线面角的求法(课堂PPT)

变式：如图所示，已知直角梯形ABCD，其中AB＝BC＝2AD，AS⊥平面ABCD，AD∥BC，AB⊥BC，且AS＝AB.求直线SC与底面ABCD的夹角θ的余弦．
例3.如图所示，四棱锥P—ABCD中，AB AD， CD AD，PA垂直于底面ABCD，PA=AD=CD=2AB=2，M为PC的中点。 求证：BM∥平面PAD； 在侧面PAD内找一点N，使MN平面PBD； 求直线PC与平面PBD所成角的正弦。
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利用向量方法求角
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定义
图形
两条异面直线 所成的角
直线与平面 所成的角
直线a、b是异面直线，经过空间任意一点o，作直线a’、b’，并使a’//a，b’//b，我们把直线a’和b’所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角。
L
α
θ
o
B
A
平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角，特别地，若Lᅩα则L与α所成的角是直角，若L//α或 L α，则L与α所成的角是0角。
一、概念
探究1：线线角
异面直线所成角的范围：
思考：
结论：
探究2：线面角
斜线与平面所成角的范围：
思考：
2
x
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3
y
添加标题
4
z
添加标题
5
解：以点A为坐标原点建立空间直角坐标系A—xyz
添加标题
6
1.异面直线所成角：
小结：
2.直线与平面所成角：
PART 01
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CD1 所成的角

知识回顾 ——线面角求解方法
（1）定义法
(1)线面角——平面的斜线与斜线在平面内的射影所成的角 根据定义，求解线面角先作面的垂线，找到射影即可求解,即我们说的定义法.
（2）坐标法求解——将线面角求解转化为 求法向量与直线方向向量所成夹角，其中 建系是基础，求法向量是关键。 （3）等体积法
典例分析
（2017 年浙江卷）如图，已知四棱锥 P–ABCD，△PAD 是以 AD 为斜边的等腰直角三角形，
到此，线面角也难作出？
B
E D
C
求线面角正弦值实质是sin = dE CE
dE
1 2 dD
1 2 dM
1 MH 2
等体积法，也是根据sin =
d CE
, 利用体积相等求dE
VEPBC
1 2 VDPBC
1 2 VPBCD
典例分析
（2017 年浙江卷）如图，已知四棱锥 P–ABCD，△PAD 是以 AD 为斜边的等腰直角三角形，
BC / / AD ，CD⊥AD，PC=AD=2DC=2CB，E 为 PD 的中点．
（Ⅰ）证明： CE / / 平面 PAB；
P
（Ⅱ）求直线 CE 与平面 PBC 所成角的正弦值．
E
A B
D
C
课时小结
坐标法求解线面角， 首先需要分析线面垂直关系，建立合适的坐标系，这步相当关键； 其次，写出点的坐标从而求出直线向量坐标，有些直线向量坐标可 根据相等向量或通过向量加减直接得到； 最后是求解法向量，并用公式得出所求解。
课后作业
如图，在三棱台ABC—DEF中，平面ACFD⊥平面ABC，∠ACB=∠ACD=45°，DC=2BC． （Ⅰ）证明：EF⊥DB； （Ⅱ）求直线DF与平面DBC所成角的正弦值．

M
A
B
1 点 D 为线段 AB 上一点,且 AD DB ,点 C 为圆 O 上一点, 3
且 BC 3 AC .点 P 在圆 O 所在平面上的正投影为点 D, PD DB (1)求证:CD⊥平面 PAB; (2)求直线 PC 与平面 PAB 所成的角.
平面与平面垂直的判定
自主学习
• 预习P69 • 面面垂直的判定定理 • 关键是什么？ • 如何转化面面垂直问题？
• 1、直线与平面所成角 • 2、面面垂直的判定定理
l
复习

m
P
m , l m l
la l b a l b a b P
• 线面垂直定义 • 线面垂直的判定定理
线线垂直
判定定理 定义
线面垂直
问题提出
前面讨论了直线与平面垂直的问题，那么直 线与平面不垂直时情况怎么样呢？
[0,90 ]
0
例1 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中. （1）求直线 A1B 和平面ABCD所成的角；
（2）求直线 A1B 和平面A1B1CD所成的角.
D1 C1
B1
线面角问题， A1 关键是找面 的垂线。 转化成线面 垂直问题！
O
C
D B
A
例 2（P27 例 3) 如图所示 ,已知 AB 为圆 O 的直径 ,且 AB=4,
判定定理：如果一个平面经过另一个平面的 垂线，则这两个平面垂直．
a a
β

a
α
A
证明面面垂直的关键是什么？ 即证明线面垂直。 要证线面垂直， 由线面垂直的判定定理知， 只需证线线垂直！
线线垂直 线面垂直 面面垂直
例

直线与平面的所成角射影•1A •Al1l ••••点A 1是点A 在平面上的射影直线l 1是直线l 在平面上的射影⏹如图，当直线l与平面α相交且不垂直时，叫做直线l与平面α斜交，l叫做平面α的斜线。

⏹如图，设直线l与平面α斜交于点M，M为斜足，过l 上任意点A，作平面α的垂线，垂足为O，直线OM叫做直线l在平面α上的射影.⏹规定直线l 与其在平面α上的射影所成的锐角叫做直线l与平面α所成的角.l MAO直线和平面所成角最小角定理直线与平面所成角是这条斜线与这个平面内任一条直线所成的角中最小的角αlMAO问题：若直线l与平面α成30°角，直线a在平面α内，则l与a所成角的取值范围为____[]οο90,30当直线l 与平面α垂直时,它们所成的角等于90°；当直线l 与平面α平行或直线l 在平面α上时,它们所成的角为0°.直线与平面所成角的范围.斜线与平面所成角的范围.0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭特别的：如图：正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，（1）AB 1在面CDD 1C 1中的射影（2）AB 1在面A 1B 1CD 中的射影（3）AB 1在面BB 1D 1D 中的射影A 1D 1C 1B1AD CB线段C 1D如图：正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，（1）AB 1在面BB 1D 1D 中的射影（2）AB 1在面A 1B 1CD 中的射影（3）AB 1在面CDD 1C 1中的射影A 1D 1C 1B 1AD CB如图：正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，（1）AB 1在面CDD 1C 1中的射影（2）AB 1在面A 1B 1CD 中的射影（3）AB 1在面BB 1D 1D 中的射影A 1D 1C 1B1AD CBE线段B 1E如图：正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，（1）AB 1在面CDD 1C 1中的射影（2）AB 1在面A 1B 1CD 中的射影（3）AB 1在面BB 1D 1D 中的射影A 1D 1C1B 1ADC BO线段B 1O如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，（1）A1C1与面ABCD所成的角（2）A1C1与面BB1D1D所成的角（3）A1C1与面BB1C1C所成的角A1D1C1B1AD CB 0o如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，（1）A1C1与面ABCD所成的角（2）A1C1与面BB1D1D所成的角（3）A1C1与面BB1C1C所成的角A1D1C1B1A D CB 90o如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，（1）A1C1与面ABCD所成的角（2）A1C1与面BB1D1D所成的角（3）A1C1与面BB1C1C所成的角A1D1C1B1AD CB 45o。