【教育资料】人教版选修22：1.1.2导数的计算 学案(无答案)学习专用

∴
Δ Δ
y x＝
3x
20＋
3
x0Δ
x＋
(
Δ
x
)
2
，
∴ f ′ ( x0) ＝
[3 x20＋ 3x0Δ x＋ ( Δ x) 2] ＝ 3x20，
由 f ′（x0) ＝ 3 得 3x20＝ 3，∴ x0 ＝± 1.
6．设函数 f ( x) 在点 x0 附近有定义， 且有 f ( x0＋Δ x) － f ( x0) ＝ aΔ x＋ b( Δ x) 2( a，b 为常数 ) ，
s(
t
)
1 ＝2gt
2，g＝
9.8
2
m/s ，若
v＝
＝9.8 m/s ，那么下列说法中正确的是 ( C)
A． 9.8 m/s 是物体从 0 s 到 1 s 这段时间内的速度 B． 9.8 m/s 是物体从 1 s 到 (1 ＋Δ t ) s 这段时间内的速度 C． 9.8 m/s 是物体在 t ＝1 s 这一时刻的速率
＝
Δx
，当 x1 趋
于 x0，即Δ x 趋于 0 时，如果平均变化率趋于一个稳定值，那么这个值就是函数
y＝ f ( x) 在
x0 点的瞬时变化率．
2．函数 f ( x) 在 x＝ x0 处的导数：函数 f ( x) 在 x＝ x0 处的瞬时变化率称为函数 f ( x) 在 x
＝ x0 处 的 导 数 ， 记 作 f ′ ( x0) 或 y′｜x ＝ x0 ， 即 f ′（x0) ＝
x，则函
数的增量Δ y＝ ____________． 解析： Δ y＝ f (1 ＋Δ x) －f (1) ＝ [(1 ＋Δ x) 2＋ 1] － (1 2＋1) ＝ 2Δ x＋( Δ x) 2. 答案： 2Δ x＋ ( Δ x) 2

1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二) 学习目标 1.能利用导数的运算法则求函数的导数.2.了解复合函数的概念，掌握复合函数的求导法则．知识点一导数的运算法则已知f(x)＝x2，g(x)＝sin x，φ(x)＝3.思考1 试求f′(x)，g′(x)，φ′(x)．答f(x)＝2x，g′(x)＝cos x，φ′(x)＝0.思考2 如何求F(x)＝x2＋sin x，G(x)＝x2－sin x，H(x)＝x2sin x，M(x)＝sin xx2，Q(x)＝3sin x的导数．答F′(x)＝2x＋cos x，G′(x)＝2x－cos x，H′(x)＝2x sin x＋x2cos x，M′(x)＝sin x′x2－sin x x2′x22＝x2cos x－2x sin xx4＝x cos x－2sin xx3，Q′(x)＝3cos x.1．和差的导数[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)．2．积的导数(1)[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)．(2)[cf(x)]′＝cf′(x)．3．商的导数[f xg x]′＝f′x g x－f x g′x[g x]2(g(x)≠0)．知识点二复合函数的概念及求导法则已知函数y＝2x＋5＋ln x，y＝ln(2x＋5)，y＝sin(x＋2)．思考1 这三个函数都是复合函数吗？答函数y＝ln(2x＋5)，y＝sin(x＋2)是复合函数，函数y＝2x＋5＋ln x不是复合函数．思考2 试说明函数y＝ln(2x＋5)是如何复合的？答设u＝2x＋5，则y＝ln u，从而y＝ln(2x＋5)可以看作是由y＝ln u和u＝2x＋5，经过“复合”得到的，即y可以通过中间变量u表示为自变量x的函数．思考3 试求函数y ＝ln(2x ＋5)的导数． 答 y ′＝12x ＋5·(2x ＋5)′＝22x ＋5.复合函数 的概念 一般地，对于两个函数y ＝f (u )和u ＝g (x )，如果通过变量u ，y 可以表示成x 的函数，那么称这个函数为函数y ＝f (u )和u ＝g (x )的复合函数，记作y ＝f (g (x ))．复合函数的求导法则 复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y ′x ＝y ′u ·u ′x ，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积.类型一 应用导数的运算法则求导 例1 求下列函数的导数： (1)y ＝x 5＋x 7＋x 9x；(2)y ＝x 2＋1x 2＋3；(3)y ＝(x ＋1)(x ＋3)(x ＋5)；(4)y ＝x tan x . 解 (1)∵y ＝x 5＋x 7＋x 9x＝x 2＋x 3＋x 4，∴y ′＝(x 2)′＋(x 3)′＋(x 4)′＝2x ＋3x 2＋4x 3.(2)方法一 y ′＝x 2＋1′x 2＋3－x 2＋1x 2＋3′x 2＋32＝2x x 2＋3－2x x 2＋1x 2＋32＝4x x 2＋32.方法二 y ＝x 2＋1x 2＋3＝x 2＋3－2x 2＋3＝1－2x 2＋3，y ′＝(1－2x 2＋3)′＝(－2x 2＋3)′＝－2′x 2＋3－－2x 2＋3′x 2＋32＝4x x 2＋32.(3)方法一 y ′＝[(x ＋1)(x ＋3)]′(x ＋5)＋(x ＋1)(x ＋3)(x ＋5)′＝[(x ＋1)′(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋3)′](x ＋5)＋(x ＋1)(x ＋3)＝(2x ＋4)(x ＋5)＋(x ＋1)(x ＋3)＝3x 2＋18x ＋23. 方法二 y ＝(x ＋1)(x ＋3)(x ＋5)＝(x 2＋4x ＋3)(x ＋5) ＝x 3＋9x 2＋23x ＋15，y ′＝(x 3＋9x 2＋23x ＋15)′＝3x 2＋18x ＋23. (4)f ′(x )＝(x tan x )′＝(x sin xcos x )′＝x sin x ′cos x －x sin x cos x ′cos 2x＝sin x ＋x cos x cos x ＋x sin 2x cos 2x＝sin x cos x ＋x cos 2x.反思与感悟 1.解答此类问题时常因导数的四则运算法则不熟而失分．2．对一个函数求导时，要紧扣导数运算法则，联系基本初等函数的导数公式，当不易直接应用导数公式时，应先对函数进行化简(恒等变形)，然后求导．这样可以减少运算量，优化解题过程．3．利用导数法则求导的原则是尽可能化为和、差，利用和、差的求导法则求导，尽量少用积、商的求导法则求导．跟踪训练1 (1)若函数f (x )＝(x －1)(x －2)(x －3)(x －4)(x －5)，且f ′(x )是函数f (x )的导函数，则f ′(1)等于( )A ．24B ．－24C ．10D ．－10 (2)已知函数f (x )＝1x cos x ，则f ′(π2)等于( )A ．－2π B.2π C.1π D ．－1π(3)已知y ＝x 2－sin x 2cos x2，则y ′＝________.答案 (1)A (2)A (3)2x －12cos x解析 (1)f ′(x )＝(x －1)′[(x －2)(x －3)(x －4)(x －5)]＋(x －1)[(x －2)(x －3)(x －4)(x －5)]′＝(x －2)(x －3)(x －4)(x －5)＋(x －1)[(x －2)(x －3)(x －4)(x －5)]′.f ′(1)＝(1－2)·(1－3)·(1－4)·(1－5)＋0＝24.(2)f ′(x )＝cos x ′x －cos x x ′x 2＝－x sin x －cos xx2， f ′(π2)＝－π2π22＝－2π.(3)∵y ＝x 2－12sin x ，∴y ′＝2x －12cos x .类型二 复合函数的导数 例2 求下列函数的导数： (1)y ＝32x －1；(2)y ＝12x ＋14；(3)y ＝5log 3(1－x )；(4)y ＝x 2cos(2x －π3)．解 (1)函数y ＝32x －1看作函数y ＝3u 与函数u ＝2x －1的复合， ∴y ′＝y u ′·u x ′＝(3u )′·(2x －1)′ ＝(2ln 3)·3u ＝2·32x －1·ln 3. (2)y ＝12x ＋14＝(2x ＋1)－4，函数y ＝12x ＋14看作函数y ＝u －4与u ＝2x ＋1的复合．y ′＝y ′u ·u ′x ＝(u －4)′·(2x ＋1)′＝－4u －5×2＝－8(2x ＋1)－5 ＝－82x ＋15.(3)函数y ＝5log 3(1－x )看作函数y ＝5log 3u 与函数u ＝1－x 的复合．y ′＝y ′u u ′x ＝(5log 3u )′(1－x )′＝5u ln 3×(－1)＝5ln 3x －1.(4)函数t ＝cos(2x －π3)看作函数t ＝cos u 与u ＝2x －π3的复合．∴[cos(2x －π3)′]＝(cos u )′(2x －π3)′＝－2sin u ＝－2sin(2x －π3)．∴y ′＝(x 2)′cos(2x －π3)＋x 2[cos(2x －π3)]′＝2x cos(2x －π3)－2x 2sin(2x －π3)．反思与感悟 1.复合函数求导的步骤2．求复合函数的导数的注意点：(1)分解的函数通常为基本初等函数；(2)求导时分清是对哪个变量求导；(3)计算结果尽量简洁．跟踪训练2 (1)若f (x )＝(2x ＋a )2，且f ′(2)＝20，则a ＝________. (2)已知y ＝ln 3xex ，则y ′|x ＝1＝________.(3)已知y ＝sin 3x ＋cos 3x ，则y ′＝_______________________________________________. 答案 (1)1 (2)1－ln 3e (3)3sin 2x cos x －3sin 3x解析 (1)令u ＝2x ＋a ，y ′＝y ′u u ′x ＝[u 2]′(2x ＋a )′＝4(2x ＋a )， f ′(2)＝4(2×2＋a )＝20，∴a ＝1.(2)∵(ln 3x )′＝1x，∴y ′＝ln 3x ′e x －ln 3xe x ′e x 2＝1x－ln 3x e x＝1－x ln 3x x e x，y ′|x ＝1＝1－ln 3e.(3)y ′＝(sin 3x )′＋(cos 3x )′＝3sin 2x cos x －3sin 3x . 类型三 导数运算法则的综合应用例3 (1)在平面直角坐标系xOy 中，若曲线y ＝ax 2＋bx(a ，b 为常数)过点P (2，－5)，且该曲线在点P 处的切线与直线7x ＋2y ＋3＝0平行，则a ＋b 的值是______． 答案 －3解析 y ＝ax 2＋b x 的导数为y ′＝2ax －b x2， 直线7x ＋2y ＋3＝0的斜率为－72.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋b 2＝－5，4a －b 4＝－72，解得⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝－2，则a ＋b ＝－3.(2)已知函数f (x )＝ax 2＋ln x ，若该函数表示的曲线存在垂直于y 轴的切线，求实数a 的取值范围．解 因为曲线y ＝f (x )存在垂直于y 轴的切线，故此时切线斜率为0，问题转化为x >0范围内导函数f ′(x )＝2ax ＋1x存在零点，即f ′(x )＝0⇒2ax ＋1x＝0有正实数解，即2ax 2＝－1有正实数解，故有a <0， 所以实数a 的取值范围是(－∞，0)．反思与感悟 1.此类问题往往涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元素．其他的条件可以进行转化，从而转化为这三个要素间的关系．2．准确利用求导法则求出导函数是解决此类问题的第一步，也是解题的关键，务必做到准确．3．分清已知点是否在曲线上，若不在曲线上，则要设出切点，这是解题时的易错点． 跟踪训练3 (1)若曲线y ＝x ln x 上点P 处的切线平行于直线2x －y ＋1＝0，则点P 的坐标是________．(2)已知f (x )＝13x 3＋3xf ′(0)，则f ′(1)＝________.答案 (1)(e ，e) (2)1解析 (1)设P (x 0，y 0)，∵y ＝x ln x ，∴y ′＝ln x ＋x ·1x＝1＋ln x ，∴k ＝1＋ln x 0.又k ＝2，∴1＋ln x 0＝2，∴x 0＝e.∴y 0＝eln e ＝e. ∴点P 的坐标是(e ，e)．(2)f ′(x )＝x 2＋3f ′(0)，令x ＝0，则f ′(0)＝0， ∴f ′(1)＝12＋3f ′(0)＝1.1．设y ＝－2e x sin x ，则y ′等于( ) A ．－2e x cos x B ．－2e x sin xC ．2e x sin xD ．－2e x (sin x ＋cos x )答案 D解析 y ′＝－2(e x sin x ＋e x cos x )＝－2e x (sin x ＋cos x )． 2．函数y ＝cos x1－x 的导数是( )A.－sin x ＋x sin x 1－x 2B.x sin x －sin x －cos x 1－x 2C.cos x －sin x ＋x sin x 1－x 2D.cos x －sin x ＋x sin x 1－x答案 C 解析 y ′＝⎝⎛⎭⎪⎫cos x 1－x ′＝－sin x 1－x －cos x ·－11－x 2＝cos x －sin x ＋x sin x 1－x 2.3．已知f (x )＝ax 3＋3x 2＋2，若f ′(－1)＝4，则a 的值是( ) A.193 B.163 C.133 D.103 答案 D解析 ∵f ′(x )＝3ax 2＋6x ，∴f ′(－1)＝3a －6＝4， ∴a ＝103.4．设曲线y ＝e ax 在点(0,1)处的切线与直线x ＋2y ＋1＝0垂直，则a ＝________. 答案 2解析 由题意知y ′|x ＝0＝a e ax |x ＝0＝a ＝2.5．已知曲线C ：y ＝x 3－3x 2＋2x ，直线l ：y ＝kx ，且直线l 与曲线C 相切于点(x 0，y 0)(x 0≠0)，求直线l 的方程及切点坐标． 解 ∵直线l 过原点， ∴直线l 的斜率k ＝y 0x 0(x 0≠0)， ∵点(x 0，y 0)在曲线C 上，∴y 0＝x 30－3x 20＋2x 0，∴y 0x 0＝x 20－3x 0＋2，又y ′＝3x 2－6x ＋2，∴k ＝y ′|0x x ＝3x 20－6x 0＋2，又k ＝y 0x 0，∴3x 20－6x 0＋2＝y 0x 0＝x 20－3x 0＋2，整理得2x 20－3x 0＝0，∵x 0≠0，∴x 0＝32，此时，y 0＝－38，k ＝－14，∴直线l 的方程为y ＝－14x ，切点坐标为(32，－38)．1．导数的求法对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则．求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用．首先，在化简时，要注意化简的等价性，避免不必要的运算失误；其次，利用导数公式求函数的导数时，一定要将函数化为基本初等函数中的某一个，再套用公式求导数． 2．和与差的运算法则可以推广[f (x 1)±f (x 2)±…±f (x n )]′＝f ′(x 1)±f ′(x 2)±…±f ′(x n )． 3．积商的求导法则(1)若c 为常数，则[c ·f (x )]′＝c ·f ′(x )；(2)类比[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )·g (x )＋f (x )·g ′(x )记忆，[f xg x ]′＝f ′x ·g x －f x ·g ′x[g x ]2；(3)当f (x )＝1时有[1g x ]′＝－g ′x[g x ]2.4．复合函数求导的步骤(1)分清复合关系，适当选定中间变量，正确分解复合关系； (2)要弄清每一步求导是哪个变量按什么公式求导，不要混淆； (3)将中间变量代回到自变量(如对x )的函数．一、选择题1．下列各函数的导数：①(x )′＝12x 12-；②(a x )′＝a 2ln x ；③(sin 2x )′＝cos 2x ；④(x x ＋1)′＝1x ＋1.其中正确的有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 答案 B解析 (x )′＝(x 12)′＝12x 12-，①正确；(a x )′＝a x ln a ，②错误；(sin 2x )′＝cos 2x ·(2x )′＝2cos 2x ，③错误；(xx ＋1)′＝x ′·x ＋1－x ·x ＋1′x ＋12＝x ＋1－x x ＋12＝1x ＋12，④错误．故正确的只有1个．2．已知物体的运动方程是s ＝14t 4－4t 3＋16t 2(t 表示时间，s 表示位移)，则瞬时速度为0的时刻是( ) A ．0秒、2秒或4秒 B ．0秒、2秒或16秒 C ．2秒、8秒或16秒 D ．0秒、4秒或8秒答案 D解析 s ′＝t 3－12t 2＋32t ，令s ′＝0，即t 3－12t 2＋32t ＝0，解得t ＝0,4,8.3．若函数f (x )＝e x sin x ，则此函数图象在点(4，f (4))处的切线的倾斜角为( ) A.π2 B ．0 C ．钝角 D ．锐角 答案 C解析 f ′(x )＝e x sin x ＋e x cos x ，f ′(4)＝e 4(sin 4＋cos 4)． ∵π<4<32π，∴sin 4<0，cos 4<0，∴f ′(4)<0.由导数的几何意义得切线的倾斜角为钝角． 4．设曲线y ＝x ＋1x －1在点(3,2)处的切线与直线ax ＋y ＋1＝0垂直，则a 等于( ) A ．2 B.12 C ．－12 D ．－2答案 D 解析 ∵y ＝x ＋1x －1＝1＋2x －1， ∴y ′＝－2x －12.∴y ′|x ＝3＝－12. ∴－a ＝2，即a ＝－2.5．二次函数y ＝f (x )的图象过原点，且它的导函数y ＝f ′(x )的图象是过第一、二、三象限的一条直线，则函数y ＝f (x )的图象的顶点在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限答案 C解析 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，∵y ＝f (x )的图象过原点，∴c ＝0，f ′(x )＝2ax ＋b ， ∵y ＝f ′(x )的图象过第一、二、三象限，∴a >0，b >0，∵y ＝f (x )的图象顶点为(－b 2a ，－b 24a )，又－b 2a <0，－b 24a<0，故顶点在第三象限．6．设函数f (x )＝g (x )＋x 2，曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处切线的斜率为( )A ．4B ．－14C ．2D ．－12答案 A解析 依题意得f ′(x )＝g ′(x )＋2x ，f ′(1)＝g ′(1)＋2＝4.7．曲线y ＝e 12x 在点(4，e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( ) A.92e 2 B ．4e 2 C ．2e 2 D ．e 2 答案 D解析 ∵y ′＝e 12x ·12，∴y ′|x ＝4＝12e 2. ∴曲线在点(4，e 2)处的切线方程为y －e 2＝12e 2(x －4)， 切线与坐标轴的交点分别是(0，－e 2)，(2,0)，则切线与坐标轴围成的三角形面积S ＝12|－e 2||2|＝e 2. 二、填空题8．设函数f (x )在(0，＋∞)内可导，且f (e x )＝x ＋e x ，则f ′(1)＝________.答案 2解析 设e x ＝t ，则x ＝ln t (t >0)，∴f (t )＝ln t ＋t ，∴f ′(t )＝1t＋1，t ＝1时f ′(1)＝2. 9．若函数f (x )＝13x 3－f ′(－1)·x 2＋x ＋5，则f ′(1)＝________. 答案 6解析 ∵f (x )＝13x 3－f ′(－1)·x 2＋x ＋5， ∴f ′(x )＝x 2－2f ′(－1)·x ＋1，将x ＝－1代入上式得f ′(－1)＝1＋2f ′(－1)＋1，∴f ′(－1)＝－2，再令x ＝1，得f ′(1)＝6.10．已知曲线y ＝x ＋ln x 在点(1,1)处的切线与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，则a ＝________.答案 8解析 由y ＝x ＋ln x ，得y ′＝1＋1x， 得曲线在点(1,1)处的切线的斜率为k ＝y ′|x ＝1＝2，所以切线方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1，此切线与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，消去y 得ax 2＋ax ＋2＝0，得a ≠0且Δ＝a 2－8a ＝0，解得a ＝8.11．设函数f (x )＝cos(3x ＋φ)(0<φ<π)，若f (x )＋f ′(x )是奇函数，则φ＝________. 答案 π6解析 f ′(x )＝－3sin(3x ＋φ)，f (x )＋f ′(x )＝cos(3x ＋φ)－3sin(3x ＋φ)，令g (x )＝cos(3x ＋φ)－3sin(3x ＋φ)，∵其为奇函数，∴g (0)＝0即cos φ－3sin φ＝0，tan φ＝33， 又0<φ<π，∴φ＝π6. 三、解答题12．若存在过点(1,0)的直线与曲线y ＝x 3和y ＝ax 2＋154x －9都相切，求实数a 的值． 解 因为y ＝x 3，所以y ′＝3x 2，设曲线y ＝x 3上任意一点(x 0，x 30)处的切线方程为y －x 30＝3x 20(x －x 0)． 将(1,0)代入得x 0＝0或x 0＝32. ①当x 0＝0时，切线方程为y ＝0，则ax 2＋154x －9＝0， Δ＝(154)2－4a ×(－9)＝0得a ＝－2564. ②当x 0＝32时，切线方程为y ＝274x －274， 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝ax 2＋154x －9，y ＝274x －274，所以ax 2－3x －94＝0， Δ＝32－4a (－94)＝0，得a ＝－1，故a ＝－2564或a ＝－1. 13．设函数f (x )＝ax －b x，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0.(1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，并求此定值．(1)解 由7x －4y －12＝0得y ＝74x －3. 当x ＝2时，y ＝12，∴f (2)＝12，① 又f ′(x )＝a ＋b x 2，∴f ′(2)＝74，② 由①，②得⎩⎪⎨⎪⎧ 2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74.解之得⎩⎨⎧ a ＝1，b ＝3. 故f (x )＝x －3x. (2)证明 设P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由y ′＝1＋3x 2知，曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝(1＋3x 20)(x －x 0)， 即y －(x 0－3x 0)＝(1＋3x 20)(x －x 0)． 令x ＝0得y ＝－6x 0，从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为(0，－6x 0)． 令y ＝x 得y ＝x ＝2x 0，从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)．所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为12|－6x 0||2x 0|＝6. 故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为定值， 此定值为6.。

§1.1.2导数的概念教学目标：1．了解瞬时速度、瞬时变化率的概念；2．理解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵；3．会求函数在某点的导数教学重点：瞬时速度、瞬时变化率的概念、导数的概念；教学难点：导数的概念．教学过程：一．创设情景（一）平均变化率 （二）探究：计算运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度，并思考以下问题： ⑴运动员在这段时间内使静止的吗？⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？探究过程：如图是函数h (t )= -4.9t 2+6.5t +10的图像，结合图形可知，)0()4965(h h =， 所以)/(004965)0()4965(m s h h v =--=， 虽然运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度为)/(0m s ，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态． 二．新课讲授1．瞬时速度我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。

运动员的平均速度不能反映他在某一时刻的瞬时速度，那么，如何求运动员的瞬时速度呢？比如，2t =时的瞬时速度是多少？考察2t =附近的情况：思考：当t ∆趋近于0时，平均速度v 有什么样的变化趋势？结论：当t ∆趋近于0时，即无论t 从小于2的一边，还是从大于2的一边趋近于2时，平均速度v 都趋近于一个确定的值13.1-． 从物理的角度看，时间t ∆间隔无限变小时，平均速度v 就无限趋近于史的瞬时速度，因此，运动员在2t =时的瞬时速度是13.1/m s - 为了表述方便，我们用0(2)(2)lim 13.1t h t h t∆→+∆-=-∆ 表示“当2t =，t ∆趋近于0时，平均速度v 趋近于定值13.1-”小结：局部以匀速代替变速，以平均速度代替瞬时速度，然后通过取极限，从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。

2 导数的概念从函数y =f (x )在x =x 0处的瞬时变化率是:0000()()lim lim x x f x x f x f x x∆→∆→+∆-∆=∆∆ 我们称它为函数()y f x =在0x x =出的导数，记作'0()f x 或0'|x x y =，即 0000()()()lim x f x x f x f x x∆→+∆-'=∆ 说明：（1）导数即为函数y =f (x )在x =x 0处的瞬时变化率（2）0x x x ∆=-，当0x ∆→时，0x x →，所以0000()()()limx f x f x f x x x ∆→-'=- 三．典例分析例1．（1）求函数y =3x 2在x =1处的导数.分析：先求Δf =Δy =f (１＋Δx )-f (１)=6Δx +(Δx )2再求6f x x∆=+∆∆再求0lim 6x f x ∆→∆=∆ 解：法一（略）法二：222211113313(1)|lim lim lim3(1)611x x x x x x y x x x =→→→-⋅-'===+=-- （2）求函数f (x )=x x +-2在1x =-附近的平均变化率，并求出在该点处的导数． 解：x xx x x y ∆-=∆-∆+-+∆+--=∆∆32)1()1(2 200(1)(1)2(1)lim lim(3)3x x y x x f x x x∆→∆→∆--+∆+-+∆-'-===-∆=∆∆ 例2．（课本例1）将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热，如果第xh 时，原油的温度（单位：C）为2()715(08)f x x x x =-+≤≤，计算第2h 时和第6h 时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义．解：在第2h 时和第6h 时，原油温度的瞬时变化率就是'(2)f 和'(6)f 根据导数定义，0(2)()f x f x f x x+∆-∆=∆∆ 22(2)7(2)15(27215)3x x x x+∆-+∆+--⨯+==∆-∆ 所以00(2)lim lim (3)3x x f f x x ∆→∆→∆'==∆-=-∆ 同理可得:(6)5f '=在第2h 时和第6h 时，原油温度的瞬时变化率分别为3-和5，说明在2h 附近，原油温度大约以3/C h 的速率下降，在第6h 附近，原油温度大约以5/C h的速率上升． 注：一般地，'0()f x 反映了原油温度在时刻0x 附近的变化情况．四．课堂练习1．质点运动规律为32+=t s ，求质点在3t =的瞬时速度为． 2．求曲线y =f (x )=x 3在1x =时的导数．3．例2中，计算第3h 时和第5h 时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义．五．回顾总结1．瞬时速度、瞬时变化率的概念2．导数的概念六．布置作业。

§1.1.2导数的概念教学目标1．了解瞬时速度、瞬时变化率的概念；2．理解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵；3．会求函数在某点的导数教学重点：瞬时速度、瞬时变化率的概念、导数的概念；教学难点：导数的概念．教学过程：一．创设情景 （一）平均变化率（二）探究：计算运动员在49650≤≤t这段时间里的平均速度，并思考以下问题：⑴运动员在这段时间内使静止的吗？⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？探究过程：如图是函数h (t )= -4.9t 2+6.5t +10的图像，结合图形可知，)0()4965(h h =， 所以)/(004965)0()4965(m s h h v =--=， 虽然运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度为)/(0m s ，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态． 二．新课讲授1．瞬时速度我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。

运动员的平均速度不能反映他在某一时刻的瞬时速度，那么，如何求运动员的瞬时速度呢？比如，2t =时的瞬时速度是多少？考察2t =附近的情况：ht o思考：当t ∆趋近于0时，平均速度v 有什么样的变化趋势？ 结论：当t ∆趋近于0时，即无论t 从小于2的一边，还是从大于2的一边趋近于2时，平均速度v 都趋近于一个确定的值13.1-．从物理的角度看，时间t ∆间隔无限变小时，平均速度v 就无限趋近于史的瞬时速度，因此，运动员在2t =时的瞬时速度是13.1/m s -为了表述方便，我们用0(2)(2)lim 13.1t h t h t∆→+∆-=-∆ 表示“当2t =，t ∆趋近于0时，平均速度v 趋近于定值13.1-”小结：局部以匀速代替变速，以平均速度代替瞬时速度，然后通过取极限，从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。

2 导数的概念从函数y =f (x )在x =x 0处的瞬时变化率是:0000()()lim lim x x f x x f x f x x∆→∆→+∆-∆=∆∆ 我们称它为函数()y f x =在0x x =出的导数，记作'0()f x 或0'|x x y =，即0000()()()lim x f x x f x f x x∆→+∆-'=∆ 说明：（1）导数即为函数y =f (x )在x =x 0处的瞬时变化率 （2）0x x x ∆=-，当0x ∆→时，0x x →，所以0000()()()limx f x f x f x x x ∆→-'=- 三．典例分析例1．（1）求函数y =3x 2在x =1处的导数.分析：先求Δf =Δy =f (１＋Δx )-f (１)=6Δx +(Δx )2再求6f x x ∆=+∆∆再求0lim 6x f x∆→∆=∆ 解：法一（略）法二：222211113313(1)|lim lim lim3(1)611x x x x x x y x x x =→→→-⋅-'===+=-- （2）求函数f (x )=x x +-2在1x =-附近的平均变化率，并求出在该点处的导数． 解：x xx x x y ∆-=∆-∆+-+∆+--=∆∆32)1()1(2 200(1)(1)2(1)lim lim (3)3x x y x x f x x x∆→∆→∆--+∆+-+∆-'-===-∆=∆∆例2．（课本例1）将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热，如果第xh 时，原油的温度（单位：C ）为2()715(08)f x x x x =-+≤≤，计算第2h 时和第6h 时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义．解：在第2h 时和第6h 时，原油温度的瞬时变化率就是'(2)f 和'(6)f 根据导数定义，0(2)()f x f x f x x+∆-∆=∆∆ 22(2)7(2)15(27215)3x x x x+∆-+∆+--⨯+==∆-∆ 所以00(2)lim lim(3)3x x f f x x ∆→∆→∆'==∆-=-∆ 同理可得:(6)5f '=在第2h 时和第6h 时，原油温度的瞬时变化率分别为3-和5，说明在2h 附近，原油温度大约以3/C h 的速率下降，在第6h 附近，原油温度大约以5/C h 的速率上升．注：一般地，'0()f x 反映了原油温度在时刻0x 附近的变化情况．四．课堂练习1．质点运动规律为32+=t s ，求质点在3t =的瞬时速度为．2．求曲线y =f (x )=x 3在1x =时的导数．3．例2中，计算第3h 时和第5h 时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义．五．回顾总结1．瞬时速度、瞬时变化率的概念2．导数的概念六．布置作业。