下载文档原格式
椭圆18个定义
以下是椭圆的18个定义：
1. 椭圆是一个闭合曲线，由所有与两个给定点（焦点）之距离之和等于常数的点组成。
2. 椭圆是一种二次曲线，其方程可以写为Ax^2 + By^2 + Cxy + Dx + Ey + F = 0，其中A、B、C、D、E、F是常数且满足特定条件。
3. 椭圆是一个对称图形，具有两条主轴，相交于中心点。
4. 椭圆是一个连续的光滑曲线，没有锐角或尖点。
5. 椭圆的中心点是椭圆上所有点的平均位置。
6. 椭圆的长轴是通过中心点的最长直径，短轴是通过中心点的最短直径。
7. 椭圆的半长轴是长轴的一半，半短轴是短轴的一半。
8. 椭圆的离心率定义为焦点与中心点之间的距离除以长轴的一半。
9. 椭圆的离心率范围从0到1，当离心率为0时，椭圆退化成一个圆。
10. 椭圆的离心率决定了椭圆的形状，离心率越接近1，椭圆越扁平。
11. 椭圆的焦距是指到焦点的距离。
12. 椭圆的直径是通过中心点的任意两点之间的距离。
13. 椭圆的半焦距是焦点到中心点的距离。
14. 椭圆的周长是椭圆上所有点之间的距离之和。
15. 椭圆的面积是椭圆内的所有点组成的区域的大小。
16. 椭圆的方程可以通过给定焦点、中心点或长短轴长度来确定。
17. 椭圆可以通过平移、旋转、拉伸等变换得到不同的位置和形状。
18. 椭圆在几何学中有广泛的应用，例如描述行星轨道、计算机图
形学等。
椭圆的知识点总结一、椭圆的定义椭圆是平面上的一种特殊曲线，它的定义可以有多种方式。
在解析几何中，我们通常采用焦点－直线之和等于常数的定义来描述椭圆。
具体而言，椭圆定义为到两个固定点（焦点）的距离之和等于常数的点的集合。
这个常数被称为椭圆的长轴长度。
另外，椭圆还有一个短轴，它垂直于长轴且通过长轴的中点。
椭圆的长轴和短轴的长度决定了椭圆的形状。
二、椭圆的性质1. 焦点性质：椭圆有两个焦点，它们位于长轴上，且椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和等于椭圆的长轴长度。
2. 直径性质：椭圆的直径是经过焦点的直线段，并且它恰好与椭圆相交于椭圆上的两点。
3. 周长性质：椭圆的周长可以用椭圆的半长轴和半短轴的长度来表示，即2πb+4aE(e)，其中a和b分别为椭圆的长轴和短轴的长度，E(e)为第二类椭圆积分。
4. 质心性质：椭圆的质心位于椭圆的中心，且与椭圆的几何中心重合。
椭圆的质心满足椭圆上所有点到该质心的距离之和等于椭圆的长轴长度。
5. 对称性质：椭圆具有关于长轴和短轴的对称性，且同时具有关于两个焦点的对称性。
6. 离心率性质：椭圆的离心率e是一个重要的参数，它刻画了椭圆的形状。
椭圆的离心率满足0<e<1，且e=√(1-b²/a²)。
7. 焦点和直角坐标系的关系：椭圆在直角坐标系中的方程形式可以用来描述椭圆的形状，其一般方程为(x²/a²)+(y²/b²)=1。
三、椭圆的方程椭圆的方程通常以长轴和短轴的长度来表示，其一般方程为(x²/a²)+(y²/b²)=1。
在给定长轴和短轴的情况下，可以通过椭圆的方程来确定椭圆的形状和位置。
四、椭圆的焦点椭圆有两个焦点，它们分别位于长轴的两端。
椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和等于椭圆的长轴长度。
焦点是椭圆的重要特性，它们的位置决定了椭圆的形状和方向。
五、椭圆的参数方程椭圆还可以用参数方程来描述。
椭圆知识点汇总一、椭圆的定义平面内与两个定点 F₁、F₂的距离之和等于常数（大于|F₁F₂|）的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。
若 M 为椭圆上任意一点，F₁、F₂为椭圆的焦点，则有|MF₁| ＋｜MF₂| ＝ 2a（2a ＞ 2c，其中 2c 为焦距）。
二、椭圆的标准方程1、焦点在 x 轴上的椭圆标准方程：＼（＼frac{x^2}｛a^2} ＋＼frac{y^2}｛b^2} ＝ 1\）（＼（a ＞ b ＞ 0\）），其中\（a\）为椭圆的长半轴长，＼（b\）为椭圆的短半轴长，＼（c\）满足\（c^2 ＝ a^2b^2\），焦点坐标为\（（＼pm c, 0)＼）。
2、焦点在 y 轴上的椭圆标准方程：＼（＼frac{y^2}｛a^2} ＋＼frac{x^2}｛b^2} ＝ 1\）（＼（a ＞ b ＞ 0\）），焦点坐标为\（（0, ＼pm c)＼）。
三、椭圆的性质1、对称性椭圆关于 x 轴、y 轴和原点都是对称的。
2、范围对于焦点在 x 轴上的椭圆\（＼frac{x^2}｛a^2} ＋＼frac{y^2}｛b^2} ＝ 1\），有\（a ＼leq x ＼leq a\），＼（b ＼leq y ＼leq b\）；对于焦点在 y 轴上的椭圆\（＼frac{y^2}｛a^2} ＋＼frac{x^2}｛b^2} ＝ 1\），有\（b ＼leq x ＼leq b\），＼（a ＼leq y ＼leq a\）。
3、顶点焦点在 x 轴上的椭圆顶点坐标为\（（＼pm a, 0)＼），＼（（0, ＼pm b)＼）；焦点在 y 轴上的椭圆顶点坐标为\（（0, ＼pm a)＼），＼（（＼pm b, 0)＼）。
4、离心率椭圆的离心率\（e ＝＼frac{c}｛a}＼）（＼（0 ＜ e ＜ 1\）），它反映了椭圆的扁平程度。
＼（e\）越接近0，椭圆越接近于圆；＼（e\）越接近 1，椭圆越扁。
椭圆的定义与标准方程椭圆是平面上到两个固定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点P的轨迹。
这两个固定点称为椭圆的焦点，常数2a称为椭圆的长轴长度。
椭圆的定义可以用数学语言描述为，对于给定的两个点F1和F2（焦点），以及一个常数2a（长轴长度），椭圆是满足PF1 + PF2 = 2a的所有点P的集合。
椭圆在平面直角坐标系中的标准方程为：(x h)²/a² + (y k)²/b² = 1。
其中(h, k)为椭圆的中心坐标，a为长轴长度的一半，b为短轴长度的一半。
椭圆的定义和标准方程是我们研究椭圆性质和方程的基础，下面我们将详细讨论椭圆的性质和相关的数学知识。
首先，我们来看椭圆的性质。
椭圆有许多独特的性质，例如，椭圆的离心率e 满足0 < e < 1，椭圆的焦点到中心的距离等于c，满足a² = b² + c²，椭圆的面积为πab等。
这些性质对于理解椭圆的形状和特点非常重要。
其次，我们将讨论椭圆的参数方程和极坐标方程。
椭圆的参数方程为：x = h + acosθ。
y = k + bsinθ。
其中θ为参数，(h, k)为中心坐标，a和b分别为长轴和短轴的长度。
而椭圆的极坐标方程为：r(θ) = a(1 e²)/(1 + ecosθ)。
这些方程形式的转化可以帮助我们更好地理解椭圆的几何性质和轨迹特点。
最后，我们来讨论椭圆的应用。
椭圆在几何、物理、工程等领域都有广泛的应用，例如，椭圆的反射性质在光学中有重要的应用；椭圆的轨迹特点在天体运动和卫星轨道设计中起着关键作用；椭圆的形状特点在工程设计和建筑中也有重要的应用。
总之，椭圆是数学中重要的几何图形之一，它的定义和标准方程是我们理解和研究椭圆的基础。
通过深入学习椭圆的性质、参数方程、极坐标方程和应用，我们可以更好地理解和应用椭圆这一重要的数学概念。
希望本文对您有所帮助，谢谢阅读！。
椭圆的三种不同的定义方式椭圆是数学中一种重要的几何图形，它可以通过三种不同的定义方式进行描述。
本文将分别从几何、代数和焦点直线定义的角度，来介绍椭圆的基本概念和性质。
一、几何定义椭圆的几何定义是通过一个固定点F（焦点）和一个固定直线l（准线）来确定的。
对于平面上的任意点P，它到焦点F的距离与到准线l的距离之和是一个常数。
这个常数称为椭圆的离心率，通常用e 表示。
当离心率e小于1时，椭圆是一个封闭曲线，当e等于1时，椭圆是一个开曲线。
椭圆的形状由焦点和准线的相对位置决定。
当焦点在准线的中点上方时，椭圆的形状是向上的，当焦点在准线的中点下方时，椭圆的形状是向下的。
椭圆具有许多特性，例如，椭圆的长轴和短轴是对称的，长轴的长度是焦点到准线的距离的两倍，短轴的长度是离心率与长轴长度的乘积。
同时，椭圆的面积和周长也可以通过长轴和短轴计算得出。
二、代数定义椭圆的代数定义是通过平面上的点的坐标来确定的。
假设椭圆的中心位于坐标原点，长轴与x轴平行，短轴与y轴平行。
那么，椭圆上的任意点P(x, y)满足下面的方程：x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1，其中a和b分别是椭圆的长轴和短轴的长度。
通过代数定义，我们可以求解椭圆的焦点坐标、离心率等参数。
同时，我们也可以利用椭圆的代数方程进行曲线的绘制和相关计算。
三、焦点直线定义椭圆的焦点直线定义是通过两条相互垂直的直线和两个焦点来确定的。
首先，在平面上选择两条相互垂直的直线，称为直角坐标轴。
然后，在这两条直线上分别选择两个焦点F1和F2，对于平面上的任意点P，它到焦点F1的距离与到焦点F2的距离之和等于两条直线的距离。
椭圆的焦点直线定义与几何定义有相似之处，但焦点直线定义更加抽象，不涉及具体的几何图形。
通过焦点直线定义，我们可以推导出椭圆的几何和代数性质。
总结：椭圆的三种不同定义方式分别是几何定义、代数定义和焦点直线定义。
几何定义通过焦点和准线来确定椭圆的形状和性质；代数定义通过椭圆的方程来描述椭圆的位置和参数；焦点直线定义是通过两条相互垂直的直线和两个焦点来定义椭圆。
椭圆
一、一、明确复习目标
1.了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用。
2.掌握椭圆的定义、几何性质、标准方程。
3.能够熟练应用直接法、待定系数法、定义法求椭圆的标准方程。
二．建构知识网络
1．椭圆定义：
平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的________，两定点的距离叫做椭圆的________，即|MF1|＋|MF2|＝2a(2a ＞|F1F2|)．
特别要注意：
②若2a＝2c，则点P的轨迹是线段③若2a＜2c，则点P的轨迹
1.已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于 .
2.若椭圆
m
y x 2
22+
=1的离心率为21，则实数m= . 3.已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆3
2
x +y 2=1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外
一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是 .
4.已知方程12-m x +m
y -22
=1，表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围为 .
5.设椭圆
2
2m x +
2
2n y =1(m ＞0,n ＞0)的右焦点与抛物线y 2=8x 的焦点相同，离心率为2
1，则此椭
圆的方程为 . 典型例题
类型1：椭圆的定义及标准方程 例1.
已知定圆055622=--+x y x ，动圆M 和已知圆内切且过点()0,3-P ，求圆心M 的轨迹及其方程.
例2、（2010陕西）如图，椭圆C ：122
22=+b
y a x 的顶点为
A 1,A 2,
B 1,B 2, 焦点为F 1,F 2, | A 1B 1| =7
，S
2
211B A B A = S
2
211F B F B
（I ）求椭圆C 的方程；
（II ）设n 是过原点的直线，l 是与n 垂直相交于P 点、与椭圆相交于A,B 两点的直线，1||=OP ，是否存在上述直线l 使
1=⋅成立？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由.
基础自测
例3、(2010安徽)已知椭圆E 经过点A （2，3），对称轴为坐标轴，焦点F 1，F 2在x 轴
上，离心率.2
1
=
e （I ）求椭圆E 的方程；（II ）求21AF F ∠的角平分线所在直线l 的方程； （III ）在椭圆E 上是否存在关于直线l 对称的相异两点？若存在，请找出；若不存在，
说明理由.
类型2：椭圆的离心率
例4.（2010辽宁） 设椭圆C ：22
221(0)x y a b a b
+=>>的左焦点为F ，过点F 的直线与椭圆
C 相交于A ，B 两点，直线l 的倾斜角为60o
,2AF FB =
．
（Ⅰ）求椭圆C 的离心率；（Ⅱ）如果|AB|=15
4
，求椭圆C 的方程．
例5、（2010新课标）设12,F F 分别是椭圆E:22
221x y a b
+=（a>b>0）的左、右焦点，过1
F 斜率为1的直线l 与E 相较于A,B 两点，且2AF ,AB ,2BF 成等差数列. （Ⅰ）求E 的离心率；
（Ⅱ）设点P （0,-1）满足PA PB =,求E 的方程.
例6、（2010四川）椭圆22
221()x y a b a b
+=>>0的右焦点F ，其右准线与x 轴的交点为A ，
在椭圆上存在点P 满足线段AP 的垂直平分线过点F ，则椭圆离心率的取值范围是（ D ）
（A ）
⎛
⎝⎦ （B ）10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦ （C ） )
1,1 （D ）1,12⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
变式：（2008江西）已知是21,F F 椭圆的两个焦点，满足021=⋅→
→MF MF 的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A.()1,0
B.⎥⎦⎤
⎝⎛21,0 C.⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛
22,0 D.⎪⎪⎭⎫
⎢⎣⎡1,22
变式：(2009重庆)已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左、右焦点分别为
12(,0),(,0)F c F c -，
变式：若双曲线上存在一点P 使
1221sin sin PF F a
PF F c
=，则该双曲线的离心率的取值范围
是 ．
类型3、椭圆的弦长、焦点弦长、及焦半径
例7、(2010天津)已知椭圆22221(0x y a b a b +=>>）
的离心率2
e =，连接椭圆的四个顶点
得到的菱形的面积为4。
（1）求椭圆的方程；（2）设直线l 与椭圆相交于不同的两点,A B ，已知点A 的坐标为（,0a -），点0(0,)Q y 在线段AB 的垂直平分线上，且4=⋅→
→
OB OA ，求0y 的值
例8、（2011吉林质量检测）已知12(,0),(,0)F c F c -是椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左、
右焦点，过点F 1作倾斜角为60︒ 的直线l 交椭圆于A ，B 两点，2ABF ∆的内切圆的半径
为. （I ）求椭圆的离心率；
（II ）若||AB =，求椭圆的标准方程。
类型4、椭圆的焦点三角形
例9、设21,F F 为椭圆的两个焦点，P 为椭圆上一点， 6021=∠PF F
（1）求椭圆的离心率的范围（2）求证21PF F ∆的面积只与椭圆的短轴长有关。
变式：(2010·全国Ⅰ文)已知F 1、F 2为双曲线C x 2－y 2＝1的左、右焦点，点P 在C 上，∠F 1PF 2＝60°，则|PF 1|·|PF 2|＝( )
A ．2
B ．4
C ．6
D ．8
变式：设21,F F 为椭圆14
92
2=+y x 的两个焦点，P 为椭圆上一点，已知21,,F F P 是一个直角三角形的三个顶点，且21PF PF >,求2
1PF PF 的值。
