第四章随机变量的数字特征单元测试题
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随机变量的数字特征章节测试题
一、选择题(本大题共15个小题，每小题2分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知随机变量X满足D(X)＝2，则D(3X＋2)＝( )
A．2 B．8 C．18 D．20
2．设服从二项分布X～B(n，p)的随机变量X的均值与方差分别是15和454，则n、p的值分别是(
)
A．50，14 B．60，14 C．50，34 D．60，34.
3．某次语文考试中考生的分数X～N(90,100)，则分数在70～110分的考生占总考生数的百分比是( )
A．68.26% B．95.44% C．99.74% D．31.74%
4．某市期末教学质量检测，甲、乙、丙三科考试成绩近似服从正态分布，则由如图曲线可得下列说法中正确的是（ ）
Ａ．甲学科总体的方差最小
Ｂ．丙学科总体的均值最小
Ｃ．乙学科总体的方差及均值都居中
Ｄ．甲、乙、丙的总体的均值不相同
5．设随机变量X和Y独立同分布，若记随机变量,UXYVXY，则随机变量U与V必然（ ）
Ａ．不独立 Ｂ．独立 Ｃ．相关系数不为零
Ｄ．相关系数为零
6．若X是离散型随机变量，P(X＝x1)＝23，P(X＝x2)＝13，且x1＜x2.又已知E(X)＝43，D(X)＝29，则x1＋x2的值为( )
A.53 B.73 C.113 D．3
7．已知X为随机变量，且E(X), D(X)均存在，则下列式子不成立的是( )
.[()]().[()]2().[()]0.[()]()AEEXEXBEXEXEXCEXEXDDEXEX 8．设随机变量X服从[,]ab上的均匀分布，若1()2,()3EXDX，则均匀分布中的常数,ab的值分别为( )
.1,3.1,2.2,3.2,2AabBabCabDab
9．设X服从参数为1的指数分布，且2XYXe，则()()EY
3411....4343ABCD
10．设,XY为两个任意的随机变量，若()()()EXYEXEY，则( )
.()()().()()()..ADXYDXDYBDXYDXDYCXYDXY和相关和相互独立
11.设随机变量12,,,(1)nXXXn独立同分布，且方差为20，令11niiYXn，则(
)
22112211.Cov(,).Cov(,)21.().()AXYBXYnnnCDXYDDXYnn
12.设随机变量X和Y的方差存在且不等于0，则()()()DXYDXDY是X和Y( )
A.不相关的充分条件，但不是必要条件
B.独立的充分条件，但不是必要条件
C.不相关的充分必要条件
D.独立的充分必要条件
13．设二维随机变量(,)XY服从二维正态分布，则随机变量XY与XY不相关的充分必要条件是( )
2222222222.()().()[()]()[()].()().()[()]()[()]AEXEYBEXEXEYEYCEXEYDEXEXEYEY
14. 设随机变量X和Y都服从正态分布，且它们不相关，则( )
..(,)..AXYBXYCXYDXY与一定独立服从二维正态分布与未必独立服从一维正态分布
15. 设随机变量(,1,2,,;2)ijXijnn独立同分布，并且()2ijEX，则行列式111212122212nnnnnnXXXXXXYXXX的数学期望()EY( )
.2.0.1.2ABCD
二、填空题(本大题共10个小题，每小题２分，共20分．)
1．将一颗骰子连掷100次，则点6出现次数X的均值E(X)＝________.
2．一离散型随机变量X的概率分布列为
X 0 1 2 3
P 0.1 a b
0.1
且E(X)＝1.5，则a－b＝________.
3．设随机变量X与Y相互独立，X的密度函数为22,0()0xXexfx其他，Y分布律为33{},0,1,2,!kePYkkk，且32ZXY，则 D(Z) =________．
4.设2(),()(0)EXDX，则由切比雪夫不等式{3}PX________．
5．若~(0,1),~(3,4)XNYN，且X与Y相互独立，则2X+ Y ~ ________．
6．设随机变量123,,XXX相互独立，其中2123~(0,6),~(0,2),~(3)XUXNXP，若记12324YXXX，则()EY________．
7．设X服从参数为2的指数分布，则2()EX________．
8．设随机变量X的密度函数为sin(0)()0().axxfx，其他，则()DX________．
9．投掷一枚均匀的硬币100次，设随机变量X表示出现正面的次数，试用切比雪夫不等式估计概率(0.40.6)100XP________．
10．设二维随机变量(,)XY服从二维正态分布22(1,1;3,3;0.5)N，令随机变量ZXY，则协方差Cov(,)XZ________．
三、解答题(本大题共10个小题，共50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
1．袋中有5个大小相同的小球，其中1个白球和4个黑球，每次从中任取一球，每次取出的黑球不再放回去，直到取出白球为止．求取球次数X的均值和方差．
2．已知连续型随机变量X的分布函数为 0,0,()04,41,4.xxFxxx
求()EX和()DX．
3．某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品，制作过程必须先后经过两次烧制，当第一次烧制合格后方可进进入第二次烧制，两次烧制过程相互独立．根据该厂现有技术水平，经过第一次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.5、0.6、0.4，经过第二次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.6、0.5、0.75，
Ⅰ.求第一次烧制后恰有一件产品合格的概率；
Ⅱ.经过前后两次烧制后，合格工艺品的个数为X，求随机变量X的均值．
4．设随机变量X的概率密度为cos,0()20,xxfx其他，令随机变量2=YX，试求()DY.
5. 设随机变量,,XYZ互不相关，且222()5,()10,()6DXDYDZ，令随机变量,UXYVYZ，试求随机变量U和V的相关系数.
6．设二维随机变量(,)XY在区域
{(,)01,}Dxyxyx
上服从均匀分布，试求
（1）关于X和Y的边缘概率密度；
（2）(1);PXY
（3）21ZX随机变量的方差.
7．设随机变量X和Y的联合分布律为
10100.070.180.1510.080.320.20YX
试求X和Y的相关系数
8. 使仪器停止工作的元件故障数X是一个随机变量，其分布函数为 ()1,0,1,2,axFxeax
试求()()EXDX和．
9．设随机变量X和Y相互独立，X和Y的概率密度分别为
12,0,0(),()0,00,0axbxaexbeyfxfyxy
其中,ab为正实数，又设随机变量1,0,XYZXY，试求Z的分布律和数学期望2()EZ．
10．设随机变量X和Y相互独立，并且都服从正态分布2(0,)N，又设随机变量=(,)XYXY，为不相等的常数，试求
（１）数学期望()()EE和，方差()()D和D，和的相关系数；
（２）当和满足什么条件时，随机变量和不相关．
