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习题二1．化下列矩阵为Smith 标准型：（1）222211λλλλλλλλλ⎡⎤-⎢⎥-⎢⎥⎢⎥+-⎣⎦; （2）22220000000(1)00000λλλλλλ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦; （3）2222232321234353234421λλλλλλλλλλλλλλ⎡⎤+--+-⎢⎥+--+-⎢⎥⎢⎥+---⎣⎦;(4)23014360220620101003312200λλλλλλλλλλλλλλ⎡⎤⎢⎥++⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥---⎣⎦. 解：（1）对矩阵作初等变换133122222222111001100(1)c c r r λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ+-⎡⎤⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-−−−→-−−−→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+---+⎣⎦⎣⎦⎣⎦23221311(1)1010000000(1)00(1)c c c c c c r λλλλλλλλλ+--⨯-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥−−−→-−−−→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-++⎣⎦⎣⎦，则该矩阵为Smith 标准型为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+)1(1λλλ； （2）矩阵的各阶行列式因子为44224321()(1),()(1),()(1),()1D D D D λλλλλλλλλλ=-=-=-=,从而不变因子为222341234123()()()()1,()(1),()(1),()(1)()()()D D D d d d d D D D λλλλλλλλλλλλλλλλ===-==-==-故该矩阵的Smith 标准型为2210000(1)0000(1)0000(1)λλλλλλ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦；（3）对矩阵作初等变换1332212132132222222222242322(2)2(2)323212332212435323443322421221762450110221c c c c r r r r c c c λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ-------⎡⎤⎡⎤+--+----⎢⎥⎢⎥+--+-−−−→---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+-----⎣⎦⎣⎦⎡⎤-+--++-⎢⎥−−−−→--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦3122131211342322(2)3232(1)32(5)(1)27624501100011245001000110010001001000100(1)(c c c r r r r r c c λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ---+↔+--⨯-↔⎡⎤-+--++-⎢⎥−−−−−→--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎤-+---++-⎢⎥−−−−→-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎤--+⎢⎥−−−−−→-−−−→-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦1)⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦故该矩阵的Smith 标准型为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+--)1()1(112λλλ; (4)对矩阵作初等变换152323230100014360220002206200020101001010033122003312200c c c c λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−−→⎢⎥⎢⎥----⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥------⎣⎦⎣⎦12213231322000100010002200000020002010100100000100001000c c r r c c c c λλλλλλλλλλλλλλ+-+-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−−→−−−→⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦2143145425222000101000000000000000000001000000010010000001r r c c c c c c c c λλλλλλλλλλ--↔-↔⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−−→−−−→⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦在最后的形式中，可求得行列式因子3254321()(1),()(1),()()()1D D D D D λλλλλλλλλ=-=-===,于是不变因子为2541234534()()()()()1,()(1),()(1)()()D D d d d d d D D λλλλλλλλλλλλλ=====-==-故该矩阵的Smith 标准形为2100000100000100000(1)00000(1)λλλλ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦. 2.求下列λ-矩阵的不变因子：（1）210021002λλλ--⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦；（2）10010000λαββλαλαββλα+⎡⎤⎢⎥-+⎢⎥⎢⎥+⎢⎥-+⎣⎦； （3）100100015432λλλλ-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥+⎣⎦； （4）0012012012002000λλλλ+⎡⎤⎢⎥+⎢⎥⎢⎥+⎢⎥+⎣⎦. 解：（1）该λ-矩阵的右上角的2阶子式为1，故12()()1,D D λλ==而33()(2)D λλ=-，所以该λ-矩阵的不变因子为2123()()1,()(2)d d d λλλλ===-;（2）当0β=时，由于4243()(),()()D D λλαλλα=+=+，21()()1D D λλ==，故不变因子为12()()1d d λλ==，2234()(),()()d d λλαλλα=+=+当0β≠时，由于224()[()]D λλαβ=++，且该λ-矩阵中右上角的3阶子式为2(),βλα-+且4(2(),())1D βλαλ-+=，则3()1D λ=，故21()()1D D λλ==，所以该λ-矩阵的不变因子为123()()()1,d d d λλλ===224()[()]d λλαβ=++;（3）该λ-矩阵的右上角的3阶子式为1-，故123()()()1,D D D λλλ===而4324()2345D λλλλλ=++++，所以该λ-矩阵的不变因子为123()()()1,d d d λλλ=== 4324()2345d λλλλλ=++++;（4）该λ-矩阵的行列式因子为123()()()1,D D D λλλ===44()(2)D λλ=+,所以该λ-矩阵的不变因子为123()()()1,d d d λλλ===44()(2)d λλ=+.3．求下列λ-矩阵的初等因子：（1）333232212322λλλλλλλλ⎡⎤++⎢⎥--+--+⎣⎦； （2）3223222212122122λλλλλλλλλλ⎡⎤-+--+⎢⎥-+--⎣⎦. 解：(1)该λ-矩阵的行列式因子为212()1,()(1)(1)D D λλλλ==+-，故初等因子为21,(1)λλ+-；(2) 该λ-矩阵的行列式因子为212()1,()(1)(1)D D λλλλλ=-=+-，故不变因子为12()1,()(1)(1),d d λλλλλ=-=+-因此，初等因子为1,1,1λλλ+--.4．求下列矩阵的Jordan 标准形：（1）131616576687⎡⎤⎢⎥---⎢⎥⎢⎥---⎣⎦；（2）452221111-⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦；（3）3732524103-⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦； （4）111333222-⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦；（5）03318621410⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦；（6）1234012300120001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 解：（1）设该矩阵为A ，则210001000(1)(3)E A λλλ⎡⎤⎢⎥-→⎢⎥⎢⎥-+⎣⎦，故A 的初等因子为2(1)(3)λλ-+，则A 的Jordan 标准形为300011001-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦； （2）设该矩阵为A ，则310001000(1)E A λλ⎡⎤⎢⎥-→⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，故A 的初等因子为3(1)λ-，从而A 的Jordan 标准形为110011001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦；（3）设该矩阵为A ，则210001000(1)(1)E A λλλ⎡⎤⎢⎥-→⎢⎥⎢⎥-+⎣⎦,故A 的初等因子为1,,,i i λλλ-+-从而A 的Jordan 标准形为1000000i i ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦; （4）设该矩阵为A ，则21000000E A λλλ⎡⎤⎢⎥-→⎢⎥⎢⎥⎣⎦,故A 的初等因子为2,λλ，从而A 的Jordan 标准形为000001000⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦; （5）设该矩阵为A ，则210001000(1)E A λλλ⎡⎤⎢⎥-→⎢⎥⎢⎥+⎣⎦,故A 的初等因子为2,(1)λλ+，从而A 的Jordan 标准形为000011001⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦; （6）设该矩阵为A ，则1234012300120001E A λλλλλ----⎡⎤⎢⎥---⎢⎥-=⎢⎥--⎢⎥-⎣⎦， 该λ-矩阵的各阶行列式因子为123()()()1,D D D λλλ===44()(1)D λλ=-，则不变因子为123()()()1,d d d λλλ===44()(1)d λλ=-，故初等因子为4(1)λ-，则A 的Jordan 标准形为1100011000110001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 5．设矩阵142034043A ⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥⎣⎦，求5A .解：矩阵A 的特征多项式为2()(1)(5)A f I A λλλλ=-=--，故A 的特征值为11λ=,235λλ==.属于特征值11λ=的特征向量为1(1,0,0)Tη=,属于235λλ==的特征向量为23(2,1,2),(1,2,1)T Tηη==-.设123121[,,]012021P ηηη⎡⎤⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎣⎦,100050005⎡⎤⎢⎥Λ=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,则1A P P -=Λ.,故4455144441453510354504535A P P -⎡⎤⨯⨯-⎢⎥=Λ=-⨯⨯⎢⎥⎢⎥⨯⨯⎣⎦. 6.设矩阵211212112A --⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，求A 的Jordan 标准形J ，并求相似变换矩阵P ，使得1P AP J -=.解:(1) 求A 的Jordan 标准形J .221110021201011200(1)I A λλλλλλ-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-=-+→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦,故其初等因子为21,(1)λλ--，故A 的Jordan 标准形100011001J ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦.(2)求相似变换矩阵P .考虑方程组()0,I A X -=即1231112220,111x x x -⎡⎤⎛⎫⎪⎢⎥-= ⎪⎢⎥ ⎪⎢⎥--⎣⎦⎝⎭解之,得12100,111X X ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭.其通解为1122k X k X +=1212k k k k ⎛⎫⎪⎪ ⎪-⎝⎭,其中21,k k 为任意常数.考虑方程组1122312111222,111x k x k x k k -⎡⎤⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎢⎥-= ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥---⎣⎦⎝⎭⎝⎭11212121211111122200021110002k k k k k k k k k --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-→-+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦,故当1220k k -=时,方程组有解.取121,2k k ==,解此方程组,得3001X ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.则相似变换矩阵123100[,,]010111P X X X ⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦.7.设矩阵102011010A ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦，试计算8542234A A A A I -++-. 解: 矩阵A 的特征多项式为3()21A f I A λλλλ=-=-+,由于8542320234(21)()(243710)f λλλλλλλλλ-++-=-++-+,其中532()245914f λλλλλ=+-+-. 且32A A I O -+=,故8542234A A A A I -++-=2348262437100956106134A A I --⎡⎤⎢⎥-+=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦.8.证明：任意可逆矩阵A 的逆矩阵1A -可以表示为A 的多项式. 证明:设矩阵A 的特征多项式为12121()n n n A n n f I A a a a a λλλλλλ---=-=+++++,则12121n n n n n A a A a A a A a I O ---+++++=,即123121()n n n n n A A a A a A a I a I ----++++=-,因为A 可逆,故(1)0nn a A =-≠,则11231211()n n n n nA A a A a A a I a -----=-++++9.设矩阵2113A -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，试计算4321(5668)A A A A I --++-.解: 矩阵A 的特征多项式为2()57A f I A λλλλ=-=-+,则227A A I O -+=,而432225668(57)(1)1λλλλλλλλ-++-=-+-+-,故14321111211(5668)()12113A A A A I A I ----⎡⎤⎡⎤-++-=-==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦. 10.已知3阶矩阵A 的三个特征值为1，－1，2，试将2nA 表示为A 的二次式. 解: 矩阵A 的特征多项式为()(1)(1)(2)A f I A λλλλλ=-=-+-,则设22()()n f g a b c λλλλλ=+++,由(1)0,(1)0,(2)0,f f f =-==得21,1,422.n a b c a b c a b c ++=⎧⎪--=⎨⎪++=⎩解之，得2211(21),0,(24)33n n a b c =-==--,因此2222211(21)(24)33n n n A aA bA cI A I =++=---.11.求下列矩阵的最小多项式：（1）311020111-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦；（2）422575674-⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦； （3）n 阶单位阵n I ；（4）n 阶方阵A ，其元素均为1；（5）0123103223013210a a a a a a a a B a a a a a a a a ⎡⎤⎢⎥--⎢⎥=⎢⎥--⎢⎥--⎣⎦. 解:(1) 设311020111A -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,则 231110002002011100(2)I A λλλλλλ--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-=-→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦,故该矩阵的最小多项式为2(2)λ-.(2) 设422575674A -⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦,则 2(2)(511)I A λλλλ-=--+,故该矩阵有三个不同的特征值,因此其最小多项式为2(2)(511)λλλ--+(3) n 阶单位阵n I 的最小多项式为()1m λλ=-. (4) 因为1()n I A n λλλ--=-,又2A nA =,即2A nA O -=,故该矩阵的最小多项式为()n λλ-.(5)因为22222200123[2()]I B a a a a a λλλ-=-++++,而2222200123()2()m a a a a a λλλ=-++++是I B λ-的因子,经检验知()m λ是矩阵B 的最小多项式.。
第一章 线性空间与线性映射 习题一 (43-45)1、（1）对于V y x ∈∀,，x y x y x y x y y x y x y x y x +=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=+112211112211；（2）对于V z y x ∈∀,,，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++++++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=++))()(1111112221111112112211121112211z y z x y x z y x z y x y x z z y x y x z y x z z y x y x y x z y x ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++++++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=++))()(1111112221111111122211111221121z y z x y x z y x z y x z y x z y z y x z y x z y z y z y x x z y x ，即)()(z y x z y x ++=++。
（3）对于⎪⎪⎭⎫⎝⎛=00θ和V x ∈∀，显然x x x x x x x =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++=+21121000θ； （4）对于V x ∈∀，令⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=2211x x x y ， 则θ=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+0021221211221121x x x x x x x x x x x y x ，即x y -=。
（5）对于R ∈∀μλ,和V x ∈∀，有x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x )()()]()[(21)()()2(21)()()]1()1([21)1(21)1(2121212212122212121221121212121μλμλμλμλμλμλμλμλμλμλμλλμμμλλμλμλμμμμλλλλμλ+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-++++=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+++++=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-+++=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-++⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=+（6）对于R ∈∀λ和V y x ∈∀,，有⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-++++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=+211112211112211))(1(21)()()(y x y x y x y x y x y x y x y x λλλλλλ， ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++++=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-++-++++=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++-++=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-++⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=+211112211112212211122111122122121121212121))(1(21)()()1(21)1(21)()1(21)1(21)1(21)1(21y x y x y x y x y x y y x y x y x y x y x y y x x y x y y y x x x y x λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ，即y x y x λλλ+=+)(。
习题四1．求下列微分方程组的通解（1）⎪⎩⎪⎨⎧+=+=;34,2212211x x dt dxx x dt dx （2）⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+=-+=+=. ,3233212321,x x dt dx x x x dt dxx x dt dx解：(1)设,3421⎪⎪⎭⎫⎝⎛=A ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=21x x x ,则原方程组可写为 Ax dtdx=， 矩阵A 的特征方程为0)1)(5(3421=+-=----=-λλλλλA I ，则矩阵A 的特征值为51=λ,12-=λ,求得矩阵A 的特征向量分别为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11,21,令⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=1211P ,则⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-1211311P ,有 Λ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-10051AP P ,1-Λ=P P A , 则⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==------Λt t tt t t tt t t t Ate e e e e e e e e e PPe e55555122231121100121131. 故该方程组的通解为⎪⎪⎭⎫⎝⎛--+-++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--+==------t t t t t t ttt t tt At e c c e c c e c c e c c c c e e e e e e e e c e x )2()22()2()(31222312152121521215555其中21,c c 为任意常数.(2)设,110111110⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=A ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=321x x x x ,则原方程可写为Ax dtdx=， 矩阵A 的特征方程为0)1(2=-=-λλλA I ，则矩阵A 的特征值为01=λ,132==λλ.A 的属于特征值01=λ的特征向量为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1121η,由方程组⎩⎨⎧+==32322ηηηηηA A 解得A 的属于特征值132==λλ的广义特征向量为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=111,10132ηη.令[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-==111101112,,321ηηηP ,则⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=-1113121011P ,有11,100110000--==⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=PJP A J AP P ,由于⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=t t tJt e te e e 000001, 则⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-==-1113121010000011111011121t t tJt At e te e P Pe e ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+-+--+-+-+-=t t tt t tt tt t t tt te e te te e e e e te e te te e 21111222,故方程组的通解为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+-+--+-+-+-==32121111222c c c te e te te e e e e te e te te e c e x t t tt t tt tt t t tt At ,其中321,,c c c 为任意常数.2．求微分方程组Ax dtdx=满足初始条件ξ=)0(x 的解： （1）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=33,3421ξA ，（2）⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=001,102111121ξA .解:(1)由第1题知⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--+=----t t t tt t tt Ate e e e e e e e e555522231,故微分方程组Ax dtdx=满足初始条件ξ=)0(x 的解为 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--+==------t t t t t t ttt t tt Ate e e e e e e e e e e e e x 555555423322231ξ. (2)矩阵A 的特征方程为0)1)(3(2=+-=-λλλA I ,故矩阵A 的特征值为31=λ,132-==λλ.A 的属于特征值31=λ的特征向量为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2121η,由方程组⎩⎨⎧-=-=32322ηηηηηA A 解得A 的属于特征值132-==λλ的广义特征向量为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=021,21232ηη,令[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--==022211122,,321ηηηP ,则⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=-24025122312811P,有 11,100110003--==⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=PJP A J AP P ,又 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=---t t t t Jt e te e e e 000003, 故微分方程组Ax dtdx=满足初始条件ξ=)0(x 的解为 ξξ1-==P Pe e x Jt At ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=---00124025*******000022211122813t t t te te e e⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--+=---t t tt t t e e e e e e 44224481333. 3．求)(t Bu Ax dtdx+=满足条件ξ=)0(x 的解： （1）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-21,)(,41,3421c c e t u B A tξ （2）⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-==⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=101,1)(,262,0061011016ξt u B A解:(1)由第1题知⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--+=----t t t tt t t t Ate e e e e e e e e555522231, 则⎪⎪⎭⎫⎝⎛--+-++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--+=------t t t t t t ttt t tt Ate c c e c c e c c e c c c c e e e e e e e e e )2()22()2()(31222312152121521215555ξ,⎪⎪⎭⎫⎝⎛++-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--+=------------------v t t v t t v v v t v t v t v t v t v t v t v t v t A e e e e e e e e e e e e e e v Bu e6565)()(5)()(5)()(5)()(5)(6636314222231)(故 ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+-+--=-----⎰t t t t t ttv t A e e te e e te dv v Bu e 550)(62121631)( 则该方程组的解为⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++--++---+++=+=-----⎰t t t t t t tv t A At te e c c e c c te e c c e c c dv v Bu e e t x 2])12()122[(312])212()21[(31)()(21521215210)(ξ(2)矩阵A 的特征方程为0)3)(2)(1(=+++=-λλλλA I ,则A 的特征值为11-=λ,3,232-=-=λλ,求得其特征向量分别为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=231,341,651321ηηη.令⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-139********,2363451111P P ,有 11,300020001--==⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=PJP A J AP P ,又 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=---t t t Jt e e e e 32000000, 则ξξ1-=P Pe e Jt At ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=---101139248111000002363451112132t t te e e ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-+-=------t t tt t t e e e e e e 32323289121243 , ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-++-++-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=---------------------)(3)(2)()(3)(2)()(3)(2)(1)()(2663852262)(v t v t v t v t v t v t v t v t v t v t J v t A e e e e e e e e eP Pe v Bu e故 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----+--=----------⎰373236453131)(3232320)(t t t tt t t tt tv t A e e e e e e e e e dv v Bu e则该方程组的解为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----+--+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-+-=+=----------------⎰37323645313189121243)()(3232323232320)(t tt tt t t tt t t t t tttv t A At e e e e e e e e e e e e e e e dv v Bu e e t x ξ ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+-++-=---------3732212611165313114323232t t t tt t t tt e e e e e e e e e .4．求方程te y y y y -=+'+''+'''6116满足0)0()0()0(=''='=y y y 的解.解:令y x y x y x ''='==321,,,则⎪⎩⎪⎨⎧+---='''='='='-,6116 , ,32133221t e x x x y x x x x x 写成向量方程组为t Be Ax x -+=',其中⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=100,6116100010B A .对于矩阵A ,有J PAP=-1,其中⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=-321,132********,9413211111J P P于是⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=---t tt Jt e e e e 32, 1-=P Pe e Jt At⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+-+-+--+--+--+-+-+-+-=---------------------------t t t tt t t t t t t t t t t t t t t t t t t t tt t e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e 3232323232323232329827325182463491656126238526621由于⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000)0(x ,则⎰⎰----=+=tv v t A t v v t A At dv Be e dv Be e x e t x 0)(0)()0()(⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-----+--+--=---------)1(29)1(8)1(23)1(4)1(21)1(221232232232t t tt t t t t t t t t tt t e e e e te e e e e te e e e e te故原方程的解为t t t t t t t t t e e e te e e e e te x y 322321414321)]1(21)1(2[21--------+-=-+--==5．试证明：若A 为2阶方阵，其特征值为21,λλ，特征向量为21,P P ，则方程Ax dtdx= 的解一定能表示成221121P e c P e c x t t λλ+=，其中21,c c 由下式确定:2211)0(P c P c x +=，然后利用这一结论求解定解问题：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=11)0(,651021x x x dt dx 的解,并将这一结论推广到n 阶方阵情形.(1)证明:令],[21P P P =,则,,121211--⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=P P A AP P λλλλ于是x P P dt dx121-⎥⎦⎤⎢⎣⎡=λλ, x P dt dx P 1211--⎥⎦⎤⎢⎣⎡=λλ 令,1x P y -=则dtdxP dt dy 1-=,微分方程化为 y dt dy ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=21λλ 其解为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2121c c e e y t tλλ, 故方程Ax dtdx=的解一定能表示成 221121212121],[c e c P e c c c e e P P Py x t t t tλλλλ+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡== 若是定解问题,则21,c c 由2211)0(P c P c x +=确定.(2)解:矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡--6510的特征值为5,121-=-=λλ,特征向量分别为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=51,1121P P , 则方程组⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=216510x x dt dx 的通解为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------t t t t t te c e c e c e c e c e c 52152152155111,由于⎪⎪⎭⎫⎝⎛=11)0(x ,则⎩⎨⎧=--=+1512121c c c c , 解之,得⎪⎩⎪⎨⎧-==212321c c , 故原方程组的解为⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----t t t t e e ee x x 552125232123. (3) n 阶方阵的情形:设微分方程组Ax dtdx=, 其中系数矩阵A 为n 阶可对角化矩阵，其特征值为n λλλ,,,21 ，特征向量分别为n P P P ,,,21 ，则该方程组的通解为n t n t P e c P e c P e c x n t λλλ+++= 221121,其中n c c c ,,,21 为任意常数.若为定解问题,则常数n c c c ,,,21 可由初始条件确定.6．已知),(0t t Φ是方程组)()()(t x t A dtt dx = 的转移矩阵，试证)(),(),(0000t A t t t t dt d ΦΦ-=. 证明:由于I t t t t =ΦΦ),(),(00,两边对0t 求导得,0),(),(),(),(000000=ΦΦ+ΦΦdt t t d t t t t dt t t d , 由于),(0t t Φ是方程组)()()(t x t A dtt dx =的转移矩阵,则 ),()(),(00t t t A dtt t d Φ=Φ, ),()(),(0000t t t A dt t t d Φ=Φ, 故0),()(),(),(),(000000=ΦΦ+ΦΦt t t A t t t t dt t t d , 两边右乘),(),(001t t t t Φ=Φ-,得 0)(),(),(0000=Φ+Φt A t t dt t t d , 即)(),(),(0000t A t t t t dt d ΦΦ-=. 7．求时变系统⎪⎩⎪⎨⎧===00)()()(x t x t x t A dtdx t t 的解，其中0),(x t A 分别如下：（1）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-101)(t e t A ，0,1100=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=t x （2）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+=111,000)1(100110)(022x t t t A [该题有误: )()()()(1221t A t A t A t A ≠]（3）0,11,21)(00=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=t x t t t A 解:（1）对任意的21,t t ,有)()(101)()(122121t A t A e e t A t A t t =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=--, 故方程组的转移矩阵为+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎰=Φ⎰⎰⎰30200)()(!31)(!21)()0,(0t t t dv v A dv v A dv v A dv v A I e t t由于⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-⎰t e t dv v A t t01)(0, ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎰22200)1(2!21)(!21t e t t dv v A t t ,⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎰323300)1(3!31)(!31t e t t dv v A t t , ……… ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎰n t n n n t t e nt t n dv v A n 0)1(!1)(!110 则⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++++-++++++++=- 323232!31!2110)1)(!31!211(!31!211)0,(t t t e t t t t t t t t Φ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-t t t t t t te e e e e e e 010)1(. 故该方程组的解为 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=Φ=t t t t t e e e e e x t t x 121101)0,()(0 (3) 由于)(t A 各元素在区间],0[t 上有界,则该方程组的转移矩阵为⎰⎰⎰++=t v t dv v A dv v A dv v A I t 00221101)()()()0,(Φ ⎰⎰⎰++21033002211)()()(v t v dv v A dv v A dv v A⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++++++++++= 4233428123122181231t t t t t t t t 故该方程组的解为⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-+-++-+-=Φ= 43243208123218121231)0,()(t t t t t t t t x t t x 8．求下列定解问题的解：⎪⎩⎪⎨⎧=+=,00)(),()()()(x t x t u t B t x t A dt dx 其中（1）0,11,1)()(,101)(00=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-t x t t u t B e t A t （2）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+=111,01)()(,000)1(100110)(022x t t u t B t t t A 解:(1)由于系统所对应的齐次系统的转移矩阵为 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=Φ----00000),(20t t t t t t t e e e e t t , 则该系统的解为⎰Φ+Φ=t dv v Bu v t x t t x 00)(),()0,()( dv v e e e e e e e t v t v v t v t t t t⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎰----10110102 ⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=----t v t v v t v t t dv e e e ve e 021 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-1223211t t t t e t e e e ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---+=-112321t e e t t。
