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基于类似形原理从单幅透视图识别平面立体
张桂梅;高满屯;沈允文
【期刊名称】《中国图象图形学报》
【年(卷),期】2005(010)012
【摘要】根据透视不变性提出了5个描述多边形形状的拓扑特征和几何特征,以这些特征作为约束条件给出透视投影下类似形的定义.根据类似形的定义提出了识别多边形是类似形的新方法.据此提出了基于类似形原理从单幅透视投影线图识别平面立体的新方法.新定义的类似形能将平面立体中的表面分类.匹配过程限制在类似形内进行,大大减少了搜索范围.用拓扑结构对类似形进行定性分析,对噪音不敏感,用几何特征进行定量分析,则能反应平面立体形状的细微差别.该识别方法不仅能识别不同形状的平面立体目标,而且还可以区分形状相同但大小、比例不同的平面立体目标.实验结果表明该方法是有效的.
【总页数】6页(P1511-1516)
【作者】张桂梅;高满屯;沈允文
【作者单位】西北工业大学机电学院,西安,710072;南昌航空工业学院土木建筑系,南昌,330034;西北工业大学机电学院,西安,710072;西北工业大学机电学院,西安,710072
【正文语种】中文
【中图分类】TP391.41
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精锐教育学科教师辅导讲义讲义编号学员编号：年级：课时数： 3学员姓名：辅导科目：学科教师：课题空间几何体的三视图和直观图授课日期及时段教学目的1.掌握斜二测画法画水平设置的平面图形的直观图；2.采用对比的方法了解在平行投影下画空间图形与在中心投影下画空间图形两种方法的各自特点；教学内容一、课前检测1．下列说法正确的是( )A．相等的线段在直观图中仍然相等B．若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行C．两个全等三角形的直观图一定也全等D．两个图形的直观图是全等的三角形，则这两个图形一定是全等三角形.2．对于一个底边在x轴上的三角形，采用斜二测画法作出其直观图，其直观图面积是原三角形面积的( ).A．2倍B．倍C．倍 D．倍3．如图所示的直观图，其平面图形的面积为( ).A．3 B．6 C．D．4．一个平面的斜二测图形是边长为2的正方形，则原图形的高是________.5．利用斜二测画法得到的图形，有下列说法：①三角形的直观图仍是三角形；②正方形的直观图仍是正方形；③平行四边形的直观图仍是平行四边形；④菱形的直观图仍是菱形.其中说法正确的序号依次是__________.6．关于“斜二测”直观图的画法，有如下说法：①原图形中平行于y轴的线段，其对应线段平行于y轴，长度变为原来的；②画与直角坐标系对应的必须是45°；③在画直观图时，由于选轴的不同，所得的直观图可能不同；④等腰三角形的直观图仍为等腰三角形；⑤梯形的直观图仍然是梯形；⑥正三角形的直观图一定为等腰三角形.其中说法正确的序号依次是___________.BCB 或；①③；、①⑤二、知识梳理1.2空间几何体的三视图和直观图（1）知识归纳1.中心投影与平行投影①光由一点向外散射形成的投影叫做，中心投影的交于一点．②在一束平行光线照射下形成的投影叫做．平行投影的是平行的，在平行投影中，投影线投影面时，叫做正投影，否则叫斜投影．与投影面平行的平面图形，在平行投影下得到的影子与原平面图形全等；在中心投影下的影子与原平面图形相似．2.三视图三视图是观察者从观察同一个几何体画出的空间几何体图形，三视图包括、和．换言之，正视图即从正面往投影面看所看到的图；侧视图即从左面往投影面看所看到的图；俯视图即从上面往投影面看所看到的图．知识归纳答案：1．①中心投影，光线；②平行投影，光线，垂直于．2．从三个不同的位置，正视图、侧视图、俯视图．方法点拨1. 画三视图的基本方法(1)确定正视方向，确定投影面；(2)布置视图，按三视图的位置关系，画各视图的定位线，如中心线或某些边线；(3)一般从正视图画起，按投影规律，再画另两个视图．(4)完成三视图绘制，把能看见的轮廓线和棱用实线表示，不能看见的用虚线表示．2.三视图的排列规则俯视图放在正视图的下面，长度与正视图的长度一样；侧视图放在正视图的右面，高度与正视图的高度一样，宽度与俯视图的宽度一样，可间记为“长（左右距离）对正；高（上下距离）平齐；宽（前后距离）相等”或“正侧一样高，正俯一样长，侧俯一样宽”．如下图是六棱柱的三视图:3.几种常见几何体的三视图(1)圆柱的正视图和侧视图都是矩形，俯视图是一个圆；(2)圆锥的正视图和侧视图都是等腰三角形，俯视图是一圆和其圆心；(3)球的三视图都是圆．如下图所示:(1)圆柱的三视图(2)圆锥的三视图(3)球的三视图4.组合体的三视图应认清结构，把组合体分解成基本的几何体，再按基本几何体画图，并注意三视图的位置和大小关系．1.2空间几何体的三视图和直观图（2）知识归纳1.直观图直观图是观察者观察几何体画出的空间几何体的图形． 2.利用斜二侧画法画空间图形的平面直观图的一般步骤: ①建立直角坐标系．在已知水平放置的平面图形中取互相垂直的x 轴、y 轴，两轴相交于点O ． ②画出斜坐标系．在画直观图的纸上（平面上）画出对应的O x ''，O y ''，使x O y '''∠=，它们确定的平面表示水平平面．③画对应图形．在已知图形平行于x 轴的线段，在直观图中画成平行于，且长度；在已知图形平行于y 轴的线段，在直观图中画成平行于，且长度．④擦去辅助线．图画好后，要擦去x 轴、y 轴及为画图添加的辅助线（虚线）．3.立体图形直观图的画法画立体图形的直观图，在画轴时，要多画一条与平面x O y '''垂直的轴O z ''．且平行于O z ''的线段长度．其他同平面图形的画法．知识归纳答案：1.站在某一点．2.②450（或1350）；③x '轴，保持不变，y '轴，为原来的一半；3.保持不变． 方法点拨1.利用斜二侧画法画空间几何体的直观图的步骤:①在已知图形所在的空间中取水平平面，作互相垂直的轴Ox 、Oy ，再作Oz 轴，使009090.xOy yOz ∠=∠=，②画出与Ox 、Oy 、Oz 对应的轴O x O y O z ''''''、、，使004590x O y y O z x O y '''''''''∠=∠=，，所确定的平面表示水平平面．③已知图形中，平行于x 轴、y 轴和z 轴的线段，在直观图中画成平行于x '轴、y '轴和z '轴的线段，并使它们在所画坐标轴中的位置关系与已知图形中相应线段和原坐标轴的位置关系相同．④已知图形中平行于x 轴和z 轴的线段，在直观图中保持长度不变；平行于y 轴的线段，在直观图中画成平行于y '轴，且长度变为原来的一半．⑤擦除作为辅助线的坐标轴，就得到了空间图形的直观图． 2.应注意的几个问题(1) 直观图与三视图的区别绘制物体的直观图一般采用斜投影或中心投影，可以显示空间几何体的直观形象，但作图复杂，且线段长度不如三视图要求严格；而三视图对线段的长度有严格的规定，一般在工程制图中应用广泛．(2)由直观图还原实际图形将水平放置的平面图形的直观图还原成原来的实际图形，其作法就是逆用斜二测画法，也就是使平行于x 轴的线段的长度不变，而平行于y 轴的线段长度变为原来的2倍．(3) 求直观图面积求直观图面积关键是依据斜二测画法，求出相应的直观图的底边和高，也就是在原来实际图形中的高线，在直观图中变为与水平直线成045角且长度为原来的一半的线段，以此为依据来求出相应的高线即可．三、重难点突破1.一个几何体的三视图如下图所示，那么这个几何体是（）A． B． C． D．解析：由正视图可排除A、B、D，选C．2.给出下列四个命题：①平行投影的投影线互相平行，中心投影的投影线相交于一点；②空间图形经过中心投影后，平行线可能变成了相交的直线；③在同一直线或平行直线上，两条线段平行投影的比等于这两条线段的比；④空间几何体在平行投影与中心投影下有不同的表现形式．上述命题中，正确命题的个数是( )A.1B.2C.3D.4解析：由平行投影和中心投影的概念可知，以上四个命题均正确，选D．3.如下图，是几个相同的小正方体搭成的几何体的三视图，则搭成这个几何体的小正方体的个数是．解析：利用还原法，根据三视图画出它的立体图形．本题的立体图形如上左图所示，可知正确答案应该是5个．填5．4.如下右图是由四个相同的小立方体组成的立体图形的正视图和侧视图，那么原立体图形可能是．(把下图中正确的立体图形的序号都填在横线上)．解析：分别作出四个几何体的正视图和俯视图，填①②④．5.如图，设所给的方向为物体的正视方向，试画出它的三视图．（单位：cm）解：该几何体的三视图如下图所示．6.用三个正方体，一个圆柱，一个圆锥的积木摆成如图※所示的几何体，其正视图为( )解析：正视图的左上方应该是一个三角形．选A．7.甲、乙、丙、丁四人分别面对面坐在一个四边形桌子旁边，桌上一张纸上写着数字“9”，甲说他看到的是“6”，乙说他看到的是“”，丙说他看到的是“”，丁说他看到的是“9”，则下列说法正确的是( )A.甲在丁的对面，乙在甲的左边，丙在丁的右边B.丙在乙的对面，丙的左边是甲，右边是乙C.甲在乙的对面，甲的右边是丙，左边是丁D .甲在丁的对面，乙在甲的右边，丙在丁的右边解析：易得甲、乙、丙、丁四人位置如下图所示，选D ．例8 利用斜二测画法得到的①三角形的直观图一定是三角形； ②正方形的直观图一定是正方形； ③等腰梯形的直观图一定是等腰梯形； ④平行四边形的直观图一定是平行四边形． 以上结论正确的是（ ）A .①②B .①④C .③④D .①②③④解析:依据斜二测画法的要求，平行于y 轴的线段，在直观图中的长度变为原来的一半，则正方形的直观图不是正方形，等腰梯形的直观图不是等腰梯形．故②③错误，①④正确，选B ．评注: 斜二测画法保持平行性和相交性不变，即平行直线的直观图仍是平行直线，相交直线的直观图仍是相交直线．例9一个水平放置的平面图形的斜二侧直观图是一个底角为45°，腰和上底长均为1的等腰梯形，则这个平面图形的面积是（ ）A ．1222+B ． 212+ C ． 12+ D ． 22+解析：如图，在直观图A ′B ′C ′D ′中，C ′D ′＝A ′D ′＝1、12A B ''=+，因此，在原平面图ABCD 中，AB ＝12+、CD ＝1，AD ＝2．故梯形ABCD 的面积1()2S AB CD AD =+g 22=+．选D ．评注:用斜二测画法画出的水平放置的平面图形的直观图的面积是原图形面积的24倍或22S S =原图形直观图．本题可以用该结论解为：由已知可得等腰梯形的高为22、下底长为12+、其面积为1221(112)222+++⨯=，根据结论22S S =原图形直观图，有原平面图形的面积为2122222+⨯=+． 例10如图1，'''A O B ∆表示水平放置的AOB ∆直观图，'B 在'x 轴上，''A O 与'x 轴垂直，且''2A O =，则AOB ∆的边OB 上的高为．图1 图2解析：如图2，过A '作A C ''平行于'x 轴，交点为C '，则在Rt O A C '''∆中，O C ''=2O A ''=22，所以AOB ∆的边OB 上的高为42．填42．评注: 要求实际图形的高，需在直观图中过顶点作与y '轴的平行线，求出其长度，再将所求长度变为两倍即可．其实由结论，原三角形的高是直观图中的三角形高的22倍即可得到．例11用斜二测画法作出长为3cm 、宽为4cm 的矩形的直观图．分析：用斜二测画法，即在已知图形所在的空间中取水平平面，作x '轴，y '轴使o 45x O y '''∠=，然后依据平行投影的有关性质逐一作图．解：（1）在矩形ABCD 中取AB 、AD 所在边分别为x 轴与y 轴，相交于O 点（O 与A 重合），画对应x '轴、y '轴使045x O y '''∠=；（2）在x '轴上取 A ′、B ′使A ′B ′=AB ，在y '轴上取D ′，使A ′D ′=12AD ，过D ′作D ′C ′平行x '轴的直线，且等于DC 的长；（3）连结C ′B ′，所得的四边形A ′B ′C ′D ′ 就是矩形ABCD 的直观图．评注：要尽量运用原有直线为坐标轴或图形的对称直线为坐标轴，或利用图形的对称点为原点或原有垂直正交的直线为坐标轴．例11画出底面是正五边形且侧棱与底面垂直的五棱柱的直观图，使底面边长为3cm 侧棱长为5cm ． 分析：先画个正五边形，再利用斜二测画法作底面为正五边形的直观图，而后沿平行于z 轴方向平移即可得．解：作法如下： （1）画轴：画x '、y '、z '轴，记坐标原点为O '，使0045,90x O y x O z ''''''∠=∠=； （2）画底面：建立直角坐标系xOy ，按x '轴、y '轴画正五边形的直观图A B C D E '''''；（3）画侧棱：过A B C D E '''''、、、、各点分别作z '轴的平行线，并在这些平行线上分别截取A AB BC CD DE E '''''''''''''''、、、、，使它们都等于5cm ；（4）成图：顺次连结A B C D E ''''''''''、、、、，并加以整理，去掉辅助线，改被遮挡的部分为虚线，就得到原几何体的直观图．评注：(1)用此方法可以依次画出棱锥、棱柱、棱台等多面体的直观图；(2)用斜二测画法作立体图形的直观图，原图形的高在直观图中不变；(3)画几何体的直观图时，如果不做严格要求，图形尺寸可以适当选取，用斜二测画法画图的角度可以自定，但是要求图形具有一定的立体感．四、课堂练习1、画出水平放置的等边三角形的直观图.解：画法，如图：(1)在三角形ABC 中，取AB 所在直线为x 轴，AB 边的高所在直线为y 轴；画出相应的轴和轴，两轴交于点，且使；(2)以为中点，在轴上取，在轴上取；(3)连接、，并擦去辅助线轴和轴，便获得正△ABC 的直观图△.斜二测画法的作图技巧：1.在已知图中建立直角坐标系，理论上在任何位置建立坐标系都行，但实际作图时，一般建立特殊的直角坐标系，尽量运用原有直线为坐标轴或图形的对称轴为坐标轴，以线段的中点或图形的对称点为原点；2.在原图中平行于轴和轴的线段在直观图中仍然平行于轴和轴，原图中不与坐标轴平行的线段可以先画出线段的端点再连线，画端点时利用与坐标轴平行的线段；3.画立体图形的直观图，在画轴时，要再画一条与平面垂直的轴，平行于轴的线段长度保持不变. 举一反三：【变式1】等腰梯形ABCD ，上底边CD=1，腰，下底AB=3，按平行于上下底边取x轴，则直观图的面积是多少？思路点拨：由平面图准确的画出直观图是解题的关键；解：1.以等腰梯形的下底边所在直线为x轴，以过D点的高所在直线为y轴，建立平面直角坐标系；过C点做垂直于AB的直线与AB相交于点E；∵DC=1，，AB=3，∴AO=OE=EB=DO=1；2.建立坐标系，，在轴上取，且，，在轴上取线段；过点做；连接和，则梯形为等腰梯形ABCD的直观图；3.过点做垂直于下底边的垂线段，则△为等腰直角三角形，斜边，所以梯形的高；4.梯形面积.【变式2】正方形的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是多少？思路点拨：由直观图画原图的过程与原图画直观图的过程相反，即1.直观图中平行于轴和轴的线段在原图中分别为平行于轴和轴的线段；2.直观图中平行于轴的线段，在原图中保持长度不变；平行于轴的线段，长度变为原来的两倍.解：1.建立平面直角坐标系，在x轴上取；2.为正方形的对角线，且在轴上，则，所以在y轴上取；3.取，且平行于x轴；4.连接AB、CO，所得图形OABC即为直观图的原图；四边形OABC为平行四边形；5.因为，，由勾股定理，BA=3，所以平行四边形OABC周长为8.例2、一块边长为10cm的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，试建立容器的容积V与底边边长x的函数关系式.解：如图，在中，，，所以，.3、一个正三棱柱的三视图如图所示，求这个正三棱柱的表面积.解：由三视图知正三棱柱的高为2mm.由左视图知正三棱柱的底面三角形的高为.设底面边长为a，则，∴.∴正三棱柱的表面积为.五、课堂小结1.用来表示空间图形的平面图形叫作空间图形的直观图；2.用斜二测画法画平面图形的步骤：(1)建系：在已知图形中建立直角坐标系，画直观图时，把它们画成对应的轴和轴，两轴交于点，且使(或)；(2)位置关系：已知图形中平行于轴和轴的线段在直观图中分别画成平行于轴和轴的线段；(3)长度规则：已知图形中平行于轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于轴的线段，长度变为原来的一半.六、课后作业A组1.下列关于斜二测画法画直观图说法，不正确的是（）A．在实物图中取坐标系不同，所得的直观图有可能不同B．平行于坐标轴的线段在直观图中仍然平行于坐标轴C．平行于坐标轴的线段长度在直观图中仍然保持不变D．斜二测坐标系取的角可能是135°解析：平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的二分之一，选C．2.如图所示的直观图表示的平面图形为（）A.等腰直角三角形B.锐角三角形C.非等腰直角三角形D.不能确定解析：A C''与y'轴平行，可判定平面图形为直角三角形，但非等腰直角三角形，选C．3.已知ABC∆的平面直观图A B C'''∆是边长为a的正三角形，那么原ABC∆的面积为．解析：根据斜二测画法的规则，正三角形的边长是原三角形的底边长，如图，过C'作y'轴的平行线C D''与x'轴交于点D'，则362sin452aC D a''==；又C D''是原ABC∆的高CD的直观图，所以CD=6a，故12S AB CD=⋅=262a．填262a．4.下列说法中:①角的水平放置直观图一定是角；②相等的角在直观图中仍然相等；③两条相交直线的直观图可能平行；④水平放置的正方形的直观图可能是梯形；⑤)互相垂直的两条直线的直观图仍然互相垂直．其中正确的是．解析: 对于①，角在直观图中仍是角，只不过是大小变了；对于②，相等的角在直观图中未必相等；对于③，相交直线的直观图仍然相交；对于④，水平放置的正方形的直观图是平行四边形；对于⑤互相垂直的两条直线的直观图变成夹角为045的两条相交直线．填①．5.已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为正六边形，请画出相应空间图形的直观图．解析: (1）画轴：画x '、y '、z '轴，记坐标原点为O '，使045x o y '''∠=，090x o z '''∠=．（2）画底面：建立直角坐标系xOy ，按x '轴、y '轴画正六边形的直观图A B C D E F ''''''．（3）画侧棱：过A B C D E F ''''''、、、、、各点分别作z '轴的平行线，并在这些平行线上分别截取A AB BC CD DE E FF ''''''''''''''''、、、、、，使它们长度相等，如图(1)．（4）成图：顺次连结A B C D E F ''''''''''''、、、、、，并加以整理，去掉辅助线，将被遮挡的部分为虚线，就得到正六棱柱的直观图，如图(2)．(1) (2)B 组1.在斜二测画法中，与坐标轴不垂直的线段的长度在直观图中（） A .变大 B .变小 C .可能不变 D .一定改变解析:由斜二测画法的画图规则知，选C ．2.如图所示，A B C '''∆是水平放置的ABC ∆的直观图，则在ABC ∆的三边及中线AD 中，最长的线段是( ) A .ABB .ADC .BCD .AC解析: 由斜二测画法的画图规则知ABC ∆为直角三角形，且AC 为斜边，选D ．3.根据给出的空间几何体的三视图，用斜二侧画法画出它的直观图．解析:由几何体的三视图知道，这个几何体是一个简单的组合体，下部是个圆柱，上部是个圆台，且圆台的下底与圆柱上底面重合．画法：（1）画轴如下图，画x 轴、y 轴、z 轴，三轴相交于点O ，使∠xOy =45°、∠xOz =90°． （2）画圆柱的两底面和圆台上下底面，画出底面⊙O ．在z 轴上截取O '，使OO '等于三视图中相应高度．过O '作Ox 的平行线O x ''、Oy 的平行线O y ''，利用O x ''与O y ''画出底面⊙O '，在z 轴上截取O ''，使O O '''等于三视图中相应高度．过O ''作Ox 的平行线O x ''''，Oy 的平行线O y ''''．作圆O ''．（3）成图．连结AA A A BB B B ''''''''、、、，去掉辅助线， 将被遮挡的部分要改为虚线，即得到给出三视图所表示的立体图的直观图．。
（按课时设计教学流程，教学流程应能清晰准确的表述本节课的教学环节，以及教学环节的核心活动内容。
因此既要避免只有简单的环节，而没有环节实施的具体内容；还要避免把环节细化，一般来说，一节课的主要环节最好控制在4~6个之间，这样比较有利于教学环节的实施。
）1、考点精讲2、考点精练3、课堂设计，方法备考4、随堂反馈教学过程（教学过程的表述不必详细到将教师、学生的所有对话、活动逐字记录，但是应该把主要环节的实施过程很清楚地再现。
） 教学环节教师活动 预设学生行为 设计意图 1、考点精讲（1）．空间几何体的结构特征结构图演示（2）．空间几何体的三视图实物图配合电脑操作演示。
（3）．空间几何体的直观图，主要是在黑板上带着学生一起画一起感受。
（4）、总结空间几何体的直观图常用斜二测画法来画的基本规则。
2、考点精练一、选择题1．(2010·广东)如图，△ABC 为正三角形，若AA ′∥BB ′∥CC ′，CC ′⊥平面ABC ，且3AA ′＝32BB ′＝CC ′＝AB ，则多面体ABC －A ′B ′C ′的正视图(也称主视图)是( )解析：由AA ′∥BB ′∥CC ′及CC ′⊥平面ABC ，知BB ′⊥平面ABC .又CC ′＝32BB ′，且△ABC 为正三角形，故正视图应为D 中的图形.答案：D2．下列叙述中正确的个数是( ) ①相等的角，在直观图中仍相等；②长度相等的线段，在直观图中长度仍相等； ③若两条线段平行，在直观图中对应的线段仍平行； ④若两条线段垂直，则在直观图中对应的线段也互相垂直． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3解析：从原图到直观图只能保证平行于x 轴、y 轴的直线仍平行于x ′轴、y ′轴，但不能保证平行直线依然平行，平行于x 轴的线段长度保持不变，而其他线段则没有类似的规律，其他关系更没法保持，故四个命题均为假命题，故选A.答案：A3．(2010·北京)一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正(主)视图与侧(左)视图分别如图所示，则该几何体的俯视图为( )解析：由三视图中的正(主)、侧(左)视图得到几何体的直观图如图所示，故该几何体的俯视图为C.答案：C4．(2011·青岛质检)如图为长方体木块堆成的几何体的三视图，则组成此几何体的长方体木块的块数共有()A．3块B．4块C．5块D．6块解析：由几何体的三视图还原出几何体的直观图，如图所示，则可知该几何体是由4块长方体堆放而成的．答案：B5．如图所示，△A′O′B′表示水平放置的△AOB的直观图，B′在x′轴上，A′O′和x′轴垂直，且A′O′＝2，则△AOB的边OB上的高为()A．2 B．4C．2 2 D．4 2解析：直观图与原图形中边OB长度不变，由S原图形＝22S直观图，有12·OB·h＝22×12×2·O′B′，∴h＝4 2.答案：D6．(2008·宁夏、海南)某几何体的一条棱长为7，在该几何体的主视图中，这条棱的投影是长为6的线段，在该几何体的左视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a和b的线段，则a＋b的最大值为() A．2 2 B．2 3 C．4 D．2 5解析：我们可以结合长方体的对角线在三个面上的投影来理解这个题目，可设长方体的长、宽、高分别为m、n、k ，显然m 2＋n 2＋k 2＝7，可设m 2＋n 2＝6，得k ＝1，则⎩⎪⎨⎪⎧n 2＋1＝a ，m 2＋1＝b ，所以(a 2－1)＋(b 2－1)＝6，a 2＋b 2＝8，当a ＝b ，即a ＝b ＝2时取得最大值，即a ＋b ＝2＋2＝4，选C.答案：C 二、填空题7．设有以下四个命题：①底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体； ②底面是矩形的平行六面体是长方体； ③直四棱柱是直平行六面体； ④棱台的相对侧棱延长后必交于一点． 其中真命题的序号是__________．解析：命题①符合平行六面体的定义，故命题①是正确的，底面是矩形的平行六面体的侧棱可能与底面不垂直，故命题②是错误的，因直四棱柱的底面不一定是平行四边形，故命题③是错误的，由棱台的定义知命题④是正确的．答案：①④8．如图，在斜二测投影下，四边形ABCD 是下底角为45°的等腰梯形，其下底长为5，一腰长为2，则原四边形的面积是__________．解析：作DE ⊥AB 于E ，CF ⊥AB 于F ，则AE ＝BF ＝AD cos45°＝1，∴CD ＝EF ＝3.将原图复原(如图)，则原四边形应为直角梯形，∠A ＝90°，AB ＝5，CD ＝3，AD ＝22，∴S 四边形ABCD ＝12·(5＋3)·22＝8 2.答案：8 29．用任一平面去截正方体，下列平面图形可能是截面的是__________． ①正方形；②长方形；③等边三角形；④直角三角形；⑤菱形；⑥六边形解析：如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，平行于ABCD的截面为正方形，截面AA1C1C为长方形，截面AB1D1为等边三角形，取BB1、DD1的中点E、F，则截面AEC1F为菱形，取B1C1、D1C1、AB、AD的中点M、N、P、Q，过这四点的截面为六边形，截面不可能为直角三角形．答案：①②③⑤⑥三、解答题10．(2011·黄山适应性测试)一个正方体内接于高为40 cm，底面半径为30 cm的圆锥中，求正方体的棱长．解析：如图，过正方体的体对角线作圆锥的轴截面，设正方体的棱长为x，则OC＝22x，∴22x30＝40－x40，解得x＝120(3－22)，∴正方体的棱长为120(3－22)cm.11．(2011·四平质检)已知正三棱锥V－ABC的正视图和俯视图如图所示．(1)画出该三棱锥的侧视图和直观图．(2)求出侧视图的面积．解析：(1)如图．(2)根据三视图间的关系可得BC ＝23， ∴侧视图中VA 为42－⎝⎛⎭⎫23×32×232＝12＝23，∴S △VBC ＝12×23×23＝6.12．如图是一个几何体的正视图和俯视图． (1)试判断该几何体是什么几何体； (2)画出其侧视图，并求该平面图形的面积； (3)求出该几何体的体积．解析：(1)正六棱锥 (2)其侧视图如图： 其中AB ＝AC ，AD ⊥BC ，且BC 的长是俯视图中正六边形对边的距离，即BC ＝3a ，AD 的长是正六棱锥的高，即AD ＝3a ， ∴该平面图形的面积 S ＝123a ·3a ＝32a 2. (3)V ＝13·6·34a 2·3a ＝32a 3.3、随堂反馈、选做题1．一长方体木料，沿图①所示平面EFGH 截长方体，若AB ⊥CD ，那么图②四个图形中是截面的是( )解析：因为AB 、MN 两条交线所在平面(侧面)互相平行，故AB 、MN 无公共点．又AB 、MN 在平面EFGH 内，故AB ∥MN .同理易知AN ∥BM ，又AB ⊥CD ，∴截面必为矩形.答案：A2．(2011·广州模拟)已知一个几何体的三视图如下，正视图和侧视图都是矩形，俯视图为正方形，在该几何体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何形体的4个顶点，这些几何形体是(写出所有正确结论的编号)__________．①矩形②不是矩形的平行四边形；③有三个面为直角三角形，有一个面为等腰三角形的四面体；④每个面都是等腰三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体．解析：由该几何体的三视图可知该几何体底面边长为a，高为b的长方体，这四个顶点的几何形体若是平行四边形，则其一定是矩形.答案：①③④⑤板书设计（需要一直留在黑板上主板书）考点精讲1．空间几何体的结构特征2．空间几何体的三视图三视图：用正投影得到，这种投影下与投影面平行的平面图形留下的影子与平面图形的形状和大小是完全相同的．三视图包括正视图、侧视图、俯视图．3．空间几何体的直观图空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，基本规则是：(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴所在平面垂直．(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中还是线段．平行于x轴和z轴的线段长度在直观图中保持不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半．教学反思（教学反思的撰写应避免对教学设计思路、指导思想的再次重复。
在平面上创作立体图画
刘海虹
【期刊名称】《教育教学论坛》
【年(卷),期】2011(000)014
【摘要】本文探讨用新型颜料花花泥解决中学美术教学中的立体空间、肌理表现等问题,为培养中学生创新精神和创新能力,探索了一条新的有效的方法和途径.【总页数】1页(P90)
【作者】刘海虹
【作者单位】河南省新乡市第十三中学,河南,新乡,453000
【正文语种】中文
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