3.1 辅助角公式及应用(共20张PPT)

辅助角公式运用辅助角公式()cos sina bθθθφ+=+，其中φ称为辅助角且sinφ=，cosφ=. （圆与椭圆的参数方程实际上也是辅助角关系，而且它们的辅助角有着特别的几何意义）辅助角公式针对的实际上是同角的正弦与余弦之＂和＂结构，这个结构可以把它们集中为单一函数形式，从而方便求出相应的一些性质．例：已知sin cosx yθθ-=，222222sin cos1a b x yθθ+=+.证明22221x ya b+=解一：sin cos1 x yθθθθ-=⇔=.记cosα=，sinα=. 则()sin1θα-=，2,2k k Zπθαπ-=+∈，2,2k k Zπθαπ=++∈.所以22222222s i n c o s c o s s i n a b a bθθαα+=+，所以222222cos sin1a b x yαα+=+，结合cosα=sinα=得22221x ya b+=.解二：由sin cosx yθθ-=()2cos sin0x yθθ+=. cos sinx yθθ=-，所以2222cos sinx yθθ=又222222sin cos1a b x yθθ+=+，所以()()22222222sin cos1x y x ya bθθ+++=故22221x y a b+= 例1 （2011浙江省）设,x y 为实数，若2241x y xy ++=，则 2x y +的最大值是解： 由2241x y xy ++= 得 221521416y x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭设 2cos 4y x θ+=，sin 4y θ=， 则322cos44y x y x y θθ+=++=+≤=例2.锐角A ，B 满足sin cosA B B +=求s i nt a n A B 的值.解：根据辅助角公式，得 sin cos A B B ≤又 sin cosA B B =所以≤化简 ，得 24sin 4sin 10A A -+≤ .即()22sin 10A -≤. 所以 1sin 2A =，因为A ，B 为锐角，所以6A π=，所以 cos 2sin B B +=，得tan 2B =，故sin tan A B =1例3 已知⎪⎭⎫⎝⎛∈20πβα，，，且()βαβα+=+sin sin sin 22。

2X当定义域为R 时，f X 7a ^"b 2j a ^"b 2.当定义域有限定时，要根据辅助角公式 的区间范围及三角函数的单调性（或三角函数线） 的几何意义得到的估计范围，再根据X来作出判断，求出函数的最值或值域1.求函数 f X sinx 2cos X , X 0,—21 . -^sinx 752 -^cosx J 5亦sin X（其中sin2壽,cos0,— X 2辅助角公式应用在三角函数的学习过程中，有一个和差角公式的变形式：辅助角公式要引起重视。

为便于研究，下文中辅助角公式一律化为正弦和角公式: f X asinx bcosx^/a ^__sin xg f acosxg , b4a __b 2sin xy/a n 2其中 cos . a,sin v a ^ # b （几何意义：p a,b 所在终边对应的中心角） v a ^sin O,co s 为第一象限角，可令,2而sin【解析】由辅助角公式可，又 2 2 +0,1 .石sin cos2.求函数f X 2sin X 3cos X,X2X精选文库43V 13 sin x —^ cosx -皿sin x713 虫3其中 sin 为第四象限角.又sinsin2，可令x6，3 0,23函数y sin x, x 2、2单调递增,2sin — 3cos — 16 637323cos —3【解析】解法一：辅助角公式：f x 343代入直线方程的t1精选文库2 ‘232 '243精选文库3.函数 y 3cosx 4sin x,x］的值域 6 3［4朋,5］【解析】y 4sinx 3cosx 5sin(x)，其中 sin 3,cos25—时,函数有最小值 y min 3cos — 4sin — 6 6 6且估算（6,7）而x [?,3],估算（X ）（亍寻）-时,函数有最大值ymax 5,即函数值域y ［呼,5］4.设X时，函数f X sinx 2cosx 取得最大值, 则 COS【解析】 解法一：辅助角公式:由辅助角公式可得:sinx 2cosx 75 sin其中 2 sin 〒，cosJ 5时,取得最大值.2ki ，kZ ，即 2k ,kcos cos —2 si n 解法二: 导数法：f cos 2sin0, sin2cos75 ，得 cos解法三: 解方程组：由条件可得 f Xmax，即sin.2sin2cos 2cos®消去sin12cos cos 21，解得cos所以,当x4 3^3 2又当x 时，函数f (x)取得最大值•，所以-2k ，即一2k2 2(k Z)所以coscos(22k)= sin455 ■6.若x时，函数 f x2sin x 3cosx 取得最大值，则tan解法四: 向量法：令a rr r 2,1 ,b cosx,sinx ，贝U f xago r rab cos 当cos 取得最大值时, x 取得最大值，此时a 与b 同向共线,易得 cos解法五: 数形结合法 令 u cosx, v sinx 侧 x t v 2u ，如 v 2u t ( t 为纵截距)有交点, 直线如右图h 位置与圆相切时 1右2v A cos ,sin •此时l i 斜率为2 ,易得cos ¥ .5.设当x时，函数f(x) 2sin x cosx 取得最大值，则cos區【解析】5因 f (x) 2sin X cosx 亦sin(x )，其中cos275 .---- ,sin 5 又当 所以 【解析】f xx 时，函数tantan(— 22sin x 3cosx 7T3sin(x )其中 f (x)取得最大值•，所以2k ) cotcos sincos，即2 .屁sin(k Z)，方法二：用特殊值【点评】利用辅助角公式结合三角函数的对称性，结合二倍角公式进行求解 即可.8 .已知函数f (x) si n(x )2cos( x)(0)的图象关于直线 对称，则sin 2 ()4334A . -BC.-D .5555A 【解析】f(x) sin( x ) 2cos( x )75sin[( x )]，其中sin 2后，cos 1亦.又函数的图象关于直线x1对称，所以k-(k Z ), 即卩 k-,22则 sin2si n(2 k 2 ) sin(2 ) sin 2 2si n cos1X 12走?5 7 .已知方程2sinx cosx c 在(0,)上有两个根 和，则sin(44【解析】方法5:方程转化为 J5(sin X2〒 cos 厂 J 5 V 5其中 (cos£)，sin (xcsint汞依题意方程在(0,)上有两个根所以 ，故只能有2k 2ksin( )sin( sin 22 12sin cos 2—^—^45 455 69.若f X2015sinx 2016cosx 的一个对称中心为 a,0，则a 的值所在区间可以是X 的一个对称中心，得720152（ 2016）2sin （xk 3,(k Z)方法二:直接应用零点定义：由a,0是f X 的一个对称中心，得faa 2015sina 2016cosa0,得tana第(価k — a k —,(k Z),故当 k 0时，a (：,§)A(0,7)B -(打 C-（3，i ）【解析】方法一：利用辅助角公式：由于f X 2015si nx2016COSXf XJ20152 ( 2016)2 (sinx . __________J201522015 (2016)22016cosx )V20152( 2016)2J20152( 2016)2sin(X)，其中 tan 2016翫且所以可得 73 tan20兰1估算 2015又a,0sin(a0,得ak ,(k Z),即 a k ,(k Z)故当ka（打。