大一高数期末复习课提纲(很有用)
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⎧ x = ϕ ( t ) 参数方程 ⎨ 求导数： ⎩ y = ψ ( t ) dy dy dt ψ ʹ′( t ) = = dx dx ϕ ʹ′( t ) dt ψ ʹ′( t ) dy d( ) d( ) dy ϕ ʹ′( t ) d x d( ) 2 d y d x = dt dt = = 2 dx dx dx dx dt dt
x = –1为第一类可去间断点
f ( x) = ∞ , x = 1, lim x→ 1
x = 1为第二类无穷间断点
x = 0, lim+ f ( x ) = −1 , lim− f ( x ) = 1 .
x→ 0 x→ 0
x = 0为第一类跳跃间断点
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例 求y =
2 −1
1 x
1 x
2 +1 并判断其类型.
x x n x ln(1 + x ) = x − + − ! + ( −1) + o( x n+1 ) 2 3 n+1
2
3
n+1
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1 2 n n = 1 + x + x + ! + x + o( x ) 1− x m( m − 1) 2 (1 + x ) = 1 + mx + x +! 2! m( m − 1)!( m − n + 1) n n + x + o( x ) n!
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(1 + x ) sin x 的间断点, 例求 f ( x) = 并判别其类型. x ( x + 1)( x − 1)
解 x = −1, x = 1, x = 0是间断点,
1 (1 + x ) sin x = sin 1 , x = −1, xlim → −1 x ( x + 1)( x − 1) 2
当 x → 0, etan x −sin x − 1 ~ tan x − sin x , 1 tan x − sin x 故 原式 = lim sin x tan x − sin x 2 x → 0 e (e − 1) 1 tan x − sin x 1 = lim sin x = 2 x →0 e (tan x − sin x ) 2
第一章
极限存在准则
极限与连续
⎧单调有界必有极限 ⎨ ⎩ 夹逼定理
sin x =1 ⎧ lim ⎪ x →0 x 两类重要极限 ⎨ 1 x ⎪ lim (1 + ) = e ⎩ x →∞ x
有限个无穷小的和,积仍是无穷小 ⎧ 无穷小⎧性质⎨ ⎩ 无穷小与有界量的积仍是无穷小 ⎪ 与 ⎨ 无穷大⎪ ⎩比较 (高 阶, 低 阶, 同 阶, 等 价,
3
2
(1) 消去零因子法; (2) 同除最高次幂; (3) 通分; (4) 同乘共轭因式; (5) 利用无穷小运算性质 (6) 复合函数求极限法则 函 数 (7) 利用左、右极限求分段函数极限; 极 限 (8) 利用夹逼定理; 的 (9) 利用两类重要极限; 求 法 (10) 利用等价无穷小代换; (11) 利用连续函数的性质(代入法); (12) 利用洛必达法则. 洛必达法则+等价无穷小代换 洛必达法则+变上限积分求导
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1 + tan x − 1 + sin x 例 lim tan x sin x x →0 e −e tan x − sin x = lim x →0 ( 1 + tan x + 1 + sin x )(e tan x − esin x )
tan x − sin x 1 tan x − sin x 1 = lim sin x tan x − sin x = lim tan x sin x 2 x → 0 e (e − 1) 2 x →0 e −e
1 + sin( x − 1) sin 的间断点, x −1
解 : 可知 x = 0，x = 1是可能的间断点. (1) 在x = 0处，
x →0 2 2 lim y = − 1 + sin ( − 1 ) ， lim y = 1 + sin ( −1) − + x →0
因在x = 0处的左右极限都存在, 但不相等， 所以x = 0为函数的第一类间断点, 且是跳跃间断点.
f ʹ′( x ) > 0, 则 f ( x )在x0处取极小值.
( c ) 若 f ( x )在邻域 U ( x0 )内 符号相同, 则 f ( x )在x0处无极值.
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定理(第二充分条 件) 设 f ( x )在 x0 处具有二阶导数 , 且 f ʹ′( x0 ) = 0, f ʹ′ʹ′( x0 ) ≠ 0, 则
a (1 − cos x ) x2 1,
x<0
x=0 x>0
ln( b + x 2 ) ,
在x = 0连续,则a=
−
2
,b=
e .
a (1 − cos x ) a = 提示: f ( 0 ) = lim− 2 x→0 2 x
f (0+ ) = lim+ ln (b + x 2 ) = ln b
x →0
( a) 当 f ʹ′ʹ′( x0 ) < 0, f ( x )在 x0 处取得极大值 , ( b) 当 f ʹ′ʹ′( x0 ) > 0, f ( x )在 x0 处取得极小值 .
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求极值的步骤:
a. 求导数 f ʹ′( x); b. 求驻点(方程 f ʹ′( x) = 0 的根) 及 f ʹ′( x)不存在 的点. c. 检查 f ʹ′( x) 在b中所有点左右的正负号, 或 f ʹ′ʹ′( x) 在该点的符号, 判断极值点. d . 求极值.
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常用函数的麦克劳林公式
2 n+1 x 3 x5 x sin x = x − + − ! + ( −1)n + o( x 2 n+2 ) 3! 5! ( 2n + 1)! 2n x 2 x4 x6 x n 2n cos x = 1 − + − + ! + ( −1) + o( x ) 2! 4! 6! ( 2n)!
m
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洛必达法则
∞ 0 型 基本类型： 型, ∞ 0 变型 : 0 ⋅ ∞, ∞ − ∞, 00 , 1∞ , ∞0型 f ( x) f ʹ′( x ) 法则： lim = lim . g( x ) gʹ′( x )
注 (1) 当上式右端极限存在时, 才能用此法则, (2) 在求极限过程中,可能要多次使用此法则, (3) 在使用中, 要进行适当的化简, (4) 在使用中, 注意和其它求极限方法相结合.
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渐近线的求法
(a) 水平渐近线 若函数 f ( x)满足 lim f ( x ) = a,
x →∞ ( −∞ , +∞ )
则函数 f ( x)的曲线有水平渐近线 y = a. (b) 垂直渐近线 若函数 f ( x)满足 lim f ( x ) = ∞,
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第三章
微分中值定理及其应用
⎧ ⎧ 罗尔定理 ⎪ ⎪拉格朗日中值定理 ⎪ ⎪ 中值定理 ⎨ ⎪ 柯西中值定理 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ 泰勒定理 (泰勒公式 ,麦克劳林公式) ⎨ 0 ∞ ⎪ ∞ 洛必达法则 ( 计算 , , ∞ − ∞ , 1 等未定型极限 ) ⎪ 0 ∞ ⎪ ⎪ ⎧ 证明不等式 ⎪中值定理的应用 ⎨ ⎪ ⎩ 讨论方程根的存在与个数 ⎩
lim
x +1 = 1. x
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x → x0 ⎧连续的定义 ⎧ ⎨ ⎪ ⎩左连续、右连续 ⎪ ⎪ ⎧ 第一类间断 (可去型, 跳跃 ⎪ ⎪ 间断点的分类 ⎪ ⎨ ) ⎨ ( 无穷型 , 振荡 ⎪ 第二类间断 型 ⎪ ⎩ ⎪ 型) ⎧ 最大,最小值定理 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 闭区间连续函数的性质 ⎪ ⎨ 有界性 ⎩ ⎪ ⎪ ⎩ 介值定理, 零点定理
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⎧ ⎪ ⎧函数的单调性 (利用导数判断) ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 驻点 ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 函 ⎪ 函数的极值 ⎨ 极值存在的必要条件 ⎪ ⎪ 数 ⎪ ⎪ ⎩ 极值存在的充分条件 ⎪ ⎨ ⎨ 性 ⎪ ⎪ 凹凸性和判别法) ⎪ 态 ⎪函数的凹凸性 (拐 ⎪ ⎪ 点, ⎪函数的最大最小值 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 函数的渐近线 (水 垂直) ⎪ ⎩ ⎪ 平 , ⎪ ⎩
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( 2) 在x = 1处，
1 1 lim y = lim[ 1 + sin( x − 1) sin ]= x →1 x →1 x −1 3 x 2 +1 2 −1
1 x
即在x = 1处函数的左右极限都存在且相等， 所以x = 1是函数的第一类间断点, 且是可去间断点.
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例 设函数
f ( x) =
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带Peano型余项的泰勒公式
设 f ( x ) 在含 x0 的区间( a, b)内有 n 阶连续
导数, 则对于 x ∈ (a, b), 有
f ʹ′ʹ′( x0 ) 2 ʹ′ f ( x ) = f ( x0 ) + f ( x0 )( x − x0 ) + ( x − x0 ) 2
f ( n ) ( x0 ) + !+ ( x − x0 )n + o[( x − x0 )n ]. 2
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定理(第一充分条 设 f ( x )在邻域U ( x0 )内, 件) ( a) 当 x < x0 , 有 f ʹ′( x) > 0; 而当 x > x0 , 有
f ʹ′( x ) < 0, 则 f ( x )在x0处取极大值.
( b) 当 x < x0 , 有 f ʹ′( x) < 0; 而当 x > x0 , 有
