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Gram-Schmidt正交规范化方法的表格计算与矩阵表示王书营【摘要】依据Gram-Schmidt正交化方法,把线性无关向量组的正交规范化设计成一个简易表格,给出了表格的结构说明及各部分的生成方法,结合实例给出表格的具体用法,通过表格的分区建立了无关向量组、正交向量组和规范向量组之间的矩阵关系.【期刊名称】《南京工业职业技术学院学报》【年(卷),期】2016(016)002【总页数】4页(P6-9)【关键词】向量组;正交规范化;表格计算;矩阵表格【作者】王书营【作者单位】南京工业职业技术学院文理学院,江苏南京210023【正文语种】中文【中图分类】O151.2一个线性无关向量组可以用正交化方法获得一组正交向量组，经规范化后得到单位向量组，常用的方法是Gram-Schmidt正交化方法。
此法在向量个数较多时计算非常繁琐，如秩为m的线性无关向量组仅正交化就需要计算内积次、商运算m/ 2次及数乘向量运算m/2次，整个计算过程中有部分数据能重复使用，但在每次的单独列式计算时数据共享率较低，尤其不便于最终的检查与纠错，对掌握正交化方法和提高计算效果不利[1]，但采用列表的方式可以进行快速准确计算。
本文就是把Gram-Schmidt正交规范化方法设计成一个简单的表格，只要对表格进行有序计算与填写就能获得需要的结果。
表中的数据计算单一，主要是向量的线性、内积和少部分商运算，表格生成顺畅，每次按序完成一个行和列的计算就可得到所需的关键数据，计算过程的数据显示清晰完整，有极高的共享率，便于检验查询，对于掌握正交化方法和求解正交规范向量组有极好的帮助。
对于欧氏向量空间V的n维向量称为α，β的内积，‖α‖称为α的范数[2]。
设V中的向量组，若A的秩为m，则可以把A化成正交向量组，并有：式(1)称为Gram-Schmidt正交化方法，把正交向量组B规范化成为单位向量组，并有：式(2)中的向量称为正交规范向量组[3]。
求向量组的等价正交单位向量组－施密特正交化C语⾔算法求向量组的等价正交单位向量组－施密特正交化 C 语⾔算法 ⼀.施密特正交化⾸先需要确定已有基底向量的顺序，不妨设为。
Gram-Schmidt正交化的过程如下：这样就得到上的⼀组正交基，以及相应的标准正交基。
给定的S个N维向量组，第⼀步先求出向量组的极⼤线性⽆关组 将向量组排成矩阵A： （列向量组时）或（⾏向量组时）（＊） 将列（或⾏）向量组排成矩阵A如（＊）式，并⽤初等⾏（或列）变换化A为⾏（或列）阶梯形矩阵G（或），则G（或）中⾮零⾏（或列）的个数即等于向量组的秩，且是该向量组的⼀个极⼤线性⽆关组，其中是G（或）中各⾮零⾏（或列）的第1个⾮零元素所在的列（或⾏）。
⼆.C语⾔程序算法#include <stdio.h>#include <stdlib.h>#include <math.h>void main(){int i,j,k;int s,n;//s个n维向量组int groupNum=0;//极⼤线性⽆关组个数double **array,**deterArray;double **result;int *groupPosition;void printfDouble2Dimension(int s, int n, double **array);void printfInt1Dimension(int n, int *array);void primaryRowChange(int s, int n, double **array);int getGreatLinerlyIndependentGroup(int s, int n, double **array, int *result);void calcOrthogonalization(int s, int n, double **result);printf("请输⼊向量个数S:");scanf("%d",&s);printf("请输⼊向量维度N:");scanf("%d",&n);array=(double**)malloc(s*sizeof(double*));deterArray=(double**)malloc(n*sizeof(double*));groupPosition =(int*)malloc(s*sizeof(int));for(i=0;i<n;i++){deterArray[i]=(double*)malloc(n*sizeof(double));}for(i=0;i<s;i++)*(groupPosition+i)=-1;//for(i=0;i<s;i++){array[i]=(double*)malloc(n*sizeof(double));printf("请输⼊第%d个向量:",i+1);for(j=0;j<n;j++){scanf("%lf",*(array+i)+j);*(*(deterArray+j)+i) = *(*(array+i)+j);}}printf("输⼊向量⾏矩阵:\n");printfDouble2Dimension(s,n,array);printf("输⼊向量列矩阵:\n");printfDouble2Dimension(n,s,deterArray);primaryRowChange(n,s,deterArray);printf("列矩阵初等⾏变换后:\n");printfDouble2Dimension(n,s,deterArray);groupNum = getGreatLinerlyIndependentGroup(n,s,deterArray,groupPosition);result = (double**)malloc(groupNum*sizeof(double*));for(i=0;i<groupNum;i++){if(*(groupPosition+i)!=-1){result[i] = (double*)malloc(n*sizeof(double));result[i] = *(array+ *(groupPosition+i));}}printf("极⼤线性⽆关组:\n");printfDouble2Dimension(groupNum,n,result);calcOrthogonalization(groupNum,n,result);printf("等价正交单位向量组:\n");printfDouble2Dimension(groupNum,n,result);system("pause");}//初等⾏变换void primaryRowChange(int s, int n, double **array){int i,j,k,ii,kk,flag;double temp;for(i=0,j=0;i<s-1;i++,j++)//s⾏，最外围只需要变换s-1{ii=i;//如果⾏的⾸元为0，向下查找⼀个不为0的，然后换⾏if(*(*(array+i)+j) == 0){flag=0;for(k=i+1;k<s;k++){if(*(*(array+k)+j)!=0)//第k⾏与第i⾏交换{for(kk=j;kk<n;kk++){temp=*(*(array+k)+kk);*(*(array+k)+kk) = *(*(array+i)+kk);*(*(array+i)+kk) = temp;}flag =1;break;}}//判断是交换成功，如果没有成功，则i--if(!flag){i--;continue;}i--;j--;continue;}for(;ii<s-1;ii++){if(*(*(array+ii+1)+j)==0)continue;temp =-*(*(array+ii+1)+j) / *(*(array+i)+j);for(k=j;k<n;k++)*(*(array+ii+1)+k) += *(*(array+i)+k) * temp;}}}//获取极⼤线性⽆关组位置及个数int getGreatLinerlyIndependentGroup(int s, int n, double **array, int *result){int i,j,num=0;for(i=0;i<s;i++){for(j=0;j<n;j++){if(*(*(array+i)+j)!=0){*(result + num++)=j;break;}}}return num;}//计算正交单位向量组void calcOrthogonalization(int s, int n, double **result){int i,j,k;double **tempArray ,temp;double sqrt(double x);double getInnerProduct(int n,double *array1, double *array2);for(i=0;i<s;i++){tempArray = (double**)malloc(i*sizeof(double*));for(j=0;j<i;j++){tempArray[j] = (double*)malloc(n*sizeof(double));temp = getInnerProduct(n,*(result+i),*(result+j)) / getInnerProduct(n,*(result+j),*(result+j));for(k=0;k<n;k++){*(*(tempArray+j)+k) = temp * *(*(result+j)+k);}}for(j=0;j<i;j++){for(k=0;k<n;k++)*(*(result+i)+k) -= *(*(tempArray+j)+k);}}//单位化for(i=0;i<s;i++){temp = getInnerProduct(n,*(result+i),*(result+i));temp = sqrt(temp);for(j=0;j<n;j++){*(*(result+i)+j) /= temp;}}}//计算两个向量的内积double getInnerProduct(int n, double *array1, double *array2){int i;double result=0;for(i=0;i<n;i++)result += *(array1+i) * *(array2+i);return result;}//print arrayvoid printfDouble2Dimension(int s, int n, double **array){int i,j;for(i=0;i<s;i++){for(j=0;j<n;j++){printf("%6.2lf",*(*(array+i)+j)); }printf("\n");}}void printfInt1Dimension(int n, int *array) {int i;for(i=0;i<n;i++){printf("%4d",*(array+i));}printf("\n");} 三.程序截图1> p219-例12> 3.5-93> test14> test2。
向量组(矩阵)正交化的合同变换模型
杨庆玺;杨光
【期刊名称】《济源职业技术学院学报》
【年(卷),期】2007(6)4
【摘要】通过对Schmidt正交化方法等价定理的证明,从模型化和程序化的角度,给出向量组(矩阵)正交化的对称变换法模型,使之利用计算机进行程序计算成为可能.【总页数】2页(P22-23)
【作者】杨庆玺;杨光
【作者单位】焦作大学,基础系,河南,焦作,454003;焦作大学,基础系,河南,焦
作,454003
【正文语种】中文
【中图分类】O151
【相关文献】
1.线性无关向量组正交化的矩阵解法 [J], 宋永顺;赵万伟;朱洪秀
2.一个简便的向量组(矩阵)正交化方法 [J], 付立志
3.向量组正交化的合同变换模型 [J], 王学敏;付立志
4.四元数矩阵的广义Schmidt分解与广酉空间中向量组的广义标准正交化 [J], 林春艳;王卿文
5.正交化向量组的矩阵方法 [J], 严家森
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三维欧氏空间中标准正交基的求解新方法
陈丽雯;王振
【期刊名称】《理论数学》
【年(卷),期】2024(14)3
【摘要】本文对标准正交基的计算方法加以分析,分别采用Schmidt正交化方法、初等变换法、合同变换法和Givens变换法进行标准正交基的求解。
并在三维欧氏空间中,把向量积与这些方法结合,使得计算更为简单。
【总页数】7页(P151-157)
【作者】陈丽雯;王振
【作者单位】盐城工学院数理学院盐城
【正文语种】中文
【中图分类】O15
【相关文献】
1.有限维欧氏空间中标准正交基的求法探讨
2.欧氏空间标准正交基的几种求法
3.一种求欧氏空间子空间的标准正交基的新方法
4.欧氏空间子空间的标准正交基的一种全新的求法──Givens变换法
5.欧氏空间子空间的标准正交基求法改进
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基于Schmidt正交单位化的稀疏化定位算法赵春晖;许云龙;黄辉;崔冰【摘要】To improve the localization accuracy of a node in the wireless sensor network with a mobile beacon node, a sparse localization algorithm using Schmidt orthonormalization ( SLSO) was proposed. With the SLSO, the node localization problem was converted to a reconstruction problemof the sparse signal by gridding the sensing area, and a new observation matrix which is able to effectively satisfy the restricted isometry property ( RIP ) was obtained by Schmidt orthonormalization. To solve the problem of the sparse signal being approximately sparse in the model, a centroid algorithm was adopted to improve the localization accuracy. The experiment results show that, compared with MAP algorithms, SLSO has better localization accuracy, and requires less broadcasting times.%为了提高在一个移动信标节点下的无线传感器网络节点定位的精度，提出了一种稀疏化的无线传感器网络节点定位算法。
关于施密特正交化的一点注释与应用蔡改香【摘要】高等代数中求标准正交基、求正交阵都要用到施密特正交化。
欧式空间的基中向量的位置不同，经过施密特正交化所得到的标准正交基的结果也不同，并且计算量的大小也不同。
用施密特正交化法求实对称矩阵的逆矩阵是一种新的方法。
%In higher algebra, we have used the Schmidt orthogonalization to solve standard orthogonal basis and the orthogonal array.This paper mainly introduces if positions of vectors are different in the base of Euclidean space, then the standard orthogonal basis obtained through the Schmidt orthogonalization is different, and the amount of calculation is different.This paper also intro-duces the method of solving the inverse matrix of real symmetric matrix by using Schmidt orthogonalization .【期刊名称】《安庆师范学院学报（自然科学版）》【年(卷),期】2015(000)001【总页数】3页(P106-108)【关键词】基;标准正交基;施密特正交化【作者】蔡改香【作者单位】安庆师范学院数学与计算科学学院，安徽安庆 246133【正文语种】中文【中图分类】O151.21高等代数中，欧式空间的一组线性无关的向量张成一个子空间[1]，那么这一组向量就称为这个子空间的一个基。
施密特正交化提供了一种方法，能够通过这一子空间上的一个基得出子空间的一个正交基，并可进一步求出对应的标准正交基。
gram-schimidt 标准正交法的权函数Gram-Schmidt标准正交法是一种用于将一组向量正交化的方法。
这种方法通过构造一个新向量，使得该向量与原始向量组之间的内积为零，从而将原始向量组转化为正交向量组。
在处理矩阵分解、数值线性代数等领域时，Gram-Schmidt标准正交法具有广泛的应用。
一、基本原理Gram-Schmidt标准正交法的核心思想是通过构造一组新的向量，使得这组新向量的内积为零。
具体步骤如下：1. 选取一组初始向量，这些向量可以是任意一组不相关且不共线的向量。
2. 对于第i个向量，构造新的向量qi=vi-Σ_{k=1}^{i-1}γkvi,k(q_i - \sum_{k=1}^{i-1} \gamma_k v_k) ，其中vi是第i 个原始向量，γk是Gram-Schmidt标准正交过程计算得到的比例系数。
这个过程称为第i个向量的正交化过程。
3. 重复上述过程，直到得到一组完全正交的向量组。
通过Gram-Schmidt标准正交法，我们可以在原始向量组的基础上构造出一组正交向量组，其中任意两个向量之间的内积为零。
二、权函数在Gram-Schmidt标准正交法中，权函数起着重要的作用。
权函数代表了新向量与原始向量的关系，即新向量与第i个原始向量的点积。
在构造新向量的过程中，权函数起到了关键的作用。
对于任意一组正交向量组(q_i)，其权函数满足Σ_{i=1}^nλ_i(q_i) = 0。
其中λ_i(q_i)表示第i个向量的权函数，n为向量的个数。
这个结论表明，新向量的权函数与原始向量的权函数之和为零，即新旧向量之间是相互独立的。
三、应用场景Gram-Schmidt标准正交法在处理矩阵分解、数值线性代数等领域具有广泛的应用。
例如，在计算机视觉中，Gram-Schmidt标准正交法可以用于图像去噪、特征提取等任务。
此外，Gram-Schmidt标准正交法还可以用于求解线性方程组、特征值问题等数学问题。
Schmidt标准正交化方法的推广【摘要】Schmidt标准正交化方法是一种重要的研究方法，可以在数学、工程和其他领域中得到广泛应用。
本文首先介绍了该方法的原理，然后详细阐述了其在数学领域和工程领域中的具体应用和推广情况，同时还探讨了其在其他领域的应用情况。
随后讨论了Schmidt标准正交化方法的改进与发展趋势，指出了其在未来研究中的重要性和展望。
通过对Schmidt标准正交化方法的全面介绍，希望能够促进该方法在更广泛领域中的推广和应用，并为未来的研究提供新的思路和方向。
Schmidt标准正交化方法的推广将对相关领域的发展产生积极影响，值得进一步深入研究和探讨。
【关键词】Schmidt标准正交化方法, 引言, 研究背景, 问题概述, 正文, 原理, 数学领域应用, 工程领域推广, 其他领域应用, 改进与发展, 结论, 重要性, 展望未来研究方向1. 引言1.1 研究背景Schmidt正交化方法是数学领域中一种重要的正交化方法，由数学家斯密特在19世纪提出。
在实际问题中，经常需要对一个特定的向量组进行正交化处理，以简化计算或提高计算效率。
Schmidt标准正交化方法可以将任意线性无关的向量组转化为一组正交基，并且具有计算简单、稳定可靠的特点。
在数学、工程、物理等领域的许多问题中，常常需要处理线性代数中的向量组，而向量组的正交化是一个常见且重要的问题。
正交化后的向量组不仅更容易理解和计算，而且能够简化问题的求解过程。
研究如何有效进行向量组的正交化，成为了许多学者关注的重点。
1.2 问题概述算法的复杂性是一个值得关注的问题。
在实际应用中，我们可能需要处理大规模的数据集，因此对算法的效率和计算复杂度要求较高。
对于Schmidt标准正交化方法来说，如何在保证精度的前提下提高计算效率是一个需要解决的问题。
精度和稳定性也是我们需要考虑的问题。
在实际应用中，由于数据的噪声或者误差，算法可能会受到影响，导致结果的不稳定性。
