大学物理学-狭义相对论

解： l l cos x S S´
l y l y l sin
´
x x
2 2 2 2 l x l x 1 v c l cos 1 v c
2 2 2 2 l l x2 l y l 1 v c cos 0.79 m
按相对论力学
t

1 v c
2 2

8
2.2 10 6 1 0.9966
2
s 26.9 10 6 s
3
L vt 3 10 26.9 m 8 10 m
例2 一长为1 m的棒，相对于S´系静止并与 x´轴夹 角´= 45º 。问：在S系的观察者来看，此棒的长度 以及它与x 轴的夹角为多少？（已知 v 3c 2 ）
tan
ly lx

l sin l cos 1 v c
2 2
2
6327'
vt
§13-3 洛伦兹变换
13-3-1 洛伦兹变换
原点 O 与 O 重合时， 作为计时起点，
y
S
t t 0 Px, y, z, t
vt
x x
y S P
x
v
x

1
光路（2） 光相对于地球的速度垂直于以太的方向。
c v
v
c v
2 2
c
2l
c v
2
2
2l v 2 1 2 往返一次需要时间 t 2 c c c 2 v2 1 1 2 2 2 v 2l v t t1 t 2 1 2 1 2 c c c
u x v ux u xv 1 2 c 2 2 uy 1 v c uy u xv 1 2 c
2 2 u 1 v c uz z u xv 1 2 c
例3 在惯性系S中，有两事件同时发生在x轴上相距 1.0103 m处，从S ´观察到这两事件相距2.0103 m。 试问由S系测得此两事件的时间间隔为多少？
13-1-1 牛顿的绝对时空观
1687年，牛顿在他的《自然哲学的数学原理》 一书中对时间和空间作如下表述 ： 绝对的、真实的、纯数学的时 间，就其自身和其本质而言，是永 远均匀流动的，不依赖于任何外界 事物。 绝对的空间，就其本性而言， 是与外界事物无关而永远是相同和 不动的。
牛顿的绝对时空观：时间和空间都是绝对的，与 物质的存在和运动无关。
c
T
T0 1 v2 c2

cT0 c2 v2
1 c2 v2 c2 v2 0 T cT0 c
解得
cv ν ν0 cv
ν ν0（观察者接近光源）
多普勒频移：
0
当光源远离观察者运动时：
cv 0 cv
0
电磁波的多普勒频移在 交通管理中常用于测量 汽车的运动速度。
l l0
注意：长度收缩只发生在运动的方向上。
例1 静系中子的平均寿命为 = 2.210-6 s。据报 导，在一组高能物理实验中，当它的速度为v = 0.9966c 时通过的平均距离为8 km。试说明这一现 象。
解： 按经典力学
L v 3 108 2.2 106 m 660 m
Px, y, z, t
z
O
z
O
在S系中观测，t 时刻 O 离开 O 的距离为 vt 。
S : x为原长
y
S
S:
2 2 x 1 v c
vt
x x
y S P
x
v
x
x vt x 1 v 2 c 2
解得：
z
o
z
o
x
x vt 1 v c
2 2
入射路程：
d S
l
v
vt1 x x x2
d l vt1 d ct1
解得
S
O
x1
l t1 cv
同理可得光脉冲从反射镜返回到光源的时间：
l t 2 cv
全程所用时间： 即 因为
t t1 t 2
l l 2l t 2 2 c v c v c 1 v c
§13-2 狭义相对论基本原理 与时空的相对性
13-2-1 狭义相对论基本原理
狭义相对论的两条基本假设： • 狭义相对论的相对性原理：在所有惯性系中，物 理定律的表达形式都相同。 • 光速不变原理：在所有惯性系中，真空中的光速 具有相同的量值c 。
13-2-2 时空的相对性
1. 同时的相对性
v
S
2
2
光速：
c 3 10 m s
8
1
所选光波长： 干涉仪臂长约：
5.9 10 m
7
l 10 m
v 3 10 m s
4 1
地球绕太阳的公转速度：
2lv N 2 0.4 c
2
2
零结果！
结论： （1）迈克耳逊实验否定了以太的存在。 （2）迈克耳逊实验说明了地球上光速沿各个 方向都是相同的（此时 0 ，所以无条纹移动）。 （3）迈克耳逊实验就其初衷来说是一次失败的实验。
两飞船的相对速率为 0.54 c。
§13-4 光的多普勒效应
S
设T 为 S 系中测得光源的光振动周期。 一个周期内光的传播 vT
vT
c 观察者测得的光频率： c v T
设T0是以火车为参考系（ S ）测得的周期（原时）
解得：
2
2
t
t0 v2 1 2 c
t t0
v c t t0
原时：在某一参考系中同一地点先后发生两个事 件的时间间隔。 时间延缓：在S系中记录下两事件的时间间隔大于 在S’系中记录到的原时。
3. 长度的收缩
S
v
l0
O x1
x2
x
2l0 往返时间：t0 c
速度变换矢量式：
u u v
对速度变换式两边对时间求导 加速度变换矢量式：
a a
F ma F ma
a x a x a y a y a z a z
结论：牛顿运动方程在任意两个不同惯性参考 系中其形式保持不变。 力学相对性原理：力学规律对于一切惯性参考系都 是等价的（用力学实验的方法不可能区分不同的惯 性系）。
解：
x1
1 v c
x1 vt1
2
x2
1 v c

x2 vt 2
2
t2 t1
x1 x2
3
( x2 x1 ) v(t2 t1 ) 1 v c
3 2
2
1 v c
x2 x1
2
2.0 10
1.0 10
1 v c
例4 两宇宙飞船相对于某一惯性系分别以0.7c和0.9c的 速率沿同方向（x 轴）飞行。求两飞船的相对速率。
解： 已知：ux = 0.7c , v = 0.9c .
ux v 0.7c 0.9c u 0 . 54 c x 2 v 0 . 7 0 . 9 c 1 2 ux 1 2 c c
例5 一束钠原子向着观察者射来，已知在其自身参 考系中钠原子的辐射频率为 0 5.08 1014 Hz，但 观察者测得的频率为 10.16 1014 Hz 。问钠原子 的运动速度。 解 已知
0 2.00
2 2 0 2 0
cv 0 cv
2
1 2.00 1 v 2 c c 0.600c 2 1 2.00 1
13-1-3 迈克耳孙-莫雷实验
M2
以太风
l2
地球相对于以太速度：v 光在以太速度：c
G S
l1
M1
T
实验原理图
光路（1）
• 光顺着以太方向传播
cv v c
v c cv
2
• 光逆着以太方向传播 往返一次所需时间：
l l 2l v t1 1 2 cv cv c c
S
vt
x x
y S P
x
v
x
z
o
z
o
x x vt y y 或 z z t t
伽利略速度变换式：
u x u x v 或 u y u y u z u z
u x u x v u y u y u z u z


1 2
因为 v 2 c 2 1
由 1 x n 1 nx
2
x 1
lv t t1 t 2 3 c
两束光的光程差：
lv ct1 t2 2 c
2
将仪器旋转90°，由于光程差改变量 引起的条纹移动：
2 。
2lv N 2 c
S
v
2. 时间的延缓
反射镜
反射镜
S
c
d
B 光源
v S
l d
c
v
vt B 光源
2 d S : t 0 c
vt S: l d 2
2 2
2l 2 vt 2 t d c c 2
2
从两时间式中消去d，有
2l 2 ct0 vt t c c 2 2
3 v c 2
v t1 2 x1 c t1 2 1 v c
v t 2 2 x2 c t2 2 1 v c
v (t 2 t1 ) 2 ( x2 x1 ) c t1 t2 2 1 v c