2023版高考数学一轮总复习第三章三角函数解三角形第四讲简单的三角恒等变换课件

1 简单的三角恒等变换 考试要求 能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式推导二倍角的正弦、余弦、正切公式，并进行简单的恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式，这三组公式不要求记忆)． 知识梳理

1．二倍角的正弦、余弦、正切公式

(1)公式S2α：sin2α＝2sinαcosα.

(2)公式C2α：cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.

(3)公式T2α：tan2α＝2tanα1－tan2α.

2．常用的部分三角公式

(1)1－cosα＝2sin2α2，1＋cosα＝2cos2α2.(升幂公式)

(2)1±sinα＝sin α2±cos α22.(升幂公式)

(3)sin2α＝1－cos2α2，cos2α＝1＋cos2α2，tan2α＝1－cos2α1＋cos2α.(降幂公式)

思考辨析

判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)tanα2＝sinα1＋cosα＝1－cosαsinα.( √ )

(2)设5π2

(3)半角的正弦、余弦公式实质就是将倍角的余弦公式逆求而得来的．( √ )

(4)存在实数α，使tan2α＝2tanα.( √ )

教材改编题

1．sin15°cos15°等于( )

A．－14B.14C．－12D.12

答案 B

解析 sin15°cos15°＝12sin30°＝14.

2．化简1＋cos4的结果是( ) 2 A．sin2 B．－cos2

C.2cos2

D．－2cos2

答案

D

解析

因为1＋cos4＝2cos22，

又cos2<0，所以可得选项D正确．

3．已知α是第二象限的角，tan(π＋2α)＝－43，则tanα等于( )

A．－22 B．2

C．－13 D．－12

答案 D

解析

由tan(π＋2α)＝－43，

得tan2α＝－43，

又tan2α＝2tanα1－tan2α＝－43，

第4讲 简单的三角恒等变换

三角函数式的化简

化简：(1)（1＋sin θ＋cosθ）sin θ2－cos

θ22＋2cos θ(0

(2)1tan α2－tan α2·1＋tan

α·tan α2.

【解】 (1)原式＝

2sin θ2cos θ2＋2cos2θ2sin θ2－cos θ24cos2θ2

＝cos θ2sin2 θ2－cos2θ2cos θ2

＝－cos θ2·cos θcos θ2.

因为00.

所以原式＝－cos

θ.

(2)原式＝cos α2sin α2－sin α2cos α2·1＋sin

αcos α·sin α2cos α2

＝cos2α2－sin2α2sin α2cos

α2·cos

αcos

α2＋sin αsin α2cos αcos α2

＝2cos αsin α·cos α2cos αcos α2＝2sin α.

化简：2cos4x－2cos2x＋122tan π4－xsin2π4＋x.

原式＝－2sin2xcos2x＋122sinπ4－xcos2π4－xcosπ4－x

＝12（1－sin22x）2sinπ4－xcosπ4－x

＝12cos22xsinπ2－2x

＝12cos 2x.

三角函数式的求值(高频考点)

三角函数的求值在高考中主要以选择题形式出现，有时以解答题某一步出现，试题难度较小．

高考对三角函数求值的考查有以下三个命题角度：

(1)给值求值；

(2)给角求值；

(3)给值求角．

(1)sin 110°sin 20°cos2155°－sin2155°的值为( )

A．－12B.12 C.32 D．－32

(2)(2017·河北名师俱乐部模拟)已知θ∈0，π4，且sin θ－cos θ＝－144，则2cos2θ－1cosπ4＋θ等于( )

1

1．若tan θ＝3，则sin 2θ1＋cos 2θ＝( )

A.3 B．－3

C.33 D．－33

解析：选A.sin 2θ1＋cos 2θ＝2sin θcos θ1＋2cos2θ－1＝tan θ＝3.

2．(2016·赣州联考)化简cos 40°cos 25°1－sin 40°＝( )

A．1 B.3

C.2 D．2

解析：选C.原式＝cos220°－sin220°cos 25°（cos 20°－sin 20°）2＝（cos 20°＋sin 20°）（cos 20°－sin 20°）cos 25°（cos 20°－sin 20°）＝cos 20°＋sin 20°cos（45°－20°）＝cos 20°＋sin 20°cos 45°cos 20°＋sin 45°sin 20°＝2.

3．已知α、β均为锐角，且tan β＝cos α－sin αcos α＋sin α，则tan(α＋β)＝( )

A.33 B.12

C.3

D．1

解析：选D.因为tan β＝cos α－sin αcos α＋sin α，所以tan β＝1－tan α1＋tan α＝tanπ4－α.又α、β均为锐角，所以β＝π4－α，即α＋β＝π4，所以tan(α＋β)＝tan π4＝1.

4．已知sin α＝55，sin(α－β)＝－1010，α，β均为锐角，则角β等于( )

A.5π12 B.π3

C.π4 D.π6

解析：选C.因为α，β均为锐角，

所以－π2

又sin(α－β)＝－1010，所以cos(α－β)＝31010. 2 又sin α＝55，所以cos α＝255，

所以sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝55×31010－255×－1010＝22.

所以β＝π4.

5．若0

A.33 B．－33

第04讲简单的三角恒等变换(精讲

+精练）

目录

第一部分：知识点精准记忆

第二部分：课前自我评估测试

第三部分：典型例题剖析

高频考点一：三角函数式的化简

高频考点二：三角函数求值问题

角度1：给角求值型

角度2：给值求值型

角度3：给值求角型

高频考点三：三角恒等变换的应用

第四部分：高考真题感悟

第五部分：第04讲简单的三角恒等变换（精练）

第一部分：知识点精准记忆

1、半角公式

（1

）

2cos1

2sin

.

（2

）

2cos1

2cos

.

（3

）



cos1cos1

2tan



.2、万能公式（拓展视野）

（1）,

2tan12tan2

sin

2





（2）,

2tan12tan1

cos

22









（3）,

2tan12tan2

tan

2



其中2()kkZ3、和差化积公式（拓展视野）

coscos2coscos

22

coscos2sinsin

22

sinsin2sincos

22

sinsin2cossin

22



























4、积化和差公式（拓展视野）

1

coscos[cos()cos()]

2

1

sinsin[cos()cos()]

2

1

sinscos[sin()sin()]

2

1

cosssin[sin()sin()]

2

第二部分：课前自我评估测试

1．（2022·全国·高二课时练习）若cosα＝2

3，α∈(0，π)，则cos2

的值为（）

A．6

6B．－6

6C．30

6D．－30

6

【答案】C【详解】

由题(0,),则(0,)

22

，∴cos0

2

，

1cos30

cos

226

.

故选：C.

2．（2022·全国·高一专题练习）cos3sin化简的结果可以是（）

A．1

cos

26



B．2cos

3



C．1

cos

23

