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第三届全国大学数学竞赛初赛（非数学专业）试卷一、计算下列各题（本题共4个小题，每题6分，共24分）1. 220(1)(1ln(1))lim xx x e x x →+--+。
【解析】：因为22ln(1)22(1)(1ln(1))(1ln(1))x xxx e x ee x xx++--+--+=22022ln(1)ln(1)22220002222000ln(1)lim ,2ln(1)21lim lim lim 11ln(1)1lim 2lim 2lim 2x x x xx x x x x x x e x e xx e e e x e e x x xx x x e e ex x →++-→→→→→→+=+---==-+-+===- 所以220(1)(1ln(1))lim0xx x e x x→+--+= 【注】可以考虑洛必达法则、带皮亚诺余项的麦克劳力公式，具体参见视频解析！2. 设2coscoscos222n na θθθ=⋅⋅⋅，求lim n n a →∞。
【解析】：若0θ=，则lim 1n n a →∞=。
若0θ≠，则当n 充分大，使得022nθπ<<时，2222221cos cos coscos cos cossin2222222sin 211sin cos cos cos sin 22222sin 2sin 22n n nn nn n n n n a θθθθθθθθθθθθθθθ--=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅=从而有，sin sin lim lim 2sin 2n n n n na θθθθ→∞→∞==。
3. 求sgn(1)Dxy dxdy -⎰⎰，其中{}(,)|02,02D x y x y =≤≤≤≤。
【解析】：设11(,)|0,022D x y x y ⎧⎫=≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭，1233122321211(,)|2,0,211(,)|2,2,2112ln 2,32ln 2,sgn(1)24ln 2.D D D DD D D D x y x y x D x y x y x dxdxdy dxdy x xy dxdy dxdy dxdy ⎧⎫=≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭⎧⎫=≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭=+=+=--=-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰【注】由积分的几何意义，积分等于2倍3D 矩形的面积减去矩形的面积，具体分析参见解析视频。
a 2018年全国高中数学联合竞赛一试（B 卷）一、填空题：本大题共8个小题，每小题8分，共64分。
2018B1、设集合{}8,1,0,2=A ，集合{}A a a B ∈=|2，则集合B A 的所有元素之和是 ◆答案： 31★解析:易知{}16,2,0,4=B ，所以{}16,8,4,2,1,0=B A ，元素之和为31.2018B 2、已知圆锥的顶点为P ，底面半径长为2，高为1．在圆锥底面上取一点Q ，使得直线PQ 与底面所成角不大于045，则满足条件的点Q 所构成的区域的面积为 ◆答案： π3★解析:记圆锥的顶点P 在底面的投影为O ，则O 为底面中心，且1tan ≤=∠OQOPOQP ，即1≥OQ ，故所以区域的面积为πππ31222=⨯-⨯。
2018B 3、将6,5,4,3,2,1随机排成一行，记为f e d c b a ,,,,,，则def abc +是奇数的概率为 ◆答案：101 ★解析：由def abc +为奇数时，abc ，def 一奇一偶，①若abc 为奇数，则c b a ,,为5,3,1的排列，进而f e d ,,为6,4,2的排列，这样共有3666=⨯种；②若abc 为偶数，由对称性得，也有3666=⨯种，从而def abc +为奇数的概率为101!672=。
2018B 4、在平面直角坐标系xOy 中，直线l 通过原点，)1,3(=n 是l 的一个法向量．已知数列{}n a 满足：对任意正整数n ，点),(1n n a a +均在l 上．若62=a ，则54321a a a a a 的值为 ◆答案： 32-★解析:易知直线l 的方程为x y 3-=，因此对任意正整数n ，有n n a a 311-=+，故{}n a 是以31-为a 公比的等比数列.于是23123-=-=a a ，由等比数列的性质知325354321-==a a a a a a2018B 5、设βα,满足3)3tan(-=+πα，5)6tan(=-πβ，则)tan(βα-的值为◆答案： 47-★解析:由两角差的正切公式可知7463tan =⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛+πβπα，即可得47)tan(-=-βα2018B 6、设抛物线x y C 2:2=的准线与x 轴交于点A ，过点)0,1(-B 作一直线l 与抛物线C 相切于点K ,过点A 作l 的平行线，与抛物线C 交于点N M ,，则KMN ∆的面积为为 ◆答案：21★解析:设直线l 与MN 的斜率为k ，:l 11-=y k x ，:MN 211-=y k x 分别联立抛物线方程得到：0222=+-y k y （*），和0122=+-y ky （**） 对（*）由0=∆得22±=k ；对（**）得2442=-=-k y y NM所以2121=-⋅⋅=-==∆∆∆∆N M KBAN BAM BMN KMN y y AB S S S S2018B 7、设)(x f 是定义在R 上的以2为周期的偶函数，在区间[]2,1上严格递减，且满足1)(=πf ，0)2(=πf ，则不等式组⎩⎨⎧≤≤≤≤1)(010x f x 的解集为◆答案：[]ππ--4,62★解析：由)(x f 为偶函数及在区间[]2,1上严格递减知，)(x f 在[]1,2--上递增，结合周期性知，)(x f 在[]1,0上递增，又1)()4(==-ππf f ，0)2()62(==-ππf f ，所以不等式等价于)4()()62(ππ-≤≤-f x f f ，又14620<-<-<ππ，即不等式的解集为a[]ππ--4,622018B 8、已知复数321,,z z z 满足1321===z z z ，r z z z =++321，其中r 是给定的实数，则133221z z z z z z ++的实部是 （用含有r 的式子表示） ◆答案： 232-r★解析:记133221z z z z z z w ++=，由复数的模的性质可知：111z z =，221z z =，331z z =，因此 133221z z z z z z w ++=。
高考数学试卷一、单选题 1.函数21x y x +=-的定义域为( )A ．{|21}x x x >-≠且 B ．{|21}x x x ≥-≠且 C ．)[(21,1,)-⋃+∞ D ．)((21,1,)-⋃+∞2．袋中有2个白球，2个黑球，若从中任意摸出2个，则至少摸出1个黑球的概率是（ ）A ．16B ．13C ．34D ．563.已知角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边在直线3y x =上，则sin 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A.255± B.255 C.55 D.55± 4.已知函数2()2sin cos 33(0)f x x x x ωωωω=+>的最小正周期为π. （1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）将函数()f x 的图像向左平移6π个单位，再向上平移1个单位，得到函数()y g x =的图像，若()y g x =在[0,](0)b b >上至少含有10个零点，求b 的最小值。
5．已知函数1()2f x x x =+-（1）用定义证明函数()f x 在(0,1]上是减函数，在[1,)+∞上是增函数；（2）当函数()lg y f x k =-有两个大于0的零点时，求实数k 的取值范围6.要得到函数2sin x y e =的图像，只需将函数cos2x y e =的图像（ ）A ．向右平移4π个单位B ．向右平移2π个单位C ．向左平移4π个单位D ．向左平移2π个单位 7.tan 3π=（ ）A ．33B ．32C ．1D ．38．若命题甲：10x -=，命题乙：2lg lg 0x x -=，则命题甲是命题乙的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．非充分也非必要条件9.设32x y +=，则函数327x y z =+的最小值是（ ） A.12 B.6 C.27 D.3010．下列计算正确的是A.()22x y x y +=+B.()2222x y x xy y -=--C.()()2111x x x +-=-D.()2211x x -=- 11.在三棱锥B ACD -中，若AB AC AD BC BD CD =====，则异面直线AB 与CD 所成角为（ ）A ．30°B ．60°C ．90°D ．120° 二、填空题12．定义在(1,1)-上的函数()f x 满足()()()1f x g x g x =--+，对任意的1212,(1,1),x x x x ∈-≠，恒有()()()12120f x f x x x -->⎡⎤⎣⎦，则关于x 的不等式(21)()2f x f x ++>的解集为13.25(0),()8(0).x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨+>⎪⎩14．正方体的棱长扩大到原来的倍，其表面积扩大到原来的（ ）倍。
绝密★启用前试题类型：新课标Ⅲ2018年普通高等学校招生全国统一考试理科数学参考答案注意事项：1. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 回答非选择题时，将答案写在答题卡上. 写在本试卷上无效.3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{}|10A x x =-≥，{}0,1,2B =，则A B = ( ) A ．{}0 B ．{}1 C ．{}1,2 D ．{}0,1,2 【答案】C【解析】:1A x ≥，{}1,2A B ∴= 【考点】交集2．()()12i i +-=( )A ．3i --B ．3i -+C ．3i -D ．3i + 【答案】D【解析】()()21223i i i i i +-=+-=+【考点】复数的运算3.中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫做榫头，凹进部分叫做卯眼，图中的木构件右边的小长方体是榫头. 若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是( )【答案】A【解析】注意咬合，通俗点说就是小长方体要完全嵌入大长方体中，嵌入后最多只能看到小长方体的一个面，而B 答案能看见小长方体的上面和左面，C 答案至少能看见小长方体的左面和前面，D 答案本身就不对，外围轮廓不可能有缺失 【考点】三视图 4.若1sin 3α=，则cos 2α=( ) A ．89 B ．79 C ．79- D ．89- 【答案】B【解析】27cos 212sin 9αα=-= 【考点】余弦的二倍角公式5.522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中4x 的系数为( )A ．10B ．20C ．40D ．80 【答案】C【解析】522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的第1r +项为：()521035522rr r r r r C x C x x --⎛⎫= ⎪⎝⎭，故令2r =，则10345240r r r C x x -=【考点】二项式定理俯视方向D.C. B.A.6．直线20x y ++=分别与x 轴、y 轴交于点,A B 两点，点P 在圆()2222x y -+=上，则ABP ∆面积的取值范围是( )A ．[]2,6B ．[]4,8 C． D．⎡⎣【答案】A【解析】()()2,0,0,2A B --，AB ∴=，可设()2,P θθ+，则4P ABd πθ-⎛⎫==+∈ ⎪⎝⎭[]12,62ABP P AB P AB S AB d ∆--∴=⋅=∈ 注：P AB d -的范围也可以这样求：设圆心为O ，则()2,0O，故P AB O AB O AB d d d ---⎡∈+⎣，而O AB d -==，P AB d -∴∈ 【考点】点到直线距离、圆上的点到直线距离最值模型(圆的参数方程、三角函数) 7．422y x x =-++的图像大致为( )【答案】DxxxxyyyyD.C.B.A.OO11OO111111【解析】()12f =，排除A 、B ；()32'42212y x x x x =-+=-，故函数在0,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭单增，排除C【考点】函数图像辨识(按照奇偶性、特殊点函数值正负、趋势、单调性(导数)的顺序来考虑)8.某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p ，各成员的支付方式相互独立，设X 为该群体的10为成员中使用移动支付的人数， 2.4DX =，()()46P X P X =<=，则p =( )A ．0.7B ．0.6C ．0.4D ．0.3 【答案】B【解析】由题意得X 服从二项分布，即()~10,X p ，由二项分布性质可得()101 2.4DX p p =-=，故0.4p =或0.6，而()()()()64446610104161P x C p p P x C p p ==-<==-即()221p p -<，故0.5p >0.6p ∴=【考点】二项分布及其方差公式9.ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若ABC ∆的面积为2224a b c+-，则C =( )A ．2πB ．3πC ．4πD ．6π【答案】C 【解析】2221sin 24ABCa b c S ab C ∆+-==，而222cos 2a b c C ab+-= 故12cos 1sin cos 242ab C ab C ab C ==，4C π∴= 【考点】三角形面积公式、余弦定理10.设,,,A B C D 是同一个半径为4的球的球面上四点，ABC ∆为等边三角形且其面积为D ABC -的体积最大值为( )A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】如图，O为球心，F为等边ABC∆的重心，易知OF⊥底面ABC，当,,D O F三点共线，即DF⊥底面ABC时，三棱锥D ABC-的高最大，体积也最大. 此时：6ABCABCABS∆∆⎫⎪⇒==等边，在等边ABC∆中，233BF BE AB===，在Rt OFB∆中，易知2OF=，6DF∴=，故()max163D ABCV-=⨯=【考点】外接球、椎体体积最值11.设12,F F是双曲线()2222:10,0x yC a ba b-=>>的左，右焦点，O是坐标原点，过2F作C的一条渐近线的垂线，垂足为P.若1PF=，则C的离心率为( )AB．2CD【答案】C【解析】渐近线OP的方程为：by xa=，利用点到直线的距离公式可求得2PF b=，(此结论可作为二级结论来记忆)，在Rt ABC∆中，易得OP a=，1PF∴=，在1POF∆中，由余弦定理可得：22216cos2a c aPOFac+-∠=，又2cosaPOFc∠= 22262a c a aac c+-∴+=，故cea==【考点】双曲线几何性质、余弦定理解三角形OF ECBAD12. 设0.2log 0.3a =，2log 0.3b =，则( )A ．0a b ab +<<B ．0ab a b <+<C ．0a b ab +<<D ．0ab a b <<+ 【答案】B【解析】首先由0.2log y x =单调递减可知0.20.20.20log 1log 0.3log 0.21a =<=<=，同理可知21b -<<-，0,0a b ab ∴+<<，排除C 、D 其次：利用作商法：0.30.30.311log 0.2log 2log 0.41a b ab a b+=+=+=<(注意到0ab <) a b ab ∴+>【考点】利用对数函数单调性确定对数范围、作商法比较大小 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13. 已知向量()1,2a = ，()2,2b =- ，()1,c λ=. 若()//2c a b + ，则_______.λ= 【答案】12【解析】()24,2a b +=，故24λ=【考点】向量平行的坐标运算14. 曲线()1xy ax e =+在点()0,1处的切线斜率为2-，则______.a =【答案】3-【解析】()'1x xy ae ax e =++，12k a ∴=+=-【考点】切线斜率的计算方法15.函数()cos 36f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在[]0,π的零点个数为_________.【答案】3【解析】[]0,x π∈，3,3666t x ππππ⎡⎤=+∈+⎢⎥⎣⎦，由cos y t =图像可知，当35,,222t πππ=时cos 0t =，即()f x 有三个零点 或者：令362x k πππ+=+，则93k x ππ=+，当0,1,2k =时，[]0,x π∈，故3个零点【考点】换元法(整体法)、余弦函数的图像与性质16. 已知点()1,1M -和抛物线2:4C y x =，过C 的焦点且斜率为k 的直线与抛物线交于,A B 两点，若90AMB ∠= ，则_______.k =【答案】2 【解析】(1) 常规解法：设直线方程为1x my =+，联立214x my y x=+⎧⎨=⎩可求121244y y m y y +=⎧⎨=-⎩，由()()12121212110MB MA y y y y x x x x ⋅=-++++++= ，可得12m =，故2k =(2) 二级结论：以焦点弦为直径的圆与准线相切设AB 中点为N ，则由二级结论可知NM ⊥准线，1N M y y ∴==，故22A B N y y y +==，由点差法可得，42A B k y y ==+ 进一步可得二级结论：AB M k y p ⋅=【考点】直线与抛物线联立(二级结论、点差法)三.解答题：共70分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.. 第17~21题为必考题，每个试题考生必须作答. 第22、23题为选考题，考生根据要求作答. (一)必考题：共60分. 17. (12分)等比数列{}n a 中，1531,4a a a ==. (1)求{}n a 的通项公式；(2)记n S 为{}n a 的前n 项和. 若63m S =，求m . 【答案】(1)12n n a -=或()12n n a -=-；(2)6m =【解析】(1)25334a a a q ==，2q ∴=±，∴12n n a -=或()12n n a -=-(2) 当2q =时，()()112631mmS -==-，解得6m =当2q =-时，()()112633mm S --==，得()2188m-=-无解综上：6m =【考点】等比数列通项公式与前n 项和公式 18. (12分)某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式. 为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人. 第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式，根据工人完成生产任务的工作时间(单位：min)绘制了如下茎叶图：第一种生产方式第二种生产方式8655689 9 7 627012234 5 6 6 89 8 7 7 6 5 4 3 3281445 2 11 009(1)根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；(2)求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m ，并将完成生产任务所需时间超过m 和不超过m 的工人数填入下面的列联表：超过m不超过m第一种生产方式 第二种生产方式(3)根据(2)中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，()2P K k ≥ 0.0500.010 0.001k3.8416.63510.828【答案】(1)第二组生产方式效率更高；(2)见解析；(3)有；【解析】(1)第二组生产方式效率更高；从茎叶图观察可知，第二组数据集中在70min~80min 之间，而第一组数据集中在80min~90min 之间，故可估计第二组的数据平均值要小于第一组数据平均值，事实上168727677798283838485868787888990909191928420E +++++++++++++++++++==同理274.7E =，21E E < ，故第二组生产方式效率更高 (2)由茎叶图可知，中位数7981802m +==，且列联表为：超过m 不超过m第一种生产方式15 5 第二种生产方式515(3)由(2)可知()22224015510 6.63520202020K -==>⨯⨯⨯，故有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异 【考点】茎叶图、均值及其意义、中位数、独立性检验 19．(12分)如图，边长为2的正方形ABCD 所在的平面与半圆弧 CD所在的平面垂直，M 是CD 上异于,C D 的点．(1)证明：平面AMD ⊥平面BMC ；(2)当三棱锥M ABC -体积的最大时，求面MAB 与面MCD 所成二面角的正弦值.【答案】(1)见解析； 【解析】(1)ABCD CDM BC DCM BC DM DM BMC ADN BMC BC CD MC DM ⎫⊥⎫⇒⊥⇒⊥⎬⎪⇒⊥⇒⊥⊥⎬⎭⎪⊥⎭(这边只给出了证明的逻辑结构，方便大家阅读，考试还需要写一些具体的内容)(2)ABC S ∆ 恒定，故要使M ABC V -最大，则M ABC d -最大，结合图象可知M 为弧 CD中点时，M ABC V -最大. 此时取CD 的中点O ，则MO DC ⊥，故MO ⊥面ABCD ，故可建立如图所示空间直角坐标系 则：()0,0,1M ，()2,1,0A -，()2,1,0B ，()0,1,0C ，()0,1,0D -MBCDA()()0,2,0,2,1,1AB MA ==--，∴平面MAB 的法向量为()11,0,2n = ，易知平面MCD 的法向量为()21,0,0n =，故12cos ,5n n <>== ， ∴面MAB 与面MCD【考点】面面垂直的判定、三棱锥体积最值、二面角的求法 20. (12分)已知斜率为k 的直线l 与椭圆22:143x y C +=交于,A B 两点，线段AB 的中点为()()1,0M m m >.(1)证明：12k <-； (2)设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且0FP FA FB ++=. 证明,,FA FP FB 成等差数列，并求该数列的公差. 【答案】(1)见解析；(2)28d =±【解析】(1) 点差法：设()()1122,,,A x y B x y ，则22112222143143x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩相减化简可得： 1212121234y y y y x x x x -+⋅=--+，34OM AB k k ⋅=-(此公式可以作为点差法的二级结论在选填题中直接用)，34m k ∴=-，易知中点M 在椭圆内，21143m +<，代入可得12k <-或12k >，又0m >，0k ∴<，综上12k <-联立法：设直线方程为y kx n =+，且()()1122,,,A x y B x y ，联立22143x y y kx n⎧⎪+=⎨⎪=+⎩可得，()2224384120k x knx n +++-=，则122212284341243kn x x k n x x k -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，()121226243ny y k x x n k +=++=+224143343M M kn x k n y m k -⎧==⎪⎪+∴⎨⎪==⎪+⎩，两式相除可得34m k =-，后续过程和点差法一样(如果用∆算的话比较麻烦)(2) 0FP FA FB ++= ，20FP FM ∴+= ，即()1,2P m -，214143m ∴+=，()304m m ∴=>∴71,4k n m k =-=-=，由(1)得联立后方程为2171404x x -+=，1,2114x ∴=±， ()22121223c a c a cFA FB x x a x x a c a c a ⎛⎫⎛⎫∴+=-+-=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(此处用了椭圆的第二定义，否则需要硬算，计算量太大)而32FP =2FA FB FP ∴+=故,,FA FP FB成等差数列.221212214c a c a c d FA FB x x x x a c a c a ⎛⎫⎛⎫=±-=±---=±-=± ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭28d ∴=±【考点】点差法、直线与椭圆联立求解、等差数列、椭圆的第二定义21. (12分)已知函数()()()22ln 12f x x ax x x =+++-.(1)若0a =，证明：当10x -<<时，()0f x <；当0x >，()0f x >； (2)若0x =是()f x 的极大值点，求a . 【答案】(1)见解析；(2)16a =-【解析】(1)常规方法：当0a =时，()()()()2ln 121f x x x x x =++->-，()()1'ln 111f x x x∴=++-+ ()()2''1xf x x ∴=+，当10x -<<时，()''0f x <；当0x >时，()''0f x >()'f x ∴在()1,0-上单调递减，在()0,+∞上单调递增，而()'00f =， ∴()'0f x ≥恒成立，()f x ∴单调递增，又()00f = ∴当10x -<<时，()0f x <；当0x >，()0f x >改进方法：若0a =，则()()()()()22ln 122ln 12x f x x x x x x x ⎡⎤=++-=++-⎢⎥+⎣⎦令()()2ln 12x g x x x =+-+，则()()()()22214'01212x g x x x x x =-=>++++ 所以()g x 在()0,+∞单增，又因为()00g = 故当10x -<<时，()()00g x g <=，即()0f x <； 当0x >时，()()00g x g >=，即()0f x >；方法对比：若直接求导，那么完全处理掉对数经常需要二次求导，而方法二提出()2x +之后对数单独存在，一次求导就可消掉对数(2) 方法一：极大值点的第二充要条件：已知函数y =()f x 在0x x =处各阶导数都存在且连续，0x x =是函数的极大值点的一个充要条件为前21n -阶导数等于0，第2n 阶导数小于0()()()22ln 12f x x ax x x =+++-()()()21'21ln 111ax f x ax x x +∴=+++-+，()'00f ∴=()()()2234''2ln 11ax ax xf x a x x ++∴=+++，()''00f ∴=()()232661'''1ax ax x a f x x +-++∴=+0x =是()f x 的极大值点，()'''0610f a ∴=+=，16a ∴=-，下证：当16a =-时，0x =是()f x 的极大值点，()()()3163'''1x x f x x -+=+，所以()''f x 在()1,0-单增，在()0,+∞单减 进而有()()''''00f x f ≤=，从而()'f x 在()1,-+∞单减，当()1,0x ∈-时，()()''00f x f >=，当()0,x ∈+∞时，()()''00f x f <= 从而()f x 在()1,0-单增，在()0,+∞单减，所以0x =是()f x 的极大值点.方法二： 0x =是()f x 的极大值点，所以存在0δ>，使得在()(),00,δδ- ，()()00f x f <=，即()()22ln 120x ax x x +++-<当()0,x δ∈时，()ln 10x +>，故()()()()2222ln 122ln 1ln 1xx x x x x a x x x +--+-++<=+，当(),0x δ∈-时，()ln 10x +<，故()()()222ln 1ln 1x x x a x x -++>+即()()()()()()()()()()()22000022ln 11ln 1limlimln 121ln 11ln 111lim lim 42642ln 144ln 141x x x x x x x x x x a x x x x x x x x x x x x x x →→→→-++-++==++++--++===-++++++++(洛必达法则，极限思想)【考点】导数的应用(二)选考题：共10分，请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22. 选修44-：坐标系与参数方程(10分)在平面直角坐标系xOy 中，O 的参数方程为cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)，过点(0,且倾斜角为α的直线l 与O 交于,A B 两点.(1) 求α的取值范围；(2) 求AB 中点P 的轨迹的参数方程.【答案】(1)3,44ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；(2)23,,44222x y αππαα⎧=⎛⎫⎪⎛⎫∈⎨ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-⎪⎩【解析】(1)当2πα=时，直线:0l x =，符合题意；当2πα≠时，设直线:l y kx =-1d =<，即()(),11,k ∈-∞-+∞ ，又tan k α=，3,,4224ππππα⎛⎫⎛⎫∴∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭综上，3,44ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭(2)可设直线参数方程为cos 3,44sin x t y t αππαα=⎧⎛⎫⎪⎛⎫∈⎨ ⎪ ⎪=+⎝⎭⎪⎝⎭⎩，代入圆的方程可得：2sin 10t α-+=122P t t t α+∴==cos 3,44sin x y ααππααα⎧=⎛⎫⎪⎛⎫∈⎨ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+⎪⎩即点P的轨迹的参数方程为23sin 2,,244x y ππααα⎧⎛⎫=⎪⎛⎫∈⎨⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪=⎩(也可以设直线的普通方程联立去做，但是要注意讨论斜率不存在的情况) 【考点】参数方程、直线的斜率，轨迹方程23. 选修45-：不等式选讲(10分)已知函数()211f x x x =++-. (1)画出()y f x =的图像；(2)当[)0,x ∈+∞时，()f x ax b ≤+，求a b +的最小值. 【答案】(1)见解析；(2)5【解析】(1)()13,212,123,1x x f x x x x x ⎧-<-⎪⎪⎪=+-≤≤⎨⎪>⎪⎪⎩，图象如下(2)由题意得，当0x ≥时，ax b +的图象始终在()f x 图象的上方，结合(1)中图象可知，3,2a b ≥≥，当3,2a b ==时，a b +最小，最小值为5， 【考点】零点分段求解析式、用函数图象解决恒成立问题xy21.531-0.5O。
2018年全国高考数学卷Ⅲ试题及答案文5．若某群体中的成员只用现金支付的概率为45.0，既用现金支付也用非现金支付的概率为15.0，则不用现金支付的概率为（ ）A ．3.0B ．4.0C ．6.0D ．7.0 答案：B ．命题意图：本题主要考查以下几点：（1）互斥事件的概率加法公式；（2）古典概型及其概率计算公式． 解题思路：直接利用互斥事件的概率的加法公式求解即可．解：某群体中的成员只用现金支付，既用现金支付也用非现金支付，不用现金支付，是互斥事件，所以不用现金支付的概率为：4.015.045.01=--，故选B ．理8.（2018年全国高考数学卷Ⅲ理科第7题）某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p ，各成员的支付方式相互独立，设X 为该群体的10位成员中使用移动支付的人数， 2.4DX =，(4)(6)P X P X =<=，则p =（ ）A ．7.0B ．6.0C ．4.0D ．3.0 答案：B ．命题意图：本题主要考查离散型随机变量的期望与方差．解题思路：利用已知条件，转化为二项分布，利用方差转化求解即可．解：由~(10,)X B p ，∴10(1) 2.4DX p p =-=，∴21010 2.40p p -+=，解之得4.0=p 或6.0=p ，由(4)(6)P X P X =<=，有0.6p =，故选B ．文14．某公司有大量客户，且不同龄段客户对其服务的评价有较大差异．为了解客户的评价，该公司准备进行抽样调查，可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，则最合适的抽样方法是________．答案：分层抽样．命题意图：本题主要考查以下几点：（1）分层抽样方法；（2）系统抽样方法；（3）简单随机抽样．文18、理18．某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min ）绘制了如下茎叶图：（1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；（2）求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m ，并将完成生产任务所需时间超过m 和不超过m 的工人数填入下面的列联表：（3）根据（2）中的列表，能否有的把握认为两种生产方式的效率有差异？附：))()()(()(22d b c a d c b a bc ad n K ++++-=，()20.0500.0100.0013.8416.63510.828P K k k ≥． 答案：（1）第二种生产方式的效率更高；（2）见表格；（3）有．命题意图：本题主要考查独立性检验．解题思路：（1）根据茎叶图中的数据判断第二种生产方式的工作时间较少些，效率更高；（2）根据茎叶图中的数据计算它们的中位数，再填写列联表；（3）列联表中的数据计算观测值，对照临界值得出结论．解：（1）法一：第一种生产方式的平均数为841=x ，第二种生产方式平均数为7.742=x ，∴21x x >，所以第一种生产方式完成任务的平均时间大于第二种，∴第二种生产方式的效率更高.法二：根据茎叶图中的数据知，第一种生产方式的工作时间主要集中在72～92之间，第二种生产方式的工作时间主要集中在65～85之间，所以第二种生产方式的工作时间较少些，效率更高.（2）由茎叶图数据得到，∴列联表为：（3）))()()(()(22d b c a d c b a bc ad n K ++++-=20202020)551515(402⨯⨯⨯⨯-⨯=635.610>=，∴有%99的把握认为两种生产方式的效率有差异.。
全国高校密码数学挑战赛题目全国高校密码数学挑战赛的题目通常涉及密码学、数学和计算机科学等领域的知识，具有较高的难度和挑战性。
以下是一些可能出现在全国高校密码数学挑战赛中的题目示例：1. 分组密码的设计与分析：题目要求参赛者设计一个分组密码，并分析其安全性；或者要求参赛者分析一个给定的分组密码，找出其弱点并攻击。
2. 公钥密码体制的设计与分析：题目要求参赛者设计一个公钥密码体制，并分析其安全性；或者要求参赛者分析一个给定的公钥密码体制，找出其弱点并攻击。
3. 数字签名方案的设计与分析：题目要求参赛者设计一个数字签名方案，并分析其安全性；或者要求参赛者分析一个给定的数字签名方案，找出其弱点并攻击。
4. 哈希函数的设计与分析：题目要求参赛者设计一个哈希函数，并分析其安全性；或者要求参赛者分析一个给定的哈希函数，找出其弱点并攻击。
5. 协议安全性分析：题目要求参赛者分析一个给定的协议的安全性，找出其中的漏洞和弱点，并提出改进方案。
6. 数学基础问题：题目要求参赛者解决一些与密码学相关的数学基础问题，如数论、概率论、统计学、计算复杂性理论等。
7. 混合密码体制的设计与分析：题目要求参赛者设计一个混合密码体制，该体制结合了分组密码和公钥密码体制的特点，并分析其安全性。
8. 数字货币的安全性分析：题目要求参赛者分析一种数字货币的安全性，包括交易安全、防篡改、匿名性等方面的问题。
9. 量子密码学的基本问题：题目要求参赛者了解和掌握量子密码学的基本原理和概念，解决一些与量子密码学相关的问题，如量子密钥分发、量子随机数生成等。
10. 实际应用问题：题目要求参赛者解决一些与密码学相关的实际应用问题，如数据加密、身份认证、安全通信等。
这些题目示例只是其中的一部分，具体的题目难度和形式可能会根据比赛的要求和组织者的意图而有所不同。
问题B 智能RGV的动态调度策略图1是一个智能加工系统的示意图，由8台计算机数控机床（Computer Number Controller，CNC）、1辆轨道式自动引导车（Rail Guide V ehicle，RGV）、1条RGV直线轨道、1条上料传送带、1条下料传送带等附属设备组成。
RGV是一种无人驾驶、能在固定轨道上自由运行的智能车。
它根据指令能自动控制移动方向和距离，并自带一个机械手臂、两只机械手爪和物料清洗槽，能够完成上下料及清洗物料等作业任务（参见附件1）。
图1：智能加工系统示意图针对下面的三种具体情况：（1）一道工序的物料加工作业情况，每台CNC安装同样的刀具，物料可以在任一台CNC上加工完成；（2）两道工序的物料加工作业情况，每个物料的第一和第二道工序分别由两台不同的CNC依次加工完成；（3）CNC在加工过程中可能发生故障（据统计：故障的发生概率约为1%）的情况，每次故障排除（人工处理，未完成的物料报废）时间介于10~20分钟之间，故障排除后即刻加入作业序列。
要求分别考虑一道工序和两道工序的物料加工作业情况。
请你们团队完成下列两项任务：任务1：对一般问题进行研究，给出RGV动态调度模型和相应的求解算法；任务2：利用表1中系统作业参数的3组数据分别检验模型的实用性和算法的有效性，给出RGV的调度策略和系统的作业效率，并将具体的结果分别填入附件2的EXCEL表中。
表1：智能加工系统作业参数的3组数据表时间单位：秒系统作业参数第1组第2组第3组RGV移动1个单位所需时间20 2318RGV移动2个单位所需时间33 4132RGV移动3个单位所需时间46 5946CNC加工完成一个一道工序的物料所需时间560 580545CNC加工完成一个两道工序物料的第一道工序所需时间400 280455CNC加工完成一个两道工序物料的第二道工序所需时间378 500182RGV为CNC1#，3#，5#，7#一次上下料所需时间28 3027RGV为CNC2#，4#，6#，8#一次上下料所需时间31 3532RGV完成一个物料的清洗作业所需时间25 3025注：每班次连续作业8小时。
2018年高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目d及答案一．问题背景某汽车公司生产多种型号的汽车，每种型号由品牌、配置、动力、驱动、颜色5种属性确定。
品牌分为A1和A2两种，配置分为B1、B2、B3、B4、B5和B6六种，动力分为汽油和柴油2种，驱动分为两驱和四驱2种，颜色分为黑、白、蓝、黄、红、银、棕、灰、金9种。
公司每天可装配各种型号的汽车460辆，其中白班、晚班（每班12小时）各230辆。
每天生产各种型号车辆的具体数量根据市场需求和销售情况确定。
附件给出了该企业2018年9月17日至9月23日一周的生产计划。
公司的装配流程如图1所示。
待装配车辆按一定顺序排成一列，首先匀速通过总装线依次进行总装作业，随后按序分为C1、C2线进行喷涂作业。
图1 汽车总装线的装配流程图二．装配要求由于工艺流程的制约和质量控制的需要以及降低成本的考虑，总装和喷涂作业对经过生产线车辆型号有多种要求：（1）每天白班和晚班都是按照先A1后A2的品牌顺序，装配当天两种品牌各一半数量的汽车。
如9月17日需装配的A1和A2的汽车分别为364和96辆，则该日每班首先装配182辆A1汽车，随后装配48辆A2汽车。
（2）四驱汽车连续装配数量不得超过2辆，两批四驱汽车之间间隔的两驱汽车的数量至少是10辆；柴油汽车连续装配数量不得超过2辆，两批柴油汽车之间间隔的汽油汽车的数量至少10辆。
若间隔数量无法满足要求，仍希望间隔数量越多越好。
间隔数量在5-9辆仍是可以接受的，但代价很高。
（3）同一品牌下相同配置车辆尽量连续，减少不同配置车辆之间的切换次数。
（4）对于颜色有如下要求：1）蓝、黄、红三种颜色汽车的喷涂只能在C1线上进行，金色汽车的喷涂只能在C2线上进行，其他颜色汽车的喷涂可以在C1和C2任意一条喷涂线上进行。
2）除黑、白两种颜色外，在同一条喷涂线上，同种颜色的汽车应尽量连续喷涂作业。
3）喷涂线上不同颜色汽车之间的切换次数尽可能少，特别地，黑色汽车与其它颜色的汽车之间的切换代价很高。
S9北京赛区(11)张瑞祥数学专业北京大学一等奖S8北京赛区(11)韦东奕数学专业北京大学一等奖S86浙江赛区(33)章宏睿数学专业宁波大学一等奖S79上海赛区(31)田晓颖数学专业复旦大学一等奖S7北京赛区(11)苏钧数学专业北京大学一等奖S95上海赛区(31)张易数学专业同济大学一等奖S11北京赛区(11)庄梓铨数学专业北京大学一等奖S16广东赛区(44)李茂生数学专业华南理工大学一等奖S83天津赛区(12)刘勍数学专业南开大学一等奖S4北京赛区(11)黄向屹数学专业北京大学一等奖S10北京赛区(11)赵牧数学专业北京大学一等奖S6北京赛区(11)林博数学专业北京大学一等奖S94上海赛区(31)秦晨翔数学专业同济大学一等奖S37黑龙江赛区(23)刘璐曦数学专业哈尔滨工业大学一等奖S40湖北赛区(42)李江涛数学专业湖北大学一等奖S75上海赛区(31)李宗元数学专业复旦大学一等奖S14甘肃赛区(62)杨辉数学专业兰州大学一等奖S62山东赛区(37)王运朝数学专业曲阜师范大学一等奖S32河南赛区(41)杨江帅数学专业河南大学二等奖S49江苏赛区(32)王宝数学专业苏州大学二等奖S87浙江赛区(33)王六权数学专业浙江大学二等奖S5北京赛区(11)雷理骅数学专业北京大学二等奖S30河北赛区(13)申达志数学专业河北师范大学二等奖S81四川赛区(51)周超数学专业四川大学二等奖S2安徽赛区(34)李昴数学专业中国科学技术大学二等奖S33河南赛区(41)荆瑞娟数学专业河南大学二等奖S1安徽赛区(34)段文哲数学专业中国科学技术大学二等奖S22贵州赛区(52)梁鹏数学专业贵州大学二等奖S78上海赛区(31)魏伊舒数学专业复旦大学二等奖S85天津赛区(12)赵泽华数学专业南开大学二等奖S39湖北赛区(42)陈将浩数学专业湖北大学二等奖S77上海赛区(31)史汝西数学专业复旦大学二等奖S50江苏赛区(32)朱裔数学专业苏州大学二等奖S82四川赛区(51)周彭威数学专业四川大学二等奖S3安徽赛区(34)刘彦麟数学专业中国科学技术大学二等奖S12福建赛区(35)陈汉数学专业厦门大学二等奖S46吉林赛区(22)王斌数学专业东北师范大学二等奖S66山东赛区(37)孟凡钦数学专业山东科技大学二等奖S93重庆赛区(50)宋海娟数学专业重庆师范大学二等奖S55辽宁赛区(21)刘思序数学专业大连理工大学二等奖S84天津赛区(12)王志超数学专业南开大学二等奖S21贵州赛区(52)黄荣锋数学专业贵州大学二等奖S41湖北赛区(42)余红杰数学专业武汉大学二等奖S88浙江赛区(33)张颖数学专业浙江大学二等奖S90浙江赛区(33)周远数学专业浙江理工大学二等奖S17广东赛区(44)梅河数学专业中山大学三等奖S18广东赛区(44)朱伟鹏数学专业中山大学三等奖S36黑龙江赛区(23)王丽娜数学专业哈尔滨师范大学三等奖S43湖南赛区(43)杨苗数学专业长沙学院三等奖S80四川赛区(51)傅费思数学专业四川大学三等奖S54辽宁赛区(21)蒋瑶数学专业大连理工大学三等奖S70陕西赛区(61)张纯数学专业西安交通大学三等奖S24国防科大赛区(66)陈玺数学专业国防科学技术大学三等奖S52江西赛区(36)周颖颖数学专业赣南师范学院三等奖S64山东赛区(37)屈宝友数学专业山东大学三等奖S76上海赛区(31)倪晨頔数学专业复旦大学三等奖S53江西赛区(36)王利军数学专业江西理工大学三等奖S92重庆赛区(50)张军强数学专业重庆师范大学三等奖S51江苏赛区(32)钱欣洁数学专业徐州师范大学三等奖S26国防科大赛区(66)徐立平数学专业信息工程大学三等奖S31河北赛区(13)李泊宁数学专业河北师范大学三等奖S42湖北赛区(42)曾桢数学专业武汉大学三等奖S44湖南赛区(43)肖惠数学专业湖南师范大学三等奖S45湖南赛区(43)庄晓数学专业湘潭大学三等奖S71陕西赛区(61)薛向宏数学专业西安理工大学三等奖S89浙江赛区(33)赵亮数学专业浙江工商大学三等奖S91重庆赛区(50)陈庚生数学专业西南大学三等奖S15甘肃赛区(62)廖丽丹数学专业河西学院三等奖S27海南赛区(46)王健数学专业海南大学三等奖S68山西赛区(14)郭艳艳数学专业太原理工大学三等奖S69陕西赛区(61)陈阳数学专业陕西师范大学三等奖S25国防科大赛区(66)许晓川数学专业海军工程大学三等奖S34河南赛区(41)杨会波数学专业商丘师范学院三等奖S48江苏赛区(32)李桂林数学专业淮阴师范学院三等奖S60宁夏赛区(64)田丽茹数学专业北方民族大学三等奖S13福建赛区(35)徐赛国数学专业厦门大学三等奖S28海南赛区(46)乔春雨数学专业海南大学三等奖S59内蒙古赛区(15)杨康数学专业内蒙古大学三等奖S61宁夏赛区(64)岳振芳数学专业宁夏大学三等奖S65山东赛区(37)翟汉征数学专业山东大学三等奖S67山西赛区(14)曹新宇数学专业大同大学三等奖S56辽宁赛区(21)张阳数学专业沈阳航空航天大学三等奖S57辽宁赛区(21)周辰红数学专业沈阳师范大学三等奖S63山东赛区(37)张兴宽数学专业曲阜师范大学三等奖S38黑龙江赛区(23)王姝宇数学专业哈尔滨工业大学三等奖S19广西赛区(45)杨天山数学专业广西师范学院三等奖S20广西赛区(45)李徘菱数学专业广西师范学院三等奖。
2018全国Ⅲ卷高考压轴卷理科数学本试卷共23题（含选考题）。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合A．[－1，4) B．[0，5) C．[1，4] D．[－4，－1) [4，5)2.在中，，，，则的面积为（）A．B．4 C．D．3.边长为8的等边△ABC所在平面内一点O，满足，若M为△ABC边上的点，点P满足，则|MP|的最大值为A. B. C. D.4.设实数满足则的最小值为A. －5B.－4C.－3D.－15.已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A．B．C．D．6.执行如图所示的程序框图，则输出的的值是（）A．1B．2 C．4D．77.若直线与直线垂直，则实数A．3 B．0 C．D．8.若双曲线C: （，）的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则双曲线C的离心率为A．2 B. C. D.9.已知，函数的部分图象如图所示，则函数图象的一个对称中心是A．B．C．D．10.甲、乙、丙、丁四位同学参加朗读比赛，其中只有一位获奖，有同学走访这四位同学，甲说：“是乙或丙获奖”，乙说：“甲、丙都未获奖”，丙说：“我获奖了”，丁说：“是乙获奖了”。
若四位同学中只有两人说的话是对的，则获奖的同学是( )A.甲B.乙C.丙D.丁11.设三次函数的导函数,且,则函数的零点个数为（）A．0 B．1 C．2 D．312.若A为不等式组表示的平面区域，则当a从﹣2连续变化到1时，动直线x+y=a 扫过A中的那部分区域的面积为（）A．B．1 C．D．2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知是实数，是虚数单位，若是纯虚数，则．14.已知某一段公路限速60公里/小时，现抽取200辆通过这一段公路的汽车的时速，其频率分布直方图如图所示，则这200辆汽车中在该路段没有超速的有辆．15.已知的展开式中，的系数为，则．16已知椭圆的半焦距为c，且满足，则该椭圆的离心率e的取值范围是__________．三、解答题：共70分。
姓名:准考证号:所在院校:专业:----------------------------密---封---线-----------------------------------第三届中国大学生数学竞赛决赛试卷(数学类,2012)考试形式:闭卷考试时间:150分钟满分:100分题目一二三四五六七总分满分15151010152015100得分注意: 1.所有答题都必须写在此试卷密封线右边,写在其他纸上一律无效.2.密封线左边请勿答题,密封线外不得有姓名及相关标记.3.如当题空白不够,可写在当页背面,并标记题号.得分评阅人一、(本题15分)设有空间中五点:A (1,0,1),B (1,1,2),C (1,−1,−2),D (3,1,0),E (3,1,2).试求过点E 且与A,B,C 所在平面Σ平行而与直线AD 垂直的直线方程.得分评阅人二、(本题15分)设f(x)在[a,b]上有两阶导数,且f′′(x)在[a,b]上黎曼可积,证明f(x)=f(a)+f′(a)(x−a)+∫xa(x−t)f′′(t)dt,∀x∈[a,b].姓名:准考证号:所在院校:专业:----------------------------密---封---线-----------------------------------得分评阅人三、(本题10分)设k 0<k 1<...<k n 为给定的正整数,A 1,A 2,...,A n 为实参数.指出函数f (x )=sin k 0x +A 1sin k 1x +...+A n sin k n x 在[0,2π)上零点个数的(当A 1,A 2,...,A n 变化时的)最小可能值并加以证明.得分评阅人四、(本题10分)设正数列a n满足limn→+∞a n=1,limn→+∞a n<+∞,limn→+∞n√a1a2...a n=1.求证:limn→+∞a1+a2+...a nn=1.姓名:准考证号:所在院校:专业:----------------------------密---封---线-----------------------------------得分评阅人五、(本题15分)设A,B 分别是3×2和2×3实矩阵,若AB = 80−4−329−6−201.求BA .得分评阅人六、(本题20分)设{A i}i∈I,{B i}i∈I是数域F上两个矩阵集合,称它们在F上相似:如果存在F上与i∈I无关的可逆矩阵P使得P−1A i P=B i,∀i∈I.证明:有理数域Q上两个矩阵集合{A i}i∈I,{B i}i∈I,如果它们在实数域R上相似,则它们在有理数域Q上也相似.姓名:准考证号:所在院校:专业:----------------------------密---封---线-----------------------------------得分评阅人七、(本题15分)设F (x ),G (x )是[0,+∞)上的两个非负单调递减函数,lim x →+∞x (F (x )+G (x ))=0.(i)证明:∀ε>0,lim x →+∞∫+∞εxF (xt )cos t dt =0.(ii)若进一步有lim n →+∞∫+∞0(F (t )−G (t ))cos tn dt =0.证明:lim x →0∫+∞(F (t )−G (t ))cos(xt )dt =0.。
第三届全国大学生数学竞赛决赛试卷（非数学类，2012）本试卷共2页，共6题。
全卷满分100分。
考试用时150分钟。
一、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）计算下列各题（要求写出重要步骤）.(1)222220sin cos lim sin x x x x x x→- 22222222224004200sin cos sin cos lim limsin (sin )(sin )(1cos )(1cos )112lim lim 22623x x x xx x x x x x x x x x x x x x x x x x x →→→→--+-=-+-+=+=-+=解：(2) 1311lim tan2x x x x e x →+∞⎡⎛⎫+- ⎪⎢⎝⎭⎣12313233022********320033(1tan )1112:lim 1tan lim 2(1tan )1(1tan )122=lim =lim 2(1tan )2x t t x x t t t t t t t t t e x e xx x t t t t t e t t t e t t tt t t e =→+∞→→→+-⎡⎛⎫+-−−−→⎢ ⎪⎝⎭⎣+---+---=+∞⎡+-⎢⎣令解 (3) 设函数(,)f x y 有二阶连续偏导数, 满足2220x yy x y xy y yy f f f f f f f -+=且0y f ≠,(,)y y x z =是由方程(,)z f x y =所确定的函数. 求22yx∂∂2222223(,)0=()()()20x x yyy xx yxx yx yy x yy x y xx x yx x yx x yyyy xx x yx x yyy y y x z z f x y x f y yf f x x f y yf f f f f f f y x x x x f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f =∂∂+⇒=-∂∂∂∂+-+∂∂∂∂=-=-∂∂--+-+=-=-=解：依题意有，是函数，、是自变量将方程两边同时对求导(4) 求不定积分11(1)x x I x e dx x+=+-⎰111221111211111111(1)=(1)[1(1)]1(1)x x x x x x x x x x x x xxx x x x xxxxI x e dx x e dx e dxx x x xe dx e dx e dx xde xedx xeedx xeC+++++++++++=+-+-=+-=+-=+=+-=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰解： (5) 求曲面22x y az +=和20)z a a =>所围立体的表面积二、（本题13分）讨论22cos sin xdx x x xα+∞+⎰的敛散性，其中α是一个实常数. 得分三、（本题13分）设()f x 在(,)-∞+∞上无穷次可微，并且满足:存在0M >，使得()()(,),(1,2)k f x M x k ≤∀∈-∞+∞=，,且1()0,(1,2)2nf n ==求证：在(,)-∞+∞上，()0f x ≡()2(0)(0)()(0)(0)2!!()(1)!n n nx f f f x f f x x x n x M x M e n '''=+++++≤+++=-四、（本题共16分，第1小题6分，第2小题10分）设D 为椭圆形22221(0)x y a b a b+≤>>，面密度为ρ的均质薄板；l 为通过椭圆焦点(,0)c -(其中222c a b =-)垂直于薄板的旋转轴.1. 求薄板D 绕l 旋转的转动惯量J ；2. 对于固定的转动惯量，讨论椭圆薄板的面积是否有最大值和最小值.五、（本题12分）设连续可微函数(,)z f x y =由方程(,)0F xz y x yz --=（其中(,)0F u v =有连续的偏导数）唯一确定, L 为正向单位圆周. 试求：22(2)(2)LI xz yz dy xz yz dx =+-+⎰解：由格林公式22222(2)(2)()(22)(22)22()2()LDD DQ PI xz yz dy xz yz dx d x yz z z z z z z xzy x z yz d z xz y x yz d x x y y x y σσσ∂∂=+-+=-∂∂∂∂∂∂∂∂=+++++=++++∂∂∂∂∂∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰又：连续可微函数(,)z f x y =由方程(,)0F xz y x yz --= 两边同时对x 求偏导数：121221()(1)0zF F z z zF z x F y x x x yF xF +∂∂∂++-=⇒=∂∂∂- 两边同时对y 求偏导数：121212(1)()0F zF z z z F x F z y y y x xF yF +∂∂∂-+--=⇒=∂∂∂- 代入上式：2121221122221212121221122222212121221212122()2()2()222DD D DDzF F F zF I z xz y x yz d yF xF xF yF xz F xzF yzF yF xF xzF yzF yz F z d yF xF xF yF xz F yF xF yz F xF yF z yF xF z d z d yF xF yF xF d σσσσσπ++=++++--++++++=++--+---+-=+=+--=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰六、（本题共16分，第1小题6分，第2小题10分）(1)求解微分方程2(0)1xy xy xe y ⎧'-=⎪⎨=⎪⎩(2)如()y f x =为上述方程的解，证明1220lim ()12n n f x dx n x π→∞=+⎰21220lim 1x n nedx n x→∞+⎰222222211110220001121arctan arctan 2arctan 1arctan arctan 2[0,1]arctan arctan arctan arctan arctan (1)arctan x x x x x x x ne dx e d nx e nx xe nxdx n x e n n xe dx e n n e dx e n n ee n e n ξξξξξ==-+=-∈=-=-=--⎰⎰⎰⎰⎰其中21220lim =lim[arctan (1)arctan ][0,1]1=(1)222x n n nedx e n e n n x ee ξξπππ→∞→∞=--∈+--=⎰其中。
2018年高考真题文科数学全国卷3试题+答案2018年高考真题文科数学全国卷3试题及参考答案一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给的四个选项中，只有一项符合）1.已知集合A = {x|x-1≥0}，B = {x|x2-3x+2≥0}，则AB = {1.2}。
答案：C解析：由A得，x≥1，所以B = {x|x2-3x+2≥0} ={x|1≤x≤2}，所以AB = {1.2}。
2.(1+i)(2-i) = 3+i。
答案：D解析：原式 = (1+i)(2-i) = 2+2i-i-i2 = 2+i+1 = 3+i，故选D。
3.中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫棒头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是棒头。
若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是□。
答案：A4.若sinα = 3/8，则cos2α = 7/9.答案：B解析：cos2α = 1-2sin2α = 1-2(9/64) = 7/32，化简得cos2α= 7/9，故选B。
5.若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为0.4.答案：B解析：设事件A为只用现金支付，事件B为只用非现金支付，则P(A∪B) = P(A)+P(B)-P(AB)，因为P(A) = 0.45，P(AB) = 0.15，P(A∪B) = 1-0.15 = 0.85，所以P(B) = 0.85-0.45 = 0.4，故选B。
6.函数f(x) = sinx/(1+tanx)的最小正周期为π/10.答案：C解析：由已知可得f(x) = sinx/(1+tanx) = sinx/(1+sinx/cosx) = sinx/(cosx+sinx) = sinx/sin(π/4+x)，所以f(x)的最小正周期为T = π/10，故选C。
