第四周第一次月考模拟卷 01(原卷版)-高一数学下学期周练冲刺模拟卷(苏教版2019必修第二册)

2022-2023学年江苏省南京市高一下册5月月考数学模拟试题（含解析）一､选择题（共8小题，每题5分，共40分）1.若（－1＋i ）z ＝3＋i ，则|z |＝（）A. B.8C.D.5【正确答案】C【分析】根据复数的乘、除法运算求出2i z =-+，结合复数的几何意义计算即可.【详解】由题意知，()()(3i)1i 3i 12i 1i 1i (1i)z +--+===---+-+--，所以z ==故选：C2.如图，A B C '''是斜二测画法画出的水平放置的ABC 的直观图，D ¢是B C ''的中点，且A D y '''∥轴，B C x '''∥轴，2A D ''=，2B C ''=，那么（）A.AD 的长度大于AC 的长度B.A B C '''的面积为2C.ABC 的面积为4 D.π4ABC ∠=【正确答案】C【分析】结合斜二测画法的知识对选项进行分析，从而确定正确选项.【详解】依题意D ¢是B C ''的中点，且A D y '''∥轴，B C x '''∥轴，2A D ''=，2B C ''=，三角形A D C '''中，π4A D C '''=∠，三角形ADC 中，π2ADC ∠=，24''==AD A D ，1CD =，AC ==AD AC <，所以A 选项错误.12442ABCS =⨯⨯=，C 选项正确.1π221sin 24A B C S'''⎛⎫=⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭，B 选项错误.由于π,1,4,2ADB BD AD BD AD ∠===≠，所以三角形ABC 不是等腰直角三角形，所以D 选项错误.故选：C3.已知两个非零向量a ，b 的夹角为60︒，且(2)a a b ⊥-，则2a b a b+=- （）A.3B.C.2D.【正确答案】B【分析】根据已知条件，结合数量积的运算律可推得a b =.进而根据数量积的运算律求出2a b += ，a b a -=，即可得出答案.【详解】由已知可得(2)0a a b ⋅-=，即2222cos 600a a b a a b -⋅=-︒= ，所以，a b =.所以，2a b +==，a b a -== ，所以，2a ba b +==-.故选：B.4.设,αβ是两个不同的平面，,l m 是两条不同的直线，则下列命题中正确的是（）A.若,,l m αβαβ⊥⊂⊂，则l m ⊥B.若,l l αβ⊥⊥，则//αβC.若,m βαβ⊥⊥，则//m αD.若//αβ，且l 与α所成的角和m 与β所成的角相等，则//l m 【正确答案】B【分析】根据线线、线面、面面位置关系有关知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】A 选项，若,,l m αβαβ⊥⊂⊂，则l 与m 可能平行，所以A 选项错误.B 选项，两个平面垂直于同一个平面，则这两个平面平行，所以B 选项正确.C 选项，若,m βαβ⊥⊥，则m 可能含于α，所以C 选项错误.D 选项，若//αβ，且l 与α所成的角和m 与β所成的角相等，则可能l 与m 异面或相交，故选：B5.如图，ABCD 是圆柱的轴截面，32AB AD =，点E 在底面圆周上，且是AB 的中点，则异面直线AE 与BD 所成角的正切值为（）A.2B.11C.13D.13【正确答案】A【分析】连接BE ，取AD 中点为M ，BE 中点为F ，记AB 中点为O ，连接OM ，OF ，MF ，AF ，根据题意，得到∠MOF 为异面直线AE 与BD 所成的角或所成角的补角，设3AD =，由题中条件，求出OM ，OF ，MF ，求出异面直线AE 与BD 所成角的余弦值，进而可求出正切值.【详解】连接BE ，取AD 中点为M ，BE 中点为F ，记AB 中点为O ，连接OM ，OF ，MF ，AF ，则//OM BD 且12OM BD =，//OF AE 且12OF AE =，则∠MOF 为异面直线AE 与BD 所成的角或所成角的补角，因为ABCD 是圆柱的轴截面，所以四边形ABCD 为矩形，且AD ⊥底面；设3AD =，由32AB AD =得2AB =，则BD =因为点E 在底面圆周上，且是AB 的中点，则AEB △为等腰直角三角形，所以2BE AE AB ===，因此102AF =，则2MF ===，又11322OM BD ==，1222OF AE ==，设异面直线AE 与BD 所成的角为θ，则22226cos cos 21313222OM OF MF MOF OM OF θ+-=∠====⋅，则143sin 13θ==，因此22tan22613θ====.故选：A.本题主要考查求异面直线所成的角，根据异面直线的概念求解即可，属于常考题型.6.羽毛球运动是一项全民喜爱的体育运动，标准的羽毛球由16根羽毛固定在球托上，测得每根羽毛在球托之外的长为8cm，球托之外由羽毛围成的部分可看成一个圆台的侧面，测得顶璃所围成圆的直径是6cm，底部所围成圆的直径是2cm，据此可估算球托之外羽毛球所在曲面的展开图的圆心角为（）A.2π3 B.3π4 C.π2 D.π3【正确答案】C【分析】由已知得出圆台的半径以及母线长，将圆台还原为圆锥，根据相似关系得出4x=.进而根据圆锥的侧面展开图，即可求出答案.【详解】由已知可得，圆台的母线长为8，下底面圆的半径为1，上底面圆的半径为3，将圆台补成圆锥，如图1所示：则羽毛所在曲面的面积为大､小圆锥的侧面积之差，设小圆锥母线长为x ，则大圆锥母线长为8x +，由相似得286x x =+，解得4x =.将该圆锥展开得到扇形如图2则小圆锥的半径4OA =，AB 的长为2π12π⨯=，所以估算球托之外羽毛所在的曲面展开图圆心角为2ππ42α==.故选：C.7.将顶点在原点，始边为x 轴非负半轴的锐角α的终边绕原点逆时针转过π3后，交单位圆于点3,5P y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则πsin 2α⎛⎫+⎪⎝⎭的值为（）A.43310B.43310C.43310+ D.33410-【正确答案】A【分析】由已知可得45y =±，根据角α的范围，可知45y =.然后根据三角函数的定义得出角π3α+的三角函数值.进而根据诱导公式，以及两角差的余弦公式，即可得出答案.【详解】由已知可得22315y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，解得45y =±.因为锐角0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则ππ5π,336α⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以45y =.根据三角函数的定义可得，π3cos 35α⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，π4sin 35α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以πππsin cos cos 233ααα⎛⎫⎛⎫+==+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ππππ3cos cos sin sin 333310αα⎛⎫⎛⎫=+++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：A.8.已知锐角三角形ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,,a b c ABC 的面积为S ，且()22sin 2bc B S -⋅=，若a kc =，则k 的取值范围是（）A.()1,2B.()0,3 C.()1,3 D.()0,2【正确答案】A【分析】根据面积公式，余弦定理和题干条件得到2cos c a c B =-，结合正弦定理得到2B C =，由ABC 为锐角三角形，求出ππ,32B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，从而求出111cos 0,2222a c B k c -⎛⎫==-∈ ⎪⎝⎭，求出k 的取值范围.【详解】因为1sin 2S ac B =，所以()22sin 2sin b c B S ac B -⋅==，即22b c ac -=，所以2222cos ac c a c ac B +=+-，整理得：22cos ac a ac B =-，因为0a >，所以2cos c a c B =-，由正弦定理得：sin sin 2sin cos C A C B =-，因为()sin sin sin cos cos sin A B C B C B C =+=+，所以()sin sin cos cos sin sin C B C B C B C =-=-，因为ABC 为锐角三角形，所以B C -为锐角，所以C B C =-，即2B C =，由π0,2π0,22ππ0,22B B C B A B ⎧⎛⎫∈ ⎪⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫=∈⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫=--∈⎪ ⎪⎝⎭⎩，解得：ππ,32B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，因为a kc =，所以111cos 0,2222a c B k c -⎛⎫==-∈ ⎪⎝⎭，解得：()1,2k ∈，故选：A三角形相关的边的取值范围问题，通常转化为角，利用三角函数恒等变换及三角函数的值域等求出边的取值范围，或利用基本不等式进行求解.二､多选题（共4小题，每题5分，共20分）9.已知i 为虚数单位，下列说法中正确的是（）A.若复数z满足|i |z -=，则复数z 对应的点在以(1,0)为圆心，B.若复数z 满足||28i z z +=+，则复数158i z =-+C.若复数1z ，2z 满足12||||z z =，则1122z z z z ⋅=⋅D.若复数1z ，2z 满足12||||z z =，则2212z z =【正确答案】BC【分析】对于A ，结合复数的几何意义，即可求解，对于B ，结合复数模公式，以及复数相等的条件，即可求解，对于C ，结合共轭复数的定义，以及复数模公式，即可求解，对于D ，合特殊值法，即可求解．【详解】解：对于A ，复数z 满足|i |z -=z 对应的点在以(0,1)为半径的圆上，故A 错误，对于B ，令i z a b =+，a ，R b ∈，||28i +=+ z z ，∴||i 28i +=++=+z z a b ，即28a b ⎧⎪+=⎨=⎪⎩，解得158a b =-⎧⎨=⎩，158i ∴=-+z ，故B 正确，对于C ，2111||z z z ⋅=，2222||z z z ⋅=，12||||z z = ，∴则1122z z z z ⋅=⋅，故C 正确，对于D ，令11z =，2i z =，满足12||||z z =，但2212z z ≠，故D 错误．故选：BC ．10.已知向量()4,3a =r ，a 在向量b上的投影向量为()2,4c =r ，则（）A.a b c b⋅=⋅B.与b 方向相同的单位向量为525,55⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭或525,55⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭C.()b b a ⋅-的最小值为0D.a b -r r【正确答案】ABD【分析】根据已知条件可知//b c，设()2,4b c λλλ== ，利用数量积的坐标表示可判断A ；由b 的坐标可求与b方向相同的单位向量可判断B ，利用数量积的坐标运算求()b b a ⋅- 的最小值可判断C ；计算2a b -r r 的最小值，进而可得a b -r r 的最小值可判断D ，进而可得正确选项.【详解】由投影向量的定义可知：cos ,b c a a b b=⋅，可知//b c ，设()2,4b c λλλ== 对于A ：423420a b λλλ⋅=⨯+⨯= ，224420c b λλλ⋅=⨯+⨯= ，所以a b c b ⋅=⋅，故选项A 正确；对于B：由于b == ，所以与b方向相同的单位向量为))2,42,4b b λλ=±=± 即525,55⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭或525,55⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭故选项B 正确；对于C ：因为()24,43b a λλ-=--，所以()()()22122444320202052b b a λλλλλλλ⎛⎫⋅-=-+-=-=-- ⎪⎝⎭r r r 所以当12λ=时，()b b a ⋅- 的最小值为5-，故选项C 不正确；对于D ：()42,34a b λλ-=-- 因为()()22224234204025a b λλλλ--+=-=-+ ()22015λ=-+，所以当1λ=时，a b -r rD 正确，故选：ABD.11.已知函数()h x =，则下列结论正确的是（）A.()h x 在π[0,]3上单调递增B.()h x 的图象的一条对称轴方程为π2x =C.()h x 的最小正周期为π2D.()h x 的最大值为342【正确答案】BCD【分析】计算π()6h 与π()3h 的值判断A ；计算(π)()h x h x --判断B ；计算π()2h x +判断C ；化函数为()h x =，再求出最大值判断D 作答.【详解】函数()h x =，对于A ，当π[0,3x ∈时，ππ()(63h h ==，则()h x 在π[0,]3上不单调，A 错误；对于B ，(π)()0h x h x --=-=，于是()h x 的图象的一条对称轴方程为π2x =，B 正确；对于C ，π()()2h x f x +==+=，显然不存在比π2小的正常数a ，使得()()h a x h x +=恒成立，于是()h x 的最小正周期为π2，C 正确；对于D ，()h x ==，令|sin 2|[0,1]t x =∈，则函数y =在[0,1]上单调递增，当1t =时，34max 2y ==，所以当|sin 2|1x =，即ππ(Z)42k x k =+∈时，()h x 取得最大值342.故选：BCD12.如图，在边长为2的正方形123SG G G 中，E ，F 分别是1223G G G G ,的中点，D 是EF 的中点，将13SG E SG F ，分别沿SE ，SF 折起，使13,G G 两点重合于G ，下列说法正确的是（）A.若把2G EF 沿着EF 继续折起，2G 与G 恰好重合B.SG EF⊥C.四面体S GEF -D.点G 在面SEF 上的射影为△SEF 的重心【正确答案】ABC【分析】根据22GE GF G E G F ===，可说明2G 与G 恰好重合，判断A ;根据线面垂直的性质定理可判断B ;将四面体S GEF -补成长方体，可求得其外接球半径，进而求得外接球体积，判断C ;根据线面垂直证明线线垂直，说明点G 在面SEF 上的射影为三角形的高的交点，判断D .【详解】对于A ，因为22GE GF G E G F ===，故把2G EF 沿着EF 继续折起，2G 与G 恰好重合，A 正确；对于B ,因为GE GF =,D 是EF 的中点，故GD EF ⊥;又,,SG GE SG GF GE GF G ⊥⊥= ，故SG ⊥平面GEF,而EF ⊂平面GEF,故SG EF ⊥,又,,SG GD G SG GD =⊂ 平面SGD ,所以EF ⊥平面SDG ，SG ⊂平面SDG ,所以,B SG EF ⊥正确；对于C ，由翻折的性质可知，,,GE GF GS 两两垂直，将其补成相邻三条棱长为1,1,2的长方体，则长方体外接球和四面体外接球相同，其体对角线长l ==，所以长方体外接球的半径为2R =，故外接球的体积为346π32V ⎛⎫=⋅= ⎪ ⎪⎝⎭，故C 正确；对于D ，因为,,GE GF GS 两两互相垂直，故SG ⊥平面GEF ,则SG EF ⊥,设P 为点G 在平面SEF 上的射影，连接EP,SP ,则GP EF ⊥,而,,SG GP G SG GP =⊂ 平面SGP ,故EF ⊥平面SGP,SP ⊂平面SGP,故EF SP ⊥，同理可证SF EP ⊥,即点P 为三角形SEF 高线的交点，所以点G 在平面SEF 上的射影为SEF 的垂心，故D 错误，综上，正确答案为ABC ，故选：ABC三､填空题（共4小题，每题5分，共20分）13.如图，二面角l αβ--等于120︒，A 、B 是棱l 上两点，BD 、AC 分别在半平面α、β内，AC l ⊥，BD l ⊥，且2AB AC BD ===，则CD 的长等于________.【正确答案】4【分析】根据二面角的定义，结合空间向量加法运算性质、空间向量数量积的运算性质进行求解即可.【详解】由二面角的平面角的定义知,120BD AC =︒ ，∴cos ,22cos1202BD AC BD AC BD AC ⋅==⨯⨯︒=- ，由AC l ⊥，BD l ⊥，得0AC BA ⋅= ，0BD BA ⋅= ，又DC DB BA AC =++，∴()22222222DC DB BA AC DB BA AC DB BA DB AC BA AC=++=+++⋅+⋅+⋅ ()2222222122216BD AC =++-⋅=-⨯-= ，所以4DC = ，即4CD =.故4.14.已知,a b 均为单位向量，且夹角为3π，若向量c 满足(2)()0c a c b -⋅-= ，则||c 的最大值为_________．【正确答案】2【分析】根据平面向量数量积的运算性质和定义，结合平面向量数量积不等式进行求解即可,【详解】2(2)()0(2)20c a c b c c a b a b -⋅-=⇒⋅++⋅= -，因为,a b 均为单位向量，且夹角为3π，所以有221(2)2110(2)12c c a b c a b c ⋅++⨯⨯⨯=⇒⋅+=+ -，(2)2c a b c a b c c ⋅+≤⋅+=== ，即(2)c a b ⋅+≤ ，而2(2)1c a b c ⋅+=+ ，所以有27373122c c -+≤⇒≤≤ ，因此||c 的最大值为2，故215.如图，直三棱柱111ABC A B C -的上､下底面为等腰直角三角形，AB AC ==，90BAC ∠=︒，侧棱长为4，P 为线段11A B 上的动点，则当二面角A BC P --的正切值为4时，三棱锥11A A C P -的外接球的体积为__________.【正确答案】742π【分析】根据已知条件，作1//PM AA ，交AB 于M ，过M 作MN BC ⊥，连接PC ，即可得出PNM ∠二面角A BC P --的平面角，进而根据已知得出P 的位置.根据三棱锥的性质，将三棱锥补为长方体，求出长方体的体对角线的长，即可得出半径，根据体积公式，即可得出答案.【详解】如图作1//PM AA ，交AB 于M ，则14PM AA ==，过M 作MN BC ⊥，连接,PC PN .因为1AA ⊥平面ABC ，所以PM ⊥平面ABC ，则PNM ∠二面角A BC P --的平面角.因为，二面角A BC P --的正切值为4，所以4PM MN=，所以1MN =，2MB ，所以，22AM =122A P =可把三棱锥11A A C P -补成棱长为32224的长方体，则三棱锥11A A C P -的外接球的半径为222(32)(22)44222R ++==.所以，三棱锥11A A C P -的外接球的体积为3442π32⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭.故答案为.16.在ABC ∆中，若3AC =，11112sin tan sin tan B B A A+=++，则ABC 的周长的最大值为__________.【正确答案】6+6+【分析】根据已知切化弦，整理可得sin sin sin (12cos 2sin )A C B A A +=++.由正弦定理角化边，整理可得π314a c A ⎡⎤⎛⎫+=++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.然后即可根据角的范围得出答案.【详解】由11112sin tan sin tan B B A A +=++可得1cos 1cos 2sin sin sin sin B A B B A A +=++，两边同乘sin sin A B 得，sin sin cos sin sin cos 2sin sin A A B B B A A B +=++.两边同加sin cos B A 得，sin sin cos sin cos sin 2sin cos 2sin sin A A B B A B B A A B ++=++，即sin sin()sin 2sin cos 2sin sin A A B B B A A B ++=++.又sin()sin(π)sin A B C C +=-=，则sin sin sin (12cos 2sin )A C B A A +=++.设角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，且3b =，由正弦定理角化边可得π(12cos 2sin )314a c b A A A ⎡⎤⎛⎫+=++=++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.所以，π4A =时，a c +取得最大值3+336++=+故答案为.6+四､解答题（共6小题，共70分）17.已知ABC ∆的角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，设向量(,)m a b = ，(sin ,n B =sin )A ，(2,2)p b a =-- .（1）若//m n ，求证：ABC ∆为等腰三角形；（2）若m p ⊥，边长2c =，角π3C =，求ABC ∆的面积.【正确答案】（1）见解析（2【详解】⑴因为，所以sin sin a A b B =，即··22a b a b R R=,其中R 是ABC ∆的外接圆半径，所以a b =，所以ABC ∆为等腰三角形.⑵因为m p ⊥，所以()()220a b b a -+-=.由余弦定理可知，()22243a b ab a b ab =+-=+-，即()2340ab ab --=解方程得：4ab =（1ab =-舍去）所以11sin 4sin 223S ab C π==⨯⨯=18.如图，三棱柱111ABC A B C -中，E 为1BC 中点，F 为1AA 中点．（1）求证：EF ∥平面ABC ；（2）若1EF BB AC ⊥⊥，平面11ABB A ，求证：1BB ⊥平面ABC ．【正确答案】（1）见解析（2）见解析【分析】（1）取BC 中点M ，连接AM ，EM ，证明四边形EFAM 为平行四边形，可得EF AM ∥，再根据线面平行的判定定理即可得证；（2）易得1BB AM ⊥，根据线面垂直的性质可得1BB AC ⊥，再根据线面垂直的判定定理即可得证.【小问1详解】证明：取BC 中点M ，连接AM ，EM ，因为1BCC 中，E 为1BC 中点，M 为BC 中点，所以112EM CC =且1EM CC ∥，三棱柱111ABC A B C -中，11AA CC =且11AA CC ∥，因为F 为1AA 中点，所以ME AF =且ME AF ∥，所以四边形EFAM 为平行四边形，所以EF AM ∥，又因为AM ⊂平面ABC ，EF ⊄平面ABC ，所以EF ∥平面ABC ；【小问2详解】证明：因为1EF BB ⊥，由（1）知EF AM ∥，所以1BB AM ⊥，因为AC ⊥平面111,ABB A BB ⊂平面11ABB A ，所以1BB AC ⊥，又因为AM AC A = ，,AM AC ⊂平面ABC ，所以1BB ⊥平面ABC ．19.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PD ⊥平面,ABCD PD AD =，M 为线段PC 上的动点，N 为线段BC 的中点.（1）若M 为线段PC 的中点，证明：平面PBC ⊥平面MND ；（2）若PA 平面MND ，试确定点M 的位置，并说明理由.【正确答案】（1）证明见解析（2）点M 为线段PC 的三等分点，且靠近点C 处，理由见解析【分析】（1）根据题意结合线面垂直的性质、判定定理可证DM ⊥平面PBC ，进而证明结果；（2）利用线面平行的性质定理理解分析．【小问1详解】因为底面ABCD 为正方形，PD AD =，所以,PD CD BC CD =⊥.因为M 为线段PC 中点，所以在平面PCD 中，DM PC ⊥.因为PD ⊥底面,ABCD BC⊂ 底面ABCD ，所以PD BC ⊥.又,,BC CD PD CD D PD ⊥⋂=⊂平面,PCD CD ⊂平面PCD ，所以BC ⊥平面PCD .因为DM ⊂平面PCD ，所以BC DM ⊥.又,,DM PC PC BC C PC ⊥⋂=⊂平面,PBC BC ⊂平面PBC ，所以DM ⊥平面PBC .因为DM ⊂平面MND ，所以平面PBC ⊥平面MND .【小问2详解】如图，连接AC ，交DN 于点O ，连接OM .因为在正方形ABCD 中，N 为线段BC 中点，AD BC ∥，所以12CO CN AO AD ==，即2AO CO =.因为PA 平面,MND PA ⊂平面PAC ，平面PAC 平面MND OM =，所以PA OM ∥，所以12CM CO MP OA ==，即12CM MP =，所以点M 为线段PC 的三等分点，且靠近点C 处.20.在ABC 中，已知3AB AC BA BC ⋅=⋅ ．（1）求证：tan 3tan B A =；（2）若cos 5C =，求A 的值．【正确答案】（1）见解析；（2）4π．【分析】【详解】试题解析：(1)∵3AB AC BA BC ⋅=⋅uu u r uuu r uu r uu u r ,∴cos =3cos AB AC A BA BC B ,即cos =3cos AC A BC B .由正弦定理,得=sin sin AC BC B A,∴sin cos =3sin cos B A A B .又∵0A B π<+<,∴cos 0,cos 0>>A B .∴sin sin =3cos cos B A B A⋅即tan 3tan B A =.(2)∵5cos 05C <C <π=，,∴sin 5C =.∴tan 2C =.∴()tan 2A B π⎡-+⎤=⎣⎦,即()tan 2A B +=-.∴tan tan 21tan tan A B A B +=--.由(1),得24tan 213tan A A =--,解得1tan =1 tan =3A A -，.∵cos 0A >,∴tan =1A .∴=4A π.考点：（1）向量的数量积的定义与正弦定理；（2）已知三角函数值，求角.21.如图，我市有一条从正南方向OA 通过市中心O 后向北偏东60︒的OB 方向的公路，现要修建一条地铁L ，在OA ､OB 上各设一站A ，B ，地铁线在AB 部分为直线段，现要求市中心O 到AB 的距离为6km .（1）若10km OA =，求O ，B 之间的距离；（2）求A ，B 之间距离最小值.【正确答案】（1）3)km 13（2）【分析】（1）过O 作OE AB ⊥于点E ，根据勾股定理求得8AE =，进而得出4cos 5OAE ∠=，3sin 5OAE ∠=.根据两角差的正弦公式得出433sin 10OBE -∠=.由正弦定理，即可得出答案；（2）设AOE α∠=，0120α︒<<︒，根据已知表示出,AE BE ，得出6tan 6tan(120)AB αα=+︒-.化简即可得出11sin(230)24AB α=-︒-，然后根据α的范围，即可得出最大值时α的取值，代入即可得出答案.【小问1详解】过O 作OE AB ⊥于点E ，如图所示：市中心O 到AB 的距离为6km ，即6OE =.因为10OA =，所以228AE OA OE =-=，所以4cos 5OAE ∠=，3sin 5OAE ∠=.又60OBE OAE ∠=︒-∠，则sin sin(60)OBE OAE ∠=︒-∠433sin 60cos cos 60sin 10OAE OAE -=︒∠-︒∠=.在AOB 中，由正弦定理得sin sin OA OB OBE OAE =∠∠103433510OB =-，解得20(433)13OB =，故O ，B 之间的距离为20(433)km 13+.【小问2详解】由已知可得，120AOB ∠=︒，设AOE α∠=，0120α︒<<︒，则6tan AE α=，6tan(120)BE α=︒-，所以，6tan 6tan(120)AB αα=+︒-[]6tan1201tan tan(120)αα=︒-︒-sin sin(120)631cos cos(120)αααα⎡⎤︒-=--⋅⎢⎥︒-⎣⎦cos1203363cos cos(120)cos cos(120)αααα︒=-=︒-︒-.又cos cos(120)αα︒-cos (cos120cos sin120sin )ααα=︒+︒11sin(230)24α=-︒-，0120α︒<<︒，所以，30230210α︒︒-︒<-<，所以，当60α=︒时，11cos cos(120)sin(230)24ααα︒-=-︒-的最大值为111244-=，所以，AB的最小值为3314=，故A ，B之间距离最小值为.22.如图，在多面体ABCDE 中，平面ACD ⊥平面ABC ，BE ⊥平面ABC ，ABC 和ACD 均为正三角形，4AC =，BE =.（1）在线段AC 上是否存在点F ，使得BF ∥平面ADE ?说明理由；（2）求平面CDE 与平面ABC 所成的锐二面角的正切值.【正确答案】（1）存在，理由见解析（2）132【分析】（1）记AC 中点为M ，连结DM ，根据线面平行的判定定理即可得出结论；（2）连结CG ，过点B 作CG 的垂线，连结EH ，作出平面CDE 与平面ABC 所成的二面角的平面角，解三角形，即可求得答案.【小问1详解】记AC 中点为M ，连结DM ，ACD 为正三角形，4AC =,则DM AC ⊥，且23DM =因为平面ACD ⊥平面ABC ，平面ACD 平面ABC AC =，DM ⊂平面ACD ,所以DM ⊥平面ABC ，又因为BE ⊥平面ABC ，所以DM BE ∥.延长,MB DE 交于点G ，则AG 为平面ADE 与平面ABC 的交线，因为3BE =，故2DM BE =，所以B 为MG 的中点，取AM 中点F ，连结BF ，则BF AG ∥，因为AG ⊂平面ADE ，BF ⊄平面ADE ，所以BF ∥平面ADE .即线段AC 上存在点F ，当14AF AC = 时，BF ∥平面ADE .【小问2详解】连结CG ，则CG 为平面CDE 与平面ABC 的交线，在平面ABC 内，过点B 作CG 的垂线，垂足为H .连结EH ，因为BE ⊥平面ABC ，CG ⊂平面ABC ，故BE CG ⊥,,,BE BH B BE BH =⊂ 平面BEH ，故CG ⊥平面BEH ，EH ⊂平面BEH ，故CG EH ⊥,则BHE ∠为平面CDE 与平面ABC 所成的二面角的平面角.ABC 为正三角形，4AC =，故23BM =23BG BM ==,且30,150MBC GBC ∠=∴∠= ,故在GBC 中，2222cos 121624(522GC BG BC BG BC GBC =+-⋅∠=+-⨯⨯-=，故CG =，而1sin1502BGC SBC BG =⨯⨯= ，故2BGC BH CG S ==,又因为12BE DM ==所以tan 2BE BHE BH ∠==，即平面CDE 与平面ABC 所成的锐二面角的正切值为132.。

2022-2023学年高中高一下数学月考试卷学校：____________ 班级：____________ 姓名：____________ 考号：____________考试总分：95 分 考试时间： 120 分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1. 若复数满足，则( )A.B.C.D.2. 已知线段、，且，则下列说法错误的是（ ）A.B.C.D.3. 以下命题正确的是（ ）A.过空间三点有且仅有一个平面B.平行于同一直线的两个平面互相平行C.平行于同一直线的两条直线互相平行D.分别在两个平行平面内的两条直线互相平行4. 如图，点是圆上的一个动点，点是直线上的一个动点，为坐标原点，则向量在向量上的射影的数量的最大值是（ ）A.z z =2i ⋅(1−i)z =2−2i2+2i−2+2i−2−2ia b =a b 23a =2cm ，b =3cma =2k ，b =3k (k ≠0)3a =2ba =b 23P C :+(y −2=1x 22–√)2Q l :x −y =0O OP −→−OQ −→−3+–√B.C.D.5. 在长方体中，，，则异面直线与所成的角的余弦值为（ ）A.B.C.D.6. 在地面上同一地点观测远方匀速垂直上升的热气球，在上午点整热气球的仰角是，到上午点分的仰角变成．请利用下表判断到上午点整时，热气球的仰角最接近哪个度数( )A.B.C.D.7. 在中， ，，，则的面积为（ ）A.B.C.D.8. 已知的边上有一点满足，则可表示为( )2+2–√232–√1ABCD −A 1B 1C 1D 1AB =2AD =A =1A 1B 1D 1BC 110−−√10−10−−√1045−451030∘102034∘1139∘41∘43∘45∘△ABC AB =5sin A =2sin C cos B =45△ABC 10152030△ABC BC D =3BD −→−DC −→−AD −→−+−→−1−→−3−→−A.B.C.D.二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9. 下列命题中正确的是（ ）A.复数的虚部是B.C.复数的共轭复数是D.满足的复数在复平面上对应点的轨迹是椭圆 10. 已知，分别是椭圆的左，右焦点，为椭圆上异于长轴端点的动点，则下列结论正确的是( )A.的周长为B.面积的最大值为C.当时， 的面积为D.存在点使得11. 在直角三角形中，，，为线段的中点，如图，将沿翻折，得到三棱锥（点为点翻折到的位置），在翻折过程中，下列说法正确的是()A.的外接圆半径为=+AD −→−14AB −→−34AC −→−=+AD −→−34AB −→−14AC −→−=+AD −→−23AB −→−13AC −→−=+AD −→−13AB −→−23AC −→−(1+i)32i||=i 1+i 12z =3−i =3+i z¯¯¯|z +3|+|z −3|=10z F 1F 2C :+=1x 29y 25P C △PF 1F 210△PF 1F 225–√∠P =F 1F 260∘△PF 1F 253–√2P ⋅=0PF 1−→−PF 2−→−ABC ∠B =π2AC =2BC =4D AC △ABD BD P −BCD P A △PBD 2B.存在某一位置，使得C.存在某一位置，使得D.若，则此时三棱锥的外接球的体积为12. 如图，点在正方体的面对角线上运动，则下列四个结论正确的有（ ）A.三棱锥的体积不变B.与平面所成的角大小不变C.D.卷II （非选择题）三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ），＝14. 已知三角形两边长分别为和，第三边上的中线长为，则三角形的外接圆的半径为________．15. 已知非零向量，满足，则________.16. （理）已知点、分别在正方体的棱、上，且，，则面与面所成的二面角的正切值等于________．四、 解答题 （本题共计 3 小题 ，每题 5 分 ，共计15分 ） 17. 已知向量.设与的夹角为，求的值；若与垂直，求实数的值.PD ⊥BDPB ⊥CDPD ⊥DC P −BCD π323P ABCD −A 1B 1C 1D 1BC 1A −PC D 1P A 1ACD 1DP ⊥BC 1D ⊥PB 1A 113–√1a →b →||=|−|a →a →b →(−)⋅a →12b →b →=E F ABCD −A 1B 1C 1D 1BB 1CC 1E =2EB B 1CF =2FC 1AEF ABC =(4,3),=(1,2)a b (1)a b θcos θ(2)−λa b 2+a b λB =−−√18. 中，角，，的对边分别为，，，，，为边中点， .求的值；求的面积．19. 如图，在四棱锥中，分别为棱的中点，已知侧面底面.底面是矩形，.求证：平面;平面△ABC A B C a b c A =3π4sin B =10−−√10D BC AD =1(1)b c(2)△ABC P −ABCD M ，N PA ，PD PAD ⊥ABCD ABCD DA =DP (1)MN//PBC (2)MD ⊥PAB.参考答案与试题解析2022-2023学年高中高一下数学月考试卷一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1.【答案】B【考点】复数代数形式的乘除运算【解析】此题暂无解析【解答】解：．故选．2.【答案】A【考点】平面向量数量积的运算【解析】此题暂无解析【解答】解：，两条线段的比，没有长度单位，它与所采用的长度单位无关，故选项错误；，，根据等比性质，，，故选项正确；，，故选项正确；，，故选项正确．故选．3.【答案】z =2i ⋅(1−i)=2i −2=2i +2=2+2ii 2B A B =a b 23a =2k b =3k(k >0)C =⇒3a =2b a b 23D =⇒a =b a b 2323AC【考点】空间中直线与平面之间的位置关系空间中直线与直线之间的位置关系空间中平面与平面之间的位置关系【解析】利用空间中的线面平行关系判断即可.【解答】解：对于，过不在同一直线上的三点有且仅有一个平面，所以不正确；对于，平行于同一直线的两个平面互相平行或相交，所以不正确；对于，满足直线平行的传递性，所以正确；对于，分别在两个平行平面内的两条直线互相平行，也可能是异面直线，所以不正确；故选.4.【答案】A【考点】向量的投影【解析】设夹角为，则向量上的投影等于．分析出应为锐角，设，不妨取，转化为求的最小值问题，可以用圆的参数方程或线性规划的方法求解．【解答】解：设夹角为，则向量上的投影等于，若取得最大值则首先为锐角．设，不妨取，则根据向量数量积的运算得出①由于是圆上的一个动点，设②将②代入①得出，而的最大值为，所以故选．5.A AB BC CD D C ，OP −→−OQ −→−θ在向量OP −→−OQ −→−|cos θ=OP |−→−−||OQ −→−˙θP(x,y)Q(1,1)x +y ，OP −→−OQ −→−θ在向量OP −→−OQ −→−|cos θOP |−→−−θP(x,y)Q(1,1)|cos θ==OP |−→−−||OQ −→−˙x +y 2–√P C ：+(y −2=1x 22–√)2{x =cos αy =2+sin α2–√|cos θ=(cos α+sin α+2)OP |−→−−2–√22–√cos α+sin α2–√|cos θ≥×3=3OP |−→−−2–√22–√AA【考点】异面直线及其所成的角【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答6.【答案】B【考点】解三角形解三角形的实际应用【解析】直角三角形性质的应用，利用正切函数即可解得此题.【解答】解：设点时气球距离地面高度为，点分高度为，点时高度为，此时的角度为，所以.因为气球是匀速上升的，故，所以，则，所以，所以接近.故选.7.【答案】B【考点】正弦定理同角三角函数间的基本关系10h 1020h +m 11H θ==h tan 30∘h +m tan 34∘H tan θH =h +3m m ≈0.17h H =1.51h tan θ≈0.871θ41∘B先求出 ，再求出 ，最后求’的面积即可．【解答】解：在中，，由正弦定理：，因为 ，所以.因为，，所以，所以.故选．8.【答案】A【考点】向量的线性运算性质及几何意义向量加减混合运算及其几何意义【解析】此题暂无解析【解答】解：.故选.二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题5 分 ，共计20分 ）9.【答案】C,D【考点】a =10sin B =35△ABC △ABC sin A =2sin C a =2c AB =c =5a =10cos B =450<B <πsin B ==1−B cos 2−−−−−−−−√35S =ac sin B =×5×10×=15121235B =+AD−→−AB −→−BD−→−=+AB −→−34BC −→−=+(+)AB −→−34BA −→−AC −→−=+14AB −→−34AC −→−A复数的代数表示法及其几何意义共轭复数复数的模复数代数形式的乘除运算【解析】无【解答】解：，复数，虚部是，故错误；，，故错误； ，复数的共轭复数是，故正确；，设，由，得，可看作动点到两个定点，的距离的和为的点的轨迹，由于，根据椭圆的定义可得点的轨迹是椭圆，复数在复平面上对应点的轨迹是椭圆，故正确．故答案为.10.【答案】A,B【考点】椭圆中的平面几何问题椭圆的定义余弦定理正弦定理向量的数量积判断向量的共线与垂直【解析】直接利用椭圆的定义和方程，余弦定理和三角形的面积，平面向量的数量积的应用判断、、、的结论．【解答】解：已知，分别是椭圆：的左，右焦点，为椭圆上异于长轴端点的动点，如图所示：A (1+i)3=(1+2i −1)(1+i)=−2+2i 2B ||=||=||i 1+i i(1−i)21+i 2==+()122()122−−−−−−−−−−−−√2–√2C z =3−i z =3+iD z =x +yi (x,y ∈R)|z +3|+|z −3|=10+=10+(x +3)2y 2−−−−−−−−−−−√+(x −3)2y 2−−−−−−−−−−−√P (x,y)(−3,0)F 1(3,0)F 210||=6<10F 1F 2P (x,y)∴z CD A B C D F 1F 2C +=1x 29y 25P C．根据椭圆的性质，，，，故的周长为，故正确；．当点在椭圆的短轴上时，，故正确；．设，，所以，利用余弦定理，整理得，故，所以，故错误；．设，则，由可得，从而可得解得， ，不成立，故错误．故选．11.【答案】A,D【考点】正弦定理空间中直线与直线之间的位置关系柱体、锥体、台体的体积计算【解析】此题暂无解析【解答】解：在翻折过程中，，，，易知，由正弦定理得（为的外接圆半径），即，故正确；在翻折过程中，，故错误；若，取中点，连接，，由于为正三角形，则，A 2a =62b =25–√2c =4△PF 1F 22a +2c =10A B P (=⋅2c ⋅b =2S P )P 1F 2)max 125–√B C P =x F 1P =y F 2x +y =6F 1F 22=P +P F 21F 22−2⋅P ⋅P ⋅cos F 1F 260∘16=+−xy =−3xy x 2y 2(x +y)2xy =203=××=S △PF 1F 2122033–√253–√3C D P (,)x 0y 0+=1x 209y 205⋅=0PF 1−→−PF 2−→−+=4x 20y 20=−x 2094=y 20254D AB △PBD ≅△ABD PD =DC =BC =2PB =23–√∠PDB =120∘2r ==4PB sin ∠PDBr △PBD r =2A ∠PDB =120∘B PB ⊥CD CD M BM PM △BCD BM ⊥CD又，故平面，则，又为中点，，则为正三角形，易知，则，与已知矛盾，故错误；若，则在三棱锥中，，由知，，取的中点，连接，，则，且，，所以，所以，所以平面．设外接球的半径为，根据几何体可知，外接球的球心在直线上，则，即，解得，所以三棱锥的外接球的体积为，故正确．故选．12.【答案】A,B,D【考点】直线与平面平行的判定棱柱的结构特征平面与平面垂直的判定【解析】【解答】解：正方体中，则有平面，∴到平面的距离不变，面积不变，因此三棱锥的体积不变，正确；同理平面，从而可得平面平面，BM ∩PB =B CD ⊥PBM PM ⊥CD M CD PD =CD =2△PCD BM =PM =3–√BM +PM =2=PB 3–√C PD ⊥DC P −BCD PC =22–√P =B +P B 2C 2C 2∠ACB =π2PB E DE CE DE ⊥PB DE =1CE =PB =123–√D +C =C E 2E 2D 2DE ⊥CE DE ⊥PBC R O DE O +B =O E 2E 2B 2+=(R −1)2()3–√2R 2R =2P −BCD π=π43R 3323D AD B //A C 1D 1B //C 1A C D 1P A C D 1△A C D 1A −PC D 1A B//A 1A C D 1B //A 1C 1A C D 1P//A ACD P A ACD∴可得平面，与平面所成的角大小始终为，正确；当与重合时，与所成的角为，不垂直，错；由正方体中，，得平面，可得，同理，从而可证平面，必有，正确.故选．三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13.【答案】,【考点】复数的运算复数的模【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答14.【答案】【考点】余弦定理【解析】设，，，为边的中点，，则，由余弦定理求出，通过，代入可求，则可得，外接圆的直径，从而可求结果．【解答】P//A 1ACD 1P A 1ACD 10B P C 1DP BC 160∘C ⊥A 1C 1B 1D 1⊥B A 1C 1B 1⊥A 1C 1B D B 1D 1⊥D A 1C 1B 1B ⊥D A 1B 1D ⊥B 1B A 1C 1D ⊥P B 1A 1D ABD −2+2i1AB =1AC =3–√AD =1D BC BC =2x BD =DC =x cos ∠ADB cos ∠ADC cos ∠ADB =−cos ∠ADC BC A =90∘2R =BC AB =1AC =3–√AD =1BC BC =2x解：设，，，为边的中点，，则，中，由余弦定理可得，中，由余弦定理可得，，因为所以∴∴∴即∴外接圆的直径，从而可得.故答案为：．15.【答案】【考点】平面向量数量积向量的模【解析】【解答】解：∵，∴，，∴.故答案为：16.【答案】AB =1AC =3–√AD =1D BC BC =2x BD =DC =x △ABD cos ∠ADB =+−12x 2122x △ADC cos ∠ADC =+−(12x 23–√)22xcos ∠ADB =−cos ∠ADC =−+−12x 2122x +−(12x 23–√)22xx =1BC =2A +A =B B 2C 2C 2A =90∘2R =BC =2R =110||=|−|a →a →b →=+−2⋅a →2a →2b →2a →b →∴⋅=a →b →12b →(−)⋅=⋅−=−=0a →12b →b →a →b →12b →212b →212b →20.2–√3【考点】直线与平面所成的角【解析】此题暂无解析【解答】（理）延长、相交于，连接，设正方体的棱长为，则，作于，连接，则为所求二面角的平面角．∵，∴．四、 解答题 （本题共计 3 小题 ，每题 5 分 ，共计15分 ）17.【答案】解：向量，则，且，，设与的夹角为，则.若与垂直，则，即，所以，解得.【考点】平面向量的夹角数量积判断两个平面向量的垂直关系数量积表示两个向量的夹角FE CB G AG 3GB =BC =3BH ⊥AG H EH ∠EHB BH =,EB =132–√2tan ∠EHB ==EB BH 2–√3(1)=(4,3),=(1,2)a b ⋅=4×1+3×2=10a b ||==5a +4232−−−−−−√||==b +1222−−−−−−√5–√a b θcos θ===⋅a b ||×||a b 105×5–√25–√5(2)−λa b 2+a b (−λ)⋅(2+)=0a b a b 2+(1−2λ)⋅−λ=0a 2a b b 22×+10(1−2λ)−5λ=052λ=125平面向量数量积的运算平面向量的坐标运算【解析】此题暂无解析【解答】解：向量，则，且，，设与的夹角为，则.若与垂直，则，即，所以，解得.18.【答案】解：在中，，，∴， ，，，∴.∵为中点，∴，∴，即，化简得①，由知②，联立①②解得 ，，.(1)=(4,3),=(1,2)a b ⋅=4×1+3×2=10a b ||==5a +4232−−−−−−√||==b +1222−−−−−−√5–√a b θcos θ===⋅a b ||×||a b 105×5–√25–√5(2)−λa b 2+a b (−λ)⋅(2+)=0a b a b 2+(1−2λ)⋅−λ=0a 2a b b 22×+10(1−2λ)−5λ=052λ=125(1)△ABC sin B =10−−√10A =3π4cos B =310−−√10sin A =2–√2cos A =−2–√2sin C =sin(A +B)=×−×2–√2310−−√102–√210−−√10==220−−√205–√5==×=b c sin B sin C 10−−√1055–√2–√2(2)D BC 2=+AD −→−AB −→−AC −→−4=+2⋅+∣∣∣AD −→−∣∣∣2∣∣∣AB −→−∣∣∣2AB −→−AC −→−∣∣∣AC −→−∣∣∣24=++2bc ⋅(−)c 2b 22–√24=+−bc b 2c 22–√(1)=b c 2–√2b =2c =22–√∴=bc sin A =2S △ABC 12【考点】正弦定理两角和与差的正弦公式余弦定理【解析】首先利用正弦的和角公式求出，再利用正弦定理关系，得出答案；直接利用余弦定理及面积公式作答即可.【解答】解：在中，，，∴， ，，，∴.∵为中点，∴，∴，即，化简得①，由知②，联立①②解得 ，，.19.【答案】证明：在四棱锥中，分别为棱的中点，所以.又底面是矩形，所以,所以又平面，平面，所以平面因为底面是矩形，所以.又侧面⊥底面，侧面底面，(1)sin C (2)(1)△ABC sin B =10−−√10A =3π4cos B =310−−√10sin A =2–√2cos A =−2–√2sin C =sin(A +B)=×−×2–√2310−−√102–√210−−√10==220−−√205–√5==×=b c sin B sin C 10−−√1055–√2–√2(2)D BC 2=+AD −→−AB −→−AC −→−4=+2⋅+∣∣∣AD −→−∣∣∣2∣∣∣AB −→−∣∣∣2AB −→−AC −→−∣∣∣AC −→−∣∣∣24=++2bc ⋅(−)c 2b 22–√24=+−bc b 2c 22–√(1)=b c 2–√2b =2c =22–√∴=bc sin A =2S △ABC 12(1)P −ABCD M ，N PA ，PD MN//AD ABCD BC//AD MN//BC.BC ⊂PBC MN ⊂PBC MN//PBC.(2)ABCD AB ⊥AD PAD ABCD PAD∩ABCD =AD AB ⊂ABCD平面，所以侧面.又侧面所以因为，又为的中点，从而又在平面内，，所以平面.【考点】直线与平面垂直的判定直线与平面平行的判定【解析】此题暂无解析【解答】证明：在四棱锥中，分别为棱的中点，所以.又底面是矩形，所以,所以又平面，平面，所以平面因为底面是矩形，所以.又侧面⊥底面，侧面底面，平面，所以侧面.又侧面所以因为，又为的中点，从而又在平面内，，所以平面.AB ⊂ABCD AB ⊥PAD MD ⊂PAD,AB ⊥MD.DA =DP M AP MD ⊥PA.PA ，AB PAB PA ∩AB =A MD ⊥PAB (1)P −ABCD M ，N PA ，PD MN//AD ABCD BC//AD MN//BC.BC ⊂PBC MN ⊂PBC MN//PBC.(2)ABCD AB ⊥AD PAD ABCD PAD∩ABCD =AD AB ⊂ABCD AB ⊥PAD MD ⊂PAD,AB ⊥MD.DA =DP M AP MD ⊥PA.PA ，AB PAB PA ∩AB =A MD ⊥PAB。

高一数学月考试卷一、填空题:(每题5分，共14题)1．函数3sin(2)3y x π=+的振幅为2．若tan 2α=，则22sin 3sin cos ααα-=3．定义在R 上的函数()f x 满足(4)()f x f x +=，当26x <≤时，()3f x x =-，则(1)f = ．4.计算t a n10°t a n20°+3(t a n10°+t a n20°)= 。

5．函数5sin(2)4y x π=+的图像最靠近y 轴的一条对称轴方程是6．在ABC Rt ∆中，斜边AB 的长为2，则AB C ∆的面积的最大值为___________。

7.设函数⎪⎩⎪⎨⎧≥-<=-2),1(log 2,2)(231x x x e x f x 则))2((f f 的值为 ． 8.若411sin 3,cos()714ααβ=+=-，若,αβ是锐角，则β=___________.9．已知方程1sin cos -=-m x x 无实数解，则实数m 的取值范围10.已知α为锐角，且1sin cos 2αα=，则111sin 1cos αα+=++__________. 11.如果函数sin 2cos 2y x a x =+的图象关于直线8x π=-对称，那么a 等于12．函数2sin(2)3y x π=-([0,])x π∈的递增区间是13. 把函数x x y sin cos 3-=的图像向左平移)0(>m m 个单位，所得的图像关于y 轴对称，则m 的最小值是 14．给出下列四个命题，其中正确的命题有①函数2sin(2)3y x π=-有一条对称轴方程是512x π=；②函数()4sin(2) ()3f x x x R π=+∈，可改写成4cos(2)6y x π=+；③若x x f 6cos )(sin =，则(cos15)0f ︒=； ④正弦函数在第一象限为增函数． 二、解答题：(请写出解题过程。

2018—2018第二学期第一次月考试卷一、选择题：（1）=-+=αααααcos sin cos sin ,3tan 则已知 （ ）A 1B 2C 3D 4（2）2cos2xy -=的最小值为 （ ） A -2 B –4 C 21- D 21（3）已知53cos -=α且α为第二象限角，则αsin 为 （ ）A 54B 53-C 45D 54- （4）要得到)42sin(3π+=x y 的图象，只需将函数y=3sin2x 的图象( )A 向左平移4π个单位B 向右平移4π个单位 C 向左平移8π个单位 D 向右平移8π个单位（5）已知21cos =α , 则)2cos(απ+的值为 ( )A 21-B 21C 23D 23- （6）在),0(π内，满足x x cos )(cos 2=的x 的取值范围为 （ ）A )2,0(πB ]2,0(πC ]2,0[πD )2,0[π（7）)3tan(x y π=的周期为 （ ） A π3- B 3 C31 D 3π（8）若函数)5sin(π+=kx y 的最小正周期为32π，则k= ( )A 3B 4C 5D 6（9）625πCOS为 ( ) A21 B 23 C 23- D 21- （10）)3tan(π+=x y 的定义域为 ( )A ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠z k k x x ,6|ππ B ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠z k k x x ,3|ππC ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠z k k x x ,65|ππ D ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠z k k x x ,32|ππ（11）xy cos 11-=的定义域为 ( )A {}z k k x x ∈≠,2|πB {}z k k x x ∈+≠,2|ππC ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠z k k x x ,22|ππ D ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠z k k x x ,232|ππ（12）已知51)4sin(=-x π, 则)4cos(x +π的值为 ( )A 51B 51-C 51± D 无法确[定二、填空题：（13）)652sin(3)(π-=x x f 的周期为 （14）)326(cos ππ≤≤=x x y 的值域为 （15）x y sin =的定义域为（16）)12sin(3+=x y 的最大值为 三、解答题： （17）化简)cos()sin()3cos(απααπ---（18）已知907500180,31)cos(0-<<-=+αα且 求)sin(150α-的值（19）若,sin 2)()(cos 2x x f x -=求f(x)的最大值及取得最大值的x 的集合(20)设函数),0,0)(sin(πκωϕω<>>+=A x A y 最高点D 的坐标为2,2(），由最高点运动到相邻的最低点时，函数曲线与x 轴的交点为(6,0) 求ωϕ,,A 的值四、附加题： 1、 化简)170(cos 10101001cos cos sin 2120---2、若关于x 的方程0sin 2))2(cos(2=+-+a x x π有实根，求实数a的取值范围。