2019-2020学年上海市虹口区高考数学三模试卷(文科)(有答案)

上海市虹口区高考数学三模试卷（文科）一、填空题（本大题满分56分）本大题共14题，只要求在答题纸相应题号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1．设集合M={x|≥0}，N={x|2x≥1}，则M∩N=．2．在△ABC中，tanA=﹣，则sin2A= ．3．已知复数z=（i为虚数单位），表示z的共轭复数，则z•= ．4．若等比数列{an }的公比q满足|q|＜1，且a2a4=4，a3+a4=3，则（a1+a2+…+an）= ．5．若函数f（x）=（x﹣a）|x|（a∈R）存在反函数f﹣1（x），则f（1）+f﹣1（﹣4）= ．6．在数学解题中，常会碰到形如“”的结构，这时可类比正切的和角公式．如：设a，b是非零实数，且满足=tan，则= ．7．若一个球的半径与它的内接圆锥的底面半径之比为，且内接圆锥的轴截面为锐角三角形，则该球的体积与它的内接圆锥的体积之比等于．8．某小区有排成一排的8个车位，现有5辆不同型号的轿车需要停放，则这5辆轿车停入车位后，剩余3个车位连在一起的概率为（结果用最简分数表示）．9．若双曲线x2﹣=1的一个焦点到其渐近线的距离为2，则该双曲线的焦距等于．10．若复数z满足|z+3|=|z﹣4i|（i为虚数单位），则|z|的最小值为．11．已知实数x，y，满足且目标函数z=x+y的最大值是2，则实数m的值为．12．过抛物线x2=8y的焦点F的直线与其相交于A，B两点，O为坐标原点．若|AF|=6，则△OAB的面积为．13．若关于x的方程2x|x|﹣a|x|=1有三个不同实根，则实数a的取值范围为．14．若数列{an }满足：an+1+（﹣1）n an=n（n∈N*），则a1+a2+…+a100= ．二、选择题（本大题共4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应题号上，将所选答案的代号涂黑，选对得5分，否则一律零分.15．关于三个不同平面α，β，γ与直线l，下列命题中的假命题是（）A．若α⊥β，则α内一定存在直线平行于βB．若α与β不垂直，则α内一定不存在直线垂直于βC．若α⊥γ，β⊥γ，α∩β=l，则l⊥γD．若α⊥β，则α内所有直线垂直于β16．若函数y=f（x）的图象与函数y=3x+a的图象关于直线y=﹣x对称，且f（﹣1）+f（﹣3）=3，则实数a 等于（）A．﹣1 B．1 C．2 D．417．在锐角△ABC中，B=60°，|﹣|=2，则•的取值范围为（）A．（0，12） B．[，12）C．（0，4] D．（0，2]18．在平面直角坐标系中，定义两点P（x1，y1）与Q（x2，y2）之间的“直角距离”为：d（P，Q）=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．现给出下列4个命题：①已知P（1，2），Q（cos2θ，sin2θ）（θ∈R），则d（P，Q）为定值；②已知P，Q，R三点不共线，则必有d（P，Q）+d（Q，R）＞d（P，R）；③用|PQ|表示P，Q两点之间的距离，则|PQ|≥d（P，Q）；④若P，Q是圆x2+y2=2上的任意两点，则d（P，Q）的最大值为4；则下列判断正确的为（）A．命题①，②均为真命题 B．命题②，③均为假命题C．命题②，④均为假命题 D．命题①，③，④均为真命题三、解答题（本大题共5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸的规定区域内写出必要的步骤. 19．已知函数f（x）=的图象过点和点．（1）求函数f（x）的最大值与最小值；（2）将函数y=f（x）的图象向左平移φ（0＜φ＜π）个单位后，得到函数y=g（x）的图象；已知点P（0，5），若函数y=g（x）的图象上存在点Q，使得|PQ|=3，求函数y=g（x）图象的对称中心．20．已知函数f（x）=ax2﹣2ax+b（a＞0）在区间[﹣1，3]上的最大值为5，最小值为1．（1）求a，b的值及f（x）的解析式；（2）设g（x）=，若不等式g（3x）﹣t•3x≥0在x∈[0，2]上有解，求实数t的取值范围．21．如图，AB是△ABC外接圆O的直径，四边形DCBE为矩形，且DC⊥平面ABC，AB=4，BE=1．（1）证明：直线BC⊥平面ACD；（2）当三棱锥E﹣ABC的体积最大时，求异面直线CO与DE所成角的大小．22．设椭圆C： +=1（a＞b＞0），定义椭圆C的“相关圆”E为：x2+y2=．若抛物线y2=4x的焦点与椭圆C的右焦点重合，且椭圆C的短轴长与焦距相等．（1）求椭圆C及其“相关圆”E的方程；（2）过“相关圆”E上任意一点P作其切线l，若l与椭圆C交于A，B两点，求证：∠AOB为定值（O为坐标原点）；（3）在（2）的条件下，求△OAB面积的取值范围．23．设Sn 为数列{an}的前n项和，Sn=λan﹣1（λ为常数，n=1，2，3，…）．（I）若a3=a22，求λ的值；（II）是否存在实数λ，使得数列{an}是等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在．请说明理由（III）当λ=2时，若数列{bn }满足bn+1=an+bn（n=1，2，3，…），且b1=，令，求数列{cn }的前n项和Tn．上海市虹口区高考数学三模试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分56分）本大题共14题，只要求在答题纸相应题号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1．设集合M={x|≥0}，N={x|2x≥1}，则M∩N=[0，3）．【考点】交集及其运算．【分析】分别求出M与N中不等式的解集确定出M与N，找出两集合的交集即可．【解答】解：由M中不等式变形得：（x﹣3）（x+1）≤0，且3﹣x≠0，解得：﹣1≤x＜3，即M=[﹣1，3），由N中不等式变形得：2x≥1=20，即x≥0，∴N=[0，+∞），则M∩N=[0，3），故答案为：[0，3）．2．在△ABC中，tanA=﹣，则sin2A= ﹣．【考点】三角函数中的恒等变换应用．【分析】由题意得A为钝角，且sinA=，cosA=﹣，由此由二倍角公式得sin2A．【解答】解：△ABC中，tanA=﹣，∴sinA=，cosA=﹣，∴sin2A=2sinAcosA=﹣．3．已知复数z=（i为虚数单位），表示z的共轭复数，则z•= 1 ．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简z，再由求得z•．【解答】解：∵z==，∴z•=．故答案为：1．4．若等比数列{an }的公比q满足|q|＜1，且a2a4=4，a3+a4=3，则（a1+a2+…+an）= 16 ．【考点】等比数列的通项公式．【分析】由等比数列通项公式列出方程组，求出首项和公比，由此能求出（a1+a2+…+an）．【解答】解：∵等比数列{an }的公比q满足|q|＜1，且a2a4=4，a3+a4=3，∴，由|q|＜1，解得，a 1+a2+…+an=，则（a1+a2+…+an）==16．故答案为：16．5．若函数f（x）=（x﹣a）|x|（a∈R）存在反函数f﹣1（x），则f（1）+f﹣1（﹣4）= ﹣1 ．【考点】反函数．【分析】根据f（x）存在反函数f﹣1（x），得出f（x）是定义域上的单调函数，求出a的值以及f（x）的解析式，即可求出f（1）+f﹣1（﹣4）的值．【解答】解：∵函数f（x）=（x﹣a）|x|=，且f（x）存在反函数f﹣1（x），∴f（x）是定义域R的单调增函数，∴a=0，∴f（x）=，∴f（1）+f﹣1（﹣4）=1+（﹣2）=﹣1．故答案为：﹣1．6．在数学解题中，常会碰到形如“”的结构，这时可类比正切的和角公式．如：设a，b是非零实数，且满足=tan，则= ．【考点】两角和与差的正切函数．【分析】先把已知条件转化为tan==tan（+θ）．利用正切函数的周期性求出，即可求得结论．【解答】解：因为tan==tan（+θ）．且tanθ=∴+θ=kπ+∴θ=kπ+．tanθ=tan（kπ+）=．∴=故答案为：．7．若一个球的半径与它的内接圆锥的底面半径之比为，且内接圆锥的轴截面为锐角三角形，则该球的体积与它的内接圆锥的体积之比等于．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】设球的半径为5，圆锥底面半径为3，则圆锥的高为9，代入体积公式计算即可得出比值．【解答】解：设球的半径为5，则圆锥的底面半径为3，∴球心到圆锥底面的距离为=4．∵内接圆锥的轴截面为锐角三角形，∴圆锥的高为4+5=9．∴V球=，V圆锥==27π．∴V球：V圆锥=27π=．故答案为：．8．某小区有排成一排的8个车位，现有5辆不同型号的轿车需要停放，则这5辆轿车停入车位后，剩余3个车位连在一起的概率为（结果用最简分数表示）．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】先求出基本事件总数，再求出这5辆轿车停入车位后，剩余3个车位连在一起，包含的基本事件个数，由此能求出这5辆轿车停入车位后，剩余3个车位连在一起的概率．【解答】解：某小区有排成一排的8个车位，现有5辆不同型号的轿车需要停放，基本事件总数n=，这5辆轿车停入车位后，剩余3个车位连在一起，包含的基本事件个数m=，∴这5辆轿车停入车位后，剩余3个车位连在一起的概率为：p===．故答案为：．9．若双曲线x2﹣=1的一个焦点到其渐近线的距离为2，则该双曲线的焦距等于 6 ．【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据焦点到其渐近线的距离求出b的值即可得到结论．【解答】解：双曲线的渐近线为y=±bx，不妨设为y=﹣bx，即bx+y=0，焦点坐标为F（c，0），则焦点到其渐近线的距离d===b=2，则c====3，则双曲线的焦距等于2c=6，故答案为：610．若复数z满足|z+3|=|z﹣4i|（i为虚数单位），则|z|的最小值为．【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】设z=a+bi，（a，b∈R）．由|z+3|=|z﹣4i|（i为虚数单位），可得=，化为：6a+8b﹣7=0．再利用原点到直线的距离公式即可得出．【解答】解：设z=a+bi，（a，b∈R）．∵|z+3|=|z﹣4i|（i为虚数单位），∴=，化为：6a+8b﹣7=0．∴|z|=的最小值为原点（0，0）到直线l：6a+8b﹣7=0的距离，： =，故答案为：．11．已知实数x ，y ，满足且目标函数z=x+y 的最大值是2，则实数m 的值为 ．【考点】简单线性规划．【分析】先求出目标函数取得最大值时对应的交点A 的坐标，利用A 也在直线y=mx 上，进行求解即可． 【解答】解：先作出可行域， ∵z=x+y 的最大值是2，∴作出z=x+y=2的图象，则直线z=x+y=2，与区域相交为A ，由得，即A （1，）， 同时A 也在y=mx ，上， 则m=， 故答案为：．12．过抛物线x 2=8y 的焦点F 的直线与其相交于A ，B 两点，O 为坐标原点．若|AF|=6，则△OAB 的面积为 6．【考点】抛物线的简单性质．【分析】求得抛物线的焦点和准线方程，运用抛物线的定义可得A 的坐标（﹣4，4），再由三点共线的条件：斜率相等，可得B 的坐标，由△OAB 的面积为|OF|•|x A ﹣x B |，计算即可得到所求值． 【解答】解：抛物线x 2=8y 的焦点F （0，2），准线为y=﹣2，由抛物线的定义可得|AF|=y A +2=6， 解得y A =4，可设A （﹣4，4），设B （m ，），由A ，F ，B 共线可得，k AF =k BF ，即=，解得m=2（﹣4舍去），即有B （2，1），则△OAB 的面积为|OF|•|x A ﹣x B |=•2•|﹣4﹣2|=6．故答案为：6．13．若关于x 的方程2x|x|﹣a|x|=1有三个不同实根，则实数a 的取值范围为 （﹣∞，﹣2） ．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】首先进行转化，再对x 进行分类讨论，由二次函数的图象以及性质得到a 的范围． 【解答】解：∵方程2x|x|﹣a|x|=1有三个不同实根， ∴函数y=2x|x|﹣a|x|﹣1有3个不同的零点， ∴y=，对称轴为x=，与y 轴交点为（0，﹣1） ∴a ≥0时，不符合条件， ∴a ＜0， 且△＞0 ∴a ∈， 故答案为：（﹣∞，﹣2）14．若数列{a n }满足：a n+1+（﹣1）n a n =n （n ∈N *），则a 1+a 2+…+a 100= 2550 ． 【考点】数列的求和．【分析】a n+1+（﹣1）n a n =n （n ∈N *），可得：a 2﹣a 1=1，a 3+a 2=2，a 4﹣a 3=3，a 5+a 4=4，a 6﹣a 5=5，a 7+a 6=6，a 8﹣a 7=7，…，可得a 3+a 1=1=a 7+a 5=…，a 4+a 2=2+3，a 8+a 6=6+7，a 12+a 10=10+11，…，利用分组求和即可得出． 【解答】解：∵a n+1+（﹣1）n a n =n （n ∈N *），∴a 2﹣a 1=1，a 3+a 2=2，a 4﹣a 3=3，a 5+a 4=4，a 6﹣a 5=5，a 7+a 6=6，a 8﹣a 7=7，…， 可得a 3+a 1=1=a 7+a 5=…，∴（a 1+a 3+…+a 99）=25．a 4+a2=2+3，a8+a6=6+7，a12+a10=10+11，…，∴a2+a4+…+a100=5×25+8×=2525．则a1+a2+…+a100=2550．故答案为：2550．二、选择题（本大题共4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应题号上，将所选答案的代号涂黑，选对得5分，否则一律零分.15．关于三个不同平面α，β，γ与直线l，下列命题中的假命题是（）A．若α⊥β，则α内一定存在直线平行于βB．若α与β不垂直，则α内一定不存在直线垂直于βC．若α⊥γ，β⊥γ，α∩β=l，则l⊥γD．若α⊥β，则α内所有直线垂直于β【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】根据空间线面位置关系的判定和性质判断或距离说明．【解答】解：对于A，假设α∩β=a，则α内所有平行于a的直线都平行β，故A正确；对于B，假设α内存在直线a垂直于β，则α⊥β，与题设矛盾，故假设错误，故B正确；对于C，设α∩γ=c，β∩γ=d，在γ内任取一点P，作PM⊥c于点M，PN⊥d于点N，则PM⊥α，PN⊥β，且PM、PN不可能共线．又l⊂α，l⊂β，∴PM⊥l，PN⊥l．又PM∩PN=P，PM⊂γ，PN⊂γ，∴l⊥γ．故C正确．对于D，假设α∩β=a，则α内所有平行于a的直线都平行β，故D错误．故选：D．16．若函数y=f（x）的图象与函数y=3x+a的图象关于直线y=﹣x对称，且f（﹣1）+f（﹣3）=3，则实数a 等于（）A．﹣1 B．1 C．2 D．4【考点】反函数．【分析】设（x，y）为函数y=f（x）的图象上的一点，则关于直线y=﹣x对称的点为（﹣y，﹣x）．代入函数y=3x+a可得：f（x）=a﹣log3（﹣x）．即可得出．【解答】解：设（x，y）为函数y=f（x）的图象上的一点，则关于直线y=﹣x对称的点为（﹣y，﹣x）．代入函数y=3x+a可得：﹣x=3﹣y+a，∴﹣y+a=log3（﹣x），即f（x）=a﹣log3（﹣x）．∵f（﹣1）+f（﹣3）=3，∴a﹣0+a﹣log33=3，解得a=2．故选：C．17．在锐角△ABC中，B=60°，|﹣|=2，则•的取值范围为（）A．（0，12） B．[，12）C．（0，4] D．（0，2]【考点】平面向量数量积的运算．【分析】以B为原点，BA所在直线为x轴建立坐标系，得到C的坐标，找出三角形为锐角三角形的A的位置，得到所求范围．【解答】解：以B为原点，BA所在直线为x轴建立坐标系，∵B=60°，|﹣|=||=2，∴C（1，），设A（x，0）∵△ABC是锐角三角形，∴A+C=120°，∴30°＜A＜90°，即A在如图的线段DE上（不与D，E重合），∴1＜x＜4，则=x2﹣x=（x﹣）2﹣，∴的范围为（0，12）．故选：A．18．在平面直角坐标系中，定义两点P（x1，y1）与Q（x2，y2）之间的“直角距离”为：d（P，Q）=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．现给出下列4个命题：①已知P（1，2），Q（cos2θ，sin2θ）（θ∈R），则d（P，Q）为定值；②已知P ，Q ，R 三点不共线，则必有d （P ，Q ）+d （Q ，R ）＞d （P ，R ）； ③用|PQ|表示P ，Q 两点之间的距离，则|PQ|≥d （P ，Q ）；④若P ，Q 是圆x 2+y 2=2上的任意两点，则d （P ，Q ）的最大值为4； 则下列判断正确的为（ ）A ．命题①，②均为真命题B ．命题②，③均为假命题C ．命题②，④均为假命题D ．命题①，③，④均为真命题 【考点】命题的真假判断与应用．【分析】先根据直角距离的定义分别表示出所求的问题的表达式，然后根据集合中绝对值的性质进行判定即可．【解答】解：①已知P （1，2），Q （cos 2θ，sin 2θ）（θ∈R ），则d （P ，Q ）=|1﹣cos 2θ|+|2﹣sin 2θ|=sin 2θ+2﹣sin 2θ=2为定值；故①正确，②已知P ，Q ，R 三点不共线，设P （1，0），Q （0，0），R （0，1）， 则d （P ，Q ）=|x P ﹣x Q |+|y P ﹣y Q |=1， d （Q ，R ）=|x Q ﹣x R |+|y Q ﹣y R |=1．d （P ，R ）=|x P ﹣x R |+|y P ﹣y R |=1+1=2，此时d （P ，Q ）+d （Q ，R ）=d （P ，R ）； ∴d （P ，Q ）+d （Q ，R ）＞d （P ，R ）不成立，故②错误， ③若|PQ|表示P 、Q 两点间的距离，那么|PQ|=，d （P ，Q ）=|x 1﹣x 2|+|y 1﹣y 2|，∵2（a 2+b 2）≥（a+b ）2， ∴≥|x 1﹣x 2|+|y 1﹣y 2|，即|PQ|≥d （P ，Q ），则|PQ|≥d （P ，Q ）=d （P ，Q ），故③正确，④若P ，Q 是圆x 2+y 2=2上的任意两点，当P ，Q 是直线y=x 与x 2+y 2=2的交点时，则d （P ，Q ）的最大， 此时P （1，1），Q （﹣1，﹣1）；则d （P ，Q ）=|x 1﹣x 2|+|y 1﹣y 2|=|﹣1﹣1|+|﹣1﹣1|=2+2=4，则d （P ，Q ）的最大值为4；故④正确， 故选：D三、解答题（本大题共5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸的规定区域内写出必要的步骤. 19．已知函数f （x ）=的图象过点和点．（1）求函数f （x ）的最大值与最小值；（2）将函数y=f （x ）的图象向左平移φ（0＜φ＜π）个单位后，得到函数y=g （x ）的图象；已知点P （0，5），若函数y=g （x ）的图象上存在点Q ，使得|PQ|=3，求函数y=g （x ）图象的对称中心． 【考点】函数y=Asin （ωx +φ）的图象变换；三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象． 【分析】（1）利用条件求得m 、n 的值，可得函数的解析式，从而求得它的最值．（2）根据g（x）的解析式，点Q（0，2）在y=g（x）的图象上，求得φ的值，再利用正弦函数的图象的对称性，得出结论．【解答】解：（1）易知f（x）=msin2x﹣ncos2x，则由它的图象过点和点，可得，解得．故．故函数f（x）的最大值为2，最小值为﹣2．（2）由（1）可知：．于是，当且仅当Q（0，2）在y=g（x）的图象上时满足条件，∴．由0＜ϕ＜π，得．故．由，得．于是，函数y=g（x）图象的对称中心为：．20．已知函数f（x）=ax2﹣2ax+b（a＞0）在区间[﹣1，3]上的最大值为5，最小值为1．（1）求a，b的值及f（x）的解析式；（2）设g（x）=，若不等式g（3x）﹣t•3x≥0在x∈[0，2]上有解，求实数t的取值范围．【考点】二次函数的性质；根的存在性及根的个数判断．【分析】（1）解关于a，b的方程组，求出a，b的值从而求出函数的解析式即可；（2）问题转化为t≤2﹣2+1=2+在x∈[0，2]上有解，通过换元法求出t的范围即可．【解答】解：（1）由f（x）=a（x﹣1）2+b﹣a（a＞0）及条件，可得，…解得 a=1，b=2．故f（x）=x2﹣2x+2…（2）由（1）可得g（x）==x+﹣2，于是题设条件得3x+﹣2﹣t•3x≥0在x∈[0，2]上有解，…即t≤2﹣2+1=2+在x∈[0，2]上有解，…令=u∈[，1]，∵x∈[0，2]，则t≤2+在u∈[，1]上有解…当u∈[，1]时，2+∈[，1]，于是t≤1，因此，实数t的取值范围为（﹣∞，1]．…21．如图，AB是△ABC外接圆O的直径，四边形DCBE为矩形，且DC⊥平面ABC，AB=4，BE=1．（1）证明：直线BC⊥平面ACD；（2）当三棱锥E﹣ABC的体积最大时，求异面直线CO与DE所成角的大小．【考点】异面直线及其所成的角；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）由题意推导出DC⊥BC，AC⊥BC，由此能证明BC⊥平面ACD．（2）连接CO，设点C到AB的距离为h，由，得到当h=2，即CO⊥AB时，三棱锥E﹣ABC的体积最大，由此能求出当三棱锥E﹣ABC的体积最大时，异面直线CO与DE所成角的大小．【解答】（文）（本题满分14分）本题共2个小题，第1小题，第2小题．证明：（1）由题意，得：DC⊥平面ABC，BC⊆平面ABC，∴DC⊥BC，又∵AB是圆O的直径，∴AC⊥BC，…于是由BC⊥DC，BC⊥AC，DC∩AC=C，∴BC⊥平面ACD．…解：（2）连接CO，设点C到AB的距离为h，则==，…故当h=2，即CO⊥AB时，三棱锥E﹣ABC的体积最大．…由DE∥BC得，∠BCO为异面直线CO与DE的所成角．…而在△BCO中，CO⊥AB，CO=OB=2 故∠BCO=，∴异面直线CO与DE所成角的大小为．…22．设椭圆C ： +=1（a ＞b ＞0），定义椭圆C 的“相关圆”E 为：x 2+y 2=．若抛物线y 2=4x 的焦点与椭圆C 的右焦点重合，且椭圆C 的短轴长与焦距相等． （1）求椭圆C 及其“相关圆”E 的方程；（2）过“相关圆”E 上任意一点P 作其切线l ，若l 与椭圆C 交于A ，B 两点，求证：∠AOB 为定值（O 为坐标原点）；（3）在（2）的条件下，求△OAB 面积的取值范围． 【考点】抛物线的简单性质．【分析】（1）求得抛物线的焦点，可得c=1，由a ，b ，c 的关系可得a ，进而得到椭圆方程和圆E 的方程； （2）讨论切线l 的斜率不存在，求出方程，可得交点A ，B ，求得向量OA ，OB 的坐标，可得∠AOB 为90°；l 的斜率存在时，设出直线方程，联立椭圆方程，运用韦达定理，结合直线和圆相切的条件：d=r ，化简整理，计算向量OA ，OB 的数量积，即可得证；（3）求得△AOB 的面积，讨论直线l 的斜率，运用弦长公式和基本不等式，求得最值，由不等式的性质，即可得到所求范围．【解答】解：（1）由抛物线y 2=4x 的焦点（1，0）与椭圆C 的右焦点重合， 可得c=1，又因为椭圆C 的短轴长与焦距相等，则b=c=1．a=，故椭圆C 的方程为：+y 2=1，其“相关圆”E 的方程为：x 2+y 2=；（2）证明：当切线l 的斜率不存在时切线方程为x=±， 与椭圆的两个交点为（，±）或（﹣，±）此时•=﹣=0，即∠AOB=90°；当切线l 斜率存在时，可设l 的方程为y=kx+m ，与椭圆方程联立，可得 （1+2k 2）x 2+4kmx+2m 2﹣2=0则△=16k 2m 2﹣4（1+2k 2）（2m 2﹣2）＞0，即为1+2k 2＞m 2， 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1+x 2=﹣，x 1x 2=，可得y 1y 2=（kx 1+m ）（kx 2+m ）=k 2x 1x 2+km （x 1+x 2）+m 2=k 2•+km （﹣）+m 2=，由l 与圆x 2+y 2=相切，可得d==，化为3m 2=2k 2+2，则•=x 1x 2+y 1y 2==0，即∠AOB=90°．综上所述∠AOB=90°为定值；（3）由于，求S △OAB 的取值范围，只需求出弦长|AB|的取值范围． 当直线l 的斜率不存在时，可得|AB|=，S △AOB =；当直线l 的斜率存在时，|AB|=•=•=•==，由=≤=，故，故，当且仅当4k 2=，即k=±时，．于是|AB|的取值范围为．因此S △OAB 的取值范围为．23．设S n 为数列{a n }的前n 项和，Sn=λa n ﹣1（λ为常数，n=1，2，3，…）． （I ）若a 3=a 22，求λ的值；（II ）是否存在实数λ，使得数列{a n }是等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在．请说明理由 （III ）当λ=2时，若数列{b n }满足b n+1=a n +b n （n=1，2，3，…），且b 1=，令，求数列{c n }的前n 项和T n ．【考点】数列递推式；等差关系的确定；数列的求和．【分析】（I ）利用S n =λa n ﹣1，通过n=1，2，3，求出a 1，a 2，a 3，利用a 3=a 22，即可求λ的值； （II ）通过反证法，假设存在实数λ，使得数列{a n }是等差数列，则2a 2=a 1+a 3，推出矛盾，所以不存在实数λ，使得数列{a n }是等差数列．（III ）当λ=2时，求出数列{a n }、数列{b n }的通项公式，通过，化简裂项，然后求数列{c n }的前n 项和T n ．【解答】解：（I ）因为S n =λa n ﹣1，所以a 1=λa 1﹣1，a 2+a 1=λa 2﹣1，a 3+a 2+a 1=λa 3﹣1， 由a 1=λa 1﹣1可知λ≠1， 所以a 1=，a 2=，a 3=，因为a 3=a 22， 所以，所以λ=0或λ=2．（II ）假设存在实数λ，使得数列{a n }是等差数列，则2a 2=a 1+a 3， 由（I ）可知，，所以，即1=0，矛盾，所以不存在实数λ，使得数列{a n }是等差数列． （III ）当λ=2时，S n =2a n ﹣1， 所以S n ﹣1=2a n ﹣1﹣1，且a 1=1，所以a n =2a n ﹣2a n ﹣1，即a n =2a n ﹣1 （n ≥2）． 所以a n ≠0（n ∈N *），且（n ≥2）．所以数列{a n }是以1为首项，2为公比的等比数列， 所以a n =2a n ﹣1（n ∈N *），因为b n+1=a n +b n （n=1，2，3，…），且b 1=， 所以b n =a n ﹣1+b n ﹣1=a n ﹣1+a n ﹣2+b n ﹣2=…=a n ﹣1+a n ﹣2+…+a 1+b 1 =．当n=1时上式也成立． 所以b n =．因为，所以=因为，所以T n =C 1+C 2+…+C n =2=1﹣=．。

上海市虹口区2019-2020学年高考数学三月模拟试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知向量(3sin ,2)a x =-r ，(1,cos )b x =r ，当a b ⊥r r 时，cos 22x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．1213-B ．1213C ．613-D ．613【答案】A 【解析】 【分析】根据向量的坐标运算，求出tan x ，22tan cos 22tan 1x x x π⎛⎫+=- ⎪+⎝⎭，即可求解. 【详解】a b⊥Q r r ，23sin 2cos 0,tan 3a b x x x ⋅=-=∴=r r 222sin cos cos 2sin 22sin cos x x x x x x π⎛⎫∴+=-=- ⎪+⎝⎭22tan 12tan 113x x =-=-+.故选:A. 【点睛】本题考查向量的坐标运算、诱导公式、二倍角公式、同角间的三角函数关系，属于中档题. 2．下列函数中，图象关于y 轴对称的为（ ）A ．()f x =B ．)(f x =，[]1,2x ∈-C ．si 8)n (f x x =D ．2()x xe ef x x-+= 【答案】D 【解析】 【分析】图象关于y 轴对称的函数为偶函数,用偶函数的定义及性质对选项进行判断可解. 【详解】图象关于y 轴对称的函数为偶函数； A 中，x ∈R ，()()f x f x -==-，故()f x =B 中，727)2(f x x x =++-的定义域为[]1,2-，不关于原点对称，故为非奇非偶函数；C 中，由正弦函数性质可知，si 8)n (f x x =为奇函数；D 中，x ∈R 且0x ≠，2((()))x x e f f e x x x -+==--，故2()x xe ef x x-+=为偶函数. 故选：D. 【点睛】本题考查判断函数奇偶性. 判断函数奇偶性的两种方法:(1)定义法：对于函数()f x 的定义域内任意一个x 都有()=()f x f x --，则函数()f x 是奇函数；都有()=()f x f x -，则函数()f x 是偶函数(2)图象法：函数是奇(偶)函数⇔函数图象关于原点(y 轴)对称．3．如图所示，正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为1，线段B 1D 1上有两个动点E 、F 且EF=22，则下列结论中错误的是（ ）A ．AC ⊥BEB ．EF //平面ABCDC ．三棱锥A-BEF 的体积为定值D ．异面直线AE,BF 所成的角为定值【答案】D 【解析】 【分析】A ．通过线面的垂直关系可证真假；B ．根据线面平行可证真假；C ．根据三棱锥的体积计算的公式可证真假；D ．根据列举特殊情况可证真假. 【详解】A ．因为11,,AC BD AC DD DD BD D ⊥⊥=I ，所以AC ⊥平面11BDDB ， 又因为BE ⊂平面11BDD B ，所以AC BE ⊥，故正确；B ．因为11//D B DB ，所以//EF DB ，且EF ⊂/平面ABCD ，DB ⊂平面ABCD ， 所以//EF 平面ABCD ，故正确；C ．因为11224BEF S EF BB =⨯⨯=V为定值，A 到平面11BDD B 的距离为1222h AC ==， 所以11312A BEF BEF V S h -=⋅⋅=V 为定值，故正确； D ．当1111AC B D E =I ，AC BD G ⋂=，取F 为1B ，如下图所示：因为//BF EG ，所以异面直线,AE BF 所成角为AEG ∠，且222tan 12AG AEG GE ∠===， 当1111AC B D F =I ，AC BD G ⋂=，取E 为1D ，如下图所示：因为11//,D F GB D F GB =，所以四边形1D GBF 是平行四边形，所以1//BF D G ，所以异面直线,AE BF 所成角为AEG ∠，且2232tan 212AGAEG GE∠===⎛⎫+ ⎪⎝⎭由此可知：异面直线,AE BF 所成角不是定值，故错误. 故选：D. 【点睛】本题考查立体几何中的综合应用，涉及到线面垂直与线面平行的证明、异面直线所成角以及三棱锥体积的计算，难度较难.注意求解异面直线所成角时，将直线平移至同一平面内.4．已知复数z 满足()125z i ⋅+=（i 为虚数单位），则在复平面内复数z 对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【分析】根据复数运算，求得z ，再求其对应点即可判断. 【详解】51212z i i==-+Q ，故其对应点的坐标为()1,2-. 其位于第四象限. 故选：D. 【点睛】本题考查复数的运算，以及复数对应点的坐标，属综合基础题.5．函数f(x)＝21xx e-的图象大致为() A ． B ．C ．D ．【答案】D 【解析】 【分析】根据函数为非偶函数可排除两个选项，再根据特殊值(2)f 可区分剩余两个选项. 【详解】因为f(－x)＝21x x e--≠f(x)知f(x)的图象不关于y 轴对称，排除选项B ，C.又f(2)＝214e -＝－23e <0.排除A ，故选D. 【点睛】本题主要考查了函数图象的对称性及特值法区分函数图象，属于中档题.6．在复平面内，复数21(1)ii +-对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B化简复数为a bi +的形式，然后判断复数的对应点所在象限，即可求得答案. 【详解】Q211(1)(1)22i i i ii i i i+++==---⋅111222i i -+==-+ ∴对应的点的坐标为11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭在第二象限故选：B. 【点睛】本题主要考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题.7．已知向量()1,2a =r ，()2,2b =-r ，(),1c λ=-r，若()//2c a b +r r r ，则λ=（ ）A ．2-B ．1-C ．12-D ．12【答案】A 【解析】 【分析】根据向量坐标运算求得2a b +rr，由平行关系构造方程可求得结果. 【详解】()1,2a =r Q ，()2,2b =-r ()24,2a b ∴+=rr ()//2c a b +rr r Q 24λ∴=-，解得：2λ=-故选：A 【点睛】本题考查根据向量平行关系求解参数值的问题，涉及到平面向量的坐标运算；关键是明确若两向量平行，则12210x y x y -=.8．已知集合{|A x y ==，2{|}10B x x x =-+≤，则A B I =( )A ．[12]-， B ．[1-C ．(1-D ．⎡⎣【答案】C 【解析】 【分析】计算A ⎡=⎣，(]1,2B =-，再计算交集得到答案.【详解】{|A x y ⎡==⎣=，(]2{|},1012x x B x -=-+=≤，故1(A B -=I . 故选：C . 【点睛】本题考查了交集运算，意在考查学生的计算能力.9．已知命题p ：任意4x ≥，都有2log 2x ≥；命题q ：a b >，则有22a b >．则下列命题为真命题的是（ ） A ．p q ∧ B ．()p q ∧⌝C ．()()p q ⌝∧⌝D ．()p q ⌝∨【答案】B 【解析】 【分析】先分别判断命题,p q 真假，再由复合命题的真假性，即可得出结论. 【详解】p 为真命题；命题q 是假命题，比如当0a b >>,或=12a b =-，时，则22a b > 不成立. 则p q ∧，()()p q ⌝∧⌝，()p q ⌝∨均为假. 故选:B 【点睛】本题考查复合命题的真假性，判断简单命题的真假是解题的关键，属于基础题. 10．已知(0,)απ∈，且tan 2α=，则cos2cos αα+=（ ）A ．35B ．35C ．35D ．35【答案】B 【解析】分析：首先利用同角三角函数关系式，结合题中所给的角的范围，求得cos α的值，之后借助于倍角公式，将待求的式子转化为关于cos α的式子，代入从而求得结果. 详解：根据题中的条件，可得α为锐角，根据tan 2α=，可求得cos α=，而223cos 2cos 2cos cos 11555αααα+=+-=+-=，故选B. 点睛：该题考查的是有关同角三角函数关系式以及倍角公式的应用，在解题的过程中，需要对已知真切求余弦的方法要明确，可以应用同角三角函数关系式求解，也可以结合三角函数的定义式求解.11．在ABC ∆中，0OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r ，2AE EB =u u u r u u u r，AB AC λ=u u u r u u u r ，若9AB AC AO EC ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ，则实数λ=( )A B ．C D 【答案】D 【解析】 【分析】将AO u u u r 、EC uuu r 用AB u u u r 、AC u u ur 表示，再代入9AB AC AO EC ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r 中计算即可.【详解】由0OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r，知O 为ABC ∆的重心，所以211()323AO AB AC =⨯+=u u u r u u u r u u u r ()AB AC +u u u r u u u r ，又2AE EB =u u u r u u u r ，所以23EC AC AE AC AB =-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，93()AO EC AB AC ⋅=+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r 2()3AC AB -u u ur u u u r2223AB AC AB AC AB AC =⋅-+=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以2223AB AC=u u u r u u u r ，||||AB AC λ===u u u ru u u r . 故选：D 【点睛】本题考查平面向量基本定理的应用，涉及到向量的线性运算，是一道中档题.12．一个盒子里有4个分别标有号码为1，2，3，4的小球，每次取出一个，记下它的标号后再放回盒子中，共取3次，则取得小球标号最大值是4的取法有（ ） A ．17种 B ．27种C ．37种D ．47种【答案】C 【解析】 【分析】由于是放回抽取,故每次的情况有4种,共有64种；先找到最大值不是4的情况,即三次取出标号均不为4的球的情况,进而求解. 【详解】所有可能的情况有3464=种,其中最大值不是4的情况有3327=种,所以取得小球标号最大值是4的取法有642737-=种, 故选:C 【点睛】本题考查古典概型,考查补集思想的应用,属于基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

上海市虹口区2019-2020学年高考第三次大联考数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．为了贯彻落实党中央精准扶贫决策，某市将其低收入家庭的基本情况经过统计绘制如图，其中各项统计不重复．若该市老年低收入家庭共有900户，则下列说法错误的是（ ）A ．该市总有 15000 户低收入家庭B ．在该市从业人员中，低收入家庭共有1800户C ．在该市无业人员中，低收入家庭有4350户D ．在该市大于18岁在读学生中，低收入家庭有 800 户 【答案】D 【解析】 【分析】根据给出的统计图表，对选项进行逐一判断，即可得到正确答案. 【详解】解：由题意知，该市老年低收入家庭共有900户，所占比例为6%， 则该市总有低收入家庭900÷6%＝15000（户），A 正确，该市从业人员中，低收入家庭共有15000×12%＝1800（户），B 正确， 该市无业人员中，低收入家庭有15000×29%%＝4350（户），C 正确， 该市大于18 岁在读学生中，低收入家庭有15000×4%＝600（户），D 错误． 故选：D. 【点睛】本题主要考查对统计图表的认识和分析，这类题要认真分析图表的内容，读懂图表反映出的信息是解题的关键,属于基础题.2．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且满足()()11f x f x +=-，当(]0,1x ∈时，()axf x e =-（其中e 是自然对数的底数），若()2020ln 28f -=，则实数a 的值为( ) A ．3- B ．3C ．13-D ．13【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，求得函数周期，利用周期性和函数值，即可求得a . 【详解】由已知可知，()()()2f x f x f x +=-=-，所以函数()f x 是一个以4为周期的周期函数， 所以()()()ln22020ln 2ln 2ln 228a a f f f e -=-=-===，解得3a =， 故选：B. 【点睛】本题考查函数周期的求解，涉及对数运算，属综合基础题.3．已知12,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的-一个公共点，且1223F PF π∠=，设椭圆和双曲线的离心率分别为12,e e ，则12,e e 的关系为（ ）A ．2212314e e += B ．221241433e e += C ．2212134e e += D ．221234e e +=【答案】A 【解析】 【分析】设椭圆的半长轴长为1a ，双曲线的半长轴长为2a ，根据椭圆和双曲线的定义得： 12112222PF PF a PF PF a ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩ ，解得112212PF a a PF a a ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩，然后在12F PF △中，由余弦定理得：()()()()22212121212242cos3c a a a a a a a a π=++--+⋅-⋅，化简求解. 【详解】设椭圆的长半轴长为1a ，双曲线的长半轴长为 2a ， 由椭圆和双曲线的定义得： 12112222PF PF a PF PF a ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩ ，解得112212PF a a PF a a ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩，设121222,3π=∠=F F c F PF ，在12F PF △中，由余弦定理得： ()()()()22212121212242cos3ca a a a a a a a π=++--+⋅-⋅，化简得2221234a a c +=，即2212314e e +=. 故选：A 【点睛】本题主要考查椭圆，双曲线的定义和性质以及余弦定理的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 4．已知函数()ln af x x a x=-+在[]1,e x ∈上有两个零点，则a 的取值范围是（ ） A ．e ,11e ⎡⎤-⎢⎥-⎣⎦B ．e ,11e ⎡⎫⎪⎢-⎣⎭C ．e ,11e ⎡⎫-⎪⎢-⎣⎭D ．[)1,e -【答案】C 【解析】 【分析】对函数求导，对a 分类讨论，分别求得函数()f x 的单调性及极值，结合端点处的函数值进行判断求解. 【详解】 ∵()21a f x x x +'== 2x a x +，[]1,e x ∈. 当1a ≥-时，()0f x '≥，()f x 在[]1,e 上单调递增，不合题意. 当a e ≤-时，()0f x '≤，()f x 在[]1,e 上单调递减，也不合题意.当1e a -<<-时，则[)1,x a ∈-时，()0f x '<，()f x 在[)1,a -上单调递减，(],e x a ∈-时，()0f x '>，()f x 在(],a e -上单调递增，又()10f =，所以()f x 在[]1,e x ∈上有两个零点，只需()10a f e a e =-+≥即可，解得11e a e≤<--. 综上，a 的取值范围是e ,11e ⎡⎫-⎪⎢-⎣⎭. 故选C. 【点睛】本题考查了利用导数解决函数零点的问题，考查了函数的单调性及极值问题，属于中档题． 5．一物体作变速直线运动，其v t -曲线如图所示，则该物体在1s~6s 2间的运动路程为（ ）m ．A ．1B ．43C ．494D ．2【答案】C 【解析】 【分析】由图像用分段函数表示()v t ，该物体在1s~6s 2间的运动路程可用定积分612()d s v t t =⎰表示，计算即得解 【详解】 由题中图像可得，2,01()2,1311,363t t v t t t t ⎧⎪≤<⎪=≤≤⎨⎪⎪+<≤⎩由变速直线运动的路程公式，可得61311132621()d 22d 1d 3s v t t tdt t t t ⎛⎫==+++ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰6132211231492(m)64tt t t ⎛⎫=+++= ⎪⎝⎭．所以物体在1s~6s 2间的运动路程是49m 4． 故选：C 【点睛】本题考查了定积分的实际应用，考查了学生转化划归，数形结合，数学运算的能力，属于中档题. 6．函数f(x)＝sin(wx ＋φ)(w ＞0，φ＜2π)的最小正周期是π，若将该函数的图象向右平移6π个单位后得到的函数图象关于直线x ＝2π对称，则函数f(x)的解析式为（ ） A ．f(x)＝sin(2x ＋3π) B ．f(x)＝sin(2x －3π) C ．f(x)＝sin(2x ＋6π) D ．f(x)＝sin(2x －6π)【答案】D 【解析】 【分析】由函数的周期求得2w =，再由平移后的函数图像关于直线2x π=对称，得到223ππϕ⨯+-2k ππ=+，由此求得满足条件的ϕ的值，即可求得答案. 【详解】分析：由函数的周期求得ω2=，再由平移后的函数图像关于直线πx 2=对称，得到πππ2φk π232⨯+-=+，由此求得满足条件的φ的值，即可求得答案. 详解：因为函数()()f x sin ωx φ=+的最小正周期是π，所以2ππω=，解得ω2=，所以()()f x sin 2x φ=+， 将该函数的图像向右平移π6个单位后，得到图像所对应的函数解析式为ππy sin 2x φsin 2x φ63⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 由此函数图像关于直线πx 2=对称，得： πππ2φk π232⨯+-=+，即πφk π,k Z 6=-∈，取k 0=，得πφ6=-，满足πφ2<，所以函数()f x 的解析式为()πf x sin 2x 6⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故选D. 【点睛】本题主要考查了三角函数的图象变换，以及函数的解析式的求解，其中解答中根据三角函数的图象变换得到sin(2)3y x πϕ=+-，再根据三角函数的性质求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.7．设22(1)1z i i=+++（i 是虚数单位），则||z =（ ）A B ．1C ．2D 【答案】A 【解析】 【分析】先利用复数代数形式的四则运算法则求出z ，即可根据复数的模计算公式求出||z ． 【详解】∵22)1121(1z i i i i i=-+=+=+++，∴22||112z =+=． 故选：A ． 【点睛】本题主要考查复数代数形式的四则运算法则的应用，以及复数的模计算公式的应用， 属于容易题．8．已知双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右顶点分别为1A ，2A ，虚轴的两个端点分别为1B ，2B ，若四边形1122A B A B 的内切圆面积为18π，则双曲线焦距的最小值为（ ）A ．8B ．16C ．62D ．122【答案】D 【解析】 【分析】根据题意画出几何关系，由四边形1122A B A B 的内切圆面积求得半径，结合四边形1122A B A B 面积关系求得c 与ab 等量关系，再根据基本不等式求得c 的取值范围，即可确定双曲线焦距的最小值.【详解】根据题意，画出几何关系如下图所示：设四边形1122A B A B 的内切圆半径为r ，双曲线半焦距为c ， 则21,,OA a OB b == 所以2221A B a b c =+=，四边形1122A B A B 的内切圆面积为18π， 则218r ππ=，解得32OC r == 则112212122111422A B A B S A A B B A B OC =⋅⋅=⨯⋅⋅四边形，即1122422a b c ⋅⋅=⨯⋅⋅故由基本不等式可得222a b c +=≤=，即c ≥， 当且仅当a b =时等号成立.故焦距的最小值为故选：D 【点睛】本题考查了双曲线的定义及其性质的简单应用，圆锥曲线与基本不等式综合应用，属于中档题. 9．命题p ：2(1,2],20()x x x a a ∀∈--+≥∈R 的否定为A ．2000(1,2],20()x x x a a ∃∈--+≥∈R B ．2(1,2],20()x x x a a ∀∈--+<∈R C ．2000(1,2],20()x x x a a ∃∈--+<∈R D ．2(1,2],20()x x x a a ∀∉--+<∈R【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】命题p 为全称命题，它的否定为特称命题，将全称量词改为存在量词，并将结论否定，可知命题p 的否定为2000(1,2],20()x x x a a ∃∈--+<∈R ，故选C ． 10．已知ABC V 的垂心为H ，且6,8,AB BC M ==是AC 的中点，则HM AC ⋅=u u u u r u u u r（ ） A ．14 B ．12C ．10D ．8【答案】A 【解析】 【分析】由垂心的性质，得到0BH AC ⋅=u u u r u u u r，可转化HM AC BM AC ⋅=⋅u u u u r u u u r u u u u r u u u r ，又1()()2BM AC BA BC BC BA ⋅=+⋅-u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 即得解. 【详解】因为H 为ABC V 的垂心，所以BH AC ⊥，所以0BH AC ⋅=u u u r u u u r ，而HM HB BM =+u u u u r u u u r u u u u r ，所以()HM AC HB BM AC BM AC ⋅=+⋅=⋅u u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r， 因为M 是AC 的中点，所以1()()2BM AC BA BC BC BA ⋅=+⋅-u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r2211()(6436)1422BC BA =-=-=u u ur u u u r ． 故选：A 【点睛】本题考查了利用向量的线性运算和向量的数量积的运算率，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.11．函数()[]()cos 2,2f x x x ππ=∈-的图象与函数()sin g x x =的图象的交点横坐标的和为（ ） A ．53πB ．2πC ．76π D ．π【答案】B 【解析】 【分析】根据两个函数相等，求出所有交点的横坐标，然后求和即可. 【详解】令sin cos2x x =，有2sin 12sin x x =-，所以sin 1x =-或1sin 2x =.又[],2x ππ∈-，所以2x π=-或32x π=或6x π=或56x π=，所以函数()[]()cos 2,2f x x x ππ=∈-的图象与函数()sin g x x =的图象交点的横坐标的和3522266s πππππ=-+++=，故选B. 【点睛】本题主要考查三角函数的图象及给值求角，侧重考查数学建模和数学运算的核心素养. 12．若，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】 【分析】由三角函数的诱导公式和倍角公式化简即可. 【详解】 因为，由诱导公式得，所以.故选B【点睛】本题考查了三角函数的诱导公式和倍角公式，灵活掌握公式是关键，属于基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

上海市虹口区2019-2020学年高考第三次质量检测数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．正三棱锥底面边长为3，侧棱与底面成60︒角，则正三棱锥的外接球的体积为（ ） A ．4π B ．16πC ．163πD ．323π【答案】D 【解析】 【分析】由侧棱与底面所成角及底面边长求得正棱锥的高，再利用勾股定理求得球半径后可得球体积． 【详解】如图，正三棱锥A BCD -中，M 是底面BCD ∆的中心，则AM 是正棱锥的高，ABM ∠是侧棱与底面所成的角，即ABM ∠＝60°，由底面边长为3得233332BM =⨯=， ∴tan 60333AM BM =︒=⨯=．正三棱锥A BCD -外接球球心O 必在AM 上，设球半径为R ， 则由222BO OM BM =+得222(3)(3)R R =-+，解得2R =， ∴3344322333V R πππ==⨯=． 故选：D ．【点睛】本题考查球体积，考查正三棱锥与外接球的关系．掌握正棱锥性质是解题关键．2．点O 在ABC ∆所在的平面内，OA OB OC ==u u u v u u u v u u u v ，2AB =u u u v，1AC =u u u v ，AO AB AC λμ=+u u u v u u u v u u u v(),R λμ∈，且()420λμμ-=≠，则BC =uu u v （ ） A ．73B ．72C ．7D 7【答案】D 【解析】 【分析】确定点O 为ABC ∆外心，代入化简得到56λ=，43μ=，再根据BC AC AB =-u u u r u u u r u u u r 计算得到答案.【详解】由OA OB OC ==u u u r u u u r u u u r可知，点O 为ABC ∆外心，则2122AB AO AB ⋅==u u u r u u u r u u u r ，21122AC AO AC ⋅==u u u r u u u r u u u r ，又AO AB AC λμ=+u u u r u u u r u u u r ，所以2242,1,2AO AB AB AC AB AC AB AO AC AB AC AC AB AC λμλμλμλμ⎧⋅=+⋅=+⋅=⎪⎨⋅=⋅+=⋅+=⎪⎩u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u vu u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ①因为42λμ-=，② 联立方程①②可得56λ=，43μ=，1AB AC ⋅=-u u u r u u u r ，因为BC AC AB =-u u u r u u u r u u u r ， 所以22227BC AC AB AC AB =+-⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，即BC =u u u r故选：D 【点睛】本题考查了向量模长的计算，意在考查学生的计算能力.3．双曲线()221x y m c m-=>的一条渐近线方程为20x y +=，那么它的离心率为（ ）AB．CD【答案】D 【解析】 【分析】根据双曲线()221x y m c m-=>的一条渐近线方程为20x y +=，列出方程，求出m 的值即可.【详解】∵双曲线()221x y m c m-=>的一条渐近线方程为20x y +=，12=，∴4m =，∴双曲线的离心率2c e a ==. 故选：D. 【点睛】本小题主要考查双曲线离心率的求法，属于基础题.4．已知抛物线C ：28x y =，点P 为C 上一点，过点P 作PQ x ⊥轴于点Q ，又知点()5,2A ，则PQ PA+的最小值为（ ） A ．132B．2C ．3D ．5【答案】C 【解析】 【分析】由2PQ PF =-,再运用,,P F A 三点共线时和最小，即可求解. 【详解】22523PQ PA PF PA FA +=-+≥-=-=.故选：C 【点睛】本题考查抛物线的定义，合理转化是本题的关键，注意抛物线的性质的灵活运用，属于中档题． 5．由曲线3,y x y ==围成的封闭图形的面积为（ ）A ．512 B ．13C ．14D ．12【答案】A 【解析】 【分析】先计算出两个图像的交点分别为()()0,0,1,1，再利用定积分算两个图形围成的面积. 【详解】封闭图形的面积为)1331412000215||3412x dx x x =-=⎰.选A. 【点睛】本题考察定积分的应用，属于基础题.解题时注意积分区间和被积函数的选取.6．已知1F 、2F 分别为双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点，过1F 的直线l 交C 于A 、B 两点，O 为坐标原点，若1OA BF ⊥，22||||AF BF =，则C 的离心率为（ ）A ．2B ．5C ．6D ．7【答案】D 【解析】 【分析】作出图象，取AB 中点E ，连接EF 2，设F 1A ＝x ，根据双曲线定义可得x ＝2a ，再由勾股定理可得到c 2＝7a 2，进而得到e 的值 【详解】解：取AB 中点E ，连接EF 2，则由已知可得BF 1⊥EF 2，F 1A ＝AE ＝EB ， 设F 1A ＝x ，则由双曲线定义可得AF 2＝2a+x ，BF 1﹣BF 2＝3x ﹣2a ﹣x ＝2a ， 所以x ＝2a ，则EF 2＝23a ，由勾股定理可得（4a ）2+（23a ）2＝（2c ）2， 所以c 2＝7a 2， 则e 7ca== 故选：D ．【点睛】本题考查双曲线定义的应用，考查离心率的求法，数形结合思想，属于中档题．对于圆锥曲线中求离心率的问题，关键是列出含有,,a b c 中两个量的方程，有时还要结合椭圆、双曲线的定义对方程进行整理，从而求出离心率.7．已知正项等比数列{}n a 中，存在两项,m n a a 13m n a a a ⋅=，65423a a a =+，则14m n+的最小值是（ ） A ．32B ．2C ．73D ．94【答案】C 【解析】 【分析】由已知求出等比数列{}n a 的公比，进而求出4m n +=，尝试用基本不等式，但*,m n ∈N 取不到等号，所以考虑直接取,m n 的值代入比较即可. 【详解】65423a a a =+Q ，2230q q ∴--=，3q ∴=或1q =-（舍）.13a =Q ，2221139m n m n a a a a +-∴⋅=⋅=，4m n ∴+=.当1m =，3n =时1473m n +=； 当2m =，2n =时1452m n +=； 当3m =，1n =时，14133m n +=，所以最小值为73. 故选:C. 【点睛】本题考查等比数列通项公式基本量的计算及最小值，属于基础题.8．若实数,x y 满足不等式组121210x y x y x y +≥-⎧⎪-≤-⎨⎪--≤⎩，则234x y -+的最大值为（ ）A ．1-B ．2-C ．3D ．2【答案】C 【解析】 【分析】作出可行域，直线目标函数对应的直线l ，平移该直线可得最优解． 【详解】作出可行域，如图由射线AB ，线段AC ，射线CD 围成的阴影部分（含边界），作直线:2340l x y -+=，平移直线l ，当l 过点(1,1)C 时，234z x y =-+取得最大值1． 故选：C ．【点睛】本题考查简单的线性规划问题，解题关键是作出可行域，本题要注意可行域不是一个封闭图形． 9．在直角坐标系中，已知A （1，0），B （4，0），若直线x+my ﹣1=0上存在点P ，使得|PA|=2|PB|，则正实数m 的最小值是( ) A ．13B ．3C ．33D 3【答案】D 【解析】 【分析】设点()1,P my y -，由2PA PB =，得关于y 的方程.由题意，该方程有解，则0∆≥，求出正实数m 的取值范围，即求正实数m 的最小值. 【详解】由题意，设点()1,P my y -.222,4PA PB PA PB =∴=Q ，即()()222211414my y my y ⎡⎤--+=--+⎣⎦，整理得()2218120m y my +++=， 则()()22841120m m ∆=-+⨯≥，解得3m ≥或3m ≤.min 0,3,3m m m >∴∴=Q .故选：D . 【点睛】本题考查直线与方程，考查平面内两点间距离公式，属于中档题.10．我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，用现代式子表示即为：在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，则ABC ∆的面积S =.根据此公式，若()cos 3cos 0a B b c A ++=，且2222a b c --=，则ABC ∆的面积为（ ）AB．CD．【答案】A 【解析】 【分析】根据()cos 3cos 0a B b c A ++=，利用正弦定理边化为角得sin cos cos sin 3sin cos 0A B A B C A ++=，整理为()sin 13cos 0C A +=，根据sin 0C ≠，得1cos 3A =-，再由余弦定理得3bc =，又2222a b c --=，代入公式=S 求解. 【详解】由()cos 3cos 0a B b c A ++=得sin cos cos sin 3sin cos 0A B A B C A ++=， 即()sin 3sin cos 0A B C A ++=，即()sin 13cos 0C A +=， 因为sin 0C ≠，所以1cos 3A =-， 由余弦定理22222cos 23a b c bc A bc --=-==，所以3bc =， 由ABC ∆的面积公式得S ===故选：A 【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理以及类比推理，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 11．设i 是虚数单位，若复数103m i++（m R ∈）是纯虚数，则m 的值为（ ） A ．3- B ．1-C ．1D ．3【答案】A 【解析】 【分析】根据复数除法运算化简，结合纯虚数定义即可求得m 的值. 【详解】由复数的除法运算化简可得1033m m i i+=+-+， 因为是纯虚数，所以30m +=， ∴3m =-， 故选：A. 【点睛】本题考查了复数的概念和除法运算，属于基础题.12．已知点2F 为双曲线222:1(0)4x y C a a -=>的右焦点，直线y kx =与双曲线交于A ，B 两点，若223AF B π∠=，则2AF B V 的面积为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】 【分析】设双曲线C 的左焦点为1F ，连接11,AF BF ，由对称性可知四边形12AF BF 是平行四边形，设1122,AF r AF r ==，得222121242cos3c r r r r π=+-，求出12r r 的值，即得解.【详解】设双曲线C 的左焦点为1F ，连接11,AF BF ， 由对称性可知四边形12AF BF 是平行四边形， 所以122AF F AF B S S =V V ，123F AF π∠=.设1122,AF r AF r ==，则222221212121242cos 3c r r r r r r r r π=+-=+-，又122r r a -=.故212416rr b ==，所以12121sin 23AF F S r r π==V 故选：D 【点睛】本题主要考查双曲线的简单几何性质，考查余弦定理解三角形和三角形面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2019届上海市高考模拟卷（三）数学试题一、单选题1．设x ∈R ，则“|x －2|<1”是“x 2＋x －2>0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】根据不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】解：由“|x ﹣2|＜1”得1＜x ＜3，由x 2+x ﹣2＞0得x ＞1或x ＜﹣2，即“|x ﹣2|＜1”是“x 2+x ﹣2＞0”的充分不必要条件，故选：A ．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．2．已知集合{(,)|||||1}P x y x y =+…，{}22(,)|1Q x y x y =+…，则有（ ）A ．P Q =B ．PQ C ．P Q P = D ．P Q Q ⋂=【答案】B【解析】根据两个集合分别表示的平面区域分析可得答案. 【详解】因为{(,)|||||1}P x y x y =+…表示四个顶点分别为(1,0),(0,1),(1,0),(0,1)--的正方形围成的区域(包括边界),而{}22(,)|1Q x y x y =+…表示的圆心为原点,半径为1的圆围成的区域(包括边界),所以P Q .故选:B 【点睛】本题考查了集合之间的真子集关系,属于基础题.3．将向量1a =(1x ，1y )，2a =(2x ，2y )，…n a =(n x ,n y )组成的系列称为向量列{n a }，并定义向量列{n a }的前n 项和12n n S a a a =++⋅⋅⋅+．如果一个向量列从第二项起,每一项与前一项的差都等于同一个向量，那么称这样的向量列为等差向量列。

若向量列{n a }是等差向量列，那么下述四个向量中，与21S 一定平行的向量是 ( ) A ．10a B ．11aC ．20aD ．21a【答案】B【解析】依题意，当{}n a 为等差向量列时，设每一项与前一项的差都等于d ，则可求出通项公式1(1)n a a n d =+- ，所以{}n a 前21项和211221111111()(20)2121021S a a a a a d a d a d a =+++=+++++=+= ，故与21S 平行的向量是11a ，选B.点睛: 本题主要考查新定义: 等差向量列的理解和应用, 属于中档题. 解题思路：设每一项与前一项的差都等于d ，运用类似等差数列的通项和求和公式，计算可得211121S a =，由向量共线定理，可得出结论. 考查类比的数学思想方法和向量共线定理的运用.4．设集合A ＝[0，12)，B ＝[12，1]，函数()()1,221,x x Af x x x B⎧+∈⎪=⎨⎪-∈⎩，若x 0∈A ，且f[f(x 0)]∈A ，则x 0的取值范围是( ) A ．(0，14] B ．(14，12) C ．(14，12] D ．[0，38]【答案】B 【解析】【详解】 ∵x 0∈A ，∴f(x 0)＝x 0＋12∈B. ∴f[f(x 0)]＝f(x 0＋12)＝2(1－x 0－12)＝1－2x 0. 又因为f[f(x 0)]∈A ，∴0≤1－2x 0<12， 解得14<x 0≤12，又0≤x 0<12.∴14<x 0<12，故选B.二、填空题5．函数sin cos cos sin 44y x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小正周期T =___________.【答案】π【解析】利用两角和的正弦公式化简函数表达式，由此求得函数的最小正周期. 【详解】依题意ππsin sin 244y x x x ⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故函数的周期2ππ2T ==. 故填：π. 【点睛】本小题主要考查两角和的正弦公式，考查三角函数最小正周期的求法，属于基础题.6．若函数21()12x f x =，(0,)x ∈+∞，则其反函数1()f x -=_________.【答案】2log (1)1x +-,(1,)x ∈+∞【解析】计算二阶行列式化简()f x ,再根据求反函数的步骤可求得反函数. 【详解】因为21()12x f x =1221121x x +=⨯-⨯=-,因为x ∈(0,)+∞,所以()(1,)f x ∈+∞, 所以由121x y +=-得21log (1)x y +=+,所以2log (1)1x y =+-,交换,x y 可得2log (1)1y x =+-, 所以12()log (1)1fx x -=+-,(1,)x ∈+∞,故答案为:2log (1)1x +-, (1,)x ∈+∞. 【点睛】本题考查了二阶行列式的计算,反函数的求法,属于基础题.7．在614x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，2x 的系数为 .【答案】1516【解析】614x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项为6621661144rrr r r r r T C x C x x --+⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由622r -=得2r =，所以222236115416T C x x ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，所以该项系数为1516.【考点】二项式定理及二项展开式的通项.8．过原点且与圆22420x y x y ++-=相切的直线方程为_______. 【答案】20x y -=【解析】切线的斜率显然存在,设出切线方程,利用圆心到直线的距离等于半径,列方程可解得答案. 【详解】由22420x y x y ++-=得22(2)(1)5++-=x y ,所以圆心为(2,1)-,因为圆心到y 轴的距离为2,所以所求切线的斜率一定存在, 所以设所求切线方程为y kx =,即0kx y -=,=解得2k =,所以所求切线方程为20x y -=. 故答案为:20x y -=. 【点睛】本题考查了求圆的切线方程,属于基础题.9．我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓放粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为__________石；（结果四舍五入，精确到各位）． 【答案】169【解析】根据古典概型概率公式可得这批米内夹谷的概率约为28254，所以这批米内夹谷约为281534169254⨯≈石，故答案为169. 10．抛物线x 2=2py （p ＞0）的焦点为F ，其准线与双曲线-=1相交于A ，B 两点，若△ABF 为等边三角形，则p=___________. 【答案】6【解析】因为抛物线x 2=2py 的准线2py =-和双曲线-=1相交交点横坐标为=, 6.2x p p =∴=由等边三角形得解得【考点】本题主要考查抛物线的概念、标准方程、几何性质，考查分析问题解决问题的能力.11．若复数z x yi =+（x ，y ∈R ，i 为虚数单位）满足|||22|z z i =--，则33x y +的最小值为_______. 【答案】6【解析】根据复数模的计算公式将|||22|z z i =--化为2y x =-,将其代入到33x y +后,利用基本不等式可求得答案. 【详解】由|||22|z z i =--=化简得2x y +=,即2y x =-, 所以33x y +233x x -=+932363x x =+≥=⨯=,当且仅当 1.1x y ==时等号成立. 故答案为:6 【点睛】本题考查了复数的模的公式,基本不等式求最小值,属于基础题. 12．一个等差数列{}n a 中，2nna a 是一个与n 无关的常数，则此常数的集合为 ．【答案】11,2⎧⎫⎨⎬⎩⎭【解析】试题分析：设数列的首项为1a ，公差为d ，()()1211,21n n a a n d a a n d ∴=+-=+-1212n n a a d nd a a d nd-+∴=-+ 2n n a a 是一个与n 无关的常数10a d ∴-=或0d =，所以比值常数为11,2⎧⎫⎨⎬⎩⎭【考点】等差数列通项公式13．已知直三棱柱111ABC A B C -的6个顶点都在球O 的球面上，若3AB =，4AC =，AB AC ⊥，112AA =，则球的表面积为______.【答案】169π【解析】把直三棱柱111ABC A B C -的补成一个长方体，则直三棱柱111ABC A B C -的外接球和长方体的外接球是同一个球，由长方体的对角线长等于球的直径，求得球的半径，再利用球的表面积公式，即可求解． 【详解】由题意，直三棱柱111ABC A B C -的底面ABC ∆为直角三角形， 可把直三棱柱111ABC A B C -的补成一个长方体，则直三棱柱111ABC A B C -的外接球和长方体的外接球是同一个球， 又由长方体的对角线长等于球的直径，且13,4,12AB AC AA ===，即213R ===，即132R =， 所以球的表面积为221344()1692S R πππ==⨯=． 故答案为：169π 【点睛】本题主要考查了直三棱柱与球的组合体问题，以及球的表面积的计算，其中解答中根据组合体的结构特征，求得球的半径是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．14．新一季“中国好声音”开唱，开场节目是四位导师各选一首自己的代表作供其他导师演唱，每人恰好都是唱别人的歌.假设四首歌已选定，则有______种不同演唱方式. 【答案】9【解析】将问题转化为四个元素填四个空的全错位排列后,再按照元素1的位置分3类讨论计算结果相加即可得到. 【详解】将四位导师抽象为四个元素,设为1,2,3,4,四首歌抽象为四个空位,设为1,2,3,4,依题意转化为四个元素填四个空的全错位排列,第一类:元素1填在2号空位,则元素2有3种填法,元素3,4填法唯一,此时共有3种填法; 第二类,元素1填在3号空位,则元素3有3种填法,元素2,4填法唯一,此时共有3种填法;第三类,元素1填在4号空位,则元素4有3种填法,元素2,3填法唯一,此时共有3种填法; 根据分类计算原理可得共有3+3+3=9种填法. 综上所述,共有9种不同的演唱方式. 故答案为:9 【点睛】本题考查了有限制条件的排列问题,属于中档题.15．若函数()2(1)y x x ax b =+++的图象关于点()20，成中心对称，则a b +=______. 【答案】3【解析】在函数()2(1)y x x ax b =+++的图象上取两点(1,0)-,(0,)b ,求出它们关于点(2,0)对称的点(5,0),(4,)b -后,代入()2(1)y x x ax b =+++,解方程组可得答案.【详解】在函数()2(1)y x x ax b =+++的图象上取两点(1,0)-,(0,)b ,则它们关于点(2,0)对称的点(5,0),(4,)b -也在函数()2(1)y x x ax b =+++的图象上, 即(51)(255)0(41)(164)a b a b b +++=⎧⎨+++=-⎩,即52510340a b a b +=-⎧⎨+=-⎩,解得7,10a b =-=,所以3a b +=. 故答案为:3 【点睛】本题考查了函数图象的对称中心的性质,属于基础题.16．在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，两定点,A B 满足·2OA OB OAOB===，由点集{|,1,,}P OP OA OB R λμλμλμ=++≤∈所表示的区域的面积是__________．【答案】【解析】【详解】由|OA |＝|OB |＝OA ·OB ＝2，知cos ∠AOB ＝12，又0≤∠AOB ≤π，则∠AOB ＝3π，又A ，B 是两定点，可设A 1)，B (0,2)，P (x ，y )，由OP ＝λOA ＋μOB，可得{2x y λμ，＝＋⇒{26x y x λμ==-.因为|λ|＋|μ|≤1x＋2y x -≤1， 等价于由可行域可得S 0＝12×P 所表示的区域面积S ＝4S 0＝三、解答题17．已知(sin ,1)a α=，(cos ,2)b α=，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. （1）若//a b ，求sin 2α的值； （2）在（1）的条件下，若5cos()13αβ+=，0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求sinβ的值. 【答案】(1)45,(2)65【解析】(1)由//a b 可得1tan 2α=,再由万能公式可得sin 2α的值, (2)利用sin sin()βαβα=+-sin()cos cos()sin αβααβα=+-+可得答案. 【详解】(1)因为 //a b ,所以2sin cos 0αα-=,即1tan 2α=, 所以2222sin cos 2tan sin 22sin cos sin cos tan 1ααααααααα===++2124215()12⨯==+. (2)由(1)知,cos 2sin αα= ,且(0,)2πα∈,所以22sin (2sin )1αα+=,所以21sin 5α=,所以sin α,cos α=, 又(0,)2πβ∈,所以(0,)αβπ+∈,所以12sin()13αβ+===, 所以sin sin()sin()cos cos()sin βαβααβααβα=+-=+-+1251313=-=【点睛】本题考查了向量平行的坐标表示,二倍角的正弦公式,同角公式,两角差的正弦公式,属于基础题.18．如图，正四棱锥P ABCD -内接于圆锥，圆锥的轴截面是边长为10cm 的正三角形.（1）求异面直线PA 与BC 所成角的大小；（2）若正四棱锥由圆锥削去一部分得到，则需要削去部分的体积为多少？（精确到30.1cm ）【答案】(1)arccos4,(2)382.3cm .【解析】(1)根据//AD BC 可知, PAD ∠就是异面直线P A 与BC 所成的角,在三角形PAD 中由余弦定理可求得,(2)用圆锥的体积减去正四棱锥的体积即可得到答案. 【详解】(1)在正四棱锥P ABCD -中,//AD BC ,所以PAD ∠就是异面直线P A 与BC 所成的角,在正方形ABCD 中,10AC =,所以AD =, 在三角形PAD 中,10PA PD ==,所以222cos2PA AD PD PAD PA AD +-∠=⨯⨯2224==,所以PAD ∠=,所以异面直线P A 与BC 所成角的大小为.(2)在直角三角形PAO 中,PO ===所以圆锥的体积211133V PO AO π=⋅⋅⋅=⨯25⨯=,正四棱锥P ABCD -的体积221133V PO AD =⋅⋅=⨯23=,所以需要削去部分的体积为12(2)333V V π-=-=-82.3≈. 所以需要削去部分的体积约为82.33cm . 【点睛】本题考查了正四棱锥的结构特征,异面直线所成角,椎体的体积公式,属于中档题. 19．首项为12的无穷等比数列{}n a 所有项的和为1，n S 为{}n a 的前n 项和，又()25log 1n n b S t +-=，常数*t N ∈，数列{}n c 满足n n n c a b =⋅.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若{}n c 是递减数列，求t 的最小值. 【答案】(1)12n na =,(2)1【解析】(1)根据无穷等比数列{}n a 所有项的和为1,求出公比12q =,再根据等比数列的通项公式可得;(2)求出n S 后代入可得5n b n t =+,1(5)2n n c n t =+⋅,然后根据数列递减可得10n n c c +-<恒成立,由不等式恒成立可得答案.【详解】(1)设无穷等比数列{}n a 的公比为q ,则111a q =-,所以1211q=-,解得12q =,所以111111()222n n n n a a q--==⨯=, (2)因为11(1)22112n n S -=-112n =-,所以215log (11)2n n b t +-+=, 所以5n b n t =+,所以1(5)2n n n n c a b n t ==+⋅,因为{}n c 是递减数列, 所以1111(55)(5)22n n n n c c n t n t ++-=++⋅-+⋅11(55102)2n n t n t +=++--⋅ +11(55)2n n t =--⋅0< 恒成立,所以550n t --<恒成立,所以55t n >-+恒成立,因为()55f n n =-+为递减函数,所以1n =时,()f n 取得最大值(1)550f =-+=, 所以0t >,又因为*t N ∈,所以t 的最小值为1. 【点睛】本题考查了无穷等比数列的和,等比数列的通项公式和前n 项和,数列的单调性,属于中档题.20．设S 、T 是R 的两个非空子集，如果函数()y f x =满足：①{()|}T f x x S =∈；②对任意1x ，2x S ∈，当12x x <时，恒有()()12f x f x <，那么称函数()y f x =为集合S 到集合T 的“保序同构函数”.（1）试写出集合{|01}A x x =<<到集合R 的一个“保序同构函数”； （2）求证：不存在从集合Z 到集合Q 的“保序同构函数”； （3）已知2()1xf x x =+是集合[]0,s 到集合[]0,t 的“保序同构函数”，求s 和t 的最大值.【答案】(1) ()tan()2f x x ππ=-(01)x <<,(2)证明见解析,(3)s 的最大值为1,t 的最大值为12【解析】(1)直接由题意写出()tan()2f x x ππ=-(01)x <<即可;(2)用反证法证明即可;(3)用定义证明()f x 在[0,1]上递增,在[1,)+∞上递减后,可得1s ≤,(1)t f ≤. 【详解】(1)取()tan()2f x x ππ=-(01)x <<,该函数是集合{|01}A x x =<<到集合R 的一个“保序同构函数”; 证明:任取1201x x <<<, 则122222x x ππππππ-<-<-<,因为tan y x =在(,)22ππ-上为增函数,所以12tan()tan()22x x ππππ-<-, 即12()()f x f x <,由定义可知, 函数()tan()2f x x ππ=-是集合{|01}A x x =<<到集合R 的一个“保序同构函数”.(2)证明:假设存在一个从集合Z 到集合Q 的“保序同构函数”,由“保序同构函数”的定义可知,集合Z 和集合Q 中的元素必须是一一对应的,不妨设整数0和1在Q 中的像分别为a 和b ,根据保序性,因为0<1,所以a b <,又2a b +也是有理数,但是2a b+没有确定的原像,因为0和1之间没有另外的整数了,故假设不成立,故不存在从集合Z 到集合Q 的“保序同构函数”.(3)设120x x <<,则12122212()()11x x f x f x x x -=-++21122212()(1)(1)(1)x x x x x x --++, 所以当1201x x <<≤时,21120,10x x x x ->-<,所以12())0(f x f x -<,即12()()f x f x <,所以()f x 在[0,1]上递增,当211x x >≥时, 21120,10x x x x ->->,所以12())0(f x f x ->,即12()()f x f x >, 所以()f x 在[1,)+∞上递减, 因为2()1xf x x =+是集合[]0,s 到集合[]0,t 的“保序同构函数”,所以()f x 在[0,]s 上递增,所以1s ≤,所以s 的最大值为1,t 的最大值为11(1)112f ==+. 【点睛】本题考查了正切函数的单调性,函数单调性的定义,利用单调性求函数的最值,属于难题.。

第5题图2019-2020年高三3月高考模拟 文科数学 含答案本试题分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页. 考试时间120分钟，满分150分，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.注意事项：1.答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类写在答题卡和试卷规定的位置上.2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上.3.第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带.不按以上要求作答的答案无效.4.填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 参考公式：1.锥体的体积公式：，其中是锥体的底面积，是锥体的高;2.方差],)()([(1222212x x x x x x ns n -++-+-=其中为的平均数. 第I 卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，集合，，则集合 A ．{3，4，6}B ．{3，5}C ．{0，5}D ．{0，2，4}2. 设复数（是虚数单位），则复数的虚部为 A ． B. C. D.3. 若，，，则 A ． B.C. D.4. 设，则“”是“”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D 5. 若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是 A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 6. 已知两条直线， 平行，则A ．-1B ．2C ．0或-2D ．-1或2 7. 若抛物线的焦点在直线上，则该抛物线的准线方程为 A. B. C. D. 8. 等差数列中，，则它的前9项和 A ．9 B ．18 C ．36D ．729. 已知函数的最小正周期为，则的单调递增区间 A. B. C. D.10. 函数的图象大致为11. 一个几何体的三视图如右图所示，则它的体积为A. B. C. 20 D. 40 12. 若函数的图象与x 轴交于点A ，过点A 的直线与函数的图象交于B 、C 两点，则A ．-32B ．-16C ．16D ．32第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分.13. 为了均衡教育资源，加大对偏远地区的教育投入，调查了某地若干户家庭的年收入x （单位：万元）和年教育支出y （单位：万元），调查显示年收入x 与年教育支出y 具有线性相关关系，并由调查数据得到y 对x 的回归直线方程：.由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年教育支出平均增加____________万元． 14. 已知实数x ，y 满足，则的最小值是 . 15. 下列命题正确的序号为 .①函数的定义域为;②定义在上的偶函数最小值为; ③若命题对，都有，则命题，有; ④若，，则的最小值为.16. 若双曲线渐近线上的一个动点P 总在平面区域内，则实数的取值范围是 .三、解答题：本大题共6小题，共74分. 17. (本小题满分12分) 在中，边、、分别是角、、的对边，且满足. （1）求； （2）若，，求边，的值.18. (本小题满分12分)以下茎叶图记录了甲组3名同学寒假假期中去图书馆学习的次数和乙组4名同学寒假假期中去图书馆学习的次数. 乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以x 表示.（1）如果x =7，求乙组同学去图书馆学习次数的平均数和方差；（2）如果x =9，从学习次数大于8的学生中选两名同学，求选出的两名同学恰好分别在两个图书馆学习且学习的次数第11题图甲组0 1x 8 29 21 9 乙组 第18题图和大于20的概率.19. (本小题满分12分)正项等比数列的前项和为，，且的等差中项为. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和 .20. (本小题满分12分)已知在如图的多面体中，⊥底面，， ，是的中点． （1）求证：平面； （2）求证：平面．21. (本小题满分12分)已知椭圆的左右焦点分别为F 1和F 2，由4个点M(-a ,b )、N(a ,b )、F 2和F 1组成了一个高为，面积为的等腰梯形.（1）求椭圆的方程;（2）过点F 1的直线和椭圆交于两点A 、B ，求F 2AB 面积的最大值.22. (本小题满分14分)已知函数，其中是自然对数的底数，． （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）若，求的单调区间；（3）若，函数的图象与函数的图象有3个不同的交点，求实数的取值范围.xx 年3月济南市高考模拟考试文科数学参考答案1.C2.B3.A4.B5.C6.D7.A8.B9.D 10.A 11.B 12.DA DFEB GC 第20题图13.0.15 14. 15.②③④ 16. 17. 解：（1）由正弦定理和，得， …………………2分 化简，得即， …………………4分故.所以. …………………6分 （2）因为， 所以所以，即. （1） …………………8分 又因为,整理得，. （2） …………………10分 联立（1）（2） ，解得或. …………………12分18. 解（1）当x =7时，由茎叶图可知，乙组同学去图书馆学习次数是：7，8，9，12，所以平均数为 …………………3分 方差为.27])912()99()98()97[(4122222=-+-+-+-=s ……………6分 （2）记甲组3名同学为A 1，A 2，A 3，他们去图书馆学习次数依次为9，12，11；乙组4名同学为B 1，B 2，B 3，B 4，他们去图书馆学习次数依次为9，8，9，12；从学习次数大于8的学生中人选两名学生，所有可能的结果有15个，它们是：A 1A 2，A 1A 3，A 1B 1，A 1B 3，A 1B 4，A 2A 3，A 2B 1，A 2B 3，A 2B 4，A 3B 1，A 3B 3，A 3B 4， B 1 B 3，B 1B 4，B 3B 4. …………………9分 用C 表示：“选出的两名同学恰好在两个图书馆学习且学习的次数和大于20”这一事件，则C 中的结果有5个，它们是：A 1B 4，A 2B 4，A 2B 3，A 2B 1，A 3B 4，故选出的两名同学恰好分别在两个图书馆学习且学习的次数和大于20概率为 …………………12分 19. 解：（1）设等比数列的公比为，由题意，得，解得. …………………4分所以. …………………5分 （2）因为， …………………6分 所以，121275322123222141+-+-++++=n n n nn T ， …………………8分 所以12127532212121212143+--+++++=n n n n T…………………11分故. …………………12分A DFEBGC20. 证明：（1）∵，∴． ………………1分 又∵,是的中点，∴， ………………2分 ∴四边形是平行四边形，∴ ． ………………4分 ∵平面，平面，∴平面． ………5分 （2）连结，四边形是矩形， ∵，⊥底面，∴平面，平面， ∴．…………8分 ∵，∴四边形为菱形，∴， …………………11分 又平面，平面，∴平面． …………………12分21. 解：（1）由条件，得b=，且，所以a+c=3. …………………2分 又，解得a=2，c=1.所以椭圆的方程. …………………4分（2）显然，直线的斜率不能为0，设直线方程为x=my -1，直线与椭圆交于A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2).联立方程 ，消去x 得, ，因为直线过椭圆内的点，无论m 为何值，直线和椭圆总相交. …………………6分 = ……………………8分22222221221)311(14)43(1124)(+++=++=-+=m m m m y y y y…………………10分令,设,易知时,函数单调递减, 函数单调递增 所以 当t==1即m=0时，取最大值3. …………………12分 22. 解：（1）因为，所以， ………………1分所以曲线在点处的切线斜率为. ………………2分又因为，所以所求切线方程为，即．………………3分（2），①若，当或时，；当时，.所以的单调递减区间为，；单调递增区间为. …………………5分②若，，所以的单调递减区间为.…………………6分③若，当或时，；当时，.所以的单调递减区间为，；单调递增区间为. …………………8分（3）由（2）知，在上单调递减，在单调递增，在上单调递减，所以在处取得极小值，在处取得极大值.…………………10分由，得.当或时，；当时，.所以在上单调递增，在单调递减，在上单调递增.故在处取得极大值，在处取得极小值.…………………12分因为函数与函数的图象有3个不同的交点，所以，即. 所以.…………14分。

上海市虹口区2019-2020学年高考数学三模考试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若集合}{}{2,33A x y x B x x ==-=-≤≤，则A B =I （ ） A ．[]3,2-B ．{}23x x ≤≤C ．()2,3D ．{}32x x -≤< 【答案】A【解析】【分析】先确定集合A 中的元素，然后由交集定义求解．【详解】 {}{}{}22,33A x y x x x B x x ==-=≤=-≤≤Q ，{}32x x ∴A⋂B =-≤≤.故选：A ．【点睛】本题考查求集合的交集运算，掌握交集定义是解题关键．2．圆锥底面半径为5，高为2，SA 是一条母线，P 点是底面圆周上一点，则P 点到SA 所在直线的距离的最大值是（ ）A ．25B ．45C ．3D ．4【答案】C【解析】分析：作出图形，判断轴截面的三角形的形状，然后转化求解P 的位置，推出结果即可.详解：圆锥底面半径为5，高为2，SA 是一条母线，P 点是底面圆周上一点，P 在底面的射影为O ；543SA =+=，OA SO >，过SA 的轴截面如图：90ASQ ∠>︒，过Q 作QT SA ⊥于T ，则QT QS <，在底面圆周，选择P ，使得90PSA ∠=︒，则P 到SA 的距离的最大值为3，故选：C点睛：本题考查空间点线面距离的求法，考查空间想象能力以及计算能力，解题的关键是作出轴截面图形，属中档题．3．已知定义在R 上函数()f x 的图象关于原点对称，且()()120f x f x ++-=，若()11f =，则()1(2)(3)(2020)f f f f ++++=L （ ）A ．0B ．1C ．673D ．674【答案】B【解析】【分析】由题知()f x 为奇函数，且()()120f x f x ++-=可得函数()f x 的周期为3，分别求出()00f ，=()11f =，()21f =-，知函数在一个周期内的和是0，利用函数周期性对所求式子进行化简可得.【详解】因为()f x 为奇函数，故()00f =；因为()()120f x f x ++-=，故()()()122f x f x f x +=--=-，可知函数()f x 的周期为3；在()()120f x f x ++-=中，令1x =，故()()211f f =-=-，故函数()f x 在一个周期内的函数值和为0，故(1)(2)(3)(2020)(1)1f f f f f ++++==L .故选：B.【点睛】本题考查函数奇偶性与周期性综合问题. 其解题思路：函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．4．若双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的渐近线与圆()2221x y -+=相切，则双曲线的离心率为( )A ．2B ．C D【答案】C【解析】【分析】利用圆心(2,0)到渐近线的距离等于半径即可建立,,a b c 间的关系.由已知，双曲线的渐近线方程为0bx ay ±=，故圆心(2,0)到渐近线的距离等于1，即221a b =+， 所以223a b =，211()13c b e a a ==+=+=23. 故选：C.【点睛】 本题考查双曲线离心率的求法，求双曲线离心率问题，关键是建立,,a b c 三者间的方程或不等关系，本题是一道基础题.5．若等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且130S =，3421a a +=，则7S 的值为（ ）．A ．21B ．63C ．13D ．84 【答案】B【解析】【分析】由已知结合等差数列的通项公式及求和公式可求d ，1a ，然后结合等差数列的求和公式即可求解．【详解】解：因为130S =，3421a a +=，所以111313602521a d a d +⨯=⎧⎨+=⎩，解可得，3d =-，118a =， 则7171876(3)632S =⨯+⨯⨯⨯-=． 故选：B ．【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式及求和公式的简单应用，属于基础题．6．如图所示，网络纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某四棱锥的三视图，则该几何体的体积为（ ）A ．2B ．83C ．6D ．8【解析】【分析】先由三视图确定该四棱锥的底面形状，以及四棱锥的高，再由体积公式即可求出结果.【详解】由三视图可知，该四棱锥为斜着放置的四棱锥，四棱锥的底面为直角梯形，上底为1，下底为2，高为2，四棱锥的高为2， 所以该四棱锥的体积为()11V 1222232=⨯⨯+⨯⨯=. 故选A【点睛】本题主要考查几何的三视图，由几何体的三视图先还原几何体，再由体积公式即可求解，属于常考题型. 7．《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术.得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟.”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：====，则按照以上规律，若=“穿墙术”，则n =（ ） A ．48B ．63C ．99D ．120 【答案】C【解析】【分析】观察规律得根号内分母为分子的平方减1，从而求出n.【详解】解：观察各式发现规律，根号内分母为分子的平方减1所以210199n =-=故选：C.【点睛】本题考查了归纳推理，发现总结各式规律是关键，属于基础题.8．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”，利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”。

2019-2020年高三第三次模拟考试数学文试题含答案一、选择题：本题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z=i，是z的共轭复数，则=（）A．1 B．﹣i C．i D．﹣12．已知全集U=R，集合A={x|＞0}，B={x|y=}，则A∩B=（）A．（1，2）B．（2，3）C．[2，3）D．（1，2] 3．已知向量，=（3，m），m∈R，则“m=﹣6”是“”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件4．已知实数x、y满足不等式组，则z=x﹣y的最小值为（）A．﹣1 B．﹣C．﹣3 D．35．设奇函数f（x）=cos（ωx+φ）﹣sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期为π，则ω，φ分别是（）A．2，B．，C．，D．2，6．按1，3，6，10，15，…的规律给出xx个数，如图是计算这xx个数的和的程序框图，那么框图中判断框①处可以填入（）A．i≥xx B．i＞2014 C．i≤xx D．i＜xx7．如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体外接球的表面积为（）A．8πB．12πC．16πD．48π8．设双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y=x，关于x的方程ax2+bx﹣=0的两根为m，n，则点P（m，n）（）A．在圆x2+y2=7内B．在椭圆+=1内C．在圆x2+y2=7上D．在椭圆+=1上9．设f（x）=|lnx|，若函数g（x）=f（x）﹣ax在区间（0，3]上有三个零点，则实数a的取值范围是（）A．（0，）B．（，e）C．（0，]D．[，）10．如图，圆C：x2+（y﹣1）2=1与y轴的上交点为A，动点P从A点出发沿圆C按逆时针方向运动，设旋转的角度∠ACP=x（0≤x≤2π），向量在=（1，0）方向的射影为y（O为坐标原点），则y关于x的函数y=f（x）的图象是（）二、填空题：本题共5个小题，每小题5分，共25分．11．不等式|x﹣1|≤x的解集是_________．12．已知x、y的取值如表所示，如果y与x线性相关，且线性回归方程为y=x+，则表中的且与其准线相切的圆的方程是_________．14．已知双曲正弦函数shx=和双曲余弦函数chx=与我们学过的正弦函数和余弦函数有许多类似的性质，请类比正弦函数和余弦函数的和角公式，写出双曲正弦或双曲余弦函数的一个类似的正确结论_________．15．已知数列{a n}中，a1=1，a2=2，设S n为数列{a n}的前n项和，对于任意的n≥2，n∈N+，S n+1+S n﹣1=2（S n+1）都成立，则S n=_________．三、解答题：本题共6小题，共75分，解答题应写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（12分）在△ABC中，已知a，b，c分别是角A，B，C的对边，且2cosBcosC（1﹣tanBtanC）=1．（1）求角A的大小；（2）若a=2，△ABC的面积为2，求b+c的值．17．（12分）甲、乙两位同学从A、B、C、D共4所高校中，任选两所参加自主招生考试（并且只能选两所高校），但同学甲特别喜欢A高校，他除选A高校外，再在余下的3所中随机选1所；同学乙对4所高校没有偏爱，在4所高校中随机选2所．（1）求乙同学选中D高校的概率；（2）求甲、乙两名同学恰有一人选中D高校的概率．18．（12分）如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，AC，BD交于点O，A1O⊥平面ABCD，A1A=BD=2，AC=2．（1）证明：A1C⊥平面BB1D1D；（2）求三棱锥A﹣C1CD的体积．19．（12分）已知等差数列{a n}的公差d≠0，首项a1=3，且a1、a4、a13成等比数列，设数列{a n}的前n项和为S n（n∈N+）．（1）求a n和S n；（2）若b n=，求数列{b n}的前n项和T n．20．（13分）如图所示，设F是抛物线E：x2=2py（p＞0）的焦点，过点F作斜率分别为k1、k2的两条直线l1、l2，且k1•k2=﹣1，l1与E相交于点A、B，l2与E相交于点C，D．已知△AFO外接圆的圆心到抛物线的准线的距离为3（O为坐标原点）．（1）求抛物线E的方程；（2）若•+•=64，求直线l1、l2的方程．21．（14分）已知函数f（x）=ax+lnx（a∈R），函数g（x）的导函数g′（x）=e x，且函数f （x）无极值，g（0）g′（1）=﹣e（其中e为自然对数的底数）．（1）求a的取值范围；（2）若存在x∈（0，+∞），使得不等式g（x）＜+﹣2成立，求实数m的取值范围；（3）当a≤0时，对于任意的x∈（0，+∞），求证：f（x）＜g（x）．20．解：（1）由题意，F（0，），△AFO外接圆的圆心在线段OF的垂直平分线y=上，∴+=3，∴p=4．∴抛物线E的方程是x2=8y；（2）设直线l1的方程y=k1x+2，代入抛物线方程，得y2﹣（8k12+4）y+4=0设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=8k12+4，y1y2=4设C（x3，y3），D（x4，y4），同理可得y3+y4=+4，y3y4=4∴•+•=32+16（k12+）≥64，当且仅当k12=，即k1=±1时取等号，∴直线l1、l2的方程为y=x+2或y=﹣x+2．21．解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=a+（x＞0）；当a≥0时，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）上是增函数，f（x）无极值；当a＜0时，f′（x）=；若x∈（0，﹣）时，f′（x）＞0；若x∈（﹣，+∞）时，f′（x）＜0；∴f（x）存在极大值，且当x=﹣时，f（x）极大=f（﹣）=ln（﹣）﹣1；综上，a的取值范围是[0，+∞）；（2）∵函数g（x）的导数是g′（x）=e x，∴g（x）=e x+c；∵g（0）g′（1）=﹣e，∴（1+c）e=﹣e，∴c=﹣2，∴g（x）=e x﹣2；∵存在x∈（0，+∞），使得不等式g（x）＜+﹣2成立，即存在x∈（0，+∞），使得m＞e x﹣x成立；令h（x）=e x﹣x，则问题可化为m＞h（x）min，对于h（x）=e x﹣x，x∈（0，+∞），∵h′（x）=e x（+）﹣，当x∈（0，+∞）时，∵e x＞1，+≥2=，∴e x（+）＞；∴h′（x）＞0，∴h（x）在（0，+∞）上是增函数；∴h（x）＞h（0）=0，∴m＞0，即实数m的取值范围是（0，+∞）；（3）由（1）得a=0，则f（x）=lnx，令φ（x）=g（x）﹣f（x），则φ（x）=e x﹣lnx﹣2，∴φ′（x）=e x﹣，且φ′（x）在（0，+∞）上为增函数；设φ′（x）=0的根为t，则e t=，即t=e﹣t，∵当x∈（0，t）时，φ′（x）＜0，φ（x）在（0，t）上是减函数，当x∈（t，+∞）时，φ′（x）＞0，φ（x）在（t，+∞）上是增函数；∴φ（x）min=φ（t）=e t﹣lne﹣t﹣2=e t+t﹣2；∵φ′（1）=e﹣1＞0，φ′（）=﹣2＜0，∴t∈（，1）；∵φ（t）=e t+t﹣2在t∈（，1）上是增函数，∴φ（x）min=φ（t）=e t+t﹣2＞+﹣2＞0，∴f（x）＜g（x）．。

2019-2020年高三下学期第三次模拟考试数学（文）试题含答案考试说明：本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．（1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；（2）选择题必须使用2B铅笔填涂, 非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写, 字体工整, 字迹清楚；（3）请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效；（4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．参考公式：柱体体积公式，其中为底面面积，为高；锥体体积公式，其中为底面面积，为高，球的表面积和体积公式，，其中为球的半径，第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1. 已知集合，，则( )A. B. C. D.2. 已知，则（）A. B. C. D.3．若，则（）A. B. 0 C. D. 14. 已知向量, 向量，则的最大值，最小值分别是( )A．4，0 B．，4C．，0 D．16，05. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为（）A. B. C. D.6. 已知满足约束条件，则下列目标函数中，在点处取得最小值的是（）A. B.C. D.7．执行右边的程序框图，若，则输出的为（）A．B．C．D．8. 柜子里有3双不同的鞋，随机地取出2只，则取出的鞋一只是左脚的，一只是右脚的，但它们不成对的概率为（）A. B. C. D.9. 已知函数，若的图像的一条切线经过点，则这条切线与直线及轴所围成的三角形面积为（）A. B.1 C. 2 D.10. 如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在()A．直线AB上B．直线BC上C．直线AC上D．△ABC内部11. 过双曲线的右顶点作轴的垂线与C的一条渐近线相交于点A，若以的右焦点F为圆心，半径为4的圆经过A,O两点（O为原点），则双曲线的方程为（）A. B. C. D.12. 已知函数对定义域内的任意都有，且当时导函数满足，若，则（）A. B.C. D.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

OPB 2019-2020年高三第三次模拟考试 文科数学 含答案xx.5本试卷分为选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分.考试时间120分钟. 注意事项：1．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号、县区和科类填写在答题卡上和试卷规定的位置上．2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上．3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题纸各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．第Ⅰ卷 (选择题共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设集合则（A ） （B ） （C ） （D ） 2．设（i 是虚数单位），则（A ）1 （B ） （C ） （D ） 3．下列函数中，与函数定义域相同的是 （A ） （B ） （C ） （D ）4从这四人中选择一人参加奥运会射击项目比赛，最佳人选是（A ）甲 （B ）乙 （C ）丙 （D ）丁 5．设则（A ） （B ） （C ） （D ）6．设不等式组表示的平面区域为D ，在区域D 内随机取一点，则此点到坐标原点的距离大于1的概率是 （A ） （B ） （C ） （D ） 7．执行如图所示的程序框图，输出的的值为 （A ） （B ）0 （C ） （D ） 8．某公司一年购买某种货物400t ，每次都购买x t ，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元. 要使一年的总运费与储存费用之和最小，则x 等于 （A ）10 （B ）20 （C ）30 （D ）40 9．命题“”为真命题的一个充分不必要条件是（A ） （B ） （C ） （D ） 10．函数的部分图象如图所示，设是图象的最高点，是图象与轴的交点，则（A ）8 （B ） （C ） （D ） 11．一只蚂蚁从正方体的顶点处出发，经过正方体的表面，按最短路线爬行到达顶点位置，则下列图中可以表示正方体及蚂蚁最短爬行路线的正视图是（A ）① ② （B ）① ③ （C ）② ④ （D ）③ ④12．为双曲线的左右焦点，为双曲线右支上一点，直线与圆切于一点，且，则双曲线的离心率为 （A ） （B ） （C ）（D ）5xx 年高考模拟试题文科数学xx.5第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把正确答案填写在答题纸给定的横线上.13．一个总体分为A 、B 两层，用分层抽样的方法，从总体中抽取一个容量为10的样本，已知B 层中每个个体被抽到的概率为，则总体中的个体数为 .14．设向量，，且则 .15．与直线垂直，且过抛物线焦点的直线的方程是 . 16．函数是定义在R 上的奇函数，，对任意的，有，则的解集为. 三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（本小题满分12分） 设△所对的边分别为，已知. （Ⅰ）求； （Ⅱ）求.B 1C 1①②③④18．（本小题满分12分）某地9月份（30天）每天的温差T数据如下：5 7 5 5 10 7 7 8 5 68 5 6 9 7 5 6 10 7 610 5 6 5 6 6 9 7 8 9当温差时为“适宜”天气，时为“比较适宜”天气，时为“不适宜”天气.（Ⅰ）求这30天的温差T的众数与中位数；（Ⅱ）分别计算该月“适宜”天气、“比较适宜”天气、“不适宜”天气的频率；（Ⅲ）从该月“不适宜”天气的温差T中，抽取两个数，求所抽两数都是10的概率.19．（本小题满分12分）如图，在边长为3的正三角形中，为边的三等分点，分别是边上的点，满足，今将△△分别沿，向上折起，使边与边所在的直线重合，折后的对应点分别记为.（Ⅰ）求证：∥平面；（Ⅱ）求证：平面.20．（本小题满分12分）个正数排成行列，如下所示：……. . .. . .. . .…其中表示第i行第j列的数. 已知每一行中的数依次都成等差数列，每一列中的数依次都成等比数列，且公比均为q,.（Ⅰ）求；（Ⅱ）设数列的和为，求.21．（本小题满分12分）已知椭圆C经过点M，其左顶点为N，两个焦点为，，平行于MN的直线l交椭圆于A,B两个不同的点.（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）求证：直线MA,MB与x轴始终围成一个等腰三角形.22．（本小题满分14分）已知函数在点处的切线l的斜率为零.（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求的单调区间；（Ⅲ）若对任意的，不等式恒成立，这样的是否存在？若存在，请求出的取值范围；若不存在，请说明理由.xx年高考模拟试题文科数学参考答案及评分标准xx.5说明：一、本解答只给出了一种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容参照评分标准酌情赋分.二、当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容与难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确答案应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误或又出现错误，就不再给分.三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分.一、选择题：（每小题5分，满分60分）1.(D)2.(C)3.(D)4.(C)5.(D)6.(D)7.(A)8.(B)9.(A) 10.(A) 11.(C) 12.(B)二、填空题：（每小题4分，满分16分）13. 120 14. 5 15. 16.三、解答题：解：（Ⅰ）∵∴2222212cos23223()16.4c a b ab C=+-=+-⨯⨯⨯-=…………（2分）∴……………………………………………………………………（4分）（Ⅱ）在△ABC中，∵∴sin C===且为钝角.……………（6分）又∵∴……………………………………（8分）∴……………………………（10分）∴…………………………（12分）18．解：（Ⅰ）由题中数据知温差T的众数是5，中位数是.………（2分）（Ⅱ）该月“适宜”天气的频率为……………………（3分）“比较适宜”天气的频率为……………………（4分）0 x＜，0 x≥，“不适宜”天气的频率为（或亦可）…………………………………………（5分）（Ⅲ）温差为9的共3天，记为M1, M2, M3；温差为10的共3天，记为N1,N2,N3；从中随机抽取两数的情况有：M1M2, M1M3, M1 N1, M1N2, M1N3, M2M3, M2 N1, M2N2, M2N3,M3N1, M3 N2, M3N3, N1N2, N1N3, N2N3,共15种.…………………………………………（8分）都是10的情况有：N1N2,N1N3, N2N3共3种.……………………（10分）故所抽两数都是10的概率为.………………………………（12分）19．证明：（Ⅰ）取EP的中点D，连接FD, C1D.∵BC=3，CP=1，∴折起后C1为B1P的中点.∴在△B1EP中，DC1∥EB1，…………………（1分）又∵AB=BC=AC=3，AE=CP=1，∴∴E P=2且E P∥G F.…………（2分）∵G，F为AC的三等分点，∴GF=1.又∵，∴G F=E D，…………………………………………（3分）∴四边形GEDF为平行四边形.∴F D∥G E.………………………………………………………………（4分）又∵DC1FD=D，GE∩B1E=E,∴平面D F C1∥平面B1G E.…………………………………………（5分）又∵C1F平面DFC1∴C1F∥平面B1GE.………………………………………………………（6分）（Ⅱ）连接EF，B1F，由已知得∠EPF=60°，且FP=1，EP=2，故PF⊥EF. ……………………………………………………………………（8分）∵B1C1=PC1=1，C1F=1，∴FC1=B1C1=PC1，∴∠B1FP=90°，即B1F⊥PF.……………………………………………（10分）∵EF∩B1F=F, ∴PF⊥平面B1EF.…………………………………………（12分）20．解：（Ⅰ）由题意知成等差数列，∵，，∴其公差为∴……………………………（2分）又∵成等比数列，且∴公比…………………………………………（4分）又∵也成等比数列，且公比为，∴…………………………………………（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知第成等差数列，首项公差∴2,2,1(1)32(1)2 5.ka a k d k k=+-=-+-=-…………………………（7分）①当时，∴.……………………………………………（8分）②当时，………………（10分）综上可知，………………………………………（12分）21．解：（Ⅰ）设椭圆的方程为因为过点，∴①……………………………………………………（1分）又②由①②可得.………………………………………（3分）故椭圆C的方程为……………………………………（4分）（Ⅱ）由（Ⅰ）易知所以………………（5分）故设直线l：，联立得.………………………………（7分）∴………………………………………………（8分）∴121212123313132222221111MA MBy y x m x mk kx x x x--+-+-+=+=+----1212121221111(1)11()1x xm mmx x x x x x+---=++=+-⋅---++222(1)(2)1(1)1312m m mmm m m m---+=+-⋅=--+++-……………………………………………………（11分）故直线MA，MB与x轴始终围成一个等腰三角形.………………………（12分）22．解（Ⅰ）时，且∴∴.……………………………………………（2分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知………………………………（3分）当时，∴时 时…………………………（4分） 当时，， ∴时 时.……………………（5分） ∴在，上单调递增；在上单调递减.………………………………………………（6分） （Ⅲ）由（Ⅱ）知，①当时，在上递增， 故由32321111(3)()(3)(3)2(3)(2)3232+-=+++-+-+-f m f m m m m m m m 2321111(3)[(3)(3)2]23232=++++---+m m m m m m.……………………………………（7分）∵，∴3（m+2）2即，此时m 不存在.. …………………………………（8分）②当时，在上递减，在上递增， 故.∴1264745()()(4)(1)=+=362f x f x f f --≤， ∴时，符合题意.…………………………………………………（10分）③当时， ∴ 时， 时，即 ∴时， ,∴时，符合题意.……………………………………………………（13分） 综上，存在使原不等式恒成立.……………………………（14分）。