数学分析教学大纲及考核大纲

数学分析教学大纲Mathematics Analysis一、基本信息适用专业：数学与应用数学（师范）专业，信息与计算科学专业课程编号：BH041101、BH041104、BH041106；BJ043201、BJ043202、BJ043203教学时数：324学时学分：18课程性质：专业核心课专业基础课开课院系：数学与计算机科学院使用教材：《数学分析》（上册、下册）华东师范大学数学系编高等教育出版社参考书：[1]刘玉琏，傅沛仁编，数学分析讲义，高等教育出版社，1992；[2]谢惠民，恽自求等,数学分析习题课讲义，高等教育出版社，2003；[3]马振民，数学分析的方法与技巧选讲，兰州大学出版社，1999；[4]林源渠，方企勤编，数学分析解题指南，北京大学出版社，2003. [3][5]Γ.Μ.菲赫金哥尔茨著，微积分学教程(共八册) ，人民教育出版社，1978.[6]王俊青编，数学分析中的反例，电子科技大学出版社，1996.[7]裴礼文编，数学分析中的典型问题与方法，高等教育出版社，2002.[8]Б.Л.吉米多维奇编，费定辉等译，数学分析习题集题解(共六册) ，山东科技出版社，1983.二、课程介绍数学分析的任务是使学生获得有关函数、极限、函数的连续性、一元函数微积分、多元函数微积分、级数理论及其应用等方面的基本概念、基本理论与基本方法，从而能用更高的观点深入理解和分析处理中学数学教材的能力和解决实际问题的能力。

三、考试形式均为考试课程，考试成绩由平时成绩（平时考勤，作业，课堂提问情况）和期末考试组成，平时作业占百分之二十(三十)，期末考试百分之八十(七十)，期末考试是闭卷的形式，重点考察学生的解题能力和基础理论。

四、课程教学内容及课时分配第一章函数(12学时)要求：1.了解数学的发展史与实数的概念，理解绝对值不等式的性质，会解绝对值不等式弄清区间和邻域的概念；2.掌握函数的定义及函数的表示法，了解函数的运算；3.理解和掌握一些特殊类型的函数。

主要内容：1.实数概述：实数的概念，实数的性质，绝对值，区间与邻域、有界集、确界、确界原理（不证）；2.函数概念：函数的定义，函数的表示法(解析法、列表法、和图象法)，分段函数；3.几种特殊类型的函数：有界函数，单调函数，奇函数与偶函数，周期函数；4.函数的运算：四则运算，复合函数，反函数；5.初等函数：基本初等函数，初等函数。

重点：区间、邻域、确界、确界原理和初等函数的概念，复合函数的分解。

难点：确界原理的证明第二章数列极限(18学时)要求：1.逐步透彻理解和掌握数列极限，无穷小量与无穷大量的概念；2.掌握并能运用ε-N语言处理极限问题；3.掌握收敛数列的基本性质和数列极限的存在条件(单调有界定理和迫敛性定理)，并能运用；4.了解数列极限柯西准则，无穷小与无穷大阶的比较。

主要内容：1.数列极限的概念；2.收敛数列的性质（唯一性，有界性，保号性，单调性）及运算；3.数列极限的存在条件(单调有界定理，迫敛性法则，柯西准则)；4.无穷小量与无穷大量。

重点：数列极限的概念难点：数列极限的概念第三章函数极限（20学时）要求：1.理解和掌握函数极限的概念；2.掌握并能应用ε -δ语言处理极限问题；3.了解函数的单侧极限，函数极限的柯西准则；4.掌握函数极限的性质和归结原则；5.熟练掌握两个重要极限来处理极限问题。

主要内容：1.函数极限的概念，单侧极限的概念；2.函数极限的性质与运算，两个重要极限归结原则，柯西准则。

重点：函数极限的概念难点：两个重要极限归结原则柯西准则第四章函数的连续性(14学时)要求：1.理解与掌握一元函数连续性的定义(点，区间)，间断点及其分类，连续函数的局部性质；2.理解单侧连续的概念；3.能正确叙述和应用闭区间上连续函数的性质处理问题；4.了解反函数的连续性，理解复合函数的连续性，初等函数的连续性。

主要内容:1.连续性概念：一点连续的定义，区间连续的定义，单侧连续的定义，间断点及其分类；2.连续函数的性质及运算：局部性质及运算，闭区间上连续函数的性质（最大最小值性、有界性、介值性、一致连续性）。

复合函数的连续性，反函数的连续性；3.初等函数的连续性。

重点：连续性概念难点：一致连续性复合函数的连续性第五章导数与微分(24学时)要求：1.理解和掌握导数与微分概念，了解它的几何意义；2.能熟练地运用导数的运算性质和求导法则求函数的导数(特别是复合函数)；3.理解单侧导数、可导性与连续性的关系，高阶导数的求法；4.了解导数的几何应用，微分在近似计算中的应用。

主要内容：1.导数概念：导数的定义、单侧导数、导函数、导数的几何意义；2.求导法则与导数公式：导数公式、导数的运算(四则运算)、求导法则(反函数求导法、复合函数的求导法则，隐函数的求导法则，参数方程的求导法则)；3.微分：微分的定义，微分的运算法则，微分的应用；4.高阶导数与高阶微分。

重点：导数概念难点：复合函数的求导第六章微分学基本定理与导数应用 (22学时)要求：1.掌握中值定理的内容、证明及其应用；2.了解泰勒公式及在近似计算中的应用，能够把某些函数按泰勒公式展开；3.能熟练地运用罗必达法则求不定式的极限；4.了解函数的某些基本特性(单调性、极值与最值、凹凸性、拐点及渐近线)，能较正确地做出某些函数的图象。

主要内容：1.微分中值定理：洛尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理、罗必达法则；2.泰勒公式，某些函数的泰勒展开式，近似计算；3.函数特性讨论（单调性、极值与最值、凹凸性拐点、渐近线）；4.函数图象的讨论与描绘。

重点：微分中值定理难点：泰勒公式及其应用某些函数的泰勒展开式第七章实数的连续性定理，闭区间上连续函数的性质(8学时)要求：1.理解确界、聚点、子列的概念；2.了解实数连续性的几个定理和闭区间上连续函数的性质的证明。

主要内容：1.实数连续性定理：闭区间套定理、柯西收敛准则、聚点定理、有限覆盖定理；2.闭区间上连续函数性质的证明：有界性定理的证明，最大、最小值定理的证明，介值性定理的证明，一致连续性定理的证明。

重点：闭区间套定理难点：柯西收敛准则聚点定理有限覆盖定理第八章不定积分（22学时）要求：1.解原函数和不定积分概念；2.熟练掌握换元积分法、分部积分法、有理式积分法和三角有理式积分法，并能利用它们来求函数的积分；3.会计算简单的无理函数的积分。

基本内容：1.原函数与不定积分概念，基本积分表，线性运算法则；2.换元积分法，分部积分法；3.有理函数积分法，三角函数有理式积分，几种无理函数的积分。

重点：原函数与不定积分概念基本积分表线性运算法则难点：有理函数积分法三角函数有理式积分几种无理函数的积分第九章定积分（18学时）要求：1.理解定积分概念及函数可积的条件；2.熟悉一些可积分函数类；3.掌握定积分与可变上限积分的性质；4.能较好地运用牛顿-莱布尼兹公式，换元积分法，分部积分法计算一些定积分。

主要内容：1.定积分的概念（概念的引入、黎曼积分定义），函数可积的必要条件，可积函数类(连续函数，只有有限个间断点的有界函数，单调函数)；2.定积分的性质（线性性质、积分区间的可加性、单调性、绝对可加性），积分中值定理；3.微积分基本定理，可变上限积分，牛顿-莱布尼兹公式；4.积分法：换元积分法分部主积分法。

重点：定积分的概念（概念的引入、黎曼积分定义）函数可积的必要条件可积函数类(连续函数、只有有限个间断点的有界函数、单调函数) 难点：微积分基本定理第十章定积分的应用（12学时）要求：1.重点掌握定积分的几何应用；2.掌握定积分在物理上的应用；3.在应用中逐步掌握"微元法"。

主要内容：1.定积分的几何应用：平面图形的面积，微元法，已知截面面积函数的立体体积，旋转体的体积平面曲线的弧长与微分，旋转体的侧面积；2.定积分在物理上的应用：功、液体压力、重心、平均值。

重点：定积分的几何应用难点：定积分在物理上的应用第十一章反常积分（10学时）要求：1.掌握广义积分的收敛、发散、绝对收敛与条件收敛等概念；2.能用收敛性判别法判断某些广义积分的收敛性。

主要内容：1.无穷积分收敛与发散的概念，线性运算，柯西准则，绝对收敛与条件收敛，无穷积分与数项级数的关系，收敛的判别法；2.瑕积分的收敛与发散的概念，收敛判别法。

重点：广义积分的敛散性判断难点：广义积分的敛散性判断第十二章数项级数（12学时）要求：1.理解无穷级数的收敛，发散，绝对收敛与条件收敛等概念；2.能正确叙述收敛级数的性质；3.能够应用正项级数与任意项级数的敛散性判别法判断级数的敛散性；4.熟悉几何级数调和级数与p-级数。

主要内容：1.数项级数的收敛性：无穷级数收敛，发散等概念，柯西准则，收敛级数的基本性质；2.正项级数收敛原理：比较原理，达朗贝尔判别法，柯西判别法；3.任意项级数：交错级数与莱布尼兹判别法，条件收敛，绝对收敛定理。

重点：正项级数敛散性判断难点：任意项级数敛散性判断第十三章函数项级数（12学时）要求：1.掌握收敛域、极限函数与和函数一致收敛等概念；2.掌握极限函数与和函数的分析性质(会证明)；3.能够比较熟练地判断一些函数项级数与函数列的一致收敛主要内容：1.函数列与函数项级数收敛与一致性收敛性，函数列的极限函数、函数项级数的和函数，函数列与函数项级数的一致收敛概念，一致收敛柯西准则，优级数判别法；2.极限函数与和函数的分析性质（连续性，可积性，可微性）。

重点：函数列与函数项级数收敛与一致性收敛性数列的极限函数、函数项级数的和函数的分析性质难点：函数列与函数项级数收敛与一致性收敛性函数列的极限函数、函数项级数的和函数的分析性质第十四章幂级数（12学时）要求：1.了解幂级数，函数的幂级数及函数的可展成幂级数等概念；2.掌握幂级数的性质；3.会求幂级数的收敛半径与一些幂级数的收敛域；4.会把一些函数展开成幂级数，包括会用间接展开法求函数的泰勒展开式。

主要内容：1.阿贝尔第一定理，收敛半径与收敛区间，幂级数的一致收敛性，幂级数和函数的分析性质（连续性、可积性、可微性）；2.泰勒级数，泰勒展开式的条件，几个初等函数的幂级数展开式。

重点：阿贝尔第一定理收敛半径与收敛区间泰勒级数重点：幂级数展开难点：幂级数展开第十五章傅里叶级数（10学时）要求：1.掌握三角函数系的正交性与函数的傅里叶级数的概念；2.能正确地叙述傅里叶级数收敛性判别法；3.能将一些函数展开成傅里叶级数。

主要内容：三角级数，三角函数系的正交性，傅里叶级数，傅里叶级数的收敛定理，奇函数与偶函数的傅里叶级数。

重点：傅里叶级数难点：傅里叶级数的收敛定理第十六章多元函数及极限与连续（16学时）要求：1.正确理解平面点集的基本概念，二元函数的极限，累次极限，连续性概念；2.了解闭区域的套定理，有限覆盖定理，多元连续函数的性质。