高考数学一轮复习 第九章 解析几何 第二节 两条直线的位置关系教案 理(含解析)苏教版-苏教版高三全
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word 第二节两条直线的位置关系
1．两条直线平行与垂直的判定
(1)两条直线平行：
①对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2.
②当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2.
(2)两条直线垂直：
①如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则有l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.
②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l1⊥l2.
2．两条直线的交点的求法
直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1与l2的交点坐标就是方程组 A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0的解．
3．三种距离公式
P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点之间的距离 |P1P2|＝x2－x12＋y2－y12
点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离 d＝|Ax0＋By0＋C|A2＋B2
平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间距离 d＝|C1－C2|A2＋B2
[小题体验]
1．已知过点A(－2，m)和B(m,4)的直线与直线2x＋y－1＝0平行，则实数m的值为________．
解析：由kAB＝4－mm＋2＝－2，得m＝－8.
答案：－8
2．已知点(a,2)(a＞0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a＝________.
解析：由题意知|a－2＋3|2＝1，所以|a＋1|＝2， word
又a＞0，所以a＝2－1.
答案：2－1
3．若直线ax＋2y－1＝0与直线2x－3y－1＝0垂直，则a的值为________．
解析：直线ax＋2y－1＝0的斜率k1＝－a2，直线2x－3y－1＝0的斜率k2＝23，
因为两直线垂直，所以－a2×23＝－1，即a＝3.
答案：3
1．在判断两条直线的位置关系时，易忽视斜率是否存在，两条直线都有斜率可根据条件进行判断，若无斜率，要单独考虑．
2．运用两平行直线间的距离公式时易忽视两方程中的x，y的系数分别相等这一条件盲目套用公式导致出错．
[小题纠偏]
1．已知直线l1：(t＋2)x＋(1－t)y＝1与l2：(t－1)x＋(2t＋3)y＋2＝0互相垂直，则t的值为________．
解析：①若l1的斜率不存在，此时t＝1，l1的方程为x＝13，l2的方程为y＝－25，显然l1⊥l2，符合条件；若l2的斜率不存在，此时t＝－32，易知l1与l2不垂直．
②当l1，l2的斜率都存在时，直线l1的斜率k1＝－t＋21－t，直线l2的斜率k2＝－t－12t＋3，因为l1⊥l2，所以k1·k2＝－1，即－t＋21－t·－t－12t＋3＝－1，所以t＝－1.
综上可知t＝－1或t＝1.
答案：－1或1
2．已知直线3x＋4y－3＝0与直线6x＋my＋14＝0平行，则它们之间的距离是________．
解析：因为63＝m4≠14－3，所以m＝8，直线6x＋my＋14＝0可化为3x＋4y＋7＝0，两平行线之间的距离d＝|－3－7|32＋42＝2.
答案：2 word
考点一 两条直线的位置关系 (基础送分型考点——自主练透)
[题组练透]
1．(2019·沭阳月考)若直线y＝mx＋1与直线y＝4x－8垂直，则m＝________.
解析：由直线y＝mx＋1与直线y＝4x－8垂直，
得m×4＝－1，解得m＝－14.
答案：－14
2．(2018·某某模拟)过点(1,0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是________．
解析：依题意，设所求的直线方程为x－2y＋a＝0，由于点(1,0)在所求直线上，则1＋a＝0，即a＝－1，则所求的直线方程为x－2y－1＝0.
答案：x－2y－1＝0
3．(2019·启东调研)已知直线l1：(a－1)x＋y＋b＝0，l2：ax＋by－4＝0，求满足下列条件的a，b的值．
(1)l1⊥l2，且l1过点(1,1)；
(2)l1∥l2，且l2在第一象限内与两坐标轴围成的三角形的面积为2.
解：(1)因为l1⊥l2，所以a(a－1)＋b＝0.①
又l1过点(1,1)，所以a＋b＝0.②
由①②，解得 a＝0，b＝0或 a＝2，b＝－2.
当a＝0，b＝0时不合题意，舍去．
所以a＝2，b＝－2.
(2)因为l1∥l2，所以a－b(a－1)＝0，③
由题意，知a＞0，b＞0，直线l2与两坐标轴的交点坐标分别为4a，0，0，4b.
则12×4a×4b＝2，得ab＝4，④
由③④，得a＝2，b＝2.
[谨记通法]
1．已知两直线的斜率存在，判断两直线平行垂直的方法
(1)两直线平行⇔两直线的斜率相等且在坐标轴上的截距不等； word
(2)两直线垂直⇔两直线的斜率之积等于－1.
[提醒] 当直线斜率不确定时，要注意斜率不存在的情况．
2．由一般式确定两直线位置关系的方法
直线方程 l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A21＋B21≠0)
l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A22＋B22≠0)
l1与l2垂直的充要条件 A1A2＋B1B2＝0
l1与l2平行的充分条件 A1A2＝B1B2≠C1C2(A2B2C2≠0)
l1与l2相交的充分条件 A1A2≠B1B2(A2B2≠0)
l1与l2重合的充分条件 A1A2＝B1B2＝C1C2(A2B2C2≠0)
[提醒] 在判断两直线位置关系时，比例式A1A2与B1B2，C1C2的关系容易记住，在解答填空题时，建议多用比例式来解答．
考点二 距离问题重点保分型考点——师生共研
[典例引领]
已知A(4，－3)，B(2，－1)和直线l：4x＋3y－2＝0，在坐标平面内求一点P，使PA＝PB，且点P到直线l的距离为2.
解：设点P的坐标为(a，b)．
因为A(4，－3)，B(2，－1)，
所以线段AB的中点M的坐标为(3，－2)．
而AB的斜率kAB＝－3＋14－2＝－1，
所以线段AB的垂直平分线方程为y＋2＝x－3，即x－y－5＝0.
因为点P(a，b)在直线x－y－5＝0上，
所以a－b－5＝0.①
又点P(a，b)到直线l：4x＋3y－2＝0的距离为2，
所以|4a＋3b－2|5＝2，
即4a＋3b－2＝±10，② word
由①②联立可得 a＝1，b＝－4或 a＝277，b＝－87.
所以所求点P的坐标为(1，－4)或277，－87.
[由题悟法]
距离问题的常见题型及解题策略
(1)求两点间的距离．关键是确定两点的坐标，然后代入公式即可，一般用来判断三角形的形状等．
(2)解决与点到直线的距离有关的问题．应熟记点到直线的距离公式，若已知点到直线的距离求直线方程，一般考虑待定斜率法，此时必须讨论斜率是否存在．
(3)求两条平行线间的距离．要先将直线方程中x，y的对应项系数转化成相等的形式，再利用距离公式求解．也可以转化成点到直线的距离问题．
[即时应用]
1．(2019·阜宁中学检测)在坐标轴上，与点A(1,5)，B(2,4)等距离的点的坐标是________．
解析：线段AB的垂直平分线方程为y－92＝－1－25－4·x－32，令x＝0，可得y＝3；令y＝0，可得x＝－3，
∴在坐标轴上，与点A(1,5)，B(2,4)等距离的点的坐标是(0,3)或(－3,0)．
答案：(0,3)或(－3,0)
2．(2018·某某中学测试)已知点M是直线x＋3y＝2上的一个动点，且点P(3，－1)，则PM的最小值为________．
解析：PM的最小值即为点P(3，－1)到直线x＋3y＝2的距离，
又d＝|3－3－2|1＋3＝1，故PM的最小值为1.
答案：1
3．已知直线l1与l2：x＋y－1＝0平行，且l1与l2的距离是2，则直线l1的方程为______________________．
解析：因为l1与l2：x＋y－1＝0平行，
所以可设l1的方程为x＋y＋b＝0(b≠－1)． word
又因为l1与l2的距离是2，
所以|b＋1|12＋12＝2，解得b＝1或b＝－3，
即l1的方程为x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0.
答案：x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0
考点三
对称问题题点多变型考点——多角探明
[锁定考向]
对称问题是高考常考内容之一，也是考查学生转化能力的一种常见题型．
常见的命题角度有：
(1)点关于点对称；
(2)点关于线对称；
(3)线关于线对称．
[题点全练]
角度一：点关于点对称
1．(2019·丹阳高级中学检测)点A(2,3)关于点P(0,5)对称的点的坐标为________．
解析：设A(2,3)关于点P(0,5)对称的点的坐标为(x0，y0)，由中点坐标公式，得2＋x02＝0，3＋y02＝5，则x0＝－2，y0＝7.∴点A(2,3)关于点P(0,5)对称的点的坐标为(－2,7)．
答案：(－2,7)
角度二：点关于线对称
2．(2018·某某模拟)已知△ABC的两个顶点A(－1，5)和B(0，－1)，若∠C的平分线所在的直线方程为2x－3y＋6＝0，则BC边所在的直线方程为______________．
解析：设点A关于直线2x－3y＋6＝0的对称点为A′(x′，y′)，
则 2×x′－12－3×y′＋52＋6＝0，y′－5x′＋1＝－32，
即 2x′－3y′－5＝0，3x′＋2y′－7＝0，解得 x′＝3113，y′＝－113，即A′3113，－113，
