《数学分析报告》课程教学大纲设计

《数学分析》课程教学大纲（理工科师范类数学教育专业）说明数学分析是理工科师范类数学教育专业的一门必修的基础课。

这门课程对于学员加深理论基础的学习，增强基本技能的训练，提高数学修养和业务素质，以便居高临下地分析和处理中学数学教材，有着重要作用。

本课程以极限概念为基础，主要内容为一元微积分的理论和应用。

本课程的教学目的一要求是：一、使学员对极限思想与方法有较深刻的认识，弄清具体与抽象、特殊与一般、有限与无限等辩证关系，学习科学的思想方法，以利于辩证唯物主义社界观的培养与形成°二、使学员掌握数学分析的基本知识、基本理论与基本技能，提高抽象思维、逻辑推理与运算的能力，并认识到数学分析在自然科学与社会科学中的广泛应用。

三、使学员对中学数学的有关内容有较深刻的理性认识，能深入浅出地处理好这些教材内容。

本大纲是在国家教委1990年颁布的《屮学教师进修高等师范专科数学分析教学大纲》基础上修订而成。

本课程课内学时为288学时，其中录像220学吋（学吋分配见下表）。

大纲内容一、函数（-）目的要求1、止确理解和掌握函数概念，了解函数的各种表示法和记号；理解和掌握函数的四则运算与复合，会求函数的定义域；掌握反函数的定义和图象等。

2、理解和掌握有界函数与无界函数、旳调函数、奇函数与偶函数、周期函数等概念。

3、熟练掌握五种基本初等函数的定义与性质，能熟练地绘出它们的草图。

4、了解几个常用的非初等函数的例子。

（二）主要内容1、函数概念（函数概念绝対值不等式定义域值域函数的符号图象函数的各种表示法）2、函数的特性种类（有界函数与无界函数单调函数奇函数与偶函数周期函数）3、函数的四则运算与复合4、反函数（定义存在的充要条件图象）5、基本初等函数（幕函数指数函数对数函数三角函数反三角函数）6、初等函数（基本初等函数初等函数）7、几个非初等函数的例子（整数部分函数小数部分函数符号函数狄里赫勒函数黎曼函数）二、极限（一）目的要求1、理解和掌握数列极限与函数极限的概念，掌握它们的有关性质。

《数学分析》教学大纲一、课程性质、地位和作用《数学分析》是数学与应用数学专业、信息与计算科学专业的最重要的专业基础课和核心必修课。

本课程理论严谨、系统性强。

通过本课程的学习，要使学生掌握数学分析的基本概念、基本理论和基本方法,为学习后继的所有专业课程奠定必要的数学基础。

要通过各个教学环节逐步培养学生严格的逻辑思维能力与推理论证能力，具备熟练的运算能力和技巧，提高建立数学模型，并应用微积分学这一工具解决实际应用问题的能力，为今后从事基础数学和应用数学方面的研究打下扎实的理论基础。

二、课程教学对象、目的和要求本课程适用于数学与应用数学、信息与计算科学等本科专业。

课程教学目的、要求：了解微积分学的基础理论；充分理解微积分学的历史背景及数学思想.掌握微积分学的基本理论, 方法和技巧,并具备一定的分析论证能力和较强的运算能力。

能较熟练地应用微积分学的思想方法解决实际问题。

1、重视微积分学理论的产生离不开物理学，天文学,几何学等学科的发展。

在教学实践中应强化微积分学与相邻学科的联系，强调应用背景。

2、重视相关知识的整合,将一元函数与多元函数的极限,连续及求导(微分）整合，将不定积分与定积分的计算方法整合,将重积分和线面积分整合，将反常级数与反常积分的收敛性整合, 将函数列, 函数项级数和含参量反常积分的一致收敛性整合。

3、除体现本课程严格的逻辑体系外, 要反映现代数学的发展趋势，吸收和采用现代数学的思想观点与先进的处理方法。

４、为了提高学生的数学修养,应重视基本定理的论证。

用ε－δ的思想贯穿于极限的存在性，定积分的存在性，(一致)收敛性及(一致)连续性等理论的论证中。

５、以课堂教学为主, 重视习题课对学生理解掌握所学知识的作用.6、重视实数理论体系对学习微积分学理论和建立现代数学观点的不可或缺的作用。

三、相关课程及关系本课程在大学本科第一、二、三学期开设，是数学与应用数学、信息与计算科学等本科专业的最重要的专业基础课,是所有后继专业课程（如:微分方程、概率论与数理统计、复变函数、实变函数、泛函分析、计算方法、微分方程数值解等等）的基础。

《数学分析》教学大纲《数学分析》教学大纲一、课程概述《数学分析》是数学专业的一门重要基础课，它旨在为学生提供深入的数学分析知识和技能，为后续的高级数学课程打下坚实的基础。

本课程的目标是培养学生的逻辑思维能力、抽象思维能力和解决问题的能力。

二、课程目标1、理解并掌握数学分析的基本概念、原理和方法，包括极限、导数、微分、积分等。

2、理解并掌握数学分析中的一些重要定理和公式，包括微积分基本定理、泰勒定理、格林公式等。

3、培养学生的逻辑思维能力、抽象思维能力和解决问题的能力，使学生能够运用所学的数学分析知识解决复杂的数学问题。

4、培养学生的自学能力，使学生能够自主地学习新的数学分析知识和技能。

三、课程内容1、数列的极限、函数的极限、连续函数、导数、微分、不定积分、定积分、级数、泰勒定理等基本概念和原理。

2、微分中值定理、洛必达法则、泰勒公式、导数的应用、积分的应用、多元函数的微分和积分等进阶内容。

3、一些重要的数学分析方法和技巧，包括无穷级数、瑕积分、傅里叶分析、微分方程等。

4、数学分析在其他领域中的应用，如物理学、计算机科学、经济学等。

四、课程安排本课程分为两个学期，每个学期为36个学时，每个学时为45分钟。

每周安排4个学时，共12周。

五、教学方法本课程采用讲授、演示、练习、讨论等多种教学方法，使学生能够更好地理解和掌握数学分析知识。

六、作业和考试本课程要求学生完成一定数量的作业，包括课堂练习和课外作业。

作业内容主要是针对课堂讲授的知识和技能进行练习和巩固。

考试形式为笔试，考试内容主要是针对学生掌握的数学分析知识和技能进行测试。

七、教师队伍本课程的教师队伍由具有丰富教学经验和深厚数学分析知识的教授和副教授组成，他们将为学生提供全面的教学支持和指导。

八、教学资源本课程将提供各种教学资源，包括教材、参考书籍、网上资料、教学视频等，以帮助学生更好地学习和掌握数学分析知识和技能。

九、课程评估本课程的评估将采用多种方式进行，包括作业、考试、课堂表现等。

《数学分析》课程教学大纲一、教学大纲说明（一）课程的性质、地位、作用和任务《数学分析》是综合性大学数学类各专业一门重要的专业基础课程，是从初等数学到高等数学过渡的桥梁。

本课程所占学分多，跨度大（计划共四个学期），是一门内容丰富而整体性强、思想深刻而方法基本的课程，以经典微积分为主体内容，其中，极限的思想贯穿全课程，它不仅为许多后继课程提供必要的基础知识和基本技能的训练，而且对全面培养学生的现代数学素质以及运用数学思想和方法解决问题的能力起着十分重要的作用。

本课程的任务是使学生系统地掌握极限理论、一元函数微积分学、无穷级数与多元函数微积分学等方面的知识，使学生获得数学思想，数学的逻辑性，严密性方面的严格训练，使学生掌握近代数学的方法、技巧，为后续课程的学习乃至毕业后能胜任相应的实际工作奠定坚实的基础。

（二）教学目的和要求本课程教学目的是通过系统的学习，使学生全面掌握数学分析的基本理论知识，初步掌握现代数学的观点与方法，使学生具备灵活、快捷的运算能力与技巧，培养学生严格的逻辑思维能力与推理论证能力，简洁、清晰运用数学符号和语言的表达能力，提高建立数学模型，并应用微积分这一工具解决实际应用问题的能力。

在教学基本要求上分为三个档次，即了解、理解和掌握。

1、掌握——能联系几何与物理的直观背景，从正反两方面理解基本概念；熟练运用基本理论较进行推理论证和分析问题；熟练运用基本方法、灵活运用基本技巧进行运算和解决应用问题。

包括实数与函数、各类极限、连续、（偏）导数、（全）微分、各类积分、级数和函数项级数的敛散性、幂级数的概念、性质、计算及应用。

2、理解——能从正面理解基本概念；能应用和了解如何证明基本理论；能掌握基本方法解决问题，但不要求很熟练和技巧性。

包括泰勒公式、函数图像的讨论、实数完备性基本定理的内容、证明及应用、一般有理函数的不定积分及万能变换、欧拉变換、隐函数定理的证明、各类敛散问题中的狄利克雷判别法与阿贝尔判别法、傅里叶级数的概念、性质、计算与应用、斯托克斯公式。

《数学分析》课程教学大纲Mathmatical analysis一、课程基本信息1、课程类别：专业基础课2、课程学时：总学时300，3、学分：184、适用专业：5、大纲执笔者：6、修订时间：2013年4月25日二、课程教学目的三、课程教学的基本要求第一章变量与函数了解：常量与变量，无理数与有理数及其基本性质，三角不等式，双曲函数的概念及其性质。

理解：区间与邻域的定义，函数的几何特性（单调性、有界性、奇偶性，周期性）反函数的定义与性质，初等函数。

掌握：函数的定义，复合函数的定义与性质，基本初等函数的概念及其基本性质。

第二章一元函数的极限与连续了解：数列的变化趋势，函数值趋于无穷大的情形。

理解：无穷大（小）量，有界数列和单调数列的概念，无穷小量的性质与运算，单侧极限的定义，无穷小量和无穷大量的阶；单侧连续与区间连续的概念，函数间断点及其分类，基本初等函数的连续性及其初等函数的连续性。

掌握：数列极限定义、性质和运算；函数极限定义、性质和运算；海涅定理，重要极限；连续函数的定义、性质和运算；一致连续的定义，闭区间上连续函数的性质。

第三章 关于实数的基本定理及闭区间上连续函数性质的证明了解：聚点定义与聚点定理，函数极限存在的柯西收敛准则。

理解：子列的定义及其基本性质，确界的定义，覆盖的定义。

掌握：实数的基本定理（确界定理，单调有界必有极限定理，闭区间套定理，致密性定理，有限覆盖定理，柯西收敛准则等）。

闭区间上连函数性质的证明。

第四章 导数与微分了解：了解： 速度与切线等实际问题的瞬时变化率。

理解：单侧导数与区间可导的定义，导函数及其几何意义，反函数的导数，微分的运算法则，不可导之例，高阶微分。

掌握：导数的定义，基本初等函数的导数，求导法则（四则运算，复合运算），微分的定义，隐函数与参数方程表示函数的求导法，高阶导数及其莱布尼兹公式。

第五章 微分基本定理及导数的应用了解：利普希茨条件，指数函数、三角函数、对数函数、幂函数的马克劳林展开式，平面曲线的曲率及计算，方程的近似解（切线法）。

数学分析课程教学大纲（Mathematical Analysis ）课程性质：学科基础课适用专业：数学与应用数学先修课程：高中数学后续课程：复变函数论、实变函数、泛函分析、常微分方程、数学物理方程、微分几何、积分方程、非线性分析总学分：18教学目的与要求：1. 通过本课程的讲授与作业， 应使学生：（1） 对极限思想和方法有较深刻的认识，从而有助于培养学生的辩证唯物主义观点；（2） 正确理解数学的基本概念，基本掌握数学分析中的论证方法，获得较熟练的演算技能和初步应用的能力。

2. 本课程要求总学时数为300学时，其中讲授课约220学时，习题课约80学时。

下面各节标题后所列时数指讲授时数。

3. 本大纲附有课程标准（教学要求），供授课时按学生水平、教学计划实际课时数灵活掌握。

4. 实施本大纲时应密切关注中学数学教材的变化，随时调整教学内容。

一. 实数集与函数（8学时）实数集， Archimedes 性质，区间与邻域。

函数（映射，包括单、满、双射），反函数，复合函数，初等函数，一些特殊类型的函数（奇、偶函数，周期函数，有界函数，单调函数）。

有界数集，确界原理，涉及确界的一些运算，否定。

注：1. “涉及确界的一些运算”指涉及sup(A ∪B ), sup (A + B ), sup(λA )等的一些结果。

2. “否定”指逻辑中关于“和”与“或”、“所有”与“存在”的两个否定法则。

二. 极 限（24学时）收敛数列及其性质，定向发散数列，扩张的实数系。

单调数列的极限，n n n)11(lim +。

闭区间套定理，数集的聚点及聚点定理，数列的极限点与收敛子列定理，数列的Cauchy 准则，*数列的上、下极限。

函数的极限及其性质Heine 定理，单调函数的极限，函数极限的Cauchy 准则，x x x sin lim 0→, x x x)11(lim +∞→, 复合函数的极限，无穷小量、无穷大量及其阶。

注：1. 注意收敛数列与定向发散数列、数列极限与函数极限在处理上的一致性。

《数学分析》教学大纲数学分析教学大纲一、集合映射与函数(学时)实数概念、绝对值不等式、区间与邻域、有界集、确界与确界原理、函数概念、函数的几种表示法（解析法、列表法和图像法等），函数的四则运算、复合函数、反函数、基本初等函数、。

闭定义，函数在一点的连续性、单侧连续性、间断点及其分类。

在区间上连续的函数，连续函数的局部性质——有界性、保号性。

连续函数的四则运算。

复合函数的连续性。

闭区间上连续函数的性质——有界性、取得最大值最小值性、介值性、一致连续性、反函数的连续性，初等函数连续性。

六、导数和微分(学时)引入问题（切线问题与瞬时速度问题）。

导数定义，单侧导数、导函数、导数的几何意义、费马( )定理。

和、积、商的导数、反函数的导数、复合函数的导数、初等函数的导数、参变量函数的导数、高阶导数、微分概念、微分的几何意义、微分的运算法则、一阶微分形式不变性、微分在近似计算中的应用，高阶微分。

七、微分中值定理及其应用（学时）柯西（）中值定理，不定式极限，洛比达（'）法则，泰勒（）定理。

（泰勒公式及其皮亚诺余项与拉格朗日余项）。

近似计算，极值、最大值与最小值。

曲线的凸凹性。

拐点，函数图的讨论。

方程近似解 * 。

八、不定积分（学时）式判别法、积分判别法、拉贝（）判别法 * 。

一般项级数的绝对收敛与条件收敛，交错级数，莱布尼茨判别法，狄利克雷（）判别法，阿贝尔（）判别法。

绝对收敛级数的重排定理。

十三、函数列与函数项级数（学时）函数列与函数项级数的收敛与一致收敛概念，一致收敛的柯西准则。

函数项级数的维尔斯特拉斯（）优级数判别法，狄利克雷（）判别法，阿贝尔（）判别法，函数列极限函数与函数项级数和的连续性、逐项积分与逐项求导。

十四、幂级数（学时）幂级数的收敛半径与收敛区间，一致收敛性、连续性、逐项积分与逐项求导，幂级数的四则运算。

泰勒级数、泰勒展开的条件，初等函数的泰勒展开、近似计算、复变量指数函数与欧拉（）公式 * 。

《数学分析》课程教学大纲Mathmatical analysis一、课程基本信息1、课程类别：专业基础课2、课程学时：总学时300，3、学分：184、适用专业：5、大纲执笔者：6、修订时间：2013年4月25日二、课程教学目的三、课程教学的基本要求第一章变量与函数了解：常量与变量，无理数与有理数及其基本性质，三角不等式，双曲函数的概念及其性质。

理解：区间与邻域的定义，函数的几何特性（单调性、有界性、奇偶性，周期性）反函数的定义与性质，初等函数。

掌握：函数的定义，复合函数的定义与性质，基本初等函数的概念及其基本性质。

第二章一元函数的极限与连续了解：数列的变化趋势，函数值趋于无穷大的情形。

理解：无穷大（小）量，有界数列和单调数列的概念，无穷小量的性质与运算，单侧极限的定义，无穷小量和无穷大量的阶；单侧连续与区间连续的概念，函数间断点及其分类，基本初等函数的连续性及其初等函数的连续性。

掌握：数列极限定义、性质和运算；函数极限定义、性质和运算；海涅定理，重要极限；连续函数的定义、性质和运算；一致连续的定义，闭区间上连续函数的性质。

第三章 关于实数的基本定理及闭区间上连续函数性质的证明了解：聚点定义与聚点定理，函数极限存在的柯西收敛准则。

理解：子列的定义及其基本性质，确界的定义，覆盖的定义。

掌握：实数的基本定理（确界定理，单调有界必有极限定理，闭区间套定理，致密性定理，有限覆盖定理，柯西收敛准则等）。

闭区间上连函数性质的证明。

第四章 导数与微分了解：了解： 速度与切线等实际问题的瞬时变化率。

理解：单侧导数与区间可导的定义，导函数及其几何意义，反函数的导数，微分的运算法则，不可导之例，高阶微分。

掌握：导数的定义，基本初等函数的导数，求导法则（四则运算，复合运算），微分的定义，隐函数与参数方程表示函数的求导法，高阶导数及其莱布尼兹公式。

第五章 微分基本定理及导数的应用了解：利普希茨条件，指数函数、三角函数、对数函数、幂函数的马克劳林展开式，平面曲线的曲率及计算，方程的近似解（切线法）。

《数学分析》教学大纲(288学时,16学分)一、课程目标1、课程性质数学分析是数学系的一门重要基础课，它是一系列后继课程如微分方程，微分几何，复变函数，实变函数，泛函分析，概率论以及相关课程如普通物理，理论力学等不可缺少的基础。

学习这门课程的基本内容与方法对于培养学生的分析思维能力与实际工作能力有着重要的作用。

本课程的基本内容包括：实数与极限理论，一元及多元函数的微分学与积分学，级数理论。

2、教学方法:课堂讲授和练习结合为主3、课程学习目标和基本要求通过教学与练习，要求学生掌握微积分的基本概念，基本理论,基本思想方法和基本运算，并获得运用这些知识的能力。

4、课程学时：本课程的安排三学期授课，分为数学分析(上)、(中)、(下)，总学时为90+108+90，学分为5+6+55、课程类型：专业基础课二．教学内容1、集合与映射：集合、子集、余集，集合的并、交、差，集合运算的交换律、结合律、分配律，笛卡儿乘积，映射、满射、单射、双射、逆映射，像与逆像，映射的复合，映射的限制与延拓，一元函数，函数的四则运算与复合以及反函数，函数的图象，初等函数，函数的单调性、有界性、周期性与凸性。

2、极限与连续：数列极限的定义，数列极限的唯一性，收敛数列的有界性，极限的四则运算，极限的不等式，单调有界原理，数e，无穷小量与无穷大量，函数极限的定义，与数列极限性质相平行的函数极限的性质，函数极限与数列极限的关系，单侧极限与无穷远处的极限，复合函数的极限，两个重要的极限，无穷小量与无穷大量的阶，函数的连续与间断，单侧连续，函数连续的局部性质，连续函数的四则运算，反函数与复合函数的连续性。

间断点的分类，初等函数的连续性，函数连续的整体性质。

一致连续的概念和cantuo定理.3、导数与微分：导数及其几何意义，导数的四则运算，反函数与复合函数的求导，参数方程所表示的函数与隐函数的求导，基本初等函数的导数，可导与连续的关系，单侧导数，高阶导数，Leibniz公式。

《数学分析》教学大纲学时数:256一、课程性质和目的本课程是数学与应用数学专业的一门重要基础课。

本课程的教学目的是使学生较系统地掌握数学分析的基础理论和基础知识，能熟练地进行基本运算，具有较强的分析论证能力、能深入理解和分析处理，中学教学教材，具备一定解决实际问题的能力，培养创新意识，为学习后续课程打下基础。

二、课程教学内容与基本要求第一学期（78学时）第一章变量与函数（讲授3课时，习作1课时，共4学时）掌握变量与函数（包括复合函数、反函数、基本初等函数）的概念及基本性质。

作业量：§1的1/4；§2, §3，的1/2。

重点：各类函数定义及性质。

（难点：严格单调函数的反函数也严格单调定理）第二章极限与连续（讲授26课时，习作14课时，共40学时）掌握数列极限定义及性质、无穷大（小）量概念极其运算；掌握函数极限定义及性质；掌握连续函数的定义、性质及函数间断点的分类。

作业量：课后习题的3/4。

重点：“ε—N”，“ε—δ”定义的掌握与应用（难点：“ε—N”，“ε—δ”定义的理解与应用）阶段考试（2学时）：笔试。

第四章导数与微分（讲授6学时，习作4学时，共10学时）理解导数与微分的意义，掌握导数与微分的定义及基本公式、运算法则；掌握高阶导数与高阶微分及不可导之例。

掌握反函数、复合函数、隐函数及参数方程表示函数的求导法及微分法。

作业量：课后习题之4/5重点：求导数、求微分（难点：分段函数分段点处的到数，高阶导数）第五章微分基本定理及其应用（讲授16学时，习作8学时，共24学时）掌握微分基本定理及其证明，掌握该定理的各种应用，掌握用导数研究函数用解决实际问题的方法，掌握各种不定型极限求值。

作业量：§1的全部，§2的2/3，§3的3/4，§4的1/2，§5的全部重点：各种应用（难点：证明）期末考试笔试：（统一安排）第二学期（92学时）第三章关于实数的基本定理及闭区间上连续函数性质的证明（讲授16学时，习作8学时，共24学时）掌握子例定义，上（下）界定义，新闻实数的基本定理（确界定理，单调有界必有极限定理，闭区间套定理，致密性定理，有限覆盖定理，柯西准则等）。