两角和与差的正弦、余弦与正切公式

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珍贵文档 3．5 两角和与差的正弦、余弦与正切公式

[知识梳理]

1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式

(1)C(α∓β)：cos(α∓β)＝cosαcosβ±sinαsinβ.

(2)S(α±β)：sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ.

(3)T(α±β)：tan(α±β)＝tanα±tanβ1∓tanαtanβα，β，α±β≠π2＋kπ，k∈Z.

2．二倍角的正弦、余弦、正切公式

(1)S2α：sin2α＝2sinαcosα.

(2)C2α：cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.

(3)T2α：tan2α＝2tanα1－tan2α

α≠±π4＋kπ，且α≠kπ＋π2，k∈Z.

3．公式的常用变形

(1)tanα±tanβ＝tan(α±β)(1∓tanαtanβ)．

(2)cos2α＝1＋cos2α2，sin2α＝1－cos2α2.

(3)1±sin2α＝(sinα±cosα)2，

sinα±cosα＝2sinα±π4.

(4)asinα＋bcosα＝a2＋b2sin(α＋φ)，其中cosφ＝aa2＋b2，sinφ＝ba2＋b2，tanφ专业文档

珍贵文档 ＝ba(a≠0)．

特别提醒：(1)角：转化三角函数式中往往出现较多的差异角，注意观察角与角之间的和、差、倍、互补、互余等关系，运用角的变换，化多角为单角或减少未知角的数目，连接条件角与待求角，使问题顺利获解．对角变换时：①可以通过诱导公式、两角和与差的三角公式等；②注意倍角的相对性；③注意拆角、拼角技巧，例如，2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，β＝α＋β2－α－β2＝(α＋2β)－(α＋β)，α－β＝(α－γ)＋(γ－β)，15°＝45°－30°，π4＋α＝π2－π4－α等．

(2)将三角变换与代数变换密切结合：三角变换主要是灵活应用相应的三角公式，对于代数变换主要有因式分解、通分、提取公因式、利用相应的代数公式等，例如，sin4x＋cos4x＝(sin2x＋cos2x)2－2sin2xcos2x＝1－12sin22x.

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珍贵文档 [诊断自测]

1．概念思辨

(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的．( )

(2)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sinα＋sinβ成立．( )

(3)在锐角△ABC中，sinAsinB和cosAcosB大小关系不确定．( )

(4)公式tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ可以变形为tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)，且对任意角α，β都成立．( )

答案 (1)√ (2)√ (3)× (4)×

2．教材衍化

(1)(必修A4P131T5)sin20°cos10°－cos160°sin10°＝( )

A．－32 B.32 C．－12 D.12

答案 D

解析 原式＝sin20°cos10°＋cos20°sin10°＝sin(20°＋10°)＝sin30°＝12，故选D.

(2)(必修A4P146A组T3)已知tanα＋π6＝12，tanβ－π6＝13，则tan(α＋β)＝________.

答案 1

解析 ∵α＋β＝α＋π6＋β－π6，

∴tan(α＋β)＝tanα＋π6＋tanβ－π61－tanα＋π6tanβ－π6＝12＋131－16＝1.

3．小题热身

(1)sin7°＋cos15°sin8°cos7－sin15°sin8°的值为( )

A．2＋3 B．2－3 C．2 D.12

答案 B

解析 原式＝sin15°－8°＋cos15°sin8°cos15°－8°－sin15°sin8° 专业文档

珍贵文档 ＝sin15°cos8°cos15°cos8°＝tan15°＝tan(45°－30°)＝tan45°－tan30°1＋tan45°tan30°

＝1－331＋33＝3－13＋1＝2－3.故选B.

(2)若sin(α－β)sinβ－cos(α－β)cosβ＝45，且α是第二象限角，则tanπ4＋α等于( )

A．7 B．－7 C.17 D．－17

答案 C

解析 ∵sin(α－β)sinβ－cos(α－β)cosβ＝45，

∴cosα＝－45.

又α是第二象限角，∴sinα＝35，则tanα＝－34.

∴tanπ4＋α＝tanπ4＋tanα1－tanπ4tanα＝1－341＋34＝17.故选C.

题型1 求值问题

典例 已知cosπ4＋x＝35，若17π12

本题采用“函数转化法”．

解 由17π12

又cosπ4＋x＝35，所以sinπ4＋x＝－45，所以cosx＝cosπ4＋x－π4＝cosπ4＋xcosπ4＋sinπ4＋xsinπ4＝35×22－45×22＝－210， 专业文档

珍贵文档 从而sinx＝－7210，tanx＝7.

则sin2x＋2sin2x1－tanx＝2sinxcosx＋2sin2x1－tanx

＝2－7210·－210＋2－721021－7＝－2875.

方法技巧

三角恒等变换的变“角”与变“名”问题的解题思路

1．角的变换：明确各个角之间的关系(包括非特殊角与特殊角、已知角与未知角)，熟悉角的拆分与组合的技巧，半角与倍角的相互转化．

2．名的变换：明确各个三角函数名称之间的联系，常常用到同角关系、诱导公式，把正弦、余弦化为正切，或者把正切化为正弦、余弦．

冲关针对训练

已知锐角α，β满足sinα＝55，cosβ＝31010，则α＋β等于( )

A.3π4 B.π4或3π4

C.π4 D．2kπ＋π4(k∈Z)

答案 C

解析 由sinα＝55，cosβ＝31010，且α，β为锐角，可知cosα＝255，sinβ＝1010，

故cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝255×31010－55×1010＝22，又0

题型2 三角恒等变换的综合应用

角度1 研究三角函数的性质

典例 (2017·临沂一模)已知函数f(x)＝4sinx－π3cosx＋3. 专业文档

珍贵文档 (1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；

(2)若函数g(x)＝f(x)－m在0，π2上有两个不同的零点x1，x2，求实数m的取值范围，并计算tan(x1＋x2)的值．

本题采用转化法、数形结合思想．

解 函数f(x)＝4sinx－π3cosx＋3，

化简可得f(x)＝2sinxcosx－23cos2x＋3

＝sin2x－2312＋12cos2x＋3

＝sin2x－3cos2x

＝2sin2x－π3.

(1)函数的最小正周期T＝2π2＝π，

由2kπ－π2≤2x－π3≤2kπ＋π2时单调递增，

解得kπ－π12≤x≤kπ＋5π12(k∈Z)，

∴函数的单调递增区间为kπ－π12，kπ＋5π12，k∈Z.

(2)函数g(x)＝f(x)－m在0，π2上有两个不同的零点x1，x2，转化为函数f(x)与函数y＝m有两个交点．

令u＝2x－π3，∵x∈0，π2， 专业文档

珍贵文档 ∴u∈－π3，2π3

可得f(x)＝2sinu的图象(如图)．

由图可知：m在[3，2)，函数f(x)与函数y＝m有两个交点，其横坐标分别为x1，x2.

故得实数m的取值范围是m∈[3，2)，

由题意可知x1，x2是关于对称轴是对称的：

那么函数在0，π2的对称轴为x＝5π12，

∴x1＋x2＝5π12×2＝5π6.

那么tan(x1＋x2)＝tan5π6＝－33.

方法技巧

三角函数综合性试题涉及三角函数的性质研究．首先将三角函数化为f(x)＝Asin(ωx＋φ)的形式，在转化过程中需要三角恒等变换．如典例．这是高考的重点题型．

冲关针对训练

(2017·河北区二模)已知函数f(x)＝sinx－π6＋cosx.

(1)求函数f(x)的最小正周期；

(2)若α是第一象限角，且fα＋π3＝45，求tanα－π4的值．

解 (1)f(x)＝sinx－π6＋cosx

＝32sinx－12cosx＋cosx

＝32sinx＋12cosx

＝sinx＋π6， 专业文档

珍贵文档 所以函数f(x)的最小正周期为T＝2π1＝2π.

(2)由于f(x)＝sinx＋π6，

则fα＋π3＝sinα＋π2＝cosα＝45，

由于α是第一象限角，

所以sinα＝35，

则tanα＝34，

则tanα－π4＝tanα－11＋tanα＝－17.

角度2 三角恒等变换与向量的综合

典例 (2017·南京三模)已知向量a＝(2cosα，sin2α)，b＝(2sinα，t)，α∈0，π2，t为实数．

(1)若a－b＝25，0，求t的值；

(2)若t＝1，且a·b＝1，求tan2α＋π4的值．

本题采用向量法、平方法．

解 (1)向量a＝(2cosα，sin2α)，b＝(2sinα，t)，α∈0，π2，t为实数．

若a－b＝25，0，则(2cosα－2sinα，sin2α－t)＝25，0，

可得cosα－sinα＝15，

平方可得sin2α＋cos2α－2cosαsinα＝125，

即为2cosαsinα＝1－125＝2425(cosα>0，sinα>0)，

由sin2α＋cos2α＝1，

解得cosα＋sinα＝cosα－sinα2＋4sinαcosα

＝125＋4825＝75，