模拟退火算法的教程

中国数学建模-编程交流-模拟退火算法模拟退火算法模拟退火算法来源于固体退火原理，将固体加温至充分高，再让其徐徐冷却，加温时，固体内部粒子随温升变为无序状，内能增大，而徐徐冷却时粒子渐趋有序，在每个温度都达到平衡态，最后在常温时达到基态，内能减为最小。

根据Metropolis准则，粒子在温度T 时趋于平衡的概率为e-ΔE/(kT)，其中E为温度T时的内能，ΔE为其改变量，k为Boltzmann 常数。

用固体退火模拟组合优化问题，将内能E模拟为目标函数值f，温度T演化成控制参数t，即得到解组合优化问题的模拟退火算法：由初始解i和控制参数初值t开始，对当前解重复“产生新解→计算目标函数差→接受或舍弃”的迭代，并逐步衰减t值，算法终止时的当前解即为所得近似最优解，这是基于蒙特卡罗迭代求解法的一种启发式随机搜索过程。

退火过程由冷却进度表(CoolingSchedule)控制，包括控制参数的初值t及其衰减因子Δt、每个t值时的迭代次数L和停止条件S。

3.5.1 模拟退火算法的模型模拟退火算法可以分解为解空间、目标函数和初始解三部分。

模拟退火的基本思想:(1) 初始化：初始温度T(充分大)，初始解状态S(是算法迭代的起点)，每个T值的迭代次数L(2) 对k=1，……，L做第(3)至第6步：(3) 产生新解S′(4) 计算增量Δt′=C(S′)-C(S)，其中C(S)为评价函数(5) 若Δt′<0则接受S′作为新的当前解，否则以概率exp(-Δt′/T)接受S′作为新的当前解.(6) 如果满足终止条件则输出当前解作为最优解，结束程序。

终止条件通常取为连续若干个新解都没有被接受时终止算法。

(7) T逐渐减少，且T->0，然后转第2步。

算法对应动态演示图：模拟退火算法新解的产生和接受可分为如下四个步骤：第一步是由一个产生函数从当前解产生一个位于解空间的新解；为便于后续的计算和接受，减少算法耗时，通常选择由当前新解经过简单地变换即可产生新解的方法，如对构成新解的全部或部分元素进行置换、互换等，注意到产生新解的变换方法决定了当前新解的邻域结构，因而对冷却进度表的选取有一定的影响。

模拟退火算法步骤
模拟退火算法是一种常用的优化算法，其步骤如下：
1. 初始化温度T，初始解x0，迭代次数n，以及降温系数α。

2. 在当前温度T下，随机生成一个新解x1，计算目标函数的差值Δf=f(x1)-f(x0)。

3. 如果Δf<0，说明新解x1更优，直接接受新解。

4. 如果Δf>0，以一定概率接受新解，概率值为exp(-Δf/T)。

这里的exp是自然指数函数。

5. 重复步骤2~4，直到迭代次数n达到要求。

6. 降温，即将温度T乘以降温系数α，降低温度可以控制接受劣解的概率。

降温后回到步骤2。

模拟退火算法是一种基于概率的搜索算法，其思想源于物理学中的固体退火过程，通过温度的控制，可以在全局范围内搜索最优解。

同时，模拟退火算法具有自适应性，可以适应不同的问题和数据集。

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模拟退火算法是一种基于物理中退火过程的优化算法，适用于解决全局优化问题。

以下是一个基本的MATLAB模拟退火算法实现示例：
matlab
function SA()
% 参数设置
T = 1000; % 初始温度
alpha = 0.95; % 降温系数
x = rand(1,10); % 初始解
f = @(x) sum(x.^2 - 10*cos(2*pi*x) + 10); % 目标函数
while T > 1e-5
% 随机生成新解
x_new = x + randn(1,10);
% 计算新解的函数值
f_new = f(x_new);
% 计算接受概率
p = exp(-(f_new - f(x))/T);
% 以概率p接受新解，否则拒绝
if rand() < p
x = x_new;
f = f_new;
end
% 降温
T = T*alpha;
end
% 输出最优解和最优值
fprintf('最优解：%f\n', x);
fprintf('最优值：%f\n', f);
end
这个示例中，我们定义了一个目标函数f，它是一个简单的多峰函数。

我们使用一个随机生成的初始解作为初始解x，然后在一个循环中不断生成新的解，并计算其函数值。

我们根据接受概率决定是否接受新解，如果新解更好，则接受；否则，我们以一定的概率接受新解。

在每次迭代中，我们都会降低温度T，直到达到预设的终止条件。

最后，我们输出最优解和最优值。

模拟退火算法原理模拟退火算法是一种基于统计力学原理的全局优化算法，它模拟了固体物质退火过程中的原子热运动，通过不断降低系统能量来寻找全局最优解。

该算法最初由Kirkpatrick等人于1983年提出，被广泛应用于组合优化、神经网络训练、图像处理等领域。

模拟退火算法的原理基于一个基本的思想，在搜索过程中允许一定概率接受劣解，以避免陷入局部最优解。

其核心思想是通过随机扰动和接受概率来逐渐减小系统能量，从而逼近全局最优解。

算法流程如下：1. 初始化温度T和初始解x；2. 在当前温度下，对当前解进行随机扰动，得到新解x'；3. 计算新解的能量差ΔE=E(x')-E(x)；4. 若ΔE<0，则接受新解x'作为当前解；5. 若ΔE>0，则以一定概率P=exp(-ΔE/T)接受新解x'；6. 降低温度T，重复步骤2-5，直至满足停止条件。

在模拟退火算法中，温度T起着至关重要的作用。

初始时，温度较高，接受劣解的概率较大，有利于跳出局部最优解；随着迭代次数的增加，温度逐渐降低，接受劣解的概率减小，最终收敛到全局最优解。

模拟退火算法的关键参数包括初始温度、降温速度、停止条件等。

这些参数的选择对算法的性能和收敛速度有着重要影响，需要根据具体问题进行调整。

总的来说，模拟退火算法通过模拟物质退火过程，以一定概率接受劣解的方式，避免了陷入局部最优解，能够有效地寻找全局最优解。

它在解决组合优化、参数优化等问题上表现出了很好的性能，成为了一种重要的全局优化算法。

通过对模拟退火算法原理的深入理解，我们可以更好地应用该算法解决实际问题，同时也可以为算法的改进和优化提供理论基础。

希望本文的介绍能够对大家有所帮助。

模拟退化算法一、引言模拟退火算法是一种基于概率的全局优化算法，它模拟了物质在高温下退火冷却的过程，通过不断降温来达到寻找全局最优解的目的。

模拟退火算法的应用范围非常广泛，包括图像处理、机器学习、组合优化等领域。

本文将介绍模拟退火算法的基本原理、优缺点以及应用实例。

二、模拟退火算法的基本原理模拟退火算法是一种基于概率的全局优化算法，它通过模拟物质在高温下退火冷却的过程来寻找全局最优解。

算法的基本流程如下：1. 初始化温度T和初始解x；2. 在当前温度下，随机生成一个新解x'；3. 计算新解x'的目标函数值f(x')和当前解x的目标函数值f(x)；4. 如果f(x')<f(x)，则接受新解x'；5. 如果f(x')>f(x)，则以一定概率接受新解x'，概率为exp(-(f(x')-f(x))/T)；6. 降低温度T，重复步骤2-5，直到温度降至最低。

三、模拟退火算法的优缺点模拟退火算法具有以下优点：1. 全局搜索能力强：模拟退火算法能够在全局范围内搜索最优解，避免了局部最优解的陷阱；2. 可以处理非线性问题：模拟退火算法可以处理非线性问题，如组合优化问题、图像处理问题等；3. 算法简单易实现：模拟退火算法的算法流程简单，易于实现。

但是，模拟退火算法也存在以下缺点：1. 算法收敛速度慢：模拟退火算法需要不断降温才能达到全局最优解，因此算法收敛速度较慢；2. 参数设置困难：模拟退火算法需要设置初始温度、降温速度等参数，参数设置不当会影响算法的效果；3. 算法结果不稳定：模拟退火算法的结果受到随机因素的影响，因此算法结果不稳定。

四、模拟退火算法的应用实例模拟退火算法在实际应用中具有广泛的应用，以下是几个应用实例：1. 组合优化问题：模拟退火算法可以用于解决组合优化问题，如旅行商问题、背包问题等；2. 图像处理问题：模拟退火算法可以用于图像处理问题，如图像分割、图像去噪等；3. 机器学习问题：模拟退火算法可以用于机器学习问题，如神经网络训练、参数优化等。

车间调度是生产制造过程中非常重要的一个环节，它涉及到原材料的供给、生产设备的利用以及人员的安排，对于提高生产效率和降低成本具有重要意义。

在实际生产中，由于各种因素的不确定性，车间调度问题往往变得复杂而困难。

为了解决这一问题，人们开发了各种车间调度算法，其中模拟退火算法是一种比较有效的方法之一。

模拟退火算法是一种基于统计力学原理的全局优化方法，它模拟了固体退火的过程，通过温度的调节来逃逸局部最优解，从而得到全局最优解。

在车间调度问题中，模拟退火算法可以有效地寻找到最优的生产计划，从而提高生产效率，降低生产成本。

下面我们将介绍如何使用Python实现车间调度的模拟退火算法。

首先我们需要定义车间调度的问题模型，然后编写模拟退火算法的代码，并利用Python来进行求解。

接下来我们将分三个部分来具体展开介绍。

一、车间调度问题模型的定义车间调度问题可以简单地定义为：有n个工件需要在m台设备上加工，每个工件在每台设备上需要的加工时间不同。

我们的目标是找到一种工件的加工顺序和分配方式，使得所有工件的加工时间最短。

一般情况下，我们可以用一个n*m的矩阵来表示工件在设备上的加工时间，矩阵mat[i][j]表示第i个工件在第j台设备上的加工时间。

假设我们需要将所有工件分配到设备上并完成加工，我们可以用一个长度为n的序列来表示工件的加工顺序，序列seq[i]表示第i个工件的加工顺序。

二、模拟退火算法的代码实现接下来我们将介绍如何用Python实现车间调度的模拟退火算法。

首先我们需要定义一个适应度函数来评估每一种工件加工顺序和分配方式的好坏，一个简单的适应度函数可以定义为总加工时间的倒数，即fitness = 1 / total_processing_time其中total_processing_time表示所有工件加工完成所需要的总时间。

我们的目标是使得适应度函数的值最大化，即总加工时间最小化。

然后我们可以编写模拟退火算法的代码，其中包括初始化参数、定义邻域操作、定义退火过程等。

⼿把⼿教会你模拟退⽕算法 今天终于⽤模拟退⽕过了⼀道题：CodeVS: P1344。

有 N ( <=20 ) 台 PC 放在机房内，现在要求由你选定⼀台 PC，⽤共 N-1 条⽹线从这台机器开始⼀台接⼀台地依次连接他们，最后接到哪个以及连接的顺序也是由你选定的，为了节省材料，⽹线都拉直。

求最少需要⼀次性购买多长的⽹线。

（说⽩了，就是找出 N 的⼀个排列 P1 P2 P3 ..PN 然后 P1 -> P2 -> P3 -> ... -> PN 找出 |P1P2|+|P2P3|+...+|PN-1PN| 长度的最⼩值) 这种问题被称为最优组合问题。

传统的动态规划算法O(n22n)在n = 20的情况下空间、时间、精度都不能满⾜了。

这时应该使⽤⽐较另类的算法。

随机化算法在n⽐较⼩的最优化问题表现较好，我们尝试使⽤随机化算法。

1 #include<cstdio>2 #include<cstdlib>3 #include<ctime>4 #include<cmath>5 #include<algorithm>67const int maxn = 21;8double x[maxn], y[maxn];9double dist[maxn][maxn];10int path[maxn];11int n;12double path_dist(){13double ans = 0;14for(int i = 1; i < n; i++) {15 ans += dist[path[i - 1]][path[i]];16 }17return ans;18 }19int main(){20 srand(19260817U); // 使⽤确定的种⼦初始化随机函数是不错的选择21 scanf("%d", &n);22for(int i = 0; i < n; i++) scanf("%lf%lf", x + i, y + i);23for(int i = 0; i < n; i++) for(int j = i + 1; j < n; j++) dist[i][j] = dist[j][i] = hypot(x[i] - x[j], y[i] - y[j]);2425for(int i = 0; i < n; i++) path[i] = i; // 获取初始排列26double ans = path_dist(); // 初始答案27int T = 30000000 / n; // 单次计算的复杂度是O(n)，这⾥的30000000是试出来的28while(T--){29 std::random_shuffle(path, path + n); // 随机打乱排列30 ans = std::min(ans, path_dist()); // 更新最⼩值31 }32 printf("%.2lf", ans);33 } 可惜的是，这个算法只能拿50分。

模拟退⽕算法超详细教程，请收好！预计读完 5 分钟今天，⼩编将带⼤家学习⼀个经典算法——模拟退⽕算法。

前排提醒，本⽂全程⼲货，建议收藏。

以下为本⽂框架：⼀、什么是模拟退⽕算法？模拟退⽕算法（simulated annealing，SA）来源于固体退⽕原理，是⼀种基于概率的算法。

算法思想为：先从⼀个较⾼的初始温度出发，逐渐降低温度，直到温度降低到满⾜热平衡条件为⽌。

在每个温度下，进⾏n轮搜索，每轮搜索时对旧解添加随机扰动⽣成新解，并按⼀定规则接受新解。

打个⽐⽅：有⼀只兔⼦在⼭上，要去⼭脚下，但它喝醉了。

于是它就胡乱瞎蹦跶，有可能直接蹦跶到⼭脚下，有可能蹦跶到更⾼的另⼀座⼭，也可能跳到某个⼭⾕⾥。

等它醒酒后，它就慢慢地往低处⾛。

这就是模拟退⽕。

为更好理解模拟退⽕算法的具体步骤，我们来举个栗⼦。

假设初始温度为1000℃，温度衰减系数α = 0.98，热平衡条件为温度⼩于T℃。

模拟退⽕算法本质是双层循环，外层循环（上图左侧彩⾊模块）控制温度由⾼向低变化，温度计算公式，为取值在[0, 1]上的温度衰减系数，如0.95；内层循环（上图右侧⿊⾊模块）中，温度固定，对旧解添加随机扰动得到新解，并按⼀定规则接受新解。

内层循环的迭代次数称为马尔科夫链长度，如上图中的马尔科夫链的长度为1000.⼆、模拟退⽕算法有什么优点？模拟退⽕算法的优点在于：不管函数形式多复杂，模拟退⽕算法更有可能找到全局最优解。

举个栗⼦：寻找⽬标函数f = x + 10 sin(3x) + cos(x) 在[0, 9]范围内的最⼩值。

从函数图像可以看到，该函数在[0, 9]范围内有多个“坑”，也就是局部最⼩值，全局最⼩值位于[1, 2]范围上的“坑”内。

如果⽤梯度下降法来求解全局最⼩值，若学习率设置得不合理很容易掉进某个坑内出不来，⽐如这样↓⽽模拟退⽕算法相对来说不会那么容易陷⼊局部最优解。

我们把模拟退⽕算法求出的解看成是⼀个红⾊的⼩球，可以看到，随着温度的下降，这个⼩球⼀直反复横跳；直到温度较低时，这个⼩球才在最⼩值附近稳定下来。

常用退火的三种方法一、什么是常用退火算法常用退火算法是一种基于概率的全局优化算法，通过模拟金属退火的过程来搜索问题的解空间。

它以一定的概率接受比当前解更差的解，以便能够跳出局部最优解，从而找到全局最优解。

常用退火算法在许多领域都有广泛的应用，特别是在组合优化、人工智能等领域。

二、简单退火算法简单退火算法是最基本的退火算法，其核心思想是：通过不断降低温度来使系统逐渐趋于稳定，从而找到全局最优解。

简单退火算法的步骤如下：1.初始化：随机生成当前解以及初始温度；2.生成新解：根据当前解生成一个新解；3.判断接受条件：计算当前解的目标函数值，以及新解的目标函数值。

若新解的目标函数值较好，则直接接受新解；若新解的目标函数值较差，则以一定概率接受新解；4.降温：通过逐步降低温度来逐渐减小接受差解的概率；5.终止条件：重复步骤2-4，直到满足终止条件。

简单退火算法的关键在于接受差解的概率如何调整，一般会根据温度的变化来动态调整接受概率，以使系统在降温的过程中更容易跳出局部最优解。

三、模拟退火算法模拟退火算法是对简单退火算法的改进，它在降温过程中引入了一个参数控制接受差解的概率变化。

模拟退火算法的步骤如下：1.初始化：随机生成当前解以及初始温度；2.生成新解：根据当前解生成一个新解；3.计算接受概率：根据当前解的目标函数值和新解的目标函数值，计算接受新解的概率；4.判断是否接受：以接受概率作为依据，判断是否接受新解；5.降温：通过逐步降低温度来逐渐减小接受差解的概率；6.终止条件：重复步骤2-5，直到满足终止条件。

模拟退火算法的关键在于如何选择接受概率的变化方式，常见的选择方式有线性降温、指数降温等。

通过调整降温速率和接受概率的变化方式，可以更好地平衡全局搜索和局部搜索的能力。

四、改进的退火算法除了简单退火算法和模拟退火算法，还存在许多改进的退火算法，以提高搜索效率和求解质量。

以下列举了几种改进的退火算法：1.自适应退火算法：根据当前问题的特点，动态调整降温速率和接受概率，以适应不同问题的求解过程；2.遗传算法和退火算法的结合：将遗传算法的操作结合到退火算法中，通过交叉、变异等操作来生成新解，以加快搜索过程；3.并行退火算法：利用多核或多处理器的计算资源，同时搜索多个解，并通过信息交流来提高搜索效率；4.自适应权重退火算法：根据问题的特点，动态调整目标函数中不同部分的权重，以更好地平衡局部和全局搜索的能力。