山东2021新高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用2.10变化率与导数导数的计算学案含解析.doc

第2课时 利用导数证明不等式构造函数证明不等式：构造法证明不等式是指在证明与函数有关的不等式时，根据所要证明的不等式，构造与之相关的函数，利用函数单调性、极值、最值加以证明．常见的构造方法有：(1)直接构造法：证明不等式f (x )>g (x )(f (x )<g (x ))转化为证明f (x )－g (x )>0(f (x )－g (x )<0)，进而构造辅助函数h (x )＝f (x )－g (x )；(2)适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩，二是利用常见的放缩结论，如ln x ≤x －1，e x ≥x ＋1，ln x <x <e x (x >0)，x x ＋1≤ln(x ＋1)≤x (x >－1)；(3)特征分析构造法：稍作变形再构造，对原不等式同解变形，如移项、通分、取对数，把不等式转化为左、右两边是相同结构的式子的形式，根据“相同结构”构造辅助函数；(4)构造双函数：若直接构造函数求导难以判断符号，导函数零点也不易求得，因此函数单调性与极值点都不易获得，则可构造函数f (x )和g (x )，利用其最值求解．方法1 直接构造差函数法【例1】 已知函数f (x )＝1－ln x x ，g (x )＝a e e x ＋1x －bx (e 为自然对数的底数)，若曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )的一个公共点是A (1,1)，且在点A 处的切线互相垂直．(1)求a ，b 的值；(2)求证：当x ≥1时，f (x )＋g (x )≥2x. 【解】 (1)因为f (x )＝1－ln x x， 所以f ′(x )＝ln x －1x2，f ′(1)＝－1. 因为g (x )＝a e e x ＋1x －bx ，所以g ′(x )＝－a e e x －1x2－b . 因为曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )的一个公共点是A (1,1)，且在点A 处的切线互相垂直， 所以g (1)＝1，且f ′(1)·g ′(1)＝－1，即g (1)＝1＋a －b ＝1，g ′(1)＝－a －1－b ＝1，解得a ＝－1，b ＝－1.(2)证明：由(1)知，g (x )＝－e e x ＋1x ＋x ， 则f (x )＋g (x )≥2x ⇔1－ln x x －e e x －1x＋x ≥0. 令h (x )＝1－ln x x －e e x －1x＋x (x ≥1)， 则h ′(x )＝－1－ln x x 2＋e e x ＋1x 2＋1＝ln x x 2＋e ex ＋1. 因为x ≥1，所以h ′(x )＝ln x x 2＋e ex ＋1>0， 所以h (x )在[1，＋∞)上单调递增，所以h (x )≥h (1)＝0，即1－ln x x －e e x －1x＋x ≥0， 所以当x ≥1时，f (x )＋g (x )≥2x. 方法技巧待证不等式的两边含有同一个变量时，一般地，可以直接构造“左减右”的函数，利用导数研究其单调性，借助所构造函数的单调性即可得证.已知函数f (x )＝x 2e 2x －2.(1)求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(2)当x ∈[0,2]时，求证：f (x )≥－2x 2＋8x －5.解：(1)f ′(x )＝2e 2x －2(x 2＋x )，f ′(1)＝4，f (1)＝1，则曲线y ＝f (x )在点(1,1)处的切线方程为y －1＝4(x －1)，即y ＝4x －3.(2)证明：当x ∈[0,2]时，令g (x )＝x 2e 2x －2＋2x 2－8x ＋5，则g ′(x )＝2e 2x －2(x 2＋x )＋4x －8，令h (x )＝g ′(x )，则h ′(x )＝2e 2x －2(2x 2＋4x ＋1)＋4>0，所以g ′(x )在[0,2]上单调递增，且g ′(1)＝0，所以g (x )在[0,1]上单调递减，在[1,2]上单调递增，所以g (x )的最小值为g (1)＝0，所以g (x )≥0，即f (x )≥－2x 2＋8x －5.方法2 特征分析构造法【例2】 已知函数f (x )＝ln x ＋ax ，a ∈R .(1)讨论函数f (x )的单调区间；(2)当a ＝34时，证明：x 3>f (x )． 【解】 (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)．由已知得f ′(x )＝1x ＋a ＝ax ＋1x(x >0)， 则①当a ≥0时，f ′(x )≥0恒成立，此时f (x )在(0，＋∞)上单调递增．②当a <0时，令f ′(x )>0，得x <－1a ，则f (x )在(0，－1a )上单调递增，在(－1a，＋∞)上单调递减．综上所述，当a ≥0时，f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)；当a <0时，f (x )的单调递增区间为(0，－1a )，单调递减区间为(－1a，＋∞)． (2)当a ＝34时，x 3>f (x )可化为x 2－34>ln x x. 令m (x )＝x －1－ln x x ，x >0，则m ′(x )＝x 2＋ln x －1x 2(x >0)，令h (x )＝x 2＋ln x －1，x >0，则h ′(x )＝2x ＋1x>0，所以h (x )在(0，＋∞)上单调递增， 又h (1)＝0，所以当x ∈(0,1)时，h (x )<0，则m ′(x )<0；当x ∈(1，＋∞)时，h (x )>0，则m ′(x )>0，所以m (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以m (x )≥m (1)＝0，即x －1≥ln x x ，当且仅当x ＝1时，等号成立．又x 2－34－(x －1)＝x 2－x ＋14＝(x －12)2≥0，所以x 2－34≥x －1，当且仅当x ＝12时，等号成立．故x 2－34>ln x x ，即x 2>ln x x ＋34，即x 3>ln x ＋34x ，即x 3>f (x )．方法技巧用特征分析构造法证明不等式，就是将一些复杂函数通过等价变形或合理拆分，得到一些熟悉的基本初等函数，然后利用这些基本初等函数的性质和图象等，进行合理放缩，这样可以大大减少运算量，降低思维难度，进而使问题更易解答.已知函数f (x )＝ax ＋b x 2＋1在点(－1，f (－1))处的切线方程为x ＋y ＋3＝0. (1)求函数f (x )的解析式；(2)设g (x )＝ln x ，求证：g (x )≥f (x )在[1，＋∞)上恒成立．解：(1)将x ＝－1代入切线方程得y ＝－2，所以f (－1)＝b －a 1＋1＝－2， 化简得b －a ＝－4.①f ′(x )＝a (x 2＋1)－(ax ＋b )·2x (x 2＋1)2， f ′(－1)＝2a ＋2(b －a )4＝－1.② 联立①②，解得a ＝2，b ＝－2.所以f (x )＝2x －2x 2＋1.(2)证明：由题意知要证ln x ≥2x －2x 2＋1在[1，＋∞)上恒成立， 即证明(x 2＋1)ln x ≥2x －2，x 2ln x ＋ln x －2x ＋2≥0在[1，＋∞)上恒成立．设h (x )＝x 2ln x ＋ln x －2x ＋2，则h ′(x )＝2x ln x ＋x ＋1x－2，因为x ≥1，所以2x ln x ≥0，x ＋1x ≥2·x ·1x＝2(当且仅当x ＝1时等号成立)，即h ′(x )≥0， 所以h (x )在[1，＋∞)上单调递增，h (x )≥h (1)＝0，所以g (x )≥f (x )在[1，＋∞)上恒成立．方法3 放缩法【例3】 已知函数f (x )＝ax －ln x －1.(1)若f (x )≥0恒成立，求a 的最小值；(2)求证：e －xx＋x ＋ln x －1≥0； (3)已知k (e －x ＋x 2)≥x －x ln x 恒成立，求k 的取值范围．【解】 (1)f (x )≥0等价于a ≥ln x ＋1x. 令g (x )＝ln x ＋1x (x >0)，则g ′(x )＝－ln x x2， 所以当x ∈(0,1)时，g ′(x )>0，当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )<0，则g (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，所以g (x )max ＝g (1)＝1，则a ≥1，所以a 的最小值为1.(2)证明：当a ＝1时，由(1)得x ≥ln x ＋1，即t ≥ln t ＋1(t >0)．令e －xx＝t ，则－x －ln x ＝ln t ， 所以e －x x ≥－x －ln x ＋1，即e －xx＋x ＋ln x －1≥0. (3)因为k (e －x ＋x 2)≥x －x ln x 恒成立，即k ⎝ ⎛⎭⎪⎫e －x x ＋x ≥1－ln x 恒成立， 所以k ≥1－ln x e －x x ＋x ＝－e －xx ＋x ＋ln x －1e －x x＋x ＋1， 由(2)知e －xx＋x ＋ln x －1≥0恒成立， 所以－e －xx ＋x ＋ln x －1e －x x＋x ＋1≤1，所以k ≥1. 故k 的取值范围为[1，＋∞)．方法技巧导数的综合应用题中，最常见就是e x 和ln x 与其他代数式结合的难题，对于这类问题，可以先对e x 和ln x 进行放缩，使问题简化，便于化简或判断导数的正负.常见的放缩公式如下：(1)e x ≥1＋x ，当且仅当x ＝0时取等号；(2)e x ≥e x ，当且仅当x ＝1时取等号；已知函数f (x )＝x e x ＋x 2＋ax ＋b ，曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为4x －2y －3＝0.(1)求a ，b 的值；(2)证明：f (x )>ln x .解：(1)f ′(x )＝(x ＋1)e x ＋2x ＋a ，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(0)＝1＋a ＝2，f (0)＝b ＝－32，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝－32.(2)由(1)知，f (x )＝x e x ＋x 2＋x －32. 先证当x ≥0时，f (x )≥2x －32， 即证x e x ＋x 2－x ≥0.设g (x )＝x e x ＋x 2－x ，x ≥0，则g ′(x )＝(x ＋1)e x ＋2x －1，g ′(0)＝0.设φ(x )＝g ′(x )，则φ′(x )＝(x ＋2)e x ＋2>0，所以函数g ′(x )在[0，＋∞)上单调递增，故g ′(x )≥g ′(0)＝0，所以函数g (x )在[0，＋∞)上单调递增，则当x ≥0时，g (x )＝x e x ＋x 2－x ≥g (0)＝0.(也可直接分析x e x ＋x 2＋x －32≥2x －32⇔x e x ＋x 2－x ≥0⇔e x ＋x －1≥0，显然成立)．再证2x －32>ln x ，设h (x )＝2x －32－ln x ， 则h ′(x )＝2－1x ＝2x －1x ，令h ′(x )＝0，得x ＝12，则当x ∈(0，12)时，h ′(x )<0，函数h (x )单调递减；当x ∈(12，＋∞)时，h ′(x )>0，函数h (x )单调递增． 所以h (x )＝2x －32－ln x ≥h (12)＝－12＋ln2>0， 即有2x －32>ln x ， 又f (x )＝x e x ＋x 2＋x －32>2x －32(x >0)， 故f (x )>ln x .方法4 构造双函数法【例4】 已知函数f (x )＝e x 2－x ln x .求证：当x >0时，f (x )<x e x ＋1e. 【证明】 要证f (x )<x e x ＋1e ，只需证e x －ln x <e x ＋1e x ，即e x －e x <ln x ＋1e x. 令h (x )＝ln x ＋1e x (x >0)，则h ′(x )＝e x －1e x 2， 易知h (x )在⎝⎛⎭⎫0，1e 上单调递减，在⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞上单调递增，则h (x )min ＝h ⎝⎛⎭⎫1e ＝0，所以ln x ＋1e x≥0. 再令φ(x )＝e x －e x ，则φ′(x )＝e －e x ，易知φ(x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，则φ(x )max ＝φ(1)＝0，所以e x －e x ≤0.因为h (x )与φ(x )不同时为0，所以e x －e x <ln x ＋1e x，故原不等式成立．方法技巧若直接求导比较复杂或无从下手时，可将待证式进行变形，构造两个都便于求导的函数，从而找到可以传递的中间量，达到证明的目标.已知函数f (x )＝12x 2，g (x )＝a ln x (a >0)． (1)求函数h (x )＝f (x )g (x )的极值；(2)求证：当x >0时，不等式ln x ＋34x 2－1ex >0成立．(其中e 为自然对数的底数，e ＝2.718 28…)解：(1)F (x )＝f (x )g (x )＝12ax 2ln x (x >0)， ∴F ′(x )＝ax ln x ＋12ax ＝ax ⎝⎛⎭⎫ln x ＋12，(2)令G (x )＝x 2e x －34，则G ′(x )＝x (2－x )e x， 当x ∈(0,2)时，G ′(x )>0，G (x )单调递增；当x ∈(2，＋∞)时，G ′(x )<0，G (x )单调递减，则G (x )max ＝G (2)＝4e 2－34， 而4e 2－34－⎝⎛⎭⎫－12e ＝(8－3e )(2＋e )4e 2<0， 因此x 2ln x ≥－12e >4e 2－34≥x 2e x －34，原不等式得证．。

第十节变化率与导数、导数的运算授课提示：对应学生用书第37页［基础梳理］1．导数的概念（1）函数y＝f(x)在x＝x0处导数的定义称函数y＝f（x）在x＝x0处的瞬时变化率＝错误!为函数y＝f（x)在x＝x0处的导数,记作f′（x0）或y′|x＝x0，即f′（x0）＝错误!＝．(2）导数的几何意义函数f（x）在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0,y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s（t)对时间t 的导数）．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．（3）函数f（x)的导函数称函数f′(x)＝错误!为f(x)的导函数．2原函数导函数f（x）＝c(c为常数)f′(x)＝0f（x)＝xα(α∈Q＊）f′(x)＝αxα－1f(x）＝sin x f′(x)＝cos__xf(x）＝cos x f′（x）＝－sin__xf（x）＝a x(a＞0，且a≠1）f′（x)＝a x ln__af(x）＝e x f′（x）＝e x f(x)＝log a x（a＞0,且a≠1）f′(x）＝错误!f（x)＝ln x f′（x)＝错误!3.导数的运算法则（1）[f(x)±g(x）］′＝f′(x）±g′(x)．(2）［f（x)·g（x）］′＝f′（x)g(x）＋f（x)g′（x)．（3）错误!′＝错误!(g（x）≠0)．1．求导其实质是一种数学运算即求导运算，有公式和法则，也有相应的适用范围或成立条件,要注意这一点，如(x n）′＝nx n－1中,n≠0且n∈Q*.错误!′＝错误!，要满足“＝”前后各代数式有意义，且导数都存在．2．(1)f′（x0)代表函数f（x）在x＝x0处的导数值；(f（x0））′是函数值f(x0）的导数,而函数值f(x0)是一个常量，其导数一定为0，即(f(x0)）′＝0.(2）f′（x)是一个函数，与f′(x0）不同．3．（1）“过”与“在”：曲线y＝f（x)“在点P（x0，y0）处的切线”与“过点P(x0,y0)的切线”的区别：前者P（x0，y0)为切点，而后者P（x0，y0)不一定为切点．(2)“切点”与“公共点”:曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个,而直线与二次曲线相切只有一个公共点．[四基自测]1．（基础点：求导数值)若f(x）＝x·e x，则f′（1)等于(）A．0B．eC．2e D．e2答案：C2．（易错点：导数的运算)已知f（x)＝x·ln x,则f′（x）＝（) A。

课时提升作业十三变化率与导数、导数的计算(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.函数y=x2cosx在x=1处的导数是( )A.0B.2cos1-sin1C.cos1-sin1D.1【解析】选B.因为y′=(x2cosx)′=(x2)′cosx+x2(cosx)′=2xcosx-x2sinx,所以y′|x=1=2cos1-sin1.2.已知f(x)=x(2014+lnx),f′(x0)=2015,则x0=()A.e2B.1C.ln2D.e【解析】选B.由题意可知f′(x)=2014+lnx+x·=2015+lnx.由f′(x0)=2015,得lnx0=0,解得x0=1.3.已知函数f(x)=e x,则当x1<x2时,下列结论正确的是( )A.>B.<C.>D.<【解析】选C.设A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2)),则表示曲线f(x)=e x在B点处的切线的斜率,而表示直线AB的斜率,由数形结合可知:>.4.(2016·临川模拟)若幂函数f(x)=mxα的图象经过点A,则它在点A处的切线方程是( )A.2x-y=0B.2x+y=0C.4x-4y+1=0D.4x+4y+1=0【解析】选 C.根据函数f(x)=mxα为幂函数,所以m=1,根据图象经过点A,则有α=,所以f(x)=,f′(x)=,f′=1,根据直线方程的点斜式,求得切线方程是4x-4y+1=0.【加固训练】(2016·保定模拟)已知曲线y=lnx的切线过原点,则此切线的斜率为( )A.eB.-eC.D.-【解析】选 C.y=lnx的定义域为(0,+∞),设切点为(x0,y0),则k=y′=,所以切线方程为y-y0=(x-x0),又切线过点(0,0),代入切线方程得y0=1,则x0=e,所以k=y′==.5.(2016·泸州模拟)若存在过点(1,0)的直线与曲线y=x3和y=ax2+x-9都相切,则a等于( )A.-1或-B.-1或C.-或-D.-或7【解题提示】点(1,0)不在曲线y=x3上,只是曲线y=x3的特定切线经过点(1,0),故设出切点坐标,写出切线方程,把点(1,0)代入切线方程求得切点坐标,得出切线方程后,再根据切线与y=ax2+x-9相切求出a值. 【解析】选A.设过点(1,0)的直线与y=x3相切于点(x0,),所以切线方程为y-=3(x-x0),即y=3x-2,又(1,0)在切线上,则x0=0或x0=,当x0=0时,由y=0与y=ax2+x-9相切可得a=-,当x0=时,由y=x-与y=ax2+x-9相切可得a=-1.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2016·湖南十二校联考)若函数f(x)=lnx-f′(-1)x2+3x-4,则f′(1)=.【解析】因为f′(x)=-2f′(-1)x+3,所以f′(-1)=-1+2f′(-1)+3,解得f′(-1)=-2,所以f′(1)=1+4+3=8.答案:8【加固训练】已知f(x)=x2+2xf′(2014)+2014lnx,则f′(2014)=.【解析】由题意得f′(x)=x+2f′(2014)+,所以f′(2014)=2014+2f′(2014)+,即f′(2014)=-(2014+1)=-2015.答案:-2015。

第二章函数、导数及其应用第一节函数及其表示课标要求考情分析1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域．2．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．3．了解简单的分段函数，并能简单应用．1.主要考查函数的概念、定义域及解析式的确定与应用，分段函数更是考查的热点．2．题型主要以选择题、填空题为主，要求相对较低，但内容很重要，特别是函数的解析式，对以后研究函数的性质有很重要的作用.知识点一函数函数两集合A，B设A，B是非空的数集对应关系f：A→B 如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应名称称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数记法y＝f(x)，x∈A知识点二函数的有关概念1．函数的定义域、值域：在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．2．函数的三要素：定义域、值域和对应关系．3．相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，那么这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．4．函数的表示法：解析法、图象法、列表法．知识点三分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．1.分段函数虽由几个部分构成，但它表示同一个函数．2．分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．3．各段函数的定义域不可以相交．1．思考辨析判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)函数y＝1与y＝x0是同一个函数．(×)(2)对于函数f：A→B，其值域是集合B．(×)(3)f(x)＝x－3＋2－x是一个函数．(×)(4)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等．(×)解析：(1)错误．函数y＝1的定义域为R，而y＝x0的定义域为{x|x≠0}，其定义域不同，故不是同一函数．(2)错误．值域C⊆B，不一定有C＝B．(3)错误．f(x)＝x－3＋2－x中x不存在．(4)错误．当两个函数的定义域、对应法则均对应相同时，才是相等函数．2．小题热身(1)若函数y＝f(x)的定义域为M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y＝f(x)的图象可能是(B)(2)下列函数中，与函数y ＝x ＋1是相等函数的是( B ) A ．y ＝(x ＋1)2 B ．y ＝3x 3＋1 C ．y ＝x 2x＋1D ．y ＝x 2＋1(3)已知f (x 5)＝lg x ，则f (2)＝( A ) A ．15lg 2B ．12lg 5C ．13lg 2D ．12lg 3(4)函数f (x )＝4－4x ＋ln(x ＋4)的定义域为(－4,1]． (5)已知函数f (x )＝ax 3－2x 的图象过点(－1,4)，则a ＝－2.解析：(1)A 中函数定义域不是[－2,2]；C 中图象不表示函数；D 中函数值域不是[0,2]． (2)对于A ，函数y ＝(x ＋1)2的定义域为{x |x ≥－1}，与函数y ＝x ＋1的定义域不同，不是相等函数；对于B ，定义域和对应法则分别对应相同，是相等函数；对于C ，函数y ＝x 2x ＋1的定义域为{x |x ≠0}，与函数y ＝x ＋1的定义域x ∈R 不同，不是相等函数；对于D ，定义域相同，但对应法则不同，不是相等函数．(3)令x 5＝2，则x ＝2 15， ∴f (2)＝lg 215 ＝15lg 2.(4)要使f (x )有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧4－4x≥0，x ＋4>0，解得－4<x ≤1.(5)由题意知点(－1,4)在函数f (x )＝ax 3－2x 的图象上，所以4＝－a ＋2，则a ＝－2.考点一 求函数的定义域命题方向1 已知函数解析式求定义域【例1】 (2019·江苏卷)函数y ＝7＋6x －x 2的定义域是________．【解析】 要使函数有意义，则7＋6x －x 2≥0，解得－1≤x ≤7，则函数的定义域是[－1,7]．【答案】 [－1,7]命题方向2 求抽象函数的定义域【例2】 已知函数f (x )的定义域为[0,2]，则函数g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫12x ＋8－2x 的定义域为( ) A ．[0,3] B ．[0,2] C ．[1,2]D ．[1,3]【解析】 由题意，可知x 满足⎩⎪⎨⎪⎧0≤12x ≤2，8－2x ≥0，解得0≤x ≤3，即函数g (x )的定义域为[0,3]，故选A ．【答案】 A命题方向3 求参数取值范围【例3】 (1)若函数y ＝mx －1mx 2＋4mx ＋3的定义域为R ，则实数m 的取值范围是( )A ．⎝⎛⎦⎤0，34B ．⎝⎛⎭⎫0，34 C ．⎣⎡⎦⎤0，34 D ．⎣⎡⎭⎫0，34 (2)若函数f (x )＝ax 2＋abx ＋b 的定义域为{x |1≤x ≤2}，则a ＋b 的值为________．【解析】 (1)∵函数y ＝mx －1mx 2＋4mx ＋3的定义域为R ，∴mx 2＋4mx ＋3≠0，∴m ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧m ≠0，Δ＝16m 2－12m <0，即m ＝0或0<m <34，∴实数m 的取值范围是⎣⎡⎭⎫0，34. (2)∵函数f (x )＝ax 2＋abx ＋b 的定义域为{x |1≤x ≤2}，∴⎩⎪⎨⎪⎧a <0，f (1)＝0，f (2)＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－32，b ＝－3，∴a ＋b ＝－92.【答案】 (1)D (2)－92方法技巧例1是根据具体的函数解析式求定义域，已知解析式的函数，其定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合，求解时只要根据函数解析式列出自变量满足的不等式(组)，得出不等式(组)的解集即可.例2是求抽象函数的定义域，有如下解法：(1)若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，则复合函数f (g (x ))的定义域由不等式a ≤g (x )≤b 求出；(2)若已知函数f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]上的值域. 例3是例1的逆运用，通常是转化为含参数的不等式求解.1．(方向1)y ＝x －12x－log 2(4－x 2)的定义域是( C ) A ．(－2,0)∪(1,2) B ．(－2,0]∪(1,2) C ．(－2,0)∪[1,2)D ．[－2,0]∪[1,2]解析：要使函数有意义，则⎩⎨⎧x －12x≥0，x ≠0，4－x 2>0，解得x ∈(－2，0)∪[1,2)，即函数的定义域是(－2,0)∪[1,2)．2．(方向2)已知函数y ＝f (x 2－1)的定义域为[－3，3]，则函数y ＝f (x )的定义域为[－1,2]．解析：因为y ＝f (x 2－1)的定义域为[－3，3]，所以x ∈[－3，3]，x 2－1∈[－1,2]，所以y ＝f (x )的定义域为[－1，2]．3．(方向3)若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1的定义域为实数集R ，则实数a 的取值范围为[－2,2]． 解析：若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1的定义域为实数集R ，则x 2＋ax ＋1≥0恒成立，即Δ＝a 2－4≤0，解得－2≤a ≤2，即实数a 的取值范围是[－2,2]．考点二 求函数的解析式【例4】 (1)已知f (x )是二次函数且f (0)＝2，f (x ＋1)－f (x )＝x －1，则f (x )＝________. (2)已知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f (x )＝2f ⎝⎛⎭⎫1x ·x －1，则f (x )＝________. (3)已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，求f (x )的解析式．【解析】 (1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由f (0)＝2，得c ＝2，f (x ＋1)－f (x )＝a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋2－ax 2－bx －2＝x －1，即2ax ＋a ＋b ＝x －1，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝1，a ＋b ＝－1，即⎩⎨⎧a ＝12，b ＝－32.所以f (x )＝12x 2－32x ＋2.(2)在f (x )＝2f ⎝⎛⎭⎫1x ·x －1中，将x 换成1x ，则1x 换成x ，得f ⎝⎛⎭⎫1x ＝2f (x )·1x－1，由⎩⎨⎧f (x )＝2f ⎝⎛⎭⎫1x ·x －1，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝2f (x )·1x－1，解得f (x )＝23x ＋13.(3)设t ＝x ＋1，则x ＝(t －1)2(t ≥1)；代入原式有f (t )＝(t －1)2＋2(t －1)＝t 2－2t ＋1＋2t －2＝t 2－1.故f (x )＝x 2－1(x ≥1)． 【答案】 (1)12x 2－32x ＋2(2)23x ＋13 (3)见解析 方法技巧 函数解析式的求法(1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法.(2)换元法：已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围. (3)配凑法：由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，便得f (x )的解析式.(4)消去法：已知f (x )与f ⎝⎛⎭⎫1x 或f (－x )之间的关系式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f (x ).1．已知函数f (2x －1)＝4x ＋3，且f (t )＝6，则t ＝( A ) A ．12B ．13C ．14D ．15解析：设t ＝2x －1，则x ＝t ＋12，故f (t )＝4×t ＋12＋3＝2t ＋5，令2t ＋5＝6，则t ＝12，故选A ．2．若f (x )对于任意实数x 恒有3f (x )－2f (－x )＝5x ＋1，则f (x )＝( A ) A ．x ＋1 B ．x －1 C ．2x ＋1D ．3x ＋3解析：因为3f (x )－2f (－x )＝5x ＋1①，所以3f (－x )－2f (x )＝－5x ＋1②，联立①②，解得f (x )＝x ＋1，故选A ．3．若f (x )为一次函数，且f (f (x ))＝4x ＋1，则f (x )＝2x ＋13或－2x －1.解析：设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，由f (f (x ))＝af (x )＋b ＝a 2x ＋ab ＋b ＝4x ＋1，得a 2＝4，ab ＋b ＝1，解得a ＝2，b ＝13或a ＝－2，b ＝－1，∴f (x )＝2x ＋13或f (x )＝－2x －1.考点三 分段函数命题方向1 分段函数求值问题【例5】 (1)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≥0，12x ，x <0，则f (f (－1))＝( )A ．32B ．2＋1C ．1D ．3(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x <2，f (x －1)，x ≥2，则f (log 27)＝________.【解析】 (1)由题意可得f (－1)＝12－1＝2，∴f (f (－1))＝f (2)＝3，故选D ．(2)因为2<log 27<3，所以1<log 27－1<2，所以f (log 27)＝f (log 27－1)＝2log 27－1 ＝2log 27÷2＝72.【答案】 (1)D (2)72命题方向2 分段函数与方程、不等式问题【例6】 (1)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ≤0，1，x >0，则满足f (x ＋1)<f (2x )的x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]B ．(0，＋∞)C ．(－1,0)D ．(－∞，0)(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x >0，x ＋1，x ≤0.若f (a )＋f (1)＝0，则实数a ＝________.【解析】 (1)∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x，x ≤0，1，x >0，∴函数f (x )的图象如图所示．要使f (x ＋1)<f (2x )， 则需⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1<0，2x <0，2x <x ＋1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，2x <0，∴x <0，故选D ． (2)当a >0时，由f (a )＋f (1)＝0得2a ＋2＝0，无实数解；当a ≤0时，由f (a )＋f (1)＝0得a ＋1＋2＝0，解得a ＝－3，满足条件． 【答案】 (1)D (2)－3 方法技巧分段函数与方程、不等式问题的求解思路依据不同范围的不同段分类讨论求解，最后将讨论结果整合起来.1．(方向1)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x ＋1，x ≤－1，lg (6－x )＋lg (x ＋1)，－1<x <6，则f (－1)＋f (1)＝( C )A ．0B ．1C ．2D ．e 2解析：f (－1)＋f (1)＝e －1＋1＋lg5＋lg2＝2，故选C.2．(方向2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≤0，|log 2x |，x >0，则使f (x )＝2的x 的集合是( A )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫14，4 B ．{1,4} C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，14D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，14，4解析：由题意可知，f (x )＝2，即⎩⎨⎧2x ＝2，x ≤0或⎩⎪⎨⎪⎧|log 2x |＝2，x >0，解得x ＝14或4.3．(方向1)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x (x ≤0)，f (x －3)(x >0)，则f (5)的值为12.解析：由题意，得f (5)＝f (2)＝f (－1)＝(－1)2－2－1＝1－12＝12.4．(方向2)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1x ＋1－12，x ≥1，1，x <1，则不等式f (6－x 2)>f (x )的解集为(－5，2)．解析：易知函数f (x )在[1，＋∞)上单调递增， 又f (1)＝1，所以当x >1时，f (x )>1. 当x <1时，由6－x 2>1，得－5<x <5， 则－5<x <1；当x ≥1时，由6－x 2>x ，得－3<x <2， 则1≤x <2.综上，不等式的解集为(－5，2)．函数的新定义问题【典例】 在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点，若函数f (x )的图象恰好经过n (n ∈N *)个整点，则称函数f (x )为n 阶整点函数．给出下列函数：①f (x )＝sin2x ；②g (x )＝x 3；③h (x )＝⎝⎛⎭⎫13x ；④φ(x )＝ln x .其中是一阶整点函数的是( )A ．①②③④B ．①③④C ．①④D ．④【分析】 根据新定义的一阶整点函数的含义，对四个函数一一分析，判断它们的图象是否恰好经过一个整点，即可得出正确的选项．【解析】 对于函数f (x )＝sin2x ，它的图象(图略)只经过一个整点(0,0)，所以它是一阶整点函数，排除D ；对于函数g (x )＝x 3，它的图象(图略)经过整点(0,0)，(1,1)，…，所以它不是一阶整点阶段，排除A ；对于函数h (x )＝⎝⎛⎭⎫13x ，它的图象(图略)经过整点(0,1)，(－1,3)，…，所以它不是一阶整点函数，排除B.选C.【答案】 C【素养解读】 本题意在考查考生的数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象等核心素养．破解新定义函数题的关键是：紧扣新定义的函数的含义，学会语言的翻译、新旧知识的转化，便可使问题顺利获解．如本示例，若能把新定义的一阶整点函数转化为函数f (x )的图象恰好经过一个整点，问题便迎刃而解．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设x ∈R ，用[x ]表示不超过x 的最大整数，则y ＝[x ]称为高斯函数．例如：[－2.1]＝－3，[3.1]＝3，已知函数f (x )＝2x ＋31＋2x ＋1，则函数y ＝[f (x )]的值域为( C )A ．⎝⎛⎭⎫12，3B ．(0,2]C ．{0,1,2}D ．{0,1,2,3} 解析：因为f (x )＝2x ＋31＋2x ＋1＝12(1＋2x ＋1)＋521＋2x ＋1＝12＋52(1＋2x ＋1)，2x ＋1>0，所以0<11＋2x ＋1<1，所以12<12＋52(1＋2x ＋1)<3，即12<f (x )<3，所以y ＝[f (x )]的值域为{0,1,2}，故选C.。

第十一讲 导数的概念及运算ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE 知识梳理·双基自测知识梳理知识点一 导数的概念与导数的运算 1．函数的平均变化率一般地，已知函数y ＝f (x )，把式子f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1称为函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率，还可以表示为Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1.2．导数的概念(1)f (x )在x ＝x 0处的导数就是f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率，记作：y ′|x ＝x 0或f ′(x 0)，即f ′(x 0)＝lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx.(2)当把上式中的x 0看作变量x 时，f ′(x )即为f (x )的导函数，简称导数，即y ′＝f ′(x )＝lim Δx →0f (x ＋Δx )－f (x )Δx.3．基本初等函数的导数公式(1)C ′＝0(C 为常数)；(2)(x n )′＝nx n －1(n ∈Q *) (3)(sin x )′＝cos_x ;_ (4)(cos x )′＝－sin_x ； (5)(a x )′＝a x ln_a ;_ (6)(e x )′＝e x ； (7)(log a x )′＝1x ln a ； (8)(ln x )′＝1x .4．导数的运算法则(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x ). (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x ). 特别地：[C ·f (x )]′＝Cf ′(x )(C 为常数) (3)[f (x )g (x )]′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0). 5．复合函数的导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′.即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．知识点二 导数的几何意义函数f (x )在x ＝x 0处的导数就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率，即曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率k ＝f ′(x 0)，切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0).重要结论1．[1f (x )]′＝－f ′(x )f 2(x ).2．f ′(x 0)不一定为0，但[f (x 0)]′一定为0.3．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数． 4．函数y ＝f (x )的导数f ′(x )反映了函数f (x )的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f ′(x )|反映了变化的快慢，|f ′(x )|越大，曲线在这点处的切线越“陡”．双基自测题组一 走出误区1．(多选题)下列结论不正确的是( ABC )A ．在曲线y ＝f (x )上某点处的切线与曲线y ＝f (x )过某点的切线意义相同B ．与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线C ．(sin π3)′＝cos π3D ．[ln(－x )]′＝1x[解析] 对于A ，曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线，点P 在曲线上，而过点P (x 0，y 0)的切线，点P 可以在曲线外．对于B ，如图所示，直线与曲线只有一个公共点，但不是切线．对于C ，(sin π3)′＝0，D 正确；故选A 、B 、C ．题组二 走进教材2．(选修2－2P 18A T4改编)计算： (1)(x 4－3x 3＋1)′＝4x 3－9x 2； (2)(x e x )′＝e x ＋x e x ； (3)(sin x ·cos x )′＝cos2x ； (4)(1ln x )′＝－1x ln x.3．(选修2－2P 18A T5改编)已知函数f (x )＝2xf ′(1)＋x ln x ，则f ′(1)＝( C ) A ．e B ．1 C ．－1D ．－e[解析] f ′(x )＝2f ′(1)＋ln x ＋1， 当x ＝1时，f ′(1)＝2f ′(1)＋1， ∴f ′(1)＝－1，故选C ． 题组三 考题再现4．(2019·全国卷Ⅰ，5分)曲线y ＝3(x 2＋x )e x 在点(0,0)处的切线方程为y ＝3x .[解析] 因为y ′＝3(2x ＋1)e x ＋3(x 2＋x )e x ＝3(x 2＋3x ＋1)e x ，所以曲线在点(0,0)处的切线的斜率k ＝y ′|x ＝0＝3，所以所求的切线方程为y ＝3x .5．(2019·江苏，5分)在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y ＝ln x 上，且该曲线在点A 处的切线经过点(－e ，－1)(e 为自然对数的底数)，则点A 的坐标是(e,1).[解析] 设A (x 0，ln x 0)，又y ′＝1x ，则曲线y ＝ln x 在点A 处的切线方程为y －ln x 0＝1x 0(x－x 0)，将(－e ，－1)代入得，－1－ln x 0＝1x 0(－e －x 0)，化简得ln x 0＝ex 0，解得x 0＝e ，则点A的坐标是(e,1)．KAO DIAN TU PO HU DONG TAN JIU 考点突破·互动探究考点一 导数的基本运算——师生共研例1 (1)求下列函数的导数． ①y ＝ln x ＋1x ；②y ＝(2x 2－1)(3x ＋1)； ③y ＝x －sin x 2cos x2；④y ＝cos x e x ；⑤y ＝ln 1－2x 2； ⑥y ＝e 2x cos3x .(2)若函数f (x )＝ln x －f ′(1)x 2＋3x －4，则f ′(3)＝－143.[分析] ①直接求导；②③化简后再求导；④利用商的导数运算法则求解；⑤⑥用复合函数求导法则求导．(2)先求出f ′(1)得出导函数的解析式，再把x ＝3代入导函数解析式得f ′(3)． [解析] (1)①y ′＝(ln x ＋1x )′＝(ln x )′＋(1x )′＝1x －1x 2.②因为y ＝(2x 2－1)(3x ＋1)＝6x 3＋2x 2－3x －1， 所以y ′＝(6x 3＋2x 2－3x －1)′＝(6x 3)′＋(2x 2)′－(3x )′－(1)′＝18x 2＋4x －3. 另解：y ′＝(2x 2－1)′(3x ＋1)＋(2x 2－1)(3x ＋1)′ ＝4x (3x ＋1)＋3(2x 2－1)＝12x 2＋4x ＋6x 2－3 ＝18x 2＋4x －3.③因为y ＝x －sin x 2cos x 2＝x －12sin x ，所以y ′＝(x －12sin x )′＝x ′－(12sin x )′＝1－12cos x .④y ′＝(cos xe x )′＝(cos x )′e x －cos x (e x )′(e x )2＝－sin x ＋cos xe x.⑤y ＝ln 1－2x 2＝12ln(1－2x 2)，令u ＝1－2x 2，则y ＝ln 1－2x 2由y ＝12ln u 与u ＝1－2x 2复合而成，∴y ′＝f ′(u )·u ′(x )＝(12ln u )′·(1－2x 2)′＝12u ·(－4x )＝－2x 1－2x 2.⑥y ′＝(e 2x )′cos3x ＋e 2x (cos3x )′＝2e 2x ·cos3x －3e 2x sin3x ＝e 2x (2cos3x －3sin3x )．(2)对f (x )求导，得f ′(x )＝1x －2f ′(1)x ＋3，所f ′(1)＝1－2f ′(1)＋3，解得f ′(1)＝43，所以f ′(x )＝1x －83x ＋3，将x ＝3代入f ′(x )，可得f ′(3)＝－143.名师点拨 ☞导数计算的原则和方法(1)原则：先化简解析式，使之变成能用八个求导公式求导的函数的和、差、积、商再求导．(2)方法：①连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导；②分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导；③对数形式：先化为和、差的形式，再求导；④根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导；⑤三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导；⑥复合函数：由外向内，层层求导．〔变式训练1〕 (1)填空①若y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)，则y ′＝3x 2＋12x ＋11； ②若y ＝e x ln x ，则y ′＝e x (1x ＋ln x )；③若y ＝tan x ，则y ′＝1cos 2x； ④若y ＝(x 2＋2x －1)e 2－x ，则y ′＝(3－x 2)e 2－x ；⑤若y ＝ln (2x ＋3)x 2＋1，则y ′＝2(x 2＋1)－2x (2x ＋3)ln (2x ＋3)(2x ＋3)(x ＋1).(2)f (x )＝x (2 018＋ln x )，若f ′(x 0)＝2 019，则x 0＝1.(3)若函数f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 满足f ′(1)＝2，则f ′(－1)＝－2. (4)设函数f (x )在(0，＋∞)内可导，且f (e x )＝x ＋e x ，则f ′(1)＝2.[解析] (1)①y ＝(x 2＋3x ＋2)(x ＋3)＝x 3＋6x 2＋11x ＋6，所以y ′＝3x 2＋12x ＋11. ②y ′＝e x ln x ＋e x ·1x ＝e x (1x＋ln x )．③y ＝tan x ＝sin x cos x ，∴y ′＝cos x ·cos x －(－sin x )sin x cos 2x ＝cos 2x ＋sin 2x cos 2x ＝1cos 2x . ④y ′＝(x 2＋2x －1)′e 2－x ＋(x 2＋2x －1)(e 2－x )′ ＝(2x ＋2)e 2－x ＋(x 2＋2x －1)·(－e 2－x ) ＝(3－x 2)e 2－x .⑤y ′＝[ln (2x ＋3)]′(x 2＋1)－ln (2x ＋3)(x 2＋1)′(x 2＋1)2＝(2x ＋3)′2x ＋3·(x 2＋1)－2x ln (2x ＋3)(x 2＋1)2＝2(x 2＋1)－2x (2x ＋3)ln (2x ＋3)(2x ＋3)(x 2＋1)2.(2)f ′(x )＝2 018＋ln x ＋x ·1x ＝2 019＋ln x ，故由f ′(x 0)＝2 019，得x 0＝1.故填1.(3)f ′(x )＝4ax 3＋2bx ，因为f ′(x )为奇函数且f ′(1)＝2，所以f ′(－1)＝－2.故填－2. (4)解法一：令t ＝e x ，故x ＝ln t ，所以f (t )＝ln t ＋t ，即f (x )＝ln x ＋x ，所以f ′(x )＝1x ＋1，所以f ′(1)＝2.解法二：f ′(e x )＝1＋e x ，f ′(1)＝f ′(e 0)＝1＋e 0＝2.故填2.考点二 导数的几何意义——多维探究角度1 求曲线的切线方程例2 已知曲线f (x )＝x 3－x ，则(1)曲线在点(1,0)处的切线方程为2x －y －2＝0；(2)曲线过点(1,0)的切线方程为2x －y －2＝0或x ＋4y －1＝0；(3)曲线平行于直线5x －y ＋1＝0的切线方程为5x －y －42＝0或5x －y ＋42＝0. [分析] (1)解决曲线的切线问题直接利用导数的几何意义求切线斜率可得； (2)由于在点P 处的切线平行于直线5x －y ＋1＝0，则在点P 处的切线斜率为5. [解析] f ′(x )＝3x 2－1.(1)曲线在点(1,0)处切线的斜率为k ＝f ′(1)＝2. ∴所求切线方程为y ＝2(x －1)，即2x －y －2＝0.(2)设切点为P (x 0，x 30－x 0)，则k 切＝f ′(x 0)＝3x 20－1， ∴所求切线方程为y －x 30＋x 0＝(3x 20－1)(x －x 0)， 又切线过点(1,0)，∴－x 30＋x 0＝(3x 20－1)(1－x 0) 解得x 0＝1或－12.故所求切线方程为y ＝2(x －1)或y －38＝－14(x ＋12)即2x －y －2＝0或x ＋4y －1＝0.(3)设切点坐标为(x 0，x 30－x 0)，则k 切＝3x 20－1＝5解得x 0＝±2，故切点为(2，2)或(－2，－2)所以所求切线方程为y －2＝5(x －2)或y ＋2＝5(x ＋2)即5x －y －42＝0或5x －y ＋42＝0.名师点拨 ☞求曲线的切线方程的两种类型(1)在求曲线的切线方程时，注意两个“说法”：求曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程和求曲线过点P (x 0，y 0)的切线方程，在点P 处的切线，一定是以点P 为切点，过点P 的切线，不论点P 在不在曲线上，点P 不一定是切点．(2)在点P 处的切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)． (3)求过点P 的曲线的切线方程的步骤为： 第一步，设出切点坐标P ′(x 1，f (x 1))；第二步，写出过P ′(x 1，f (x 1))的切线方程为y －f (x 1)＝f ′(x 1)(x －x 1)； 第三步：将点P 的坐标(x 0，y 0)代入切线方程，求出x 1；第四步：将x 1的值代入方程y －f (x 1)＝f ′(x 1)(x －x 1)可得过点P (x 0，y 0)的切线方程． 注：也可利用f ′(x 1)＝f (x 1)－f (x 0)x 1－x 0＝k 切求切点坐标(x 1，y 1)，有几组解就有几条切线．角度2 求切点坐标例3 设曲线y ＝e x 在点(0,1)处的切线与曲线y ＝1x(x >0)上点P 处的切线垂直，则P的坐标为( A )A ．(1,1)B ．(－1，－1)C ．(1，－1)D ．(－1,1)[解析] 对y ＝e x 求导得y ′＝e x ，令x ＝0，得曲线y ＝e x 在点(0,1)处的切线斜率为1，故曲线y ＝1x (x >0)上点P 处的切线斜率为－1，由y ′＝－1x 2＝－1，得x ＝1，则y ＝1，所以P 的坐标为(1,1)．故选A ．角度3 求参数的值(或范围)例4 (2019·全国卷Ⅲ，5分)已知曲线y ＝a e x ＋x ln x 在点(1，a e)处的切线方程为y ＝2x ＋b ，则( D )A ．a ＝e ，b ＝－1B ．a ＝e ，b ＝1C ．a ＝e －1，b ＝1D ．a ＝e －1，b ＝－1[解析] 因为y ′＝a e x ＋ln x ＋1，所以y ′| x ＝1＝a e ＋1，所以曲线在点(1，a e)处的切线方程为y －a e ＝(a e ＋1)(x －1)，即y ＝(a e ＋1)x －1，所以⎩⎪⎨⎪⎧a e ＋1＝2，b ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝e －1，b ＝－1.〔变式训练2〕(1)(角度1)(2019·全国卷Ⅱ，5分)曲线y ＝2sin x ＋cos x 在点(π，－1)处的切线方程为( C ) A ．x －y －π－1＝0 B ．2x －y －2π－1＝0 C ．2x ＋y －2π＋1＝0D ．x ＋y －π＋1＝0(2)(角度1)过点(1，－1)的曲线y ＝x 3－2x 的切线方程为x －y －2＝0或5x ＋4y －1＝0. (3)(角度2)曲线y ＝3ln x ＋x ＋2在点P 0处切线方程为4x －y －1＝0，则点P 0的坐标是( C )A ．(0,1)B ．(1，－1)C ．(1,3)D ．(1,0)(4)(角度3)(2018·课标Ⅲ，14)曲线y ＝(ax ＋1)e x 在点(0,1)处的切线的斜率为－2，则a ＝－3.[解析] (1)依题意得y ′＝2cos x －sin x ，y ′| x ＝π＝(2cos x －sin x )| x ＝π＝2cos π－sin π＝－2，因此所求的切线方程为y ＋1＝－2(x －π)，即2x ＋y －2π＋1＝0，故选C ．(2)设P (x 0，y 0)为切点，则切线的斜率为f ′(x 0)＝3x 20－2.故切线方程为y －y 0＝(3x 20－2)(x －x 0)． 即y －(x 30－2x 0)＝(3x 20－2)(x －x 0)．又知切线过点(1，－1)，代入上述方程，得－1－(x 30－2x 0)＝(3x 20－2)(1－x 0)．解得x 0＝1或x 0＝－12.故所求的切线方程为y ＋1＝x －1或y ＋1＝－54(x －1)．即x －y －2＝0或5x ＋4y －1＝0. (3)由题意知y ′＝3x＋1＝4，解得x ＝1，此时4×1－y －1＝0，解得y ＝3，故点P 0的坐标是(1,3)．(4)本题考查导数的综合应用．设f (x )＝(ax ＋1)e x ，则f ′(x )＝(ax ＋a ＋1)e x ，所以曲线在点(0,1)处的切线的斜率k ＝f ′(0)＝a ＋1＝－2，解得a ＝－3.MING SHI JIANG TAN SU YANG TI SHENG 名师讲坛·素养提升两曲线的公共切线问题例5 (2020·黑龙江齐齐哈尔期末联考)若直线y ＝kx ＋b 是曲线y ＝ln x ＋2的切线，也是曲线y ＝ln(x ＋1)的切线，则b ＝( C )A ．1B ．12C ．1－ln 2D ．1－2ln 2[解析] 设y ＝kx ＋b 与y ＝ln x ＋2和y ＝ln(x ＋1)的切点分别为(x 1，ln x 1＋2)和(x 2，ln(x 2＋1))．则切线分别为y －ln x 1－2＝1x 1(x －x 1)，y －ln(x 2＋1)＝1x 2＋1(x －x 2)．化简得y ＝1x 1x ＋ln x 1＋1，y ＝1x 2＋1x －x 2x 2＋1＋ln(x 2＋1)，依题意，⎩⎨⎧1x 1＝1x 2＋1ln x 1＋1＝－x2x 2＋1＋ln (x 2＋1)，解得x 1＝12，从而b ＝ln x 1＋1＝1－ln 2.故选C ．[引申]本例中两曲线公切线方程为y ＝2x ＋1－ln_2. [解析] k ＝1x 1＝2，∴公切线方程为y ＝2x ＋1－ln 2.名师点拨 ☞同时和曲线y ＝f (x )、y ＝g (x )都相切的直线称为两曲线的公共切线．设直线与曲线y ＝f (x )切于(x 1，f (x 1))与曲线y ＝g (x )切于(x 2，g (x 2))，则切线方程为y －f (x 1)＝f ′(x 1)(x －x 1)，即y ＝f ′(x 1)x ＋f (x 1)－f ′(x 1)x 1同理y ＝g ′(x 2)x ＋g (x 2)－g ′(x 2)x 2.∴⎩⎪⎨⎪⎧f ′(x 1)＝g ′(x 2)f (x 1)－f ′(x 1)x 1＝g (x 2)－g ′(x 2)x 2，解出x 1、x 2，从而可得切线方程．由此可知两曲线公切线的条数即为上述方程组解的个数．〔变式训练3〕若曲线y ＝x ＋ln x 与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1存在过点(0，－1)的公切线，则a ＝8. [解析] 设直线l 与曲线C ：y ＝x ＋ln x 切于P (x 0，x 0＋ln x 0)，则k 切＝y ′|x ＝x 0＝1＋1x 0.∴1＋1x 0＝x 0＋ln x 0＋1x 0，解得x 0＝1，∴切线l 的方程为y ＝2x －1.又直线l 与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切．∴方程2x －1＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1即ax 2＋ax ＋2＝0的判别式Δ＝a 2－8a ＝0，∴a ＝8或0(舍去)．莘莘学子，最重要的就是不要去看远方模糊的，而要做手边清楚的事。

课时作业13 变化率与导数、导数的计算一、选择题1．函数y ＝1x ＋cos x 的导数是( B )A ．y ′＝1x 2－sin xB ．y ′＝－1x 2－sin xC ．y ′＝1x2＋cos xD ．y ′＝1x2－cos x解析：∵函数y ＝1x ＋cos x ，∴y ′＝⎝⎛⎭⎫1x ′＋(cos x )′＝－1x 2－sin x . 2．设曲线y ＝ax －ln(x ＋1)在点(0,0)处的切线方程为y ＝2x ，则a ＝( D ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：对函数求导得y ′＝a －1x ＋1，因为点(0,0)在曲线上，且切线方程为y ＝2x ，所以a －1＝2，所以a ＝3.3．如果曲线y ＝x 4－x 在点P 处的切线垂直于直线y ＝－13x ，那么点P 的坐标为( A )A ．(1,0)B ．(0，－1)C ．(0,1)D ．(－1,0)解析：设点P (a ，b )，则b ＝a 4－a ，由题得y ′＝4x 3－1.因为曲线y ＝x 4－x 在点P 处的切线垂直于直线y ＝－13x ，所以4a 3－1＝3，所以a ＝1.所以b ＝14－1＝0，所以点P 的坐标为(1,0)．4．已知f (x )＝x ln x ＋f ′(1)x ，则f ′(1)＝( B )A ．1 B.12C ．2D ．e解析：f ′(x )＝1＋ln x －f ′(1)x2，令x ＝1，得f ′(1)＝1－f ′(1)，解得f ′(1)＝12.5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ，x ≤0，－x 2＋ax ，x >0为奇函数，则f (x )在x ＝2处的切线斜率等于( B )A ．6B ．－2C ．－6D ．－8解析：设x >0，则－x <0，f (－x )＝x 2－2x ，又f (x )为奇函数，则f (x )＝－f (－x )＝－x 2＋2x ，f ′(x )＝－2x ＋2，则f ′(2)＝－2.故选B.6．若点P 是函数y ＝2sin xsin x ＋cos x 图象上任意一点，直线l 为点P 处的切线，则直线l 倾斜角的取值X 围是( C )A ．[0，π4]B ．[π4，π3]C ．[π4，π2)D ．(π2，3π4]解析：因为sin x ＋cos x ＝2sin(x ＋π4)，由x ＋π4≠k π，k ∈Z ，知函数f (x )的定义域为{x |x ≠k π－π4，k ∈Z }．设直线l 的倾斜角为θ，y ′＝2[cos x (sin x ＋cos x )－sin x (cos x －sin x )](sin x ＋cos x )2＝2[2sin (x ＋π4)]2＝1sin 2(x ＋π4).因为0<sin 2(x ＋π4)≤1，所以y ′≥1，即tan θ≥1.又0≤θ<π，所以π4≤θ<π2，故选C.7．曲线y ＝2ln x 上的点到直线2x －y ＋3＝0的距离的最小值为( A ) A. 5 B ．2 5 C ．3 5D ．2解析：设与直线2x －y ＋3＝0平行且与曲线y ＝2ln x 相切的直线方程为2x －y ＋m ＝0. 设切点为P (x 0，y 0)，∵y ′＝2x ，∴2x 0＝2，解得x 0＝1，因此y 0＝2ln1＝0，∴切点P 的坐标为(1,0)， 则点P 到直线2x －y ＋3＝0的距离d ＝|2－0＋3|22＋(－1)2＝5，∴曲线y ＝2ln x 上的点到直线2x －y ＋3＝0的距离的最小值是 5.8．设函数f (x )＝cos(3x ＋φ)，其中常数φ满足－π<φ<0.若函数g (x )＝f (x )＋f ′(x )(其中f ′(x )是函数f (x )的导数)是偶函数，则φ等于( A )A ．－π3B ．－56πC ．－π6D ．－2π3解析：由题意得g (x )＝f (x )＋f ′(x )＝cos(3x ＋φ)－3sin(3x ＋φ)＝2cos ⎝⎛⎭⎫3x ＋φ＋π3， ∵函数g (x )为偶函数，∴φ＋π3＝k π，k ∈Z .又－π<φ<0，∴φ＝－π3.故选A.二、填空题9．已知函数f (x )＝ln x ＋2x 2－4x ，则函数f (x )的图象在x ＝1处的切线方程为x －y －3＝0.解析：因为f (1)＝ln1＋2－4＝－2，所以切点为(1，－2)．因为f ′(x )＝1x ＋4x －4，所以切线斜率k ＝f ′(1)＝1.所以切线方程为y ＋2＝x －1，即x －y －3＝0.10．已知函数f (x )＝x ＋ax ＋b (x ≠0)的图象在点(1，f (1))处的切线方程为y ＝2x ＋5，则a－b ＝－8.解析：∵f (x )＝x ＋a x ＋b ，∴f ′(x )＝1－ax2，∴f ′(1)＝1－a ＝2，∴a ＝－1.∵f (1)＝1＋a ＋b ＝7，∴b ＝7，则a －b ＝－1－7＝－8. 11．阅读材料：借助上述思路，曲线y ＝(2x －1)x ＋1，x ∈(12，＋∞)在点(1,1)处的切线方程为4x －y －3＝0.解析：根据题中材料将函数y ＝(2x －1)x ＋1转化为ln y ＝ln(2x －1)x ＋1＝(x ＋1)ln(2x －1)，两边同时求导数，得1y ×y ′＝ln(2x －1)＋(x ＋1)×1(2x －1)×2＝ln(2x －1)＋2(x ＋1)2x －1，∴y ′＝[ln(2x －1)＋2(x ＋1)2x －1]·(2x －1)x ＋1，∴y ′|x ＝1＝[ln(2x －1)＋2(x ＋1)2x －1](2x －1)x ＋1|x ＝1＝4，∴切线方程为y －1＝4(x －1)，即4x －y －3＝0.12．(多填题)已知函数f (x )＝e x －e －x ＋2的图象在点A (x 0，f (x 0))处的切线为l ，且l 与直线2x ＋y ＝0关于直线x ＝a 对称，则x 0＝0，实数a 的值为－12.解析：由题意可知直线l 的斜率为2，f ′(x )＝e x ＋e －x ，∴e x 0＋e －x 0＝2，即(e x 0)2－2e x 0＋1＝0，(e x 0－1)2＝0，解得x 0＝0，而f (0)＝e 0－e 0＋2＝2，∴A (0,2)，∴切线l ：y －2＝2x ，即2x －y ＋2＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2＝0，2x ＋y ＝0，得x ＝－12，∴a ＝－12.三、解答题13．已知函数f (x )＝x 3－4x ＋2及其图象上一点M (1，－1)．(1)若直线l 1与函数f (x )的图象相切于点M (1，－1)，求直线l 1的方程；(2)若函数f (x )的图象的切线l 2经过点M (1，－1)，但M 不是切点，求直线l 2的方程． 解：(1)f ′(x )＝3x 2－4，f ′(1)＝－1，所以直线l 1的斜率k 1＝－1，所以直线l 1的方程为y ＋1＝－(x －1)，即x ＋y ＝0.(2)设切点坐标为(x 0，f (x 0))，x 0≠1，则切线l 2的方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)． 因为直线l 2经过点M (1，－1)，所以－1－f (x 0)＝f ′(x 0)(1－x 0)．其中f (x 0)＝x 30－4x 0＋2，f ′(x 0)＝3x 20－4，于是－1－(x 30－4x 0＋2)＝(3x 20－4)(1－x 0)，整理得2x 30－3x 20＋1＝0，即(x 0－1)2(2x 0＋1)＝0，又x 0≠1，所以x 0＝－12.所以切点为⎝⎛⎭⎫－12，318， 直线l 2的斜率k 2＝f ′⎝⎛⎭⎫－12＝－134， 所以直线l 2的方程为y －318＝－134⎝⎛⎭⎫x ＋12， 即y ＝－134x ＋94.14．已知函数f (x )＝13x 3－2x 2＋3x (x ∈R )的图象为曲线C .(1)求曲线C 上任意一点处的切线斜率的取值X 围；(2)若曲线C 存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C 的切点的横坐标的取值X 围．解：(1)由题意得f ′(x )＝x 2－4x ＋3，则f ′(x )＝(x －2)2－1≥－1，即曲线C 上任意一点处的切线斜率的取值X 围是[－1，＋∞)．(2)设曲线C 的其中一条切线的斜率为k (k ≠0)，则由题意并结合(1)中结论可知⎩⎪⎨⎪⎧k ≥－1，－1k ≥－1，解得－1≤k <0或k ≥1，则－1≤x 2－4x ＋3<0或x 2－4x ＋3≥1， 解得x ∈(－∞，2－2]∪(1,3)∪[2＋2，＋∞)．15．(多选题)若函数y ＝f (x )的图象上存在不同的两点，使得函数的图象在这两点处的切线的斜率之和等于常数t ，则称函数y ＝f (x )为“t 函数”．下列函数中可以称为“2函数”的是( CD )A ．y ＝x －x 3B ．y ＝x ＋e xC ．y ＝x ln xD ．y ＝x ＋cos x解析：设切点的横坐标分别为x 1，x 2，对于A ，y ′＝1－3x 2，所以两条切线的斜率之和为2－3(x 21＋x 22)，由于x 1，x 2不能同时为零，所以2－3(x 21＋x 22)<2，不符合题意；对于B ，y ′＝1＋e x ，所以两条切线的斜率之和为2＋e x 1＋e x 2>2，不符合题意；对于C ，y ′＝ln x ＋1，所以两条切线的斜率之和为2＋ln x 1＋ln x 2＝2＋ln(x 1x 2)，当x 1，x 2互为倒数时，两切线的斜率之和为2，符合题意；对于D ，y ′＝1－sin x ，所以两条切线的斜率之和为2－sin x 1－sin x 2，当sin x 1＋sin x 2＝0，即x 1＝2k π－x 2或x 1＝2⎝⎛⎭⎫k ＋12π＋x 2(k ∈Z )时，两条切线的斜率之和为2，符合题意．综上所述，故选CD.16．(2019·全国卷Ⅱ)已知函数f (x )＝ln x －x ＋1x －1.(1)讨论f (x )的单调性，并证明f (x )有且仅有两个零点；(2)设x 0是f (x )的一个零点，证明曲线y ＝ln x 在点A (x 0，ln x 0)处的切线也是曲线y ＝e x 的切线．解：(1)f (x )的定义域为(0,1)∪(1，＋∞)． 因为f ′(x )＝1x ＋2(x －1)2>0，所以f (x )在(0,1)，(1，＋∞)上单调递增．因为f (e)＝1－e ＋1e －1<0，f (e 2)＝2－e 2＋1e 2－1＝e 2－3e 2－1>0，所以f (x )在(1，＋∞)有唯一零点x 1，即f (x 1)＝0.又0<1x 1<1，f (1x 1)＝－ln x 1＋x 1＋1x 1－1＝－f (x 1)＝0，故f (x )在(0,1)有唯一零点1x 1.综上，f (x )有且仅有两个零点．(2)证明：因为1x 0＝e －ln x 0，故点B (－ln x 0，1x 0)在曲线y ＝e x 上．由题设知f (x 0)＝0，即ln x 0＝x 0＋1x 0－1，连接AB ，则直线AB 的斜率k ＝1x 0－ln x 0－ln x 0－x 0＝1x 0－x 0＋1x 0－1－x 0＋1x 0－1－x 0＝1x 0. 曲线y ＝e x 在点B (－ln x 0，1x 0)处切线的斜率是1x 0，曲线y ＝ln x 在点A (x 0，ln x 0)处切线的斜率也是1x 0，所以曲线y ＝ln x 在点A (x 0，ln x 0)处的切线也是曲线y ＝e x 的切线．。