配套学案：导数的计算

高中数学《导数的计算》学案1 新人教A版选修3、2 导数的计算【成功细节】张玥谈导数的计算的方法（xx年，北京文9)已知是的导函数，则的值是＿＿＿＿、本节内容公式和法则比较多，以公式的推导、记忆以及应用为主，重点是基本初等函数导数公式以及导数的四则运算法则的灵活运用，公式的形式多样，容易引起混淆，并且公式中往往会有一些条件容易忽略，导致遗漏错误、所以在学习时，我认为应注意以下几个方面：（1）要牢记常数函数和幂函数的求导公式，能用定义法求这些函数的导数的方法，注意四种常见函数实际上就是四种特殊的幂函数；（2）要熟记基本初等函数的导数公式，特别是对数函数和指数函数的导函数的形式，；（3）熟练掌握导数的四则运算法则，注意公式的形式以及前提条件，两个函数的和与差的导数与两个函数积的导数的形式是不同的；（4）和（或差）、积的函数的导数运算法则可以推广到两个以上函数的和（差）、积的求导；（5）在求函数的导数时，一定要先化简函数的表达式，尽量不使用积的函数的导数的法则；（6）若两个函数不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导。

如，这个题主要考查基本初等函数的导数公式以及函数和的导数的计算法则，是一个简单的小题，但计算时要细心，可先求出导函数，然后再求导数值，显然有公式可得，，所以、【高效预习】（核心栏目）“要养成学生阅读书籍的习惯就非教他们预习不可”。

叶圣陶【关注、思考】1、阅读课本第8182页，总结四个常用函数的导数公式，认真阅读导数公式的推导过程，这四个常用函数有什么共同的特征，其导数有什么意义？细节提示：利用导数的定义求解四种函数的导数，对照函数图象，把握住导数的物理意义和几何意义；四种常用函数实际上都是幂函数，探讨规律时，应把导函数的系数与幂指数与原函数进行对比、【领会、感悟】1、这四种函数实质上都是特殊的幂函数，它们的导函数的系数为幂函数的指数，指数为幂函数的指数减去1所的数值；函数的导数的几何意义是函数图象在该点处的切线的斜率【领会感悟】2、基本初等函数的导数公式是我们求解函数导数的基础，要记准确，记牢，才可能在运算过程中不出现错误。

3.1导数的概念及运算(学案） 姓名【一.导数的意义】1.函数y =f (x )在x =x 0处的瞬时变化率 0000()()limlimx x f x x f x yx x∆→∆→+∆-∆=∆∆ 称为函数()y f x =在0x x =处的导数.其几何意义为：【二.导数的运算公式】①()c '= ；②()nx '= ；③(sin )x '= ；④(cos )x '= ；⑤()xa '= ；⑥()x e '= ;⑦(log )a x '= ；⑧(ln )x '= ；⑨1()x'=；⑩'= ； 【三.导数的运算法则】①.和差的导数：[()()]f x g x '±= ；②.[()]C f x '⋅= ；其中C 为常数。

③.积的导数：[()()]f x g x '= ；④.商的导数：()()f x g x '⎛⎫ ⎪⎝⎭=(()0)g x ≠。

【四.复合函数的导数】设函数()u g x =在点x 处有导数x u '，函数()y f u =在点x 的对应点u 处有导数u y '，则复合函数(())y f g x =在点x 处也有导数，且x y '＝__ ______， 【五.求导】1.求导：①)5'⋅xa x （=5x 4·a x ＋x 5·a x ln a；② sin(2)3x π'⎛⎫+ ⎪⎝⎭=③2ln 1x x '⎛⎫ ⎪+⎝⎭=2．已知 f (x )＝x 2＋3x (2)f '，则(2)f '＝__-2___.3.求函数y ＝(x －1)(x －2)·…·(x －100) (x >100)的导数.解析：两边取对数得ln y ＝ln(x －1)＋ln(x －2)＋…＋ln(x －100)．两边对x 求导：y ′y ＝1x －1＋1x －2＋…＋1x －100.∴y ′＝⎝⎛⎭⎫1x －1＋1x －2＋…＋1x －100·(x －1)(x －2)·…·(x －100)．【六.导数的几何意义】4.已知曲线y ＝13x 3＋43.(1)求曲线在(2,4)处的切线方程；(2)求曲线过点(2,4)的切线方程．解 (1)∵y ＝13x 3＋43，∴y ′＝x 2，∴曲线在点(2,4)处的切线的斜率k ＝y ′|x ＝2＝4 由y －4＝4(x －2)，得4x －y －4＝0.∴曲线在点(2,4)处的切线方程为 4x －y －4＝0(2)设曲线y ＝13x 3＋43与过点P (2,4)的切线相切于点A ⎝⎛⎭⎫x 0，13x 30＋43 则切线的斜率k ＝y ′|x ＝x 0＝x 20. ∴切线方程为y －⎝⎛⎭⎫13x 30＋43＝x 20(x －x 0)，即y ＝x 20x －23x 30＋43∵点P (2,4)在切线上，∴4＝2x 20－23x 30＋43即x 30－3x 20＋4＝0，∴x 30＋x 20－4x 20＋4＝0， ∴x 20(x 0＋1)－4(x 0＋1)(x 0－1)＝0， ∴(x 0＋1)(x 0－2)2＝0，解得x 0＝－1或x 0＝2，故所求的切线方程为4x －y －4＝0或x －y ＋2＝05.在平面直角坐标系xOy 中，已知P 是函数f (x )＝e x (x >0)的图象上的动点，该图象在点P 处的切线l 交y 轴于点M ，过点P 作l 的垂线交y 轴于点N ，设线段MN 的中点的纵坐标为t ，则t 的最大值是___max 11()2t e e=+_____． 解析：设00(,),xP x e 则00000:(),(0,(1))x x x l y ee x x M x e -=-∴-，过点P 作l 的垂线000000(),(0,)x x x x y e e x x N e x e ---=--+，00000000011[(1)]()22x x x x x x t x e e x e e x e e --=-++=+-00'01()(1)2x x t e e x -=+-，所以，t 在(0,1)上单调增，在(1,)+∞单调减，max 11()2t e e=+。

导数的计算教案教案标题：导数的计算教案目标：1. 理解导数的概念和意义；2. 学会使用基本的导数计算法则；3. 掌握导数的计算方法；4. 能够应用导数计算解决实际问题。

教学重点：1. 导数的定义和意义；2. 导数计算的基本法则；3. 导数计算的方法；4. 导数在实际问题中的应用。

教学难点：1. 掌握导数计算的基本法则；2. 理解导数在实际问题中的应用。

教学准备：1. 教师准备：黑板、白板、彩色粉笔或白板笔、教学PPT；2. 学生准备：教科书、笔记本。

教学过程：Step 1: 导入与概念解释（5分钟）- 教师通过引入实际问题，引发学生对导数的思考，例如：速度的变化率、曲线的切线等。

- 教师解释导数的定义和意义，导数表示函数在某一点的变化率。

Step 2: 导数计算的基本法则（10分钟）- 教师介绍导数计算的基本法则，包括常数法则、幂法则、和差法则以及乘积法则。

- 教师通过示例演示如何使用这些基本法则计算导数。

Step 3: 导数计算的方法（15分钟）- 教师介绍导数计算的方法，包括用定义法计算导数和使用基本法则计算导数。

- 教师通过示例演示如何使用这些方法计算导数。

Step 4: 导数在实际问题中的应用（15分钟）- 教师引入一些实际问题，如最速下降问题、最大值最小值问题等，并解释如何使用导数解决这些问题。

- 教师通过示例演示如何应用导数计算解决实际问题。

Step 5: 练习与巩固（15分钟）- 学生进行导数计算的练习，包括基本法则的运用和实际问题的应用。

- 教师逐个解答学生的问题，并给予指导和反馈。

Step 6: 总结与拓展（5分钟）- 教师对本节课的内容进行总结，强调导数的概念、计算方法和应用。

- 教师鼓励学生进行更多的练习和拓展，深化对导数的理解和应用。

教学延伸：1. 学生可以进一步学习高阶导数和导数的应用，如泰勒展开、微分方程等；2. 学生可以进行更多的导数计算练习，提高计算能力和应用能力；3. 学生可以尝试使用计算机软件或在线工具进行导数计算和绘制函数图像。

课时：2课时教学目标：1. 让学生理解导数的概念，掌握导数的定义和计算方法。

2. 使学生能够熟练运用导数公式和导数的运算法则求解简单函数的导数。

3. 培养学生运用导数解决实际问题的能力。

教学重点：1. 导数的定义和计算方法。

2. 常用函数的导数公式和导数的运算法则。

教学难点：1. 导数的定义和计算方法的理解。

2. 导数公式的记忆和应用。

教学准备：1. 多媒体课件2. 导数公式和导数运算法则的表格3. 练习题教学过程：第一课时一、导入1. 复习极限的概念，引入导数的概念。

2. 举例说明导数在物理学、经济学等领域的应用。

二、新课讲授1. 导数的定义：介绍导数的定义，让学生理解导数的概念。

2. 导数的计算方法：讲解导数的计算方法，包括导数的定义法和导数的公式法。

3. 常用函数的导数公式：介绍常用函数的导数公式，如幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等。

三、例题讲解1. 利用导数的定义法求导数的例题。

2. 利用导数公式法求导数的例题。

3. 利用导数的运算法则求导数的例题。

四、课堂练习1. 让学生独立完成课后练习题，巩固所学知识。

第二课时一、复习1. 回顾导数的定义和计算方法。

2. 回顾常用函数的导数公式和导数的运算法则。

二、新课讲授1. 导数的几何意义：讲解导数的几何意义，让学生理解导数与函数图像的关系。

2. 导数的物理意义：讲解导数的物理意义，让学生理解导数在物理学中的应用。

三、例题讲解1. 利用导数的几何意义和物理意义求解例题。

2. 利用导数求解实际问题。

四、课堂练习1. 让学生独立完成课后练习题，巩固所学知识。

五、总结1. 总结本节课所学内容，强调重点和难点。

2. 鼓励学生在课后复习，加强巩固。

教学评价：1. 通过课堂练习和课后作业，了解学生对导数的掌握程度。

2. 通过课堂提问和课堂讨论，评估学生对导数的理解和应用能力。

教学反思：1. 根据学生的反馈，调整教学方法和教学内容。

2. 注重培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

3．2．2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则（导学案）教学目标：知识与技能目标：1．熟练掌握基本初等函数的导数公式；2．掌握导数的四则运算法则过程与方法目标：能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．情感、态度与价值观目标：通过学习本节课，培养学生对问题的认知能力，由于利用定义求函数的导数非常复杂，本节课直接给出了八个基 本初等函数的导数公式表和导数的运算法则，学生不用推导而直接去求一些简单函数的导数，认识事物之间的普遍联系，达到学有所用，在训练中也加深了学生对学习数学的兴趣，激发学生将所学知识应用于实际的求知欲，培养浓厚的学习兴趣。

教学重点：基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则教学难点： 基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则的应用学习过程：一．复习回顾，创设情景四种常见函数y c =、y x =、2y x =、1y=的导数公式及应用二．师生互动，新课讲解（一）可以直接使用的基本初等函数的导数公式表（2）推论：[]''()()cf x cf x =（常熟与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数） 三、公式的初步应用，求下列函数的导数和该点处的导数值 题型一 、题型二、根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数．(1)y ＝x 5－3x 3－5x 2＋6 (2)y ＝(2x 2＋3)(3x －2)；(3)y ＝x －1x ＋1； (4)y ＝x·sinx.． 四、课堂巩固练习：课本85P 练习2 习题3.2 A 组第4题五、建构总结1、熟记 基本初等函数的导数公式、导数的运算法则2、会用简单函数的导数，会用导数法则求导六、课时作业15七、课后思考：如何求函数 )52sin(2+=x x y 的导数?)1(),(,ln )()7()3(),(,log )()6()0(),(,)()5()2(),(,2)(4)6(),(,cos )()3()3(),(,sin )()24(),(,)()1(23f x f x x f f x f x f f x f e x f f x f x f f x f x x f f x f x x f f x f x x f xx x ''=''=''=''=''=''=''=求、求、求、求）、（求、求、（）求、ππ。

导数的计算教案(二)教学目标:1. 了解导数概念的实际背景，理解导数的几何意义． 2．能根据导数的定义求函数的导数3．能利用基本初等函数的导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数. 重点:1.了解导数公式的推导过程、理解导数的四则运算法则.2.掌握几种常见函数的导数公式.3.能够运用导数公式和求导法则进行求导运算. 难点: 能够运用导数公式和求导法则进行求导运算 教学过程创设情景、引入课题 问题1：复习导数定义 新课:1．导数的概念(1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数：函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率Δx Δy＝为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′x ＝x 0，即f ′(x 0)＝Δx Δy＝.(2).函数y ＝f (x )的导数f ′(x )反映了函数f (x )的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f ′(x )|反映了变化的快慢，|f ′(x )|越大，曲线在这点处的切线越“陡”．(3)导数的几何意义：函数f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点P (x 0，y 0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s (t )对时间t 的导数)．相应地，切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)．(4).曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线是指P 为切点，斜率为k ＝f ′(x 0)的切线，是唯一的一条切线.(5)函数f (x )的导函数：称函数f ′(x )＝为f (x )的导函数．(6)f ′(x )是一个函数，f ′(x 0)是函数f ′(x )在x 0处的函数值(常数)，[f ′(x 0)]′＝0.2．基本初等函数的导数公式原函数导函数f (x )＝x n (n ∈Q *) f ′(x )＝n ·x n －1 f (x )＝sin x f ′(x )＝cos x f (x )＝cos x f ′(x )＝－sin x f (x )＝a x (a ＞0，且a ≠1)f ′(x )＝a x ln a f (x )＝e xf ′(x )＝e xf (x )＝log a x (a ＞0，且a ≠1) f ′(x )＝xln a 1f (x )＝ln xf ′(x )＝x 13.导数的运算法则(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )；(2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)(g (x )≠0)．4．复合函数的导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积． 1．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数．2．熟记以下结论：(1)x 1′＝－x21；(2)(ln|x |)′＝x 1； (3)(f (x )≠0)；(4)[af (x )±bg (x )]′＝af ′(x )±bg ′(x )．例1.求下列函数的导数：(1)y ＝1x 2＋sin x 2cos x 2；(2)y ＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－32x －6＋2；(3)y ＝cos x ln x ； (4)y ＝xex . 解: (1)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x2＋sin x 2cos x 2′＝(x －2)′＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x ′＝－2x －3＋12cos x ＝－2x 3＋12cos x .(2)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3－32x 2－6x ＋2′＝(x 3)′－⎝ ⎛⎭⎪⎫32x 2′－(6x )′＋(2)′＝3x 2－3x －6.(3)y ′＝(cos x ln x )′＝(cos x )′ln x ＋cos x (ln x )′＝－sin x ln x ＋cos xx .(4)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x e x ′＝x ′e x －x e x ′e x2＝e x －x e x e 2x＝1－xe x.练习:课本小结: 于比较复杂的函数，若直接套用求导公式，会使求解的过程繁琐冗长，且易出错.故可先对函数的解析式进行合理的恒等变形，转化为容易求导的结构形式再求导数，尽量回避利用积与商的求导公式. 作业:蓝本。

导数的四则运算教案
一、教学目标
1. 理解导数的四则运算，掌握导数的加、减、乘、除运算规则。

2. 能够运用导数的四则运算规则解决一些简单的实际问题。

3. 培养学生的数学逻辑思维和运算能力。

二、教学内容
1. 导数的加法运算规则
2. 导数的减法运算规则
3. 导数的乘法运算规则
4. 导数的除法运算规则
三、教学难点与重点
难点：理解导数的四则运算规则，掌握其应用方法。

重点：导数的加、减、乘、除运算规则。

四、教具和多媒体资源
1. 黑板
2. 投影仪
3. 教学软件：几何画板
五、教学方法
1. 激活学生的前知：回顾导数的定义和性质，为学习导数的四则运算做准备。

2. 教学策略：通过讲解、示范、小组讨论等方式进行教学。

3. 学生活动：进行导数的四则运算练习，解决实际问题。

六、教学过程
1. 导入：通过实际问题导入，例如：速度的变化与加速度的关系，曲线的切线斜率等。

2. 讲授新课：讲解导数的四则运算规则，并举例说明。

3. 巩固练习：给出几个实际问题，让学生运用导数的四则运算规则求解。

4. 归纳小结：总结导数的四则运算规则，强调在实际问题中的应用。

七、评价与反馈
1. 设计评价策略：通过课堂小测验或小组报告的方式评价学生的学习效果。

2. 为学生提供反馈：根据学生的测验或报告结果，为学生提供学习建议和指导。

八、作业布置
1. 完成教材上的相关练习题。

2. 自行寻找一些实际问题，运用导数的四则运算规则求解。

教学对象：大学本科生教学目标：1. 理解导数的概念，掌握导数的定义及求导方法。

2. 掌握导数的四则运算法则，包括导数的加法、减法、乘法和除法法则。

3. 学会运用导数的四则运算法则求解复合函数的导数。

4. 通过实例分析，培养学生运用导数解决实际问题的能力。

教学重点：1. 导数的四则运算法则。

2. 复合函数的导数求解。

教学难点：1. 导数的四则运算法则的推导和应用。

2. 复合函数导数的求解。

教学准备：1. 教学课件2. 练习题教学过程：一、导入1. 复习导数的定义和求导方法。

2. 引入导数的四则运算法则，提出教学目标。

二、新知讲解1. 导数的四则运算法则（1）导数的加法法则：若函数f(x)和g(x)的导数存在，则它们的和的导数为f'(x) + g'(x)。

（2）导数的减法法则：若函数f(x)和g(x)的导数存在，则它们的差的导数为f'(x) - g'(x)。

（3）导数的乘法法则：若函数f(x)和g(x)的导数存在，则它们的积的导数为f'(x)g(x) + f(x)g'(x)。

（4）导数的除法法则：若函数f(x)和g(x)的导数存在，且g'(x)≠0，则它们的商的导数为(f'(x)g(x) - f(x)g'(x)) / [g(x)]^2。

2. 复合函数的导数求解（1）内函数和外函数的导数存在。

（2）根据链式法则，复合函数的导数为外函数导数乘以内函数导数。

三、例题分析1. 举例说明导数的四则运算法则的应用。

2. 举例说明复合函数导数的求解。

四、练习1. 学生独立完成练习题，巩固所学知识。

2. 教师解答学生疑问。

五、总结1. 回顾本节课所学内容，强调导数的四则运算法则和复合函数导数的求解。

2. 强调导数在实际问题中的应用。

六、课后作业1. 完成课后练习题，加深对导数的四则运算法则和复合函数导数的理解。

2. 预习下一节课内容。

教学反思：1. 本节课通过讲解导数的四则运算法则和复合函数导数的求解，帮助学生掌握了导数的运算方法。

§1.2导数的计算1.2.1几个常用函数的导数1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)内容要求 1.能根据定义，求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝1x的导数.2.能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数. 3.会使用导数公式表.知识点1几个常用函数的导数原函数导函数f(x)＝c f′(x)＝0f(x)＝x f′(x)＝1f(x)＝x2f′(x)＝2xf(x)＝1x f′(x)＝－1x2f(x)＝x f′(x)＝1 2x【预习评价】思考根据上述五个公式，你能总结出函数y＝xα的导数是什么吗？提示y＝xα的导数是y′＝αxα－1.知识点2基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)＝c f′(x)＝0f(x)＝xα(α∈Q*)f′(x)＝αxα－1f(x)＝sin x f′(x)＝cos__xf(x)＝cos x f′(x)＝－sin__xf(x)＝a x f′(x)＝a x ln__a(a>0)f(x)＝e x f′(x)＝e xf(x)＝log a x f′(x)＝1x ln a(a>0，且a≠1)f (x )＝ln xf′(x )＝1x求下列函数的导数：(1)f (x )＝4x 5；(2)g (x )＝cos π4；(3)h (x )＝3x . 解 (1)f (x )＝x 54，∴f ′(x )＝54x 14； (2)g (x )＝cos π4＝22，∴g ′(x )＝0； (3)h ′(x )＝3x ln 3.题型一 利用导数定义求函数的导数【例1】 利用导数的定义求函数f (x )＝2 019x 2的导数. 解 f ′(x )＝0limx ∆→2 019（x ＋Δx ）2－2 019x 2x ＋Δx －x＝0lim x ∆→2 019[x 2＋2x ·Δx ＋（Δx ）2]－2 019x 2Δx＝0lim x ∆→4 038x ·Δx ＋2 019（Δx ）2Δx ＝0lim x ∆→(4 038x ＋2 019Δx )＝4 038x .规律方法 解答此类问题，应注意以下几条： (1)严格遵循“一差、二比、三取极限”的步骤.(2)当Δx 趋于0时，k ·Δx (k ∈R )，(Δx )n (n ∈N *)等也趋于0.(3)注意通分、分母(或分子)有理化、因式分解、配方等技巧的应用. 【训练1】 利用导数的定义求函数y ＝x 2＋ax ＋b (a ，b 为常数)的导数. 解 y ′＝0lim x ∆→（x ＋Δx ）2＋a （x ＋Δx ）＋b －（x 2＋ax ＋b ）Δx＝0lim x ∆→x 2＋2x ·Δx ＋（Δx ）2＋ax ＋a ·Δx ＋b －x 2－ax －bΔx＝0lim x ∆→2x ·Δx ＋a ·Δx ＋（Δx ）2Δx＝0lim x ∆→ (2x ＋a ＋Δx )＝2x ＋a .题型二 利用导数公式求函数的导数 【例2】 求下列函数的导数：(1)y ＝sin π3；(2)y ＝5x ；(3)y ＝1x 3；(4)y ＝4x 3； (5)y ＝log 3x . 解 (1)y ′＝0； (2)y ′＝(5x )′＝5x ln 5； (3)y ′＝(x －3)′＝－3x －4； (4)y ′＝(4x3)′＝(x 34)′＝34x －14＝344x； (5)y ′＝(log 3x )′＝1x ln 3.规律方法 求简单函数的导函数的基本方法： (1)用导数的定义求导，但运算比较烦琐；(2)用导数公式求导，可以简化运算过程、降低运算难度.解题时根据所给问题的特征，将题中函数的结构进行调整，再选择合适的求导公式. 【训练2】 求下列函数的导数： (1)y ＝x 13； (2)y ＝4x ； (3)y ＝sin x ； (4)y ＝15x 2.解 (1)y ′＝(x 13)′＝13x 13－1＝13x 12； (2)y ′＝(4x )′＝(x 14)′＝14x 14－1＝14x －34；(3)y ′＝(sin x )′＝cos x ； (4)y ′＝(15x 2)′＝(x －25)′＝－25x －25－1＝－25x －75.方向1 利用导数求曲线的切线方程【例3－1】 求过曲线y ＝sin x 上点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，12且与在这点处的切线垂直的直线方程.解 ∵y ＝sin x ，∴y ′＝cos x ， 曲线在点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，12处的切线斜率是：y ′|x ＝π6＝cos π6＝32.∴过点P 且与切线垂直的直线的斜率为－23， 故所求的直线方程为y －12＝－23(x －π6)，即2x ＋3y －32－π3＝0. 方向2 切线方程的综合应用【例3－2】 设P 是曲线y ＝e x 上任意一点，求点P 到直线y ＝x 的最小距离. 解 如图，设l 是与直线y ＝x 平行，且与曲线y ＝e x 相切的直线，则切点到直线y ＝x 的距离最小.设与直线y ＝x 平行的直线l 与曲线y ＝e x 相切于点P (x 0，y 0). 因为y ′＝e x ，所以e x 0＝1，所以x 0＝0. 代入y ＝e x ，得y 0＝1，所以P (0，1). 所以点P 到直线y ＝x 的最小距离为|0－1|2＝22. 规律方法 导数的几何意义是曲线在某点处的切线的斜率；相互垂直的直线斜率乘积等于－1是解题的关键.【训练3】 (1)求曲线y ＝cos x 在点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，32处的切线方程；(2)求曲线y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x 在点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，12处的切线方程.解 (1)∵y ＝cos x ，∴y ′＝－sin x ，y ′|x =π6＝－sin π6＝－12.∴曲线在点A 处的切线方程为y －32＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，即6x ＋12y －63－π＝0. (2)∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝cos x ，∴y ′＝(cos x )′＝－sin x .∴曲线在点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，12处的切线的斜率为k ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝32.∴切线方程为y －12＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，即33x －6y ＋3π＋3＝0.课堂达标1.已知f (x )＝x 2，则f ′(3)等于( ) A.0B.2xC.6D.9解析 ∵f (x )＝x 2，∴f ′(x )＝2x ，∴f ′(3)＝6. 答案 C2.函数f (x )＝x ，则f ′(3)等于( ) A.36B.0C.12xD.32解析 ∵f ′(x )＝(x )′＝12x ，∴f ′(3)＝123＝36.答案 A3.设正弦曲线y ＝sin x 上一点P ，以点P 为切点的切线为直线l ，则直线l 的倾斜角α的范围是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π B.[0，π)C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π4 解析 ∵(sin x )′＝cos x ，∴k l ＝cos x ，∴－1≤tan α≤1，又∵α∈[0，π)， ∴α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π.答案 A4.曲线y ＝e x 在点(2，e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为________. 解析 ∵y ′＝(e x )′＝e x ，∴k ＝e 2，∴曲线在点(2，e 2)处的切线方程为y －e 2＝e 2(x －2)， 即y ＝e 2x －e 2.当x ＝0时，y ＝－e 2，当y ＝0时，x ＝1. ∴S △＝12×1×|－e 2|＝12e 2. 答案 12e 25.已知f(x)＝52x2，g(x)＝x3，若f′(x)－g′(x)＝－2，则x＝________.解析因为f′(x)＝5x，g′(x)＝3x2，所以5x－3x2＝－2，解得x1＝－13，x2＝2.答案－13或2课堂小结1.利用常见函数的导数公式可以比较简捷地求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数公式.解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归.2.有些函数可先化简再应用公式求导.如求y＝1－2sin2x2的导数.因为y＝1－2sin 2x2＝cos x，所以y′＝(cos x)′＝－sin x.3.对于正弦、余弦函数的导数，一是注意函数的变化，二是注意符号的变化.基础过关1.函数y＝3x在x＝2处的导数为()A.9B.6C.9ln 3D.6ln 3解析y′＝(3x)′＝3x ln 3，故所求导数为9ln 3.答案 C2.下列结论中，不正确的是()A.若y＝1x3，则y′＝－3x4B.若y＝3x，则y′＝3x3C.若y＝1x2，则y′＝－2x－3D.若f(x)＝3x，则f′(1)＝3 解析由(x n)′＝nx n－1知，选项A，y＝1x3＝x－3，则y′＝－3x－4＝－3x4；选项B ，y ＝3x ＝x 13，则y ′＝13x －23≠3x3；选项C ，y ＝1x 2＝x －2，则y ′＝－2x －3； 选项D ，由f (x )＝3x 知f ′(x )＝3， ∴f ′(1)＝3.∴选项A ，C ，D 正确.故选B. 答案 B3.已知f (x )＝cos x ，f ′(x )＝－1，则x 等于( ) A.π2B.－π2C.π2＋2k π，k ∈ZD.－π2＋2k π，k ∈Z解析 ∵f ′(x )＝－sin x ，则sin x ＝1， ∴x ＝π2＋2k π，k ∈Z . 答案 C4. 曲线y ＝x 2＋1x 在点(1，2)处的切线方程为________． 解析 设y ＝f (x )，则f ′(x )＝2x －1x 2， 所以f ′(1)＝2－1＝1，所以在(1，2)处的切线方程为y －2＝1×(x －1)， 即y ＝x ＋1. 答案 y ＝x ＋15.若曲线y ＝x －12在点(a ，a －12)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a ＝________. 解析∵y ＝x －12，∴y ′＝－12x －32，∴曲线在点(a ，a －12)处的切线斜率k ＝－12a －32，∴切线方程为y －a －12＝－12a －32(x －a ).令x ＝0得y ＝32a －12；令y ＝0得x ＝3a . ∵该切线与两坐标轴围成的三角形的面积为 S ＝12·3a ·32a －12＝94a 12＝18，∴a ＝64. 答案 646.已知f (x )＝cos x ，g (x )＝x ，求适合f ′(x )＋g ′(x )≤0的x 的值. 解 ∵f (x )＝cos x ，g (x )＝x ，∴f ′(x )＝(cos x )′＝－sin x ，g ′(x )＝x ′＝1. 由f ′(x )＋g ′(x )≤0， 得－sin x ＋1≤0， 即sin x ≥1， 但sin x ∈[－1，1]，∴sin x ＝1，∴x ＝2k π＋π2，k ∈Z .7．求下列函数的导数：(1)y ＝5x 3；(2)y ＝1x 4；(3)y ＝－2sin x 2(1－2cos 2x 4)；(4)y ＝log 2x 2－log 2x .解 (1)y ′＝(5x 3)′＝(x 35)′＝35x 35－1＝35x －25＝355x2. (2)y ′＝⎝⎛⎭⎫1x 4′＝(x －4)＝－4x －4－1＝－4x －5＝－4x 5. (3)∵y ＝－2sin x2⎝⎛⎭⎫1－2cos 2x 4 ＝2sin x 2⎝⎛⎭⎫2cos 2x 4－1＝2sin x 2cos x2＝sin x ， ∴y ′＝(sin x )′＝cos x .(4)∵y ＝log 2x 2－log 2x ＝log 2x ，∴y ′＝(log 2x )′＝1x ·ln 2. 能力提升8.函数f (x )＝x 3的斜率等于1的切线有( ) A.1条 B.2条 C.3条D.不确定解析 ∵f ′(x )＝3x 2，设切点为(x 0，y 0)，则3x 20＝1，得x 0＝±33，即在点⎝ ⎛⎭⎪⎫33，39和点⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，－39处分别有斜率为1的切线.答案 B9.已知直线y ＝kx 是曲线y ＝e x 的切线，则实数k 的值为( ) A.1e B.－1e C.－eD.e解析y ′＝e x，设切点为(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝kx 0，y 0＝e x0，k ＝e x 0，∴e x 0＝e x 0·x 0，∴x 0＝1，∴k ＝e. 答案 D10.曲线y ＝ln x 在x ＝a 处的切线倾斜角为π4，则a ＝________. 解析 ∵y ′＝1x ，∴y ′|x ＝a ＝1a ＝1. ∴a ＝1. 答案 111.若y ＝10x ，则y ′|x ＝1＝________. 解析 y ′＝10x ln 10，∴y ′|x ＝1＝10ln 10. 答案 10ln 1012.已知抛物线y ＝x 2，直线x －y －2＝0，求抛物线上的点到直线的最短距离.解 根据题意可知与直线x －y －2＝0平行的抛物线y ＝x 2的切线，对应的切点到直线x －y －2＝0的距离最短，设切点坐标为(x 0，x 20)，则y ′|x ＝x 0＝2x 0＝1，所以x 0＝12，所以切点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14， 切点到直线x －y －2＝0的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－14－22＝728， 所以抛物线上的点到直线x －y －2＝0的最短距离为728.创新突破13.设f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f 0′(x )，f 2(x )＝f 1′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N ，试求f 2 019(x ). 解 ∵f 1(x )＝(sin x )′＝cos x ，f 2(x )＝(cos x )′＝－sin x ，f 3(x )＝(－sin x )′＝－cos x ，f 4(x )＝(－cos x )′＝sin x ，f 5(x )＝(sin x )′＝f 1(x )，f 6(x )＝f 2(x )，…，∴f n ＋4(x )＝f n (x )，可知f (x )的周期为4，∴f 2 019(x )＝f 3(x )＝-cos x .。

高三数学教案范文：导数的概念及其运算教案标题：导数的概念及其运算教学目标：1. 理解导数的概念及其运算；2. 掌握导数的计算方法；3. 能够应用导数解决实际问题。

教学重点：1. 导数的概念；2. 导数的计算方法。

教学难点：1. 导数的计算方法。

教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入导数的概念：导数是微积分中的一个重要概念，表示函数在某一点的变化速率。

导数的概念和计算方法在解决实际问题中具有重要应用。

二、提出问题（5分钟）1. 通过实例引出导数的计算方法：假设有一段直线走进山谷，我们想知道在每个位置上，直线的斜率是多少？三、导数的定义（10分钟）1. 定义导数（以函数f(x)为例）：函数f(x)在某一点x=a处的导数，记作f'(a)，表示函数曲线在点(x=a, f(a))处的切线的斜率。

2. 根据导数的定义，讨论导数的几何意义：导数表示函数曲线在某一点上的切线的斜率，也反映了函数在该点的变化趋势。

四、导数的计算方法（15分钟）1. 导数的计算方法：使用导数的定义，通过极限过程求得导数。

2. 计算导数的示例：（1）求常数函数的导数；（2）求多项式函数的导数；（3）求分式函数的导数。

五、导数运算法则（15分钟）1. 导数运算法则：（1）和法则：(f(x)±g(x))' = f'(x)±g'(x)；（2）积法则：(f(x)g(x))' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)；（3）商法则：(f(x)/g(x))' = (f'(x)g(x) - f(x)g'(x))/[g(x)]^2；（4）复合函数的导数：若y=f(u)，u=g(x)，则y的导数为dy/dx = dy/du * du/dx。

六、应用导数解决实际问题（10分钟）1. 利用导数求函数的增减性和极值；2. 通过实例讲解应用导数解决实际问题的方法。

3．2导数的运算[读教材·填要点]1．一些基本的初等函数导数公式表原函数 导函数 f(x)＝c f′(x)＝0 f(x)＝x α(α≠0)f′(x)＝αxα－1(α≠0)f(x)＝e xf′(x)＝e xf(x)＝a x f′(x)＝a xln a(a>0,a≠1)f(x)＝ln x f′(x)＝1x(x>0)f(x)＝log a x f′(x)＝1xln a(a ＞0,a≠1,x>0)f(x)＝sin x f′(x )＝cos x f(x)＝cos x f′(x)＝－sin x f(x)＝tan xf′(x)＝1cos 2x2．导数的运算法则 (1)(cf(x))′＝cf′(x)；(2)(f(x)±g(x))′＝f′(x)±g′(x)； (3)(f(x)g(x))′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)； (4)⎝ ⎛⎭⎪⎫1f (x )′＝－f′(x )(f (x ))2(f(x)≠0)；(5)⎝⎛⎭⎪⎫g (x )f (x )′＝f (x )g′(x )－g (x )f′(x )[f (x )]2(f(x)≠0)．[小问题·大思维]1．函数f(x)＝ln x 与f(x)＝log a x 、f(x)＝e x与f(x)＝a x的导数公式之间各有什么内在联系？ 提示：f(x)＝ln x 的导数是函数f(x)＝log a x 的导数的特例；f(x)＝e x的导数是函数f(x)＝a x的导数的特例,即a ＝e 时,函数f(x)＝log a x 的导数就是f(x)＝ln x 的导数,函数f(x)＝a x的导数就是f(x)＝e x的导数．2．下列关系式成立吗？(1)(af(x)＋bg(x))′＝af′(x)＋bg′(x),其中a,b 为常数； (2)⎝⎛⎭⎪⎫1f (x )′＝－f′(x )(f (x ))2(f(x)≠0)；(3)(u(x)±v(x)±…±w(x))′＝u′(x)±v′(x)±…±w′(x)． 提示：由导数的运算法则知,这三个关系式都成立．求函数的导数求下列函数的导数．(1)y ＝x 5－3x 3－5x 2＋6；(2)y ＝3x 2＋xcos x ； (3)y ＝lg x －1x 2；(4)y ＝x －1x ＋1；(5)y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)．[自主解答] (1)y′＝(x 5－3x 3－5x 2＋6)′ ＝(x 5)′－(3x 3)′－(5x 2)′＋6′ ＝5x 4－9x 2－10x. (2)y′＝(3x 2＋xcos x)′ ＝(3x 2)′＋(xcos x)′ ＝6x ＋cos x －sin x·x.(3)y′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫lg x －1x 2′＝(lg x)′－⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2′ ＝1xln 10＋2x3. (4)法一：y′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ＋1′＝(x －1)′(x ＋1)－(x －1)(x ＋1)′(x ＋1)2＝x ＋1－(x －1)(x ＋1)2＝2(x ＋1)2.法二：∵y ＝x －1x ＋1＝x ＋1－2x ＋1＝1－2x ＋1.∴y′＝⎝⎛⎭⎪⎫1－2x ＋1′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＋1′＝－2′(x ＋1)－2(x ＋1)′(x ＋1)2＝2(x ＋1)2.(5)∵(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3) ＝(x 2＋3x ＋2)(x ＋3) ＝x 3＋6x 2＋11x ＋6,∴y′＝[(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)]′ ＝(x 3＋6x 2＋11x ＋6)′ ＝3x 2＋12x ＋11.解决函数的求导问题,应先分析所给函数的结构特点,选择正确的公式和法则,对较为复杂的求导运算,一般综合了和、差、积、商几种运算,在求导之前应先将函数化简,然后求导,以减少运算量．1．求下列函数的导数：(1)y ＝sin x －2x 2；(2)y ＝cos x·ln x；(3)y ＝exsin x.解：(1)y′＝(sin x －2x 2)′＝(sin x)′－(2x 2)′＝cos x －4x. (2)y′＝(cos x·ln x)′＝(cos x)′·ln x＋cos x·(ln x)′ ＝－sin x·ln x＋cos xx.(3)y′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫e x sin x ′＝(e x )′·sin x－e x·(sin x )′sin 2x＝e x·sin x－e x·cos x sin 2x ＝e x(sin x －cos x )sin 2x .与切线有关的综合问题(1)设函数f(x)＝13x 3－a 2x 2＋bx ＋c,其中a ＞0,曲线y ＝f(x)在点P(0,f(0))处的切线方程为y＝1,则b ＝________,c ＝________.(2)若曲线y ＝xln x 上在点P 处的切线平行于直线2x －y ＋1＝0,则点P 的坐标是________． [自主解答] (1)由题意得f′(x)＝x 2－ax ＋b,由切点P(0,f(0))既在曲线f(x)＝13x 3－a 2x 2＋bx ＋c 上又在切线y ＝1上知⎩⎪⎨⎪⎧f′(0)＝0，f (0)＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧02－a·0＋b ＝0，13×03－a 2×02＋b·0＋c ＝1，解得b ＝0,c ＝1.(2)设P(x 0,y 0),∵y ＝xln x, ∴y′＝ln x ＋x·1x＝1＋ln x.∴k ＝1＋ln x 0,又k ＝2,∴1＋ln x 0＝2,∴x 0＝e. ∴y 0＝eln e ＝e,∴点P 的坐标是(e,e)． [答案] (1)0 1 (2)(e,e)试求本例(2)中过曲线y ＝xln x 上一点与直线y ＝－x 平行的切线方程． 解：设切点为(x 1,y 1),因为y′＝ln x ＋1, 所以切线的斜率为k ＝ln x 1＋1, 又k ＝－1,得x 1＝1e 2,y 1＝－2e2,故所求的切线方程为y ＋2e 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1e 2,即e 2x ＋e 2y ＋1＝0.关于函数导数的应用及其解决方法(1)应用：导数应用主要有：求在某点处的切线方程,已知切线的方程或斜率求切点,以及涉及切线问题的综合应用．(2)方法：先求出函数的导数,若已知切点则求出切线斜率、切线方程﹔若切点未知,则先设出切点,用切点表示切线斜率,再根据条件求切点坐标．总之,切点在解决此类问题时起着至关重要的作用．2．偶函数f(x)＝ax 4＋bx 3＋cx 2＋dx ＋e 的图象过点P(0,1),且在x ＝1处的切线方程为y ＝x －2,求f(x)的解析式．解：∵f(x)的图象过点P(0,1),∴e ＝1. 又∵f(x)为偶函数,∴f(－x)＝f(x)．故ax 4＋bx 3＋cx 2＋dx ＋e ＝ax 4－bx 3＋cx 2－dx ＋e. ∴b ＝0,d ＝0.∴f(x)＝ax 4＋cx 2＋1.∵函数f(x)在x ＝1处的切线方程为y ＝x －2, ∴切点为(1,－1)．∴a ＋c ＋1＝－1.∵f′(1)＝4a ＋2c,∴4a ＋2c ＝1.∴a ＝52,c ＝－92.∴函数f(x)的解析式为f(x)＝52x 4－92x 2＋1.已知直线x ＋2y －4＝0与抛物线y 2＝4x 相交于A,B 两点,O 是坐标原点,试在抛物线的AOB 上求一点P,使△ABP 的面积最大．[解] 法一：因为|AB|为定值,所以要使△PAB 的面积最大,只要点P 到AB 的距离最大,只要点P 是抛物线的平行于AB 的切线的切点即可,设P(x,y)．由图知,点P 在x 轴下方的图象上,所以y ＝－2x,所以y′＝－1x.因为k AB ＝－12,所以－1x＝－12,x ＝4.由y 2＝4x(y<0),得y ＝－4, 所以P(4,－4)．法二：设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 204，y 0,因为|AB|为定值,所以要使△PAB 的面积最大,只要使点P 到直线AB ：x ＋2y －4＝0的距离最大即可,设点P 到直线AB 的距离为d,则d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪14y 20＋2y 0－45＝15⎪⎪⎪⎪⎪⎪14(y 0＋4)2－8 ,联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，x ＋2y －4＝0，消去x,得y 2＋8y －16＝0, 故y 0∈(－4－42,42－4)． 当y 0＝－4时,d 最大, 此时△PAB 的面积最大, 所以P 点坐标为(4,－4)．1．函数y ＝x(x 2＋1)的导数是( ) A ．x 2＋1 B ．3x 2C ．3x 2＋1D ．3x 2＋x解析：y ＝x(x 2＋1)＝x 3＋x,∴y′＝(x 3＋x)′＝(x 3)′＋x′＝3x 2＋1.答案：C2．已知f(x)＝x α,若f′(－1)＝4,则α等于( ) A ．3 B ．－3 C ．4D ．－4解析：∵f(x)＝x α,∴f(x)′＝αx α－1,∴α(－1)α－1＝4,∴α＝－4.答案：D3．曲线y ＝－x 3＋3x 2在点(1,2)处的切线方程为( ) A ．y ＝3x －1 B ．y ＝－3x ＋5 C ．y ＝3x ＋5D ．y ＝2x解析：依题意得,y′＝－3x 2＋6x,y′|x=1＝－3×12＋6×1＝3,即所求切线的斜率等于3,故所求直线的方程是y －2＝3(x －1),整理得y ＝3x －1.答案：A4．(2017·全国卷Ⅰ)曲线y ＝x 2＋1x在点(1,2)处的切线方程为________．解析：因为y′＝2x －1x 2,所以在点(1,2)处的切线方程的斜率为y′|x=1＝2×1－112＝1,所以切线方程为y －2＝x －1,即x －y ＋1＝0.答案：x －y ＋1＝05．设f(x)＝ax 2－bsin x,且f′(0)＝1,f′⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝12,则a ＝________,b ＝________.解析：∵f′(x)＝2ax －bcos x, f′(0)＝－b ＝1得b ＝－1, f′⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝23πa＋12＝12,得a ＝0.答案：0 －16．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过点P(1,1),且在点Q(2,－1)处与直线y ＝x －3相切,求实数a,b,c 的值．解：∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过点P(1,1), ∴a ＋b ＋c ＝1.①∵y′＝2ax ＋b,∴y′|x=2＝4a ＋b ＝1.② 又曲线过点Q(2,－1),∴4a ＋2b ＋c ＝－1.③ 联立①②③,解得a ＝3,b ＝－11,c ＝9.A 卷一、选择题1．若y ＝2x 3＋3x ＋cos x,则y′等于( ) A ．6x 2＋x －23 －sin x B ．2x 2＋13x －23 －sin xC ．6x 2＋13x －23 ＋sin xD ．6x 2＋13x －23 －sin x解析：y′＝(2x 3)′＋(3x )′＋(cos x)′ ＝6x 2＋13x －23 －sin x.答案：D2．设f(x)＝xln x,若f′(x 0)＝2,则x 0＝( ) A ．e 2B ．e C.ln 22D ．ln 2解析：因为f′(x)＝(xln x)′＝ln x ＋1,所以f′(x 0)＝ln x 0＋1＝2,所以ln x 0＝1,即x 0＝e. 答案：B3．若f(x)＝x 2－2x －4ln x,则f′(x)＞0的解集为( ) A ．(0,＋∞) B ．(－1,0)∪(2,＋∞) C ．(2,＋∞)D ．(－1,0)解析：∵f(x)＝x 2－2x －4ln x, ∴f′(x)＝2x －2－4x＞0,整理得(x ＋1)(x －2)x ＞0,解得－1＜x ＜0或x ＞2,又因为f(x)的定义域为(0,＋∞),所以x ＞2. 答案：C4．曲线y ＝sin x sin x ＋cos x －12在点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0处的切线的斜率为( ) A ．－12 B.12C ．－22 D.22解析：y′＝cos x (sin x ＋cos x )－sin x (cos x －sin x )(sin x ＋cos x )2＝11＋sin 2x ,把x ＝π4代入得导数值为12.答案：B 二、填空题5．若函数f(x)＝ax 4＋bx 2＋c 满足f′(1)＝2,则f′(－1)＝________. 解析：由f(x)＝ax 4＋bx 2＋c 得f′(x)＝4ax 3＋2bx, 又f′(1)＝2,所以4a ＋2b ＝2,所以f′(－1)＝－4a －2b ＝－(4a ＋2b)＝－2. 答案：－26．已知函数f(x)＝ax 3＋x ＋1的图象在点(1,f(1))处的切线过点(2,7),则a ＝________. 解析：∵f′(x)＝3ax 2＋1, ∴f′(1)＝3a ＋1. 又f(1)＝a ＋2,∴切线方程为y －(a ＋2)＝(3a ＋1)(x －1)． ∵切线过点(2,7),∴7－(a ＋2)＝3a ＋1,解得a ＝1. 答案：17．已知函数f(x)＝x 2·f′(2)＋5x,则f′(2)＝________. 解析：f′(x)＝2x·f′(2)＋5, ∴f′(2)＝4f′(2)＋5. ∴f′(2)＝－53.答案：－538．若曲线f(x)＝ax 3＋ln x 存在垂直于y 轴的切线,则实数a 的取值范围是________． 解析：f′(x)＝3ax 2＋1x ,∵f(x)存在垂直于y 轴的切线, ∴f′(x)＝0有解,即3ax 2＋1x ＝0有解．∴3a ＝－1x 3.而x>0,∴a ∈(－∞,0)．答案：(－∞,0) 三、解答题9．求下列函数的导数．(1)y ＝x ⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋1x ＋1x 3；(2)y ＝(1＋sin x)(1－2x)；(3)y ＝sin x －cos x 2cos x.解：(1)y′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋1＋1x 2′＝3x 2－2x 3.(2)y′＝[(1＋sin x)(1－2x)]′＝(1＋sin x)′(1－2x)＋(1＋sin x)(1－2x)′ ＝cos x(1－2x)＋(1＋sin x)(－2) ＝－2sin x －2xcos x ＋cos x －2. (3)y′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －cos x 2cos x ′＝(sin x －cos x )′·2cos x－(sin x －cos x )·(2cos x )′4cos 2x ＝(cos x ＋sin x )·2cos x＋(sin x －cos x )·2sin x4cos 2x ＝24cos 2x ＝12cos 2x. 10．已知直线l 1为曲线y ＝x 2＋x －2在点(1,0)处的切线,l 2为该曲线的另一条切线,且l 1⊥l 2. (1)求直线l 2的方程；(2)求由直线l 1,l 2和x 轴所围成的三角形的面积． 解：(1)y′＝2x ＋1. 直线l 1的方程为y ＝3x －3.设直线l 2过曲线y ＝x 2＋x －2上的点B(b,b 2＋b －2), 则直线l 2的方程为y ＝(2b ＋1)x －b 2－2. 因为l 1⊥l 2,则有2b ＋1＝－13,b ＝－23.所以直线l 2的方程为y ＝－13x －229.(2)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x －3，y ＝－13x －229，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝16，y ＝－52.所以直线l 1和l 2的交点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫16，－52.l 1,l 2与x 轴交点的坐标分别为(1,0),⎝ ⎛⎭⎪⎫－223，0. 所以所求三角形的面积 S ＝12×253×⎪⎪⎪⎪⎪⎪－52＝12512. B 卷一、选择题1．函数y ＝sin x(cos x ＋1)的导数是( ) A ．cos 2x －cos x B ．cos 2x ＋sin x C ．cos 2x ＋cos xD ．cos 2x ＋cos x解析：y′＝(sin x)′(cos x＋1)＋sin x(cos x ＋1)′ ＝cos x(cos x ＋1)＋sin x(－sin x) ＝cos 2x ＋cos x,故选C. 答案：C2．若指数函数f(x)＝a x(a ＞0,a≠1)满足f′(1)＝ln 27,则f′(－1)＝( ) A ．2 B ．ln 3 C.ln 33D ．－ln 3解析：f′(x)＝a xln a,由f′(1)＝aln a ＝ln 27,解得a ＝3,则f′(x)＝3xln 3, 故f′(－1)＝ln 33.答案：C3．若曲线y ＝x 在点P(a,a)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为2,则实数a 的值是( ) A ．4 B ．2 C ．16D ．8解析：∵y′＝12x ,∴切线方程为y －a ＝12a(x －a)．令x ＝0,得y ＝a2,令y ＝0,得x ＝－a, 由题意知12·a2·a＝2,∴a ＝4.答案：A4．若y ＝x 2·4x,则y′＝( ) A ．x 2·4x＋2xB ．(2x ＋x 2)·4xC ．(2x ＋x 2ln 4)·4xD ．(x ＋x 2)·4x解析：y′＝(x 2)′·4x ＋x 2(4x )′ ＝2x·4x ＋x 2·4x ln 4＝(2x ＋x 2ln 4)·4x,故选C.答案：C5．在曲线f(x)＝1x 上切线的倾斜角为34π的点的坐标为( ) A ．(1,1)B ．(－1,－1)C ．(－1,1)D ．(1,1)或(－1,－1) 解析：因为f(x)＝1x ,所以f′(x)＝－1x 2,因为切线的倾斜角为34π,所以切线斜率为－1, 即f′(x)＝－1x 2＝－1,所以x ＝±1, 则当x ＝1时,f(1)＝1；当x ＝－1时,f(1)＝－1,则点坐标为(1,1)或(－1,－1)．答案：D6．曲线y ＝x 3－3x 2＋1在点(1,－1)处的切线方程为( )A ．y ＝3x －4B ．y ＝－3x ＋2C ．y ＝－4x ＋3D ．y ＝4x －5 解析：因为点(1,－1)在曲线y ＝x 3－3x 2＋1上,所以该点处切线的斜率为k ＝y′|x=1＝(3x 2－6x)|x=1＝3－6＝－3,∴切线方程为y ＋1＝－3(x －1),即y ＝－3x ＋2.答案：B二、填空题7．已知f(x)＝a 2(a 为常数),g(x)＝ln x,若2x[f ′(x)＋1]－g′(x)＝1,则x ＝________.解析：因为f′(x)＝0,g′(x)＝1x, 所以2x[f ′(x)＋1]－g′(x)＝2x －1x＝1. 解得x ＝1或x ＝－12,因为x ＞0,所以x ＝1. 答案：1 8．已知函数f(x)＝f′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4cos x ＋sin x,则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4的值为________． 解析：∵f′(x)＝－f′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4sin x ＋cos x, ∴f′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝－f′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4×22＋22,得f′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2－1.∴f(x)＝(2－1)cos x ＋sin x ．∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝1. 答案：19．已知a ∈R,设函数f(x)＝ax －ln x 的图象在点(1,f(1))处的切线为l,则l 在y 轴上的截距为________．解析：因为f′(x)＝a －1x,所以f′(1)＝a －1,又f(1)＝a,所以切线l 的方程为y －a ＝(a －1)(x －1),令x ＝0,得y ＝1.答案：1三、解答题10．求下列函数的导数．(1)y ＝x －ln x ； (2)y ＝(x 2＋1)(x －1)；(3)y ＝x 2sin x ； (4)y ＝x ＋3x 2＋3. 解：(1)y′＝(x －ln x)′＝(x )′－(ln x)′＝12x －1x . (2)y′＝[(x 2＋1)(x －1)]′＝(x 3－x 2＋x －1)′＝(x 3)′－(x 2)′＋(x)′－(1)′＝3x 2－2x ＋1.(3)y′＝(x 2)′·sin x－x 2·(sin x )′sin 2x ＝2xsin x －x 2cos x sin 2x. (4)y ′＝1·(x 2＋3)－(x ＋3)·2x (x 2＋3)2＝－x 2－6x ＋3(x 2＋3)2. 11．已知函数f(x)＝x,g(x)＝aln x,a ∈R.若曲线y ＝f(x)与曲线y ＝g(x)相交且在交点处有相同的切线,求a 的值及该切线的方程． 解：f′(x)＝12x ,g′(x)＝a x (x ＞0), 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝aln x ，12x ＝a x ，解得a ＝e 2,x ＝e 2, 所以两条曲线交点的坐标为(e 2,e)． 切线的斜率为k ＝f′(e 2)＝12e, 所以切线的方程为y －e ＝12e(x －e 2), 即x －2ey ＋e 2＝0.12．设函数f(x)＝ax ＋1x ＋b(a,b ∈Z)在点(2,f(2))处的切线方程为y ＝3. (1)求f(x)的解析式；(2)求曲线y ＝f(x)在点(3,f(3))处的切线与直线x ＝1和直线y ＝x 所围三角形的面积． 解：(1)f′(x)＝a －1(x ＋b )2, 于是⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＋12＋b ＝3，a －1(2＋b )2＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝94，b ＝－83.因为a,b ∈Z,故⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝－1，即f(x)＝x ＋1x －1. (2)由(1)知当x ＝3时,f(3)＝72, f′(x)＝1－1(x －1)2,f′(3)＝1－1(3－1)2＝34, 过点⎝ ⎛⎭⎪⎫3，72的切线方程为y －72＝34(x －3), 即3x －4y ＋5＝0.切线与直线x ＝1的交点为(1,2),切线与直线y ＝x 的交点为(5,5),直线x ＝1与直线y ＝x 的交点为(1,1)．从而所围三角形的面积为12×|5－1|×|2－1|＝2.。

高二数学选修1-1 §3.2导数的计算学案
一、学习目标：1、能根据定义求函数c y =，x y =，2x y =，x
y 1
=
的导数。

2、能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单的函数的导数。

二、自主学习
1、几个常用函数的导数
探究1;在同一平面直角坐标系中，画出函数x y 2=，x y 3=，x y 4=的图像，并根据导数定义，求出他们的导数。

（1） 从图像上看，他们的导数分别表示什么？
（2） 这三个函数中哪个增加的最快？哪个增加的最慢？
（3） 函数kx y =（k ≠0）增（减）的快慢和什么有关？
探究2：画出函数x
y 1
=
的图像，根据图像，描述它的变化情况，并求出曲线在点（1,1）处的切线方程。

2、基本初等函数的导数公式
3、函数x e y =的导数与函数x
a y =的导数有何关系？函数x y ln =的导数与函数x y a log =的导数有什么关
系？
4、若)(/x f =x e ，则)(/x f =x
e 这种说法 正确吗？ 5、导数的四则运算法则
6、思考：导数的运算法则成立的条件是什么？
7、能否认为函数2
2
2)(x ax a x f -+=的导数为)(/
x f =2
22x x a -+或)(/
x f =a x 22+-？
8、函数x
x
x f cos )(=，则)(/x f =
三、本节课的收获：。

导数的计算导学案导数是微积分中的一个重要概念，它描述了函数在其中一点的变化速率。

导数的计算方法非常重要，下面将介绍导数的计算导学案。

一、导数的定义根据导数的定义，函数f在点x处的导数可以通过极限的方法得到：f'(x) = lim(h->0) (f(x+h) - f(x))/h二、导数的基本计算方法根据导数的定义，我们可以利用一些基本的规则计算导数：1.常数的导数为0若c为常数，则d(c)/dx = 02.幂函数的导数对于幂函数y = x^n（n为正整数），导数为dy/dx = nx^(n-1)例如，y = x^2，则dy/dx = 2x3.指数函数的导数对于指数函数y = a^x（a>0且a≠1），导数为dy/dx = a^x * ln(a)例如，y = e^x，则dy/dx = e^x * ln(e) = e^x4.对数函数的导数对于对数函数y = log_a(x)（a>0且a≠1），导数为dy/dx =(1/ln(a)) * (1/x)特别地，自然对数函数y = ln(x)的导数为dy/dx = 1/x5.三角函数的导数对于三角函数，有以下导数公式：sin(x)的导数为cos(x)cos(x)的导数为-sin(x)tan(x)的导数为sec^2(x)cot(x)的导数为-csc^2(x)sec(x)的导数为sec(x)tan(x)csc(x)的导数为-csc(x)cot(x)6.反三角函数的导数对于反三角函数，有以下导数公式：arcsin(x)的导数为1/√(1-x^2)arccos(x)的导数为-1/√(1-x^2)arctan(x)的导数为1/(1+x^2)7.速度与加速度若y表示物体的位移，t表示时间，则速度v的导数为dy/dt，加速度a的导数为d^2y/dt^2三、导数的基本运算法则导数具有一些基本的运算法则，例如和差法则、积法则和商法则等，它们可以辅助我们计算复合函数的导数。

1.2导数的计算导学案(总8页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--导数的计算导学案第一课时：几个常用函数的导数一．学习目标：1．学会应用由定义求导数的三个步骤推导四种常见函数y c =、y x =、2y x =、1y x=、y = 2．掌握并能运用这四个公式正确求函数的导数． 二．学习重、难点：五种常见函数y c =、y x =、2y x =、1y x=、y =三．学习过程 （一）创设情景我们知道，导数的几何意义是曲线在某一点处的切线斜率，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度．那么，对于函数()y f x =，如何求它的导数呢？根据导数的定义，求函数()y f x =的导数，就是求出当x ∆趋近于0的时候，yx∆∆所趋于的那个定值。

（二）获取新知1．函数()y f x c ==的导数 根据导数定义，因为()()0y f x x f x c c x x x∆+∆--===∆∆∆ 所以00limlim 00x x yy ∆→∆→∆'===0y '=表示函数y c =图像上每一点处的切线的斜率都为 ．若y c =表示路程关于时间的函数，则0y '=可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即物体一直处于静止状态． 2．函数()y f x x ==的导数 因为()()1y f x x f x x x xx x x∆+∆-+∆-===∆∆∆所以00lim lim 11x x yy x ∆→∆→∆'===∆1y '=表示函数y x =图像上每一点处的切线的斜率都为 ．若y x =表示路程关于时间的函数，则1y '=可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动．3．函数2()y f x x ==的导数因为22()()()y f x x f x x x x x x x∆+∆-+∆-==∆∆∆ 2222()2x x x x x x x x+∆+∆-==+∆∆所以00limlim (2)2x x yy x x x x ∆→∆→∆'==+∆=∆2y x '=表示函数2y x =图像（图）上点(,)x y 处的切线的斜率都为 ，说明随着x 的变化，切线的斜率也在变化．另一方面，从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看，表明：当0x <时，随着x 的增加，函数2y x =减少得越来越慢；当0x >时，随着x 的增加，函数2y x =增加得越来越快．若2y x =表示路程关于时间的函数，则2y x '=可以解释为某物体做变速运动，它在时刻x 的瞬时速度为2x ．4．函数1()y f x x==的导数 因为11()()y f x x f x x x x x x x-∆+∆-+∆==∆∆∆2()1()x x x x x x x x x x -+∆==-+∆∆+⋅∆所以220011lim lim ()x x y y x x x x x∆→∆→∆'==-=-∆+⋅∆5．函数y=()()y f x x f x xx∆+∆-==∆∆因为==0limlim x x y y x ∆→∆→∆'===∆所以推广：若*()()n y f x x n Q ==∈，则1()n f x nx -'=（三）课堂小结第二课时：基本初等函数的导数公式及导数的运算法则【学习目标】1．熟练掌握基本初等函数的导数公式； 2．掌握导数的四则运算法则；3．能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．。

基本初等函数的导数公式及导数的运算法则导学案教学目标：1、能根据导数的定义推导部分基本初等函数的导数公式；2、能利用导数公式求简单函数的导数。

3．熟练掌握基本初等函数的导数公式；4．掌握导数的四则运算法则；5．能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数。

教学重难点：能利用导数公式求简单函数的导数，基本初等函数的导数公式的应用：【课前自主导学】①基本初等函数的导数公式、函数导数函数导数②常见函数的导数公式导数运算法则1．2．3．【课堂自主导学】例题示范例1：根据基本初等函数的导数公式和求导运算法则，求函数y=x3-2x+3的导数[变式练习]求下列函数的导数(1)y=log2x; (2)y=2ex;(3)y=2x5-3x2+5x-4; (4)y=3cosx-4sinx例2：求函数y=sinx在点（－1，1 ）处的导数。

变式练习1求曲线过点（1,1）的切线方程。

2.已知函数f(x)=2x+x2-x,求fˊ(1), fˊ(2);当堂检测1.的导数是（）A．0 B．1 C．不存在 D．不确定2.已知,则（）A．0 B．2C．6 D．93. 在曲线上的切线的倾斜角为的点为（）A．B．C．D．4. 过曲线上点且与过这点的切线平行的直线方程是【课堂小结】【作业布置】1. （能力拓展）在平面直角坐标系xOy中，点P在曲线C：y＝x3－10x＋3上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线的斜率为2，则点P的坐标为________．2．曲线y＝在点(－1，－1)处的切线方程为( )A．y＝2x＋1 B．y＝2x－1C．y＝－2x－3 D．y＝－2x－2。

3.2 《导数的计算》导学案编写人 审核人： 编写时间：2014.3.1班级：_________ 组别：_____ 组名：________________ 姓名：________【学习目标】(1）、能用导数的定义求五个函数的导数，并理解导数不同方面（几何、物理方面）的意义；(2)、熟记基本初等函数的导数公式和导数运算法则并能利用其求简单函数的导数； (3)、学会求函数在某点或过某点的切线方程【学习重难点】重点：会利用定义计算5个函数的导数，感受根据导数定义求导数这种基本方法，并能利用基本初等函数的导数公式和导数运算法则求简单函数的导数. 难点：与导数有关的切线方程的应用。

【学法指导】1，熟读课本81到85页，认真完成导学案 2，注意双色笔的使用【知识链接】1、利用导数的定义求五个函数y=c （常数）, y=x, y=2x , y=x1，x y =的导数。

2.根据定义求函数的导数实际上最终归结为求极限.具体步骤是 (1)计算y ∆,并化简y x∆∆； (2)观察当x ∆趋近于0时,yx∆∆趋近于哪个定值(3)y x∆∆趋近于的定值就是函数的导数. 【基础预习】新知1、基本初等函数的导数公式（熟记）____='C （C 为常数）;_______)(='x a ___________)(='x e ；______)(log ='x a =')(ln x _________；)('αx =_____________ ； )(sin 'α=____________ =')(cos α________ .新知2、导数运算法则（熟记） []='±)()(x g x f[]=')()(x g x f ______________________ []=')(x Cf ______________='⎥⎦⎤⎢⎣⎡)()(x g x f __________________________ 注：教材直接给出基本初等函数的导数公式及导数的运算法则，不要求根据导数的定义推导这些公式和法则，只要求能够利用它们求简单函数的导数即可。

4．2导数的运算[读教材·填要点]1．求导公式(1)几个幂函数的导数：原函数 导函数 f(x)＝c f′(x)＝0 f(x)＝x f′(x)＝1 f(x)＝x 2f′(x)＝2x f(x)＝x 3 f′(x)＝3x 2f(x)＝1xf′(x)＝－1x 2f(x)＝xf′(x)＝12x(2)基本初等函数的导数公式：原函数 导函数 f(x)＝x α(α≠0)f′(x)＝α·xα－1f(x)＝e xf′(x)＝e x f(x)＝a x(a ＞0且a≠1) f′(x)＝a xln_a f(x)＝ln x(x ＞0) f′(x)＝1xf(x)＝log a x(a ＞0且a≠1)f′(x)＝1xln af(x)＝sin x f′(x)＝cos_x f(x)＝cos x f′(x)＝－sin_x f(x)＝tan xf′(x)＝1cos 2x2．求导法则(1)(cf(x))′＝cf′(x)；(2)(f(x)＋g(x))′＝f′(x)＋g′(x), (f(x)－g(x))′＝f′(x)－g′(x)；(3)(f(x)g(x))′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)； (4)⎝⎛⎭⎪⎫1f x ′＝－f′xf x 2(f(x)≠0)；(5)⎝ ⎛⎭⎪⎫g x f x ′＝fx g′x －g x f′xf x2(f(x)≠0)； (6)若y ＝f(u),u ＝g(x),则y x ′＝y u ′·u x ′.[小问题·大思维]1．下面的计算过程正确吗？⎝⎛⎭⎪⎫sin π4′＝cos π4＝22. 提示：不正确．因为sin π4＝22是一个常数,而常数的导数为零,所以⎝⎛⎭⎪⎫sin π4′＝0.若函数f(x)＝sin x,则f′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝22. 2．若f(x),g(x)都是可导函数,且f(x)≠0,那么下列关系式成立吗？ (1)[af(x)＋bg(x)]′＝af′(x)＋bg′(x)(a ,b 为常数)； (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤a f x ′＝－af′x [f x ]2(a 为常数)．提示：由导数的运算法则可知,这两个关系式都正确． 3．函数y ＝ln(2x ＋1)的导函数是什么？提示：y ＝ln(2x ＋1)是由函数y ＝ln u 和u ＝2x ＋1复合而成的, ∴y x ′＝y u ′·u x ′＝1u ·(2x＋1)′＝2u ＝22x ＋1.应用导数公式求导数求下列函数的导数：(1)y ＝10x；(2)y ＝lg x －1x 2；(3)y ＝log 12x ；(4)y ＝4x 3；(5)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x 2＋cos x 22－1. [自主解答] (1)y′＝(10x)′＝10xln 10.(2)y′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫lg x －1x 2′＝(lg x)′－⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2′＝1xln 10＋2x 3.(3)y′＝(log 12x)′＝1xln12＝－1xln 2.(4)y′＝(4x 3)′＝(x 34)′＝34x －14＝3 4 4x .(5)∵y ＝⎝⎛⎭⎪⎫sin x 2＋cos x 22－1 ＝sin 2x 2＋2sin x 2cos x 2＋cos 2x2－1＝sin x,∴y′＝(sin x)′＝cos x.求简单函数的导函数有两种基本方法 (1)用导数的定义求导,但运算比较繁杂；(2)用导数公式求导,可以简化运算过程、降低运算难度．解题时根据所给问题的特征,将题中函数的结构进行调整,再选择合适的求导公式．1．求下列函数的导数：(1)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x；(2)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫110x；(3)y ＝lg 5；(4)y ＝3lg 3x ；(5)y ＝2cos 2x2－1.解：(1)y′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x ln 1e＝－1e x ＝－e －x.(2)y′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫110x ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫110x ln 110＝－ln 1010x＝－10－xln 10.(3)∵y ＝lg 5是常数函数, ∴y′＝(lg 5)′＝0. (4)∵y ＝3lg 3x ＝lg x, ∴y′＝(lg x)′＝1xln 10.(5)∵y ＝2cos 2x2－1＝cos x,∴y′＝(cos x)′＝－sin x.利用导数运算法则求导数求下列函数的导数．(1)y ＝x·tan x；(2)y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)； (3)y ＝x ＋3x 2＋3；(4)y ＝xsin x －2cos x ；(5)y ＝e 3x；(6)y ＝5log 2(2x ＋1)． [自主解答] (1)y′＝(x·tan x)′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫xsin x cos x ′＝xsin x ′cos x－xsin xcos x ′cos 2x＝sin x ＋xcos x cos x ＋xsin 2x cos 2x ＝sin xcos x ＋xcos 2x. (2)∵(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)＝(x 2＋3x ＋2)(x ＋3) ＝x 3＋6x 2＋11x ＋6,∴y′＝[(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)]′＝(x 3＋6x 2＋11x ＋6)′ ＝3x 2＋12x ＋11.(3)y′＝x ＋3′x 2＋3－x ＋3x 2＋3′x 2＋32＝－x 2－6x ＋3x 2＋32.(4)y′＝(xsin x)′－⎝⎛⎭⎪⎫2cos x ′＝sin x ＋xcos x －2sin x cos 2x .(5)函数y ＝e 3x可以看成函数y ＝e u和函数u ＝3x 的复合函数． ∴y x ′＝y u ′·u x ′＝(e u)′·(3x)′＝3e u＝3e 3x.(6)函数y ＝5log 2(2x ＋1)可以看成函数y ＝5log 2u 和函数u ＝2x ＋1的复合函数． ∴y x ′＝y u ′·u x ′＝5(log 2u)′·(2x＋1)′＝10uln 2＝102x ＋1ln 2.(1)利用函数的和、差、积、商的求导法则求函数的导数时,要分清函数的结构,再利用相应的法则进行求导．(2)遇到函数的表达式是乘积形式或是商的形式,有时先将函数表达式展开或化简,然后再求导． (3)对于简单复合函数的求导,其一般步骤为“分解—求导—回代”,即：①弄清复合关系,将复合函数分解成基本初等函数形式；②利用求导法则分层求导；③最终结果要将中间变量换成自变量．注意不要漏掉第③步回代的过程．2．求下列函数的导数：(1)y ＝2xcos x －3xlog 2x ；(2)y ＝(2x 2＋3)(3x －2)； (3)y ＝e x＋1e x －1；(4)y ＝x －12x ；(5)y ＝11＋3x4；(6)y ＝x·e －x.解：(1)y′＝(2x cos x －3xlog 2x)′＝(2x)′cos x＋2x(cos x)′－3[x ′log 2x ＋x(log 2x)′] ＝2xln 2cos x －2xsin x －3(log 2x ＋x·1xln 2) ＝2xln 2cos x －2xsin x －3log 2x －3ln 2. (2)法一：y′＝(2x 2＋3)′(3x－2)＋(2x 2＋3)(3x －2)′＝4x(3x －2)＋(2x 2＋3)·3 ＝18x 2－8x ＋9.法二：∵y ＝(2x 2＋3)(3x －2)＝6x 3－4x 2＋9x －6, ∴y′＝18x 2－8x ＋9. (3)y′＝e x ＋1′e x －1－e x＋1e x－1′e x －12＝－2e xe x－12.(4)法一：y′＝[x －12]′x－x －12·x′x2＝x 2－2x ＋1′x－x －12x 2＝2x －2x －x －12x2＝1－1x2.法二：∵y ＝x 2－2x ＋1x ＝x －2＋1x ,∴y′＝1－1x2.(5)函数y ＝11＋3x4＝(1＋3x)－4可以看作函数y ＝t －4和t ＝1＋3x 的复合函数,根据复合函数求导法则可得y x ′＝y t ′·t x ′＝(t －4)′·(1＋3x)′＝(－4t －5)·3＝－12(1＋3x)－5.(6)函数y ＝e －x可以看作函数y ＝e u和u ＝－x 的复合函数, 所以y x ′＝y u ′·u x ′＝(e u)′·(－x)′＝－e u＝－e －x, 所以y′＝(xe －x)′＝x′e －x＋x(e －x)′ ＝e －x＋x(－e －x)＝(1－x)e －x.导数的实际应用“菊花”烟花是最壮观的烟花之一,制造时通常期望它在达到最高点时爆裂．如果烟花距地面的高度h (m)与时间t (s)之间的关系式为h(t)＝－4.9t 2＋14.7t ＋18,求烟花在t ＝2 s 时的瞬时速度,并解释烟花升空后的运动状况．[自主解答] 烟花在t ＝2 s 时的瞬时速度就是h′(2)． ∵h′(t)＝－9.8t ＋14.7, ∴h′(2)＝－4.9.即在t ＝2 s 时,烟花正以4.9 m/s 的瞬时速度下降． 如图,结合导数的几何意义,我们可以看出：在t ＝1.5 s 附近曲线比较平坦,也就是说此时烟花的瞬时速度几乎为0,达到最高点并爆裂；在0～1.5 s 之间,曲线在任何点的切线斜率都大于0且切线的倾斜程度越来越小,也就是说烟花在达到最高点前,以越来越小的速度升空；在1.5 s 后,曲线在任何点的切线斜率都小于0且切线的倾斜程度越来越大,即烟花达到最高点后,以越来越大的速度下落,直到落地．解决此类问题,应在熟悉导数的数学意义的同时熟悉导数的物理意义,建立变量之间的表达式是关键．3．某圆柱形容器的底面半径为1 m,深度为1 m,盛满液体后以0.01 m 3/s 的速度放出,求液面高度的瞬时变化率．解：设液体放出t s 后的液面高度为h m, 则由题意得π·12·h＝π－0.01t, 化简得h ＝1－0.01πt,∴液面高度的瞬时变化率为h′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－0.01πt ′ ＝－0.01π(m/s)．求抛物线y ＝x 2上的点到直线x －y －2＝0的最短距离．[解] 法一：设直线l ：x －y ＋m ＝0(m≠－2)与抛物线y ＝x 2相切, 显然直线l 与直线x －y －2＝0平行．依题意知,l 与直线x －y －2＝0间的距离就是要求的最短距离,由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋m ＝0，y ＝x 2，得x 2－x －m ＝0.由Δ＝1＋4m ＝0,得m ＝－14,∴l 的方程为x －y －14＝0.两平行线间的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－2＋142＝728.∴抛物线y ＝x 2上的点到直线x －y －2＝0的最短距离为728. 法二：依题意知,与直线x －y －2＝0平行的抛物线y ＝x 2的切线的切点到直线x －y －2＝0的距离最短．设切点坐标为(x 0,x 20)．∵y′＝(x 2)′＝2x, ∴2x 0＝1,∴x 0＝12.∴切点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14. 切点到直线x －y －2＝0的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－14－22＝728.1．已知函数f(x)＝ax 2＋c,且f′(1)＝2,则a 的值为( ) A ．1 B. 2 C ．－1D ．0解析：∵f(x)＝ax 2＋c,∴f′(x)＝2ax,又∵f′(1)＝2a,∴2a ＝2,∴a ＝1. 答案：A2．已知函数f(x)＝x ＋ln x,则f′(1)的值为( ) A ．1 B ．2 C ．－1D ．－2解析：∵f′(x)＝1＋1x ,∴f′(1)＝2.答案：B3．下列求导运算正确的是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ′＝1＋1x 2 B ．(log 2x)′＝1xln 2C ．(3x)′＝3xlog 3eD ．(x 2cos x)′＝－2sin x解析：⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ′＝x′＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ′＝1－1x 2；(3x )′＝3xln 3；(x 2cos x)′＝(x 2)′cos x＋x 2(cos x)′＝2xcos x －x 2sin x. 答案：B4．若函数f(x)＝ln xx ,则f′(2)＝________.解析：由f′(x)＝1－ln x x 2,得f′(2)＝1－ln 24. 答案：1－ln 245．(全国卷Ⅰ)曲线y ＝x 2＋1x 在点(1,2)处的切线方程为________．解析：因为y′＝2x －1x2,所以在点(1,2)处的切线方程的斜率为 y′|x ＝1＝2×1－1＝1,所以切线方程为 y －2＝x －1,即x －y ＋1＝0. 答案：x －y ＋1＝06．已知函数f(x)＝x,g(x)＝aln x,a ∈R.若曲线y ＝f(x)与曲线y ＝g(x)相交且在交点处有相同的切线,求a 的值及该切线的方程．解：f′(x)＝12x ,g′(x)＝ax (x>0),设两曲线的交点为P(x 0,y 0),则⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝aln x 0，12x 0＝ax 0，解得a ＝e 2,x 0＝e 2,所以两条曲线交点的坐标为(e 2,e)． 切线的斜率为 k ＝f′(e 2)＝12e,所以切线的方程为y －e ＝12e (x －e 2),即x －2ey ＋e 2＝0.一、选择题1．若指数函数f(x)＝a x(a>0,a≠1)满足f′(1)＝ln 27,则f′(－1)＝( ) A ．2 B ．ln 3 C.ln 33D ．－ln 3解析：f′(x)＝a xln a,由f′(1)＝aln a ＝ln 27, 解得a ＝3,则f′(x)＝3xln 3,故f′(－1)＝ln 33.答案：C2．某汽车的路程函数是s(t)＝2t 3－12gt 2(g ＝10 m/s 2),则当t ＝2 s 时,汽车的加速度是( )A ．14 m/s 2B ．4 m/s 2C ．10 m/s 2D ．－4 m/s 2解析：由题意知,汽车的速度函数为v(t)＝s′(t)＝6t 2－gt,则v′(t)＝12t －g, 故当t ＝2 s 时,汽车的加速度是v′(2)＝12×2－10＝14 m/s 2. 答案：A3．函数f(x)＝e xsin x 的图象在点(0,f(0))处的切线的倾斜角为( ) A.3π4 B.π3 C.π4 D.π6解析：因为f′(x)＝e x sin x ＋e xcos x,所以f′(0)＝1, 即曲线y ＝f(x)在点(0,f(0))处的切线的斜率为1, 所以在点(0,f(0))处的切线的倾斜角为π4.答案：C4．曲线y ＝sin x sin x ＋cos x －12在点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0处的切线的斜率为( ) A ．－12 B.12C ．－22 D.22解析：y′＝cos x sin x ＋cos x －sin x cos x －sin x sin x ＋cos x 2＝11＋sin 2x , 把x ＝π4代入得导数值为12.答案：B 二、填空题5．已知f(x)＝1x ,g(x)＝mx,且g′(2)＝1f′2,则m ＝________.解析：∵f′(x)＝－1x 2,∴f′(2)＝－14.又∵g′(x)＝m,∴g′(2)＝m.由g′(2)＝1f′2,得m ＝－4.答案：－46．设函数f(x)在(0,＋∞)内可导,且f(e x)＝x ＋e x,则f′(1)＝________. 解析：因为f(e x)＝x ＋e x,所以f(x)＝x ＋ln x(x>0), 所以f′(x)＝1＋1x ,所以f′(1)＝2.答案：27．已知函数f(x)＝f′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4cos x ＋sin x,则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4的值为________． 解析：∵f′(x)＝－f′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4sin x ＋cos x, ∴f′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝－f′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4×22＋22,得f′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2－1.∴f(x)＝(2－1)cos x ＋sin x ．∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝1. 答案：1 8．设曲线y ＝e ax在点(0,1)处的切线与直线x ＋2y ＋1＝0垂直,则a ＝________. 解析：∵y ＝e ax 在点(0,1)处的切线与直线x ＋2y ＋1＝0垂直,又y′＝ae ax ,∴a ＝2.答案：2三、解答题9．求下列函数的导数．(1)y ＝(2 018－8x)8；(2)y ＝2x sin x ； (3)y ＝x 1＋x 2；(4)y ＝cos x·sin 3x.解：(1)y′＝8(2 018－8x)7·(2 018－8x)′＝－64(2 018－8x)7＝64(8x －2 018)7.(2)y′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x sin x ′＝2x ′·sin x－2x ·sin x ′sin x 2 ＝2x ln 2·sin x－2x ·cos x sin 2x. (3)y′＝ 1＋x 2＋x[(1＋x 2) 12]′＝1＋x 2＋x·12·(1＋x 2) -12 (1＋x 2)′ ＝1＋x 2＋x·12·(1＋x 2) -12·2x ＝1＋x 2＋x 21＋x 2＝1＋2x 21＋x 2.(4)y′＝(cos x)′·sin 3x＋cos x·(sin 3x)′＝－sin x·sin 3x＋cos x·cos 3x·(3x)′＝－sin x·sin 3x＋3cos x·cos 3x.10．已知函数f(x)＝x 3＋(1－a)x 2－a(a ＋2)x ＋b(a,b ∈R)．(1)若函数f(x)的图象过原点,且在原点处的切线斜率为－3,求a,b 的值；(2)若曲线y ＝f(x)存在两条垂直于y 轴的切线,求a 的取值范围．解：f′(x)＝3x 2＋2(1－a)x －a(a ＋2)．(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ f 0＝b ＝0，f′0＝－a a ＋2＝－3，解得b ＝0,a ＝－3或1.(2)∵曲线y ＝f(x)存在两条垂直于y 轴的切线,∴关于x 的方程f′(x)＝3x 2＋2(1－a)x －a(a ＋2)＝0有两个不相等的实数根, ∴Δ＝4(1－a)2＋12a(a ＋2)＞0,即4a 2＋4a ＋1＞0,∴a≠－12. ∴a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞.。