-【正确答案】B【分析】根据两角差的正弦公式和同角的商关系可得，结合两角和的正切公式计tan 2α=算即可求解.【详解】由，得，cos πsin()4αα=-πcos )sin cos 4αααααα=-==-即，所以.tan 2α=πtan 13tan(341tan 1ααα++===---故选：B5. 设直线与圆相交于两点，且的面积为20x ay ++=22:(2)16C x y +-=,A B ABC V8，则（ ）a =A. B.C. 11-【正确答案】C【分析】利用三角形的面积公式可得，由圆心到直线的距π2ACB ∠=(0,2)C 20x ay ++=离，再利用点线距公式建立方程，解之即可.d 【详解】由三角形的面积公式可得，214sin 82ABC S ACB =⨯∠= 得，由，得，sin 1ACB ∠=0πACB <∠<π2ACB ∠=所以为等腰直角三角形，ABC V 所以圆心到直线的距离为(0,2)C 20x ay ++=π4sin4d ==由点到直线的距离公式得，解得.d 1a =故选：C6. 已知为直线上的动点，点满足，则点的轨迹方程M :2310l x y ++=P ()2,4MP =-P 为（）A. B.3290x y -+=2249(2)(4)13x y -++=C .D.2390x y ++=2249(2)(4)13x y ++-=【正确答案】C【分析】由点坐标，得到坐标，代入直线方程即可.P M 【详解】设点，因为，所以，(),P x y ()2,4MP =-()2,4M x y -+代入直线方程可得：，()()223410x y -+++=化简可得.2390x y ++=所以的轨迹方程为.P 2390x y ++=故选：C7. 如图，两个相同的正四棱台密闭容器内装有纯净水，，图1中水面高度118,2AB A B ==恰好为棱台高度的，图2中水面高度为棱台高度的，若图1和图2中纯净水的体积分别1223为，则（ ）12,V V 12V V =A. B. C. D. 2365287208387208【正确答案】D【分析】根据棱台的体积公式，求出，即可解出.12,V V 【详解】设四棱台的高度为h ，在图1中，中间液面四边形的边长为5，在图2中，中间液面四边形的边长为6，则，((1211291291046425,43663323h h h h V V =+⋅==++⋅=所以.12387208V V =故选：D.8. 关于椭圆有如下结论：“过椭圆上一点作该椭圆的切线，()222210+=>>x y a b a b ()00,P x y 切线方程为.”设椭圆的左焦点为，右顶点为，00221x x y ya b +=()2222:10x y C a b a b +=>>F A 过且垂直于轴的直线与的一个交点为，过作椭圆的切线，若切线的斜率F x C M M l l 与直线的斜率满足，则椭圆C 的离心率为（ ）1k AM 2k 1220k k +=A .C.1323【正确答案】C【分析】根据给定条件，求出点的坐标，再求出切线与直线的斜率，列式求解,M A l AM 即可.【详解】依题意，，由代入椭圆方程得，不妨设，(,0),(,0)A a F c -x c =-2b y a =±2(,)b Mc a -则切线，即，切线的斜率，222:1b ycx al a b -+=y ex a =+l 1k e =直线的斜率，则，所以.AM 22221()b a c a k e c a a a c -==-=---+2(1)0e e +-=23e =故选：C二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 国庆期间，某校开展“弘扬中华传统文化，传承中华文明”主题活动知识竞赛.赛前为了解学生的备赛情况，组织对高一年级和高二年级学生的抽样测试，测试成绩数据处理后，得到如下频率分布直方图，则下面说法正确的是（）A. 0.025a =B. 高一年级抽测成绩的众数为75C. 高二年级抽测成绩的70百分位数为87D. 估计高一年级学生成绩的平均分低于高二年级学生成绩的平均分【正确答案】ABD【分析】根据频率分步直方图､样本的数字特征等基础知识判断即可．【详解】对于A ：由，解得，正确；()0.002520.0100.020.04101a ⨯++++⨯=0.025a =对于B ：由频率分布直方图可知高一年级抽测成绩的众数为75，正确；对于C ：因为，由，0.025a =()0.002520.0100.025100.4⨯++⨯=，所以70百分位数是，故()0.002520.0100.0250.04100.8⨯+++⨯=3801087.54+⨯=错误；对于D ：高一年学生成绩的平均数约为分；450.04550.11650.18750.35850.22950.174⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=高二年学生成绩的平均数约为分，450.025550.025650.1750.25850.4950.280.75⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=因为，故正确；7480.75<故选：ABD10. 已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ m n αβ）A. 若，，，则B. 若，，，则//αβ//m αn β⊥m n⊥//αβm α⊂n β⊂//m nC. 若，，，则D. 若，，，则m α⊥//n β//m n αβ⊥αβ⊥m α⊂n β⊂m n⊥【正确答案】AC【分析】根据给定条件，利用空间线线、线面、面面垂直或平行关系逐项判断即可.【详解】对于A ，由，得存在过直线的平面与平交，令交线为，则，//m αm αc //m c而，，则，，因此，A 正确；n β⊥//αβn α⊥n c ⊥m n ⊥对于B ，由，，，得是平行直线或异面直线，B 错误；//αβm α⊂n β⊂,m n 对于C ，由，得存在过直线的平面与平交，令交线为，则，//n βn βl //n l 由，得，又，则，因此，C 正确；//m n //m l m α⊥l α⊥αβ⊥对于D ，，，，当都平行于的交线时，，D 错误.αβ⊥m α⊂n β⊂,m n ,αβ//m n 故选：AC11. 已知圆C ：，以下四个命题表述正确的是（ ）22(2)4x y -+=A. 若圆与圆C 恰有3条公切线，则221080x y x y m +--+=16m =B. 圆与圆C 的公共弦所在直线为2220x y y =++20x y +=C. 直线与圆C 恒有两个公共点()()2132530m x m y m +++--=D. 点为轴上一个动点，过点作圆C 的两条切线，切点分别为，且的中点为P y P ,A B ,A B ，若定点，则的最大值为6M ()5,3N MN 【正确答案】BCD【分析】根据圆与圆的位置关系即可判断A ；由两圆方程相减即为两圆公共弦所在直线方程，即可判断B ；求出直线所过定点坐标，得到定点在圆内，故直线与圆M 恒有两个公共点，即可判断C ；易知直线AB 恒过定点，由得出点M 的轨迹，结合点与圆的位(0,0)CM A B ⊥置关系计算即可判断D.【详解】A ：由题意得：的圆心为，半径为221080x y x y m +--+=(5,4)=该圆与圆有3条公切线，则两圆外切，22:(2)4C x y -+=，解得，故A 错误；2+32m =B ：两圆的圆心分别为，半径分别为和2，(0,1),(2,0)-1则，所以两圆相交，211312-=<<=+与相减得：，2220x y y =++22(2)4x y -+=20x y +=故圆与圆C 的公共弦所在直线为，故B 正确；2220x y y =++20x y +=C ：变形为，(21)(32)530m x m y m +++--=()235(23)0x y m x y +-++-=令，解得，2350230x y x y +-=⎧⎨+-=⎩11x y =⎧⎨=⎩即直线恒过点，(21)(32)530m x m y m +++--=()1,1由于，点在圆M 内，()221214-<+()1,1所以与圆M 恒有两个公共点，故C 正确；(21)(32)530m x m y m +++--=D ：如图，圆，半径为2，则圆C 与y 轴相切，切点为原点，即为，(2,0)C O A 易知直线恒过点，又为的中点，则，AB (0,0)A M AB C M A B ⊥所以点的轨迹是以为直径的圆，圆心为，半径为1，M AC (1,0)又，所以的最大值为，故D 正确.(5,3)N MN16=故选：BCD关键点点睛：本题D 选项的关键点在于直线AB 恒过定点，由得出点M 的(0,0)CM A B ⊥轨迹为圆.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案直接填写在答题卡相应位置上.12. 从分别写有的五张卡片中任取两张，则抽到的两张卡片上的数字之和是3的倍1,2,3,4,5数的概率为______.【正确答案】##250.4【分析】由古典概型概率计算公式直接求解.【详解】从五张卡片中任取两张共有，25C 10=两张卡片上的数字之和是3的倍数有，共4种，()()()()1,2,1,5,2,4,4,5所以概率.42105p ==故2513. 已知为椭圆上的点，，则线段长度的最小值为__________.P 22:194x y C +=()1,0A PA【分析】记线段的长度为，表达的函数，利用,；，结合二次函PA d d 0(P x 0)y 033x -≤≤数的性质即可求的最小值．d 【详解】设，记线段的长度为，是椭圆上任意一点，(1,0)A PA d P E 设,,,0(P x 0)y 033x-≤≤所以：．d ===由于，故时，有最小值，且033x -≤≤095x =d d 14. 已知，点是直线上的动点，若恒成立，则()()()0,2,1,0,,0A B C t D AC AD ≤正整数的最小值是__________.t 【正确答案】4【分析】求出直线AC 的方程，设.由，列不等式，利用判别式22,D x x t ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭AD ≤法求出t 的范围，即可求解.【详解】由题意知直线AC 的方程为.22y x t =-+因为点D 是直线上的动点，所以可设.AC 22,D x x t ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭因为，AD≤≤化简得：对任意x 恒成立,2282615024x x t t ⎛⎫+⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭-+⎭+≥⎝所以，化简得,22244150862t t ⎛⎫⎛⎫-⨯∆⨯≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=++224708t t +-=≤∆解得t 为正整数得：t 的最小值为4.t ≥t ≤故4四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15. 记的内角的对边分别为，且.ABC V ,,A B C ,,ab c sin2sin b A a B =（1）求角；A （2）若的周长.a ABC =△ABC V 【正确答案】（1）π3A =（2）.5+【分析】（1）根据二倍角公式，结合正弦定理边角互化，即可求解，（2）根据面积公式可得的值，结合余弦定理即可求解.bc 【小问1详解】因为，所以.sin2sin b A a B =2sin cos sin b A A a B =根据正弦定理，得，2sin sin cos sin sin B A A A B =因为，所以.sin 0,sin 0B A ≠≠1cos 2A =又，所以.()0,πA ∈π3A =【小问2详解】在中，由已知，ABCV 11sin 622ABC S bc A bc bc ===∴= 因为,π3A a ==由余弦定理可得，即7，2222cos a b c bc A =+-21()222b c bc bc ⎛⎫=+--⋅ ⎪⎝⎭即，又,所以.27()3b c bc =+-0,0b c >>5b c +=所以的周长周长为.ABC V 5+16. 如图，圆柱中，是一条母线，是底面一条直径，是的中点.1OO PA AB C AB （1）证明：平面平面；PAC ⊥PBC （2）若，求二面角的余弦值.24PA AB ==A PB C --【正确答案】（1）证明见解析（2）.23【分析】（1）由线面垂直的性质可得又，结合线面垂直和面面垂直的,PA BC ⊥AC BC ⊥判定定理即可证明；（2）如图，确定是二面角的平面角，利用定义法求解即可.CEO ∠A PB C --【小问1详解】因为是一条母线，所以平面，PA PA ⊥ABC 而平面则⊂BC ,ABC ,PA BC ⊥因为是底面一条直径，C 是的中点，所以，即，ABAB 90ACB ∠=AC BC ⊥又平面且，,PA AC ⊂PAC PA AC A = 所以平面，而平面，⊥BC PAC ⊂BC PBC 则平面平面.PAC ⊥PBC 【小问2详解】设，则，24PA AB ==PB =因为C 是的中点，为底面圆心，所以平面，AB O CO ⊥PAB 作，交于点连接，OE PB ⊥PB E CE 由可知，是二面角的平面角.,OE PB CE PB ⊥⊥CEO ∠A PB C --则，即，PB OE PA BO ⋅=⋅OE ==在直角中，.COECE ==所以.2cos 3CEO ∠==故二面角的余弦值为.A PBC --2317. 某校为了厚植文化自信､增强学生的爱国情怀，特举办“中国诗词精髓”知识竞赛活动，比赛中只有两道题目，比赛按先题后题的答题顺序各答1次，答对题得2分，答,A B A B A 对题得3分，答错得0分.已知学生甲答对题的概率为，答对题的概率为，其中B A p B q ，学生乙答对题的概率为，答对题的概率为，且甲乙各自在答01,01p q <<<<A 34B 23两题的结果互不影响.已知甲比赛后得5分的概率为，得3分的概率为.,A B 1316（1）求的值；,p q （2）求比赛后，甲乙总得分不低于8分的概率.【正确答案】（1） 21,32p q ==（2）.1136【分析】（1）由概率乘法公式列出等式求解即可.（2）记甲得分为i 分的事件为，乙得分为i 分的事件为，()0,2,3,5i C i =()0,2,3,5i D i =从而得到不低于8分的事件为，再结合概率加法、乘法公式即可求355355E C D C D C D =++解.【小问1详解】由题意得，()13116pq p q ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩解得.21,32p q ==【小问2详解】比赛结束后，甲､乙个人得分可能为.0,2,3,5记甲得分为i 分的事件为，乙得分为i 分的事件为，()0,2,3,5i C i =()0,2,3,5i D i =相互独立，,i i C D 记两轮投篮后甲总得分不低于8分为事件E ，则，且彼此互斥.355355E C D C D C D =++355355,,C D C D C D 易得.()31,6P C =，()()()35532113211,,4363432P D P C P D ⎛⎫=-⨯===⨯=⎪⎝⎭所以()()()()()355355355355P E P C D C D C D P C D P C D P C D =++=++1111111162363236=⨯+⨯+⨯=所以两轮投篮后，甲总得分不低于8分的概率为.113618. 已知圆过点，圆心在直线上，且直线与圆M ()3,3A M 250x y +-=250x y -+=相切.M （1）求圆的方程；M （2）过点的直线交圆于两点.若为线段的中点，求直线的方程.()0,2D -l M ,A B A DB l 【正确答案】（1）22(2)(1)5x y -+-=（2）或.0x =512240x y --=【分析】（1）由待定系数法即可求解；（2）设，从而得到，由在圆上，代入方程求解即可解决问题.(),A x y ()2,22B x y +,A B 【小问1详解】设圆M 的方程为，222()()x a y b r -+-=因为圆过点，所以，M ()3,3A 222(3)(3)a b r -+-=①又因为圆心在直线上，所以②，M 250x y +-=250a b +-=直线与圆M 相切，得到，250x y -+=r 由①②③解得：因此圆的方程为2,1,a b r ===M 22(2)(1) 5.x y -+-=【小问2详解】设，因为A 为线段BD 的中点，所以，(),A x y ()2,22B x y +因为在圆上，所以，解得或,A B M ()()()()222221522215x y x y ⎧-+-=⎪⎨-++=⎪⎩00x y =⎧⎨=⎩24131613x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩当时，由可知直线的方程为；()0,0A ()0,2D -l 0x =当时，由可得斜率，2416,1313A ⎛⎫- ⎪⎝⎭()0,2D -162513241213k -+==-故直线的方程为，即.l 5212y x =-512240x y --=综上，直线的方程为或.l 0x =512240x y --=19. 已知椭圆的离心率为分别为椭圆的左､右顶点，()2222:10x y C a b a b +=>>121,2A A ､C ､分别为椭圆的左､右焦点，.1F 2F C 126A F =（1）求椭圆的方程；C （2）设与轴不垂直的直线交椭圆于两点（在轴的两侧），记直线x l C P Q ､P Q ､x ，的斜率分别为.12,A P A P 21,A Q A Q 1234,,,k k k k （i ）求的值；12k k （ii ）若，问直线是否过定点，若过定点，求出定点；若不过定点，()142353k k k k +=+PQ说明理由.【正确答案】（1）2211612x y +=（2）（i ）；（ii ）直线恒过点.34-l ()1,0D -【分析】（1）由离心率及，列出的等式求解即可.12A F ,,a b c （2）（i ）设直线方程，联立椭圆方程结合韦达定理和斜率公式即可求解；（ii ）x ty m =+由（i ）得到结合韦达定理及斜率公式代入化简即可.229.20PA QA k k =-【小问1详解】由于椭圆的离心率为，C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)12故，又，所以，12c a =126A F a c =+=2224,2,12a c b a c ===-=所以椭圆的方程为.C 2211612x y +=【小问2详解】（i ）设与轴交点为，由于直线交椭圆C 于两点（在轴的两侧）l x D l P Q ､P Q ､x 故直线的的斜率不为0，直线的方程为，l l x ty m =+联立，则，2211612x ty m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩()2223463480t y mty m +++-=则22Δ12160,t m =-+>设，则，()()1122,,,P x y Q x y 21212226348,3434mt m y y y y t t --+==++又()()124,0,4,0,A A -故，122211111222111134441643PA PA y y y y k k k k x x x y ==⋅===-+---（ii ）由（i ）得.123434QA QA k k k k ==-因为，则.()142353k k k k +=+()()232323232333535,44343k k k k k k k k k k +--=+-⋅=+又直线交与轴不垂直可得，所以，即l x 230k k +≠23920k k =-229.20PA QA k k =-所以，()()121212129,2094404420y y y y ty m ty m x x ⋅=-++-+-=--于是()()()221212920949(4)0,t y y t m y y m ++-++-=()()222223486920949(4)03434m mt t t m m t t --+⋅+-⋅+-=++整理得，解得或，2340m m --=1m =-4m =因为在轴的两侧，所以，P Q ､x 21223480,4434m y y m t -=<-<<+又时，直线与椭圆有两个不同交点，1m =-:1l x ty =-C 因此，直线恒过点.1m =-l ()1,0D -。