习题四
1．求下列微分方程组的通解
（1）⎪⎩⎪⎨⎧+=+=;34,2212211
x x dt dx
x x dt dx （2）⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+=-+=+=
. ,3
233212321
,x x dt dx x x x dt dx
x x dt dx
解：(1)设,3421⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=A ⎪⎪⎭⎫
⎝⎛=21x x x ,则原方程组可写为 Ax dt
dx
=， 矩阵A 的特征方程为
0)1)(5(3
4
2
1
=+-=----=
-λλλλλA I ，
则矩阵A 的特征值为51=λ,12-=λ,求得矩阵A 的特征向量分别为⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11,21,
令⎥⎦
⎤⎢
⎣⎡-=1211P ,则⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-1211311
P ,有 Λ=⎥
⎦
⎤⎢⎣⎡-=-10051
AP P ,1-Λ=P P A , 则
⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡+--+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==------Λt t t
t t t t
t t t t At
e e e e e e e e e e P
Pe e
555551
22231121100121131. 故该方程组的通解为
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛--+-++=⎪⎪⎭⎫
⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--+==------t t t t t t t
t
t t t
t At e c c e c c e c c e c c c c e e e e e e e e c e x )2()22()2()(31222312152121521215555其中21,c c 为任意常数.
(2)设,110111110⎥⎥
⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=A ⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=321x x x x ,则原方程可写为
Ax dt
dx
=， 矩阵A 的特征方程为
0)1(2=-=-λλλA I ，
则矩阵A 的特征值为01=λ,132==λλ.
A 的属于特征值01=λ的特征向量为
⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=1121η,
由方程组
⎩⎨
⎧+==3
232
2ηηηηηA A 解得A 的属于特征值132==λλ的广义特征向量为
⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=111,10132ηη.
令[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-==111101112,,321ηηηP ,则⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=-111312101
1
P ,有
11,100110000--==⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=PJP A J AP P ,由于⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎣⎡=t t t
Jt e te e e 0
00001, 则
⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡----⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-==-11131210100000
11111011121
t t t
Jt At e te e P Pe e ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡-+-+--+-+-+-=t t t
t t t
t t
t t t t
t te e te te e e e e te e te te e 21111222,
故方程组的通解为
⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢
⎣
⎡-+-+--+-+-+-==32121111222c c c te e te te e e e e te e te te e c e x t t t
t t t
t t
t t t t
t At ,
其中321,,c c c 为任意常数.
2．求微分方程组
Ax dt
dx
=满足初始条件ξ=)0(x 的解： （1）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=33,3421ξA ，（2）⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=001,102111121ξA .
解:(1)由第1题知
⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡+--+=----t t t t
t t t
t At
e e e e e e e e e
555522231,
故微分方程组
Ax dt
dx
=满足初始条件ξ=)0(x 的解为 ⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--+==------t t t t t t t
t
t t t
t At
e e e e e e e e e e e e e x 555555423322231ξ. (2)矩阵A 的特征方程为
0)1)(3(2=+-=-λλλA I ,
故矩阵A 的特征值为31=λ,132-==λλ.
A 的属于特征值31=λ的特征向量为⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=2121η,
由方程组
⎩⎨
⎧-=-=3
232
2ηηηηηA A 解得A 的属于特征值132-==λλ的广义特征向量为
⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=021,21232ηη,
令[]⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡--==022211122,,321ηηηP ,则⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎢⎢
⎢⎣⎡
---=-24025122312
811
P
,有 11,10011000
3--==⎥⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=PJP A J AP P ,
又 ⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢
⎣
⎡=---t t t t Jt e te e e e 0
00
003, 故微分方程组
Ax dt
dx
=满足初始条件ξ=)0(x 的解为 ξξ1-==P Pe e x Jt At ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡
---⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=---00124
025*******
000022211122813t t t t
e te e e
