两角和与差的正弦、余弦与正切公式1

1 两角和与差的正弦、余弦与正切公式

命题特点：1.利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行三角函数式的化简、求值是高考常考的点．2.公式逆用、变形应用是高考热点．3.考查通常以容易题和中档题为主.

教学目标：

1.掌握公式正用、逆用、变形应用，了解公式的正用、逆用以及角的变换的常用方法；

2.培养学生的数学运算、逻辑推理、逆向思维等素养。

教学重难点：

重点：公式的运用与变换 难点：公式的变换

[知识储备]

1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式

sin(α＋β)＝ sin(α－β)＝

cos(α＋β)＝ cos(α—β)＝

tan(α＋β)＝ ，（α，β，α＋β≠kπ＋π2(k∈Z) 且tan α·tan β≠1）

tan(α－β)＝ ，（α，β，α－β≠kπ＋π2(k∈Z)且tan α·tan β≠－1）

2．二倍角的正弦、余弦、正切公式

sin 2α＝ cos 2α＝ ＝ ＝

tan 2α＝

3.公式的变形：（1）tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β) ； (2)1－tan αtan β＝)tan(tantan；

(3)tan α＋tan β＋tan α·tan β·tan(α＋β)＝tan(α＋β)； (4)tan α·tan β＝1－)tan(tantan；

(5)2sin ，2cos

(6)sin αcos α＝12sin 2α ， 1±sin 2α＝

4．重要结论－辅助角公式

y＝asin x＋bcos x＝a2＋b2sin(x＋φ) （a，b不同时为0）

其中tan φ＝ba，cosφ＝aa2＋b2，sinφ＝ba2＋b2.

或asin x＋bcos x＝a2＋b2·cos(x－φ)，其中tan φ＝ab.

推导分析：asin x＋bcos x

＝a2＋b2aa2＋b2sin x＋ba2＋b2cos x，

令cos φ＝aa2＋b2，sin φ＝ba2＋b2，则 2 asin x＋bcos x＝a2＋b2(sin xcos φ＋cos xsin φ)＝a2＋b2sin(x＋φ)

(其中φ角所在象限由a，b的符号确定，φ角的值由tan φ＝ba确定，或由sin φ＝ba2＋b2和cos φ＝aa2＋b2共同确定)．

教学过程：

题组一

1、（1）（2018全国Ⅲ）sin α＝31，则cos2α＝

（2）3sinsin6sincos

A．21 B. 21 C. 23 D. 23

（3）（2017北京，理12）在平面直角坐标系xoy中，角α与角β均以o x为始边，它们的终边关于y轴对称，若sinα＝31，则 cos(α－β)＝

[解题心得]

利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行三角函数式的化简、求值要遵循“三看”原则:

一看角

二看函数名称

三看结构特征

对点训练1：（1）已知sin α＝35，α,2，则4sin22cos＝________.

（2）（2017江苏，5）若tan（α－4）＝61，则tan α＝________.

题组二

2、（1）sin(65°－x)cos(x－20°)＋cos( 65°－x)cos(110°－x)的值为（ ）

A．2 B.

22 C. 21 D.

23

（2）已知sin α+cosα＝31 , 则sin2(4－α)=(

)

A．181 B.

1817 C.

98 D. 92 3 (3) 已知△ABC中，若tan Atan B=tan A+tan B+1，则cosC的值为( )

A．22 B.

22 C. 21 D. 21

[解题心得]

对点训练2：（1）（2015全国Ⅰ）化简sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°=

（2）若tanθ＝31，则cos2θ＝________.

（3）在△ABC中，已知三个内角A，B，C成等差数列，则tan2A+ tan2C+ 3tan2Atan2C 的值为

题组三

3、（1）若0<α<2，2<β<0，314cos，3324cos，则2cos等于（ ）

A．33 B.

33 C.

935 D.

96

（2）912cos，322sin，且2，20，则cos＝

[解题心得]

常见角的变换有：

①α＝（α－β）＋β； ②α＝α＋β2＋α－β2；

③2α＝（α＋β）＋（α－β）； ④2β＝（α＋β）－（α－β）

对点训练3：（1）设锐角α，β满足55cos，53sin则cosβ的值为( )

A．2552 B.

552 C.

5522552或 D.

25555或

（2）（2017广东、江西、福建十校联考）已知锐角α，β满足552cos，53sin则sin β的值为

4 巩固练习：

1、sin 20°sin 80°－cos 160°cos 80°＝________.

2、已知sinπ3＋α＝1213，α∈π6，2π3，求cos α的值.

3、tan 67°－tan 22°－tan 67°tan 22°＝________.

4、(2016·全国卷Ⅱ)若cos（α－4）＝35，则sin 2α＝

5、(2018·全国卷Ⅱ)已知sinα+cosβ=1，cos α+sinβ=0，则sin(α+β)＝________.

6、已知角α，β均为锐角，且cos α＝35，tan(α－β)＝－13，则tan β＝________.

7、设sin 2α＝－sin α，α∈π2，π，则tan 2α的值是________.

8、若tanπ3－α＝3，则tan α的值为________

9、已知cos α＝55，cos β＝35，其中α，β都是锐角，求tan(α＋β)的值.

10、(1)已知sin α－sin β＝1－32，cos α－cos β＝12，则cos(α－β)＝( )

A．－32 B．－12 C．12 D．32

(2)已知sinπ3＋α＝1213，α∈π6，2π3，求cos α的值.

变式：1.将 (2)的条件改为“sinα＋π4＝45，且π4<α<3π4”， 求cos α的值

2．将 (2)的条件改为“sinπ3－α＝－1213，α∈π6，5π6”，求cosα－π12的值．

[反思]