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全等三角形的四种判定方法方法一：SSS（边边边）判定法SSS法是指当两个三角形的三边相互对应相等时，这两个三角形是全等的。
具体步骤如下：1.假设有两个三角形ABC和DEF，边长分别为AB、BC、AC和DE、EF、DF。
2.检查AB/DE、BC/EF和AC/DF是否相等，如果这三组比值相等，则可以判断三角形ABC和DEF是全等的。
方法二：SAS（边角边）判定法SAS法是指当两个三角形的两边和夹角互相对应相等时，这两个三角形是全等的。
具体步骤如下：1.假设有两个三角形ABC和DEF，已知AB/DE、∠B/∠E、BC/EF。
2.检查AB/DE和BC/EF是否相等，并且检查∠B/∠E是否相等，如果这两组比值相等，则可以判断三角形ABC和DEF是全等的。
方法三：ASA（角边角）判定法ASA法是指当两个三角形的两角和夹边互相对应相等时，这两个三角形是全等的。
具体步骤如下：1.假设有两个三角形ABC和DEF，已知∠A/∠D、BC/EF、∠C/∠F。
2.检查∠A/∠D和∠C/∠F是否相等，并且检查BC/EF是否相等，如果这两组比值相等，则可以判断三角形ABC和DEF是全等的。
方法四：RHS（直角边斜边）判定法RHS法是指当两个三角形的一个直角边和斜边，以及对应的斜边分别相等时，这两个三角形是全等的。
具体步骤如下：1.假设有两个三角形ABC和DEF，已知∠C为直角，AC/DF和BC/EF。
2.检查AC/DF和BC/EF是否相等，并且检查∠C是否为直角，如果这两组比值相等，并且∠C是直角，则可以判断三角形ABC和DEF是全等的。
这四种判定方法是判断全等三角形最常用的方法。
根据给定的条件，可以选择适用的方法进行判定。
值得注意的是，判定全等三角形时需要满足条件的对应关系，不能只满足其中一部分条件。
同时，在实际问题中，可能需要组合使用多种方法来判断三角形的全等关系。
A B C A ’B ’C ’A BC A ’B ’C ’第四讲 全等三角形的判定（三）（一）知识要点1、三角形全等的判定三、四：ASA 及AAS两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA ”）。
书写格式：、在△ABC 和△A ’B ’C ’中，∵⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠''''B B B A AB A A ∴△ABC ≌△A ’B ’C ’（ASA ） 知识延伸：“ASA ”中的“S ”必须是两个“A ”所夹的边。
两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS ”）。
书写格式：在△ABC 和△A ’B ’C ’中，∵⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠''''C A AC B B A A ∴△ABC ≌△A ’B ’C ’（AAS ） 知识延伸：“AAS ”可以看成是“ASA ”的推论。
规律方法小结：由“角边角”及“角角边”可知两角及一边对应相等的两个三角形全等。
无论这个一边是“对边”还是“夹边”，只要对应相等即可。
(二)例题讲解：例1.如图所示，D 在AB 上，E 在AC 上，AB=AC, ∠B=∠C. 求证：AD=AE例2.如图，AB ⊥BC, AD ⊥DC, ∠1=∠2. 求证：AB=AD练习：如图所示,点B 、F 、C 、E 在同一条直线上，AB ∥DF ，AC ∥DE ，AC =DE ，FC 与BE 相等吗？请说明理由.A B C D A ’B ’C ’D ’ 例3．已知：如图，AB =AC ，BD ⊥AC ，CE ⊥AB ，垂足分别为D 、E ，BD 、CE 相交于点F ，求证：BE =CD ．例4：如图，已知△ABC ≌△A ’B ’C ’，AD ，A ’D ’分别是△ABC 和△A ’B ’C ’的边BC 和B ’C ’上的高。
求证：AD=A ’D ’例5．如图，点E 在AC 上，∠1=∠2，∠3=∠4.试证明BE= DE.（三）练习1．如图，已知AB= DC ，AD =BC ，E ，F 是DB 上的两点，且BE=DF.若∠AEB=100º，∠ADB= 30º．则∠BCF= 。
第十二讲三角形全等的判定定理3（ASA）【学习目标】1．探索并正确理解三角形全等的判定方法“ASA”和“AAS”．2．会用三角形全等的判定方法“ASA”和“AAS”证明两个三角形全等．【新课讲解】知识点1：三角形全等的判定（“角边角”定理）1.文字语言：有两角和它们夹边对应相等的两个三角形全等(简写成“角边角”或“ASA”）.2.几何语言：在△ABC和△A′ B′ C′中，∴ △ABC≌△A′ B′ C′ （ASA）.【例题1】已知：∠ABC＝∠DCB，∠ACB＝∠DBC，求证：△ABC≌△DCB．【答案】见解析。
【解析】证明：在△ABC和△DCB中，∴△ABC≌△DCB（ASA ）.知识点2：用“角角边”判定三角形全等1.文字表述。
两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等. 简写成“角角边”或“AAS”.2.几何语言表述。
在△ABC和△A′B′C′中，∴ △ABC≌△A′B′C′（AAS）.【例题2】如图，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E.求证：(1)△BDA≌△AEC；(2)DE＝BD＋CE.【答案】见解析。
【解析】证明：(1)∵BD⊥m，CE⊥m，∴∠ADB＝∠CEA＝90°，∴∠ABD＋∠BAD＝90°.∵AB⊥AC，∴∠BAD＋∠CAE＝90°，∠ABD＝∠CAE.在△BDA和△AEC中，∴△BDA≌△AEC(AAS).（2）证明：∵△BDA≌△AEC,∴BD＝AE，AD＝CE，∴DE＝DA＋AE＝BD＋CE.知识点3：应用1.方法总结：利用全等三角形可以解决线段之间的关系，比如线段的相等关系、和差关系等，解决问题的关键是运用全等三角形的判定与性质进行线段之间的转化．2.全等三角形对应边上的高也相等.【例题3】已知：如图，△ABC ≌△A′B′C′ ，AD、A′ D′ 分别是△ABC 和△A′B′C′的高.试说明AD＝ A′D′ ，并用一句话说出你的发现.【答案】见解析。
全等三角形证明一、三角形全等的判定：1、三组对应边分别相等的两个三角形全等(SSS)。
2、有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS)。
3、有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA)。
4、有两角及一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS)。
5、直角三角形全等条件有：斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL)。
二、全等三角形的性质：①全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等。
②全等三角形的周长、面积相等。
③全等三角形的对应边上的高对应相等。
④全等三角形的对应角的角平分线相等。
⑤全等三角形的对应边上的中线相等。
三、找全等三角形的方法：（1）可以从结论出发，看要证明相等的两条线段（或角）分别在哪两个可能全等的三角形中；（2）可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形相等；（3）从条件和结论综合考虑，看它们能一同确定哪两个三角形全等；（4）若上述方法均不行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。
三角形全等的证明中包含两个要素：边和角。
缺个角的条件：1、公共角2、对顶角3、两全等三角形的对应角相等4、等腰三角形5、同角或等角的补角（余角）6、等角加（减）等角7、平行线8、等于同一角的两个角相等缺条边的条件：1、公共边2、中点3、等量和4、等量差5、角平分线性质6、等腰三角形7、等面积法8、线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等9、两全等三角形的对应边相等10、等于同一线段的两线段相等四、构造辅助线的常用方法：1、关于角平分线的辅助线当题目的条件中出现角平分线时，要想到根据角平分线的性质构造辅助线。
角平分线具有两条性质：①角平分线具有对称性；②角平分线上的点到角两边的距离相等。
关于角平分线常用的辅助线方法：（1）截取构全等如下左图所示，OC是∠AOB的角平分线，D为OC上一点，F为OB上一点，若在OA 上取一点E，使得OE=OF，并连接DE，则有△OED≌△OFD，从而为我们证明线段、角相等创造了条件。
13.2-3全等三角形的判定条件---ASA
【学习目标】 1.理解“角边角”定理，分清每个命题的题设和结论；2.能正确应用“角边角”定理证明三角形全等，线段（角）相等.
【自主学习】 课前用10分钟时间自主阅读教材本节内容，用红色笔进行圈点勾画，注意找
准概念中的关键词﹒
1.如图，已知AC=FE 、BC=DE ，点A 、D 、B 、F 在一条直线上，要用“边角边”证明△ABC ≌△FDE ，还应该添加条件是_________________.
2．三角形全等“角边角”判定：如果两个三角形有两个角及夹边分别对应__________，那么这两三角形____________.
如图，在△ABC 与△DEF 中，
已知⎪⎩⎪⎨⎧=∠==∠______________________________B AB A
∴△ABC ≌△DEF ( ).
【自主探究】
探究一 三角形全等条件判定
1.三角形中已知两角一边又分成哪两种呢？分为：________________和________________.
2.两角和它们的夹边对应相等的两个三角形是否全等？
(1) 动手试一试：画△ABC ，使∠A=450，∠B=600，AB=3cm.
(2) 把你画的△ABC 剪下来和同学进行比较，看看是否完全重合？
(3) 归纳；由上面的画图和实验可以得出全等三角形判定2：
两角和它们的夹边对应相等的两个三角形__________.（可以简写成“ ”或“ ”）
(4)用数学语言表述全等三角形判定2 如图1，在△ABC 和'''A B C ∆中,
∵'B B BC C ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=⎩
∴△ABC ≌
探究二 典型例题
例1.如图2，已知点D 在AB 上，点E 在AC 上，BE 和CD 相交于点O ，AB=AC ，∠B=∠C.求证：BE=CD .
C 'B 'A 'C B A
图
1
F D C B E
A
例2. 如图3：已知∠ABC=∠DCB ，∠ACB=∠DBC .求证：△ABC ≌△DCB.
例3.如图4，已知CD ⊥AB 于点D ，BE ⊥AC 于点E ，BE 、CD 相交于点O ，且AO 平分∠BAC. 求证：OB=OC.（提示：先证△AOD ≌△AOE ，再证△BOD ≌△COE ）
【当堂检测】
1.如图5，小明把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法应带_______去玻璃店，理由是___________________________.
2.如图6，O 是AB 的中点， 要使通过角边角（ASA ）来判定△OAC ≌△OBD
条件,下列条件正确的是( ）
A.∠A=∠B B .AC=BD C. ∠C=∠D D. OC=OD
3.如图7，点,,,B C F E 在同一直线上, 12∠=∠,BC FE =,1∠ （填“是”或“不是”） 2∠的对顶角，要通过“角边角”来判定ABC DEF ∆≅∆，还需添加一个条件，这个条件可以是 （只需写出一个）.
4.如图8，要测量河两岸相对的两点A 、B 的距离，可以在AB 的垂线BF 上取两点C 、D ，使BC=CD ，再定出BF 的垂线DE ，使A ，C ，E 在一条直线上，这时测得DE 的长度就是AB 的长度，为什么？
图5 图8
图6 图7
【课后拓展】
1.如图9，已知∠A ＝∠D,∠1＝∠2,那么要得到△ABC ≌△DEF ，还应给出的条件是( )
A. ∠B ＝∠E
B. ED=BC
C. AB=EF
D. AF=CD
2.如图10，在△ABC 和△DEF 中，AB=DF ， ∠A ＝∠D ，当__________时，可根据“ASA”证明△ABC ≌△DEF.
3.如图11，∠B ＝∠DEF ，BC ＝EF, 要证△ABC ≌△DEF ，（1）若以“SAS”为依据，还缺条件 ；（2）若以“ASA”为依据，还缺条件 .
4.如图12
，∠BAC=∠ABD ，请你添加一个条件：
，使OC=OD （只添一个即可）.
5.如图13，在△ABC 中，BD ＝EC ，∠ADB ＝∠AEC ，∠B ＝∠C ，则∠CAE ＝_________.
6.如图14，小明不慎将一块三角形模具打碎为两块，他是否可以只带其中的一块碎片到商店去，就能配一块与原来一样的三角形模具，小明应该带_______合适，理由是_________ _____________________________________________.
7.如图15，点B 、F 、C 、E 在一条直线上，FB=CE ，AB ∥ED ，AC ∥FD ，求证：AB=DE ，AC=DF.
8.已知，如图16，点B 、F 、C 、E 在同一直线上，AC 、DF 相交于点G ，AB ⊥BE ，垂足为B ，DE ⊥BE ，垂足为E ，且BF ＝CE ，GF=GC.
求证：AC=DF .
【课后反思】 图15
A B F E D C 图10
A B F E D C 图11 D O C B
AB 图12
E D C B A 图13 图16。
