矩阵论课后参考答案：
第1章 线性代数引论
习题1.1
2
（1）解：由定义知
n m C n m ⋅=⨯)dim(
故可知其基为n m ⋅个n m ⨯阶矩阵，简单基记为在矩阵上的某一元素位置上为1，其他元素为0 ，如下
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡00
00
0000000
1 ，⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡00
00
0010
000
（2）解：对约束A A T =分析可知，其为一个上下对称的矩阵（对称阵），则其维数为
2
)
1(1)1()dim(+=++-+=n n n n V 其基为
2
)
1(+n n 个n n ⨯阶的矩阵，故基可写为 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡00
000000
1
，⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡00
00
0001
001
0 ，
⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡1000
0000000
（3）解：同上理，对A A T -=分析可知其为一个上下成负对称的矩阵，且对角元全为0，则其维数为 2
)
1(2)1)1)((1(1)2()1()dim(-=+--=++-+-=n n n n n n V
其基为
2
)
1(-n n 个n n ⨯阶的矩阵，故基可写为
⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-00
00
00000001001
0 ，⎥⎥⎥⎥
⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-00
00
00010000010
， ⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-011
0000
0000000
00
3
解：由题可得
},,,{212121ββααspan W W =+ 不难看出其秩为3，则3)dim(21=+W W 设21W W x ∈,则存在2121,,,l l k k 有 22112211ββααl l k k x +=+=
则 ⎪⎩⎪⎨⎧=--=-+=+++=---070
30
20
221
222121212121l l k l k k l l k k l l k k ，故有⎪⎩⎪⎨⎧-==-=21222
134l l l k l k 即)4,3,2,5()4(21222211-=-=+=l l k k x αααα 所以1)dim(21=W W 8
(先补充定理：
定理：设n 元齐次线性方程组的系数矩阵A 的秩n r A r <=)(，则齐次线性方程组的基础解析存在，并且基础解系所含线性无关的解向量的个数等于r n -)
证：1）对任意的21V V B ∈,则有0=AB 且0)(=-B I A 成立，故0=B 所以{0}21=V V 。 2）明显n V V F 21⊂+
3）对于1V 来说，X 为A 的一个基础解系，不妨设r A =)dim(，则 有 r V -=n )dim(1 式1 而由约束条件A A =2知 0)(=-I A A
其中I A -为A 的一个基础解系，则有 r n I A -=-)dim(
故2V 的秩为r I A V =--=)dim(n )dim(2 式2
故由式1及式2可知：)dim()dim()dim(21n F n V V ==+
综上1），2），3）。则有21F V V n ⊕= 证毕
习题1.2
8
解：由题可知321,,ααα与321,,ηηη时空间)(3F L 的两组基，则存在一个过渡矩阵C 使得
()()C 321321,,,,αααηηη= -------------------------------------1 引入)(3F L 的一组简单基 131211,,E E E
则 ()()()()⎩⎨
⎧==2
1312113211131211321,,,,,,,,C E E E C E E E ηηηααα------------------------------------2 其中 ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡----=713737
691681C ，⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡-=22111-2231
2C --------------------------------3 故有 ()()()2113212131211321,,,,,,C C C E E E -==αααηηη-----------------------------4
则 ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣⎡---==-63152131121
1
C C C -------------------------------------------------5
设B 为T 在基321,,ηηη下的矩阵，则由题意有
()()()()B
T A T 321321321321,,,,,,,,ηηηηηηαααααα==-------------------------------------------6 由式1与式6综合可得
AC C B 1-=-----------------------------------------------------------7
故 ⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡---⨯⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡----⨯⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡---=13221322
1631521311222512022115181121231133B
补充知识：对2C 求逆及求原始的C
从题中我们可以看出直接求1C 的逆有很大的困难度，而2C 的逆矩阵较为好求，故我们将式5转化一下变为1121-C C C -=，
[]⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎣⎡−−−→−⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=-++101-01-001255000123110022101011-20012311)1(31)2(22r r r r I C
⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢
⎢⎢⎢⎣
⎡
--−−−→−⎥⎥⎥⎥
⎦⎤⎢
⎢⎢⎢⎣
⎡
-−−→−-+↔-15
15310010101000
123105
152110101
010001
2312
)1(33
23)1(251
r r r r r r ⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣
⎡
-
--
-−−−→−-+-+15
153100101
010152
5
40013)2(12)3(1r r r r 故可知 ⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣
⎡---
-=-15
153101
152
5
412C 从而可求得 ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣⎡---==--1212311331
121
C C C
同理知道1-C 后可求得C 如下
[
]
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣⎡−−→−⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=↔00113-301023-110012-110012-101023-100113-3131
-r r I C
⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡---−−−→−⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡---−−−→−-+-+-+63110011011010012-130123011011-010012-12
)1(2)3(31
)3(31
)1(2r r r r r r r
⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡---−−−→−⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-−−→−-+++6311005210103110016311005-2101010012-13
)1(12)2(13
2r r r r r r
从而可得 ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣⎡---=631521311C
17
证明：由题知n 阶矩阵A 的秩为1，则说明A 有n-1重0特征根与一个特征根0λ。又因存在 )(1
A tr n
i i
=∑=λ
，故可知)(0A tr =λ，故A 的
特征多项式可写为
())()(1A tr n A -=-λλλϕ 且存在可逆矩阵P ， 使得
1
()
00tr A P AP -*⎡⎤⎢⎥⎢
⎥=⎢⎥⎢⎥
⎣
⎦ 又最小多项式)(|)(λϕλA A m ,且最小多项式与特征多项式具有相同的根，则最小多项式为 ()()(),1k A m tr A k λλλ=-≥
因为
()1[()]0P A A tr A I P --=
故n 阶矩阵A 的最小多项式为λλ)(2A tr -。 18 证明：
不妨引入辅助矩阵，则有下式成立
⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡BA A I B O I A AB I B O I 0000 则
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡
-I B O I A AB I B O I BA A 00I 00I λλ ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡=I B O I A AB I B O I 00I λ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡=I B O I A AB I B O I 00I λ=⎪⎭⎫ ⎝
⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=00I A AB λ 故可得 ()()AB -BA I I λλλλ=- 亦即 ()()A -B -B I A I m n λλλλ= 从而有 ()()A -B -B I A I n m λλλ-= 19
解：借用18题的结论，则可知BA 的特征值为∑=n
i i i b a 1，C=AB 的特
征多项式为
)()()(11
∑=--==n
i i i n AB C b a λλλϕλϕ
20
解：和19题的解法相同.A A T 的特征多项式为
)()(1
21
∑=--=n
i i n A A b T
λλλϕ
故特征根为0（n-1重）与∑=n
i i b 1
2。
习题1.3
13
解：由题可得A I -λ的初等因子为 ()()()()λλλλλλλ,,1,1,,1,12+-+-
A I -λ的不变因子为()()11)(28+-=λλλλd ，λλ=)(7d
λλ=)(6d ，1)()()()()(12345=====λλλλλd d d d d
22
解：
−−−−→−⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡---+-−−→−⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--+--=-++-+↔1
31))1((221211221121211212112r r r r c c A I λλλλλλλλ
()()()()−−→−⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣⎡------≅⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-------↔3
2110110001110110121c c λλλλλλλλλλλ ()()()()()≅⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡------−−→−⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡------+22
31001100
01110110001λλλλλλλλλr r
()
()⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡----21000100
01λλ 故其初等因子为()()21,1--λλ，所以
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣⎡=100110001J
令[]321,,X X X P =,则有PJ AP =,即
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣⎡=100110001),,(),,(321321X X X X X X A
即3232211,,X X AX X AX X AX +=== 则由()01=-X A I 解出向量()T X 0,1,11=
则由()02=-X A I 解出向量()T X 1,2,12-=（这为任取一个值） 则由()23X X A I -=-解出向量()T X 1,0,23=（这是2X 给定后的任一值） 故可得
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣⎡-=110021211P
补充要点：关于2X 的讨论
由于2X 不仅与()02=-X A I 有关，它还与下面的式子有关，故需要
找到一个合适的式子使得两式成立。不妨设
[][]T T x x x X c b a X 32132,,,,==，
则由式()02=-X A I 可得 c b a += 而由式()23X X A I -=-可知
⎥⎥⎦⎤
⎢
⎢⎣⎡---=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡----c b a x x x 321111222111
故可知
()()⎪⎩⎪⎨⎧-=++---=++--=++-c
x x x b x x x a
x x x 3213213212
从而可得
⎩
⎨⎧-==a c a b 2 不妨取1=a ，则可得
[]T X 1,2,12-=
习题1.4
2.（2）
解： 复数域中向量T x ,T y 内积为()x y y x y x y x y x H n n =+++=...,2211
()
()()()()()()()()()1
22131111322223331111222112
25,1,21,,,,0,23,230,,23-2-0,2,3,,0,,y y y i i i y y y y x y y y y x x y i i i i i i y y y y x x y i i x T T
T
T T
-+--+=--=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=--
=-=-==）（）（
）（
()()()
T
T
T
T
i i i i i i i -=--++--+=,0,0)0,,(0,1,1,1,21
正交化后()()⎪⎭
⎪
⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=T T
T i i i i i s ,0,0,0,23,23,0,,
2. (3) 解：
先取一组简单基为()
T
x
x 2
,,1，再根据题中内积定义进行
Schmidt 正交化。
()()x
x y dx
xdx x y y y y x x y y =-=-=-==⎰⎰-01,,1
1111
1
-11112221 ()()()()111132222333,,,,y y y y x y y y y x x y --
=
3
13101122
1
1
1121
11
12
2-=--=--
=⎰⎰⎰⎰----x x dx
dx
x x xxdx xdx
x x
对T x x ⎪⎭⎫ ⎝
⎛-31,,12单位化：1y 111==y z ,261
1
222x
xdx
x x
y y z =⋅==⎰-,
41013313131
2
112223
3
3）（-=⎪⎭⎫
⎝⎛-⋅⎪⎭⎫ ⎝
⎛--
=
⎰-x dx x x x y y z 最后得到该组标准正交基为T
x x ⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-41013,2612
）（， 4
解：将齐次方程组写为 0=AX 其中A 为
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡
---=1011131112A 化简上式后有
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡---=5111041001A 原方程为
⎩⎨⎧-+=+-=5432
5
4154x x x x x x x
由于2)(=A r ，故方程组有3个基础解系。将321,,x x x 分别取值为
T T T ]1,0,0[,]0,1,0[,]0,0,1[,故可得解空间的一组解为
T T T ]1,0,0,5,4[,]0,1,0,1,1[,]0,0,1,1,0[321-=-==ξξξ 对上式解用施密特正交化，有
T ]0,0,1,1,0[11==ξη T T T ]0,1,21
,21,1[]0,0,1,1,0[21]0,1,0,1,1[),(),(1111222--=--=-=ηηηηξξη T ]1,5
13
,56,56,57[),(),(),(),(222231111332-=--
=ηηηηξηηηηξξη 将上式归一化后的标准正交基为
2]0,0,1,1,0[2)
,(111T =ηηη
5]0,1,21
,21,1[10)
,(222T
--=ηηη
21]1,513
,56,56,57[35)
,(333T
-=ηηη
9
证明：由于A 为hermite 矩阵，则有
A A H =..........................................................式1 不妨令x 为特征值λ所对应的一个特征向量，即
x Ax λ=..........................................................式2
将式1代入式2可得
x x A H λ=........................................................式3 将式3两边同取共轭有
()H H H
H x A x x A *λ==.........................................式4
对上式同时右乘特征向量x 后有
x x Ax x H H *λ=...................................................式5 将式2代入式5中有
x x x x H H *λλ=...................................................式6 从而有
*λλ=..........................................................式7 故可知λ为实数，从而可知Hermite 矩阵的特征根为实数。
第2章 矩阵的分解
习题2.1
1（1）
解：)3)()(,,(321==A rank x x x A ，T x )2,0,2(1=,T x )1,2,2(1=,T x )2,2,1(1=,故由Gram_Schmidt 正交化有 T x y )2,0,2(11==
T T T y y y y x x y )2
1
,2,21()2,0,2(404204)1,2,2(),(),(1111221-=++++-=-
= T
T T
y y y y x y y y y x x y )2,0,2(404402)21,2,21(4
14411421
)2,2,1(),(),(),(),(111132222331++++--++-+-=--= T )9
8
,94,98(-=
求其单位向量后有 221=y ，2232=y ，3
4
3=y 则单位化后有
T z )22,0,22(
1=，T
z )6
2,322,62(2-=，T z )32,31,32(1-=
令),,(321z z z Q =，则
⎥⎥⎥⎥⎥
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎢
⎢⎣
⎡
=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=340
6272230
22322
32
210
),(),(10),(),(),(),(10
00
00
222311*********y y y x y y y x y y y x y y y R 故
⎥⎥⎥⎥⎥
⎥⎥⎦
⎤
⎢
⎢⎢⎢⎢
⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢
⎢
⎢⎣
⎡--==340
0627223022322
322326
2223
12230326222QR A 1（2）一个givens 变换如下： function [Q R]=qrgivens(A)
[m,n]=size(A); if (m>n)
fprintf('这是一个列满秩矩阵\n') elseif (m==n)
fprintf('这是一个方阵矩阵\n') else
fprintf('这是一个行满秩矩阵，不能用QR 分解\n') Q='null';R='null'; return end
A_tempt=A;%将矩阵赋给一个用于中间过程运算的矩阵 T_all=eye(m);%初始化Givens 矩阵 for index_j=1:n %对每一列的向量进行变换 b=A_tempt(:,1);%取第一列的向量进行运算
sub_T=eye(m-index_j+1,m-index_j+1);%初始化每次交换值时的每个Givens 变化 T=eye(m-index_j+1,m-index_j+1);%初始化当前列交换完成时候总的Givens 矩阵 for sub_i=2:m-index_j+1%将每一列的数据从第二个数据开始依次与第一个数据进行变化
xi=b(1);%获取第一个数据
xj=b(sub_i);%依次获取当前列之后的数据 r=sqrt(xi^2+xj^2); cost=xi/r;%求得矩阵常数c sint=xj/r;%求得矩阵常数s
%%%%%%%%%%%%构造出当前交换两个数据是的Givens 矩阵%%%%%%%%%%% sub_T(1,1)=cost; sub_T(1,sub_i)=sint; sub_T(sub_i,1)=-sint; sub_T(sub_i,sub_i)=cost;
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
T=sub_T*T;%将每次两个数据交换后的Gives 变化给乘起来，直到当前列所有数据交换完成
b(1)=sqrt(b(1)^2+b(sub_i)^2);%1求得交换数据之后的第一个数据的值 b(sub_i)=0;%将交换的数据位置0
sub_T=eye(m-index_j+1,m-index_j+1);%进行下一个数据与第一个数据的交
换时重新初始化每次交换时的Givens 矩阵 end
T_all=blkdiag(eye(index_j-1),T)*T_all;%将每一列的数据变为与单位向量平行后的每列的Givens 矩阵乘起来
A_after_givens=T_all*A;%求得经过Givens 变化后的矩阵
A_tempt=A_after_givens(index_j+1:m,index_j+1:n);%取得余下的余子式 end Q=T_all'; R=T_all*A;
习题2.3
3（1） 解：
⎥⎥
⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--------−−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=--62210622106221011111133
4
5
62210311231111
11
*541*32r r r r A ⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡---−−→−⎥⎥
⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−→−---+00000
0000062210
5110100
000
0000062210
1111
1
2
12
*12423r r r r r r r 故取
⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=45
102311F ,⎥⎦
⎤⎢⎣⎡---=6221051101G ,所以FG A =
3（2） 解：
⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡+----−−→−⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+-------=++i i i i i i i A r r r r 112000000024011301240124011
312
⎥⎥⎥
⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣
⎡
----−−−→−⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡----−−
→−-↔00
00011200212327
001000001120024012
*2/1132i i i i i i r r r r
⎥⎥
⎥⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎢⎢⎢⎣⎡
----−−→−000002121211
002123270012
**2/1i i i
r i 故取
⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡----=i i i F 111，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣
⎡
----=212121100212327001i i i G ，所以FG A = 习题2.4
2
证：设A A H 的特征值为
0121===>≥≥≥+n r r λλλλλ
则存在n 阶酉矩阵V ，使得
(
)
⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n H H
V A A V
λλλλ
000
00
000
3
2
1
亦即A A H 相似与对角矩阵，则由相似的性质可知 ∑∑====
n i r
i i
i
H
A A tr 1
1
)(λλ
又因)1(r i i ≤≤σ为奇异值，故有2i i σλ=，从而有
∑==r
i i H A A tr 1
2
)(σ 3（1） 解：
⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡==2112A A B T 的特征值为132
1==λλ，对应的特征向量依次为
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=111p ，⎥
⎦
⎤⎢⎣⎡-=112p 所以rank （A ）=2；⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=∑10
03 ⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢
⎢
⎣⎡-
=21212121V ⎥⎥⎥⎥
⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢
⎢
⎢⎣
⎡-
=∑=-03
621612161111AV U 取⎥⎥⎥⎥
⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=313
1312U ,⎥⎥⎥⎥⎥
⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
⎡
--==310
3
6312161312161)(21U U U 则A 的奇异值分解为：
T V U A ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣⎡=001003
3（2） 解：
⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡--==19191919A A B T 的特征值为03821
==λλ，对应的特征向量依次为
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-=111p ，⎥
⎦
⎤⎢⎣⎡=112p 因为rank （A ）=1；38=∑
⎥⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎣⎡-==2121
212
1],[21V V V ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
⎡
-
-=∑=-19
31931911
11AV U 取⎥⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢
⎢
⎢⎣
⎡-=3813813862
12102U ,⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
⎡
-
-
-==3812
119
3381211933860191)(21U U U 则A 的奇异值分解为：
T V U A ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣⎡=0000038
习题2.5
5
解：由()()2244
66
353
3
31
)(+-=---+---=λλλλλλA f ，
（提示：先交换第1列与第3列后再进行化简）得 2,4321-===λλλ 可得特征值对应的特征向量分别为
⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=2111x ，⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=0112x ，⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣⎡-=1013x
故⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡-=102011111x ，⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
⎡---
-
=-01
12123212121
211
x 则⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---
=⎥⎦⎤⎢
⎣⎡-
⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=111212121212121212
1
2
1
2111E ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
⎡---
-=⎥⎥
⎦⎤⎢⎢⎣⎡---⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=01
121232121212
1
01
1
21232
1
1001112E 故A 的谱分解为
21221124E E E E A -=+=λλ 6 解：
A 的特征多项式为 ()()2626
00
28
22
)(-+=------=κκκλκκκA f 所以A 的特征值为6,2321==-=λλλ，根据单纯矩阵的性质可知，对应于A 的二重特征值6，A 应该有两个线性无关的特征向量，故线性方程组()06=-x A I 的系数矩阵的秩应该为3-2=1，即1)6(=-A I r ,故
00000
24000480246λλ--→---=-A I
从而可知0=λ时，A 为单纯矩阵。
由特征值6,2321==-=λλλ可得对应的特征向量分别为
⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=0211x ，⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=0212x ，⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣⎡=1003x
故⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡-=100022011x ，⎥⎥
⎥⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎢⎢⎣
⎡-=-100041
2104
121
1
x 则⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢
⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡-
⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=0000211
0412104
1
2
1
0211E ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
⎡=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=10
0211041
2110
041
2
11002012E 故A 的谱分解为
21221162E E E E A +-=+=λλ 求可逆阵P ，
（1）将⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣⎡-=100022011x 标准正交化
求得结果为
⎥
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡-=10005252
051
51
P
（2）直接令p=x 即可
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣⎡-=100022011P
习题课答案 一 1). 设A 为n 阶可逆矩阵, λ是A 的特征值,则*A 的特征根之一是(b )。 (a) 1 ||n A λ - (b) 1||A λ- (c) ||A λ (d) ||n A λ 2). 正定二次型1234(,,,)f x x x x 的矩阵为A ，则( c )必成立. ()a A 的所有顺序主子式为非负数 ()b A 的所有特征值为非负数 ()c A 的所有顺序主子式大于零 ()d A 的所有特征值互不相同 3).设矩阵111 11A α αββ?? ?= ? ???与000010002B ?? ? = ? ??? 相似,则,αβ的值分别为( a )。 (a) 0,0 (b) 0,1 (c) 1,0 (d) 1,1 二 填空题 4)若四阶矩阵A 与B 相似，A 的特征值为1111 ,,,2345 ，则1B E --= 24 。 5)设532644445A -?? ?=- ? ?-?? ,则100 A = 10010010010010010010010010010010010010032(21)223312(23)442232(31)2(31)2(13)231?? +---- ? +---?- ? ?--?-? ? 三 计算题 3.求三阶矩阵1 261 725027-?? ? ? ?--? ? 的Jordan 标准型 解 1261725027E A λλλλ+--?? ?-=--- ? ?+??,将其对角化为210001000(1)(1)λλ?? ? ? ?+-??.故A 的若 当标准形为100110001-?? ? - ? ??? .■
一（15分）计算 (1) 已知A 可逆，求 10 d At e t ? （用矩阵A 或其逆矩阵表示） ； （2）设1234(,,,)T a a a a =α是给定的常向量，42)(?=ij x X 是矩阵变量，求T d()d X αX ； （3）设3阶方阵A 的特征多项式为2(6)I A λλλ-=-，且A 可对角化，求k k A A ??? ? ??∞→)(lim ρ。 二（15分）设微分方程组 d d (0)x Ax t x x ?=???? ?=?，508316203A ?? ?= ? ?--??，0111x ?? ? = ? ??? （1）求A 的最小多项式)(λA m ； （3）求At e ； （3）求该方程组的解。 三（15分）对下面矛盾方程组b Ax = 312312 111x x x x x x =?? ++=??+=? （1）求A 的满秩分解FG A =； （2）由满秩分解计算+ A ； （3）求该方程组的最小2－范数最小二乘解LS x 。 四（10分）设 1113A ?=?? 求矩阵A 的QR 分解（要求R 的对角元全为正数，方法不限）。 五（10分） 设(0,,2)T n A R n αβαβ=≠∈≥ （1）证明A 的最小多项式是2 ()tr()m A λλλ=-；
（2）求A 的Jordan 形（需要讨论）。 六（10分）设m n r A R ?∈， （1）证明rank()n I A A n r +-=-； （2）0Ax =的通解是(),n n x I A A y y R +=-?∈。 七（10分）证明矩阵 2121212 3 111222222243333 33644421(1)(1)n n n n n n n n n n ---? ? ? ? ? ? ?= ? ? ? ? ? ?+++? ? A （1）能与对角矩阵相似；（2）特征值全为实数。 八（15分） 设A 是可逆矩阵， 1 1 ,B A A αβ-=-=（这里矩阵范数都是算子范数）， 如果βα<，证明 （1）B 是可逆矩阵；（2）1 1B αβ -≤ -；（3）11 ()B A βααβ---≤-。
习 题 一 13. 设A ∈ C n n ?是Hermite 矩阵。证明A 是Hermite 正定矩阵的充分必要条件是，存在Hermite 正定矩阵B ，使得A=B 2。 解：若A 是Hermit 正定矩阵,则由定理1.24可知存在n 阶酉矩阵U , 使得 U H AU =???? ?? ? ? ?n λλλO 2 1, i λ﹥0, I =1, 2, ,Λn . 于是 A =U ?? ??? ?? ??n λλλO 21U H = U ??????? ??n λλλO 2 1U H U ?????? ? ? ?n λλλO 2 1U H 令 B =U ?????? ? ? ?n λλλO 2 1 U H 则 A =B 2. 反之,当 A =B 2且B 是Hermit 正定矩阵时,则因Hermit 正定矩阵的乘积仍为Hermit 正定矩阵,故A 是Hermit 正定的. 14. 设A ∈ C n n ?是Hermite 矩阵，则下列条件等价:（1）A 是Mermit 半正定矩阵。（2）A 的特征值全为非负实数。（3）存在矩阵P ∈ C n n ?,使得A=P H P 解：(1)?(2). 因A 是Hermit 矩阵,则存在酉矩阵U,使得 U H AU =diag(n λλλ,,,21Λ) 令x =Uy , 其中 y =e k . 则 x ≠0. 于是 x H Ax =y H (U H AU )y =k λ≧0 (k =1, 2, ,Λn ). (2)?(3). A =U diag(n λλλ,,,21Λ)U H =U diag(n λλλ,,,21Λ)diag(n λλλ,,,21Λ)U H 令 P =diag(n λλλ,,,21Λ)U H , 则 A =P H P . (3)?(1). 任取x ≠0, 有 x H Ax =x H P H Px =22 Px ≧0. 习 题 二
习题二 1．化下列矩阵为Smith 标准型： （1）2 22 211λλλλ λ λλλ λ⎡⎤ -⎢⎥-⎢⎥⎢⎥+-⎣ ⎦ ; （2）22 2 2 00 000(1)000 0λλλλλλ ⎡⎤ ⎢ ⎥-⎢ ⎥ ⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦ ; （3）22 22 23232123435 32 34421λλλλλλλλλλλλλλ⎡⎤ +--+-⎢ ⎥ +--+-⎢⎥⎢⎥+---⎣ ⎦ ; (4)23014360 2206201010033 122 0λ λλλλλλλλλλλλ λ⎡⎤⎢ ⎥ ++⎢⎥⎢⎥⎢ ⎥--⎢⎥⎢⎥---⎣⎦ . 解：（1）对矩阵作初等变换 13 31 2 2 2 22 22 211 1 001100 (1)c c r r λ λλλλλ λ λλ λλ λλ λλλ λλ λλλ+-⎡⎤ ⎡⎤ ⎡⎤-⎢⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ -−−−→-−−−→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+---+⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 2 3221311(1)1 1 0000 (1)0 (1)c c c c c c r λλλλλλλλλ+--⨯-⎡⎤ ⎡⎤ ⎢⎥ ⎢⎥−−−→-−−−→ ⎢ ⎥ ⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥-++⎣⎦ ⎣⎦ ， 则该矩阵为Smith 标准型为 ⎥⎥ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎢⎣ ⎡+)1(1 λλλ ； （2）矩阵的各阶行列式因子为 4 4 2 2 4321()(1),()(1),()(1),()1D D D D λλλλλλλλλλ=-=-=-=,
从而不变因子为 2 2 2341234123()()()()1,()(1),()(1),()(1) () () () D D D d d d d D D D λλλλλλλλλλλλλλλλ== =-= =-= =-故该矩阵的Smith 标准型为 2210 00 0(1) 00(1) (1)λλλλλλ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦ ； （3）对矩阵作初等变换 13 32212 13 213222 22 2 2 2 2 22423 2 2 (2)2 (2)323212332 21243532 3443 32 242 122 1 76245 011022 1c c c c r r r r c c c λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ-------⎡⎤⎡⎤+--+----⎢⎥ ⎢⎥ +--+-−−−→---⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥⎢⎥+-----⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎡⎤-+--++-⎢⎥−−−−→--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦312 21312 113 423 2 2 (2)323 2 (1)32(5)(1)2 76 245 011000 11245 00 100011 010 010010 00 10 (1)(c c c r r r r r c c λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ---+↔+--⨯-↔⎡⎤-+--++-⎢⎥−−−−−→--⎢ ⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎤-+---++-⎢⎥−−−−→-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎤ --+⎢⎥−−−−−→-−−−→ -⎢ ⎥⎢⎥-⎣ ⎦ 1)⎡⎤ ⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥+⎣⎦ 故该矩阵的Smith 标准型为 ⎥⎥ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎢⎣ ⎡+--)1()1(1 1 2 λλλ; (4)对矩阵作初等变换
矩阵论习题答案 矩阵论习题答案 在数学领域中，矩阵理论是一门重要的分支，它在各个学科领域都有广泛的应用。矩阵论习题是学习矩阵理论的重要环节，通过解答这些习题，我们可以更 好地理解和运用矩阵的性质和操作。本文将为大家提供一些常见矩阵论习题的 答案，希望能够对大家的学习有所帮助。 1. 习题：计算矩阵的转置。 答案：对于一个m×n的矩阵A，其转置矩阵记为A^T，其行和列互换。即，如果A的第i行第j列元素为a_ij，则A^T的第i列第j行元素为a_ij。可以通过编写程序或手动计算来得到转置矩阵。 2. 习题：计算矩阵的逆矩阵。 答案：对于一个可逆矩阵A，其逆矩阵记为A^-1，满足A·A^-1 = A^-1·A = I，其中I为单位矩阵。可以通过高斯消元法或伴随矩阵法来计算逆矩阵。 3. 习题：计算矩阵的秩。 答案：矩阵的秩是指矩阵中线性无关的行（或列）的最大个数。可以通过高斯 消元法或矩阵的行（或列）简化形式来计算矩阵的秩。 4. 习题：计算矩阵的特征值和特征向量。 答案：对于一个n×n的矩阵A，其特征值和特征向量满足方程A·v = λ·v，其中 λ为特征值，v为特征向量。可以通过求解特征方程det(A - λ·I) = 0来计算特征值，然后将特征值代入方程(A - λ·I)·v = 0来计算特征向量。 5. 习题：计算矩阵的奇异值分解。 答案：对于一个m×n的矩阵A，其奇异值分解为A = U·Σ·V^T，其中U为
m×m的正交矩阵，Σ为m×n的对角矩阵，V为n×n的正交矩阵。可以通过奇异值分解算法来计算矩阵的奇异值分解。 6. 习题：计算矩阵的广义逆矩阵。 答案：对于一个m×n的矩阵A，其广义逆矩阵记为A^+，满足A·A^+·A = A，A^+·A·A^+ = A^+，(A·A^+)^T = A·A^+，(A^+·A)^T = A^+·A。可以通过奇异值分解来计算矩阵的广义逆矩阵。 以上是一些常见的矩阵论习题的答案，通过解答这些习题，我们可以更好地理解和运用矩阵的性质和操作。矩阵论在线性代数、数值计算、信号处理、图像处理等领域都有广泛的应用，掌握矩阵论的基本知识和技巧对于我们的学习和工作都是非常重要的。希望本文的内容能够对大家有所帮助，激发大家对矩阵论的兴趣，并在学习中取得更好的成绩。
習 題 一 13. 設A ∈ C n n ⨯是Hermite 矩陣。證明A 是Hermite 正定矩陣の充分必要條件是，存在Hermite 正定矩陣B ，使得A=B 2。 解：若A 是Hermit 正定矩陣,則由定理1.24可知存在n 階酉矩陣U , 使得 U H AU =⎪⎪⎪⎪ ⎪⎭ ⎫ ⎝ ⎛n λλλ 2 1, i λ﹥0, I =1, 2, , n . 於是 A =U ⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎭⎫ ⎝⎛n λλλ 21U H = U ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n λλλ 2 1U H U ⎪⎪⎪⎪⎪⎭ ⎫ ⎝ ⎛n λλλ 2 1U H 令 B =U ⎪⎪⎪⎪⎪⎭ ⎫ ⎝ ⎛n λλλ 2 1 U H 則 A =B 2. 反之,當 A =B 2且B 是Hermit 正定矩陣時,則因Hermit 正定矩陣の乘積仍為Hermit 正定矩陣,故A 是Hermit 正定の. 14. 設A ∈ C n n ⨯是Hermite 矩陣，則下列條件等價:（1）A 是Mermit 半正定矩陣。（2）A の特征值全為非負實數。（3）存在矩陣P ∈ C n n ⨯,使得A=P H P 解：(1)⇒(2). 因A 是Hermit 矩陣,則存在酉矩陣U,使得 U H AU =diag(n λλλ,,,21 ) 令x =Uy , 其中 y =e k . 則 x ≠0. 於是 x H Ax =y H (U H AU )y =k λ≧0 (k =1, 2, , n ). (2)⇒(3). A =U diag(n λλλ,,,21 )U H =U diag(n λλλ,,,21 )diag(n λλλ,,,21 )U H 令 P =diag(n λλλ,,,21 )U H , 則 A =P H P . (3)⇒(1). 任取x ≠0, 有 x H Ax =x H P H Px =2 2Px ≧0.
习题二 1．化下列矩阵为Ｓm ｉｔh 标准型： （1)222 211λλλλ λλλλλ⎡⎤-⎢⎥-⎢⎥⎢⎥+-⎣ ⎦ ; （2)222 2 00 00(1)000 0λλλ λλλ ⎡⎤ ⎢⎥-⎢ ⎥⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦ ; (３）2222 232321234353234421λλλλλλλλλλλλλλ⎡⎤+--+-⎢⎥+--+-⎢⎥⎢⎥+---⎣⎦; (4）23014360220 620101003312200λλλλλλλλλλλλλλ⎡⎤⎢⎥++⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥---⎣⎦ . 解:（1）对矩阵作初等变换 1 3 3 1 22222222111001100(1)c c r r λλλλλλλ λλλλλλλλλλλλλλ+-⎡⎤⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥ -−−−→-−−−→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+---+⎣ ⎦⎣⎦⎣⎦ 2 3221311(1)10 10 000000(1)00(1)c c c c c c r λλλλλλλλλ+--⨯-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥−−−→-−−−→⎢ ⎥⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥-++⎣⎦⎣⎦ ， 则该矩阵为Smith 标准型为 ⎥⎥ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎢⎣ ⎡+)1(1 λλλ; (2）矩阵的各阶行列式因子为 44224321()(1),()(1),()(1),()1D D D D λλλλλλλλλλ=-=-=-=,
从而不变因子为 22 2341234123()()() ()1,()(1),()(1),()(1)()()() D D D d d d d D D D λλλλλλλλλλλλλλλλ== =-==-==-故该矩阵的Smit ｈ标准型为 2210000(1)0000(1)0000(1)λλλλλλ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦ ； ﻩ（３)对矩阵作初等变换 1332212 13 2132222222222242322 (2)2(2)323212332212435323443322421221762450110221c c c c r r r r c c c λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ-------⎡⎤⎡⎤ +--+----⎢⎥⎢⎥+--+-−−−→---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+-----⎣⎦⎣⎦ ⎡⎤-+--++-⎢⎥−−−−→--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦312 2131211342322 (2)3232(1)32(5)(1)27624501100011245001000110010001001000100(1)(c c c r r r r r c c λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ---+↔+--⨯-↔⎡⎤-+--++-⎢⎥−−−−−→--⎢⎥ ⎢⎥⎣⎦ ⎡⎤-+---++-⎢⎥−−−−→-⎢⎥ ⎢⎥⎣⎦⎡⎤--+⎢⎥−−−−−→-−−−→-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦ 1)⎡⎤ ⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦ 故该矩阵的Sm ｉｔh 标准型为 ⎥⎥ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎢⎣⎡+--)1()1(112 λλλ; (4)对矩阵作初等变换
习题五 1．证明：-AA 与A A -均为幂等矩阵，即- -=AA AA 2 )(，A A A A - - =2 )( 证明:因为A A AA =-,故 ------===AA A A AA AA AA AA )()(2, A A A AA A A AA A A A ------===)()(2. 2．设n m C A ⨯∈，试证{ }1)(T T A A =- 证明:只需证明T T T T A A A A =-)(即可,实际上,由于A A AA =- ,故 T T T T T A A AA A A A ==--)()(. 3．设n m C A ⨯∈，则 （1）n rankA I A A n =⇔=- （2）m rankA I AA m =⇔=- 证明:(1)必要性.设n I A A =- ,则 n rankI A A rank rankA n ==≥-)(, 故n rankA =; 充分性.设n rankA =,由于 )()()(A A rank A AA rank rankA A A rank ---≤=≤, 故n A A rank =-)(,则1 )(--A A 存在,又由第1题,知A A A A - -=2)(,在此式两端同时乘以1 )(--A A ,有n I A A =-. (2)必要性.设m I AA =- ,则 m rankI AA rank rankA m ==≥-)(,
故m rankA =; 充分性.设m rankA =,由于 )()()(---≤=≤AA rank A AA rank rankA AA rank , 故m AA rank =- )(,则1)(--AA 存在,又由第1题,知A A A A - -=2)(,在此式两端同时乘以1 )(--AA ,有m I AA =-. 4．证明： （1）rankA A A rank =- )( （2）rankA A rank r =-)( 证明:(1) 因为 )()()(A A rank A AA rank rankA A A rank ---≤=≤, 故rankA A A rank =- )(; (2) 因为 )()()(-----≤=≤=r r r r r A rank A rankAA rankA AA A rank A rank , 故rankA A rank r =- )(. 5．验证（1）--=)(**AA A A m （2）* *)(A A A A l --= 证明:(1)设-=)(**AA A G ,则证明-=m A G ,即GA GA A AGA ==* )(,. A AA A A AA A GA *******])[(])([)(--== GA A AA A AA A ===--)(])[(*****; *))((A AGA A AGA -- *****])(][)([A A AA AA A A AA AA --=-- ])(][)([******A AA AA A A A AA AA --=--
矩阵论戴华习题答案 矩阵论戴华习题答案 矩阵论是数学中的一个重要分支，它研究的是矩阵的性质和运算规律。在学习矩阵论的过程中，经常会遇到各种各样的习题。本文将针对戴华习题集中的一些问题，给出详细的解答，帮助读者更好地理解和掌握矩阵论的知识。 首先，我们来看一个简单的习题：已知矩阵A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]，求A的转置矩阵。 解答：矩阵的转置是指将矩阵的行和列互换得到的新矩阵。对于矩阵A，它的转置矩阵记作A^T。根据定义，A^T的第i行第j列元素等于A的第j行第i列元素。因此，矩阵A的转置矩阵为： A^T = [1 4 7; 2 5 8; 3 6 9] 接下来，我们来解答一个关于矩阵的乘法的问题：已知矩阵B = [2 1; 3 4]，矩阵C = [5 6; 7 8]，求B与C的乘积。 解答：两个矩阵的乘积是指将第一个矩阵的每一行与第二个矩阵的每一列进行内积运算，得到的结果构成一个新的矩阵。对于矩阵B与C的乘积BC，其计算过程如下： BC = [2*5 + 1*7 2*6 + 1*8; 3*5 + 4*7 3*6 + 4*8] = [17 22; 43 50] 因此，矩阵B与C的乘积为： BC = [17 22; 43 50] 接下来，我们来解答一个关于矩阵的逆的问题：已知矩阵D = [1 2; 3 4]，求D 的逆矩阵。
解答：矩阵的逆是指对于一个可逆矩阵A，存在一个矩阵B，使得AB = BA = I，其中I为单位矩阵。如果矩阵A存在逆矩阵，则称矩阵A为可逆矩阵。对于矩 阵D，我们可以通过求解线性方程组的方式来求得其逆矩阵。 首先，我们构造一个增广矩阵[A I]，其中I为单位矩阵： [A I] = [1 2 1 0; 3 4 0 1] 接下来，我们对增广矩阵进行行变换，将矩阵A化为单位矩阵： [1 2 1 0] -> [1 0 -1/2 1/2; 0 1 3/2 -1/2] 因此，矩阵D的逆矩阵为： D^-1 = [1 -1/2; 3/2 -1/2] 最后，我们来解答一个关于矩阵的特征值和特征向量的问题：已知矩阵E = [2 1; 4 3]，求E的特征值和特征向量。 解答：矩阵的特征值和特征向量是矩阵在线性代数中的重要概念。对于一个n 阶方阵A，如果存在一个非零向量x和一个数λ，使得Ax = λx，那么λ称为矩 阵A的特征值，x称为矩阵A对应于特征值λ的特征向量。 对于矩阵E，我们需要求解方程E-λI = 0的特征值λ和特征向量x。其中I为单 位矩阵。 首先，我们构造方程E-λI = 0： [2-λ 1; 4 3-λ] = 0 计算行列式，得到特征方程(2-λ)(3-λ) - 4 = 0： (2-λ)(3-λ) - 4 = λ^2 - 5λ + 2 = 0 解特征方程，得到特征值λ1 = 4，λ2 = 1。 接下来，我们分别代入特征值，求解特征向量。
矩阵分析引论第四版课后练习题含答案 简介 《矩阵分析引论》是矩阵分析领域的经典教材之一，已经发行了四个版本。该 书主要以线性代数、矩阵理论和应用为主要内容，重点介绍了矩阵分析的基本概念、原理和应用。本文主要介绍该书第四版中的课后练习题及其答案。 提供的资料 本文为矩阵分析引论第四版课后练习题及其答案，包含了第一章到第五章的所 有习题和答案。其中，习题从简单到复杂，大部分习题都有详细的解答过程和答案。 内容概述 第一章引言 第一章主要介绍了矩阵分析的历史和基本概念、性质、符号等。本章习题主要 涉及了矩阵、向量、矩阵运算等基本概念和性质。 第二章基本概念和变换 第二章主要介绍了线性变换的基本概念和性质，以及线性代数中的一些重要定 理和定理的证明。本章习题主要涉及了线性变换、矩阵的秩和标准型、特征值和特征向量等内容。 第三章矩阵运算 第三章主要介绍了矩阵运算的基本概念和性质，包括矩阵乘法、逆矩阵、行列 式等。本章习题主要涉及矩阵运算的基本操作和应用。
第四章矩阵分解 第四章主要介绍了矩阵分解的基本概念和应用，包括特征值分解、奇异值分解、QR分解等。本章习题主要涉及了矩阵特征值和特征向量、矩阵的奇异值分解等内容。 第五章线性方程组和特征值问题 第五章主要介绍了解线性方程组和求特征值的方法，包括高斯消元法、LU分解、带状矩阵、雅可比迭代等。本章习题主要涉及了线性方程组的解法、矩阵的特征值问题等内容。 结语 本文介绍了矩阵分析引论第四版课后练习题及其答案。对于学习矩阵分析的同学，课后习题是一个非常重要的练习和提升自己能力的途径。本文所提供的习题和答案可以帮助读者巩固和提高自己的矩阵分析能力。同时，本文也希望能够帮助更多的人学习矩阵分析，并成为矩阵分析领域的专家。
第一章 线性空间与线性映射 习题一 (43-45) 1、（1）对于V y x ∈∀,，x y x y x y x y y x y x y x y x +=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=+112211112211； （2）对于V z y x ∈∀,,， ⎪ ⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++++=⎪ ⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=++))()(11111122211111121122 11121112211z y z x y x z y x z y x y x z z y x y x z y x z z y x y x y x z y x ， ⎪ ⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++++=⎪ ⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=++))()(11111122211111111222 11111221121z y z x y x z y x z y x z y x z y z y x z y x z y z y z y x x z y x ， 即)()(z y x z y x ++=++。 （3）对于⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=00θ和V x ∈∀，显然x x x x x x x =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=+21121000θ； （4）对于V x ∈∀，令⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=221 1x x x y ， 则θ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+002122121 1221121x x x x x x x x x x x y x ，即x y -=。 （5）对于R ∈∀μλ,和V x ∈∀，有 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x )()()]()[(21)()()2(21)()()]1()1([21)1(21)1(2121212212122212121221121212121μλμλμλμλμλμλμλμλμλμλμλλμμμλλμλμλμμμμλλλλμλ+=⎪ ⎪⎭ ⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎪ ⎭ ⎫ ⎝⎛+-++++=⎪ ⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛--+++++=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-+++=⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎫ ⎝⎛-++⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=+（6）对于R ∈∀λ和V y x ∈∀,，有
矩阵论第三版答案详解 矩阵论是数学中重要的一个分支，它在现代科学和工程领域中 扮演着至关重要的角色。作为矩阵论的教材，第三版的答案详解 被广泛使用，为学生提供了全方位的指导和帮助。本文将深入探 讨这本书的一些重要内容及其作用。 首先，这本书中提供的答案详解对于学生来说是非常有价值的。矩阵论是一门比较抽象的课程，难度较大，需要学生大量练习才 能熟练掌握。本书详细解答了书中的每一个问题，将数学公式和 理论联系起来，对于深入理解矩阵论的原理具有重要的作用。同时，答案详解中的解题方法和思路也为学生提供了参考，学生能 够更好的掌握矩阵论的知识点。 其次，在学术研究领域，这本书提供的答案详解也发挥了重要 的作用。矩阵论作为数学中的一个分支，被广泛应用于现代科学 和工程中。对于科研工作者来说，矩阵论的理论和问题都是非常 具有挑战性的。在科研中，研究者需要掌握矩阵论的重要原理， 并能够对各种复杂问题进行分析和解决。而这本书提供的答案详解，可以帮助研究者更好的理解和掌握矩阵论的知识点，为科学 和工程领域的研究工作提供帮助。
最后，这本答案详解还为教育教学提供了有益的参考。矩阵论作为数学中的重要分支，被广泛纳入到高等教育课程中。然而，由于其抽象性和难度较大，许多学生感到困难。这本答案详解中提供的方法和思路可以帮助教师更好的教授这门课程，提高学生的学习兴趣和学习效果。此外，这本书中详细的解答和讲解方法也为教育教学提供了可借鉴性，促进了教育教学的创新和改进。 总之，矩阵论第三版答案详解是一本非常有价值的书籍，对于学生、科研工作者和教师都具有重要的作用。通过学习和掌握矩阵论的知识点和解题方法，我们能够更好地应用其理论和方法，为现代科学和工程领域的发展做出贡献。
矩阵论试题 一．设n x x x ,,,21 是欧氏空间n V 中的一组向量，),(y x 表示x 与y 的内积，令 1112121 22 212(,)(,)(,)(,)(,) (,)(,)(,)(,)n n n n n n x x x x x x x x x x x x A x x x x x x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥ ⎢ ⎥ ⎣⎦ 试证明0)det(≠A 的充要条件为向量12,,,n x x x 线性无关。 证明：若11220n n l x l x l x +++= ，则用(1,2,,)i x i n = 依次与此式作内积有： 1122(,)(,)(,)0i i n n i l x x l x x l x x +++= (1,2,,) i n = 即 111221112122221122(,)(,)(,)0(,)(,)(,)0(,)(,)(,)0 n n n n n n n n n l x x l x x l x x l x x l x x l x x l x x l x x l x x +++=⎧⎪+++=⎪⎨ ⎪ ⎪+++=⎩ 此式仅有零解的充分必要条件为det()0A ≠，故12,,n x x x 线性无关的充分必要条件为det()0A ≠ 三．设⎥⎥⎥⎦ ⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=442101002A ，求tA e 和)(R t e A ∈。 四．设n m C A ⨯∈，试叙述A 的奇异分解指的是什么？并试求矩阵⎥⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎢⎣⎡=111001A 的奇异值分解 式。 解 设(0)m n r A C r ⨯∈>，H A A 的特征值为 1210r r n λλλλλ+≥≥≥>=== 我们称1,2,,)i i n σ== 为A 的奇异值，存在m 阶酉矩阵U 和n 阶酉矩阵V ，使 得 000H A U V ∑⎛⎫= ⎪⎝⎭ （其中12(,,,)r diag σσσ∑= ），此式称为A 的奇异值分解式。 当010111A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭时，0121011011201111H A A ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭ ，
习题一 1.检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域的线性空间： (1)设A是"阶实数矩阵.A的实系数多项式/'(A)的全体，对于矩阵的加法和数乘； (2)平面上不平行于某一向量所组成的集合，对于向量的加法和数与向量的乘法； (3)全体实数的二元数列，对于如下定义的加法㊉和数乘。运算： (a,b) 3(c,d) = (a + c,b + d + ac), k。(a,b) = (ka,kb -------- - a2) (4)设R+是一切正实数集合，定义如下加法和数乘运算： a ㊉血=ab,k °a = a k 其中a,b e R+ ,k e R； (5)二阶常系数非齐次线性微分方程的解的集合，对于通常函数的加法和数 乘； (6)------------------------------------ 设V = -｛x| x = q sin Z + c2 sin 2t卜c k sin kt, c t e R,Q< t <2”｝, V中元素对于通常的加法与数乘，并证明：｛sin/,sin2/,…,sink/｝是V的一个基，试确定q的方法. 解⑴是. 令％ =[f(A)『(x)是实系数多项式，A为” x”矩阵｝.山矩阵的加法和数乘运算知, f(A) + g(A) = h(A),kf(A) = d(A), 其中k为实数，f(x),//(x),(/(x)是实系数多项式中含有A的零多项式，为％的零元素.f(A)有负元-f(A) e %.由于矩阵加法与数乘运算满足其它各条，故％关于矩阵加法与数乘运算 构成实数域上的线性空间. (2)否.例如以那个已知向量为对角线的任意平行四边形的两个邻边向量，它们的和不属于这个集合，因此此集合对向量的加法不封闭. (3)是.封闭性显然成立.下面证明此集合满足线性空间的八个要求. 任取该集合中的三个元素，设为Q =(Q,b),0 = (c,d),y = (/,g)，以及任意实 数I,则有 ① a ㊉0 = (a + c,b + d + ac) = 0 + a ; ②(a㊉0)㊉y = (a + c,b + d+ ac)㊉了
矩阵论课后参考答案： 第1章 线性代数引论 习题1.1 2 （1）解：由定义知 n m C n m ⋅=⨯)dim( 故可知其基为n m ⋅个n m ⨯阶矩阵，简单基记为在矩阵上的某一元素位置上为1，其他元素为0 ，如下 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡00 00 0000000 1 ，⎥⎥ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎢⎣⎡00 00 0010 000 （2）解：对约束A A T =分析可知，其为一个上下对称的矩阵（对称阵），则其维数为 2 ) 1(1)1()dim(+=++-+=n n n n V 其基为 2 ) 1(+n n 个n n ⨯阶的矩阵，故基可写为 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡00 000000 1 ，⎥⎥ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎢⎣⎡00 00 0001 001 0 ， ⎥⎥⎥⎦ ⎤⎢⎢⎢⎣⎡1000 0000000 （3）解：同上理，对A A T -=分析可知其为一个上下成负对称的矩阵，且对角元全为0，则其维数为 2 ) 1(2)1)1)((1(1)2()1()dim(-=+--=++-+-=n n n n n n V 其基为 2 ) 1(-n n 个n n ⨯阶的矩阵，故基可写为
⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-00 00 00000001001 0 ，⎥⎥⎥⎥ ⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-00 00 00010000010 ， ⎥⎥⎥⎥⎦ ⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-011 0000 0000000 00 3 解：由题可得 },,,{212121ββααspan W W =+ 不难看出其秩为3，则3)dim(21=+W W 设21W W x ∈,则存在2121,,,l l k k 有 22112211ββααl l k k x +=+= 则 ⎪⎩⎪⎨⎧=--=-+=+++=---070 30 20 221 222121212121l l k l k k l l k k l l k k ，故有⎪⎩⎪⎨⎧-==-=21222 134l l l k l k 即)4,3,2,5()4(21222211-=-=+=l l k k x αααα 所以1)dim(21=W W 8 (先补充定理： 定理：设n 元齐次线性方程组的系数矩阵A 的秩n r A r <=)(，则齐次线性方程组的基础解析存在，并且基础解系所含线性无关的解向量的个数等于r n -) 证：1）对任意的21V V B ∈,则有0=AB 且0)(=-B I A 成立，故0=B 所以{0}21=V V 。 2）明显n V V F 21⊂+