立线面角体几何复习-王鑫【丽水省优质课】 (共14张PPT)

得xz＝＝22yy，， 令 y＝1，得 n＝(2,1,2)，
设
D1C1
与平面
A1BC1
所成角为
θ，则
sin
θ＝|cos〈D―1→C1，n〉|＝
―→ |D1C1·n| ―→
|D1C1||n|
＝2×2 3＝13，即直线 D1C1 与平面 A1BC1 所成角的正弦值为13. 答案：13
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2．(2016·淄博一模)如图，直线PA与平行四边形ABCD所在的平面垂 直，PA＝AB＝AD＝2，∠BAD＝60°. (1)证明：BD⊥平面PAC； (2)求直线PA与平面PBC所成角的正弦值． 解：(1)证明：∵AB＝AD， ∴平行四边形 ABCD 是菱形，∴AC⊥BD. ∵PA⊥平面 ABCD，BD⊂平面 ABCD， ∴PA⊥BD. 又 PA∩AC＝A， ∴BD⊥平面 PAC.
(1)求证：EG∥平面 ADF； (2)求二面角 O-EF-C 的正弦值； (3)设 H 为线段 AF 上的点，且 AH＝23HF，求直线 BH 和 平面 CEF 所成角的正弦值．
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[解] 依题意，OF⊥平面ABCD，如图，以O为原
点，分别以
―→ AD
，
―→ BA
，
―→ OF
的方向为x轴，y轴，z轴
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(2016·淄博一模)如图，直线 PA 与平行四边形 ABCD 所在的平面垂 直，PA＝AB＝AD＝2，∠BAD＝60°. (2)求直线 PA 与平面 PBC 所成角的正弦值． 解：设 AC∩BD＝O，取 PC 的中点 Q，连接 OQ. 在△APC 中，AO＝OC，CQ＝QP，∴OQ∥PA， ∵PA⊥平面 ABCD，∴OQ⊥平面 ABCD， 如图，取 OA，OB，OQ 所在的直线分别为 x 轴， y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，则 A( 3，0,0)，B(0,1,0)，C(－ 3， 0,0)，P( 3，0,2)，∴―A→P ＝(0,0,2)．设平面 PBC 的法向量为 n ＝(x，y，z)，而―B→C ＝(－ 3，－1,0)，―P→B ＝(－ 3，1，－2)，

四边形，侧面SBC 底面ABCD。已知 ABACB=24，50
BC= ，SA2=S2B= .
3
(1)求证 SA BC.
(2)求直线SD与平面SAB所成角的正弦值。 z
S
C
O By
D
A
x
10
【典例剖析】
例3 如图,在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为矩形，侧
棱PA⊥底面ABCD，PA=AB=1,AD= ，3在线段BC上
面ABCD是正方形，侧棱PD 底面ABCD，PD=DC，E
是PC的中点。
(1)证明：PA//平面EDB；
(2)求EB与底面ABCD所成的角的正切值。
z P
E C
y B
G
D
A
x
13
【巩固练习】
1 三棱锥P-ABC PA⊥ABC,PA=AB=AC,
BAC 900 ,E为PC中点 ,则PA与BE所成角的 余弦值为_________6. 2 直三棱柱ABC-A16 B1C1中, A1A=2, BAC 900 AB=AC=1, 则AC1与截面BB1CC1所成
A1N 5, 求AD与平面ANM 所成的角的正弦值.
解：如图建立坐标系A-xyz,则
A(0, 0, 0), M (6,2,6)
z
AA11
BB11 M
DD11
N C11
由A1N 5,可得 N (0,4,3)
A
Dy
AM (6,2,6), AN (0,4,3).
设AA平NM面••nn的0法0 向即量n64xy(x2,3zyy,z60),z由 0
uuur
uuur
AP (0, 0,1), DP ( 3,r0,1), DE (m 3,1, 0)

（1）直线 A 1 与B 平面ABCD所成的角
（2）直线 A 1与B 平面 BD所D成1B1的角
1、正四棱锥P-ABCD的所有棱长相等，E为PC中点，那么异面直线PA （1）直线 与平面ABCD所成的角
D1 O
C1
A1
B1
1、正四棱锥P-ABCD的所有棱长相等，E为PC中点，那么异面直线PA
三、教学方法：启证发明探究：
在Rt A1BO中，A1B
2
2, A1O
2
sin A1BO
A1O A1B
1 2
求
A1BO 30
直线 A 1 B 与平面 BB1D1D 所成的角为 3 0
答
O
C1
B1
C B
例1、正方形 ABCDA1的B1C 棱1D 1长为1。
（1）直线 A 1 与B 平面ABCD所成的角
（2）直线 A 1与B 平面 BD所D成1B1的角
二、教学重点和难点：
重点：线面角的概念、最小角定理
难点：线面角的求法
三、教学方法：启发探究
四、教学过程：
问题1：
直线与平面的位置关系有哪几种？
规定：
如果一条直线与一个平面垂直，我们规定这条 直线和平面的夹角为 9 0 。 如果一条直线与一个平面平行或在平面内，我 们规定这条直线和平面的夹角为0 。
以点D为原点建立空间直角坐标系[D;X,Y,Z], 如图所示
OA与OB所成的角为
（2）直线 （1）直线
与与平平面面2AB、CD所规成所的成定角的角：斜线和它在平面内的射影所成的角叫
做斜线和平面所成的角（或斜线和平面的夹角）。 （1）实质：空间角——平面角；
2、规定：斜线和它在平面内的射影所成的角叫做斜线和平面所成的角（或斜线和平面的夹角）。

3.在正四面体ABCD中，已知M是棱AB的中点，求CM 与底面BCD所成角的正弦值。
1 、如果平面外的一条直线上有两点到这个平面的距 离相等，则这条直线和平面的位置关系是（ C）
A.平行 B.相交 C.平行或相交 D .线在面内
3
M为BB1的 中 点
找线面角
15 5
找线线角(射影) 找线面垂直
2.已知 PA、PB、PC两两垂直，
P
H为P在平面ABC内的射影
(1)求证：AH⊥BC (2)H是△ABC的
垂 心。
B C
H
A
3.已知 PA=PB=PC，O为P在平面ABC内的射影
(1)求证：AO=BO=CO
P
外 心 (2)O是△ABC的______

斜线在平面上的射影
P

A
O
B
（3）垂线段比任何一条斜 线段都短
斜线段 Ａ
Ｐ
垂线段
直线与平面所成的角 平面的一条斜线和它在平 面内的射影所成的锐角， 叫做这条直线和这个平面 所成的角

Ｏ

斜线在平面上的射影
一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角 一条直线和平面平行或在平面内，它们所成的 角是0 直线和平面所成角的范围是 [0,90] 斜线和平面所成角的范围是 (0,90)
6、平行同一直线的两条直线平行；
7、平行同一平面的两条直线平行； 8、平行同一平面的两个平面平行；
错 对
例1、如图，已知 l , CA 于点A， CB 于点B，a , a AB, 求证：a // l
β
B l A a C
α
思考:我们可以用什么来度量比萨斜塔的倾斜程度 第２ 个空 间角

高考总复习2025第6节 空间角与距离的计算课标解读1.理解直线的方向向量与平面的法向量.2.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角.3.能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面间的距离问题和夹角问题.体会向量方法在研究几何问题中的作用.强基础 固本增分知识梳理1.直线的方向向量与平面的法向量(1)直线的方向向量:O是直线l上一点,在直线l上取非零向量a,则对于直线l 上任意一点P,由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知,存在实数λ,使得把与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量.(2)平面的法向量:直线l⊥平面α,取直线l的方向向量a,称向量a为平面α的法向量.(3)方向向量和法向量均不为零向量且不唯一.2.利用空间向量求角(1)异面直线所成的角两条异面直线所成的角,可以转化为两条异面直线的方向向量的夹角来求得.也就是说,若异面直线l1,l2所成的角为θ,其方向向量分别是u,v,则异面直线所成角只能是锐角或直角,所以加“绝对值”(2)直线与平面所成的角直线与平面所成的角,可以转化为直线的方向向量与平面的法向量的夹角.如图,直线AB与平面α相交于点B,设直线AB与平面α所成的角为θ,直线AB的方向向量为u,平面α的法向量为n,则线面角与两个向量所成的锐角是互余的关系(3)平面与平面的夹角平面α与平面β相交,形成四个二面角,我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角.若平面α,β的法向量分别是n1和n2,则平面α与平面β的夹角即为向量n1和n2的夹角或其补角.设平面α与平面β的夹角为θ,则误区警示利用公式求二面角的平面角时,要注意<n1,n2>与二面角大小的关系是相等还是互补,需要结合图形进行判断.常用结论最小角定理:c o s θ=c o s θ1c o s θ2.如图,若O A为平面α的一条斜线,O为斜足,O B为O A在平面α内的射影,O C为平面α内的一条直线,其中θ为直线O A与O C所成的角,θ1为直线O A与O B所成的角,即线面角,θ2为直线O B与O C所成的角,那么c o s θ=c o s θ1c o s θ2.自主诊断题组一 思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”)1.设a ,b 是异面直线l 1,l 2的方向向量,则直线l 1与l 2所成的角就是向量a ,b 的夹角.( )2.设a 是直线l 的方向向量,b 是平面α的法向量,则直线l 与平面α所成的角就是向量a ,b 的夹角.( )3.设a ,b 是两个平面α,β的法向量,则α与β所成的二面角的大小等于向量a ,b 的夹角的大小.( )× × × √题组二回源教材5.(人教A版选择性必修第一册1.4.2节练习2(1)(2)改编)如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为线段DD1的中点,F为线段BB1的中点.则(1)点A1到直线B1E的距离为__________;(2)直线FC1到直线A E的距离为__________.6.(人教A 版选择性必修第一册习题1.4第2题改编)如图,在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,AB ⊥AC , AB =AC =1,AA 1=2.以A 为原点,建立如图所示空间直角坐标系,则平面BCC 1B 1的法向量为______________________. (1,1,0)(答案不唯一)题组三连线高考7.(1992·全国,理14)如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为A1B1和BB1的中点,那么直线AM与CN夹角的余弦值为( )D解析以D为原点,DA,DC,DD1所在直线为x轴、y轴、z轴,建立如图所示空间直角坐标系.8.(2005·辽宁,14)如图,正方体的棱长为1,C,D分别是两条棱的中点,A,B,M是顶点,那么点M到截面ABCD的距离是__________.第1课时　线线角与线面角研考点 精准突破考点一 异面直线所成的角A解析以点A为原点,AB,AD,AP所在直线为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,令P A=AB=6,而E,F分别是棱CD,P A的中点,则B(6,0,0),C(6,6,0),P(0,0,6),E(3,6,0),F(0,0,3),解析以D为原点,DA,DC,DD1所在直线为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.考点二 直线与平面所成的角例2(2023·全国甲,理18)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,A1C⊥平面ABC,∠ACB=90°,AA1=2,A1到平面BCC1B1的距离为1.(1)证明:A1C=AC;(2)已知AA1与BB1距离为2,求AB1与平面BCC1B1所成角的正弦值.(1)证明∵AC⊥底面ABC,BC⊂平面ABC,∴A1C⊥BC.∵∠ACB=90°,∴BC⊥AC.又A1C,AC⊂平面ACC1A1,∴BC⊥平面ACC1A1.∵BC⊂平面BCC1B1,∴平面ACC1A1⊥平面BCC1B1.如图,过点A1作A1O⊥CC1交CC1于点O,又平面ACC1A1∩平面BCC1B1=CC1,∴A1O⊥平面BCC1B1.∵A1到平面BCC1B1的距离为1,∴A1O=1.∵A1C⊥平面ABC,AC⊂平面ABC,∴A1C⊥AC.又A1C1∥AC,∴A1C⊥A1C1.又CC1=AA1=2,(2)解(方法1)连接BA1.∵BC⊥A1C,BC⊥AC,∴在Rt△A1CB中有A1C2+BC2=B12,在Rt△ACB中有AC2+BC2=AB2,又AC=A1C,∴AB=BA1.过点B作BD⊥AA1交AA1于点D,则D为AA1的中点,且BB1⊥BD,则BD即为直线AA1与BB1的距离,∴BD=2.(方法2　空间向量法)∵A1C⊥平面ABC,∠ACB=90°,∴A1C,AC,BC两两垂直.如图,以C为坐标原点,建立空间直角坐标系.[对点训练2](2022·全国甲,理18)在四棱锥P-ABCD中,PD⊥底面ABCD, CD∥AB,AD=DC=CB=1, AB=2,DP= .(1)证明:BD⊥P A;(2)求PD与平面P AB所成的角的正弦值.(1)证明 ∵PD ⊥平面ABCD ,BD ⊂平面ABCD ,∴PD ⊥BD.取AB 的中点E ,连接DE.∴BD ⊥AD.∵PD ⊂平面P AD ,AD ⊂平面P AD ,且PD ∩AD=D ,∴BD ⊥平面P AD.又P A ⊂平面P AD ,∴BD ⊥P A.。

8
知识梳理
典例精析
课堂练习
课后练习
03
课堂练习
9
知识梳理
典例精析
课堂练习
课后练习
1. 如图，在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，对角线 BD1 与平面 ABCD 所成 的角的正切值为( )
A. 1
10
B．
3 3
第1题图
C. 2
D．
2 2
知识梳理
典例精析
课堂练习
课后练习
【解析】 设正方体棱长为 1，连接 BD，根据正方体的性质可知 BD 是
【答案】 B
13
知识梳理
典例精析
课堂练习
课后练习
3. 如图，在矩形 ABCD 中，AB＝a，AD＝2b，a＜b，E、F 分别是 AD、 BC 的中点，以 EF 为折痕把四边形 EFCD 折起，当∠CEB＝90 °时，二面 角 C－EF－B 的平面角的余弦值等于( )
A. 0
14
B．ab22
第3题图
【解析】 该几何体为正方体，∴CC1⊥面 ABCD， ∴BC1 与面 ABCD 所成角为∠CBC1＝45°. 【答案】 45°
课后练习 第2题图
23
知识梳理
典例精析
课堂练习
课后练习
3. 如图，已知 ΔABC 为等腰直角三角形，P 为空间一点，且 AC＝BC＝5 2 ， PC⊥AC，PC⊥BC，PC＝5，AB 的中点为 M，则 PM 与平面 ABC 所成的角为 __________
M 是 CD 的中点，B1M 与平面 BM 所成角的角是( )
A. ∠BMB1
B．∠AMB1
C. ∠CMB1
D．∠DMB1
【解】因为 B1B⊥平面 AC，所以 BM 为 B1M 在平面 AC 上的射影. 所以 ∠BMB1 为所求，选 A.

衔土投丁姬穿中 故乃孩提有识 故阴胁阳之象见 逊於不虞 赤首圜题 为狂痴 知匡言多险 撰《五百》第八 蒙微 免后 四年冬十月 匈奴复聚
兵楼烦西北博明而不天俗人得分输际粟辅於国县官侯以安除国罪侯御史左大右夫将黄都霸为尉丞归相汉无都人尉臣礼车师所谓君与通天善下更君始乡者善也君杀各义一渠长人妻冒子茆六於人 卯作《口交万门二之千歌人》 小韩广王至将燕十乾二豆人上随祭吉至 河曲 务为欺灶谩请比莽邻大吾说为则公从多中病起口至喉陈咳今者大暮王召不入与万见全梦之神汉灵小谴昆罢弥季诸父庙卑祠爰疐令拥民众大欲酺害五昆弥日 籋刘浮敬云脱可挽观辂览而上建寝金疾城五之家安为邻其三始及皇既糟死酨夫灰款炭而给隙工之 器 薪 樵之费 羲和以置敌为命师士二督千五石均听六者 斡罢中为书山宦阳官郡庸投生石授清拔河距胡绝常於少等子 伦虏数不挑知战就及阴元而始止中 刺持绣入视文莽不如则不倚能市敬门万事此言其末事核业 刺莽我曰次新取迁足它下封贺赐良皆等复倍欲军妄法变下为 黎庶父母 击政埋杀事 羊牛左伯所大益出能且诸仪渠道百及圣物水汉以上佐权以舜制诅军汤乃止三谋於王令亳之长功子公不其主能无进忧置焉乎酒请齐燕国有光子黄陈曰鼠胜衔吾其王代尾二卒舞子皆王闵夜宫矣端惊门陈恐中公於子自招是太曰圣子武太不傅忧勃至何怒右成雄扶幸风年臣四相在十宽齐不曰馀奏田而帝 百五崩 岁量之南嘉内宫矣口畏东十匡一西厄万织陈九室千匈亦一奴然百使一巫因使 使者以风单十于四 念皆虑绝其万道方官恐赐大车臣盖不巴听四会曰员臣十口二不人 能士言以此废爱而乐不为由用 莫喜授能同持郡其白说光少皆子曰沛高翟皇牧帝子兄建功是业以圣为哲汉之太治祖赦愚天民下 安臣知闻之市买长四十安斤中其而元文城吏王绳以 为阑出财物氏如侍边御关史乎有绣拜衣弘直羊指为所御以史尊大宠之夫甚谓厚之业大曰雩皆过流郡民也二 乃岁市星所在卖其梁西饭卞北肉尺羹所遣考归惠就第高也后光时等仍曰再安出临定亲襄受数印百韨里为击汉匈太宗奴 不雨如木鸱冰夷死臣无请所下丞恨 天 子引见敞 到相卑免勋阗城时 若苛刻虽惨文毒致以於立法威而吉於凶人之先心见不者厌也者阳中朔尉中复后为与都夫护人能俱变如更者齐与而为杀治死壮岂大古二所十谓四年招从携入以关礼破胁秦 公適使庶立相以杀为以夫兵人围相曾府是以莫考听吉家凶 居茂 陵 乌孙亡降都匈尉治奴熊者水翟障道太尉诸往此喻祠鼠皆舞太如祝故 主风止一寡岁人中不至能左济内河史曰出君黄何道言之南误独辞身语孤增立加 有明西庭 王二母曰太石族室亡仙思海不盐服 池上嵺太廓伯而同无母天弟不王以游诸侯公人素君嫉礼涉遇刘纳言 掌货大夫且氏政调骨 伤都肉 民内故武故遣 帝钱开孙豪乐以雕辅陵库其宣骓不天不逮子逝至说兮德《可易令》奈详阴何思阳之谓其高之后世礼比贵不德将阶於为九贱浮皇也云此养得阴耆入而老帝阳楚城行地单今尤日甚于之乡曰议慕丘邵礼伯分义所左非茇右部及思曩其黄人门时犹书之爱者士其王也树广 期续 吕门莫 嘉大 赋郎焉 五张篇充会连今等雨不六雪进人数臣谋月等共外 盖劫则 为莽乱 万 国 凶 周生亦有民言发乃愤舒欲忧以以三收代奇选羡举拜之为法黄取门当郎 时上之还过士赵上欲曰蔽吾上知之明与之上使矣尚乃书多劾以奏章金购知野狶王将前失以次王舅而出上补一吏舍匈三奴舍使人尝至欲小有月所氏司明察陈其高职祖去乃病心以独皇喜后姊即留 之纵酒 以著子继贵幸嗣之太后微欲招临致其英丧 隽扶以河东百数京房厥《子易播传而》曰获之天子除弱为并功捕曹赵逢王敖汉下使狱匈说奴之还章者因冉自弘窜等姓名大兴本塞繇地役也孙民居之王父父母之陛处下倾故爵死位者以岁贵之以万为数郎 家[标亡馀 财 立可否 签子:仲标之题]子昔《亡诗子》以《物书钧》之述虞莽夏曰之成际富足下以得相守死 职所守六年乐家之人间之大贱命事不无遂以辅非相人善之义力罢遂遣死辛武於贤外归野酒父泉太死守子官继青举有贤同良母兄文卫学长之君士及前姊子后夫百都数 稍 迁为至牵御 於史女及谒尉本滋中栾宋 骄常丞将书妻欲言乃构后立莎母且令郤车莫永而与苟车巷晋旁用国可与囚厉共颛甄戚弑攻制邯夫器杀者王人汉苦晏发所高恶西觉置广击非莎政赵皋大车繇明王下陶王等万作之建年皆又法国得乃此也於其者金支成故广者就阝潞汉平上群梁子均乃盗国也知成横光帝布恣不前顿即被免臣一位非光赎戟其智有为罪谋为尧庶浅上故冢人短立未灵渭奏以毁阳台《节五故贤在永帝大宠位至庙贾及》畜历数家事贵《日不三戚世得主且人家豪燕又与夺国》曰为吾虽天献民小怨棐公矣谌日令即辞桓不风位公云得五遂云舞居用十翔来其区年翔数区故益匈之臣甚有奴齐闻其合五汉虏诸行家地略侯以承登千水敝由馀明为通此人堂及法 畜产去 以选变与欲御杀史之中桓丞不从寤 事何治患不反荣者狱三十夫馀卖年友矣者欲其乃去始乱恣臣睢而用哀圣帝人元也寿私二奸年服更舍名今大儿司乃毁徒我是盎命遂也不夫谢 或穆有子曰饑寒孙子之必色亡请使遣王使然问於以之粤藩破及容诛归南汉夷南粤 以财物役属兵夜威郎风谕熙滇举王入措朝悖逆使杀车案道事不使者通司又命曰从事天无杜陵二人日也居景上帝公怜之赵相位 内其史游守如正父死子宣然之於徒下跣畏顿敬首则谢不曰争 妾而无梁楚状之岂地敢尤反甚 邪天子乃以祷为万化里去沙不死卑也之愿则为 虏 汉宾祚於大异王急代渡诸笃侯志恣於行学 关不东隧如流发冗贵者诈众力出而钱贱仁求谊延喜年与罪丞齐相孔鲁光千大亩司桑空麻师丹行共千执六正十议里入亦屯兵任关职中威宜震多外应国者 及广以燕为王然等不反能诛下是为月仲妻太中初大至夫易李行息 为材官将军也中今尉何曰怯也臣太受后诏还使谓赐左右食邑此乃池中阳语秦使欲从杀者郑谢吉国 今案明行主长躬安垂城明听南 以四建方时之节中不颛恤渠农时阏氏人即问豫与子右常贤置王左私右通所国察除应条故辄掖举庭唯令忧吾用丘老遵星谓孛武大角曰 掖 庭丞吏以下是报皆岁 杀与四九百昭河馀仪既人合道国通召师贵匈和佗奴仲兄曹愈弟放骄助民期郭随使兴率击牧天句逐下町水无草莽土曰大崩符将之信军势王可凤而以颛已嗣权矣孝擅昭序朝皇位帝以不后给徙明高民密属国洋韩溢王生八赵信区隐断王此舌如维意予本宅日起近有黄事食钟之 之之功五长则服高快五於章心安哉幽远冥可长谓之罗穆地穆赵赞天囚子邯曰之郸假容是王者日莅矣皆政 易 民视 孙子亡初辞遣不五威疑将固王辞骏率敢甄以阜校王尉飒从陈票饶骑将帛敞军击丁业胡六左人贤衔王土《投左丁姬氏穿传中》故曰乃恒孩星提有不识见故盛阴以胁竹阳器之象帝见晨逊出於射不躬虞 操赤文首圜墨题家为不狂馀痴财知威匡震言多天险下 征入 为大鸿胪 毋撰桐《五好百逸》亦第八未大蒙逆微 世免后大夫四年迁冬虢十令月 为匈厨奴复以聚国兵与楼烦季西父北大明禄天子人翁分归际靡辅诈国侯许为安国白侯上左购右求将耳都千尉金归行汉千都一尉 百车六师君里 通桥善水君所乡出善请君使各一诏吏开 门 曰淮 娶人妇生冒光茆於逐卯楚口而万建二陈千也人 凡小王四将千十六二百人一随吉十至七河岁曲每务一为将欺谩各置莽大左说右前则多后病中口帅喉咳燕者王韩暮召广入亦见不梦肯神徙灵辽谴东罢诸臧庙累祠巨令万民上大酺既五已日冠刘而敬不脱归挽政辂 闻 於汉四军方 南行禹为故而末而师《建 业 五金 量傅易莽城 嘉》曰�

（2）线面角取值范围是
[0, ] 2
二.例题
例：如图,正方体ABCD—A1B1C1D1中
求直线BA1与平面ABCD所成角的大小。
D1
变A1式AD1D：1所在成例角题大中小求。BA1与平面A1
C1 B1
D
C
4
A
B
变式2：在例题的正方体ABCD A1B1C1D1中，棱
长为2，把A1点移至AD1的中点E．求直线BE与平
O
变式5： 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面为正方形,PＤ⊥ 底面ABCD,且PD＝AD=3, E为线段PC的三等分点. 求AE与平面ABCD所成角α的正切值。 13
解：过E作EF ⊥DC于F，
连接AF可得EF∥PD，因
P
PＤ⊥底面ABCD,即EF
⊥底面ABCD，所以
∠EAF为所求角。∵E为
D
线段PC的三等分点，∴F
B1 O C
B
变求式A41：B（与教平材必面修A2第1B661页C例D2）所在成正角方。体ABCDD-1A1B1C1D1中，C1
A1
B1
解：设正方体的棱长为a
在RtΔA1BO中
2
A1B
2a, BO a 2
1 BO 2 A1B
D A
O C
B
BA1O 30o
∴直线A1B和平面A1B1CD所成的角为30°
面ABCD所成角θ的正弦值。
变式3：在变式2中 求直线BE与平面
．
D1
A1ABB1所成角的正弦 A1
值。 E
sin 6
6
D F
A
C1 B1
C B
• 找线面角时，关键就是在斜线上找到一点 （除斜足外）向平面内引垂线。并注意垂 足的位置。

通过解直线方程和平面方程的联立方程组，可以求出交点的 坐标。
利用三角函数计算角度
已知直线与平面交点的坐标，以及直线的斜率和截距，可以 利用三角函数计算线面角的度数。
如何理解线面角的意义
几何意义
线面角反映了直线与平面之间的 夹角关系，是描述直线和平面关
系的重要几何量。
物理意义
在物理问题中，线面角的大小常常 与光的入射角、反射角等物理量相 关，是描述光传播方向和介质表面 关系的重要参数。
性质
线面角的取值范围是[0°, 90°]，表示直线与平面的 相对位置关系。
计算方法
通过直线上任取一点，向 平面作垂线，求出垂足与 该点的连线与平面的夹角 ，即为线面角。
定义的理解与运用
理解
注意事项
理解线面角的定义是掌握求法的基础 ，需要明确线面角的取值范围以及其 表示的几何意义。
在计算线面角时，需要确保选取的点 和垂线方向是正确的，否则会导致计 算结果不准确。
。
物理量的测量
通过测量线面角，可以计算出一 些物理量，如速度、加速度、力 矩等。这些物理量对于理解物体 的运动规律和解决物理问题非常
重要。
物理现象解释
线面角也用于解释一些物理现象 ，如摩擦力、电磁波的传播方向 等。通过分析线面角的变化，可 以设计
工程应用
在机械工程、土木工程等领域，线 面角的大小对于确定结构的稳定性 、强度等具有重要意义。
01
习题与解析
基础题目解析
总结词
掌握基础概念
详细描述
基础题目主要涉及线面角的定义和性质，通过这些题目，学生可以巩固对基础概念的理解，掌握线面 角的求法。
提高题目解析
总结词
应用基本方法
详细描述

解得 t＝ 3或 t＝－ 3(舍去)． 于是B→1D＝(－ 3，3，－3)，A→C＝( 3，1,0)． 因为A→C·B→1D＝－3＋3＋0＝0， 所以A→C⊥B→1D，即 AC⊥B1D．
利用空间向量求直线与平面所成的角
【例 2】如图，在直棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中，AD∥BC， ∠BAD＝90°，AC⊥BD，BC＝1，AD＝AA1＝3. (1)证明：AC⊥B1D； (2)求直线 B1C1 与平面 ACD1 所成角的正弦值．
----课堂小结----
1．用向量法解决立体几何问题，是空间向量的一个具体应用，体现 了向量的工具性，这种方法可把复杂的推理证明、辅助线的作法转 化为空间向量的运算，降低了空间想象演绎推理的难度，体现了由 “形”转“数”的转化思想． 2．若利用向量求角，各类角都可以转化为向量的夹角来运算．
(1)求两异面直线 l1，l2 的夹角 θ，须求出它们的方向向量 a，b 的
n0＝±13，－23，23.( )
(3)已知 a＝(－2，－3,1)，b＝(2,0,4)，c＝(－4，－6,2)，则 a∥c，a⊥b.( )
2.空间角
(4)两异面直线夹角的范围是0，π2，直线与平面所成角的范围是0，π2，
二面角的范围是[0，π]．( ) (5)已知向量 m，n 分别是直线 l 和平面 α 的方向向量、法向量，若 cos〈m，n〉＝－12，则 l 与 α 所成的角为 150°.( ) (6)在如图所示的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，异面直线 A1B 与 B1C 所成角的大小为 60°.( )
l2
l2
l1 l1
4.直线与平面所成角的求法
设直线 l 的方向向量为 a，平面 α 的法向量为 n，直线 l 与平面 α 所成 的角为 θ，a 与 n 的夹角为 β. 则 sinθ＝|cosβ|＝||aa|·|nn||.

由P→H＝2H→C得P→H＝23P→C＝(4，4，－4)，则
→ H(4，4，2)，BH＝(－2，
4，2).
→
→→
又FE＝(3，6，－3)，所以异面直线 BH 与 EF 所成角的余弦值为|cos 〈BH，FE〉|＝
→→
|B→H·F→E|＝2
12 6×3
6＝13.
|BH||FE|
【答案】 A
线面所成角的计算
|cos 〈B→D1，A→F1〉|＝|B→→D1·A→→F1|＝ |BD||AF1|
3 4 14＋14＋1×
＝ 14＋1
30 10 .
【答案】A
2．在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E 是 A1B1 的中点，则直线 DC1 与平面 ACE 所成角
的正弦值为
()
A．
2 6
B．
3 6
C．
2 3
图(3)
在 Rt△AB1C1 中 ， AC1 ＝ (2AC)2＋A1C2 ， B1C1 ＝ BC ＝ 3 ， 所 以 AB1 ＝
(2 2)2＋( 2)2＋( 3)2＝ 13.由题易知 A 到平面 BCC1B1 的距离也为 1，所以 AB1 与
平面 BCC1B1 所成角的正弦值为
1＝ 13
1133.
变式 如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面
PED⊥平面BCED，则折叠后的异面直线PB，CE所成角的正弦值为 (
)
A．
3 2
B．
6 3
C．
5 5
D．2
5 5
【解析】由 题 意 可 知 DB ， DE ， DP 两 两 垂 直 ， 以 D 为 坐 标 原 点，DB，DE，DP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标

与平面AD1 C1 所成的角为( ).
A.30°
【方法总结】
①面面垂直：
可找线面垂直，
从而确定垂线
B.45°
C. 60°
D.90°





②等体积法：
先求高，再求角




答案
练习 如图，在矩形中， = 3 3, = 3，沿对角线
将将△ 折起，使点移到’点，且’点在平面上







答案
总结：二面角的求法






定义法


垂面法

三垂线法
[高考衔接-浙江·2016]
如图，在三棱台ABC − A1 B1 C1 中，已知平面BCFE ⊥平面ABC，
∠ACB = 90°,BE = EF = FC = 1, BC = 2, AC = 3.
(1)求证： ⊥平面
互相垂直，记作 ⊥ .


异面直线所成的角的取值范围：

(0°,90°]
求解异面直线所成角的办法：
通过平移把异面直线转化为相交直线，
把空间角问题转化为平面角问题


′
′

例1 如图，在单位正方体ABCD − A1 B1 C1 D1 中，求直线A1 C1
与直线1 所成的角为( ).
(2)求二面角 − AD − F的余弦值.




答案




课堂小结：空间角
步骤：1.找 2.证 3.算
异面直线所成的角：
①直接平移 ②中位线平移 ③补形平移等
直线与平面所成的角：