数学与美11111资料

选自《数论妙趣——数学女王的盛情款待》第十一章11111…111（节选）由清一色的1重复有限次所组成的数，引起人们很大的兴趣。

这样的数可以称为“重一数”。

人们为了求出重一数的因子花掉不少时间。

这类数可以记为10x＋10x－1＋10x－2＋…＋102＋10＋1。

这是在求一个等比数列100,101,102,…,10x－1,10x之和。

根据等比数列求和公式S＝a(q x＋1－1)/(q－1) （q—公比，a—首项）这里，q＝10，a＝1，于是，总和就是(10x＋1－1)/9。

这样一来，问题就转化为怎样找到形如10y－1的数的因子。

10y－1型的数很像梅森数2n－1的样子，只是2变成了10。

在第三章研究梅森数的时候，曾经得出，n只能是质数；当n是合数时，2n－1可以分解因式。

同理，y也只能是质数；当y是合数时，10y－1也可以分解因式。

先来看y是合数的情况：当y为偶合数时，重一数为合数。

如104－1＝(102)2－1＝(102＋1)(102－1)＝101×99，(104－1)/9＝101×11＝1111；106－1＝(103)2－1＝(103＋1)(103－1)＝1001×999，(106－1)/9＝1001×111＝111111；108－1＝(104)2－1＝(104＋1)(104－1)＝10001×9999，(108－1)/9＝10001×1111＝11111111。

当y为奇合数时，重一数也为合数。

如109－1＝(103)3－1＝(103－1)[(103)2＋103＋1]＝999×[106＋103＋1]＝999×[1000000＋1000＋1]＝999×1001001，(109－1)/9＝111×1001001＝111111111；1015－1＝(105)3－1＝(105－1)[(105)2＋105＋1]＝99999×[1010＋105＋1]＝99999×[10000000000＋100000＋1]＝99999×10000100001，(1015－1)/9＝11111×10000100001＝111111*********。

数学与美学关于数学与美学，少有专门的论著，象《数学中的美》（吴振奎吴昊编著上海教育出版社）这样系统地介绍数学中的美实在是少见，借来读个痛快。

社会的进步就是人类对美的追求的结晶。

（马克思K.Max）数学，如果正确地看，不但拥有真理，而且也具有至高的美。

罗素（B.Russell）美是一切事物生成和发展的本质特征。

美是心借物的形象来表现情趣，是合规律性与合目的性的统一。

朱光潜美是自由的形式：完好、和谐、鲜明。

真与善、规律性与目的性的统一，这是美的本质和根源。

（李泽厚）最有益的就是最美的。

（苏格拉底Socrates）和谐不是静止的平衡，而是运动着的活动状态。

（赫拉克利特Helakritos）生物的进化与世界之美的完善，与美，与和谐的形成是等过程的。

（恩培多克勒Empedoeles）生活需要有美的享受。

（德谟克利特Demokritos）美是许多现象所固有的一个唯一的东西，它具有最普遍的具体性，但美是难以捉摸的。

（苏格拉底Socrates）数学能促进人们对美的特性----数值、比例、秩序等的认识。

(亚里十多德Aristotle)美包含在体积和秩序中。

(黑格尔G..W.F.Hegel)美是大自然本身的自然属性。

(伏尔泰V oltaire 狄德罗D.Diderot)美就是生活。

(车尔尼切夫斯基)美的几种模式：(1)美是绝对观念在具体事物和现象中的表现或体现；(2)美是有意向地从主观上认识事物的结果；(3)美是生活的本质同作为美的尺度的人相比较，或者同他的实际需要、他的理想和关于美好生活的观念相比较的结果；(4)美是自然现象的自然属性。

?数学家只有在他内心感到真实的美时，数学才是完美的。

(格塞Goethe)?数学中的发现与其说是一个逻辑问题，倒不如说它是神功所使，没有人懂得这种力量，但那种对美的不知不觉的认识必定起着重要的作用。

(莫尔斯M.Morse)(犹太人巴特莱(Pateler)“宇宙大法则”(78：22法则)意大利帕勒托(A.Einsein)：事物琐碎的多数与重要的少数比适合80：20。

数学的美与奥秘从一到无穷大的数学美学数学，这门看似枯燥的学科，却蕴含着无比的美与奥秘。

从一到无穷大，数学美学贯穿于整个数学的世界，让我们领略到数学的魅力与深邃。

一、数学中的对称美学对称在自然界和人类的艺术作品中都是一种普遍存在的美学。

数学中也不例外，对称应用于数学中的图形和方程，产生了一种精确而完美的美感。

比如，镜像对称、轴对称等都是数学中常见的对称形式。

例如，在几何学中，我们可以通过对图形进行镜像、旋转或平移等操作，来研究它们的对称性质。

这种对称美学不仅令人赏心悦目，更深入展示了数学的内在结构与规律。

二、数学中的黄金比例美学黄金比例是指一条线段分为两部分，较长部分与整体之比等于较短部分与较长部分之比。

这种比例被广泛运用于建筑、绘画等艺术领域中，也被广泛认为是最具美感的比例之一。

而这种美感实际上源于数学中的黄金比例，也就是数学中的斐波那契数列。

斐波那契数列是从1开始，后面的每一个数都等于前面两个数之和。

斐波那契数列具有惊人的特性，比如相邻两个数的比例会无限接近黄金比例0.618。

这种数学的美感犹如艺术作品中的完美构图，给人以无尽的想象空间和美好的感受。

三、数学中的无穷大美学数学中的无穷大是一种抽象的概念，但它却展现出了独特的美学之美。

无穷大既包括正无穷大，也包括负无穷大，在数学中起到了重要的作用。

在微积分中，无穷大可以用来描述函数的极限，表达函数在某些点的趋势。

无穷大常常和无穷小相互关联，构成微积分中的重要概念。

无穷大不仅仅是数学上的一个符号，更是数学世界中的探险家，带领我们走向未知的边界，发现数学中的奥秘。

数学的美与奥秘不仅仅限于以上三个方面，数学的世界广阔而深邃，每个领域都蕴含着精彩纷呈的美学。

数学的美学给人以享受和启迪，同时也激发了人们对于数学的探索和研究。

在日常生活中，我们可以用数学的眼光去观察周围的事物，去感受数学的美与奥秘。

透过数学的窗口，我们看到了世界的秩序和美丽。

总结起来，从一到无穷大的数学美学贯穿了整个数学的世界。

数学中美的欣赏数学美是一种蕴涵的美，它需要从深处去挖掘。

关于数学美的内容很多,本文是为了从浅层阐述数学的美,让学生初步感受数学中美的存在，所以本文就主要从数学美的概念、数学美与其它美的区别、数学美的内容和它在数学教育中的体现这几个方面作以下的阐述。

一、数学美的概念美是人类创造性实践活动的产物，是人类本质力量的感性显现。

通常我们所说的美以自然美、社会美以及在此基础上的艺术美、科学美的形式存在。

数学美是自然美的客观反映，是科学美的核心。

简言之数学美就是数学中奇妙的有规律的让人愉悦的美的东西。

历史上许多学者、数学家对数学美从不同的侧面作过生动的阐述。

普洛克拉斯早就断言：“哪里有数，哪里就有美。

”亚里士多德也曾讲过：“虽然数学没有明显地提到善和美，但善和美也不能和数学完全分离。

因为美的主要形式家是“秩序、匀称和确定性”，这些正是数学研究的原则。

”徐利治教授说：“作为科学语言的数学，具有一般语言文字与艺术所共有的美的特点，即数学在其内容结构上和方法上也都具有自身的某种美，既所谓数学美。

数学美的含义是丰富的，如数学概念的简单性、统一性，结构关系的协调性，对称性，数学命题与数学模型的概括性、典型性和普遍性，还有数学中的奇异性等等都是数学美的具体内容。

以上的论述可见，数学中充满着美的因素，数学美是数学科学的本质力量的感性和理性的呈现，它不是什么虚无飘渺、不可捉摸的东西，而是有其确定的客观内容。

二、数学美与其它美的区别数学美有别与其它的美，它没有鲜艳的色彩，没有美妙的声音，没有动感的画面，它却是一种独特的美。

美国数学家克莱因曾对数学美作过这样的描述：“音乐能激发或抚慰情怀，绘画使人赏心悦目，诗歌能动人心弦，哲学使人获得智慧，科技可以改善物质生活，但数学却能提供以上一切。

”数学美与其它美的区别还在于它是蕴涵在其中的美。

打个比方来说，大家一定都有这种感觉，绝大部分同学对音体美容易产生兴趣，而对数学感兴趣的不多。

我认为，这主要有两个方面的原因：一是音体美中所表现出来的美是外显的，这种美同学们比较容易感受、认识和理解；而数学中的美虽然也有一些表现在数学对象的外表，如精美的图形、优美的公式、巧妙的解法等等，但总的来说数学中的美还是深深地蕴藏在它的基本结构之中，这种内在的理性美学生往往难以感受、认识和理解，这也是数学区别于其它学科的主要特征之一。

数学美学知识点总结数学美学是一门关于数学和美学之间关系的学科，它研究数学的美感和审美价值。

数学美学不仅涉及数学的美感和美学，也涉及到数学在其他学科领域的美感和审美属性。

数学美学的研究对象不仅仅是数学本身，而是数学的各个分支以及数学与其他学科之间的联系。

1. 数学与美学的关系数学与美学有着密切的关系，数学本身就具有一定的美感和审美价值。

数学中的公式、图形、定理等都体现了一定的美感和优美性。

例如，黄金分割比、费马大定理等都展现了数学的美感和优美性。

而且，数学在自然界和人类社会中的广泛应用，也使得它的美学价值更为突出。

比如，黄金分割比在建筑、艺术中的应用，都展现了数学的美感和美学。

2. 数学中的美学元素数学中的美学元素主要包括对称、规律、简洁、优美等。

对称在数学中有着重要的地位，它体现了数学的美感和美学。

例如，对称图形、对称函数等都展现了数学中的美感。

规律也是数学美学的重要元素，数学中的各种规律和定律都体现了数学的美学。

简洁和优美也是数学中的美学元素，数学中的一些定理和公式因其简洁和优美而被人们所喜爱。

3. 数学与自然之美数学与自然之间也存在着密切的关系，数学可以描述自然界中的各种现象和规律。

自然界中的各种美丽景观和规律也都可以用数学来解释和描述。

例如，菲波那契数列描述了许多植物的生长规律，黄金分割比在自然界中也有着广泛的应用。

数学可以帮助人们更好地理解自然界中的美丽规律，同时也能够帮助人们更好地欣赏自然之美。

4. 数学的应用美学数学在各个领域的应用中也展现了其美学价值。

数学在建筑、艺术、音乐等领域中的应用，都突显了数学的美感和审美价值。

建筑中的对称美、黄金分割比等都体现了数学的美学价值。

音乐中的和谐音程、音乐结构等也体现了数学的美学价值。

数学在艺术中的应用更是发挥了其美学价值，数学家们通过数学的手段创作出了许多美妙的作品。

5. 数学与教育美学数学在教育中也有着重要的美学价值。

数学教育不仅仅是为了传授数学知识，更重要的是培养学生的数学美感和审美能力。

数学之美欣赏数学的美妙与深奥之处数学之美：欣赏数学的美妙与深奥之处数学是一门既古老又现代的学科，其美妙与深奥之处令人惊叹。

正如爱因斯坦所说：“数学是宇宙的语言”。

在这篇文章中，我们将一同探索数学的美丽之处，并且欣赏数学的魅力。

一、对称美：数学的几何形式在数学中，对称美是一种无处不在的美。

数学中的对称性，不仅仅存在于几何图形中，还存在于方程的形式和等式的复杂性中。

正如迪斯东所说：“对称是真实世界美的显现”。

1.1 几何美几何学是数学中最直观且最引人入胜的分支之一，它探讨了空间中的形状、大小和相对位置等概念。

几何图形的对称性给人一种和谐和平衡的感觉。

在平面几何中，我们熟悉的圆、矩形、正方形等形状，无论从哪个角度看都具有对称性。

例如，圆和正方形都是对称的，无论你如何旋转它们，它们看起来都相同。

然而，几何学不仅仅局限于平面图形，还包括立体几何。

例如，多面体如正四面体和正八面体，它们具有各种对称性质，给我们带来视觉上的愉悦和美感。

另外，对称性不仅存在于形状上，还存在于对称变换中。

例如，平移、旋转和翻转等变换保持了图形的对称性。

这些变换不仅在几何学中有意义，也在其他数学分支、物理学和艺术中扮演着重要的角色。

1.2 方程美数学中的对称性不仅停留在几何形状上，还存在于方程的形式中。

例如，平方和立方等特殊的数学函数具有对称性，它们在自变量取正数和负数时具有同样的性质。

这种对称性使我们能够推导出一些重要的等式和恒等式，从而更好地理解数学中的关系和规律。

在代数学中，方程的对称性也是一种美妙的存在。

例如，二次方程的对称轴是一个重要的概念，它将二次曲线分成两个对称的部分。

对称轴不仅在数学中有重要作用，还在物理学中的摆动、光学和电磁学等领域中具有深远的影响。

二、逻辑美：数学的思维方式除了几何美，数学还有着独特的逻辑美。

数学的思维方式注重严密的推理和清晰的逻辑，这使得数学成为一门深奥又美丽的学科。

2.1 推理的美数学中的推理是一种基于逻辑思维的过程，它通过严格的证明来建立数学结论。

数学数学之美数学，是一门研究数量、结构、空间以及变化的学科，被誉为“科学之王”。

它的美不仅体现在它的创新性和深度上，更体现在它对现实世界的解释和应用中。

本文将讨论数学之美的几个方面，包括数学的逻辑美、形式美以及实用美。

1. 数学的逻辑美数学是一门严谨的学科，它追求准确性和逻辑性。

数学中的每个定理和推理都经过严格的证明和推导，不容忽视任何细节。

这种严谨性使得数学具有独特的美感，让人感受到逻辑的严密和真理的美妙。

数学的逻辑美可以通过各种公式、定理和证明来展示。

例如，费马定理的证明以及勾股定理的几何证明都展现出了数学中的逻辑美。

2. 数学的形式美数学具有独特的形式美，其美感来自于数学中的符号、图形和模式。

数学中的符号和公式可以简洁地表达复杂的概念和关系，让人们可以通过简单的方式处理复杂的问题。

数学中的图形可以展示出数学中的对称性和几何结构，例如，圆的完美形状以及分形图形的奇特之美。

数学中的模式则是一种重复出现的规律，让人们感受到宇宙中数学的普遍性。

所有这些形式美共同构成了数学的美妙之处。

3. 数学的实用美数学不仅有理论上的美，还有实际应用上的美。

数学通过建立模型和推导规律，为解决现实问题提供了有力的工具。

无论是物理学中的数学模型，经济学中的数学预测，还是工程学中的数值计算，数学都发挥着不可替代的作用。

数学的实用美体现在它能够解决实际问题、优化决策，并推动科技的发展。

没有数学的支持，现代社会的许多成就将无法实现。

综上所述，数学之美体现在它的逻辑美、形式美和实用美上。

数学追求严谨的逻辑性，让人们感受到真理的美妙；数学的符号、图形和模式展示了独特的形式美；数学的应用使得它在实际问题的解决中发挥出实用美。

正是数学的美妙之处，让人们对这门学科充满了无尽的探索与热爱。

数学美学知识点总结大全数学美学是一种结合了数学和美学的学科，它探讨了数学领域中的美感和审美情感。

在数学美学中，人们探讨了数学本身的美感，以及数学在艺术、设计和建筑等领域中的应用。

数学美学是一个多学科交叉的领域，它融合了数学、艺术、哲学和心理学等学科的知识，对于激发人们对数学的兴趣和理解，具有重要的意义。

数学美学的知识点包括数学本身的美感、数学在艺术和建筑中的应用、数学与自然界的美学关系等内容。

下面将分别对这些知识点进行总结。

一、数学本身的美感1. 数学的美学概念数学的美学概念是指人们在学习和探索数学时产生的审美情感和美感体验。

数学的美感来源于数学的简洁、优美和对称等特性。

人们在欣赏数学定理、证明和图形时，常常会被数学的美感所吸引。

2. 数学的美学形式数学的美学形式包括了数学符号、公式、函数图像等数学物体的形式美。

人们用数学符号和公式来描述数学定理和过程，这些符号和公式不仅具有严谨的逻辑思维，还具有美感的形式美。

3. 数学的美学故事数学的美学故事是指通过数学解题和证明过程，展现数学的美感。

在解决数学问题和证明定理的过程中，人们常常会体会到数学的美感和审美情感。

4. 数学的美学趣味数学的美学趣味是指人们在数学游戏和趣味问题中发现的美感。

数学游戏和趣味问题往往具有巧妙的设计和有趣的解法，激发了人们对数学的兴趣和爱好。

5. 数学的美学精神数学的美学精神是指数学思维和解题方法所展现出来的美感。

数学解题方法往往具有直观、简洁和深刻的特点，这种美感来源于数学的逻辑思维和抽象表达。

二、数学在艺术和建筑中的应用1. 几何艺术几何艺术是指艺术作品中运用几何形状和结构，从而产生美感的一种艺术表现形式。

几何图形在艺术作品中的运用，体现了数学在艺术中的应用和美学价值。

2. 数学建筑数学建筑是指在建筑设计和构造中运用数学知识和原理，来实现建筑美感和结构稳定的一种建筑艺术形式。

数学建筑不仅具有美学价值，还能提高建筑设计的质量和效果。

探索数学之美欣赏数学中的美学和奇妙之处探索数学之美：欣赏数学中的美学和奇妙之处数学是一门充满了奇特、美妙和神秘的学科。

它不仅是一种工具，用来解决日常生活中的问题，更是一门探索世界的艺术。

数学的美学和奇妙之处蕴含在各种数学概念、性质和公式中。

本文将带领读者探索数学之美，欣赏数学中的美学和奇妙之处。

I. 数学的美学：对称与比例之美美是一种对称的体现。

在数学中，对称是一种重要的性质。

它可以在几何学和代数学中找到。

例如在几何学中，正多边形的各个边和角都具有对称性，无论是三角形、四边形还是多边形。

这种对称性让我们感受到数学世界的秩序和和谐。

此外，比例也是数学中的美学之一。

比例在自然界和艺术中有着广泛的应用。

黄金分割是一种著名的比例，它能够呈现出一种得体而优雅的美感。

黄金分割不仅出现在自然界中的螺旋壳和花瓣中，还经常在建筑和艺术作品中运用。

II. 数学的奇妙之处：数列与无穷数列是数学中的一种基本概念，它是由一系列有序的数字组成的。

数学家通过研究数列，发现了许多令人惊奇的结果。

例如斐波那契数列，它的特点是每个数都是前两个数之和，形成了1、1、2、3、5、8、13...的数列。

斐波那契数列在自然界中的出现频率极高，这种规律性令人着迷。

另一个令人惊叹的数学概念是无穷。

无穷是一个令人无法想象的概念，它代表了无限的可能性。

数学中有无穷多个自然数、无穷多个有理数，甚至无穷多个实数。

无穷给数学家带来了巨大的挑战，也为他们提供了丰富的研究领域。

III. 数学的美学：图形与变换图形在数学中扮演了重要的角色，它们不仅可以用来描述几何形状，还可以帮助人们观察和分析数学关系。

圆、三角形、正多边形等各种图形都具有自己独特的美感。

变换是数学中另一个令人着迷的概念，它可以改变图形的位置、大小和形状，从而呈现出多种多样的美学效果。

常见的变换包括平移、旋转和镜像等。

通过变换，数学家能够探索出许多有趣的性质和规律，发现隐藏在图形中的美学之处。