2.11-变化率与导数、导数的计算学案(高考一轮复习)

高三数学一轮复习 14.变化率与导数学案【学习目标】1．了解导数概念的某些实际背景(如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等)，掌握函数在一点 处的导数的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念．2．熟记基本导数公式，掌握两个函数和、差、积、商的求导法则，了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数.预 习 案 1．导数的概念(1)f(x)在0x x =处的导数就是f(x)在0x x =处的 ，记作：0/x x y =或()0/x f即(2)当把上式中的0x 看做变量x 时，f ′(x)即为f(x)的 ，简称导数，即3．基本初等函数的导数公式(1)C ′＝ (C 为常数)； (2)(x n )′＝ (n ∈Q *)； (3)(sin x )′＝ ； (4)(cos x )′＝ ； (5)(a x )′＝ ； (6)(e x)′＝ ； (7)(log a x )′＝ ； (8)(ln x )′＝ . 4．两个函数的四则运算的导数 若u (x )、v (x )的导数都存在，则(1)(u ±v )′＝ ； (2)(u ·v )′＝ ； (3)(u v)′＝ ； (4)(cu )′＝ (c 为常数)． 【预习自测】1．某汽车的路程函数是s (t )＝2t 3－12gt 2(g ＝10 m/s 2)，则当t ＝2 s 时，汽车的加速度是( )A ．14 m/s2B ．4 m/s2C ．10 m/s2D ．－4 m/s22．计算：(1)(x 4－3x 3＋1)′＝________. (2)(ln 1x)′＝________.(3)(x e 2x )′＝________. (4)函数y ＝log 2(ax 3)的导数为________．3．曲线y ＝x e x＋2x ＋1在点(0,1)处的切线方程为________．4．设正弦函数y ＝sin x 在x ＝0和x ＝π2附近的平均变化率为k 1，k 2，则k 1，k 2的大小关系为( ) A ．k 1>k 2 B ．k 1<k 2 C ．k 1＝k 2 D ．不确定5.若曲线y ＝x α＋1(α∈R )在点(1,2)处的切线经过坐标原点，则α＝________.探究案题型一利用定义求系数例1 (1)用导数的定义求函数f(x)＝1x在x＝1处的导数．(2)设f(x)＝x3－8x，则li mΔx→0f＋Δx－fΔx＝______；li mx→2f x－fx－2＝______； li mk→0f－k－f2k＝______.探究1.（1）已知f′(a)＝3，则limh→0f a＋3h－f a－hh＝________.(2)求函数y＝x2＋1在x0到x0＋Δx之间的平均变化率题型二导数的运算例2. 求下列函数的导数：(1)y＝(3x3－4x)(2x＋1)； (2)y＝x2sin x2cosx2；(3)y＝3x e x－2x＋e； (4)y＝ln xx2＋1.（5）y＝－sin x2(1－2cos2x4)；（6）y＝tan x；题型三复合函数的导数例3.求下列函数的导数：(1)y＝e2x cos3x； (2)y＝ln x2＋1；(3)y＝(2x－3)5. (4)f(x)＝ln(x－1)2；(5)f(x)＝cos(π3－2x)； (6)f(x)＝e－2x sin(2x)．题型四导数的几何意义例4.已知曲线y＝13x3＋43. (1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程；(2)求曲线过点P(2,4)的切线方程； (3)求满足斜率为1的曲线的切线方程．探究2.求过点(1，－1)的曲线y＝x3－2x的切线方程．拓展：1.若曲线y＝ax2－ln x在点(1，a)处的切线平行于x轴，则a＝________.2.若曲线y＝32x2＋x－12的某一切线与直线y＝4x＋3平行，则切点坐标为________，切线方程为________我的学习总结：（1）我对知识的总结 . （2）我对数学思想及方法的总结。

第13讲 变化率与导数、导数的计算考纲要求考情分析命题趋势1．了解导数概念的实际背景．2．通过函数图象直观理解导数的几何意义．3．能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算求简单函数的导数，并了解复合函数求导法则，能求简单复合函数的导数．2017·全国卷Ⅰ，16 2017·全国卷Ⅱ，11 2016·全国卷Ⅲ，15 2016·北京卷，18(1) 2016·山东卷，10 1．导数的概念及几何意义是命题热点，难度不大，经常与函数结合，通过求导研究函数的性质．2．导数几何意义的应用也是命题热点，难度较大，题型大多是根据导数的几何意义求参数值或参数的取值范围，以及与切线有关的计算、证明问题．分值：5～7分1．函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率 函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率为！！！ f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1###，若Δx ＝x 2－x 1，Δy＝f (x 2)－f (x 1)，则平均变化率可表示为ΔyΔx . 2．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数及几何意义(1)定义：称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率 li m Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝！！！lim Δx →0 Δy Δx ###为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′x ＝x 0，即f ′(x 0)＝lim Δx →0 Δy Δx ＝ li m Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx. (2)几何意义：函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点__(x 0，f (x 0))__处的__切线的斜率__.相应地，切线方程为__y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)__.3．函数f (x )的导函数 称函数f ′(x )＝！！！ lim Δx →0f (x ＋Δx )－f (x )Δx###为f (x )的导函数，导函数也记作y ′.4．基本初等函数的导数公式原函数 导函数f (x )＝c f ′(x )＝__0__ f (x )＝x n (n ∈Q ) f ′(x )＝__nx n －1__ f (x )＝sin x f ′(x )＝__cos_x __ f (x )＝cos x f ′(x )＝__－sin_x __ f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)f ′(x )＝__a x ln_a (a >0且a ≠1)__f (x )＝e xf ′(x )＝__e x __f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)f ′(x )＝！！！1x ln a(a >0，且a ≠1) ### f (x )＝ln xf ′(x )＝！！！ 1x###5．导数的四则运算法则(1)(f (x )±g (x ))′＝__f ′(x )±g ′(x )__；(2)(f (x )g (x ))′＝__f ′(x )·g (x )＋f (x )·g ′(x )__； (3)⎝⎛⎭⎪⎫f (x )g (x )′＝！！！ f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )(g (x ))2###(g (x )≠0)； (4)y ＝f (g (x ))是由y ＝f (μ)，μ＝g (x )复合而成，则y ′x ＝y ′μ·μ′x .1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)．(1)求f ′(x 0)时，可先求f (x 0)，再求f ′(x 0)．( × ) (2)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．( √ ) (3)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．( × ) (4)若f (x )＝f ′(a )x 2＋ln x (a >0)，则f ′(x )＝2xf ′(a )＋1x.( √ )解析 (1)错误．应先求f ′(x )，再求f ′(x 0)．(2)正确．如y ＝1是曲线y ＝cos x 的切线，但其交点个数有无数个．(3)错误．如y ＝0与抛物线y 2＝x 只有一个公共点，但是y ＝0不是抛物线y 2＝x 的切线． (4)正确．f ′(x )＝(f ′(a )x 2＋ln x )′＝(f ′(a )x 2)′＋(ln x )′＝2xf ′(a )＋1x.2．曲线y ＝x ln x 在点(e ，e)处的切线与直线x ＋ay ＝1垂直，则实数a 的值为( A ) A ．2 B ．－2 C ．12D ．－12解析 依题意得y ′＝1＋ln x ，y ′|x ＝e ＝1＋ln e ＝2，所以－1a×2＝－1，a ＝2.3．某质点的位移函数是s (t )＝2t 3－12gt 2(g ＝10 m/s 2)，则当t ＝2 s 时，它的加速度是( A )A ．14 m/s 2B ．4 m/s 2C ．10 m/s 2D ．－4 m/s 2解析 由v (t )＝s ′(t )＝6t 2－gt ，a (t )＝v ′(t )＝12t －g ，得t ＝2时，a (2)＝v ′(2)＝12×2－10＝14(m/s 2)．4．曲线y ＝x 3－x ＋3在点(1,3)处的切线方程为__2x －y ＋1＝0__. 解析 ∵y ′＝3x 2－1，∴y ′|x ＝1＝3×12－1＝2. ∴该切线方程为y －3＝2(x －1)，即2x －y ＋1＝0. 5．函数y ＝x cos x －sin x 的导数为__y ′＝－x sin_x __.解析 y ′＝(x cos x )′－(sin x )′＝x ′cos x ＋x (cos x )′－cos x ＝cos x －x sin x －cos x ＝－x sin x .一 导数的运算导数的运算方法(1)连乘积形式：先展开，化为多项式的形式，再求导．(2)分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导． (3)对数形式：先化为和、差的形式，再求导． (4)根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导．(5)三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导． (6)复合函数：确定复合关系，由外向内逐层求导． 【例1】 求下列函数的导数． (1)y ＝(1－x )⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x ；(2)y ＝ln xx ； (3)y ＝tan x ；(4)y ＝3x e x－2x＋e.解析 (1)∵y ＝(1－x )⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x ＝1x －x ＝x －12 －x 12 ，∴y ′＝(x －12 )′－(x 12 )′＝－12x －32 －12x －12 ＝－12x x －12x.(2)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x x ′＝(ln x )′x －x ′ln x x2＝1x·x －ln xx 2＝1－ln x x2. (3)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x cos x ′＝(sin x )′cos x －sin x (cos x )′cos 2x＝cos x cos x －sin x (－sin x )cos 2x ＝1cos 2x.(4)y ′＝(3x e x)′－(2x)′＋e′＝(3x)′e x＋3x(e x)′－(2x)′＝3xln 3·e x＋3x e x－2xln 2＝(ln 3＋1)·(3e)x －2xln 2.【例2】 (1)已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足关系式f (x )＝x 2＋3xf ′(2)＋ln x ，则f ′(2)＝！！！ －94###.(2)已知函数f (x )＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π6sin x ＋cos x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝__－1__. 解析 (1)∵f (x )＝x 2＋3xf ′(2)＋ln x ， ∴f ′(x )＝2x ＋3f ′(2)＋1x，∴f ′(2)＝4＋3f ′(2)＋12＝3f ′(2)＋92，∴f ′(2)＝－94.(2)∵f (x )＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π6sin x ＋cos x ，∴f ′(x )＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π6cos x －sin x ，∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝32f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－12，∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝－(2＋3)，∴f (x )＝－(2＋3)sin x ＋cos x ， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝－(2＋3)×12＋32＝－1．二 导数的几何意义和切线方程若已知曲线过点P (x 0，y 0)，求曲线过点P (x 0，y 0)的切线，则需分点P (x 0，y 0)是切点和不是切点两种情况求解．(1)当点P (x 0，y 0)是切点时，则切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)·(x －x 0)．(2)当点P (x 0，y 0)不是切点时，可分为以下几步完成： 第一步：设出切点坐标P ′(x 1，f (x 1))； 第二步：写出过点P ′(x 1，f (x 1))的切线方程为y －f (x 1)＝f ′(x 1)(x －x 1)；第三步：将点P 的坐标(x 0，y 0)代入切线方程，求出x 1；第四步：将x 1的值代入方程y －f (x 1)＝f ′(x 1)(x －x 1)，由此即可得过点P (x 0，y 0)的切线方程．【例3】 (1)若曲线f (x )＝a cos x 与曲线g (x )＝x 2＋bx ＋1在交点(0，m )处有公切线，则a ＋b ＝( C )A ．－1B ．0C ．1D ．2(2)已知函数f (x )＝ax 3＋x ＋1的图象在点(1，f (1))处的切线过点(2,7)，则a ＝____1____.解析 (1)∵两曲线的交点为(0，m )，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝a ，m ＝1，即a ＝1，∴f (x )＝cos x ，∴f ′(x )＝－sin x ，则f ′(0)＝0，f (0)＝1． 又g ′(x )＝2x ＋b ，∴g ′(0)＝b ，∴b ＝0，∴a ＋b ＝1． (2)∵f ′(x )＝3ax 2＋1，∴f ′(1)＝3a ＋1．又f (1)＝a ＋2， ∴切线方程为y －(a ＋2)＝(3a ＋1)(x －1)．∵切线过点(2,7)，∴7－(a ＋2)＝3a ＋1，解得a ＝1． 【例4】 已知函数f (x )＝x 3－4x 2＋5x －4. (1)求曲线f (x )在点(2，f (2))处的切线方程； (2)求经过点A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程．解析 (1)∵f ′(x )＝3x 2－8x ＋5，∴f ′(2)＝1，又f (2)＝－2， ∴曲线f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y －(－2)＝x －2， 即x －y －4＝0.(2)设切点坐标为(x 0，x 30－4x 20＋5x 0－4)，∵f ′(x 0)＝3x 20－8x 0＋5， ∴切线方程为y －(－2)＝(3x 20－8x 0＋5)(x －2)， 又切线过点(x 0，x 30－4x 20＋5x 0－4)， ∴x 30－4x 20＋5x 0－2＝(3x 20－8x 0＋5)(x 0－2)， 整理得(x 0－2)2(x 0－1)＝0，解得x 0＝2或x 0＝1，∴经过A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程为x －y －4＝0或y ＋2＝0.1．(2018·河南郑州质检)已知y ＝f (x )是可导函数．如图，直线y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝( B )A ．－1B ．0C ．2D ．4解析 ∵y ＝f (x )在x ＝3处的切线的斜率为－13，∴f ′(3)＝－13.∵g (x )＝xf (x )，∴g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，∴g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)，由题图知f (3)＝1，∴g ′(3)＝1＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝0.2．(2016·全国卷Ⅱ)若直线y ＝kx ＋b 是曲线y ＝ln x ＋2的切线，也是 曲线y ＝ln(x ＋1)的切线，则b ＝__1－ln_2__.解析 直线y ＝kx ＋b 与曲线y ＝ln x ＋2，y ＝ln (x ＋1)均相切，设切点分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由y ＝ln x ＋2得y ′＝1x ，由y ＝ln (x ＋1)得y ′＝1x ＋1，∴k ＝1x 1＝1x 2＋1，∴x 1＝1k ，x 2＝1k－1，∴y 1＝－ln k ＋2，y 2＝－ln k ，即A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ，－ln k ＋2，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1，－ln k ，∵A ，B 在直线y ＝kx ＋b 上，∴⎩⎪⎨⎪⎧2－ln k ＝k ·1k ＋b ，－ln k ＝k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1＋b⇒⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1－ln 2，k ＝2.3．(2016·全国卷Ⅲ)已知f (x )为偶函数，当x <0时，f (x )＝ln(－x )＋3x ，则曲线y ＝f (x )在点(1，－3)处的切线方程是__y ＝－2x －1__.解析 令x >0，则－x <0，f (－x )＝ln x －3x ，又f (－x )＝f (x )， ∴f (x )＝ln x －3x (x >0)，则f ′(x )＝1x－3(x >0)，∴f ′(1)＝－2，∴在点(1，－3)处的切线方程为y ＋3＝－2(x －1)，即y ＝－2x －1． 4．求下列函数的导数．(1)y ＝x 4－3x 2－5x ＋6；(2)y ＝x ·tan x ； (3)y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)；(4)y ＝x －1x ＋1. 解析 (1)y ′＝(x 4－3x 2－5x ＋6)′＝(x 4)′－(3x 2)′－(5x )′＋6′＝4x 3－6x －5. (2)y ′＝(x ·tan x )′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x sin x cos x ′＝(x sin x )′cos x －x sin x (cos x )′cos 2x＝(sin x ＋x cos x )cos x ＋x sin 2x cos 2x ＝sin x cos x ＋x cos 2x. (3)∵(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)＝(x 2＋3x ＋2)(x ＋3)＝x 3＋6x 2＋11x ＋6， ∴y ′＝[(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)]′＝(x 3＋6x 2＋11x ＋6)′＝3x 2＋12x ＋11． (4)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ＋1′＝(x －1)′(x ＋1)－(x －1)(x ＋1)′(x ＋1)2＝x ＋1－(x －1)(x ＋1)2＝2(x ＋1)2.易错点 审题不认真致误错因分析：不能正确理解曲线“在点P 处的切线”与曲线“过点P 的切线”的不同． 【例1】 求曲线S ：y ＝f (x )＝2x －x 3过点A (1,1)的切线方程． 解析 设切点为(x 0，f (x 0))．∵f ′(x )＝2－3x 2，∴切线方程为y ＝f ′(x 0)(x －x 0)＋f (x 0)， 即y ＝(2－3x 20)(x －x 0)＋2x 0－x 30，将点A (1,1)代入得1＝(2－3x 20)(1－x 0)＋2x 0－x 30， 整理得2x 30－3x 20＋1＝0，即2x 30－2x 20－x 20＋1＝0，∴(x 0－1)2(2x 0＋1)＝0，解得x 0＝1或－12，A 不一定为切点，∴y 0＝1，f ′(x 0)＝－1或y 0＝－78，f ′(x 0)＝54.∴切线方程为y ＝－x ＋2或y ＝54x －14.【跟踪训练1】 求经过曲线y ＝x 3－x 2上一点(－1，－2)的切线方程． 解析 设切点坐标为(x 0，y 0)，∵y ′＝3x 2－2x ，∴y ′|x ＝x 0＝3x 20－2x 0. ∴其切线方程为y －(x 30－x 20)＝(3x 20－2x 0)(x －x 0)， 即y ＝(3x 20－2x 0)x －2x 30＋x 20.又其切线过点(－1，－2)，∴－2＝－3x 20＋2x 0－2x 30＋x 20， 即x 30＋x 20－x 0－1＝0，解得x 0＝－1或x 0＝1． 故所求的切线方程为5x －y ＋3＝0或x －y －1＝0.课时达标 第13讲[解密考纲]本考点主要考查导数的计算和曲线的切线问题，涉及导数的问题，离不开导数的计算；曲线的切线问题，有时在选择题、填空题中考查，有时会出现在解答题中的第(1)问．一、选择题1．已知函数f (x )＝log a x (a >0且a ≠1)，若f ′(1)＝－1，则a ＝( B ) A ．e B ．1e C ．1e 2 D ．12解析 因为f ′(x )＝1x ln a ，所以f ′(1)＝1ln a ＝－1，得ln a ＝－1，所以a ＝1e. 2．若f (x )＝2xf ′(1)＋x 2，则f ′(0)＝( D ) A ．2 B ．0 C ．－2D ．－4解析 f ′(x )＝2f ′(1)＋2x ，令x ＝1，则f ′(1)＝2f ′(1)＋2，得f ′(1)＝－2，所以f ′(0)＝2f ′(1)＋0＝－4.3．(2018·河南八市质检)已知函数f (x )＝sin x －cos x ，且f ′(x )＝12f (x )，则tan2x 的值是( D )A ．－23B ．－43C ．43D ．34解析 因为f ′(x )＝cos x ＋sin x ＝12sin x －12cos x ，所以tan x ＝－3，所以tan 2x ＝2tan x 1－tan 2x ＝－61－9＝34，故选D ． 4．已知点P 在曲线y ＝4e x ＋1上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是( B )A ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π4B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，πC ．⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，3π4 D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2 解析 ∵y ＝4e x ＋1，∴y ′＝－4e x (e x ＋1)2＝－4e x(e x )2＋2e x＋1＝－4e x ＋1e x ＋2≥－1， 当且仅当e x＝1e x ，即x ＝0时取等号，∴－1≤tan α<0.又∵0≤α<π，∴3π4≤α<π，故选B ．5．(2018·河南郑州质检)函数f (x )＝e xcos x 在点(0，f (0))处的切线方程为( C ) A ．x ＋y ＋1＝0 B ．x ＋y －1＝0 C ．x －y ＋1＝0D ．x －y －1＝0解析 ∵f ′(x )＝e xcos x ＋e x(－sin x )＝e x(cos x －sin x )， ∴f ′(0)＝e 0(cos 0－sin 0)＝1．又∵f (0)＝1，∴f (x )在点(0,1)处的切线方程为y －1＝x ，即x －y ＋1＝0，故选C ． 6．下面四个图象中，有一个是函数f (x )＝13x 3＋ax 2＋(a 2－1)·x ＋1(a ∈R )的导函数y＝f ′(x )的图象，则f (－1)＝( D )A ．13 B ．－23C ．73D ．－13或53解析 ∵f ′(x )＝x 2＋2ax ＋a 2－1， ∴f ′(x )的图象开口向上，则②④排除． 若f ′(x )的图象为①，此时a ＝0，f (－1)＝53；若f ′(x )的图象为③，此时a 2－1＝0，又对称轴为x ＝－a ，－a >0，∴a ＝－1，∴f (－1)＝－13.二、填空题7．已知函数f (x )的图象在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝12x ＋3，则f (1)＋f ′(1)＝__4__.解析 由题意知f ′(1)＝12，f (1)＝12×1＋3＝72，∴f (1)＋f ′(1)＝72＋12＝4.8．(2018·广东惠州模拟)曲线y ＝－5e x＋3在点(0，－2)处的切线方程为__5x ＋y ＋2＝0__.解析 由y ＝－5e x＋3得，y ′＝－5e x，所以切线的斜率k ＝y ′|x ＝0＝－5，所以切线方程为y ＋2＝－5(x －0)，即5x ＋y ＋2＝0.9．已知曲线y ＝x 24－3ln x 的一条切线的斜率为12，则切点坐标为！！！ ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，94－3ln 3###.解析 ∵y ′＝x 2－3x，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x ＝12，x >0，解得x ＝3.故切点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫3，94－3ln 3.三、解答题10．(1)已知f (x )＝e πx·sin πx ，求f ′(x )及f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫12；(2)已知f (x )＝(x ＋1＋x 2)10，求f ′(1)f (1). 解析 (1)∵f ′(x )＝πe πx sin πx ＋πe πxcos πx ， ∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝πe π2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π2＋cos π2＝πe π2. (2)∵f ′(x )＝10(x ＋1＋x 2)9·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x1＋x 2， ∴f ′(1)＝10(1＋2)9·⎝⎛⎭⎪⎫1＋12＝102(1＋2)10＝52(1＋2)10. 又f (1)＝(1＋2)10，∴f ′(1)f (1)＝5 2. 11．已知曲线C ：y ＝x 3－6x 2－x ＋6. (1)求C 上斜率最小的切线方程；(2)证明：C 关于斜率最小时切线的切点对称．解析 (1)y ′＝3x 2－12x －1＝3(x －2)2－13.当x ＝2时，y ′最小，即切线斜率的最小值为－13，切点为(2，－12)，切线方程为y ＋12＝－13(x －2)，即13x ＋y －14＝0.(2)证明：设点(x 0，y 0)∈C ，点(x ，y )是点(x 0，y 0)关于切点(2，－12)对称的点，则⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝4－x ，y 0＝－24－y .11 ∵点(x 0，y 0)∈C ，∴－24－y ＝(4－x )3－6(4－x )2－(4－x )＋6，整理得y ＝x 3－6x 2－x ＋6.∴点(x ，y )∈C ，于是曲线C 关于切点(2，－12)对称．12．设函数f (x )＝ax ＋1x ＋b (a ，b ∈Z )，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y ＝3.(1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点的切线与直线x ＝1和直线y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，并求出此定值．解析 (1)f ′(x )＝a －1(x ＋b )2，依题意，f ′(2)＝0，f (2)＝3， 即⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＋12＋b ＝3，a －1(2＋b )2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝94，b ＝－83.因为a ，b ∈Z ，所以a ＝1，b ＝－1，故f (x )＝x ＋1x －1. (2)证明：在曲线上任取一点⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，x 0＋1x 0－1， 由f ′(x 0)＝1－1(x 0－1)2知，过此点的切线方程为 y －x 20－x 0＋1x 0－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1(x 0－1)2(x －x 0)． 令x ＝1得y ＝x 0＋1x 0－1，切线与直线x ＝1的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，x 0＋1x 0－1. 令y ＝x 得x ＝2x 0－1，切线与直线y ＝x 的交点为(2x 0－1,2x 0－1)．直线x ＝1与直线y ＝x 的交点为(1,1)．从而所围三角形的面积为12⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 0＋1x 0－1－1·|2x 0－1－1|＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪2x 0－1·|2x 0－2|＝2. 所以所围三角形的面积为定值2.。

第十一节变化率与导数、导数的计算[知识能否忆起]一、导数的概念1．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数 (1)定义：称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率 lim Δx →0f x 0＋Δx －f x 0Δx＝lim Δx →0 ΔyΔx 为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0fx 0＋Δx －f x 0Δx.(2)几何意义：函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s (t )对时间t 的导数)．相应地，切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)．2．函数f (x )的导函数 称函数f ′(x )＝lim Δx →0f x ＋Δx －f xΔx为f (x )的导函数．二、基本初等函数的导数公式原函数导函数f (x )＝c (c 为常数) f ′(x )＝0 f (x )＝x n (n ∈Q *) f ′(x )＝nx n －1 f (x )＝sin x f ′(x )＝cos_x f (x )＝cos x f ′(x )＝－sin_x f (x )＝a x f ′(x )＝a x ln_a f (x )＝e x f ′(x )＝e x f (x )＝log a x f ′(x )＝1x ln af (x )＝ln xf ′(x )＝1x三、导数的运算法则1．[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； 2．[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； 3.⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x g x ′＝f ′x g x －f x g ′x [g x ]2(g (x )≠0)．(理)4.复合函数的导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．[小题能否全取]1．(教材习题改编)若f (x )＝x e x，则f ′(1)＝( ) A ．0 B ．e C ．2eD ．e 2解析：选C ∵f ′(x )＝e x＋x e x，∴f ′(1)＝2e.2．曲线y ＝x ln x 在点(e ，e)处的切线与直线x ＋ay ＝1垂直，则实数a 的值为( ) A ．2 B ．－2 C.12D ．－12解析：选A 依题意得y ′＝1＋ln x ，y ′ |x ＝e ＝1＋ln e ＝2，所以－1a×2＝－1，a＝2.3．(教材习题改编)某质点的位移函数是s (t )＝2t 3－12gt 2(g ＝10 m/s 2)，则当t ＝2 s时，它的加速度是( )A ．14 m/s 2B ．4 m/s 2C ．10 m/s 2D ．－4 m/s 2解析：选A 由v (t )＝s ′(t )＝6t 2－gt ，a (t )＝v ′(t )＝12t －g ，得t ＝2时，a (2)＝v ′(2)＝12×2－10＝14(m/s 2)．4．(2012·广东高考)曲线y ＝x 3－x ＋3在点(1,3)处的切线方程为________． 解析：∵y ′＝3x 2－1，∴y ′ |x ＝1＝3×12－1＝2.∴该切线方程为y －3＝2(x －1)，即2x －y ＋1＝0. 答案：2x －y ＋1＝05．函数y ＝x cos x －sin x 的导数为________． 解析：y ′＝(x cos x )′－(sin x )′ ＝x ′cos x ＋x (cos x )′－cos x ＝cos x －x sin x －cos x ＝－x sin x .答案：－x sin x 1.函数求导的原则对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则，求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误．2．曲线y ＝f (x )“在点P (x 0，y 0)处的切线”与“过点P (x 0，y 0)的切线”的区别与联系(1)曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线是指P 为切点，切线斜率为k ＝f ′(x 0)的切线，是唯一的一条切线．(2)曲线y ＝f (x )过点P (x 0，y 0)的切线，是指切线经过P 点．点P 可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条．利用导数的定义求函数的导数典题导入[例1] 用定义法求下列函数的导数． (1)y ＝x 2； (2)y ＝4x2.[自主解答] (1)因为Δy Δx ＝fx ＋Δx －f xΔx＝x ＋Δx 2－x 2Δx＝x 2＋2x ·Δx ＋Δx 2－x2Δx＝2x ＋Δx ，所以y ′＝lim Δx →0 Δy Δx ＝limΔx →0 (2x ＋Δx )＝2x . (2)因为Δy ＝4x ＋Δx2－4x 2＝－4Δx 2x ＋Δx x 2x ＋Δx 2， Δy Δx ＝－4·2x ＋Δxx 2x ＋Δx2，所以lim Δx →0 ΔyΔx ＝lim Δx →0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4·2x ＋Δx x 2x ＋Δx 2＝－8x 3.由题悟法根据导数的定义，求函数y ＝f (x )在x ＝x 0处导数的步骤(1)求函数值的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；(2)求平均变化率Δy Δx＝fx 0＋Δx －f x 0Δx；(3)计算导数f ′(x 0)＝li m Δx →0 ΔyΔx. 以题试法1．一质点运动的方程为s ＝8－3t 2.(1)求质点在[1,1＋Δt ]这段时间内的平均速度；(2)求质点在t ＝1时的瞬时速度(用定义及导数公式两种方法求解)． 解：(1)∵s ＝8－3t 2，∴Δs ＝8－3(1＋Δt )2－(8－3×12)＝－6Δt －3(Δt )2，v ＝ΔsΔt＝－6－3Δt . (2)法一(定义法)：质点在t ＝1时的瞬时速度v ＝li m Δt →0ΔsΔt＝li m Δt →0 (－6－3Δt )＝－6. 法二(导数公式法)：质点在t 时刻的瞬时速度v ＝s ′(t )＝(8－3t 2)′＝－6t .当t ＝1时，v ＝－6×1＝－6.导数的运算典题导入[例2] 求下列函数的导数． (1)y ＝x 2sin x ；(2)y ＝e x＋1e x －1；[自主解答] (1)y ′＝(x 2)′sin x ＋x 2(sin x )′＝2x sin x ＋x 2cos x . (2)y ′＝e x＋1′e x －1－e x＋1e x－1′e x －12＝exe x－1－e x＋1e xe x －12＝－2exe x －12.则y ′＝(ln u )′u ′＝12x －5·2＝22x －5，即y ′＝22x －5.由题悟法求导时应注意：(1)求导之前利用代数或三角恒等变换对函数进行化简可减少运算量．(2)对于商式的函数若在求导之前变形，则可以避免使用商的导数法则，减少失误．以题试法2．求下列函数的导数．(1)y ＝e x·ln x ；(2)y ＝x ⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋1x ＋1x 3；解：(1)y ′＝(e x·ln x )′ ＝e x ln x ＋e x ·1x＝e x ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x ＋1x .(2)∵y ＝x 3＋1＋1x 2，∴y ′＝3x 2－2x3.导数的几何意义典题导入[例3] (1)(2011·山东高考)曲线y ＝x 3＋11在点P (1，12)处的切线与y 轴交点的纵坐标是( )A ．－9B ．－3C ．9D ．15(2)设函数f (x )＝g (x )＋x 2，曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处切线的斜率为( )A ．－14B ．2C ．4D ．－12[自主解答] (1)y ′＝3x 2，故曲线在点P (1,12)处的切线斜率是3，故切线方程是y －12＝3(x －1)，令x ＝0得y ＝9.(2)∵曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，∴g ′(1)＝k ＝2. 又f ′(x )＝g ′(x )＋2x ，∴f ′(1)＝g ′(1)＋2＝4，故切线的斜率为4. [答案] (1)C (2)C若例3(1)变为：曲线y ＝x 3＋11，求过点P (0,13)且与曲线相切的直线方程． 解：因点P 不在曲线上，设切点的坐标为(x 0，y 0)， 由y ＝x 3＋11，得y ′＝3x 2， ∴k ＝y ′|x ＝x 0＝3x 20.又∵k ＝y 0－13x 0－0，∴x 30＋11－13x 0＝3x 20.∴x 30＝－1，即x 0＝－1. ∴k ＝3，y 0＝10.∴所求切线方程为y －10＝3(x ＋1)， 即3x －y ＋13＝0.由题悟法导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面： (1)已知切点A (x 0，f (x 0))求斜率k ，即求该点处的导数值：k ＝f ′(x 0)； (2)已知斜率k ，求切点A (x 1，f (x 1))，即解方程f ′(x 1)＝k ；(3)已知切线过某点M (x 1，f (x 1))(不是切点)求切点，设出切点A (x 0，f (x 0))，利用k ＝f x 1－f x 0x 1－x 0＝f ′(x 0)求解．以题试法3．(1)(2012·新课标全国卷)曲线y ＝x (3ln x ＋1)在点(1,1)处的切线方程为________． (2)(2013·乌鲁木齐诊断性测验)直线y ＝12x ＋b 与曲线y ＝－12x ＋ln x 相切，则b 的值为( )A ．－2B ．－1C ．－12D ．1解析：(1)y ′＝3ln x ＋1＋3，所以曲线在点(1,1)处的切线斜率为4，所以切线方程为y －1＝4(x －1)，即y ＝4x －3.(2)设切点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，－12a ＋ln a ，依题意，对于曲线y ＝－12x ＋ln x ，有y ′＝－12＋1x ，所以－12＋1a ＝12，得a ＝1.又切点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－12 在直线y ＝12x ＋b 上，故－12＝12＋b ，得b＝－1.答案：(1)y ＝4x －3 (2)B1．函数f (x )＝(x ＋2a )(x －a )2的导数为( ) A ．2(x 2－a 2) B ．2(x 2＋a 2) C ．3(x 2－a 2)D ．3(x 2＋a 2)解析：选C f ′(x )＝(x －a )2＋(x ＋2a )[2(x －a )]＝3(x 2－a 2)．2．已知物体的运动方程为s ＝t 2＋3t(t 是时间，s 是位移)，则物体在时刻t ＝2时的速度为( )A.194 B.174 C.154D.134解析：选D ∵s ′＝2t －3t 2，∴s ′|t ＝2＝4－34＝134.3． (2012·哈尔滨模拟)已知a 为实数，函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(a －2)x 的导函数f ′(x )是偶函数，则曲线y ＝f (x )在原点处的切线方程为( )A ．y ＝－3xB ．y ＝－2xC ．y ＝3xD ．y ＝2x解析：选B ∵f (x )＝x 3＋ax 2＋(a －2)x ， ∴f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋a －2. ∵f ′(x )为偶函数，∴a ＝0. ∴f ′(x )＝3x 2－2.∴f ′(0)＝－2.∴曲线y ＝f (x )在原点处的切线方程为y ＝－2x .4．设曲线y ＝1＋cos x sin x 在点⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1处的切线与直线x －ay ＋1＝0平行，则实数a 等于( )A ．－1 B.12 C ．－2D ．2解析：选A ∵y ′＝－sin 2x －1＋cos xcos x sin 2x ＝－1－cos x sin 2x ，∴y ′|x ＝π2＝－1.由条件知1a＝－1，∴a ＝－1.5．若点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x －2的最小距离为( ) A ．1B.2C.22D.3解析：选B 设P (x 0，y 0)到直线y ＝x －2的距离最小，则y ′|x ＝x 0＝2x 0－1x 0＝1.得x 0＝1或x 0＝－12(舍)．∴P 点坐标(1,1)．∴P 到直线y ＝x －2距离为d ＝|1－1－2|1＋1＝ 2.6．f (x )与g (x )是定义在R 上的两个可导函数，若f (x )，g (x )满足f ′(x )＝g ′(x )，则f (x )与g (x )满足( )A ．f (x )＝g (x )B ．f (x )＝g (x )＝0C ．f (x )－g (x )为常数函数D ．f (x )＋g (x )为常数函数解析：选C 由f ′(x )＝g ′(x )，得f ′(x )－g ′(x )＝0， 即[f (x )－g (x )]′＝0，所以f (x )－g (x )＝C (C 为常数)．7．(2013·郑州模拟)已知函数f (x )＝ln x －f ′(－1)x 2＋3x －4，则f ′(1)＝________. 解析：∵f ′(x )＝1x－2f ′(－1)x ＋3，f ′(－1)＝－1＋2f ′(－1)＋3，∴f ′(－1)＝－2，∴f ′(1)＝1＋4＋3＝8. 答案：88．(2012·辽宁高考)已知P ，Q 为抛物线x 2＝2y 上两点，点P ，Q 的横坐标分别为4，－2，过P ，Q 分别作抛物线的切线，两切线交于点A ，则点A 的纵坐标为________．解析：易知抛物线y ＝12x 2上的点P (4,8)，Q (－2,2)，且y ′＝x ，则过点P 的切线方程为y ＝4x －8，过点Q 的切线方程为y ＝－2x －2，联立两个方程解得交点A (1，－4)，所以点A 的纵坐标是－4.答案：－49．(2012·黑龙江哈尔滨二模)已知函数f (x )＝12x －14sin x －34cos x 的图象在点A (x 0，y 0)处的切线斜率为1，则tan x 0＝________.解析：由f (x )＝12x －14sin x －34cos x 得f ′(x )＝12－14cos x ＋34sin x ，则k ＝f ′(x 0)＝12－14cos x 0＋34sin x 0＝1，3 2sin x0－12cos x0＝1，即sin⎝⎛⎭⎪⎫x0－π6＝1.即所以x 0－π6＝2k π＋π2，k ∈Z ，解得x 0＝2k π＋2π3，k ∈Z.故tan x 0＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π＋2π3＝tan 2π3＝－ 3.答案：－310．求下列函数的导数． (1)y ＝x ·tan x ；(2)y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)；解：(1)y ′＝(x ·tan x )′＝x ′tan x ＋x (tan x )′＝tan x ＋x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x cos x ′＝tan x ＋x ·cos 2x ＋sin 2x cos 2x＝tan x ＋xcos 2x.(2)y ′＝(x ＋1)′(x ＋2)(x ＋3)＋(x ＋1)[(x ＋2)(x ＋3)]′＝(x ＋2)(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2)＋(x ＋1)(x ＋3)＝3x 2＋12x ＋11.11．已知函数f (x )＝x －2x，g (x )＝a (2－ln x )(a >0)．若曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )在x ＝1处的切线斜率相同，求a 的值，并判断两条切线是否为同一条直线．解：根据题意有曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线斜率为f ′(1)＝3， 曲线y ＝g (x )在x ＝1处的切线斜率为g ′(1)＝－a . 所以f ′(1)＝g ′(1)，即a ＝－3.曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线方程为y －f (1)＝3(x －1)， 得：y ＋1＝3(x －1)，即切线方程为3x －y －4＝0. 曲线y ＝g (x )在x ＝1处的切线方程为y －g (1)＝3(x －1)． 得y ＋6＝3(x －1)，即切线方程为3x －y －9＝0， 所以，两条切线不是同一条直线．12．设函数f (x )＝x 3＋ax 2－9x －1，当曲线y ＝f (x )斜率最小的切线与直线12x ＋y ＝6平行时，求a 的值．解：f ′(x )＝3x 2＋2ax －9＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 32－9－a 23，即当x ＝－a 3时，函数f ′(x )取得最小值－9－a 23，因斜率最小的切线与12x ＋y ＝6平行，即该切线的斜率为－12，所以－9－a 23＝－12，即a 2＝9，即a ＝±3.1．(2012·商丘二模)等比数列{a n }中，a 1＝2，a 8＝4，f (x )＝x (x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)，f ′(x )为函数f (x )的导函数，则f ′(0)＝( )A ．0B ．26C ．29D ．212解析：选D ∵f (x )＝x (x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)， ∴f ′(x )＝x ′(x －a 1)…(x －a 8)＋x [(x －a 1)…(x －a 8)]′ ＝(x －a 1)…(x －a 8)＋x [(x －a 1)…(x －a 8)]′，∴f ′(0)＝(－a 1)·(－a 2)·…·(－a 8)＋0＝a 1·a 2·…·a 8＝(a 1·a 8)4＝(2×4)4＝(23)4＝212.2．已知f 1(x )＝sin x ＋cos x ，记f 2(x )＝f 1′(x )，f 3(x )＝f 2′(x )，…，f n (x )＝f n －1′(x )(n∈N *，n ≥2)，则f 1⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋f 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋…＋f 2 012⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝________.解析：f 2(x )＝f 1′(x )＝cos x －sin x ，f 3(x )＝(cos x －sin x )′＝－sin x －cos x ， f 4(x )＝－cos x ＋sin x ，f 5(x )＝sin x ＋cos x ，以此类推，可得出f n (x )＝f n ＋4(x )， 又∵f 1(x )＋f 2(x )＋f 3(x )＋f 4(x )＝0，∴f 1⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋f 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋…＋f 2 012⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝503f 1⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋f 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋f 3⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋f 4⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝0.答案：03．已知函数f (x )＝x 3－3x 及y ＝f (x )上一点P (1，－2)，过点P 作直线l ，根据以下条件求l 的方程．(1)直线l 和y ＝f (x )相切且以P 为切点； (2)直线l 和y ＝f (x )相切且切点异于P .解：(1)由f (x )＝x 3－3x 得f ′(x )＝3x 2－3，过点P 且以P (1，－2)为切点的直线的斜率f ′(1)＝0，故所求的直线方程为y ＝－2.(2)设过P (1，－2)的直线l 与y ＝f (x )切于另一点(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝3x 20－3. 又直线过(x 0，y 0)，P (1，－2)，故其斜率可表示为y 0－－2x 0－1＝x 30－3x 0＋2x 0－1，所以x 30－3x 0＋2x 0－1＝3x 20－3，即x 30－3x 0＋2＝3(x 20－1)(x 0－1)．1 2，解得x0＝1(舍去)或x0＝－故所求直线的斜率为k ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫14－1＝－94. 所以l 的方程为y －(－2)＝－94(x －1)，即9x ＋4y －1＝0.设函数f (x )＝ax －bx，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0. (1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值．解：(1)方程7x －4y －12＝0可化为y ＝74x －3，当x ＝2时，y ＝12.又f ′(x )＝a ＋bx2，则⎩⎪⎨⎪⎧2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3.故f (x )＝x －3x.(2)证明：设P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由y ′＝1＋3x2知曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3x 20·(x －x 0)，即y －⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－3x 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3x 20(x －x 0)．令x ＝0得y ＝－6x 0，从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－6x 0.令y ＝x 得y ＝x ＝2x 0，从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)．所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为12⎪⎪⎪⎪⎪⎪－6x 0|2x 0|＝6.故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.（注：本资料素材和资料部分来自网络，仅供参考。

第十节变化率与导数、导数的计算[考纲 ] (教师用书独具 )1.了解导数概念的实际背景.2.通过函数图象直观理1解导数的几何意义 .3.能根据导数的定义求函数y＝C(C 为常数 )， y＝x，y＝x，y＝x2，y＝ x3，y＝ x的导数 .4.能利用根本初等函数的导数公式和导数的四那么运算法那么求简单函数的导数．(对应学生用书第30 页)[根底知识填充 ]1．导数的概念(1)函数 y＝ f(x)在 x＝x0处的导数：①定义：称函数y＝ f(x)在 x＝x0处的瞬时变化率lim f x0＋ x －f x0＝ lim y为函数 y＝f(x)在 x＝x0处的导数，记作 f′ (x0)x→ 0xx→0xx＝x0，即 f′(x0)＝ limy＝limf x0＋ x － f x0或 y′|x x.x→ 0x→0②几何意义：函数 f(x)在点 x0处的导数 f′ (x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点0 ，f(x0))处的切线斜率．相应地，切线方程为000(x y－f(x )＝f′(x )(x－x )．f x＋ x －f x为 f(x) 的导函数．(2)函数 f(x)的导函数：称函数 f ′(x)＝ lim xx→02．根本初等函数的导数公式根本初等函数导函数f(x)＝ c(c 为常数 )f′ (x)＝0f(x)＝x n(n∈Q* )f′(x)＝n·x n－1f(x)＝ sin x f′ (x)＝cos_xf(x)＝cos x f′(x)＝－ sin_xf(x)＝a x f′ (x)＝a x ln_a(a＞0)f(x)＝e x f′ (x)＝e x1f(x)＝log a xf ′ (x)＝xln a1f(x)＝ln xf ′ (x)＝ x3. 导数的运算法那么(1)[f(x) ±g(x)]′＝ f ′ (x) ±g ′ (x)；(2)[f(x) ·g(x)]′＝ f ′(x)g(x)＋f(x)g ′(x)；f xf ′ xg x －f x g ′ x(3) g x ′＝ [g x ]2(g(x)≠0)．[知识拓展 ]1．曲线 y ＝f(x)“在点 P(x 0， y 0 )处的切线 〞 与“过点 P(x 0，y 0)的切线 〞 的区别：前者 P(x 0， y 0)为切点，而后者 P(x 0，y 0)不一定为切点．2．直线与二次曲线 (圆、椭圆、双曲线、抛物线)相切只有一个公共点；直线与非二次曲线相切，公共点不一定只有一个．[根本能力自测 ]1．(思考辨析 )判断以下结论的正误． (正确的打“√〞，错误的打“×〞 )(1)f ′(x 0)与 (f(x 0 ))′表示的意义相同． ( )(2)求 f ′(x )时，可先求 f(x )再求 f ′ (x )．()(3)曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点． () (4)假设 f(a)＝ a 3＋2ax －x 2，那么 f ′(a)＝ 3a 2＋ 2x.()[答案 ] (1)×(2)× (3)√ (4)√2 32．(教材改编 )有一机器人的运动方程为s(t)＝t ＋ t (t 是时间， s 是位移 )，那么该机器人在时刻 t ＝2 时的瞬时速度为 ()19B ． 17A ． 4415D ． 13C ． 442313器人的瞬时速度为 v(2)＝ 2× 2－22＝4 .]3．(2021 ·天津高考 )函数 f(x)＝(2x＋1)e x，f′(x)为 f(x)的导函数，那么 f′(0)的值为 ________．3 [ 因为 f(x)＝ (2x＋ 1)e x，x x x所以 f′(x)＝ 2e ＋ (2x＋ 1)e ＝(2x＋3)e ，所以 f′(0)＝ 3e0＝ 3.]4．(2021 ·全国卷Ⅰ )曲线 y＝x2＋1x在点 (1,2)处的切线方程为 ________．1x－y＋1＝0[∵y′＝2x－x2，∴y′|x＝1＝1，即曲线在点 (1,2)处的切线的斜率k＝ 1，∴切线方程为 y－ 2＝ x－ 1，即x－ y＋ 1＝ 0.]35．(2021 ·全国卷Ⅰ )函数f(x)＝ax ＋x＋ 1 的图象在点 (1，f(1))处的切线过点1 [ ∵f′(x)＝3ax2＋ 1，∴f′(1)＝ 3a＋1.又f(1)＝a＋2，∴切线方程为 y－ (a＋2)＝ (3a＋ 1)(x－1)．∵切线过点(2,7)，∴7－ (a＋2)＝ 3a＋1，解得 a＝1.](对应学生用书第30 页)导数的计算求以下函数的导数：(1)y＝e x ln x；211 (2)y＝x x ＋x＋x3；x x (3)y＝x－sin2cos2；(4)y＝cos x.【导学号： 79170059】e x[解]x′＋x′＝x＋x 1x ln x＋1(1)y′＝ (e)ln x e (ln x)·＝e x.e ln x e x3122 (2)∵y＝ x ＋1＋x2，∴y′＝3x－x3.11 (3)∵y＝ x－2sin x，∴y′＝1－2cos x.cos x′＝cos x ′e x－ cos x e x′(4)y′＝x x 2e esin x＋cos x＝－e x.[规律方法 ] 1.熟记根本初等函数的导数公式及运算法那么是导数计算的前提，求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量提高运算速度，减少过失．2．如函数为根式形式，可先化为分数指数幂，再求导．[变式训练 1] (1)函数 f(x)的导函数为 f′(x)，且满足 f(x)＝3x2＋2x·f′(2)，那么 f′(5)＝ ()A．2B．4C．6D．8(2)(2021 天·津高考 )函数 f(x)＝axln x，x∈(0，＋∞ )，其中 a 为实数， f′(x)为f(x)的导函数．假设 f′ (1)＝ 3，那么 a 的值为 ________．(1)C(2)3 [(1)f′(x)＝6x＋ 2f′(2)，令x＝2，得 f′(2)＝－ 12.再令 x＝5，得 f′ (5)＝ 6× 5＋ 2f′(2)＝ 30－24＝6.1(2)f′ (x)＝ a ln x＋x·＝a(1＋ ln x)．x由于 f′(1)＝a(1＋ln 1) ＝a，又 f′(1)＝3，所以 a＝3.]导数的几何意义角度 1求切线方程1 34曲线 y＝3x ＋3.(1)求曲线在点 P(2,4)处的切线方程；(2)求曲线过点 P(2,4)的切线方程．[思路点拨 ] (1)点 P(2,4)是切点，先利用导数求切线斜率，再利用点斜式写出切线方程；1 34(2)点 P(2,4)不一定是切点，先设切点坐标为x0，3x0＋3，由此求出切线方程，再把点 P(2,4)代入切线方程求x0.[解] (1)根据得点 P(2,4)是切点且 y′＝x2，∴在点P(2,4)处的切线的斜率为y′|x＝2＝4，∴曲线在点 P(2,4)处的切线方程为y－ 4＝ 4(x－ 2)，即 4x－ y－ 4＝ 0.1 34134，(2)设曲线 y＝3x ＋3与过点 P(2,4)的切线相切于点 A x0，3x0＋32那么切线的斜率为 y′|x＝x0＝x0，∴切线方程为 y－1342，x0＋＝ 0 － 033x (x x )2 23 4即y＝x0·x－3x0＋3.∵点P(2,4)在切线上，2 23 4∴4＝2x0－3x0＋3，3 2即x0－ 3x0＋ 4＝ 0，322∴x0＋ x0－4x0＋4＝0，∴x02(x0＋1)－4(x0＋1)(x0－1)＝0，∴(x0＋1)(x0－2)2＝0，解得 x0＝－ 1 或 x0＝2，故所求的切线方程为x－ y＋ 2＝0 或 4x－ y－ 4＝ 0.角度 2求切点坐标假设曲线 y＝xln x 上点 P 处的切线平行于直线 2x－ y＋ 1＝ 0，那么点 P 的坐标是 ________．1e) [ 由题意得 y′＝ln x＋x·＝1＋ln x，直线 2x－y＋1＝ 0 的斜率为 2.设 xP(m，n)，那么 1＋ln m＝ 2，解得 m＝e，所以 n＝ eln e＝ e，即点 P 的坐标为 (e，e)．]角度 3求参数的值(1)直线 y＝ 1 ＋与曲线＝－1 ＋相切，那么b的值为()2x b y2x ln x A．2B．－ 1C．－1D．12x＋1(2)(2021 西·宁复习检测 (一))曲线 y＝x－1在点 (3,2)处的切线与直线ax＋y ＋1＝0 垂直，那么 a＝()A．－ 2B．211C．－2D．2(1)B(2)A [(1) 设切点坐标为 (x0， y0 )，1 1y′＝－2＋x，则y′|x＝x0＝－1＋1，由－1＋1＝1得 x0＝1，切点坐标为 1，－1，又切点2 x02 x0 2211111，－2在直线 y＝2x＋b 上，故－2＝2＋b，得 b＝－ 1.－ 21(2)由 y′＝x－12得曲线在点 (3,2)处的切线斜率为－2，又切线与直线ax＋y ＋1＝0 垂直，那么 a＝－ 2，应选A ．][规律方法 ] 1.导数 f′(x0)的几何意义就是函数 y＝f(x)在点 P(x0，y0)处的切线的斜率，切点既在曲线上，又在切线上，切线有可能和曲线还有其他的公共点．2．曲线在点 P 处的切线是以点P 为切点，曲线过点 P 的切线那么点 P 不一定是切点，此时应先设出切点坐标．易错警示：当曲线 y＝ f(x)在点 (x0， f(x0 ))处的切线垂直于x 轴时，函数在该点处的导数不存在，切线方程是x＝x0.。

第十节变化率与导数、导数的计算知识体系必备知识1.导数的概念(1)函数y=f(x)在x=x0处导数的定义.称函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0f (x0+Δx)-f(x0)Δx为函数y=f(x)在x=x0处的导数,记作f′(x0)或y′|x=x,即f′(x0)=limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0f(x0+Δx)-f(x0)Δx.(2)导数的几何意义.函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y=f(x)上点P(x0,y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数).相应地,切线方程为y-y0=f′(x0)(x-x0).(3)函数f(x)的导函数.称函数f′(x)=limΔx→0f(x+Δx)-f(x)Δx为f(x)的导函数.2.基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)=C(C为常数) f′(x)=0f(x)=xα(α∈Q*) f′(x)=αxα-1f(x)=sin x f′(x)=cos__xf(x)=cos x f′(x)=-sin__xf(x)=a x(a>0,且a≠1) f′(x)=a x l n__a f(x)=e x f′(x)=e xf(x)=l og a x(a>0,且a≠1) f′(x)=1xlnaf(x)=l n x f′(x)=1x 3.导数的运算法则(1)[f(x)±g(x)]′=f′(x)±g′(x).(2)[f(x)g(x)]′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x).(3)[f(x)g(x)]′=f'(x)g(x)-f(x)g'(x)[g(x)]2(g(x)≠0).4.复合函数的导数复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为y x′=y u′·u x′.1.注意点:求导函数的注意点(1)求导函数时,由于求导公式记错而导致错误.(2)复合函数求导时容易忽略内函数的导数.2.易错点:切线问题易混的两个概念求曲线的切线时,没有理解在点P处的切线与过点P处的切线而致错.基础小题1.已知f(x)=l g x,函数f(x)定义域中任意的x1,x2(x1≠x2),有如下结论:①0<f′(3)<f(3)-f(2)<f′(2);②0<f′(3)<f′(2)<f(3)-f(2);③f (x 1)-f (x 2)x 1-x 2>0;④f (x 1+x 22)<f (x 1)+f (x 2)2.上述结论中正确结论的个数是 ( )【解析】选B.对于①②,由于f ′(3),f ′(2)分别表示f(x)在x=3,x=2处的切线斜率,f(3)-f(2)表示(2,f(2))与(3,f(3))两点连线的斜率,画出f(x)的图象,数形结合判断出①对,②错. 对于③,f (x 1)-f (x 2)x 1-x 2表示y=lg x 上任两个点的连线的斜率,由于f(x)=lg x是增函数,故有f (x 1)-f (x 2)x 1-x 2>0成立,故③正确.对于④,由于f(x)的图象是上凸的, 所以有f (x 1+x 22)>f (x 1)+f (x 2)2,故④不正确.2.曲线y=-x 3+3x 2在点(1,2)处的切线方程为( ) =3x-1 =-3x+5 =3x+5 =2x【解析】选′=-3x 2+6x,y ′|x=1=3, 切线方程为y-2=3(x-1),即y=3x-1.3.设f(x)=x l n x,若f ′(x 0)=2,则x 0等于 ( ) C.ln222【解析】选B.因为f(x)=x l n x,所以f ′(x)=l n x+1,所以f ′(x 0)=l n x 0+1=2,所以x 0=e. 4.若直线y=12x+b 是曲线y=l n x(x>0)的一条切线,则实数b 的值为________.【解析】因为y=l n x的导数y′=1x ,所以令1x=12得x=2,所以切点为(2,l n2).代入直线y=12x+b得b=l n 2-1.答案:l n 2-15.若函数f(x)=ax4+bx2+c满足f′(1)=2,则f′(-1)=________. 【解析】f′(x)=4ax3+2bx,f′(-1)=-4a-2b=-(4a+2b),f′(1)=4a+2b,所以f′(-1)=-f′(1)=-2.答案:-2。

2014年高中数学一轮复习教学案 第二章 函数、导数及其应用 第11节 变化率与导数、导数的计算一．学习目标：1.了解导数概念的实际背景，理解导数的几何意义；2．能根据导数定义，求函数y ＝c (c 为常数)，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝1x的导数；3．能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数.二．学习重、难点：1．学习重点：能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数；2．学习难点：理解导数的几何意义.三．学习方法：讲练结合四．自主复习：1．导数的概念(1)函数在x ＝x 0处的导数函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率是__________________________＝lim Δx →0Δy Δx， 称其为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0.(2)导函数：当上式中的x 0看作变量x 时，函数f ′(x )为f (x )的________．(3)导数的几何意义：f ′(x 0)是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的________，相应的切线方程是_____________________．2．基本初等函数的导数公式3.运算法则(1)[f(x)±g(x)]′＝_________________；(2)[f(x)·g(x)]′＝________________________；(3)[f(x)g(x)]′＝_______________________ (g(x)≠0)．五．复习前测：1．已知函数f(x)＝sin x＋ln x，则f′(1)的值为() A．1－cos1 B．1＋cos1C．cos1－1 D．－1－cos12．函数y ＝x cos x －sin x 的导数为( )A ．x sin xB ．－x sin xC ．x cos xD ．－x cos x3．某汽车的路程函数是s (t )＝2t 3－12gt 2(g ＝10 m/s 2)，则当t ＝2 s 时，汽车的加速度是( )A ．14 m/s 2B ．4 m/s 2C ．10 m/s 2D ．－4 m/s 24．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ，x >0cos x ，x ≤0，则f ′(1)f (0)＝__________.5．已知函数f (x )＝x e x ，则f ′(x )＝__________；函数f (x )图象在点(0，f (0))处的切线方程为__________．要点点拨：1．对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则，求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误．2．曲线的切线的求法若已知曲线过点P (x 0，y 0)，求曲线的切线则需分点P (x 0，y 0)是切点和不是切点两种情况求解．(1)点P (x 0，y 0)是切点的切线方程y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)．(2)当点P (x 0，y 0)不是切点时可分以下几步完成： 第一步：设出切点坐标P ′(x 1，f (x 1))．第二步：写出过P ′(x 1，f (x 1))的切线方程为y －f (x 1)＝f ′(x 1)(x －x 1)． 第三步：将点P 的坐标(x 0，y 0)代入切线方程求出x 1.第四步：将x 1的值代入方程y －f (x 1)＝f ′(x 1)·(x －x 1)可得过点P (x 0，y 0)的切线方程.六．复习过程：题型一：利用导数的定义求函数的导数 [例1](1)求函数y ＝x 2的导数．(2)求函数y ＝x 在x ＝1处的导数．[思路点拨] 解决本题的关键是正确的求出Δy ，ΔyΔx ，然后求出极限即可．.[规律总结] 注意[f (x 0)]′，f ′(x 0)与f ′(x )的区别：f ′(x 0)代表函数f (x )在x ＝x 0处的导数值，不一定为0；而[f (x 0)]′是函数值f (x 0)的导数，而函数值f (x 0)是一个常数值，其导数一定为0，即[f (x 0)]′＝0，而f ′(x )是函数f (x )的导函数，是一个函数，是f (x )求导后的函数关系.变式训练1一质点运动的方程为s ＝8－3t 2.(1)求质点在[1,1＋Δt ]这段时间内的平均速度；(2)求质点在t ＝1时的瞬时速度(用定义及导数公式两种方法)．题型二：导数的计算 [例2] 求下列函数的导数： (1)y ＝(2x 2－1)(3x ＋1)； (2)y ＝x ＋x 5＋sin xx 2；(3)y ＝－sin x 2(1－2cos 2x4)．[规律总结] 导数运算时应注意的问题：(1)求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；(2)有的函数虽然表面形式为函数的商的形式，但在求导前利用代数或三角恒等变形将函数先化简，然后进行求导，有时可以避免使用商的求导法则，减少运算量．变式训练2求下列函数的导数：(1)y ＝3x e x －2x ＋e ；(2)y ＝ln xx 2＋1题型三：导数的几何意义 [例3] 已知曲线y ＝13x 3＋43.(1)求曲线在点P (2,4)处的切线方程； (2)求曲线过点P (2,4)的切线方程．[规律总结] 求解过曲线上某点的切线方程时，应注意到这条切线与曲线的切点不一定是该点．变式训练3曲边梯形由曲线y ＝x 2＋1，y ＝0，x ＝1，x ＝2所围成，过曲线y ＝x 2＋1，x ∈[1,2]上一点P 作切线，使得此切线从曲边梯形上切出一个面积最大的普通梯形，则这一点的坐标为__________．题型四：导数几何意义的综合应用[例4] 若存在过点(1,0)的直线与曲线y ＝x 3和y ＝ax 2＋154x －9都相切，则a 等于( )A ．－1或－2564B ．－1或214C ．－74或－2564D ．－74或7变式训练4(2013·惠州质检)已知f (x )＝ln x ，g (x )＝13x 3＋12x 2＋mx ＋n ，直线l 与函数f (x )，g (x )的图象都相切于点(1,0)．(1)求直线l 的方程； (2)求函数g (x )的解析式．创新探究——导数几何意义规范解答[例题] (2012·重庆)设f (x )＝a ln x ＋12x ＋32x ＋1，其中a ∈R ，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于y 轴．(1)求a 的值； (2)求函数f (x )的极值．[思路点拨] (1)对f (x )求导，运用f ′(1)＝0求出a 的值；(2)由f ′(x )＝0解得x 值，结合函数定义域，讨论在各区间上f ′(x )的符号，从而确定极值．链接高考：1．(2012·广东)曲线y ＝x 3－x ＋3在点(1,3)处的切线方程为__________．2．(2012·辽宁)已知P ，Q 为抛物线x 2＝2y 上两点，点P ，Q 的横坐标分别为4，－2，过P ，Q 分别作抛物线的切线，两切线交于点A ，则点A 的纵坐标为__________．七．反馈练习：1．设f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0＝( ) A ．e 2 B ．e C.ln22 D ．ln22．曲线y ＝sin x sin x ＋cos x －12在点M (π4，0)处的切线的斜率为( )A ．－12B.12 C ．－22D.223．已知函数f (x )的图象如图所示，f ′(x )是f (x )的导函数，则下列数值排序正确的是( )A ．0<f ′(2)<f ′(3)<f (3)－f (2)B ．0<f ′(3)<f (3)－f (2)<f ′(2)C ．0<f ′(3)<f ′(2)<f (3)－f (2)D ．0<f (3)－f (2)<f ′(2)<f ′(3)4．已知点P 在曲线y ＝4e x＋1上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是( )A ．[0，π4)B ．[π4，π2)C ．(π2，3π4]D ．[3π4，π) 5．已知点P (2 013π3，－1)在函数f (x )＝a 2cos x 的图象上，则该函数的图象在x ＝3π4处的切线方程是( )A ．2x ＋2y －42－32π2＝0 B ．2x －2y ＋42－32π4＝0 C ．2x －2y －42－32π4＝0 D.2x ＋2y ＋42－32π4＝06．(2013·泰安模拟)若点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x －2的最小距离为( )A ．1B. 2C.22 D. 37．已知函数f (x )＝f ′(π2)sin x ＋cos x ，则f (π4)＝__________.8．若曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线的方程为y ＝2x ＋1，则曲线f (x )＝g (x )＋ln x 在点(1，f (1))处切线的斜率为__________，该切线方程为________．9．已知f 1(x )＝sin x ＋cos x ，记f 2(x )＝f ′1(x )，f 3(x )＝f ′2(x )，…，f n (x )＝f n －1′(x )(n ∈N *，n ≥2)，则f 1(π2)＋f 2(π2)＋…＋f 2 012(π2)＝__________.10．求下列函数的导数．(1)y ＝x 2sin x ；(2)y ＝e x ＋1e x －1.11．已知函数f (x )＝x 3－3x 及y ＝f (x )上一点P (1，－2)，过点P 作直线l .(1)求使直线l 和y ＝f (x )相切且以P 为切点的直线方程；(2)求使直线l 和y ＝f (x )相切且切点异于P 的直线方程．12．设函数f (x )＝ln x －12ax 2－bx .(1)当a ＝b ＝12时，求f (x )的最大值；(2)令F (x )＝f (x )＋12ax 2＋bx ＋a x (0<x ≤3)，其图象上任意一点P (x 0，y 0)处切线的斜率k ≤12恒成立，求实数a 的取值范围．八．思维总结：九．自我评价：1．你对本章的复习的自我评价如何？A．很好B．一般C．不太好2．你认为在这章复习中还有哪些知识漏洞？。

学习过程一、课堂导入1．从近几年的高考试题来看，导数的几何意义是高考的热点．2．题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度中档左右．3．命题切入点：在考查导数的概念及其运算的基础上，又注重考查与解析几何结合的相关知识．二、复习预习导数的概念、几何意义及其运算是运用导数解决问题以及导数在实际生活中的应用的基础，虽然相关知识点的考查为A,B级，但是在许多综合题目中都会涉及本节知识点，需要学生在运用本节知识点理解题意的基础上进一步的运用导数。

对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则，求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的作用，在实施化简时，要注意变换的等价性，避免不必要的失误．对于某些不满足求导法则条件的函数，可适当进行恒等变形，步步为营，使解决问题水到渠成.三、知识讲解考点1 导数的概念函数)(x f y =在0x x =处的导数一般地，函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率是xx f x x f x y x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(lim lim 0000，称其为函数)(x f y =在0x x =处的导数，记作)(0x f '．考点2 导函数当x 变化时，)(x f '称为)(x f 的导函数，则x x f x x f y x f x ∆-∆+='='→∆)()(lim )(000 特别提醒：注意)(x f '与)(0x f '的区别，)(x f '是一个函数，)(0x f '是常数，)(0x f '是函数)(x f '在点0x 处的函数值．考点3 导数的几何意义函数)(x f y =在0x x =处的导数的几何意义，就是曲线)(x f y =在点),(00y x P 处的切线的斜率，过点P 的切线方程为：))((000x x x f y y -'=-．特别提醒：求函数)(x f y =在点),(00y x P 处的切线方程与求函数)(x f y =过点),(00y x P 的切线方程意义不同，前者切线有且只有一条，且方程为))((000x x x f y y -'=-，后者可能不只一条．考点4 几种常见函数的导数考点5 导数运算法则(1))()(])()([x g x f x g x f '±'='±；(2))()()()(])()([x g x f x g x f x g x f '+'='； (3))()()()()(])()([2x g x g x f x g x f x g x f '-'='，)0)((≠x g考点6 复合函数的导数(理)设函数)(x ϕμ=在点x 处有导数)(x ϕμ'='，函数)(μf y =在点x 的对应点μ处有导数)(μf y '='， 则复合函数))((x f y ϕ=在点x 处也有导数，且x x y y μμ'⋅'='四、例题精析【例题1】【题干】求下列函数的导数(1)y＝x＋x5＋sin xx2；(2)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)；(3)y＝11－x＋11＋x；(4)y＝cos 2xsin x＋cos x.【解析】(1)∵y ＝x 12＋x 5＋sin x x 2＝x 32-＋x 3＋sin x x 2，∴y ′＝(x 32-)′＋(x 3)′＋(x －2sin x )′＝－32x 52-＋3x 2－2x －3sin x ＋x －2cos x .(2)y ＝(x 2＋3x ＋2)(x ＋3)＝x 3＋6x 2＋11x ＋6，∴y ′＝3x 2＋12x ＋11.(3)∵y ＝11－x ＋11＋x ＝21－x， ∴y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫21－x ′＝－2(1－x )′(1－x )2＝2(1－x )2. (4)y ＝cos 2x sin x ＋cos x＝cos x －sin x ， ∴y ′＝－sin x －cos x .【例题2】【题干】求下列复合函数的导数：(1)y＝(1＋sin x)2；(2)y＝ln x2＋1；(3)y＝1(1－3x)4；(4)y＝x1＋x2.【解析】(1)y′＝2(1＋sin x)·(1＋sin x)′＝2(1＋sin x)·cos x.(2)y′＝(ln x2＋1)′＝1x2＋1·( x2＋1)′＝1x2＋1·12(x2＋1)12-·(x2＋1)′＝xx2＋1.(3)设u＝1－3x，y＝u－4.则y x′＝y u′·u x′＝－4u－5·(－3)＝12(1－3x)5.(4)y′＝(x1＋x2)′＝x′·1＋x2＋x()1＋x2′＝1＋x2＋x21＋x2＝1＋2x21＋x2.【例题3】【题干】已知函数f (x )＝2x ＋1(x >－1)，曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线l 分别交x 轴和y 轴于A ，B 两点，O 为坐标原点．(1)求x 0＝1时，切线l 的方程；(2)若P 点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，233，求△AOB 的面积．【解析】(1)f′(x)＝1x＋1，则f′(x0)＝1x0＋1，则曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))的切线方程为y－f(x0)＝1x0＋1(x－x0)，即y＝xx0＋1＋x0＋2x0＋1.所以当x0＝1时，切线l的方程为x－2y＋3＝0.(2)当x＝0时，y＝x0＋2x0＋1；当y＝0时，x＝－x0－2.S△AOB＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪x0＋2x0＋1·(x0＋2)＝(x0＋2)22 x0＋1，∴S△AOB ＝⎝⎛⎭⎪⎫－23＋222 －23＋1＝839.【例题4】【题干】若函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6＋θ(0<θ<π)，且f (x )＋f ′(x )是奇函数，则θ＝________.【答案】 π2【解析】∵f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6＋θ， ∴f ′(x )＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6＋θ. 于是y ＝f ′(x )＋f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6＋θ＋3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6＋θ ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6＋θ＋π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋θ＋π2 ＝2cos(3x ＋θ)，由于y ＝f (x )＋f ′(x )＝2cos(3x ＋θ)是奇函数，∴θ＝k π＋π2(k ∈Z )．又0<θ<π，∴θ＝π2.四、课堂运用【基础】1．(2013·永康模拟)函数y＝f(x)的图象如图所示，则y＝f′(x)的图象可能是()2．已知t为实数，f(x)＝(x2－4)(x－t)且f′(－1)＝0，则t等于() A．0 B．－1C.12D．23．(2013·大庆模拟)已知直线y＝kx与曲线y＝ln x有公共点，则k的最大值为()A．1 B.1 eC.2e D.2e【巩固】4．已知f(x)＝x2＋2xf′(1)，则f′(0)＝________.5．若曲线f(x)＝ax5＋ln x存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是________．【拔高】6．求下列各函数的导数： (1)(x )′＝12x 12-；(2)(a x )′＝a 2ln x ；(3)(x cos x )′＝cos x ＋x sin x ；(4)⎝ ⎛⎭⎪⎫x x ＋1′＝1x ＋1，其中正确的有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个7．函数y＝x2(x>0)的图象在点(a k，a2k)处的切线与x轴的交点的横坐标为a k＋1，其中k∈N*.若a1＝16，则a1＋a3＋a5的值是________．8．如图，从点P1(0,0)作x轴的垂线交曲线y＝e x于点Q1(0,1)，曲线在Q1点处的切线与x轴交于点P2.再从P2作x 轴的垂线交曲线于点Q2，依次重复上述过程得到一系列点：P1，Q1；P2，Q2；…；P n，Q n，记P k点的坐标为(x k,0)(k＝1,2，…，n)．(1)试求x k与x k－1的关系(k＝2，…，n)；(2)求|P1Q1|＋|P2Q2|＋|P3Q3|＋…＋|P n Q n|.课程小结1.函数求导的原则对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则，求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误．2．曲线y＝f(x)“在点P(x0，y0)处的切线”与“过点P(x0，y0)的切线”的区别与联系(1)曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线是指P为切点，切线斜率为k＝f′(x0)的切线，是唯一的一条切线．(2)曲线y＝f(x)过点P(x0，y0)的切线，是指切线经过P点．点P可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条．。

第1节变化率与导数、导数的计算1．导数的概念(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数：①定义：称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率_f（x0＋Δx）－f（x0）Δx＝_ΔyΔx为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝ΔyΔx＝_f（x0＋Δx）－f（x0）Δx.②几何意义：函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率．(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．(2)函数f(x)的导函数：称函数f′(x)＝_f（x＋Δx）－f（x）Δx为f(x)的导函数．2．基本初等函数的导数公式3.导数的运算法则(1)『f (x )±g (x )』′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)『f (x )·g (x )』′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)『f （x ）g （x ）』′＝f ′（x ）g （x ）－f （x ）g ′（x ）[g （x ）]2(g (x )≠0)． 4．复合函数的导数设u ＝v (x )在点x 处可导，y ＝f (u )在点u 处可导，则复合函数f 『v (x )』在点x 处可导，且f ′(x )＝f ′(u )·v ′(x )，即y ′x ＝y ′u ·u ′x ．1．(人教A 版教材习题改编)某汽车的路程函数是s (t )＝2t 3－12gt 2(g ＝10 m/s 2)，则当t ＝2 s 时，汽车的加速度是( )A ．14 m/s 2B ．4 m/s 2C ．10 m/s 2D ．－4 m/s 2『解析』 由题意知，汽车的速度函数为v (t )＝s ′(t )＝6t 2－gt ，则v ′(t )＝12t －g ，故当t ＝2 s 时，汽车的加速度是v ′(2)＝12×2－10＝14 m/s 2. 『答案』 A2．函数y ＝x cos x －sin x 的导数为( )A ．x sin xB ．－x sin xC ．x cos xD ．－x cos x『解析』 f ′(x )＝cos x －x sin x －cos x ＝－x sin x . 『答案』 B3．已知f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0等于( )A ．e 2B ．e C.ln 22D ．ln 2 『解析』 f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝ln x ＋1，由f ′(x 0)＝2，即ln x 0＋1＝2，解得x 0＝e. 『答案』 B4．(2013·青岛模拟)曲线y ＝x 3＋11在点P (1，12)处的切线与y 轴交点的纵坐标是( )A ．－9B ．－3C ．9D ．15『解析』 ∵y ＝x 3＋11，∴y ′＝3x 2，∴y ′|x ＝1＝3，∴曲线y ＝x 3＋11在点P (1，12)处的切线方程为y －12＝3(x －1)．令x ＝0，得y ＝9. 『答案』 C5．(2012·广东高考)曲线y ＝x 3－x ＋3在点(1，3)处的切线方程为________． 『解析』 ∵y ′＝3x 2－1，∴y ′|x ＝1＝3×12－1＝2.∴所求切线方程为y －3＝2(x －1)，即2x －y ＋1＝0. 『答案』 2x －y ＋1＝0求下列函数的导数： (1)y ＝e x sin x ； (2)y ＝x (x 2＋1x ＋1x 3)；(3)y ＝x －sin x 2cos x2；(4)y ＝ln （2x ＋3）x 2＋1.『思路点拨』 (1)利用积的导数运算法则求解，(2)(3)先化简再求导，(4)利用商的导数运算法则和复合函数求导法则求解．『尝试解答』 (1)y ′＝(e x )′sin x ＋e x (sin x )′＝e x sin x ＋e x cos x .(2)∵y ＝x 3＋1＋1x 2，∴y ′＝3x 2－2x 3.(3)∵y ＝x －12sin x ，∴y ′＝1－12cos x .(4)y ′＝（ln （2x ＋3））′（x 2＋1）－ln （2x ＋3）（x 2＋1）′（x 2＋1）2＝（2x ＋3）′2x ＋3·（x 2＋1）－2x ln （2x ＋3）（x 2＋1）2＝2（x 2＋1）－2x （2x ＋3）ln （2x ＋3）（2x ＋3）（x 2＋1）2.1．本题在解答过程易出现商的求导中，符号判定错误． 2．求函数的导数的方法(1)连乘积的形式：先展开化为多项式的形式，再求导； (2)根式形式：先化为分数指数幂，再求导；(3)复杂公式：通过分子上凑分母，化为简单分式的和、差，再求导． (4)复合函数：确定复合关系，由外向内逐层求导．(5)不能直接求导的：适当恒等变形，转化为能求导的形式再求导．求下列函数的导数：(1)y ＝(1＋x )(1＋1x)； (2)y ＝3x e x －ln x ＋e ； (3)y ＝3－x ＋e 2x .『解析』 (1)∵y ＝(1＋x )(1＋1x)＝2＋x －12＋x 12，∴y ′＝－12x －32＋12x －12.(2)y ′＝(3x )′e x ＋3x (e x )′－1x ＝3x e x ln 3＋3x e x －1x＝3x e x ln(3e)－1x.(3)y ′＝12(3－x )－12(3－x )′＋e 2x (2x )′＝－12(3－x )－12＋2e 2x .已知曲线C 1：y ＝x 2与C 2：y ＝－(x －2)2，直线l 与C 1，C 2都相切，求直线l 的方程． 『思路点拨』 从直线l 与C 1，C 2都相切入手，分别求直线l 的方程，通过比较系数求解．『尝试解答』 设l 与C 1相切于点P (x 1，x 21)，与C 2相切于Q (x 2，－(x 2－2)2)． 对于C 1：y ′＝2x ，则与C 1相切于点P 的切线方程为y －x 21＝2x 1(x －x 1)， 即y ＝2x 1x －x 21， 对于C 2：y ′＝－2(x －2)， 则与C 2相切于点Q 的切线方程为 y ＋(x 2－2)2＝－2(x 2－2)(x －x 2)， 即y ＝－2(x 2－2)x ＋x 22－4. ∵两切线重合，∴2x 1＝－2(x 2－2)，且－x 21＝x 22－4.解得x 1＝0，x 2＝2或x 1＝2，x 2＝0.∴直线l 方程为y ＝0或y ＝4x －4.1．导数f ′(x 0)的几何意义就是函数y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线的斜率．2．在求切线方程时，应先判断已知点Q (a ，b )是否为切点，若已知点Q (a ，b )不是切点，则应求出切点的坐标，其求法如下：(1)设出切点的坐标P (x 0，y 0)；(2)解方程组⎩⎨⎧y 0＝f （x 0），f ′（x 0）＝f （x 0）－bx 0－a ，求出切点坐标； (3)利用点斜式写出切线方程．若函数f (x )＝e x cos x ，则此函数图象在点(1，f (1))处的切线的倾斜角为( )A ．0B ．锐角C ．直角D ．钝角『解析』 由已知得：f ′(x )＝e x cos x －e x sin x ＝e x (cos x －sin x )．∴f ′(1)＝e(cos 1－sin 1)．∵π2>1>π4.而由正余弦函数性质可得cos 1<sin 1. ∴f ′(1)<0，即f (x )在(1，f (1))处的切线的斜率k <0. ∴切线倾斜角是钝角． 『答案』 D设函数f (x )＝ax ＋1x ＋b(a ，b ∈Z )，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y ＝3.(1)求y ＝f (x )的解析式；(2)证明曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝1和直线y ＝x 所围三角形的面积为定值，并求出此定值． 『思路点拨』『尝试解答』 (1)f ′(x )＝a －1（x ＋b ）2，于是⎩⎨⎧2a ＋12＋b ＝3，a －1（2＋b ）2＝0，解得{a ＝1，b ＝－1，或⎩⎨⎧a ＝94，b ＝－83. ∵a ，b ∈Z ，故f (x )＝x ＋1x －1. (2)在曲线上任取一点(x 0，x 0＋1x 0－1)．由f ′(x 0)＝1－1（x 0－1）2知，过此点的切线方程为y －x 20－x 0＋1x 0－1＝『1－1（x 0－1）2』(x －x 0)．令x ＝1，得y ＝x 0＋1x 0－1，切线与直线x ＝1的交点为(1，x 0＋1x 0－1)．令y ＝x ，得y ＝2x 0－1，切线与直线y ＝x 的交点为(2x 0－1，2x 0－1)． 直线x ＝1与直线y ＝x 的交点为(1，1)． 从而所围三角形的面积为12|x 0＋1x 0－1－1|·|2x 0－1－1|＝12|2x 0－1||2x 0－2|＝2. ∴所围三角形的面积为定值2.1．切点(2，f (2))既在切线上，又在曲线f (x )上，从而得到关于a ，b 的方程组．2．当曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线平行于y 轴(此时导数不存在)时，切线方程为x ＝x 0；当切点坐标不知道时，应首先设出切点坐标，再求解．(2013·惠州质检)已知f (x )＝ln x ，g (x )＝13x 3＋12x 2＋mx ＋n ，直线l 与函数f (x )，g (x )的图象都相切于点(1，0)．(1)求直线l 的方程； (2)求函数g (x )的解析式．『解析』 (1)∵l 是f (x )＝ln x 在点(1，0)处的切线，∴其斜率k ＝f ′(1)＝1， 因此直线l 的方程为y ＝x －1. (2)又l 与g (x )相切于点(1，0)， ∴g ′(1)＝1，且g (1)＝0.因此⎩⎨⎧13＋12＋m ＋n ＝0，1＋1＋m ＝1，∴⎩⎨⎧m ＝－1，n ＝16，所以函数g (x )＝13x 3＋12x 2－x ＋16.一个区别曲线y ＝f (x )“在”点P (x 0，y 0)处的切线与“过”点P (x 0，y 0)的切线的区别： (1)“在”曲线上一点处的切线问题，先对函数求导，代入点的横坐标得到斜率． (2)“过”曲线上一点的切线问题，此时该点未必是切点，故应先设切点，求切点坐标． 三个防范1.利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆． 2．要正确理解直线与曲线相切和直线与曲线只有一个交点的区别． 3．正确分解复合函数的结构，由外向内逐层求导，做到不重不漏．从近两年的高考试题来看，求导公式和运算法则，以及导数的几何意义是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又可做为解答题的一问，难度中、低档为主，除了考查导数运算，几何意义，还常与函数相关知识渗透交汇命题．易错辨析之五 求导时忽视函数定义域致误(2011·江西高考)若f (x )＝x 2－2x －4ln x ，则f ′(x )＞0的解集为( )A ．(0，＋∞)B ．(－1，0)∪(2，＋∞)C ．(2，＋∞)D ．(－1，0)『错解』 ∵f ′(x )＝2x －2－4x ＝2x 2－2x －4x，∴由f ′(x )＞0，可得x 2－x －2x ＞0，解得x ＞2或－1＜x ＜0，故选B. 『答案』 B错因分析：(1)忽视函数的定义域(0，＋∞)．(2)记错导数公式(ln x )′＝1x ，导致盲目作答致错．防范措施：(1)树立函数定义域优先意识． (2)熟练掌握导数的计算公式与运算法则． 『正解』 函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，∵f ′(x )＝2x －2－4x ＝2x 2－2x －4x ，∴由f ′(x )＞0，可得x 2－x －2＞0，∴x ＞2. 『答案』 C1．(2013·咸阳模拟)函数y ＝ln x (x ＞0)的图象与直线y ＝12x ＋a 相切，则a 等于( )A ．2ln 2B ．ln 2＋1C ．ln 2D ．ln 2－1『解析』 设切点为(x 0，y 0)，∵y ′＝1x ，∴y ′|x ＝x 0＝1x 0＝12，∴x 0＝2，y 0＝ln 2，又点(2，ln 2)在直线y ＝12x ＋a 上，∴ln 2＝12×2＋a ，∴a ＝ln 2－1.『答案』 D2．(2012·课标全国卷)曲线y ＝x (3ln x ＋1)在点(1，1)处的切线方程为________．『解析』 ∵y ＝x (3ln x ＋1)，∴y ′＝3ln x ＋1＋x ·3x＝3ln x ＋4，∴k ＝y ′|x ＝1＝4，∴所求切线的方程为y －1＝4(x －1)，即y ＝4x －3. 『答案』 y ＝4x －3。