全国高校密码数学挑战赛题目

首届（2016）全国高校密码数学挑战赛赛题一一、赛题名称：极大布尔多项式方程组可满足性问题二、赛题描述：1.1 基本概念二元域：只含有两个元素0,1的有限域称为二元域，用GF(2)表示。

布尔多项式：布尔多项式是指系数和变量取值都在GF(2)上的多变量多项式。

若布尔多项式含有n个变量x1,x2,…,x n，则该多项式的每个单项式中变量x i的次数小于或等于1次，且满足x i2=x i, x i+x i=0。

例如:x1x2+x2x3+x1x2x3+x3+1为一个含有3个变量的布尔多项式。

1.2 问题描述（Max-PoSSo问题）给定m个含有n个变量的布尔多项式：f1(x1,x2,…,x n)f2(x1,x2,…,x n)…f m(x1,x2,…,x n),试在GF(2)中寻找一组x1,x2,…,x n的赋值，即每个x i的取值均在GF(2)中，使得f1,f2,…,f m在这组变量赋值下取值为0的个数最多。

在本次竞赛问题中，我们选取了256个含有128个变元布尔多项式，即m=256, n=128. f1,f2,…,f256为给定的256个布尔多项式，具体形式见附件1-1.1.3 成绩评判将各参赛团队给出的变量赋值代入f1,f2,…,f m中，比较取值为0的多项式的个数，个数越多得分越多。

有理论推导或算法设计者酌情加分。

三、密码学背景及相关问题的研究进展布尔多项式方程组求解是数学与计算机科学中的基本问题之一。

该领域最基本的问题是一般布尔多项式方程组求解问题（PoSSo问题），即给定一组布尔多项式，寻找变量赋值使得这些多项式取值均为0。

上述极大布尔多项式方程组可满足问题（Max-PoSSo问题）是一般布尔多项式方程组求解问题的扩展问题，是一类NP-hard问题。

该问题在密码学的概率代数攻击与侧信道代数攻击中广泛出现。

在密码分析中的代数攻击中，攻击者首先将秘密信息（如密钥）设为变量，之后通过已知信息与秘密信息的关系建立相应的多项式方程组，最终通过求解多项式方程组来恢复秘密信息。

高三数学学科参考答案及解析选择题部分 (共60分)一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.答案：A解析：因为11x>，所以01x<<，{}01A x x=<<12≥，所以14x≥，14B x x⎧⎫=≥⎨⎬⎩⎭所以114A B x x⎧⎫=≤<⎨⎬⎩⎭，选A.2.答案：B解析：因为()312i2iz−=，所以32i42i12i55z==−−，42i55z=+所以22424555z z⎛⎫⎛⎫⋅=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选B3.答案：A解析：72x⎛⎝的展开式中通项为()()37772177221kkk kk k kkT C x C x−−−+⎛==−⎝所以要出现常数项，3712k−=或1−，当3712k−=时，4k=；当3712k−=−时，163k=（舍去）所以常数项为()4437121280C xx−⋅=，故选A.4.答案:B解析：若有一根8cm的尺子，量出长度为1cm到8cm且为整数的物体，则当尺子有4个刻度时满足条件设[]1,8x∈且x*∈Ν，11223344x b a b a b a b a=+++，其中{}1234,,,0,1b b b b∈，当12342,1,4,1a a a a====时，21123232341,2,3,4,5,6a a a a a a a a a a==+==+=++=1237a a a ++=，12348a a a a +++=下证，当尺子有3个刻度时不能量出18cmcm 的物体长度设[]1,8x ∈且x *∈Ν，112233x b a b a b a =++，其中{}123,,0,1b b b ∈， 所以当123,,b b b 中有1个0，x 的取值至多有3个 当123,,b b b 中有2个0时，120b b ==或230b b ==，x 的取值至多有2个当123,,b b b 中没有0时，x 的取值有1个所以x 取值至多有6个，即当尺子有3个刻度时不能量出18cm cm 的物体长度.故选B5.答案：D解析：若先回答问题A ，则答题顺序可能为,,A B C 和,,A C B ，当答题顺序为,,A B C 且连对两题时，()()0.60.810.510.60.80.50.4p =⨯⨯−+−⨯⨯= 当答题顺序为,,A C B 且连对两题时，()()0.60.510.810.60.50.80.22p =⨯⨯−+−⨯⨯= 所以先回答问题A ，连对两题的概率为0.62同理先回答问题B ，连对两题的概率为0.52；先回答问题C ，连对两题的概率为0.7 所以要使得p 最大，他应该先回答问题C ，故选D . 6.答案：C解析：设圆心()0,1C 到直线()1y a x =+的距离为d ，211a d a −=+所以221AB d =−，2112ABC S AB d d =⋅⋅=−△因为()0,1a ∈，212111a d a a a−==−++()0,1d ∈所以22211122ABCd d S d +−=−≤=△，当且仅当21d d =−，即2232d a ==时等号成立故选C . 7.答案：D解析：因为 1.110.1a ==+，所以0.110.1b a e −=−−设()1x f x e x =−−，()0,1x ∈， 则()0.1b a f −=，因为()10xf x e '=−>，所以()f x 在()0,1上单调递增所以()()00f x f >=，即()0.10b a f −=>，b a > 因为1011.10990c a −=−=>，所以再比较,b c 的大小 因为()1110910.1910−−⎛⎫==− ⎪⎝⎭，所以()()0.110.1110.110.110.1e c b e −−−−=−−=−，即比较()0.11,10.1e −大小，设()()()1,0,1xg x x e x =−∈因为()0xg x xe '=−<，所以()g x 在()0,1上单调递减，所以()()01g x g <=，即()10.10g −>，c b > 所以c b a >>，故选D .8.答案：C解析：平面α经过点B 、D 且截正方体所得截面面积最大时，平面α与面11BDB D 重合. 证明：设平面α与面BCD 所成的二面角为θ，二面角1C BD C −−为γ 当,2πθγ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，记平面α截正方体所得截面为面BDEF ，111111C E C FC D C B λ==,(]0,1λ∈1AB =则(()()22221112312122EFBD S λλλλλ=+−+=−++()()()222121h λλλ=−++因为()()2410h λλλ'=+>，所以()()max 12h h λ==，()11max 2EFBD BDB DS S ==当(]0,θγ∈时，显然平面α截正方体所得截面面积最大时，截面为面1C BD ,132C BD S =△ 当0θ=时，平面α截正方体所得截面为ABCD ，1ABCD S =所以平面α截正方体所得截面面积最大时截面为面11BDB D同理平面β过A 、1D 时，截正方体所得截面面积最大时截面为面11AD BC 连接1BD ，AC ，1B C ，面α与面β所成锐二面角为111B BD C −−因为1B C ⊥面11AD BC ，AC ⊥面11BDB D ，所以1,AC B C 的所成角大小为二面角111B BD C −−大小因为160B CA ∠=,所以面α与面β所成锐二面角大小为60，故选C .二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9.答案：ABD解析：因为()2,1AB OB OA =−=−，所以()22215AB =+−=因为5,10OA OB ==所以222OA AB OB +=,即OAB △为直角三角形设与OB 同向的单位向量为e ，3101010OBe OB ⎛== ⎝⎭所以OA 在OB 方向上的投影向量为cos ,OA OB OA OA OB e e OB⋅=，31,22OA OB e OB ⋅⎛⎫= ⎪⎝⎭设()310cos ,sin 10e αα⎛== ⎝⎭，设与e 垂直的单位向量为12,e e所以1cos ,sin 22e αα⎛ππ⎫⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，2cos ,sin 22e αα⎛ππ⎫⎛⎫⎛⎫=−− ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以()1sin ,cos 1010e αα⎛=−=− ⎝⎭，()2sin ,cos ,1010e αα⎛=−=− ⎝⎭ 故选ABD . 10.答案：BD解析：()cos sin xf x x x =+，()()322cos sin 22sin sin cos sin 2sin x x x x x x x f x x x−−−'== 令()sin 22g x x x =−，()0,x ∈π,因为()2cos220g x x '=−≤ 所以()g x 在()0,π上单调递减所以()()00g x g <=，即()sin 220,0,x x x −<∈π 所以当()0f x '=时，2x π=，所以()0,,02x f x π⎛⎫'∈< ⎪⎝⎭，()f x 单调递减；(),,02x f x π⎛⎫'∈π> ⎪⎝⎭，()f x 单调递增 所以()min 22f x f ππ⎛⎫==⎪⎝⎭，即()f x 在()0,π上无零点， 若()()12f x f x a ==,设12x x <，则1202x x π<<< 要证12πx x +<，即证21x x <π− 因为12x ππ−>，()f x 在,2π⎛⎫π ⎪⎝⎭上单调递增，所以即证()()21f x f x <π− 因为()()12f x f x a ==，所以即证()()11f x f x <π− 令()()()2cos ,0,sin sin 2x x h x f x f x x x x x π−π⎛⎫=π−−=−−∈ ⎪⎝⎭()()2cos 2sin 2sin x x x h x x −π−'=，其中()2sin 2x x g x −π−=−−π在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 所以2sin 2sin 2x x π−π−<2⋅−π−π=0 所以()0h x '<，()h x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减 所以()0222h x h f f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>=π−−=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即()()()1110h x f x f x =π−−>， 所以()()11f x f x π−>成立，即12πx x +<成立 故选BD . 11.答案：BCD解析：因为(),A m n 在椭圆C 上，所以22221m n a b +=，22221n m a b ⎛⎫=− ⎪⎝⎭所以()222222222c a AE m n b n bn a b b c=+−=−−++≤，A 错误因为点B 、A 关于x 轴对称，所以(),B m n − 因为,EA EB n b b nk k m m−+==−，所以()()22222222222EA EBn b b n b n b b k k b n m m m a a b n −+−⎛⎫⎛⎫⋅===−= ⎪⎪−−⎝⎭⎝⎭，B 正确假设存在P 点，使得MPO PNO ∠=∠，则PMO PON △△所以2OP OM ON =⋅因为:n b EA y x b m −=+，:n b EB y x b m +=−+，所以,M N bm bmx x b n b n==−+ 所以22222bm bm b m OP OM ON b n b n b n=⋅==−+−因为22221n m a b ⎛⎫=− ⎪⎝⎭，所以222222b m OP OM ON a b n =⋅==−，即点P 坐标为()0,a 或()0,a − 因为(),,,0bm A m n N b n ⎛⎫⎪+⎝⎭，所以(),AN b n b n k y x m n m m ++==−+ 化简得b ny x b m+=−，即直线AN 过定点()0,b − 故选BCD . 12.答案：BC解析：因为33x y x y +=−，所以()()22x y x xy yx y +−+=−，22x yx y x xy y−+=−+ 所以()222222211x y x y x y x xy y x xy y ⎛⎫− ⎪−⎝⎭+==−+⎛⎫−+ ⎪⎝⎭令x t y=，因为33x y x y +=−，,0x y >，所以0x y −>，即1xt y =>()222212111t t x y t t t t −−+==+−+−+，当2t =时，()21x y += 当1t>且2t ≠时，令2u t =−，则()222111313t x y t t u u−+=+=+−+++， 因为()()1,00,u ∈−+∞，所以()()212310,11,333xy u u⎛⎤+=+∈ ⎥ ⎝⎦++ 所以()203x y <+≤，x y +≤因为y x <，所以当0x →时，20x y x +<→，A ,D 错误 因为33x y x y +=−，所以330y y x x ++−= 令()()33,0f t t t x x f y =++−=，因为()f t 在()0,+∞上单调递增，()f t 的零点y 满足0y > 所以()300f x x =−<，解得1x <所以要证221xy +<，即证y <因为()f t 在()0,+∞上单调递增，所以即证0f>因为33320x fx x ⎛⎫+⎪=−=>所以0f>成立，即221x y +<成立故选BC .非选择题部分 （共90分）三．填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分. 13.答案：1解析：由正态密度函数性质可得，1a = 14.答案：2sin 24x π⎛⎫−⎪⎝⎭(答案不唯一） 解析：设()()sin f x A x ωϕ=+，因为x ∀∈R ，()2f x ≤，所以()()max min 2,2f x f x ≤≥− 所以2A ≤，不妨设2A =因为()f x 最小正周期为π，所以2T ωπ=π=,2ω=()()2sin 2f x x ϕ=+，0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，2,2x ϕϕϕπ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦因为()f x 在0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以0k ∃∈Z ，00,2,2222k k ϕϕπππ⎡⎤⎡⎤+⊆−+π+π⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦所以00222k k ϕπ−+π≤≤π， 当00k =时，02ϕπ−≤≤，不妨设4ϕπ=−所以满足条件之一的()2sin 24f x x π⎛⎫=−⎪⎝⎭. 15.答案:1639π 解析:如图所示，记两个形状完全相同的正三棱锥为三棱锥A BCD −和三棱锥A BCD '− 设点A 在面BCD 上的投影为点O ，则A '、O 、A 三点共线.在三棱锥A BCD −和A BCD '−中，到几何体各顶点距离相等的点分别在AO 和A O '上 若组合后的六面体存在外接球，则O 为外接球的球心 设AO a =，则BO a =，因为O 为BCD △的中心，所以3BC a =，所以)213313A BCDV a a −=⋅=，解得33a =所以球的体积为341633a π=16.答案：22,2A ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭解析：设直线l 的程y kx b =+，由2214y kx bx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()222148440k x kbx b +++−= 因为直线l 与椭圆E 相切，所以()()()2228441440kb k b ∆=−+−=，解得2241k b =− 因为2414kbm k −=+，n km b =+，所以214b n k =+所以4m k n =−，即1,4m k b n n=−= 所以直线l 的方程为14m y x n n =−+，即14mxny +=分别令2x =和2x =−得，12,12m C n ⎛⎫⎛⎫− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，12,12m D n ⎛⎫⎛⎫−+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以直线2DF 方程为11323m y x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=+，直线1CF 方程为11323m y x ⎛⎫− ⎪⎝⎭=+所以联立可得2DF 与1CF 交点()3,233E n ⎫⎪⎪⎝⎭因为23443AEnn k mm m =−，所以414AE l n m k k m n ⎛⎫⋅=⋅−=− ⎪⎝⎭所以由1AE l k k ⋅=−，32AE l k k +=得1,242l AE m k k n =−=−=，即2m n = 因为2214m n +=，所以22,m n ==，即22,A ⎭四.解答题：本题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.答案：（1）1122n a n =− （2）4169n n nT −+=解析：（1）因为636S S −=，所以4566a a a ++=， 所以456536a a a a ++==，52a = 所以531532a a d −==−，……2分 ()311322n a a n d n =+−=−……5分 （2）因为数列{}n m a 是以首项为1a 公比为4等比数列， 所以1114,n n m m m a a a a −==，即11m =因为数列{}n a 是等差数列，所以()()111141n n a m d a m d −⎡⎤+−=+−⎣⎦ 化简得11343n n a m m d−=+− 因为2114a a d a =+=，所以113a d =，即142n n m m −=−……8分 所以122433n n m m −⎛⎫−=− ⎪⎝⎭， 因为12133m −=，所以数列23n m ⎧⎫−⎨⎬⎩⎭是以13为首项，4为公比的等比数列 所以()121433n n m −−=⋅，()112433n n m −=⋅+……8分 所以()0111212416444339n n nn n nT m m m −−+=+++=++++=……10分18.答案:（1）证明见解析；（2） ABC S =△解析：（1）因为2a c =，所以A C >,即2C π≠. 因为()()1sin 1cos2sin 2cos C B B C −−=，所以sin 21sin 1cos 2cos B CB C−=−因为22sin cos 1C C +=，所以1sin cos cos 1sin C C C C −=+，即sin 2cos 1cos 21sin B CB C=−+，……2分因为cos sin ,sin cos 22C C C C ππ⎛⎫⎛⎫=+=−+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以sin sin 221cos 21cos 2C B B C π⎛⎫+ ⎪⎝⎭=π−⎛⎫−+ ⎪⎝⎭……4分 令()sin 1cos x f x x =−，()0,2x ∈π则()22f B f C π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭因为()10cos 1f x x '=<−，所以()f x 在()0,2π上单调递减所以由()22f B f C π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭得22B C π=+，即22C B π=−成立……6分（2）由正弦定理得sin sin a c A C =,因为22C B π=−，所以332A B C B π=π−−=− 所以3sin sin 3cos32A B B π⎛⎫=−=− ⎪⎝⎭，sin sin 2cos 22C B B π⎛⎫=−=− ⎪⎝⎭所以由正弦定理得sin sin a cA C=,2cos 2cos3B B =……8分 因为()()cos 3cos 2cos cos2sin sin 2B B B B B B B =+=−，2sin 22sin cos ,cos 22cos 1B B B B B ==− 所以由2cos 2cos3B B =得324cos 4cos 3cos 20B B B −−+= 化简得()22cos 1(2cos cos 2)0B B B −−−=因为22C B π=−，332A B π=−，所以,42B ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,2cos 0,2B ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭所以由()22cos 1(2cos cos 2)0B B B −−−=得1cos 2B =……10分 所以13sin 22ABC S ac B ==△……12分 19.答案:（1）2AC =；（2）2cos 2α=解析：（1）因为90BAD BAC CAD ∠=∠=∠=，所以AB AC ⊥,,AB AD AD AC ⊥⊥ 所以AB ⊥面ACD作AE CD ⊥，连接BE ,因为AB ⊥面ACD ，所以AB CD ⊥ 因为AE AB A =，所以CD ⊥面ABE因为CD ⊂面BCD ，所以面ABE ⊥面BCD ……2分因为面ABE ⊥面BCD BE =，所以作AO BE ⊥，可得AO ⊥面BCD 所以ABO ∠为AB 与面BCD 的所成角，45ABO ∠=……4分所以设,AC a AB b ==,则222222,,,222a AE a BC a b BE b AO b ==+=+= 所以由AE AB AO BE ⋅=⋅得22ab = 所以()321122232123A BCDa V AB AC −=⋅⋅⋅==，解得2a =,即2AC =……6分 （2）设2AC =,由（1）得1AB =延长CM 交BD 于点G ,连接AG ，因为,AC AB AC AD ⊥⊥，所以AC ⊥面BAD 所以AC AG ⊥，因为30ACM ∠=，所以633AC AG == 因为1,2,3AB AD BD ===,所以AG 为BD 边上的高，即AG BD ⊥ 因为AC BD ⊥，所以BD ⊥面ACG ……8分 因为CG ⊂面ACG ，所以BD CG ⊥由（1）得，若45ABM ∠=，则点M 在BE 上……10分所以M 为BCD △的垂心.因为132BG GD ==,所以12BM BE = 所以3AH AF ==1HF =,即24AHF S =△分别做,HGAB FK AB ，则HG ⊥面ACD ,FK ⊥面ACD所以AFH △在面ACD 的投影为AGK △,21124AGKACD S S ⎛⎫== ⎪⎝⎭△△设面AFH △与面ACD 所成的二面角为α，则2cos AGK AHF S S α==△△……12分 20.答案：（1）75.801x =，72.932y =（2）0.95r ≈（3）72.98解析：（1）101175.80110i i x x ===∑，101172.93210ii y y===∑……2分（2）()1010101010222222211111221010ii i i i i i i i i i x x x xx x x x x x x x =====⎡⎤−=−+=−⋅+=−⎢⎥⎣⎦∑∑∑∑∑ 同理()10102221110iii i y y yy ==−=−∑∑()()10101011110iii iiii ii i i x x y y x y xy yx x y x y x y ===−−=−−+=−∑∑∑所以()()1010niii ix x y y x y x yr −−−==∑∑ (4)分所以代入得0.95r =≈……6分（3）()()()10101110102222111055283.21075.80172.932ˆ0.2357457.981075.80110iii ii i i i i i x x yy x yxybx x x x====−−−−⨯⨯====−⨯−−∑∑∑∑……8分ˆˆ72.9320.229475.80155.50ay bx =−=−⨯=……10分 所以3BS 号渗压计管内水位关于水库水位的经验回归方程为ˆ0.2355.5y x =+ 当76x =时，预测值为ˆ0.237655.572.98y=⨯+=.……12分 21.答案：（1）22:14x C y−= （2）解析：（1）因为双曲线C的右焦点为)，所以c =因为右焦点到双曲线的渐近线的距离为1，所以1b ==……3分所以2a =，即双曲线22:14x C y −=……4分（2）设()()()12121122,,,,,1,,22x x y y P x y Q x y C m F ++⎛⎫⎪⎝⎭，()2,2m ∈−，设切线PC 为y kx b =+，由2214y kx b x y =+⎧⎪⎨−=⎪⎩得()222418440k x kbx b −+++=，因为直线PC 与双曲线相切， 所以()()()2228441440kb k b ∆=−−+=，解得2241b k =−……6分所以()1284241kb kx b k =−=−−因为11y kx b =+,221114x y −=所以1111,4x k b y y ==−，即直线11:14x x PC y y −=同理可得直线22:14x xCQ y y −=……7分 因为直线PC 与直线CQ 交于点C ，所以12121,144x m x my y −=−= 所以点()()1122,,,x y x y 满足方程14mx y −=，即直线:14mxPQ y −= 同理可得直线1212:1242x x y y x DE y ++⎛⎫⎛⎫−= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，12121224x x x y y y y y ⎛⎫+=+ ⎪++⎝⎭……8分 因为点F 在直线PQ 上，所以12121242x x y y m ++⎛⎫⎛⎫−= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即点(),1C m 在直线DE 上因为222212121,144x x y y −=−=，所以1212121214y y y y x x x x ⎛⎫⎛⎫−+= ⎪⎪−+⎝⎭⎝⎭，1212x x m y y +=+ 所以1212144DE PQ x x mk k y y ⎛⎫+=== ⎪+⎝⎭,即DEPQ所以直线():14mDE y x m =−+……9分由()221414my x mxy⎧=−+⎪⎪⎨⎪−=⎪⎩得()()()222224284160m x m mx m−+−−−−=所以DE=因为点F到直线DE)3228DEFmS−=△10分令t，[)20,4m∈，(]0,2t∈，)()332222842DEFm tSt−+==△，()()32242th tt+=因为()()()1222242t th tt+−'=，……11分所以(()(),0,t h t ht'∈<单调递减，)()(),0,t h t h t'∈>单调递增所以()()minminDEFS h t h===△……12分22.答案：（1）()f x在R上单调递减（2）[)1,a∈+∞（3）证明见解析解析：（1）当1a=时，()e e2x xf x x−=−−，()e e2x xf x−'=+−……2分因为1e2exx+≥，所以()1e20exxf x'=+−≥……4分所以()f x在R上单调递增（2）当0x>时，()0f x>恒成立，即()0,,e e20x xx a a x−∀∈+∞−−>恒成立法一：因为()00f=所以0m∃>，使得()f x在()0,m上单调递增所以()()0,,e e20x xx m f x a a−'∈=+−>，所以()0220f a'=−≥，解得1a≥……6分下证1a ≥，()0,,e e20xxx a a x −∈+∞−−>恒成立因为()e e 2e e 2x xx x a a x a x −−−−=−−，e e 0x x −−>，所以e e2e e 2xxx x a a x x −−−−≥−−设()()e e2,e e 20xxx x H x x H x −−'=−−=+−≥，所以()H x 在()0,+∞上单调递增所以()()00H x H >= 所以e e 2e e 20xxx x a a x x −−−−≥−−>成立……8分所以1a ≥法二：()e e22x xx x a a x a e e x −−−−=−−，因为()0,x ∈+∞，所以e e 0,20x x x −−>−<所以由()0,,e e20xxx a a x −∀∈+∞−−>恒成立得0a >()()2e 2e e e 2,ex x xxxa a f x a a x f x −−+'=−−=，令=e xt ，()1,t ∈+∞ 则222,44y at t a a =−+∆=−当2440a ∆=−>，即()0,1a ∈时，方程220at t a −+=的解为12,t t ，设12t t <因为22y att a =−+的对称轴为11t a=>，1220t y a ==−<，所以1201t t <<<，其中222t a+=则当()21,t t ∈，即()20,ln x t ∈时()()0,f x f x '<单调递减 当()2,t t ∈+∞，即()2ln ,x t ∈+∞时()()0,f x f x '>单调递增 因为()00f =，()20,ln x t ∈时()f x 单调递减 所以()()20,ln ,0x t f x ∈<，与()0,,e e20xxx a a x −∀∈+∞−−>恒成立矛盾，()0,1a ∈舍去……6分当2440a ∆=−≤，即[)1,a ∈+∞时，()220,0y at t a f x '=−+≥>,所以()f x 在()0,+∞上单调递增，所以()()00f x f >=,即()0,,e e20xxx a a x −∀∈+∞−−>恒成立所以[)1,a ∈+∞……8分（3）由（2）得()0,,e e20xxx x −∀∈+∞−−>令ln x t =，ln ln 1ee 2ln 2ln tt t t t t−−−=−−，即()11,,2ln 0t t t t ∀∈+∞−−>所以当11t n =+，n *∈Ν时，1111ln 11121n n n ⎛⎫⎪⎛⎫+<+− ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪+⎝⎭，化简得()111ln 1ln 21n n n n ⎛⎫+−<+ ⎪+⎝⎭，n *∈Ν……10分 因为m n >，所以lnln ln mm n n=−， 所以()()()()111ln 1ln 21111ln 2ln 1212111ln ln 121n n n n n n n n m m m m ⎧⎛⎫+−<+ ⎪⎪+⎝⎭⎪⎪⎛⎫+−+<+⎪ ⎪++⎝⎭⎨⎪⎪⎪⎛⎫−−<+ ⎪⎪−⎝⎭⎩，累加得11111ln ln 211m n n m n m ⎛⎫−<++++⎪+−⎝⎭……11分 1111111111111111ln 2112111mmk n k n m n k n m n m k n m n m n m =+=+⎛⎫⎛⎫⎡⎤−<++++−=++++−++ ⎪ ⎪⎢⎥+−+−+⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑∑化简得11111ln 22mk n m m nn k n m mn=+−⎛⎫−<−= ⎪⎝⎭∑成立. ……12分。

第四届（2019）全国高校密码数学挑战赛赛题一一、赛题名称：椭圆曲线离散对数问题（ECDLP ）二、赛题描述：2.1 符号说明设F �表示具有p 个元素的有限域，其中p >3 是一个素数。

F �上的椭圆曲线E 是一个点集合E /F �=�(x ,y )�y �=x �+ax +b ,a ,b ,x ,y ∈F ��∪{∞}，其中∞表示无穷远点，4a �+27b �≠0 mod p 。

2.2基础知识设P =(x �,y �),Q =(x �,y �)∈E /F �, 在E 上定义“+”运算P +Q =R , R =(x �,y �)∈E /F �是过P，Q 的直线与曲线的另一交点关于x 轴的对称点（当P =Q 时，R 是P 点的切线与曲线的另一交点关于x 轴的对称点）上述计算可用公式表示如下:1）当P ≠Q 时（Addition），R =(x �,y �)=(�������������−x �−x �,������������(x �−x �)−y �)；2）当P=Q时（Doubling），R=(x�,y�)=(������������−2x�,�����������(x�−x�)−y�)；此外，对任意P=(x�,y�)∈E /F�,定义:3）P+∞=∞+P=P；4）(x�,y�)+(x�,−y�)=∞,这里(x�,−y�)∈E /F�记为−P.特别的，−∞=∞.可验证E /F�关于上述定义的“+”运算构成一个交换群，记为E (F�).设P∈E (F�),记[k]P=P+P+⋯+P (k times)，则[k]P∈E (F�)，该运算称为椭圆曲线标量乘法运算。

设 r 为最小的正整数使得[r]P=∞，r 称为是 P 的阶（order）。

令，可验证关于“+”运算〈P〉={∞,P,[2]P,…,[r−1]P}〈P〉构成E (F�)的一个 r 阶子群。

2.3问题描述椭圆曲线离散对数问题（ECDLP）：给定椭圆曲线E / F�:y�=x�+ax+b,P∈E(F�),r≔order(P),R∈〈P〉,计算1≤k≤r使得R=[k]P.（该问题可形式化地记为k=log�R）具体参数请见附件：ECDLP数据文件.txt。

高考密码猜题卷理科数学本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分．第I 卷1至2页，第II 卷3至9页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷考生注意： 1．答题前，考生在答题卡上务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号、填写清楚 ，并贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目． 2．每小题选出答案后，用2Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．．．．．．．．．．3．本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 参考公式： 如果事件A B ，互斥，那么 球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+24πS R =如果事件A B ，相互独立，那么 其中R 表示球的半径()()()P A B P A P B =球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 34π3V R =n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率其中R 表示球的半径()(1)(01,2)k k n kn n P k C P P k n -=-= ，，，一、选择题1．函数y =）A ．{}|0x x ≥B ．{}|1x x ≥ C ．{}{}|10x x ≥D ．{}|01x x ≤≤2．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数，其图像可能是（ ）3．在ABC △中，AB = c ，AC = b ．若点D 满足2BD DC = ，则AD =（ ）A ．2133+b cB ．5233-c b C ．2133-b cD ．1233+b c 4．设a ∈R ，且2()a i i +为正实数，则a =（ ） A ．2B ．1C ．0D ．1-5．已知等差数列{}n a 满足244a a +=，3510a a +=，则它的前10项的和10S =（ ） A ．138B ．135C ．95D ．236．若函数(1)y f x =-的图像与函数1y =的图像关于直线y x =对称，则()f x =（ ） A ．21x e-B ．2xeC ．21x e+D ．22x e+7．设曲线11x y x +=-在点(32)，处的切线与直线10ax y ++=垂直，则a =（ ） A ．2B ．12C ．12- D ．2-8．为得到函数πcos 23y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像，只需将函数sin 2y x =的图像（ ） A ．向左平移5π12个长度单位B ．向右平移5π12个长度单位 C ．向左平移5π6个长度单位D ．向右平移5π6个长度单位9．设奇函数()f x 在(0)+∞，上为增函数，且(1)0f =，则不等式()()0f x f x x--<的解集为（ ）A ．(10)(1)-+∞ ，， B ．(1)(01)-∞- ，， C ．(1)(1)-∞-+∞ ，，D ．(10)(01)- ，， 10．若直线1x ya b+=通过点(cos sin )M αα，，则（ ） A ．221a b +≤ B ．221a b +≥ C ．22111a b+≤D ．22111a b+≥ 11．已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 内的射影为A ．B ．C ．D ．ABC △的中心，则1AB 与底面ABC 所成角的正弦值等于（ ）A ．13BCD ．2312．如图，一环形花坛分成A B C D ，，，四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为（ ） A ．96 B ．84 C ．60 D ．482008年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修Ⅰ）第Ⅱ卷注意事项：1．答题前，考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目．2．第Ⅱ卷共7页，请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效．．．．．．．．．． 3．本卷共10小题，共90分．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 13．若x y ，满足约束条件03003x y x y x ⎧+⎪-+⎨⎪⎩，，，≥≥≤≤则2z x y =-的最大值为 ．14．已知抛物线21y ax =-的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为 ．15．在ABC △中，AB BC =，7cos 18B =-．若以A B ，为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的离心率e = ．16．等边三角形ABC 与正方形ABDE 有一公共边AB ，二面角C AB D --的余弦值为3，M N ，分别是AC BC ，的中点，则EM AN ，所成角的余弦值等于 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分） （注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 设ABC △的内角A B C ，，所对的边长分别为a b c ，，，且3cos cos 5a Bb Ac -=． （Ⅰ）求tan cot A B 的值； （Ⅱ）求tan()A B -的最大值． 18．（本小题满分12分） （注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 四棱锥A BCDE -中，底面BCDE 为矩形，侧面ABC ⊥底面BCDE ，2BC =，CD =AB AC =．（Ⅰ）证明：AD CE ⊥；（Ⅱ）设CE 与平面ABE 所成的角为45，求二面角C AD E --的大小．19．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 已知函数32()1f x x ax x =+++，a ∈R ． （Ⅰ）讨论函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）设函数()f x 在区间2133⎛⎫-- ⎪⎝⎭，内是减函数，求a 的取值范围． 20．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 已知5只动物中有1只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的动物．血液化验结果呈阳性的即为患病动物，呈阴性即没患病．下面是两种化验方法： 方案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为止．CDE AB方案乙：先任取3只，将它们的血液混在一起化验．若结果呈阳性则表明患病动物为这3只中的1只，然后再逐个化验，直到能确定患病动物为止；若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验．（Ⅰ）求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率； （Ⅱ）ξ表示依方案乙所需化验次数，求ξ的期望． 21．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上．．．．．作答无效．．．．） 双曲线的中心为原点O ，焦点在x 轴上，两条渐近线分别为12l l ，，经过右焦点F 垂直于1l 的直线分别交12l l ，于A B ，两点．已知OA AB OB 、、成等差数列，且BF 与FA同向． （Ⅰ）求双曲线的离心率；（Ⅱ）设AB 被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程． 22．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 设函数()ln f x x x x =-．数列{}n a 满足101a <<，1()n n a f a +=．（Ⅰ）证明：函数()f x 在区间(01)，是增函数； （Ⅱ）证明：11n n a a +<<； （Ⅲ）设1(1)b a ∈，，整数11ln a bk a b-≥．证明：1k a b +>．。

2021年全国高中数学竞赛试题b卷
2021年全国高中数学竞赛试题B卷指的是2021年全国高中数学竞赛中，供参赛者选择解答的B类试题合集。

这类试题通常比普通的高中数学题目难度更大，需要学生具备较高的数学能力和思维水平才能解答。

以下是2021年全国高中数学竞赛试题b卷示例：
一、选择题
1.设a、b、c为正实数，且a + b + c = 1，则1/a + 1/b + 1/c的最小值为
（）
A. 9
B. 12
C. 6
D. 3
2.已知f(x) = x^3 - 3x^2 + 2，x∈[-1,2]，则f(x)的值域为（）
A. [-2,14]
B. [-2,7]
C. [-1,7]
D. [-1,14]
二、判断题
1.若函数f(x)在区间[0,1]上连续，且对所有x∈[0,1]，有f(x) ≤1，则对于任
意两点p(x1,y1)和q(x2,y2)在f(x)图像上，有|y1 - y2| ≤ |x1 - x2|。

（）
2.若f(x)是偶函数，则对于所有x∈R，都有f(-x) = -f(x)。

（）
三、计算题
1.计算定积分∫(sinx)/x dx（上限π，下限0）。

2.若f(x) = x^3 - ax^2 + bx + c在x=1和x=3时取极值，且f(4)=0，求a、
b、c的值。

中国大学生数学竞赛竞赛大纲(2009年首届全国大学生数学竞赛)为了进一步推动高等学校数学课程的改革和建设，提高大学数学课程的教学水平，激励大学生学习数学的兴趣，发现和选拔数学创新人才，更好地实现“中国大学生数学竞赛”的目标，特制订本大纲。

一、竞赛的性质和参赛对象“中国大学生数学竞赛”的目的是：激励大学生学习数学的兴趣，进一步推动高等学校数学课程的改革和建设，提高大学数学课程的教学水平，发现和选拔数学创新人才。

“中国大学生数学竞赛”的参赛对象为大学本科二年级及二年级以上的在校大学生。

二、竞赛的内容“中国大学生数学竞赛”分为数学专业类竞赛题和非数学专业类竞赛题。

（一）中国大学生数学竞赛（数学专业类）竞赛内容为大学本科数学专业基础课的教学内容，即，数学分析占50%，高等代数占35%，解析几何占15%，具体内容如下：Ⅰ、数学分析部分一、集合与函数1. 实数集、有理数与无理数的稠密性，实数集的界与确界、确界存在性定理、闭区间套定理、聚点定理、有限覆盖定理.2. 上的距离、邻域、聚点、界点、边界、开集、闭集、有界（无界）集、上的闭矩形套定理、聚点定理、有限覆盖定理、基本点列，以及上述概念和定理在上的推广.3. 函数、映射、变换概念及其几何意义，隐函数概念，反函数与逆变换，反函数存在性定理，初等函数以及与之相关的性质.二、极限与连续1. 数列极限、收敛数列的基本性质（极限唯一性、有界性、保号性、不等式性质）.2. 数列收敛的条件（Cauchy准则、迫敛性、单调有界原理、数列收敛与其子列收敛的关系），极限及其应用.3.一元函数极限的定义、函数极限的基本性质（唯一性、局部有界性、保号性、不等式性质、迫敛性），归结原则和Cauchy收敛准则，两个重要极限及其应用，计算一元函数极限的各种方法，无穷小量与无穷大量、阶的比较，记号O与o的意义，多元函数重极限与累次极限概念、基本性质，二元函数的二重极限与累次极限的关系.4. 函数连续与间断、一致连续性、连续函数的局部性质（局部有界性、保号性），有界闭集上连续函数的性质（有界性、最大值最小值定理、介值定理、一致连续性）.三、一元函数微分学1.导数及其几何意义、可导与连续的关系、导数的各种计算方法，微分及其几何意义、可微与可导的关系、一阶微分形式不变性.2.微分学基本定理：Fermat定理，Rolle定理，Lagrange定理，Cauchy 定理，Taylor公式(Peano余项与Lagrange余项).3.一元微分学的应用：函数单调性的判别、极值、最大值和最小值、凸函数及其应用、曲线的凹凸性、拐点、渐近线、函数图象的讨论、洛必达（L'Hospital）法则、近似计算.四、多元函数微分学1. 偏导数、全微分及其几何意义，可微与偏导存在、连续之间的关系，复合函数的偏导数与全微分，一阶微分形式不变性，方向导数与梯度，高阶偏导数，混合偏导数与顺序无关性，二元函数中值定理与Taylor公式.2.隐函数存在定理、隐函数组存在定理、隐函数（组）求导方法、反函数组与坐标变换.3.几何应用（平面曲线的切线与法线、空间曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线）.4.极值问题（必要条件与充分条件），条件极值与Lagrange乘数法.五、一元函数积分学1. 原函数与不定积分、不定积分的基本计算方法（直接积分法、换元法、分部积分法）、有理函数积分：型，型.2. 定积分及其几何意义、可积条件（必要条件、充要条件：）、可积函数类.3. 定积分的性质（关于区间可加性、不等式性质、绝对可积性、定积分第一中值定理）、变上限积分函数、微积分基本定理、N-L公式及定积分计算、定积分第二中值定理.4.无限区间上的广义积分、Canchy收敛准则、绝对收敛与条件收敛、非负时的收敛性判别法（比较原则、柯西判别法）、Abel判别法、Dirichlet 判别法、无界函数广义积分概念及其收敛性判别法.5. 微元法、几何应用（平面图形面积、已知截面面积函数的体积、曲线弧长与弧微分、旋转体体积），其他应用.六、多元函数积分学1.二重积分及其几何意义、二重积分的计算（化为累次积分、极坐标变换、一般坐标变换）.2.三重积分、三重积分计算（化为累次积分、柱坐标、球坐标变换）.3.重积分的应用（体积、曲面面积、重心、转动惯量等）.4.含参量正常积分及其连续性、可微性、可积性，运算顺序的可交换性.含参量广义积分的一致收敛性及其判别法，含参量广义积分的连续性、可微性、可积性，运算顺序的可交换性.5.第一型曲线积分、曲面积分的概念、基本性质、计算.6.第二型曲线积分概念、性质、计算；Green公式，平面曲线积分与路径无关的条件.7.曲面的侧、第二型曲面积分的概念、性质、计算，奥高公式、Stoke 公式，两类线积分、两类面积分之间的关系.七、无穷级数1. 数项级数级数及其敛散性，级数的和，Cauchy准则，收敛的必要条件，收敛级数基本性质；正项级数收敛的充分必要条件，比较原则、比式判别法、根式判别法以及它们的极限形式；交错级数的Leibniz判别法；一般项级数的绝对收敛、条件收敛性、Abel判别法、Dirichlet判别法.2. 函数项级数函数列与函数项级数的一致收敛性、Cauchy准则、一致收敛性判别法（M-判别法、Abel判别法、Dirichlet判别法）、一致收敛函数列、函数项级数的性质及其应用.3.幂级数幂级数概念、Abel定理、收敛半径与区间，幂级数的一致收敛性，幂级数的逐项可积性、可微性及其应用，幂级数各项系数与其和函数的关系、函数的幂级数展开、Taylor级数、Maclaurin级数.4.Fourier级数三角级数、三角函数系的正交性、2及2周期函数的Fourier级数展开、Beseel不等式、Riemanm-Lebesgue定理、按段光滑函数的Fourier级数的收敛性定理.Ⅱ、高等代数部分一、多项式1. 数域与一元多项式的概念2. 多项式整除、带余除法、最大公因式、辗转相除法3. 互素、不可约多项式、重因式与重根.4. 多项式函数、余数定理、多项式的根及性质.5. 代数基本定理、复系数与实系数多项式的因式分解.6. 本原多项式、Gauss引理、有理系数多项式的因式分解、Eisenstein 判别法、有理数域上多项式的有理根.7. 多元多项式及对称多项式、韦达(Vieta)定理.二、行列式1. n级行列式的定义.2. n级行列式的性质.3. 行列式的计算.4. 行列式按一行（列）展开.5. 拉普拉斯(Laplace)展开定理.6. 克拉默(Cramer)法则.三、线性方程组1. 高斯(Gauss)消元法、线性方程组的初等变换、线性方程组的一般解.2. n维向量的运算与向量组.3. 向量的线性组合、线性相关与线性无关、两个向量组的等价.4. 向量组的极大无关组、向量组的秩.5. 矩阵的行秩、列秩、秩、矩阵的秩与其子式的关系.6. 线性方程组有解判别定理、线性方程组解的结构.7. 齐次线性方程组的基础解系、解空间及其维数四、矩阵1. 矩阵的概念、矩阵的运算(加法、数乘、乘法、转置等运算)及其运算律.2. 矩阵乘积的行列式、矩阵乘积的秩与其因子的秩的关系.3. 矩阵的逆、伴随矩阵、矩阵可逆的条件.4. 分块矩阵及其运算与性质.5. 初等矩阵、初等变换、矩阵的等价标准形.6. 分块初等矩阵、分块初等变换.五、双线性函数与二次型1. 双线性函数、对偶空间2. 二次型及其矩阵表示.3. 二次型的标准形、化二次型为标准形的配方法、初等变换法、正交变换法.4. 复数域和实数域上二次型的规范形的唯一性、惯性定理.5. 正定、半正定、负定二次型及正定、半正定矩阵六、线性空间1. 线性空间的定义与简单性质.2. 维数，基与坐标.3. 基变换与坐标变换.4. 线性子空间.5. 子空间的交与和、维数公式、子空间的直和.七、线性变换1. 线性变换的定义、线性变换的运算、线性变换的矩阵.2. 特征值与特征向量、可对角化的线性变换.3. 相似矩阵、相似不变量、哈密尔顿-凯莱定理.4. 线性变换的值域与核、不变子空间.八、若当标准形1.矩阵.2. 行列式因子、不变因子、初等因子、矩阵相似的条件.3. 若当标准形.九、欧氏空间1. 内积和欧氏空间、向量的长度、夹角与正交、度量矩阵.2. 标准正交基、正交矩阵、施密特(Schmidt)正交化方法.3. 欧氏空间的同构.4. 正交变换、子空间的正交补.5. 对称变换、实对称矩阵的标准形.6. 主轴定理、用正交变换化实二次型或实对称矩阵为标准形.7. 酉空间.Ⅲ、解析几何部分一、向量与坐标1. 向量的定义、表示、向量的线性运算、向量的分解、几何运算.2. 坐标系的概念、向量与点的坐标及向量的代数运算.3. 向量在轴上的射影及其性质、方向余弦、向量的夹角.4. 向量的数量积、向量积和混合积的定义、几何意义、运算性质、计算方法及应用.5. 应用向量求解一些几何、三角问题.二、轨迹与方程1.曲面方程的定义：普通方程、参数方程(向量式与坐标式之间的互化)及其关系.2.空间曲线方程的普通形式和参数方程形式及其关系.3.建立空间曲面和曲线方程的一般方法、应用向量建立简单曲面、曲线的方程.4.球面的标准方程和一般方程、母线平行于坐标轴的柱面方程.三、平面与空间直线1.平面方程、直线方程的各种形式，方程中各有关字母的意义.2.从决定平面和直线的几何条件出发，选用适当方法建立平面、直线方程.3.根据平面和直线的方程，判定平面与平面、直线与直线、平面与直线间的位置关系.4. 根据平面和直线的方程及点的坐标判定有关点、平面、直线之间的位置关系、计算他们之间的距离与交角等；求两异面直线的公垂线方程.四、二次曲面1.柱面、锥面、旋转曲面的定义，求柱面、锥面、旋转曲面的方程.2.椭球面、双曲面与抛物面的标准方程和主要性质，根据不同条件建立二次曲面的标准方程.3.单叶双曲面、双曲抛物面的直纹性及求单叶双曲面、双曲抛物面的直母线的方法.4.根据给定直线族求出它表示的直纹面方程，求动直线和动曲线的轨迹问题.五、二次曲线的一般理论1.二次曲线的渐进方向、中心、渐近线.2.二次曲线的切线、二次曲线的正常点与奇异点.3.二次曲线的直径、共轭方向与共轭直径.4.二次曲线的主轴、主方向，特征方程、特征根.5.化简二次曲线方程并画出曲线在坐标系的位置草图.（二）中国大学生数学竞赛（非数学专业类）竞赛内容为大学本科理工科专业高等数学课程的教学内容，具体内容如下：一、函数、极限、连续1．函数的概念及表示法、简单应用问题的函数关系的建立.2．函数的性质：有界性、单调性、周期性和奇偶性.3．复合函数、反函数、分段函数和隐函数、基本初等函数的性质及其图形、初等函数.4．数列极限与函数极限的定义及其性质、函数的左极限与右极限.5．无穷小和无穷大的概念及其关系、无穷小的性质及无穷小的比较.6．极限的四则运算、极限存在的单调有界准则和夹逼准则、两个重要极限.7．函数的连续性（含左连续与右连续）、函数间断点的类型.8．连续函数的性质和初等函数的连续性.9．闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理、介值定理).二、一元函数微分学1. 导数和微分的概念、导数的几何意义和物理意义、函数的可导性与连续性之间的关系、平面曲线的切线和法线.2. 基本初等函数的导数、导数和微分的四则运算、一阶微分形式的不变性.3. 复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法.4. 高阶导数的概念、分段函数的二阶导数、某些简单函数的n阶导数.5. 微分中值定理，包括罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒定理.6. 洛必达(L’Hospital)法则与求未定式极限.7. 函数的极值、函数单调性、函数图形的凹凸性、拐点及渐近线(水平、铅直和斜渐近线)、函数图形的描绘.8. 函数最大值和最小值及其简单应用.9. 弧微分、曲率、曲率半径.三、一元函数积分学1. 原函数和不定积分的概念.2. 不定积分的基本性质、基本积分公式.3. 定积分的概念和基本性质、定积分中值定理、变上限定积分确定的函数及其导数、牛顿-莱布尼茨(Newton-Leibniz)公式.4. 不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法.5. 有理函数、三角函数的有理式和简单无理函数的积分.6. 广义积分.7. 定积分的应用：平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、功、引力、压力及函数的平均值．四.常微分方程1. 常微分方程的基本概念：微分方程及其解、阶、通解、初始条件和特解等.2. 变量可分离的微分方程、齐次微分方程、一阶线性微分方程、伯努利(Bernoulli)方程、全微分方程.3. 可用简单的变量代换求解的某些微分方程、可降阶的高阶微分方程： .4. 线性微分方程解的性质及解的结构定理.5. 二阶常系数齐次线性微分方程、高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程.6. 简单的二阶常系数非齐次线性微分方程：自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数，以及它们的和与积7. 欧拉(Euler)方程.8. 微分方程的简单应用五、向量代数和空间解析几何1. 向量的概念、向量的线性运算、向量的数量积和向量积、向量的混合积.2. 两向量垂直、平行的条件、两向量的夹角.3. 向量的坐标表达式及其运算、单位向量、方向数与方向余弦.4. 曲面方程和空间曲线方程的概念、平面方程、直线方程.5. 平面与平面、平面与直线、直线与直线的夹角以及平行、垂直的条件、点到平面和点到直线的距离.6. 球面、母线平行于坐标轴的柱面、旋转轴为坐标轴的旋转曲面的方程、常用的二次曲面方程及其图形.7. 空间曲线的参数方程和一般方程、空间曲线在坐标面上的投影曲线方程.六、多元函数微分学1. 多元函数的概念、二元函数的几何意义.2. 二元函数的极限和连续的概念、有界闭区域上多元连续函数的性质.3. 多元函数偏导数和全微分、全微分存在的必要条件和充分条件.4. 多元复合函数、隐函数的求导法.5. 二阶偏导数、方向导数和梯度.6. 空间曲线的切线和法平面、曲面的切平面和法线.7. 二元函数的二阶泰勒公式.8. 多元函数极值和条件极值、拉格朗日乘数法、多元函数的最大值、最小值及其简单应用.七、多元函数积分学1. 二重积分和三重积分的概念及性质、二重积分的计算(直角坐标、极坐标)、三重积分的计算(直角坐标、柱面坐标、球面坐标).2. 两类曲线积分的概念、性质及计算、两类曲线积分的关系.3. 格林(Green)公式、平面曲线积分与路径无关的条件、已知二元函数全微分求原函数.4. 两类曲面积分的概念、性质及计算、两类曲面积分的关系.5. 高斯(Gauss)公式、斯托克斯(Stokes)公式、散度和旋度的概念及计算.6. 重积分、曲线积分和曲面积分的应用(平面图形的面积、立体图形的体积、曲面面积、弧长、质量、质心、转动惯量、引力、功及流量等)八、无穷级数1. 常数项级数的收敛与发散、收敛级数的和、级数的基本性质与收敛的必要条件.2. 几何级数与p级数及其收敛性、正项级数收敛性的判别法、交错级数与莱布尼茨(Leibniz)判别法.3. 任意项级数的绝对收敛与条件收敛.4. 函数项级数的收敛域与和函数的概念.5. 幂级数及其收敛半径、收敛区间（指开区间）、收敛域与和函数.6. 幂级数在其收敛区间内的基本性质(和函数的连续性、逐项求导和逐项积分)、简单幂级数的和函数的求法.7. 初等函数的幂级数展开式.8. 函数的傅里叶(Fourier)系数与傅里叶级数、狄利克雷(Dirichlei)定理、函数在[-l，l]上的傅里叶级数、函数在[0,l]上的正弦级数和余弦级数。

第四届（2019）全国高校密码数学挑战赛赛题二一、赛题名称：小整数解二、赛题描述：2.1 符号说明n ,m ,q 表示正整数，ℤ表示整数集，ℤ�表示ℤ模q 所构成的集合，ℤ�表示定义在ℤ上的m 维（列）向量所构成的集合，ℤ��×�表示定义在ℤ�上的n ×m 阶矩阵所构成的集合。

ℝ表示实数集，ℝ�表示定义在ℝ上的m 维（列）向量所构成的集合。

小写黑体字母表示向量，如x ∈ℤ�，大写黑体字母表示矩阵，如A ∈ℤ��×�。

‖x ‖=�x ��+x ��+⋯+x �表示向量x 的长度。

2.2基础知识设b �,b �,…,b �∈ℝ�是m 个线性无关的向量，由b �,b �,…,b �的所有整系数线性组合构成的集合称为一个格，记作ℒ(B )=� �z �b �����: z �∈ℤ �其中矩阵B =(b �,b �,…,b �)称为格ℒ(B )的一组基。

格上的最短向量问题（Shortest V ector Problem, SVP ）定义为，给定格ℒ(B )的一组基B ，找出ℒ(B )中最短向量v ，即∀ w ∈ℒ(B ),‖w ‖≥‖v ‖。

2.3问题描述给定正整数0<n <m 、模数q 以及均匀随机矩阵A ∈ℤ��×�，求解x ∈ℤ�满足：�Ax =0 mod q �‖x ‖≤√m例如，n =2,m =4,q =11,A=�13−35624−5�∈ℤ���×�,则x=(1,0,1,1)�是该实例的一个解。

挑战问题的参数设置请参见附件：小整数解问题数据文件.txt。

2.4成绩评判1. 参赛者在报告摘要中明确列出每个问题实例的解；在报告正文中详细描述每个问题实例的求解方法。

2. 引用前人的方法需在解题报告中明确指出，否则内容作废。

3. 每个问题实例仅需给出一个正确解x，‖x‖越小，得分越高。

三、密码学背景及相关问题的研究进展量子计算对传统公钥密码（基于大数分解和离散对数问题）的威胁以及近些年量子计算机的飞速发展，使得“后量子密码”（能够抵抗量子攻击的密码体制）成为学术界和产业界的热门研究领域。

第三届全国大学生数学竞赛决赛试题（非数学类）+答案第三届全国大学生数学竞赛决赛试卷（非数学类，2012）本试卷共2页，共6题。

全卷满分100分。

考试用时150分钟。

一、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）计算下列各题（要求写出重要步骤）.(1) xx xx x x 222220sin cos sin lim -→解：x x x x x x 222220sin cos sin lim -→4222220cos sin lim x xx x x x x -+-=→2040)c o s 1)(cos 1(lim ))(sin (sin lim x x x x x x x x x x +-++-=→→221261?+?-=32=(2) [()]61311tan 21lim x e xx x x x +--++∞→解： [()]61311tan 21lim x e xx x xx +--++∞→ （令x t 1=）362201)t a n 21(l i m t t e t t t t t +--+=+→3620111)21(lim t t e t t t +-+-+=+→ 3201)21(l i m t e t tt -+=+→2206)22(lim te t t t t ++=+→+∞=(3) 设函数),(y x f 有二阶连续偏导数, 满足0222=+-yy y xy y x yy x f f f f f f f 且0≠y f ,),(z x y y =是由方程),(y x f z =所确定的函数. 求22xy解：依题意有，y 是函数，x 、z 是自变量。

将方程),(y x f z =两边同时对x 求导， x y ffyx+=0，则 yx f f x y-=??，于是 ()yx f f x x y -=??222)()(yyy yx x yxxx y f x yf f f x y f f f ??+-??+-=2)()(yyx yy yx x yx yxxx y f f f f f f f f f f f ----=3222yyyy xy y x yy x f f f f f f f f +--=0=(4) 求不定积分()dx e xx I x x 111+-+=?解：()dx e x x dx eI xx xx 12111++-+=?xx x x xdedx e 11+++=?()xx xe d 1+?=C xexx +=+1(5) 求曲面az y x =+22和222y x a z +-=)0(>a 所围立体的表面积解：联立az y x =+22，222y x a z +-=，解得两曲面的交线所在的平面为a z =，它将表面分为1S 与2S 两部分，它们在xoy 平面上的投影为222:a y x D ≤+，在1S 上 dxdy a y a x dS 2222441++=dxdy a y x a 2222)(4++=在2S 上 dxdy yx y y x x dS 2222221++++=dxdy 2= 则 d x d y ay x a S D )2)(4(2222+++=??22202024a r d r a r a d a πθπ+=?? )26155(2+-=a π 二、（本题13分）讨论dx xx x x220sin cos α+?∞+的敛散性，其中α是一个实常数. 解：记 xx x xx f 22sin cos )(α+=① 若0≤α，)1(2)(>?≥x xx f ；则dx x x x x 220sin cos α+?∞+发散② 若20≤<α，则11≤-α，而)1(2)(1≥?≥-x x x f α；所以dx xx x x220sin cos α+?∞+发散。