辅助角公式

三角函数复习之辅助角公式讲义辅助角公式是指在三角函数的计算中，使用一些特定角度的三角函数值来计算其他角度的三角函数值的公式。

这些特定角度被称为辅助角。

在三角函数的求解和计算中，辅助角公式是非常实用的工具。

下面是一些常用的辅助角公式。

1.正弦函数的辅助角公式：sin(A+B) = sinAcosB + cosAsinBsin(A-B) = sinAcosB - cosAsinB这两个公式可以通过将A+B或A-B展开并运用三角函数的和差角公式得到。

这两个公式可用于计算任意两个角度的正弦函数值。

2.余弦函数的辅助角公式：cos(A+B) = cosAcosB - sinAsinBcos(A-B) = cosAcosB + sinAsinB这两个公式可以通过将A+B或A-B展开并运用三角函数的和差角公式得到。

这两个公式可用于计算任意两个角度的余弦函数值。

3.正切函数的辅助角公式：tan(A+B) = (tanA + tanB) / (1 - tanAtanB)tan(A-B) = (tanA - tanB) / (1 + tanAtanB)这两个公式可以通过将A+B或A-B展开并运用三角函数的和差角公式以及两个角度的正切函数值来推导得到。

这两个公式可用于计算任意两个角度的正切函数值。

4.余切函数的辅助角公式：cot(A+B) = (cotAcotB - 1) / (cotA + cotB)cot(A-B) = (cotAcotB + 1) / (cotA - cotB)这两个公式可以通过将A+B或A-B展开并运用三角函数的和差角公式以及两个角度的余切函数值来推导得到。

这两个公式可用于计算任意两个角度的余切函数值。

辅助角公式在实际问题中有广泛的应用。

例如，在求解三角函数方程或证明三角恒等式时，辅助角公式可以帮助简化计算。

此外，辅助角公式还可以用于求解三角函数的特殊值，如求解sin15°、cos75°等。

辅助角公式正弦形式
辅助角公式指的是通过辅助角来简化三角函数的计算。

对于正弦函数，辅助角公式的正弦形式为：
sin(a + b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b)
其中，a和b为任意角度。

这个公式可以通过三角函数的和角公式推导得到。

如需计算sin(α+β)，可取任意一边为直角边，一边为斜边的直角三角形，设辅助角θ=⟨α，β⟩。

根据三角函数定义：sin(α) = B/C ，cos(α) = A/C。

辅助角θ的正弦和余弦分别为sin(θ) = c/C = c/H，cos(θ) = a/C = a/H。

其中，a，b，c分别为直角边的长度，C为斜边的长度，H为斜边的长度。

使用辅助角求解sin(α+β) = sin(α)cos(β) + cos(α)sin(β)。

sin(α)cos(β) = (B/C)(a/H) = AB/CH ，cos(α)sin(β) = (A/C)(b/H) = AB/CH。

因此，sin(α+β) = (AB/CH) + (AB/CH) = 2AB/CH。

根据直角三角形的关系，可得CH = A / cos(θ) = A /(a/H) = AH/a。

代入sin(α+β) = 2AB/CH，得sin(α+β) = 2AB/(AH/a) =
2ABa/AH= 2sin(α)cos(β)。

因此，sin(α+β) = 2sin(α)cos(β)。

辅助角公式的φ 范围
辅助角公式中，φ 通常取值在 -π/2 到π/2 的范围内，但是也可
以通过周期性地添加或减去2π 的方式将φ 被限制在此范围内。

在三角函数的求解过程中，通常需要使用到辅助角公式来简化计算。

常用的辅助角公式包括：
1. 正弦函数的辅助角公式：sin(x + y) = sin(x)cos(y) +
cos(x)sin(y)
2. 余弦函数的辅助角公式：cos(x + y) = cos(x)cos(y) -
sin(x)sin(y)
3. 正切函数的辅助角公式：tan(x + y) = (tan(x) + tan(y)) / (1 -
tan(x)tan(y))
此外，还有一些特殊的辅助角公式，例如：
1. 倍角公式：sin(2x) = 2sin(x)cos(x)；cos(2x) = cos2(x) - sin2(x)
2. 半角公式：sin(x/2) = ±√[(1 - cos(x)) / 2]；cos(x/2) = ±√[(1 + cos(x)) / 2]
在使用这些辅助角公式时，需要注意角度单位的转换和符号的考虑，以确保计算的正确性。

公式：asinx+bcosx=根号(a^2+b^2)*sin(x+arctan b/a)有错误.正确公式是：asinx+bcosx=根号(a^2+b^2)*sin(x+辅助角t),其中“辅助角t”满足条件“tan(辅助角t)=b/a”,而辅助角t的象限位置由点(a,b)的象限位置决定.你的错误在于：（1）认为“辅助角t＝arctan b/a”.因为“辅助角t”可能在四个象限,而arctan b/a的取值范围是(-π/2,π/2);它们显然不一定相等；（2）sinx-cosx的辅助角在第四象限,可用arctan-1/1表示,但cosx-sinx的辅助角在第二象限,不能用arctan(1/-1)表示,可取成3π/4.西格玛希腊字母读法：序号大写小写英文注音国际音标注音中文注音意义1 Αα alpha a:lf 阿尔法角度；系数2 Ββ beta bet 贝塔磁通系数；角度；系数3 Γγ gamma ga:m 伽马电导系数（小写）4 Δδ delta delt 德尔塔变动；密度；屈光度5 Εε epsilon ep`silon 伊普西龙对数之基数6 Ζζ zeta zat 截塔系数；方位角；阻抗；相对粘度；原子序数7 Ηη eta eit 艾塔磁滞系数；效率（小写）8 Θθ thet θit 西塔温度；相位角9 Ιι iot aiot 约塔微小,一点儿10 Κκ kappa kap 卡帕介质常数11 ∧λ lambda lambd 兰布达波长（小写）；体积12 Μμ mu mju 缪磁导系数；微（千分之一）；放大因数（小写）13 Νν nu nju 纽磁阻系数14 Ξξ xi ksi 克西15 Οο omicron omik`ron 奥密克戎16 ∏π pi pai 派圆周率=圆周÷直径=3.141617 Ρρ rho rou 肉电阻系数（小写）18 ∑σ sigma `sigma 西格马总和（大写）,表面密度；跨导（小写）19 Ττ tau tau 套时间常数20 Υυ upsilon jup`silon 宇普西龙位移21 Φφ phi fai 佛爱磁通；角22 Χχ chi phai 西23 Ψψ psi psai 普西角速；介质电通量（静电力线）；角24 Ωω omega o`miga 欧米伽欧姆（大写）；角速（小写）；角。

辅助角公式Revised on November 25, 2020推导对于f(x)=asinx+bcosx(a>0)型函数，我们可以如此变形，设点(a,b)为某一角φ(-π/2<φ<π/2)终边上的点，则，因此就是所求辅助角公式。

又因为，且-π/2<φ<π/2，所以，于是上述公式还可以写成该公式也可以用余弦来表示（针对b>0的情况），设点(b,a)为某一角θ(-π/2<θ<π/2)终边上的点，则，因此同理，，上式化成若正弦和余弦的系数都是负数，不妨写成f(x)=-asinx-bcosx，则再根据得记忆很多人在利用辅助角公式时，经常忘记反正切到底是b/a还是a/b，导致做题出错。

其实有一个很方便的记忆技巧，就是不管用正弦还是余弦来表示asinx+bcosx，的位置永远是你用来表示函数名称的系数。

例如用正弦来表示asinx+bcosx，则反正切就是b/a（即正弦的系数a在分母）。

如果用余弦来表示,那反正切就要变成a/b（余弦的系数b在分母）。

疑问为什么在推导辅助角公式的时候要令辅助角的取值范围为(-π/2,π/2)其实是在分类讨论a>0或b>0的时候，已经把辅助角的终边限定在一、四象限内了，此时辅助角的范围是(2kπ-π/2,2kπ+π/2)(k是整数)。

而根据三角函数的周期性可知加上2kπ后函数值不变，况且在(-π/2,π/2)内辅助角可以利用反正切表示，使得公式更加简洁明了。

提出者，原名李心兰，字竟芳，号秋纫，别号壬叔。

出身于读书世家，其先祖可上溯至南宋末年汴梁（今）人李伯翼。

生于1811年 1月22日，逝世于1882年12月9日，人，是中国近代着名的数学家、天文学家、力学家和，创立了二次的幂级数展开式。

[1]（就是现在的）他研究各种，和对数函数的幂级数展开式，这是李善兰也是19 世纪中国数学界最重大的成就。

[1]在19世纪把西方近代知识翻译为中文的传播工作中﹐李善兰作出了重大贡献。

辅助角公式集团文件版本号：（M928-T898-M248-WU2669-I2896-DQ586-M1988）推导对于f(x)=asinx+bcosx(a>0)型函数，我们可以如此变形，设点(a,b)为某一角φ(-π/2<φ<π/2)终边上的点，则，因此就是所求辅助角公式。

又因为，且-π/2<φ<π/2，所以，于是上述公式还可以写成该公式也可以用余弦来表示（针对b>0的情况），设点(b,a)为某一角θ(-π/2<θ<π/2)终边上的点，则，因此同理，，上式化成若正弦和余弦的系数都是负数，不妨写成f(x)=-asinx-bcosx，则再根据得记忆很多人在利用辅助角公式时，经常忘记反正切到底是b/a还是a/b，导致做题出错。

其实有一个很方便的记忆技巧，就是不管用正弦还是余弦来表示asinx+bcosx，的位置永远是你用来表示函数名称的系数。

例如用正弦来表示asinx+bcosx，则反正切就是b/a（即正弦的系数a在分母）。

如果用余弦来表示,那反正切就要变成a/b（余弦的系数b 在分母）。

疑问为什么在推导辅助角公式的时候要令辅助角的取值范围为(-π/2,π/2)？其实是在分类讨论a>0或b>0的时候，已经把辅助角的终边限定在一、四象限内了，此时辅助角的范围是(2kπ-π/2,2kπ+π/2)(k是整数)。

而根据三角函数的周期性可知加上2kπ后函数值不变，况且在(-π/2,π/2)内辅助角可以利用反正切表示，使得公式更加简洁明了。

提出者，原名李心兰，字竟芳，号秋纫，别号壬叔。

出身于读书世家，其先祖可上溯至南宋末年汴梁（今）人李伯翼。

生于1811年 1月22日，逝世于1882年12月9日，人，是中国近代着名的数学家、天文学家、力学家和，创立了二次的幂级数展开式。

[1]（就是现在的）他研究各种，和对数函数的幂级数展开式，这是李善兰也是19 世纪中国数学界最重大的成就。

常用辅助角公式6个辅助角公式在数学的三角函数学习中可是相当重要的利器哦！咱们一起来瞧瞧常用的 6 个辅助角公式。

先来说说辅助角公式到底是啥。

其实啊，辅助角公式就是把形如$a\sin x + b\cos x$ 的式子，通过一定的变形，转化成一个更简洁的形式。

这就像是给一团乱麻找到了线头，一下子就清晰明了啦。

第一个常用的辅助角公式是：$\sqrt{a^2 + b^2}\sin(x + \varphi)$ ，其中 $\tan\varphi = \frac{b}{a}$ 。

这个公式用起来就像是给三角函数穿上了一件合身的衣服，让它们的样子变得更整齐。

比如说，有这样一道题：化简 $2\sin x + 2\sqrt{3}\cos x$ 。

这时候辅助角公式就派上用场啦！咱们先计算 $\sqrt{2^2 + (2\sqrt{3})^2} =\sqrt{4 + 12} = 4$ ，然后 $\tan\varphi = \frac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$ ，所以 $\varphi = \frac{\pi}{3}$ ，最后就可以化简为 $4\sin(x +\frac{\pi}{3})$ 。

是不是感觉一下子就简单多啦？还有一次，我在给学生讲这部分内容的时候，有个小家伙怎么都理解不了为什么要这样变形。

我就跟他打了个比方，我说这就像是把一堆七零八落的积木，通过一定的方法拼成一个漂亮的城堡。

这小家伙眼睛一下子亮了，后来做题的时候还做得挺不错呢！第二个辅助角公式是：$\sqrt{a^2 + b^2}\cos(x - \varphi)$ ，这里的$\tan\varphi = \frac{a}{b}$ 。

第三个公式：$\sqrt{a^2 + b^2}\sin(x - \varphi)$ ，其中 $\tan\varphi = -\frac{b}{a}$ 。

第四个：$\sqrt{a^2 + b^2}\cos(x + \varphi)$ ，且 $\tan\varphi = -\frac{a}{b}$ 。

三角函数辅助角公式推导过程是什么辅助角公式是一种高等三角函数公式，下面小编整理了三角函数辅助角公式公式及推导过程，供大家参考！1 三角函数辅助角公式是什幺辅助角公式是一种高等三角函数公式，使用代数式表达为asinx+bcosx=√(a²+b²)sin[x+\arctan(b/a)]（a>0）。

虽然该公式已经被写入中学课本，但其几何意义却鲜为人知。

设要证明的公式为asinA+bcosA=√(a +b )sin(A+M) (tanM=b/a)以下是证明过程：设asinA+bcosA=xsin(A+M)∴asinA+bcosA=x((a/x)sinA+(b/x)cosA)由题,（a/x) +(b/x) =1,sinM=a/x,cosM=b/x∴x=√(a +b )∴asinA+bcosA=√(a +b )sin(A+M) ,tanM=sinM/cosM=b/a1 三角函数辅助角公式推导过程三角函数辅助角公式推导：asinx+bcosx=√(a²+b²)[asinx/√(a²+b²)+bcosx/√(a²+b²)]令a/√(a²+b²)=cosφ，b/√(a²+b²)=sinφasinx+bcosx=√(a²+b²)(sinxcosφ+cosxsinφ)=√(a²+b²)sin(x+φ)其中，tanφ=sinφ/cosφ=b/a，φ的终边所在象限与点(a,b)所在象限相同. 简单例题：（1）化简5sina-12cosa5sina-12cosa=13(5/13sina-12/13cosa)。

推导对于f(x)=asinx+bcosx(a＞0)型函数,我们可以如此变形,设点(ａ,ｂ)为某一角φ(-π/2＜φ〈π/2)终边上得点,则,因此就就是所求辅助角公式。

又因为,且-π/２〈φ<π/２,所以,于就是上述公式还可以写成该公式也可以用余弦来表示(针对b>０得情况),设点(b,a)为某一角θ(-π／2〈θ<π/2)终边上得点,则,因此同理,,上式化成若正弦与余弦得系数都就是负数,不妨写成f(x)＝—asinx－ｂcosｘ,则再根据诱导公式得记忆很多人在利用辅助角公式时,经常忘记反正切到底就是ｂ/a还就是a/b,导致做题出错、其实有一个很方便得记忆技巧,就就是不管用正弦还就是余弦来表示asiｎx+bｃosx,分母得位置永远就是您用来表示函数名称得系数、例如用正弦来表示ａｓiｎｘ＋ｂcosx,则反正切就就是b/a(即正弦得系数a在分母)。

如果用余弦来表示,那反正切就要变成ａ/b(余弦得系数ｂ在分母)。

疑问为什么在推导辅助角公式得时候要令辅助角得取值范围为(-π／2,π/2)？其实就是在分类讨论ａ>0或ｂ>0得时候,已经把辅助角得终边限定在一、四象限内了,此时辅助角得范围就是(2kπ—π/２,２kπ+π/２)(k就是整数)。

而根据三角函数得周期性可知加上2kπ后函数值不变,况且在(—π/2,π/2)内辅助角可以利用反正切表示,使得公式更加简洁明了、提出者李善兰,原名李心兰,字竟芳,号秋纫,别号壬叔。

出身于读书世家,其先祖可上溯至南宋末年京都汴梁(今河南开封)人李伯翼。

生于1811年 1月22日,逝世于1882年１２月９日,浙江海宁人,就是中国近代著名得数学家、天文学家、力学家与植物学家,创立了二次平方根得幂级数展开式、[1］ (就就是现在得自然数幂求与公式)她研究各种三角函数,反三角函数与对数函数得幂级数展开式,这就是李善兰也就是1９世纪中国数学界最重大得成就、［1］在19世纪把西方近代物理学知识翻译为中文得传播工作中﹐李善兰作出了重大贡献。