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课题：三角形内角和定理教学目标：1.掌握“三角形内角和定理”，理解三角形内角和定理的证明方法及证明过程.2．灵活运用三角形内角和定理解决相关问题.3．通过猜想、推理等数学活动，探究三角形内角和定理的证明思路和过程，初步体会辅助线在证明中的作用．教学重点与难点：重点：三角形内角和定理及其证明.难点：三角形内角和定理的证明及灵活应用解决相关问题.课前准备：多媒体课件、三角形纸板等 .一、创设情境，复习引入问题1：平行线的性质？问题2：证明一个命题有哪些步骤？问题3: 关于三角形的知识，你都知道哪些呢？问题4：如图，按规定，一块模板中AB、CD的延长线应相交成85°角．因交点不在板上，不便测量，工人师傅连接AC，测得∠BAC=32°，∠DCA=65°，此时AB、C D的延长线相交所成的角是不是符合规定？为什么？处理方式：教师出示题目，学生回答问题，问题的设置不仅起到复习的目的，也为新课的引入做了铺垫．预设学生回答．1．两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角相等．2．证明一个命题的一般步骤:（1）分清命题的条件和结论，根据题意，画出图形．（2）根据条件、结论，结合图形，写出已知、求证．（3）经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程．3．三角形两边之和大于第三边；三角形具有稳定性；三角形按角分为直角三角形，锐角三角形和钝角三角形；三角形按边分为不等边三角形、等边三角形和等腰三角形；三角形三个内角和为180°．．．．．．4．不符合规定．延长AB、CD交于点O，∵△AOC中，∠BAC=32°，∠DCA=65°，∴∠AOC=180°-∠BAC-∠DCA=180°-32°-65°=83°＜80°，∴模板不符合规定．师导语：三角形的内角和从小学就开始学习，七年级又有了新的认识，这一节课我们将进一步通过动手操作、观察、合作、交流探究等方法来验证这一定理，并通过这一定理来解决有关问题．设计意图：设置问题情景，与学生前面所学知识紧密相连，在教学过程设计上从学生熟悉的知识创设情境，让学生简单地对三角形内角和的知识加以回忆，激发学生探究三角形内角和的兴趣．二、情境再现，探究新知（一）探索三角形内角和等于180°我们知道，三角形内角和等于180°．1．你还记得这个结论的探索过程吗？2．如图，如果我们只把∠A移到∠1的位置，你能说明这个结论吗？如果不移动∠A，那么你还有什么方法可以达到同样的效果？处理方式：对于第一个问题教师引导学生可以用量角器测量，用准备好的三角形纸片或三角形纸板进行折叠或剪拼，完成后小组讨论并展示结果．对于第二个问题，教师结合学生的完成情况，让学生代表说出结论和思路，针对学生的回答教师给予肯定和补充．预设学生回答：1．（1）用测量的方法：由于误差原因，有时可能不是180°．（2）用折纸的方法：先将纸片三角形一角折向其对边，使顶点落在对边上，折线与对边平行，然后把另外两角相向对折，使其顶点与已折角的顶点相嵌合，最后得图示的结果．（3）用剪拼（撕纸）的方法：剪三个角，拼成一个平角；剪两个角，也是拼成一个平角；剪一个角，构造平行线，利用平行线判定和性质说明．2．构造平行线，可得同样效果．设计意图：在回忆中学习，在学习中探索，在探索中验证，通过学生亲身经历的探索活动，让学生进一步理解验证三角形内角和等于180°，不仅调动小组愉快的合作学习，也激发学生的学习兴趣．（二）证明三角形内角和等于180°根据前面给出的基本事实和定理，你能用自己的语言说说“三角形内角和等于180°”这一结论的证明思路吗？处理方式：结合探索三角形内角和，引导学生小组完成问题，学生发言后教师总结并板书证明过程及三角形内角和定理．已知：如图，△ABC．求证:∠A+∠B+∠C=180°。
5 三角形内角和定理1．三角形内角和定理三角形内角和定理：三角形的内角和等于180°.符号表示：△ABC中，∠A＋∠B＋∠C＝180°.变式：∠A＝180°－∠B－∠C.谈重点三角形内角和解读(1)三角形内角和等于180°是三角形的一个重要性质．与三角形的具体形状或种类没有关系，即所有三角形的内角和都等于180°；(2)三角形内角和等于180°是三角形本身固有的一个隐含条件，在有关角的计算或日常生活中应用广泛；(3)利用定理在三角形中已知两角可求第三角，或已知各角的关系求各角；(4)三角形内角和的一个重要结论：直角三角形的两个锐角互余．【例1－1】在一个三角形中，下列说法错误的是()．A．可以有一个锐角和一个钝角B．可以有两个锐角C．可以有一个锐角和一个直角D．可以有两个钝角解析：如果一个三角形中有两个钝角，那么该三角形的内角和将大于180°，故D错误．答案：D点技巧三角形中，角知多少任何三角形中，至少有两个锐角，最多有三个锐角，最多有一个钝角，最多有一个直角．【例1－2】已知一个三角形三个内角度数的比是1∶5∶6，则其最大内角的度数为()．A．60°B．75°C．90°D．120°解析：已知三角形三个内角的度数之比，可以设一份为k°，则三个内角的度数分别为k°，5k°，6k°.根据三角形的内角和等于180°，列方程k＋5k＋6k＝180，解得k＝15.所以最大内角为6k°＝90°，应选C.答案：C2．三角形的外角(1)定义：三角形的一边与另一边的延长线所组成的角，叫做三角形的外角．如图所示，∠ACD和∠BCE是△ABC的两个外角，而∠DCE不是三角形的外角．(2)三角形外角的特征三角形的外角特征：①顶点是三角形的一个顶点；②外角的一边是三角形的边；③外角的另一条边是三角形某条边的延长线．(3)三角形外角的实质是一个内角的邻补角，两个角的和等于180°.如上图中，∠ACB＋∠ACD＝180°.【例2】如图所示，∠1为三角形的外角的是()．解析：由三角形外角的定义知，只有D中的∠1才是三角形的外角，故选D.答案：D点评：判断一个角是否是三角形的外角，关键是看它是否满足三角形外角的特征．3．三角形内角和定理的证法在解决几何问题时，当仅用已有条件解决问题比较困难时，常在图形中添加线，构造新的图形，形成新的关系，搭建已知与未知的桥梁，把较困难的问题转化为熟悉的、易解决的问题．这些在原来的图形上添加的线叫辅助线．辅助线通常画成虚线．证明三角形内角和定理的基本思路：想办法把分散的三个角“拼凑”成一个“整体”，即借助于辅助线，结合所学过的知识，达到证明的目的．在证明三角形的内角和定理时，常用的辅助线主要有以下几种：(1)构造平角：利用平行线的性质进行转化(作平行线)，让三个内角组成一个平角．如图①和图②.(2)构造同旁内角：如图③，过C点作CM∥AB，利用∠ABC与∠BCM是同旁内角可证．4．三角形内角和定理的运用(1)利用定理求角的度数或证明生活中，三角形、四边形是常见的图形，在解决与角的度数有关的问题时，一般会用到三角形的内角和定理．三角形的内角和定理的运用，主要是利用三角形内角和定理进行计算或证明．常见于求三角形中相关角的度数及证明角的相等关系．计算或证明时，往往与其他的知识相结合，如特殊三角形、余角、高线、角平分线等性质．(2)利用定理判断三角形的形状根据一个三角形的内角情况判断三角形的形状，关键是利用三角形内角和定理求出各个角，再根据各类三角形的性质判断．①若有两个角相等，则可判定为等腰三角形；②若有三个角相等，则可判定为等边三角形；③若有特殊角90°和两个45°，则为等腰直角三角形．若一个三角形根据角来分类，可先求出最大的角．①若最大的内角是钝角，则三角形为钝角三角形；②若最大的角为直角，则三角形为直角三角形；③若最大的角为锐角，则三角形是锐角三角形．【例3】如图所示的四边形是平行四边形，如何利用ABCD证明三角形内角和定理？分析：三角形内角和定理的证明思路是利用平行线的性质进行转化，让三个内角组成一个平角，或利用同旁内角互补来得以证明．证明：连接BD.∵四边形ABCD是平行四边形(已知)，∴AD∥BC(平行四边形的定义)，∴∠A＋∠ABC＝180°(两直线平行，同旁内角互补)．∠1＝∠3(两直线平行，内错角相等)．∴∠A＋∠1＋∠2＝∠A＋∠2＋∠3＝180°(等量代换)．同理可证∠3＋∠4＋∠C＝180°，即三角形的内角和为180°.点技巧辅助线的作用辅助线起着桥梁的作用，在画辅助线时，注意与原来的线的区别，要画成虚线．【例4－1】若一个三角形三个内角度数的比为2∶3∶4，那么这个三角形是()．A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．等边三角形解析：∵三角形三个内角度数的比为2∶3∶4，∴三个内角分别是180°×29＝40°，180°×39＝60°，180°×49＝80°.∴该三角形是锐角三角形．故选B.答案：B【例4－2】△ABC中，若∠B＝∠A＋∠C，则△ABC是__________三角形．解析：根据三角形的内角和定理，得∠A＋∠B＋∠C＝180°，又∠B＝∠A＋∠C，∴2∠B＝180°，即∠B＝90°.因此该三角形是直角三角形．答案：直角【例4－3】如图，已知△ABC中，∠B＝65°，∠C＝45°，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，求∠DAE的度数．分析：由三角形的内角和定理，可求∠BAC＝70°.又AE是∠BAC的平分线，可知∠BAE ＝35°，再由AD是BC边上的高，可知∠ADB＝90°，从而∠BAD＝25°，所以∠DAE＝∠BAE －∠BAD＝10°.解：在△ABC中，∵∠BAC＝180°－∠B－∠C＝70°，AE是∠BAC的平分线，∴∠BAE＝∠CAE＝35°.又∵AD是BC边上的高，∴∠ADB＝90°.∵在△ABD中∠BAD＝90°－∠B＝25°，∴∠DAE＝∠BAE－∠BAD＝10°.析规律三角形内角和定理的运用本题考查三角形的内角和定理及角平分线的性质、高线的性质，解答的关键是三角形的内角和定理的运用．5.运用三角形内角和定理的推论进行计算或证明(1)三角形内角和定理的推论1推论1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．如图，符号表示：∠ACD＝∠A＋∠B.谈重点三角形的外角①推论是由三角形内角和定理推理得到的，可作为定理使用；②该推论反映的是三角形的外角与和它不相邻内角的关系．(2)三角形内角和定理的推论2推论2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．符号表示：∠ACD＞∠A或∠ACD＞∠B.析规律灵活使用三角形的外角①三角形的一个外角大于和它“不相邻”的任意一个内角，而不是大于任何一个内角；②利用该推论证明角之间的不等关系时，先找到一个适当的三角形，使要证明的那个大角处于外角的位置上，小角处于内角的位置上．【例5－1】如图，△ABC中，∠A＝70°，∠B＝60°，点D在BC的延长线上，则∠ACD 等于()．A．100°B．120°C．130°D．150°解析：所求的角恰好是△ABC的外角，根据外角推论1可求得．∵△ABC中，∠A＝70°，∠B＝60°，∴∠ACD＝∠A＋∠B＝70°＋60°＝130°.故选C.答案：C点评：本题考查的是三角形内角与外角的关系，三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．【例5－2】如图，∠1，∠2，∠3的大小关系为()．A．∠2＞∠1＞∠3 B．∠1＞∠3＞∠2C．∠3＞∠2＞∠1 D．∠1＞∠2＞∠3解析：由于∠2是△ABF的外角，∠1是△AEF的外角，所以∠2＞∠3，∠1＞∠4；又由于∠4和∠2是对顶角，故∠4＝∠2，所以∠1＞∠2.∠1，∠2，∠3的大小关系为∠1＞∠2＞∠3.故选D.答案：D【例5－3】如图，将一副三角板按图示的方法叠在一起，则图中∠α等于________．解析：此题主要考查外角的性质和直角三角形的性质．由外角的性质可得，∠α＝45°－30°＝15°.答案：15°6．三角形内角和定理的实际应用三角形的内角和在生活中的应用非常广泛，如方位角与折叠问题，零件的合格判定等．用三角形的内角和定理解决生活中的实际问题时，要注意几何图形中与问题中的对应条件．析规律灵活运用三角形的内角和①“三角形的内角和为180°”是隐含条件，在实际应用中必不可少；②在方位角的计算中需要构造三角形，在三角形中计算其度数；③折叠问题中，被折叠部分折叠后的图形与原图形对应角相等，再根据内角和、平角等知识列出方程计算．【例6－1】如图，是一块三角形木板的残余部分，量得∠A＝100°，∠B＝40°，则这块三角形木板另外一个角的度数为__________．解析：根据木板的形状，将其“复原”为一个三角形，依据三角形的内角和定理解答．所以∠C＝180°－∠A－∠B＝180°－100°－40°＝40°.答案：40°【例6－2】如图，D是AB边上的中点，将△ABC沿过D的直线折叠，使点A落在BC上的点F处，若∠B＝50°，则∠BDF＝__________.解析：要求∠BDF的度数，可通过△DBF，利用三角形的内角和等于180°来求．由折叠可知△ADE≌△FDE，所以DF＝DA＝DB.所以∠DFB＝∠B＝50°.所以∠BDF＝180°－∠DFB－∠B＝80°.答案：80°7.辅助线与角的转化应用(1)辅助线与角的转化有关三角形角度的计算与比较，常常利用添加不同辅助线的方法，把大角转化为小角，或者把不规则图形转化为规则图形等，从而利用相关性质进行解题．在证明角度不等的问题中，常用“三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角”这一性质，当角不在同一个三角形中时，可作辅助线使之转化到同一个三角形中再解．析规律辅助线的作法辅助线的添加有很多种方法，基本方法是延长法和连接法．在本节中主要是构造三角形，利用“三角形内角和定理及其推论”解决角的问题．(2)等腰三角形中内、外角的转换对于等腰三角形，当不知道所给的角为顶角还是底角时，要分情况讨论，不能漏解．①当等腰三角形的外角是钝角时，其相邻的内角一定是锐角．该锐角可能是等腰三角形的顶角，也可能是底角，要分情况讨论．②当等腰三角形的外角是锐角或直角时，其相邻的内角是钝角或直角，所以该内角一定是等腰三角形的顶角，则这个外角一定是顶角的邻补角．【例7－1】如图1，直线a∥b，则∠ACB＝__________.解析：利用辅助线构造三角形即可．如图2，延长BC与a相交，由a∥b先求出内错角∠1＝∠B＝50°，再根据三角形外角性质即可求出∠ACB＝∠1＋28°＝50°＋28°＝78°.答案：78°【例7－2】等腰三角形的一个外角为110°，则这个等腰三角形的三个内角分别为__________．解析：等腰三角形的一个外角为110°，则相邻的内角为180°－110°＝70°，而70°的内角可能是顶角，也可能是底角，故分两种情况：当底角为70°时，则顶角为180°－70°×2＝40°；当顶角为70°时，则底角为(180°－70°)×12＝55°.答案：70°，70°，40°或者70°，55°，55°点评：先将外角转化为内角，再分情况讨论是解决问题的基本思路．【例7－3】已知：如图，在△ABC中，D为BC上一点，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BAC ＝120°，求∠DAC的度数．分析：根据三角形的内角和定理和三角形的外角性质即可解决．解：∵∠BAC＝120°，∴∠2＋∠3＝60°.①∵∠1＝∠2，∴∠4＝∠3＝∠1＋∠2＝2∠2.②把②代入①，得3∠2＝60°，∴∠2＝20°.∴∠DAC＝120°－20°＝100°.点评：注意三角形的内角和定理以及推论的运用，还要注意角之间的等量代换．。
北师大版八年级上册数学7.5.1《三角形内角和定理证明》教学设计一. 教材分析《三角形内角和定理证明》是北师大版八年级上册数学的一节重要内容。
本节课主要让学生通过证明三角形内角和为180°，培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力。
在教材中，已经给出了三角形的内角和定理，但为了让学生更好地理解和掌握，需要通过证明来让学生感受定理的得出过程。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了三角形的性质，如三角形的定义、三角形的分类等。
但学生对于证明过程可能还存在一定的困难，因此，在教学过程中，需要关注学生的学习情况，引导学生积极参与证明过程，提高学生的逻辑思维能力。
三. 教学目标1.让学生了解三角形内角和定理，并能够理解定理的意义。
2.通过证明三角形内角和定理，培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力。
3.提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。
四. 教学重难点1.教学重点：三角形内角和定理的证明过程。
2.教学难点：证明过程中角度的转换和逻辑推理。
五. 教学方法1.引导法：教师引导学生思考，激发学生的学习兴趣，培养学生的问题意识。
2.合作学习法：学生分组讨论，共同完成证明过程，培养学生的团队协作能力。
3.案例分析法：通过具体的三角形案例，让学生直观地感受内角和定理的应用。
六. 教学准备1.准备三角形模型，方便学生直观地观察和理解三角形的性质。
2.准备证明过程中的相关素材，如图片、视频等，帮助学生更好地理解证明过程。
3.准备课堂练习题，巩固学生对内角和定理的理解和应用。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问方式引导学生回顾三角形的相关知识，如三角形的定义、分类等。
然后提出本节课的学习目标：证明三角形内角和为180°。
2.呈现（10分钟）教师通过多媒体展示三角形内角和定理的证明过程，引导学生观察和思考。
在证明过程中，注意解释每一步的逻辑关系，让学生理解证明过程。
3.操练（15分钟）学生分组讨论，根据三角形内角和定理，尝试证明给定的三角形内角和为180°。
八年级数学上册7.5三角形的内角和定理第2课时三角形的外角说课稿（新版北师大版）一. 教材分析《八年级数学上册7.5三角形的内角和定理第2课时三角形的外角》这一节，主要介绍了三角形的外角的性质和定理。
通过这一节的学习，让学生能够理解三角形的外角的定义，掌握三角形外角的性质，能够运用三角形的外角定理解决一些几何问题。
二. 学情分析学生在学习这一节之前，已经学习了三角形的基本概念，角的性质，以及一些基本的几何证明方法。
但是，对于三角形的外角的性质和定理，可能还存在一些理解上的困难。
因此，在教学过程中，需要注重引导学生理解三角形外角的性质，并通过例题让学生熟练运用外角定理解决实际问题。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：让学生掌握三角形的外角的定义，理解三角形外角的性质，能够运用三角形的外角定理解决一些几何问题。
2.过程与方法目标：通过观察、思考、证明等过程，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：让学生体验数学的严谨性和美感，增强对数学的兴趣和信心。
四. 说教学重难点1.教学重点：三角形的外角的定义，三角形外角的性质，三角形外角定理的应用。
2.教学难点：三角形外角的性质的证明，三角形外角定理的应用。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例教学法、小组合作学习法等，引导学生主动探究、积极参与。
2.教学手段：利用多媒体课件、几何画板等辅助教学，直观展示三角形的外角的性质和定理。
六. 说教学过程1.导入：通过复习三角形的基本概念和角的性质，引出三角形的外角的定义。
2.探究：引导学生观察三角形的外角的性质，让学生通过几何画板软件自主探索，发现三角形外角的性质。
3.证明：引导学生用已学的知识证明三角形外角的性质，培养学生的逻辑思维能力。
4.应用：通过例题讲解，让学生熟练运用三角形的外角定理解决实际问题。
5.总结：对本节课的主要内容进行总结，强调三角形外角的性质和定理。
