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华师大版数学八年级下册《反比例函数》教学设计一. 教材分析华师大版数学八年级下册《反比例函数》是初中数学的重要内容，它让学生首次接触函数的概念，并理解函数与方程之间的关系。
本节内容是在学生已经掌握了比例运算、一次函数和二次函数的基础上进行教学的，对于培养学生的抽象思维能力、解决问题的能力以及数学素养具有重要意义。
二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的数学基础，能够进行基本的运算和逻辑推理。
但是，对于反比例函数的理解还需要借助具体的实例和图象。
此外，学生对于函数的概念和性质可能还比较模糊，需要通过大量的练习来巩固。
三. 教学目标1.让学生理解反比例函数的定义，掌握反比例函数的性质。
2.培养学生利用反比例函数解决实际问题的能力。
3.提高学生的抽象思维能力和逻辑推理能力。
四. 教学重难点1.反比例函数的定义和性质。
2.反比例函数图象的特点。
3.利用反比例函数解决实际问题。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生通过探究、发现来学习反比例函数。
2.利用多媒体课件和实物模型，帮助学生形象地理解反比例函数的概念和性质。
3.采用分组讨论和合作交流的方式，培养学生的团队协作能力。
4.注重练习，让学生在实践中巩固反比例函数的知识。
六. 教学准备1.多媒体课件和教学软件。
2.实物模型和教学挂图。
3.练习题和测试题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活中的实例，如 proportionality between distance and speed （路程与速度的比例关系）来引导学生思考反比例函数的概念。
2.呈现（10分钟）通过多媒体课件和实物模型，呈现反比例函数的定义和性质，让学生观察和感知反比例函数图象的特点。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，分析给定的实际问题，并应用反比例函数来解决这些问题。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
4.巩固（10分钟）让学生完成一些具有代表性的练习题，巩固反比例函数的知识。
【学习课题】：17.4.2 反比例函数的图象和性质【学习目标】:1、能描点画出反比例函数的图象；2、通过反比例函数的图象的分析，探索并掌握反比例函数的图象的性质；3、以积极探索的思想，逐步提高从函数图象中获取信息的能力。
【重点难点】：探索并掌握反比例函数的主要性质。
【导学指导】一、课前导学1、用描点法画图象的步骤是__________、__________、__________2、尝试用描点法来画出反比例函数的图象．画出反比例函数y=6x和y=-6x的图象．二、探究归纳探究：（1）它们有什么共同特征和不同点？（2）每个函数的图象分别位于哪几个象限？（3）在每一个象限内，y随x的变化而如何变化？归纳：（1）反比例函数y=kx（k为常数，k≠0）的图象是双曲线．（2）当k>0时，双曲线的两支分别位于第__________象限，在每个象限内，y的值随x值的增大而．____________（3）当k<0时，双曲线的两支分别位于第__________四象限，在每个象限内，y的值随x值的增大而____________．三、探讨并展示1、已知反比例函数x ky-=3，分别根据下列条件求出字母k的取值范围（1）函数图象位于第一、三象限（2）在第二象限内，y随x的增大而增大2、指出当k>0时，下列图象中哪些可能是y=kx 与y=k x（k ≠0）在同一坐标系中的图象 （ ）3、在平面直角坐标系内，过反比例函数xky（k ＞0）的图象上的一点分别作x 轴、y 轴的垂线段，与x 轴、y 轴所围成的矩形面积是6，求函数解析式。
四、交流总结反比例函数的图象有什么性质？【拓展训练】1、 教材第58页练习第1、2题；2、 教材第59页习题17.4第2、3、4题。
17.4.1 反比例函数的意义教学设计2022-2023学年华东师大版八年级下册数学教学目标•理解反比例函数的基本概念•掌握反比例函数的图像特征•了解反比例函数在实际生活中的应用和意义教学内容1.反比例函数的定义2.反比例函数的图像特征3.反比例函数的应用及意义教学步骤第一步：导入新知识•引入反比例函数的概念，与正比例函数进行对比•通过生活中的实例，让学生感受反比例的存在和意义，如时间与速度的关系、人均炸鸡消耗与人数的关系等第二步：理解反比例函数的定义•给出反比例函数的定义：如果自变量x和函数值y满足y=k/x，其中k为常数（k≠0），则称y与x成反比例关系，并称y=k/x为反比例函数•让学生通过推导等式，发现反比例函数的特点第三步：掌握反比例函数的图像特征•给出反比例函数y=k/x的图像，在坐标系中标出关键点（1，k）、（k，1）和（-1，-k），并连接这些点，形成一条平滑的曲线•强调反比例函数图像的特点：通过原点(0, 0)，曲线在第一象限和第三象限都存在且对称第四步：应用和意义•给出实际生活中的问题，如水池注水的速度与时间的关系、购买商品的总价格与数量的关系等，让学生分析并建立相应的反比例函数表达式•让学生解释反比例函数在实际应用中的意义，如优化资源利用、计算购买商品的折扣等第五步：巩固与拓展•给学生一些练习题，让他们通过计算反比例函数的值和图像的绘制，巩固所学内容•拓展反比例函数的应用，让学生在更多实际问题中寻找反比例关系并建立函数表达式第六步：总结与复习•让学生总结反比例函数的定义、图像特征和应用意义，以便于复习和进一步探索相关知识教学评估•在教学过程中进行课堂练习，检查学生对反比例函数的理解和应用能力•布置作业，要求学生解决实际问题，并写出反比例函数表达式和解释其意义•教师对学生的作业进行评分和点评，检查学生对反比例函数的掌握程度参考资源（此处省略网址和图片）。
反比例函数(2)教案（华东师大版初二下） 知识技能目标1.明白得反比例函数的图象是双曲线,利用描点法画出反比例函数的图象,讲出它的性质；2.利用反比例函数的图象解决有关咨询题．过程性目标1.经历对反比例函数图象的观看、分析、讨论、概括过程，会讲出它的性质；2.探究反比例函数的图象的性质,体会用数形结合思想解数学咨询题．教学过程一、创设情境上节的练习中，我们画出了咨询题1中函数v s t =的图象，发觉它并不是直线．那么它是如何样的曲线呢？本节课，我们就来讨论一样的反比例函数x k y =〔k 是常数，k ≠0〕的图象，探究它有什么性质．二、探究归纳1.画出函数xy 6=的图象． 分析 画出函数图象一样分为列表、描点、连线三个步骤，在反比例函数中自变量x ≠0．解 1．列表：那个函数中自变量x 的取值范畴是不等于零的一切实数，列出x 与y 的对应值：2.描点：用表里各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系中描出在京各点点(－6,－1)、(－3,－2)、(－2,－3)等．3.连线：用平滑的曲线将第一象限各点依次连起来，得到图象的第一个分支；用平滑的曲线将第三象限各点依次连起来，得到图象的另一个分支．这两个分支合起来，确实是反比例函数的图象．上述图象，通常称为双曲线(hyperbola )．提咨询 这两条曲线会与x 轴、y 轴相交吗？什么缘故？学生试一试：画出反比例函数xy 6-=的图象〔学生动手画反比函数图象，进一步把握画函数图象的步骤〕．学生讨论、交流以下咨询题，并将讨论、交流的结果回答以下咨询题．1.那个函数的图象在哪两个象限？和函数x y 6=的图象有什么不同？ 2.反比例函数xk y =(k ≠0)的图象在哪两个象限内？由什么确定？ 3.联系一次函数的性质，你能否总结出反比例函数中随着自变量x 的增加，函数y 将如何样变化？有什么规律？ 反比例函数xk y =有以下性质： (1)当k ＞0时，函数的图象在第一、三象限，在每个象限内，曲线从左向右下降，也确实是在每个象限内y 随x 的增加而减少；(2)当k ＜0时，函数的图象在第二、四象限，在每个象限内，曲线从左向右上升，也确实是在每个象限内y 随x 的增加而增加．注 1．双曲线的两个分支与x 轴和y 轴没有交点；2．双曲线的两个分支关于原点成中心对称．以上两点性质在上堂课的咨询题1和咨询题2中反映了如何样的实际意义？在咨询题1中反映了汽车比自行车的速度快，小华乘汽车比骑自行车到镇上的时刻少． 在咨询题2中反映了在面积一定的情形下,饲养场的一边越长,另一边越小．三、实践应用例1 假设反比例函数22)1(m x m y -+=的图象在第二、四象限，求m 的值．分析 由反比例函数的定义可知：122-=-m ,又由于图象在二、四象限，因此m ＋1＜0，由这两个条件可解出m 的值． 解 由题意，得⎩⎨⎧<+-=-01,122m m 解得3-=m ．例2 反比例函数x k y =(k ≠0)，当x ＞0时，y 随x 的增大而增大，求一次函数y ＝kx －k 的图象通过的象限．分析 由于反比例函数xk y =(k ≠0)，当x ＞0时，y 随x 的增大而增大，因此k ＜0，而一次函数y ＝kx －k 中，k ＜0，可知，图象过二、四象限，又－k ＞0，因此直线与y 轴的交点在x 轴的上方．解 因为反比例函数xk y =(k ≠0)，当x ＞0时，y 随x 的增大而增大，因此k ＜0，因此一次函数y ＝kx －k 的图象通过一、二、四象限．例3 反比例函数的图象过点(1,－2)．(1)求那个函数的解析式，并画出图象；(2)假设点A (－5,m )在图象上，那么点A 关于两坐标轴和原点的对称点是否还在图象上？ 分析 (1) 反比例函数的图象过点(1,－2)，即当x ＝1时，y ＝－2．由待定系数法可求出反比例函数解析式；再依照解析式，通过列表、描点、连线可画出反比例函数的图象；(2)由点A 在反比例函数的图象上，易求出m 的值，再验证点A 关于两坐标轴和原点的对称点是否在图象上．解 (1)设：反比例函数的解析式为：xk y =(k ≠0)． 而反比例函数的图象过点(1,－2)，即当x ＝1时，y ＝－2．因此12k =-，k ＝－2． 即反比例函数的解析式为：x y 2-=．(2)点A (－5,m )在反比例函数x y 2-=图象上，因此5252=--=m ， 点A 的坐标为)52,5(-． 点A 关于x 轴的对称点)52,5(--不在那个图象上；点A 关于y 轴的对称点)52,5(不在那个图象上；点A 关于原点的对称点)52,5(-在那个图象上；例4 函数23)2(m x m y --=为反比例函数．(1)求m 的值；(2)它的图象在第几象限内？在各象限内，y 随x 的增大如何变化？(3)当－3≤x ≤21-时，求此函数的最大值和最小值． 解 (1)由反比例函数的定义可知：⎩⎨⎧≠--=-.02,132m m 解得，m ＝－2．(2)因为－2＜0，因此反比例函数的图象在第二、四象限内，在各象限内，y 随x 的增大而增大．(3)因为在第个象限内，y 随x 的增大而增大，因此当x ＝21-时，y 最大值＝8214=--； 当x ＝－3时，y 最小值＝3434=--． 因此当－3≤x ≤21-时，此函数的最大值为8，最小值为34．例5 一个长方体的体积是100立方厘米，它的长是y 厘米，宽是5厘米，高是x 厘米．(1)写出用高表示长的函数关系式；(2)写出自变量x 的取值范畴；(3)画出函数的图象．解 (1)因为100＝5xy ,因此xy 20=． (2)x ＞0．(3)图象如下：讲明 由于自变量x ＞0,因此画出的反比例函数的图象只是位于第一象限内的一个分支．四、交流反思本节课学习了画反比例函数的图象和探讨了反比例函数的性质．1.反比例函数的图象是双曲线(hyperbola )．2.反比例函数有如下性质：(1)当k ＞0时，函数的图象在第一、三象限，在每个象限内，曲线从左向右下降，也确实是在每个象限内y 随x 的增加而减少；(2)当k ＜0时，函数的图象在第二、四象限，在每个象限内，曲线从左向右上升，也确实是在每个象限内y 随x 的增加而增加．五、检测反馈1.在同一直角坐标系中画出以下函数的图象： (1)xy 1=； (2)x y 3-=． 2.y 是x 的反比例函数，且当x ＝3时，y ＝8,求：(1)y 和x 的函数关系式；(2)当322=x 时，y 的值； (3)当x 取何值时，23=y ? 3.假设反比例函数132)93(--=nx n y 的图象在所在象限内，y 随x 的增大而增大，求n 的值．4.反比例函数xm y 3+=通过点A (2,－m )和B (n ,2n )，求： (1)m 和n 的值；(2)假设图象上有两点P 1(x 1,y 1)和P 2(x 2,y 2)，且x 1＜0＜ x 2，试比较y 1和 y 2的大小．。
17.4.1 反比例函数的意义教案一、教学目标1.理解反比例函数的定义和特点；2.掌握反比例函数的图像特征；3.能够通过实际问题建立反比例函数模型，解决相关问题；4.培养学生的分析问题和解决问题的能力。
二、教学重点1.反比例函数的定义和特点；2.反比例函数的图像特征。
三、教学难点1.通过实际问题建立反比例函数模型，解决相关问题。
四、教学准备1.教师准备：教案、教材、黑板、粉笔、小黑板；2.学生准备：课本、笔记工具。
五、教学过程1. 导入引入教师通过提问和简单例子引入反比例函数的概念和特点，激发学生的兴趣和思考。
教师提问：“你们了解什么是反比例关系吗？能举一个例子吗？”学生回答后，教师进一步引导学生思考并确定反比例关系的特点。
2. 理论讲解与示例演算教师介绍反比例函数的定义和特点，包括：1.反比例函数的定义：设x和y是两个变量，若它们满足关系式y=k/x（k≠0），则称y和x成反比例关系，即y是x的反比例函数。
2.反比例函数的图像特征：反比例函数的图像在直角坐标系中总是经过第一、第三象限，没有经过原点和坐标轴。
教师通过示例演算展示反比例函数的图像特征和计算方法，并帮助学生理解反比例函数的含义和作用。
3. 练习与讨论教师提供一些实际问题，让学生尝试建立反比例函数模型，并通过计算解决问题。
教师鼓励学生积极参与讨论，共同探讨解决问题的方法和思路。
示例问题1：某个物体的质量与距离的关系是反比例关系，当距离为2m时，质量为5kg，求质量与距离的函数关系式和当距离为8m时的质量。
示例问题2：小明骑自行车去超市买水果，他发现自行车的速度与他离家的距离是反比例关系，当他离家10km时，速度为20km/h，求速度与距离的函数关系式和当距离为30km时的速度。
4. 拓展与应用教师提供更多实际问题，让学生运用反比例函数解决相关问题，并加深对反比例函数的理解和运用能力。
示例问题3：小明乘坐公交车上学，他发现公交车的速度与车上的人数是反比例关系，当车上有30人时，速度为40km/h，求速度与人数的函数关系式和当车上有50人时的速度。
17.4.1 反比例函数（教学设计）一、教学目标1.理解反比例函数的概念，认识反比例函数的图像特点；2.掌握反比例函数的表示方法，能够根据实际问题建立反比例函数的数学模型；3.能够利用反比例函数解决实际问题，提高问题解决能力。
二、教学重点1.反比例函数的概念和图像特点；2.反比例函数的表示方法；3.利用反比例函数解决实际问题。
三、教学内容本节课将重点介绍反比例函数的概念和性质。
通过实例引入，让学生理解反比例函数的定义和图像特点，掌握反比例函数的表示方法。
然后，结合实际问题，让学生建立相应的反比例函数模型，并利用模型解决问题。
四、教学步骤和教学方法步骤一：引入（10分钟）1.展示一组实际问题，例如：“小明用5小时骑自行车跑了50公里，如果小明用8小时骑同样的自行车路程，能跑多远？”引导学生思考问题，并让学生评价给出的答案的合理性。
2.引导学生思考，如果把小明用时的小时数和跑的路程建立对应关系，这个关系是什么样的？3.引导学生回顾函数的概念，提出反比例函数的概念，并解释反比例函数与比例函数的区别。
步骤二：理解（20分钟）1.通过一个具体的实例，如“小明用5小时骑自行车跑了50公里”，让学生观察小明用时和跑的路程之间的关系。
引导学生根据观察得出结论：使用相同的自行车，小明用时越长，跑的路程越短。
2.引导学生讨论反比例函数的图像特点，如：在第一象限，函数图像从左上到右下，且与坐标轴及轴上的点无交点。
3.引导学生总结反比例函数图像的特点，并给出反比例函数的一般形式：y=k/x（k为非零常数）。
步骤三：表示（15分钟）1.教师讲解反比例函数的表示方法，引导学生理解函数表达式中的各个元素的含义。
2.通过多组实例的展示和解释，让学生掌握反比例函数的表示方法，如：y=3/x、y=2/5x。
3.练习让学生完成一些简单的反比例函数表示。
步骤四：应用（25分钟）1.引导学生通过分析实际问题，建立相应的反比例函数模型。
例如：“小明用5小时骑自行车跑了50公里，那么小明用8小时能跑多远？”2.让学生根据建立的反比例函数模型，计算得出结果，并解释结果的意义。
华师大版数学八年级下册17.4《反比例函数》（第2课时）教学设计一. 教材分析《反比例函数》是华师大版数学八年级下册17.4节的内容，本节内容是在学生已经掌握了比例函数的基础上进行教学的。
本节课的主要内容是让学生了解反比例函数的定义，理解反比例函数的图像和性质，以及学会如何求解反比例函数的问题。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习了比例函数，对于函数的概念和性质已经有了一定的了解。
但是，学生对于反比例函数的概念和性质可能还比较陌生，需要通过实例和练习来逐渐理解和掌握。
三. 教学目标1.让学生了解反比例函数的定义，理解反比例函数的图像和性质。
2.培养学生解决反比例函数问题的能力。
3.培养学生的数学思维能力和创新能力。
四. 教学重难点1.反比例函数的定义和性质。
2.如何解决反比例函数的问题。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作学习法，引导学生通过自主学习、合作交流，掌握反比例函数的知识和技能。
六. 教学准备1.PPT课件2.反比例函数的案例和练习题3.小组合作学习的任务单七. 教学过程1.导入（5分钟）利用PPT课件，展示一些实际问题，如广告费用和受众数量的关系，引出反比例函数的概念。
2.呈现（15分钟）利用PPT课件，介绍反比例函数的定义和性质，通过案例和图象来帮助学生理解和掌握。
3.操练（10分钟）学生独立完成一些反比例函数的练习题，教师进行个别辅导和指导。
4.巩固（5分钟）学生分组进行合作交流，完成小组合作学习的任务单，巩固反比例函数的知识和技能。
5.拓展（5分钟）利用PPT课件，展示一些反比例函数的实际应用问题，引导学生思考和探索。
6.小结（5分钟）教师引导学生对反比例函数的知识进行总结和归纳，巩固所学内容。
7.家庭作业（5分钟）布置一些反比例函数的练习题，让学生回家进行自主学习。
8.板书（5分钟）教师利用黑板，将反比例函数的定义和性质进行板书，方便学生理解和记忆。
教学过程每个环节所用的时间：导入：5分钟呈现：15分钟操练：10分钟巩固：5分钟拓展：5分钟小结：5分钟家庭作业：5分钟板书：5分钟总计：50分钟在本次《反比例函数》的教学设计中，我深刻反思了教学过程和学生的学习效果，发现了一些问题，并针对这些问题提出了相应的解决办法和改进措施。
反比例函数第1课时(一)本课目标1.了解反比例函数的意义.2.会用待定系数法求反比例函数解析式.(二)教学流程1.情境导入利用多媒体演示课件“反比例函数〞.(华东师范大学出版社教学光盘)通过观察发现:无论三角形的底边和底边上的高怎样变化,它们的积保持不变( 等于一个非零常数).2.课前热身(1)在正比例函数中,两个变量的商具有什么特征?(2)回忆小学所学的反比例,请举出两个成反比例关系的实例.(例如:路程一定时,速度与时间成反比;矩形面积一定时,长与宽成反比例等)3.合作探究(1)整体感知本节课我们着重探讨两个变量的积是一个非零常数的函数的相关概念、解析式的求法.(2)四边互动互动1师:利用多媒体演示幻灯片.问题1:甲、乙两地相距120千米,汽车匀速从甲地驶往乙地.显然,汽车的行驶时间由行驶速度确定,时间是速度的函数,试写出这个函数的关系式.师: 这里的“汽车的行驶时间由行驶速度确定〞是什么意思?生:展开讨论,举手答复个人的不同认识.师:归纳讨论的结果:这里涉及时间和速度两个值, 实际含义是指找出一个统一的表示时间和速度之间关系的函数关系式,给出其中任意一个速度,就可以通过这个函数关系式计算出与之相对应的时间.现在你们能解答这个问题了.生:动手尝试,并交流解答的过程和结果.明确和其他实际问题一样,要探求两个变量之间的关系,应先选用适当的字母表示变量,再根据题意列出相应的函数关系式.设汽车行驶的速度是v 千米/时,从甲地到乙地的行驶时间是t 小时.因为在匀速运动中,时间＝路程÷速度,所以t=120 v.互动2师:利用多媒体演示课件“你能建围栏吗?〞(华东师范大学出版社教学光盘) 问题2:学校课外生物小组的同学准备自己动手,用旧围栏建一个面积为24 平方米的矩形饲养场.设它的一边长为x(米),求另一边的长y(米)与x的函数关系式.生:观察课件,讨论发现的问题,并解答问题.明确根据矩形面积可知y=24,即y=24 x.互动3师:上述函数(1)、(2)具有怎样的共同特征?能否用一个统一的函数关系式把它们表示出来?说出你的想法.生:相互交流自己的观点,逐渐达成共识.明确上述函数中,两个变量的积等于一个非零常数,都可以写成y=kx(k≠0)的形式.一般地, 形如y=kx( k 是常数, k ≠0) 的函数叫做反比例函数( inverse-proportional function).互动4师:请同学们把正比例函数与反比例函数进行比拟,说出它们有哪些不同? 生:讨论交流,逐个举手答复自己的观点.明确从形式上来看,正比例函数是关于自变量的整式,反比例函数是关于自变量的分式;从内涵上来看,正比例函数两个变量的商是一个非零常数, 反比例函数两个变量的积是一个非零常数;从自变量和函数的取值范围来看,正比例函数中的自变量和函数值都可以为零,反比例函数中的自变量和函数值都不能为零.互动5师:利用多媒体演示幻灯片. 请解答以下问题.(1)假设y 与x 成正比例,x 与z 成反比例,那么y 与z 成什么关系? (2)y 是x 的反比例函数,当x=2时,y=3,求y 与x 之间的函数关系式. (3)y 1与x 成正比,y 2与x 成反比,且y=y 1+y 2,当x=1时,y=3;当x=2时,y=3, 求y 与x 之间的函数关系式.生:分组合作,在小组内达成共识的根底上,推选代表进行板演,其余同学在座位上独立解答.明确师生共同归纳完善学生板演结果.(1)因为y 与x 成正比例,所以可设y=k 1x(k 1≠0),同样设x=2k z(k 2≠0),那么y=12k k z,由于k 1k 2≠0,所以y 与z 成反比例. (2)设y=k x (k≠0),那么3=2k,解得k=1.5,所以函数解析式为y=1.5x =32x. (3)设y 1=k 1x,y 2=2k x ,那么y=k 1x+2k x ,依题题得12213232k k k k +=⎧⎪⎨+=⎪⎩,解方程组得k1=1,k2=2,所以y=x+2x.由上面的操作过程可知: 确定反比例函数解析式的条件是一对对应的自变-量和函数值求几个简单函数的复合形式函数的解析式, 常常首先分别设出这几个函数的一般形式,然后用待定系数法解决问题.互动6师:请同学们独立解答课本第56页练习,解答完毕后在小组内进行交流.生:独立尝试,并交流解答结果.(教师来回巡视,帮助学有困难的学生分析.) 明确教师和学生共同归纳解答过程和应注意的事项.4.达标反响(多媒体演示)(1)假设y与x成反比,x与z成反比,那么y与z成正比关系.(2)假设y与x2-2成反比例,且当x=2时,y=1,那么y与x之间的关系式为y=22 2x.(3)如果点(3,-1)在反比例函数y=kx的图象上,那么一次函数y=kx-k的解析式为y=-3x+3.(4)在电压一定时,通过用电器的电流与用电器的电阻之间成(B)A.正比B.反比C.一次函数关系D.无法确定(5)点(2,5)在反比例函数y=x的图象上,其中“〞是被污染的无法识别的字-迹,那么以下各点在该反比例函数图象上的是(B)A.(2,-5)B.(-5,-2)C.(-3,4)D.(4,-3)5.学习小结(1)内容总结反比例函数意义(表达形式)解析式的求法(2)方法归纳确定反比例函数解析式的条件是一对自变量和函数的对应值( 或其图象上-一点的坐标),可以利用待定系数法求反比例函数的解析式.(三)延伸拓展 1.链接生活火车从安庆驶往相距约200千米的合肥,求火车行驶的速度v(千米/时)与行驶的时间t(时)之间的函数关系式.2.实践探索 (1)实践活动用描点法画出本节课中问题2的函数图象,并把所画的图象与一次函数的图象进行比拟.(2)稳固练习课本第59页习题第2题. 补充题:列出以下函数关系式,并指出它们是分别什么函数.①火车从安庆驶往约200千米的合肥,假设火车的平均速度为60千米/时,求火车距离安庆的距离S(千米)与行驶的时间t(时)之间的函数关系式.②火车从安庆驶往约200千米的合肥,假设火车的平均速度为60千米/时,求火车距离合肥的距离S(千米)与行驶的时间t(时)之间的函数关系式.⎧⎨⎩③某中学现有存煤20吨,如果平均每天烧煤y(吨),共烧了x(天),求y与x 之间的函数关系式.答案:①s=60t(0≤t≤1003);正比例函数②s=200-60t(0≤t≤1003);一次函数③y=20x(x>0);反比例函数.(四)板书设计课题反比例函数的意义反比例函数解析式的求法投影幕学生板演内容3．乘、除混合运算1．能熟练地运用有理数的运算法那么进行有理数的加、减、乘、除混合运算；(重点) 2．能运用有理数的运算律简化运算；(难点)3．能利用有理数的加、减、乘、除混合运算解决简单的实际问题．(难点)一、情境导入1．在小学我们已经学习过加、减、乘、除四那么运算，其运算顺序是先算________，再算________，如果有括号，先算__________里面的．2．观察式子3×(2＋1)÷⎝ ⎛⎭⎪⎫5－12，里面有哪几种运算，应该按什么运算顺序来计算？ 二、合作探究探究点一：有理数乘、除混合运算计算：(1)－2.5÷58×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14；(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－47÷⎝ ⎛⎭⎪⎫－314×⎝ ⎛⎭⎪⎫－112. 解析：(1)把小数化成分数，同时把除法变成乘法，再根据有理数的乘法法那么进行计算即可．(2)首先把乘除混合运算统一成乘法，再确定积的符号，然后把绝对值相乘，进行计算即可．解：(1)原式＝－52×85×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝52×85×14＝1；(2)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－47×⎝ ⎛⎭⎪⎫－143×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝－⎝ ⎛47×⎭⎪⎫143×32＝－4. 方法总结：解题的关键是掌握运算方法，先统一成乘法，再计算． 探究点二：有理数的加、减、乘、除混合运算及乘法的运算律 【类型一】 有理数加、减、乘、除混合运算计算：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫2－13×(－6)－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12÷⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13； (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－316－113＋114×(－12)． 解析：(1)先计算括号内的，再按“先乘除，后加减〞的顺序进行；(2)可考虑利用乘法的分配律进行简便计算．解：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫2－13×(－6)－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12÷⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13＝53×(－6)－12÷43＝(－10)－12×34＝－10－38＝－1038；(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－316－113＋114×(－12)＝⎝⎛－3－16⎭⎪⎫－1－13＋1＋14×(－12)＝⎝⎛⎭⎪⎫－3－14×(－12)＝－3×(－12)－14×12＝3×12－14×12＝36－3＝33.方法总结：在进行有理数的混合运算时，应先观察算式的特点，假设能应用运算律进行简化运算，就先简化运算．【类型二】 有理数乘法的运算律计算：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－56＋38×(－24)；(2)(－7)×⎝ ⎛⎭⎪⎫－43×514.解析：第(1)题括号外面的因数－24是括号内每个分数的倍数，相乘可以约去分母，使运算简便．利用乘法分配律进行简便运算．第(2)题－7可以与514的分母约分，因此可利用乘法的交换律把它们先结合运算．解：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－56＋38×(－24)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－56×(－24)＋38×(－24)＝20＋(－9)＝11； (2)(－7)×⎝ ⎛⎭⎪⎫－43×514＝(－7)×514×⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－52×⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝103.方法总结：当一道题按照常规运算顺序去运算较复杂，而利用运算律改变运算顺序却能使运算变得简单些，这时可用运算律进行简化运算．【类型三】有理数混合运算的应用海拔高度每升高1000m，气温下降6℃.某人乘热气球旅行，在地面时测得温度是8℃，当热气球升空后，测得高空温度是－1℃，热气球的高度为________m.解析：此类问题考查有理数的混合运算，解题时要正确理解题意，列出式子求解，由题意可得[8－(－1)]×(1000÷6)＝1500(m)，故填1500.方法总结：此题的考点是有理数的混合运算，熟练运用运算法那么是解题的关键．三、板书设计1．有理数加减乘除混合运算的顺序：先算乘除，再算加减，有括号的先算括号里面的，同级运算从左到右依次进行．2．利用运算律简化运算3．有理数混合运算的应用这节课主要讲授了有理数的加减乘除混合运算．运算顺序“先乘除后加减〞学生早已熟练掌握，让学生学会分析题目中所包含的运算是本节课的重难点．在教学时，要注意结合学生平时练习中出现的问题，及时纠正和指导，培养学生良好的解题习惯．。
反比例函数第2课时(一)本课目标1.了解反比例函数图象的形状特征.2.会画反比例函数的图象.3.经历探究反比例函数性质的过程,掌握反比例函数的性质.4.学会利用反比例函数的性质解决简单的实际问题.(二)教学流程1.复习导入(1)反比例函数是怎样定义的(2)确定反比例函数的解析式需要什么条件2.课前热身请同学们展示各自在上节课实践活动中所画出的问题2的函数图象,比一比谁画-得最好(学生互评在上节课的实践活动中所画出的问题2的函数图象, 形成对反比例函-数图象的初步感形认识.)3.合作探究(1)整体感知我们知道一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是直线,其性质随着k的正负发生变化,那么反比例函数y=kx(k≠0)的图象又具有什么特征其性质是否随着k 的正负发生变化呢本课我们着重探讨这两个问题.(2)四边互动互动1师:利用多媒体演示幻灯片.【例1】画出函数y=6x的图象.师:在未知函数图象的形状特征时,我们画函数的图象通常用什么方法这个函数自变量的取值范围是什么由此猜想这个函数的图象是连在一起的吗用描点法画该函数的图象,在列表应注意哪些生:逐个举手答复以下问题,达成共识.师:利用多媒体展现画图过程.(1)列表:这个函数中自变量x的取值范围是不等于零的一切实数,列出x与y 的对应值表:──┬─┬─┬─┬─┬─┬─┬─┬─┬─┬─┬──x │…│-6│-3│-2│-1│…│1 │2│3 │6 │…──┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼──y │…│-1│-2│-3│-6│…│6 │3 │2 │1 │…──┴─┴─┴─┴─┴─┴─┴─┴─┴─┴─┴──(2)描点:由这些有序实数对,可以在直角坐标系中描出相应的点(-6,-1),(-3,--2),(-2,-3)等.(3)连线:用光滑曲线将各点依次连起来,就得到反比例函数的图象,如下列图:师:请同学们用透明纸放在课本的该函数图象上复制这个图象,并用大头钉固定上下坐标系原点,再把上面的图象绕着原点旋转180°,结果你发现什么现象生:动手操作,并提出发现的问题.师:利用多媒体演示.试一试:在课本图所在坐标系中画出函数y=-6x的图象.生:动手画图,交流画图的结果. 师:请同学们讨论以下问题.讨论:(1)这个函数的图象在哪两个象限和函数y=6x的图象有什么不同(2)反比例函数y=kx图象在哪两个象限由什么确定生:在小组内展开交流,然后各组推选代表答复提出的问题,在全班交流,让全体同学达成共识.明确概括:通过上述操作、讨论与交流,我们发现反比例函数的图象是两条曲线,且这两条曲线关于原点对称,这种图象通常称为双曲线(hyperbola).反比例函数y=kx图象的两个分支位居的象限与k的正负有关,当k>0时, 函数的图象分布在第一、三象限;当k<0时,函数的图象分布在第二、四象限.互动2师:利用多媒体演示课件:反比例函数图象上的点与两条坐标轴上对应点做同步运动.请同学们观察反比例函数y=6x和y=-6x图象上点的运动情况,然后答复以下问题.(1)对于反比例函数y=6x,其图象在每个象限内从左到右是上升的还是下降的y的值随着x的变化将怎样变化(2)对于反比例函数y=-6x,其图象在每个象限内从左到右是上升的还是下降的y的值随着x的变化将怎样变化生:在观察的根底上,在小组内展开讨论,并概括归纳发现的现象,对提出的问题进行解答.明确通过观察可知,反比例函数y=k x有以下性质:(1)当k>0时,函数的图象( 如图17-4-2所示)在每个象限内,曲线从左向右下降,也就是在每个象限内y 随x 的增加而减小;(2)当k<0时,函数的图象(如图17-4-2所示)在每个象限内, 曲线从左向右上升,也就是在每个象限内y 随x 的增加而增大.互动3师:利用多媒体演示幻灯片.y 是x 的反比例函数，当x=2时，y=23,求这个反比例函数的表达式. 师:我们在学习一次函数时，已经学会了应用待定系数法求一次函数的表达式.同样，我们是不是也可以用待定系数法求反比例函数的表达式呢生:可以.设其表达式为y=k x，因为当x=2时，y=23,所以23=2k ，所以k=43. 所以这个反比例函数的表达式为y=43x互动4师:利用多媒体演示幻灯片.反比例函数y=3x在第一象限内的图象如下列图,点M 、N 是图象上的两个不同点,分别过点M 、N 作x 轴的垂线,垂足分别为A 、B,试探究△MOA 的面积S △MOA 与△NOB 的面积S △NOB 之间的大小关系.师:(点拨)如果设点M 、N 的坐标分别位(x 1,y 1)和(x 2,y 2),那么S △MOA 与x 1、y 1之间存在怎样的关系x 1·y 1的值是多少S △NOB 与x 2,y 2呢y xM OBAN生:在讨论交流的根底上,答复以下问题,并着手尝试解决问题,最后交流解答的过程与结果.明确因为点(x 1,y 1)在该反比例函数图象上,所以y 1=13x ,得x 1·y 1=3, S △MOA=12OA·MA=111322x y ⋅⋅=,同理S △NOB=32,所以S △MOA=S △NOB.归纳可知:过反比例函数图象上任意一点作x 轴的垂线,那么这点与垂足、坐标系原点构成的三角形的面积是一个定值.互动5师:利用多媒体演示.点A(-3,a)、B(-2,b)、C(4,c)在双曲线y=-2x上,请把a 、b 、c 按从小到大的顺序进行排列.生:动手操作,操作完毕把个人所得结果在小组内展开交流.师:请同学们画出该双曲线的草图,验证你的结论,从中你发现什么问题 生:动手画图,验证各自解答的结果.明确许多同学直接利用反比例函数的性质,得出错误的结论:c<b<a.原因是没有理解反比例函数的性质“当k<0时,在每个象限内y 随x 的增加而增大〞.在同一个象限内y 随x 的增加而增大,并不是说在整个坐标平面内y 随x 的增加而增大.因此,在比较反比例函数值的大小时,要分清对应的自变量的值是否在x 轴的同一个方向上(或几个点是否在同一个象限),如果不在同一个方向上,不能直接应用反比例函数的性质.4.达标反响 (多媒体演示)(1)写出一个反比例函数,使它的图象在第二、四象限,这个函数解析式为y=1x- (2)如下列图,直线y=kx 与双曲线y=-6x相交于点A 、B,过点A 作AC ⊥y 轴于点C,那么△ABC 的面积为 6.(3)反比例函数y=3mx-的两点(x 1,y 1),(x 2,y 2),当x 1<0<x 2时,y 1<y 2,那么m 的取值范围是(D)A.m<0B.m>0C.m>3D.m<3(4)以下四个函数中,当x>0时,y 随x 的增大而减小的是(D)A.y=2xB.y=x+3C.y=-2xD.y=2x5.学习小结 (1)内容总结反比例函数图象特征、画法 性质(2)方法归纳画反比例函数的图象,只能用描点法,利用反比例函数的性质比较大小时, 要注意对应的点是否在同一个象限内.(三)延伸拓展 1.链接生活某课外小组在做气体实验时,获得压强p(帕)与体积v(cm 3)之间的以下对应数据:⎧⎨⎩yxOC BA┌───┬─┬─┬─┬─┬──┬──┬─┐│p(帕) │…│1 │2 │3 │4 │5 │…│├───┼─┼─┼─┼─┼──┼──┼─┤│v(cm3)│…│6 │3 │2 │1.5 │1.2 │…│└───┴─┴─┴─┴─┴──┴──┴─┘根据表中提供的信息,答复以下问题:(1)在坐标系中描出表中各点,猜想p与v之间的关系,并求出函数解析式;(2)当气体的体积是12cm3时,压强是多少2.实践探索(1)实践活动收集反比例函数在社会生活中应用的实例2个.(2)稳固练习课本第58页练习第1题和第2题和习题第3题.(四)板书设计第二课时用坐标表示平移1．掌握用坐标表示点的平移的规律；(重点)2．了解并掌握用坐标表示图形平移的规律与方法．(难点)一、情境导入如图是小丽利用平移设计的一幅作品，说一说平移的特点．你能在坐标系中快速画出这一组图案吗？二、合作探究探究点一：点在坐标系中的平移平面直角坐标系中，将点A(－3，－5)向上平移4个单位，再向左平移3个单位到点B，那么点B的坐标为()A．(1，－8) B．(1，－2)C．(－6，－1) D．(0，－1)解析：利用平移中点的变化规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减求解．点A的坐标为(－3，－5)，将点A向上平移4个单位，再向左平移3个单位到点B，点B的横坐标是－3－3＝－6，纵坐标为－5＋4＝－1，即(－6，－1)．应选C.方法总结：此题考查图形的平移变换，关键是要懂得左右移动改变点的横坐标，左减右加；上下移动改变点的纵坐标，下减上加．探究点二：图形在坐标系中的平移【类型一】根据平移求对应点的坐标如图，把△ABC经过一定的平移变换得到△A′B′C′，如果△ABC边上点P的坐标为(a，b)，那么这个点在△A′B′C′中的对应点P′的坐标为()A．(a＋6，b－2) B．(a＋6，b＋2)C．(－a＋6，－b) D．(－a＋6，b＋2)解析：根据三对对应点的坐标，得出变换规律，再让点P的坐标也做相应变化．∵A(－3，－2)，B(－2，0)，C(－1，－3)，A′(3，0)，B′(4，2)，C′(5，－1)，∴△ABC向右平移6个单位，向上平移2个单位得到△A′B′C′.∵△ABC边上点P的坐标为(a，b)，∴点P变换后的对应点P′的坐标为(a＋6，b＋2)．应选B.方法总结：坐标系中图形上所有点的平移变化规律是一致的，解决此类问题的关键是根据对应点找到各对应点之间的平移变化规律．【类型二】平移作图如图，在平面直角坐标系中，P(a，b)是△ABC的边AC上一点，△ABC经平移后点P的对应点为P1(a＋6，b＋2)．(1)请画出上述平移后的△A 1B 1C 1，并写出点A 、C 、A 1、C 1的坐标； (2)求出以A 、C 、A 1、C 1为顶点的四边形的面积．解析：(1)横坐标加6，纵坐标加2，说明向右移动了6个单位，向上平移了2个单位；(2)以A 、C 、A 1、C 1为顶点的四边形的面积可分割为以AC 1为底的2个三角形的面积．解：(1)△A 1B 1C 1如下列图，各点的坐标分别为A (－3，2)、C (－2，0)、A 1(3，4)、C 1(4，2)；(2)如图，连接AA 1、CC 1.S △AC 1A 1＝12×7×2＝7，S △AC 1C ＝12×7×2＝7，故S 四边形ACC 1A 1＝S △AC 1A 1＋S △AC 1C ＝7＋7＝14.方法总结：坐标系中图形平移的坐标变化规律为：左右移动改变点的横坐标，左减右加；上下移动改变点的纵坐标，下减上加．求四边形的面积通常转化为求几个三角形的面积的和．探究点三：平面坐标系中点及图形平移的规律探究如图，一个动点在第一象限及x 轴、y 轴上运动，在第1秒钟，它从原点运动到(1，0)，然后接着按图中箭头所示方向运动，即(0，0)→(1，0)→(1，1)→(0，1)→…，且每秒移动一个单位，那么第2021秒时动点所在位置的坐标是________．解析：方法一：动点运动的规律：(0，0)，动点运动了0秒；(1，1)，动点运动了1×2＝2(秒)，接着向左运动；(2，2)，动点运动了2×3＝6(秒)，接着向下运动；(3，3)，动点运动了3×4＝12(秒)，接着向左运动；(4，4)，动点运动了4×5＝20(秒)，接着向下运动；…于是会出现：(44，44)，动点运动了44×45＝1980(秒)，接着动点向下运动，而2021－1980＝31，故动点的位置为(44，44－31)，即(44，13)．方法二：由题目可以知道，动点运动的速度是每秒钟运动一个单位长度，(0，0)→(1，0)→(1，1)→(0，1)用的秒数分别是1秒钟，2秒钟，3秒钟，到(0，2)用4秒，到(2，2)用6秒，到(2，0)用8秒，到(3，0)用9秒，到(3，3)用12秒，到(0，4)用16秒，依次类推，到(5，5)用30秒．由上面的结论，我们可以得到的第一象限角平分线上的点从(0，0)到(1，1)用2秒，到(2，2)用6秒，到(3，3)用12秒，那么由(n，n)到(n＋1，n＋1)所用时间增加(2n ＋2)秒，这样可以先确定第2021秒时动点所在的正方形，然后就可以进一步推得点的坐标是(44，13)．方法三：该动点每一次从一个轴走到另一个轴所走的步数要比上一次多走一横步，多走一竖步，共多走两步．从(0，0)点走到(0，1)点共要3步，从(0，1)点走到(2，0)点共5步……当n为偶数时，从(0，n－1)点到(n，0)点共走(2n＋1)步；当n为奇数时，从(n－1，0)点到(0，n)点共走(2n ＋1)步，这里n＝1，2，3，4，….∵3＋5＋7＋…＋(2n＋1)＝n(n＋2)＝(n＋1)2－1，∴当n＝44时，n(n＋2)＝(n＋1)2－1＝452－1＝2024，离2021最近，此时n为偶数，即该过程是从(0，43)到(44，0－2021＝13，即从(44，0)向上“退〞13步即可．当到2021秒时动点所在的位置为(44，13)．故答案为(44，13)．方法总结：此类归纳探索猜想型问题的解题关键是总结规律，由特殊到一般的归纳思想来确定点所在的大致位置，进而确定该点的坐标．三、板书设计用坐标表示平移：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．通过本课时的学习，学生经历图形坐标变化与图形平移之间的关系的探索过程，掌握空间与图形的根底知识和根本作图技巧，丰富对现实空间及图形的认识，建立初步的空间观念，培养形象思维能力，激发数学学习的好奇心与求知欲．教学过程中让学生能积极参与数学学习活动，积极交流合作，体验数学活动的乐趣。
