下载文档原格式
排列组合知识点总结+典型例题及答案解析一．基本原理1．加法原理：做一件事有n 类办法，则完成这件事的方法数等于各类方法数相加。
2．乘法原理：做一件事分n 步完成，则完成这件事的方法数等于各步方法数相乘。
注：做一件事时，元素或位置允许重复使用，求方法数时常用基本原理求解。
二．排列：从n 个不同元素中，任取m （m ≤n ）个元素，按照一定的顺序排成一.m n mn A 有排列的个数记为个元素的一个排列，所个不同元素中取出列，叫做从1.公式：1.()()()()!!121m n n m n n n n A m n -=+---=……2.规定：0!1=(1)!(1)!,(1)!(1)!n n n n n n =⨯-+⨯=+ (2) ![(1)1]!(1)!!(1)!!n n n n n n n n n ⨯=+-⨯=+⨯-=+-； (3)111111(1)!(1)!(1)!(1)!!(1)!n n n n n n n n n +-+==-=-+++++ 三．组合：从n 个不同元素中任取m （m ≤n ）个元素并组成一组，叫做从n 个不同的m 元素中任取 m 个元素的组合数，记作 Cn 。
1. 公式： ()()()C A A n n n m m n m n m nmn m mm ==--+=-11……!!!! 10=n C 规定：组合数性质：.2 n n n n n m n m n m n m n n m n C C C C C C C C 21011=+++=+=+--……，， ①；②；③；④11112111212211r r r r r r r rr r r rr r r r r r n n r r r n n r r n n n C C C C C C C C C C C C C C C +++++-+++-++-+++++=++++=+++=注：若12m m 1212m =m m +m n n n C C ==则或四．处理排列组合应用题 1.①明确要完成的是一件什么事（审题） ②有序还是无序 ③分步还是分类。
组合数学例题和知识点总结组合数学是一门研究离散对象的组合结构及其性质的数学分支。
它在计算机科学、统计学、物理学等领域都有着广泛的应用。
下面我们通过一些例题来深入理解组合数学中的重要知识点。
一、排列组合排列是指从给定的元素集合中取出若干个元素按照一定的顺序进行排列。
组合则是指从给定的元素集合中取出若干个元素组成一组，不考虑其顺序。
例题 1：从 5 个不同的元素中取出 3 个进行排列，有多少种不同的排列方式？解：根据排列的公式，＼（A_{5}＾3 ＝ 5×4×3 ＝ 60\）（种）例题 2：从 5 个不同的元素中取出 3 个进行组合，有多少种不同的组合方式？解：根据组合的公式，＼（C_{5}＾3 ＝＼frac{5×4×3}｛3×2×1} ＝10\）（种）知识点总结：1、排列数公式：＼（A_{n}＾m ＝ n×（n 1)×（n 2)××（n m ＋ 1)＼）2、组合数公式：＼（C_{n}＾m ＝＼frac{n!｝｛m!（n m)！｝＼）二、容斥原理容斥原理用于计算多个集合的并集的元素个数。
例题 3：在一个班级中，有 20 人喜欢数学，15 人喜欢语文，10 人既喜欢数学又喜欢语文，求喜欢数学或语文的人数。
解：设喜欢数学的集合为 A，喜欢语文的集合为 B，则喜欢数学或语文的人数为＼（｜A ∪ B| ＝｜A| ＋｜B| ｜A ∩ B| ＝ 20 ＋ 15 10＝ 25\）（人）知识点总结：容斥原理的一般形式：＼（｜＼cup_{i=1}＾｛n} A_i| ＝＼sum_{i=1}＾｛n} ｜A_i| ＼sum_{1\leq i ＜ j\leq n} ｜A_i ∩ A_j| ＋＼sum_{1\leq i ＜ j ＜ k\leq n} ｜A_i ∩ A_j∩ A_k| ＋（－1)＾｛n 1} ｜A_1 ∩ A_2 ∩ ∩ A_n|＼）三、鸽巢原理鸽巢原理也叫抽屉原理，如果有 n ＋ 1 个物体放入 n 个抽屉中，那么至少有一个抽屉中会放有两个或更多的物体。
组合问题知识点一、基础概念理解（5题）1. 从5个不同元素中取出3个元素的组合数是多少？- 解析：根据组合数公式C_n^k=(n!)/(k!(n - k)!)，这里n = 5，k=3。
则C_5^3=(5!)/(3!(5 - 3)!)=(5×4×3!)/(3!×2×1)=10。
2. 若C_n^2 = 10，求n的值。
- 解析：由组合数公式C_n^2=(n!)/(2!(n - 2)!)=(n(n - 1))/(2)=10，即n(n -1)=20，展开得到n^2-n - 20 = 0，因式分解为(n - 5)(n+4)=0，解得n = 5或n=-4。
因为n>0，所以n = 5。
3. 组合数C_8^5与C_8^3有什么关系？- 解析：根据组合数的性质C_n^k=C_n^n - k，这里n = 8，k = 5，n-k=3，所以C_8^5=C_8^3=(8!)/(5!(8 - 5)!)=(8!)/(3!(8 - 3)!)=56。
4. 计算C_10^0+C_10^1+·s+C_10^10的值。
- 解析：根据二项式定理(a + b)^n=∑_k = 0^nC_n^ka^n - kb^k，当a=b = 1时，(1 + 1)^n=∑_k = 0^nC_n^k，这里n = 10，所以C_10^0+C_10^1+·s+C_10^10=2^10=1024。
5. 解释组合与排列的区别。
- 解析：排列是指从n个不同元素中取出m个元素按照一定顺序排成一列，与元素的顺序有关；而组合是从n个不同元素中取出m个元素组成一组，与元素的顺序无关。
例如从1、2、3中取两个数，排列有(1,2)、(2,1)、(1,3)、(3,1)、(2,3)、(3,2)共6种情况，而组合只有{1,2}、{1,3}、{2,3}共3种情况。
二、组合数的应用（10题）6. 有10个学生，从中选3个学生参加数学竞赛，有多少种选法？- 解析：这是一个组合问题，从10个不同元素（学生）中选取3个元素（学生）的组合数，根据组合数公式C_10^3=(10!)/(3!(10 - 3)!)=(10×9×8)/(3×2×1)=120种选法。
组合排列知识点总结图组合和排列是组合数学中的两个基本概念，它们在数学和实际生活中都有着重要的应用。
本文将对组合和排列的基本概念、性质、计算方法和应用进行详细总结。
一、组合的基本概念1.1 定义组合是指从n个元素中任取m个元素的一个过程，即从n个元素中选出m个元素的不同子集的个数，记作C(n,m)。
1.2 性质（1）组合数的对称性: C(n,m)=C(n,n-m)；（2）组合数的递推关系: C(n,m)=C(n-1,m)+C(n-1,m-1)；（3）组合数的定理: C(n,m)=n!/(m!(n-m)!)。
1.3 计算方法（1）排列组合法: 通过从n个元素中选择m个元素，再对选出的元素进行排列，计算出不同子集的个数；（2）递推法: 利用组合数的递推关系计算组合数；（3）公式法: 利用组合数的定理计算组合数。
1.4 应用组合数在概率、统计、密码学、组合优化等领域有着广泛的应用，例如在概率中用于计算事件的发生可能性，在密码学中用于设计密码系统等。
二、排列的基本概念2.1 定义排列是指从n个元素中按照一定的顺序取出m个元素的一个过程，即从n个元素中选出m个元素的不同排列的个数，记作A(n,m)。
2.2 性质（1）排列数的递推关系: A(n,m)=n*A(n-1,m-1)；（2）排列数的定理: A(n,m)=n!/(n-m)!。
2.3 计算方法（1）递推法: 利用排列数的递推关系计算排列数；（2）公式法: 利用排列数的定理计算排列数；（3）循环法: 利用循环的方法计算排列数。
2.4 应用排列数在数学、经济学、计算机科学等领域有着广泛的应用，例如在计算机科学中用于设计算法和数据结构，在经济学中用于研究排列相关的问题等。
三、组合排列的应用3.1 组合排列的求解（1）组合排列的具体问题求解：如从10个不同的元素中取3个元素，求排列数和组合数等；（2）组合排列的问题求解方法: 利用组合数和排列数的定义、性质和计算方法进行具体问题的求解。
高中组合知识点归纳总结在高中数学学科中，组合是一个重要的内容领域，涵盖了排列、组合和二项式定理等知识点。
本文将对高中组合知识点进行归纳总结，帮助同学们更好地掌握这一部分内容。
一、排列1. 定义：排列是指从一组元素中选取若干个元素按特定的顺序排列的方式。
根据排列的特征，可以分为有放回排列和无放回排列。
2. 有放回排列：从n个元素中选取r个元素进行排列，每个元素都可以重复选取。
计算公式为P(n,r) = n^r。
3. 无放回排列：从n个元素中选取r个元素进行排列，每个元素只能选取一次。
计算公式为A(n,r) = n! / (n-r)!。
二、组合1. 定义：组合是指从一组元素中选取若干个元素按照无序排列的方式。
根据组合的特征，可以分为有放回组合和无放回组合。
2. 有放回组合：从n个元素中选取r个元素进行组合，每个元素都可以重复选取。
计算公式为C(n,r) = (n+r-1)! / (r!(n-1)!。
3. 无放回组合：从n个元素中选取r个元素进行组合，每个元素只能选取一次。
计算公式为C(n,r) = n! / (r!(n-r)!)。
三、二项式定理1. 定义：二项式定理是数学中的一个重要定理，描述了二次幂的展开式中的系数。
具体公式为(a+b)^n = C(n,0)a^n*b^0 + C(n,1)a^(n-1)*b^1 + ... + C(n,n)a^0*b^n。
2. 应用：二项式定理在代数、概率和组合等领域都有广泛的应用。
例如，在计算二次幂的展开式时，可以根据二项式定理快速求解。
四、题型归纳在高中数学考试中，组合相关的题目主要有以下几种类型：1. 求排列、组合的个数：题目给出了元素个数和排列或组合的条件，要求计算可能的个数。
2. 求排列、组合的具体情况：题目给出了元素个数和排列或组合的条件，需要求出具体的排列或组合情况。
3. 求满足条件的概率：题目给出了元素个数和排列或组合的条件，需要求出满足条件的概率。
组合数学知识点总结组合数学是一门研究离散对象的计数、排列、组合和优化等问题的数学分支。
它在计算机科学、统计学、物理学、化学等众多领域都有着广泛的应用。
下面我们来详细总结一下组合数学的一些重要知识点。
一、基本计数原理1、加法原理如果完成一件事情有 n 类办法，在第一类办法中有 m1 种不同的方法，在第二类办法中有 m2 种不同的方法，……，在第 n 类办法中有mn 种不同的方法，那么完成这件事情共有 N ＝ m1 ＋ m2 ＋… ＋ mn种不同的方法。
2、乘法原理如果完成一件事情需要 n 个步骤，做第一步有 m1 种不同的方法，做第二步有 m2 种不同的方法，……，做第 n 步有 mn 种不同的方法，那么完成这件事情共有 N ＝m1 × m2 × … × mn 种不同的方法。
这两个原理是组合数学中最基本的原理，许多计数问题都可以通过这两个原理来解决。
二、排列与组合1、排列从 n 个不同元素中取出 m（m ≤ n）个元素的排列数，记为 A(n, m)，其计算公式为：A(n, m) ＝ n! ／（n m)！例如，从 5 个不同的元素中取出 3 个元素进行排列，排列数为 A(5, 3) ＝ 5! ／（5 3)！＝ 602、组合从 n 个不同元素中取出 m（m ≤ n）个元素的组合数，记为 C(n, m)，其计算公式为：C(n, m) ＝ n! ／ m! （n m)！例如，从 5 个不同的元素中取出 3 个元素的组合数为 C(5, 3) ＝ 5!／ 3! （5 3)！＝ 10组合与排列的区别在于，排列考虑元素的顺序，而组合不考虑元素的顺序。
三、容斥原理容斥原理用于计算多个集合的并集中元素的个数。
设A1, A2, …， An 是有限集合，其元素个数分别为｜A1|，｜A2|，…，｜An|，则它们的并集的元素个数为：｜A1 ∪ A2 ∪ … ∪ An| ＝∑｜Ai| ∑｜Ai ∩ Aj| ＋∑｜Ai ∩ Aj ∩Ak| … ＋（－1)＾（n 1) ｜A1 ∩ A2 ∩ … ∩ An|容斥原理在解决包含与排除问题时非常有用。
排列组合知识总结+经典题型(1)知识梳理 1．分类计数原理〔加法原理〕：完成一件事，有几类方法，在第一类中有m1种有不同的方法，在第2类中有m2种不同的方法……在第n类型有m3种不同的方法，那么完成这件事共有2．分步计数原理〔乘法原理〕：完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法……，做第n步有mn种不同的方法；那么完成这件事共有特别提醒：分类计数原理与“分类”有关，要注意“类”与“类”之间所具有的独立性和并列性；分步计数原理与“分步”有关，要注意“步”与“步”之间具有的相依性和连续性，应用这两个原理进展正确地分类、分步，做到不重复、不遗漏。
3．排列：从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.4．排列数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素排成一列，称为从n个不同元素中取出m个元素的一个排列. 从n 个不同〔1〕规定0! = 1〔2〕含有可重元素的排列问题.对含有一样元素求排列个数的方法是：设重集S有k个不同元素a1，a2,…...an其中限重复数为n1、n2……nk，且n =特别提醒：排列与组合的联络与区别.联络：都是从n个不同元素中取出m个元素.区别：前者是“排成一排”，后者是“并成一组”，前者有顺序关系，后者无顺序关系.(2)典型例题考点一:排列问题例1.六人按以下要求站一横排，分别有多少种不同的站法？〔1〕甲不站两端；〔2〕甲、乙必须相邻；〔3〕甲、乙不相邻；〔4〕甲、乙之间间隔两人；〔5〕甲、乙站在两端；〔6〕甲不站左端，乙不站右端.考点二:组合问题例2. 男运发动6名，女运发动4名，其中男女队长各1人.选派5人外出比赛.在以下情形中各有多少种选派方法？〔1〕男运发动3名，女运发动2名；〔2〕至少有1名女运发动；〔3〕队长中至少有1人参加；〔4〕既要有队长，又要有女运发动.考点三:综合问题例3.4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内.〔1〕恰有1个盒不放球，共有几种放法？〔2〕恰有1个盒内有2个球，共有几种放法？〔3〕恰有2个盒不放球，共有几种放法？当堂测试1.从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，那么不同的组队方案共有〔〕A.70 种B.80种C.100 种D.140 种2.亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，假设其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，那么不同的选派方案共有〔〕A.48 种B.12种C.18种D.36种3.从0，1，2，3，4，5这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为〔〕A.48B.12C.180D.1624.甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学，2名女同学。
排列组合知识点归纳总结
排列组合
1. 定义：排列是指将n个不同元素的一组按某种规律排成一列的过程；组合是指从n个不同元素中取任意多个元素一组组合，不考虑顺序称
作组合。
2. 公式：排列公式A(n,m)：n(n-1)...(n-m+1)；组合公式C(n,m)：
n!/(m!(n-m)!)
3. 例题：
（1）从学校里的20个男生和10个女生中任取5人参加一次活动，这
次活动一共有多少种选择？
用排列的方法来求的话，总的选择数为
A(30,5)=30*29*28*27*26=653,800；用组合方法来求的话，总的选择数
为C(30,5)=30!/(5!*25!)=653,800。
（2）如何从10名男生中组成一个不相同的三人小组？
用排列的方法来求的话，总的选择数为A(10,3)=10*9*8=720；用组合
方法来求的话，总的选择数为C(10,3)=10!/(3!*7!)=120。
4. 实际应用：排列组合在数学中极为重要，其应用贯穿于数学当中的
很多领域，如余弦定理、泰勒公式、抛物线等。
诸如加密或者信息安全，以及网络安全等，其中也应用了排列组合的原理，以增强安全性。
同时，它还广泛会被用在生产调度、选号、玩游戏、医学等各种领域下。
排列组合考纲要求1.了解排列的意义，理解排列数公式，并能用它们解决一些简单的实际问题.2.了解组合的意义，理解组合数公式，并能用它们解决一些简单的实际问题.3. 了解组合数性质. 知识点一：排列1.排列的定义：从n 个不同元素中，任取m （m ≤n ）个不同的元素，按照一定的顺序排成一列,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列.若m <n ，这样的排列叫选排列；若m ＝n ,这样的排列叫全排列.2.排列数公式：从n 个不同元素中取出m （m ≤n ）个不同的元素的所有排列的个数，从n 个不同元素中取出m 元素的排列数，记作mn P .(1) P m n ＝n (n －1)(n －2) … (n －m ＋1)； (2) ==!P n n n n (n －1)(n －2) … 3×2×1； (3) P m n ＝()!!n n m -； 规定：0！＝1.知识点二：解决排列问题的基本方法.1. 优限法：即先排特殊的元素，或者特殊的位置.2．捆绑法：相邻问题，把相邻的元素看成一个整体，然后再参与其他元素的排列. 3．插空法：对元素互不相邻的排列问题，常常采用插空法，首先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空位中.4. 排除法：即从正面难以考虑时可以考虑它的对立面，用全部结果数减去对立事件的方法数.5.枚举法：即将所有排列按照一定的规律，一一列举出来的方法. 知识点三：组合1.组合的定义：从n 个不同元素中，任取m （m ≤n ）个不同的元素，组成一组,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合.2.组合数公式：从n 个不同元素中取出m （m ≤n ）个不同的元素的所有组合的个数，从n个不同元素中取出m 元素的组合数，记作mn C .(1)()()()121P C P !mm nnmn n n n n m m ---+==;(2)()!C !!mn n m n m =-(n ，*N ∈m ，且m ≤n ).3. 组合数性质：(1) C =C m n mn n-； (2) 111C +C C m m m n n n +++=.知识点四：解组合问题的方法1.分类讨论：即分析题中的限定条件将所给元素按性质适当分类，并侧重其中一类，相应各类分类讨论，分类时要做到不重不漏.2.等价转化：即把所求问题转化为与之等价的组合问题去解决.3.排除法.4.枚举法.知识点五：计数需注意问题1.排列为有序问题，组合为无序问题，两者都是不重复问题.2.排列包括两个要素，一个是不同的元素，另一个是确定的顺序. 即排列可分成两步，第一步取出元素，第二步排列顺序.3.组合只有一个要素，就是取出元素即可，与元素的排列顺序无关.4.要注意区分分类和分步计数原理，排列和组合，元素允许重复是直接用计数原理，而元素不允许重复的是排列和组合问题. 题型一 排列定义例1 五个同学站一排照相，共多少种排法？分析：把5个元素放在5个位置上，相当于5的全排列，也共有120P 55=种排法. 解答：N =120P 55=种排法题型二 排列数公式例2 设x N *∈，10x <，(20)(21)(30)().x x x --⋅⋅⋅-=A. 1020P x -B. 1120P x -C. 1030P x -D. 1130P x -分析：排列数公式 P m n ＝n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)的特点: （1）等号右边最大的数是n ; （2）等号右边最小的数是n -m +1; （3）共有m 个连续自然数相乘. 解答：30n x =-,(30)(20)111m x x =---+=,∴ (20)(21)(30)x x x --⋅⋅⋅-=1130P x -题型三 解决排列应用题 例3 用1、2、3、4、5、6个数. （1）可以组成多少个五位数？（2）可以组成多少个没有重复数字的五位数？ （3）可以组成多少个1和2相邻的六位数？ （4）可以组成多少个1和2不相邻的六位数？分析：先考虑是用分类分步还是用排列组合，就是要观察一下数字是否允许重复，数字允许重复用分类分步计数原理，数字不允许重复用排列组合，数字相邻用捆绑法，数字不相邻用插空法.解答：（1）数字可以重复，所以用分步计数原理，每个数位上都有6个数字可选，因此共有5666666⨯⨯⨯⨯=个.（2）数字不可以重复，还有顺序，所以用排列,共720P 56==N 个.（3）1和2相邻，用捆绑法，先排1和2共22P 种，与余下的4个元素共有55P 种，则共有240P P 5522=个.（4）1和2不相邻，插空法，先排余下的4个元素44P 种，,再从5个空中挑选2个即25P 种，则共有480P P 2544=个.题型四 组合定义及组合数公式例4 从8名男生2名女生中任选5人， （1）共有多少种不同的选法？ （2）恰好有一名女生的不同选法？ 分析：选取元素干同一件事就组合问题.解答：（1）所有不同选法数就从10人中任选5人的组合数即252C 510=种.（2）从2名女生中任选1人的选法有12C 种，从8名男生中选出4人的选法有48C 种，由分步计数原理，恰有一名女生的选法有140C C 4812=种.题型五 组合数公式例5 （1）已知321818C C -=x x 则x =____. （2）=+97999899C C _____.分析：灵活运用组合数性质.解答：（1）根据题意得 23x x =-或(23)18x x +-=则3x =或7x =.（2）4950299100C C C C 21009810097999899=⨯===+. 题型六 解组合应用题例6 从8件不同的服装快递，2件不同的食品快递中任选5件. （1）至少有一件食品快递的不同选法总数？ （2）最多有一件食品快递的不同选法总数？分析：解决带有限制条件的组合应用题要根据题意正确地分类或分步,巧妙运用直接法或间接法.解答：（1）法一（直接法）分两类情况求解，第一类恰有一件食品快递选法有4812C C 种，第二类恰有两件食品快递选法有3822C C 种，由分类计数原理得至少有一件食品快递的不同选法共有196C C C C 38224812=+种.法二（排除法）从10件快递中任选5件选法总数减去选出的5件全为服装快递的总数即至少有一件为食品快递的不同选法有55108196C C -=种.（2） 最多有一件食品快递可分为以下两类，第一类选出的五件快递中恰有一件食品快递有1428C C 种选法，第二类选出的五件快递中恰有0件食品快递，有0528C C 种选法,由分类计数原理知最多有一件食品快递的选法有14052828196C C C C +=种.一、选择题1.设*x N ∈，10x <，则(10)(11)(17)x x x --⋅⋅⋅-用排列数符号表示为（ ）.A.x x --1017PB.817P x -C. 717P x -D. 810P x -2.从4人中任选2人担任正副班长，结果共有（ ）种.A. 4B. 6C. 12D. 243.将5本不同的笔记本分配给4个三好学生（每个学生只能拥有一本笔记本），则所有的分法种数为（ ）.A. 5！B. 20C. 54D. 454.5名学生报考4所不同的学校（每名学生只能报考一所学校），则所有的报考方法有（ ）种.A. 5！B. 20C. 54D. 455.将6名优秀教师分配到4个班级，要求每个班有1名教师，则不同的分法种数有（ ）种.A. 46PB. 46C. 46CD. 646.为抗击郑州水患，某医院派3名医生和6名护士支援郑州，他们被分配到郑州的三所医院，每个医院分配1名医生和2名护士，共有（ ）种不同的分配方法.A. 24122613P P P P +B. 221124122613P P P P P P ++ C. 121212362412C C C C C C ⋅⋅⋅⋅⋅ D. 121212362412C C C C C C ⋅+⋅+⋅7.从4名男生和5名女生中任取3人，其中男生至多有一人,则不同的取法共有（ ）种 . A. 30 B. 50 C. 70 D. 808.某小组有男生7人，女生3人，选出3人中有1名男生，2名女生的不同选法有（ ）种.A. 310CB. 310PC. 1273C C ⋅D. 2173C C ⋅9.10件产品中有2件次品，任取3件至少有1件次品的不同抽法为（ ）种.A. 1229C C ⋅ B. 312828C C C +⋅ C. 33108C C - D. 12122928C C C C ⋅-⋅10.式子(1)(2)(15)16!x x x x ++⋅⋅⋅+（x N *∈，1x >）可表示为（ ）.A. 1615P +xB. 1615x C +C. 16x CD. 17x C妙记巧学，归纳感悟 二、判断题：1. 34567⨯⨯⨯⨯等于37P .（ ）2. 从甲、乙、丙、丁中任选两人做正、副班长，共有12种.（ ）3. 6个座位，3个人去坐，每人坐一个座位，则共36C 种.（ ） 4. 6个点最多可确定26C 条直线.（ ） 5. 6个点最多可确定26C 条有向线段.（ ） 6. 某铁路有十个站点，共需准备210P 种车票.（ ）7. 某铁路有十个站点，有210P 种不同票价（同样的两个站点的票价相同）.（ ） 8. 某组学生约定，假期每两人互通一封信，共计12封，这个小组学生有5人.（ ） 9. 把语文、数学、英语、美术、历史这五门课排在一天的五节课中，数学必须比美术先上的排法总数为44C 种.（ ）10.从3、5、7、9中任选两个，可以组成12个不同的分数值.（ ） 妙记巧学，归纳感悟 三、填空题1.若57n n C C =，则n =_______..2.若56P 2=n ，则n =_______.3.从数字0、1、2、3、4、5中任选3个数，可组成______个无重复数字的三位偶数.4.将4本同样的书分给5名同学，每名同学至多分一本，而且书必须分完则不同的分法总数有______种.5.2名教师和5名学生中选3人去旅游，教师不能不去，也不能全去，则共有______种选法. 妙记巧学，归纳感悟 四、解答1.将5名学生排成一排照相，其中3名男生，2名女生，则以下情况各有多少种不同的排法？（1）甲乙必须相邻； （2）甲乙互不相邻； （3）甲乙必须站两端； （4）甲乙不在两端； （5）男女相间.2. 将6本不同的书,在下列情况下有多少种分法？ （1）分成相等的三份； （2）平均分给甲乙丙三位同学；（3）分成三份，一份一本，一份两本，一份三本； （4）甲分一本，乙分两本，丙分三本；（5）如果一人分一本，一人分两本，一人分三本，分给甲乙丙. 高考链接1.（2018）某年级有四个班，每班组成一个篮球队，每队分别同其他三个队比赛一场，共需要比赛（ ）场.A. 4B. 6C. 5D. 7 2. 某段铁路共有9个车站，共需准备（ ）种不同的车票. A. 36 B. 42 C.64 D. 723. 甲袋中装有6个小球，乙袋中装有4个小球，所有小球颜色各不相同，现从甲袋中取两个小球，乙袋中取一个小球，则取出三个小球的不同取法共有（ ）种. A. 30 B. 60 C.120 D. 3604. 某学校举行元旦曲艺晚会，有5个小品节目，3个相声节目,要求相声节目不能相邻，则不同的出场顺序有______种. 积石成山10件产品中有2件次品任取3件，至多有一件次品的不同取法总数为（ ）种.A. 312828C C C +B. 1229C C C. 33108C C - D. 12122928C C C C -2. 从4名男生和5名女生中任取3人，其中至少有男生，女生各一名，则不同的取法有（ ）种.A. 140B. 84C. 70D. 353. 某医疗小队有护士7人，医生3人，任选3人的不同选法有（ ）.A. 310CB. 310PC. 1273C C ⋅D. 2173C C ⋅4. 将4名优秀教师分配到3个班级，每个班至少分到一名教师，则不同的分配方案有（ ）种.A. 72B. 36C. 18D. 125. 5个人站成一排照相，甲不站排头，乙不站排尾的排法总数有（ ）种. A. 36 B. 78 C. 60 D. 486. 5个人站成一排照相，甲站中间的排法总数有（ ）种. A .24 B. 36 C. 60 D. 487. 5个人站成2排照相，第一排2人，第二排3人则不同的排法总数有（ ）种. A. 48 B. 78 C. 60 D. 1208. 从1、2、3、4中任选2个，再从5、6、7、8、9中任选2个可组成无重复的四位数的个数是（ ）个.A .720 B. 2880 C. 1440 D .1449. 某工作小组有9名工人，3名优秀工人，各抽5人参加比赛，要求优秀工人都参加不同的选法共有（ ）种.A. 12B.15C. 30D. 36 10. 式子(1)(2)(15)1!x x x x x ++⋅⋅⋅+-（）（x N *∈，1x >）可表示为（ ）.A. 1615P +xB. 1615x C +C.16x C D .17x C排列组合答案一、选择题二、判断题三、填空题1．12 解析：根据组合数性质1得5712n =+=2．8 解析：2(1)56n P n n =-= 8n ∴=3. 52 解析:分两类，第一类个位是零则有2520P =个；第二类，个位不是零，则有11124432P P P =个，所以共有20+32=52个.4．5 解析:只需在五人中选四人得到书即可，书相同无需排序,则有455C =种. 5．20 解析:老师不能不去，也不能全去，则只能去一人即122520C C =种.妙记巧学，归纳感悟：答案全，结果简. 四、解答题1.解：（1）把甲乙捆绑在一起有22P 种，与余下的3名学生共有44P 种，则甲乙必须相邻，有242448P P =种排法.（2）先把余下的3名学生排好有33P 种，再从形成的4个空中任选两个甲乙来排有24P 种，则甲乙不相邻有323472P P =种排法.（3）甲乙必须站两端，先排甲乙有22P 种，再把余下的3名学生排在余下的3个位置有33P 种，则甲乙必须站两端有323212P P =种排法.（4）先从3个位置中选2个甲乙来排有23P 种，再把余下的3名学生排在余下的3个位置有33P 种，则甲乙不在两端有233336P P =种. （5）男女相间则有323212P P =种排法.2. 解：（1）平均分堆问题.有2226423315C C C P =种方法. （2）平均分配问题，每人均分得2本.甲先取两本26C 种，乙再取两本24C 种，丙最后取两本22C 种，由分步计数原理得222642C C C =90种方法.（3）不平均分堆问题，第一份16C 种，第二份25C 种，第三份33C 种，则共有123653C C C =60种方法.（4）不平均分配问题，甲先选一本16C 种，乙再选两本25C 种，丙最后选三本33C 种，则共有123653C C C =60种方法.（5）不平均分配问题，且没有指定对象，先分三份123653C C C 种，再把这三份分给甲乙丙三人有33P 种，则共有种12336533360C C C P =方法.妙记巧学，归纳感悟： 排列组合来相遇，先组后排无争议. 高考链接1.B2.D3.B4.2400 解析:相声节目不相邻，则用插空法先排5个小品节目共有55P 种,五个小品节目共形成六个空选三个空插入相声节目有36P 种,则共有53562400P P =种.积石成山。
组合数学知识点归纳总结一、集合和排列集合和排列是组合数学中最基本的概念。
集合是由一些互不相同的对象组成的整体，每个对象称为集合的元素；排列是对一组对象进行有序的摆放。
在集合和排列中，存在着一些常用的概念和性质。
1. 子集：如果一个集合的所有元素都属于另一个集合，那么这个集合称为另一个集合的子集。
如果两个集合的元素完全相同，则它们是相等的。
2. 二项式系数：n个元素的集合有2^n个子集，这是因为每个元素都可以选择放入或不放入子集，所以总共有2种选择。
3. 排列：对n个元素进行有序的排列，总共有n!种不同的排列方式，其中n!表示n的阶乘。
二、组合组合是一种特殊的排列，它不考虑元素的顺序，只考虑元素的选择。
在组合中，有一些重要的性质和定理。
1. 二项式定理：对于任意实数a和b以及非负整数n，二项式定理给出了(a+b)^n的展开式，它表示为：(a+b)^n = C(n,0)*a^n + C(n,1)*a^(n-1)*b + … + C(n,k)*a^(n-k)*b^k + … + C(n,n)*b^n其中C(n,k)表示从n个元素中选取k个元素的组合数，它的计算公式为：C(n,k) =n!/(k!(n-k)!)。
2. Pascal三角形：Pascal三角形是一个由组合数构成的三角形，它的每一行由二项式定理给出的系数组成。
Pascal三角形有许多重要的性质和应用，如二项式定理的证明、组合数的递推公式等。
3. 组合恒等式：组合恒等式是一类基于组合数的等式，它们在证明和求解组合问题中有着重要的作用。
例如Vandermonde恒等式、Lucas恒等式等。
三、图论图论是研究图和网络结构的数学理论。
在图论中，存在着一些与组合数学相关的知识点。
1. 图的基本概念：图由节点和边构成，可以分为有向图和无向图。
图的一些基本概念有：度、路径、连通性等。
2. 图的着色问题：图的着色问题是指如何用最少的颜色将图的节点进行着色，使得相邻节点的颜色不相同。
组合知识点及题型归纳总结知识点精讲1.单纯组合问题2.分选问题和选排问题①分选问题，几个集合按要求各选出若干元素并成一组的方法数. ②选排问题，分选后的元素按要求再进行排列的排列数. 3.分组问题和分配问题①分组问题，把一个集合中的元素按要求分成若干组的方法数； ②分配问题，把一个集合中的元素按要求分到几个去处的方法数.题型归纳及思路提示题型1 单纯组合应用问题 思路提示把所给问题归结为从n 个不同元素中取m 个元素，可用分类相加、分布相乘，也可用总数减去对立数. 例12.21 课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各指定一名队长，现从中选5人主持某项活动，依下列条件各有多少种选法？ （1）只有一名女生当选；（2）两队长当选；（3）至少有一名队长当选；（4）至多有两名女生当选；（5）既要有队长，又要有女生当选.分析 注意理解组合与排列问题的不同——取出的元素有无顺序.解析 （1）1名女生，4名男生，故共有3504815=C C （种）.（2）只需从剩余的11人中选择3人即可，故有165311=C （种）.（3）解法一：（直接法）至少有一名队长含有两类：只有一名队长和两名队长，故共有8253112241112=+C C C C （种）.解法二：（间接法）采用排除法825511513=-C C （种）.（4）至多两名女生含有3类情形：有两名女生、只有一名女生、没有女生，故选法为：9665848153825=++C C C C C 种.（5）解法一：（直接法）分两类：①女队长当选，故有412C 种；②男队长当选，故至少需要另外4名女生中的一名，故44173427243714C C C C C C C +++种. 综上可知，选法有412C +44173427243714C C C C C C C +++=790种.解法二：分两类：①女队长当选，故有412C 种；②男队长当选，故至少需要另外4名女生中的一名.若另外的4人都是男生，则有47C 种方法，故男队长当选，且至少有一名女生（且为非女队长）的方法有()474111C C -⋅种，故共有412C +()47411C C -=790种.变式1 某单位要邀请10位教师中的6人参加一个研讨会，10人中甲、乙不能都去，共有（ ）种邀请方法.A.84B.98C.112D.140变式2 在四面体的顶点和各棱中共10个点中选4个点不共面，共有（ ）种不同取法. A.150 B.147 C.141 D.142 变式3 若A x ∈1，就称A 为有伴关系的集合，集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=4,3,2,1,21,31,1M ，则M 的非空子集中，具有有伴关系的集合有（ ）个.A.15B.16C.82D.52例12.22 在平面直角坐标系中，x 轴正半轴上有5个点，y 轴正半轴上有3个点，将x 轴上5个点和y 轴上3个点连成15条线段，这些线段在第一象限交点最多有（ ）个.A.30B.35C.20D.15解析 如图12-21所示，在x 轴正半轴上5个点中取两点B A ,，在y 轴正半轴上3个点中取两点D C ,，确定四边形ABCD ，其对角线P BC AD =⋂是第一象限的点，能确定多少个四边形，就可以确定多少个符合第一象限的点，这些点互不重合（这是可以做到的），得这样的点最多有302325=C C 个，故选A.评注 解决与几何有关的组合问题，必须注意几何问题本身的限制条件，解题时可借助图形来帮助. 变式1 AOB ∠的边OA 上有4321,,,A A A A 四个点，OB 边上有4321,,,B B B B ，5B 五个点，共9个点，连接线断j i B A ()51,41≤≤≤≤j i ，若其中两条线段不相交，则称之为和睦线对，则共有和睦线（ ）对.A.30B.60C.120D.160变式2 在坐标平面上有一个质点从原点出发，沿x 轴跳动，每次向正方向或负方向跳动一个单位，若经5次跳动质点落在()0,3处，则质点共有______种跳法；若经过m 次跳动质点落在()0,n 处，0,1,≥≥≥n m n m 且n m +为偶数，则质点共有______种跳法.题型2 分选问题和选排问题 思路提示两个集合B A ,，()()21,n B card n A card ==.A 选1m ，B 选2m ，共有2211m n m n C C 种方法，选排为选出再排列. 例12.23 6女4男选出4人.（1）女选2，男选2有多少种选法？再安排4个不同工作，有多少方法？（2）至少有一女有多少种选法？（3）至多3男有多少选法？（4）男女都有，有多少种选法？（5）选男甲不选女A,B ，有多少种选法？解析 （1）女选2，男选2有902624=C C 种选法，再安排4个不同工作有2160442624=A C C 种方法.（2）加法：20946143624263416=+++C C C C C C C ；减法：20944410=-C C . （3）减法：20944410=-C C .（4）加法：194143624263416=++C C C C C C ；减法：1944446410=--C C C .（5）从10-3=7人中选3人，3537=C .评注 涉及“至多”、“至少”的问题通常用排除法；变式1 有7名翻译，4人会英语，4人会日语，从中选2名英语翻译和2名日语翻译，共有多少种选法？ 变式2 9名水手，6人会左舵位，6人会右舵位.现选3名右舵手和3名左舵手分坐于6个舵位，共有多少种安排方法？变式3 甲组5男3女，乙组6男2女，两组各选2人，则选出的4人中恰有1女，共有（ ）种取法.A.150B.180C.300D.345 例12.24 （2012浙江理6）若从9,3,2,1，⋯这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有（ ）种.A.60B.63C.65D.66解析 由数字特征可知，9,7,5,3,1共5个奇数，8,6,4,2共四个偶数，取出四个不同的数，和为偶数有以下几类：四个均为奇数，有545=C 种取法；两个奇数，两个偶数，有602524=C C 种取法；四个均为偶数，有144=C 种取法.共有66种不同的取法，故选D.变式1 从7,6,5,4,3,2,1这七个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成无重复数字的四位数，其中有（ ）个奇数.A.432B.288C.216D.108变式2 由数字6,5,4,3,2,1,0组成的没有重复数字的四位数中，个、十、百3位数字之和为偶数的有______个（用数字回答）.变式3 从10~1这10个数字中任取4个数，其中第二个大的数字是7的取法有（ ）种. A.18 B.20 C.45 D.84例12.25 （2012陕西理8）两人进行乒乓球比赛，先赢3局者获胜，决出胜负为止，所有可能出现的情形各人输赢局次的不同视为不同情形，则共有（ ）种. A.10 B.15 C.20 D.30 解析 根据题意可分3类：当比赛3场结束时，有332C =2种不同的情形；当比赛4场结束时，有6213=C 种；当比赛5场结束时，有12224=C 种不同情形.故共有201262=++种不同的情形.故选C.变式1 5名乒乓球运动员，有2名老队员和3名新队员，从中选出3人排成3,2,1号参加团体比赛，则其中至少一名老队员，且2,1号至少一名新队员，有______种排法（用数字作答）.变式2 已知集合{}{}{}4,3,1,2,1,5===C B A ，从3个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系的一个点的坐标()z y x ,,，则共可确定（ ）个点的坐标. A.33 B.34 C.35 D.36变式3 用4张分别标有4,3,2,1的红色卡片和4张分别标有4,3,2,1的蓝色卡片，从这8张卡片中取出4张卡片排成一行，如果取出来的4张卡片的数字之和为10，则共有______种排法（用数字作答）.题型3 平均分组和分配问题 思路提示分组定义：把一个非空有限集A 按要求分成若干个互相没有公共元素的非空子集的并集. ①分组三原则：一组一组的分出来（与顺序无关）；②有若干组为含单一元素的集合，不去管他们，分出其他组即可；③由若干（m 个）元素不为1的组，且元素个数相同，把①②的结果除以mm A .分配定义：把一个非空有限集A 的元素按要求分到若干个去处，每个去处分配元素至少为1个. 分配问题共四个类型：逐方向分配即可，共有分配数：m mnn n n n m n n m n m C C C C N ⋯=---321211（额配法） . ②不定方向分配问题：各分配方向名额不确定.先把A 按要求分成若干组（分组问题），再把每组打包成一个元素，在m 个分配方向上排列（组排法）.③信箱问题.3封不同信任意投入4信箱，共有34种投法. ④相同元素的分配问题（不定方程组的个数）——隔板问题.⎪⎩⎪⎨⎧≤∈∈⋯=+⋯++nm N n m N x x x n x x x m m ,,,,,,**2121，共有11--m n C 组不同的解. 例12.26 按以下要求分配6本不同的书，各有几种方法？ （1）平均分配给甲、乙、丙3人，每人2本；（2）平均分成3份，每份2本；（3）分成3份，一份1本，一份2本，一份3本；（4）甲、乙、丙3人，一人得1本，一人得2本，一人得3本；（5）分成3份，一份4本，另两份各1本；（6）甲、乙、丙3人，一人得4本，另外两个人每人得1本；（7）分给甲、乙、丙3人，每人至少一本. 解析 （1）解法一：（分步计数原理）因为要分给甲、乙、丙3人，可分三步完成，先从6本书中选择2本分给甲，其方法有26C 种；再从余下的4本中选2本分给乙，其方法有24C 种，最后的两本分给丙，方法有22C 种.有分步计数原理，故所求的分配方法有26C 24C 22C =90种.解法二：（定序问题全排消序法）把分配给甲、乙、丙的3堆书看成无序排列（分到每个人的两本书是无序的）即定序问题，故考虑使用定序问题全排消序法求解，共有22222266A A A A 种分法.解法三：（先（平均）分组后分配）把6本书平均分成3份，每份2本的方法有33222426A C C C 种，再分配3个人的方法有33A种。
故有33222426A C C C 33A =222426C C C 种. （2）把6本不同的书分成3堆，每堆2本，与把6本不同的书分给甲、乙、丙3人，每人2本的区别在于，后者相当于把6本不同的书，平均分成3堆后，再把每次分得的3堆书分给甲、乙、丙3人，因此，设把6本不同的书，平均分成3堆的方法有x 种，那么把6本不同的书分给甲、乙、丙3人每人2本的分法有33xA种，即33xA=222426CC C ，从而=x 33222426A C C C =15种. （3）因为不是均匀分组问题，可以分为3个步骤完成，先在6本书中任取一本，作为一堆，有16C 种取法；再从余下的5本书中任取2本，作为一堆，有25C 种取法；然后从余下的3本书中取3本作为一堆，有33C 种取法，故共有分法16C 25C 33C =60种； （4）组排可以利用先选后排的步骤完成，第一步，方法有16C 25C 33C =60种.第二步，其分配有33A 种，16C 25C 33C 33A =360种. （5）部分均匀问题，解法一：从中取4本作为一堆的方法有46C 种，剩余2本分成两堆的方法只有1种，从而有46C 151=⋅种.解法二：分三步，第一步从6本书中取4本，有46C 种，第二步，从剩余2本书中取1本，有12C 种方法；第三步，从剩余1本书中取1本，有11C 种方法，由分步计数原理，共有46C 12C 11C 种方法，但是其中每堆都是1本的两堆是不计算顺序的，故得6本书分成3堆，一堆4，另两堆各1本的分法有22111246A C C C =15种.（6）组排部分均匀问题，可以采用先分组后分配的步骤方法，共有22111246A C C C 9033=⋅A 种，也可以转化视角，即从6本书中选4本看作一个元素，再与其余2本作全排列，共有903346=A C 种.（7）解法一：（分类讨论）因为分给甲、乙、丙3人，每人至少1本有3种情况：①甲、乙、丙每人2本，有222426C C C 种分法；②甲、乙、丙3人，一人1本，一人2本，一人3本，有36033332516=A C C C 种分法；③甲、乙、丙3人，一人4本，其余两人一人1本，有3346A C 种分法，所以不同的分法有222426C C C +33332516A C C C +3346A C =540种.解法二：（间接法）6本书全部分给3个人中的1人，有13C 种分法；6本书全部分给3人中的2人，且每人至少1本，则共有63种方法；由上可知，6本书全部分给甲、乙、丙3人，每人至少1本，应有63-()[]12623132C C C -+=540种. 评注 解决分配问题的关键是区分是否与顺序有关，对于平均分组要注意顺序，按先分组再分配的原则去计算，平均分组与非平均分组、无序分组与有序分组是组合问题的常见题型，解决此类问题的关键是正确判断分组是平均分组还是非平均分组，无序平均分组要除以平均组数的阶乘数，还要充分考虑是否与顺序有关；有序分组要在无序分组的基础上乘以分组数的阶乘数.变式1 有编号为4,3,2,1的4张不同的卡片，按照下列方法处理，各有几种分法？（1）甲得2张，乙得2张； （2）平均分成2堆，每堆2张.变式2 9个人分到3个单位，下面各有多少种分配方法. （1）甲单位2人，乙单位3人，丙单位4人； （2）每个单位3人；（3）每个单位各2人，一单位5人.例12.27（2012山东理11）现有16张不同的卡片，其中红色，黄色，蓝色，绿色卡片各4张.从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张.不同取法的种数为（ ）.A.232B.252C.472D.484 解析 利用分类计数原理解决本题.第1类，含一张红色卡片，有26421214=⋅C C 种不同的取法；第2类，不含红色卡片，有208334312=-C C 种不同的取法.共有472208264=+（种）不同的取法.故选C.变式1 将4个相同的白球，5个相同的黑球，6个相同的红球放入4个不同的盒子中的3个，使4个盒子中的1个为空，其他盒子中球色齐全，共有______种不同方法（用数字作答）.变式2 某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法有（ ）种.A.4B.10C.18D.20变式3 将标号为6,5,4,3,2,1的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号2,1的卡片放入同一信封，则不同的方法共有（ ）.A.4种B.18种C.36种D.54种例12.28 8个球队中有甲、乙两个强队，现把8个球队平均分成两组，如下各有多少种分法？ （1）甲、乙不在同组；（2）甲、乙在同组.解析 （1）甲、乙不在同组，看为6个非强队平均分成两组，一组为“甲组”，一组“乙组”.定序分组，共20363336==C C C 种方法.（2）甲、乙同组，看为把6个非强队分为一组2（与甲、乙并为4），一组4，共有2226C C =26C =15种方法.变式1 把4名男乒乓球选手和4名女乒乓球选手同时平均分成两组，进行混合双打比赛，共有______种不同的分配方法（混合双打是一男一女对一男一女，用数字作答）.变式2 （2012新课标理2）将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共（ ）. A.12种 B.10种 C.9种 D.8种 变式3 甲、乙、丙、丁4个公司承包8项工程，甲承包3项，乙承包1项，丙、丁各承包2项，共有（ ）种不同的承包方案.A.3360B.2240C.1680D.1120例12.29 6个不同的小球放入5个小盒，按下面要求各有多少种放法？（1）每盒至少1球；（2）恰有1盒空；（3）任意分.解析（1）先分组6=2+1+1+1+1，分组方法有26C 种.五组在五盒排列，共18005526=A C 种放法.（2）先分组6=3+1+1+1=2+2+1+1，6522242636=+A C C C ，四组在5盒排列，共78006545=⨯A 种. （3）1562556=种.变式1 某外商计划在4个候选城市投资3个不同项目，且在同一城市投资的项目部超过2个，则该外商共有（ ）种投资方案.A.16B.36C.42D.60变式2 将4个颜色互不相同的球全部放入编号1和2的两个盒子中，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒的编号，共有（ ）种放法. A.10 B.12 C.36 D.52 变式3 把20个相同的小球放入6个盒中.（1）每盒至少一球有多少种方法？（2）每盒至少二球有多少种方法？（3）随便放（即可有若干盒中无球）有多少种方法？有效训练题 1.在5,4,3,2,1这5个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为奇数的有（ ）个.A.36B.24C.18D.62.某小组4人负责周一至周五的值日，每天只安排一人，每人至少一天，共有（ ）种安排方法. A.480 B.300 C.240 D.1203.从甲，乙等6名同学中挑选3人参加某公益活动，要求甲，乙至少有1人参加，不同的挑选方法有（ ）. A.16种 B.20种 C.24种 D.120种4.3名医生和6名护士分配到3所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士，不同的分配方法共有（ ）.A.90种B.180种C.270种D.540种 5.掷下4枚编了号的硬币，至少有2枚正面朝上的情况有（ ）. A.443424C C C ++种 B.443424A A A ++种 C.4221⨯种 D.不同于C B A ,,的结论 6.10021,,,l l l ⋯为100条共面且不同的直线，若其中编号为k 4()*Nk ∈的直线相互平行，编号为34-k 的直线都过定点A ，则这100条直线的交点最多有（ ）.A.4350个B.4351个C.4900个D.4901个7.如图12-22所示为一个54⨯长方形表，一个“兵”从A 走到B ，每步向左或向右或向上行一格，最少______步该“兵”由A 走到B .按这样的步数从A 走到B 共有______种走法（用数字作答）.8.安排3人到6所学校任教，每校至多2人，共有______种分配方案（用数字作答）.9.正方体的8个顶点能构成多少个不同的三棱锥？10.6人分成3组，各有多少种方法？（1）一组3人，一组2人，一组1人；（2）第一组3人，第二组2人，第三组1人；（3）平均分成三组；（4）第一组2人，第二组2人，第三组2人；（5）任意分成3组.。
