华师大版-数学-九年级上册-21.2 二次根式的乘除(第1-2课时)课件

1. 二次根式的乘法
【归纳总结】二次根式的乘法法则： 两个算术平方根的积，等于它们被开方数的积的算
术平方进行二次根式乘法的运算
例 2 教材例 1 针对训练计算： (1) 3× 7； (2) 4× 0.25； (3)6 27×(－2 3).
解：(1) 3× 7＝ 3×7＝ 21. (2) 4× 0.25＝ 4×0.25＝ 1＝1. (3)6 27×(－2 3)＝6×(－2)× 27×3＝－12 81＝－12×9＝ －108.
第21章 二次根式
21.2 二次根式的乘除
第21章 二次根式
1. 二次根式的乘法
知识目标 目标突破 总结反思
1. 二次根式的乘法
知识目标
1．通过计算、观察、对比，由特殊到一般地归纳出二次根式的 乘法法则．
2．通过对二次根式的乘法法则的学习，能熟练地进行二次根式 乘法的运算．
3．通过回顾乘法的结合律，能进行多个二次根式乘法的运算．
解：(1) 2× 3× 4＝ 2×3×4＝ 24. (2)2 5×3 215× 610＝2×3×16× 5×215×10＝ 2.
1. 二次根式的乘法
总结反思
知识点 二次根式的乘法
一般地，有 a· b＝____a_b___(a≥0，b≥0)． [点拨] (1)注意，在上式中，a，b 都表示非负数．在本章中， 如果没有特别说明，字母都表示正数． (2)二次根式乘法法则的推广： a· b· c＝ abc(a≥0，b≥0， c≥0)．
1. 二次根式的乘法
【归纳总结】 二次根式乘法法则的应用： (1) a· b＝ ab(a≥0，b≥0)； (2)c a·d b＝cd ab(a≥0，b≥0)．
1. 二次根式的乘法
目标三 能进行多个二次根式乘法的运算

ab
7 18 8 5 2 3 18
9 45 48
10 ab 1 1
ab
11 2 xy 1 1
3x
4 9 49 100 25 64
4 9 49 100 25 64
a
一般地,有 a ____b____, (a 0, b 0)
b
二次根式除法法则:
4 12
8
2 45
2 20
3 4
3 a 2 (a 2) a 1
2 a 1
2a 2
寻找分母的有 理化因式，应 找最简单的有 理化因式，也 可灵活运用我 们学过的性质 和法则，简化、 优化解答过程。
1 1 1
2

6
2
2 1
5x
5x 5x
3 y
x
xy
下列哪些是最简二次根式
2 5 36 12 27
二次根式的化简要求满足以下两条: (1)被开方数的因数是整数,因式是整式,也就是说“被开方 数不含分母”. (2)被开方数中不含能开得尽的因数或因式,也就是说“被 开方数的每一个因数或因式的指数都小于2”.
1.把下列各式分母有理化：
1 5 3 5
24 24
观察、猜想训练
验证下列各式，猜想下一个式子是什么？你能找到反映上 述各式的规律吗？
1
2 2
2
2
3
3
2 3 3 3 3
8
பைடு நூலகம்
8
3 4 4 4 4
15
15
4 5 5 5 5
24
24

n
n n2 1
n
n n2 1
n

2

2.被开方数不含开的尽方的因数 或因式
练习：把下列各式的分母有理化：
（1）－4 2 37
（2） 2a a＋b
（3） 2 3 40
（1）－4 2 37
＝－4 2 • 3 7•
7 7
＝ －4 14 ； 21
（2） 2a ＝ a＋b
2a a＋b
a＋b • a＋b
＝
2a a＋b a＋b
（3） 3
2＝
2
＝ 2 • 10
40 3 • 2 10 6 10 • 10
＝ 20 ＝ 2 5 ＝ 5
60
60 30
练习二：
1.在横线上填写适当的数或式子使等式成立。
（1） 8 •（ 2 ）＝ 4 （2）2 5 •（ 5）＝ 10
（3） a－1 •（ a－1 ）＝ a－1 （4）332 ＝ 6
2.把下列各式的分母有理化：
（1）－8 3 8
两个二次根式相除，等于把被开方数相除，作为商的
被开方数
1.
3 64
3 8
,
2
64b2 9a2
8b 3a
3.
Байду номын сангаас
9x 64 y 2
3 8
x y
,
(4)
5x 169 y 2
5x 13 y
综合提升
3．已知 9 x 9 x ，且x为偶数，求
x6 x6
（1+x）
x2
5x 4 x2 1
的值．
1.被开方数不含分母
（2）3 2 27
（3） 5a （4） 2y 2
10a
4xy
3.化简：
（1）－ 19 ÷ 95 （2）9 1 ÷（－ 3
48

a b与 a b;a b c d与a b c d 等. （来自《点拨》）
知2－讲
例3 化简 1 , 使分母中不含二次根式，并且被开方 2
数中不含分母．
解： 1 2
1 2
12 22
2 22

2
2 .
22 2
这里，二次根式 1 , 的被开方数中含有分 2
母，通常可利用分数(或分式)的基本性质将分 母“配”成完全平方，再“开方”出来．
bb
分母有理化；方法二，先将被开方数的分子、分母 同乘以a，再应用“ a a (a 0,b 0)”进行化简．
bb
解：
(1)
7 1

16 =
16 4 =.
9 9 93
(2) 1 2 2 . 32 64 8
知2－讲
(3) 方法一：
a
28 a3

a
28 a 2 7 2 7 2 7a .
计算；也可以把除法运算转化为乘法运算来计
算．
（来自《点拨》）
例1 计算：
(1) 15 ; 3
(2)
24 .
6
解： (1) 15 15 5. 33
(2) 24 24 4 2. 66
知1－讲
题(2)也可先将分子 化简为 2 6 从而容 易算得结果．
（来自教材》）
知1－讲
例2 计算：
（来自教材）
例4 将下列各式化简：
(1) 1 7 ; 9
(2) 1 ; 32
28 (3)a a3 .
知2－讲
导引： (1) 先将带分数化为假分数，然后应用性质化简；
(2) 需要将分子、分母同时乘以2，将分母化成一个

3．计算或化简：
(1) 122＝__6__；
(2) 16＝__6_6_；
(3) 90÷ 10＝__3__； (4) 18＝__42__． 4．把下列二次根式化简为最简二次根式：
(1) 32；(2) 40；(3) 1.5；(4)
4 3.
解：(1)原式＝ 16×2＝4 2； (2)原式＝ 4×10＝2 10； (3)原式＝ 32＝ 32× ×22＝ 26；
6．[2019 春·鱼台县期末]计算：
(1) 12×34÷3 2；
1 (2)2
3÷
112× 27.
3
6
解：(1)原式＝2 3×4÷3 2＝ 4 ；
31 (2)原式＝ 2 ÷2 3×3 3＝9 3.
7．设长方形的面积是 S，相邻两边的长分别是 a、b. (1)若 S＝16 cm2，a＝ 6 cm，求 b； (2)若 S＝ 72 cm2，b＝ 50 cm，求 a. 解：(1)根据题意，得 b＝Sa＝ 166＝8 3 6(cm)； (2)根据题意，得 a＝Sb＝ 7520＝65(cm)．
2．商的算术平方根
法 则：商的算术平方根等于 算术平方根的商 ．
公
式：
ab＝
a
b (a≥0，b>0)
．
注 意：(1)法则成立的条件： a≥0，b>0 ；
(2)商的算术平方根，结果要化简．
3．最简二次根式 定 义：被开方数中 不含分母 ，并且被开方数中所有因式的幂的指数
都小于2 ，像这样的二次根式称为最简二次根式．
归类探究
类型之一 利用二次根式的除法法则计算
计算下列各题：
(1) 72÷3 2；
解：原式＝ 3
722＝13
(2)9

最简二次根式： 1.被开方数不含分母
2.被开方数不含开的尽方的因数或因式
练习：指出下列各式中的最简二次根式
(1) b x
(2) 2ab3
(3) 0.3
(4) 0.5ab
(6) 3 a 2
(7) a2 b2
(8) x3 6x2 9x
1.计算：
(1)
32 2
(2) 50 10
3 4 1
5
－4 （5）
复习提问
1.二次根式的乘法：
a • b ab a≥0,b≥0
ab a • b (a 0,b 0)
2.化简二次根式：
把开方开得尽的因数或因式,开方后移到根号外.
计算下列各式,观察计算结果,你发现什么规律?
我的发现:
＝
＝
＝
＝
规律:
a a
b
b
a 0,b 0
两个二次根式相除，等于把被开方数相除，作为商的
2
37
7 10
(4)2 11 5 1
2
6
____
（ 6） 2 3 40
(7) √___2_R__h_1__ √ 2Rh2
2.化简
7 (1) 2
9
(2)
81 25x2
Байду номын сангаас
x
0
(3)
16b2c a2
a
0,
b
0
0.09 ×169 (4)
0.64 ×196
（5）
2a a＋b
（6）2y2 4xy
－ －53 成1立4、.的等条式件mm是－ －__53_＝_m_>__mm5_－ －__53__成。立 的 条 件
被开方数.

解：－a2b ab
18．(8 分)设长方形的面积是 S，长和宽分别是 a，b，如果 S ＝ 42 cm2，b＝ 6 cm，求 a.
解： 7 cm
19．(8 分)如果一个三角形的三边长分别为 a，b，c，设 p＝21 (a＋b＋c)，那么可以根据公式：S＝ p（p－a）（p－b）（p－c） 求这个三角形的面积 S.若 a＝2，b＝3，c＝4，求该三角形的面积．
21．2 二次根式的乘除 法
第2课时 二次根式的除法
1. ba＝__ ba__(a≥0，b>0)，即两个算术平方根的商等于
_两___数__商__的__算___术__平__方__根______．
2. ab＝__ ba__(a≥0，b>0)，即商的算术平方根等于
___两__数__算___术__平__方__根___的__商__．
A．a＝b B．a＝－b
C．a＝b1 D．a＜b
13．设 2＝a， 3＝b，用含 a，b 的式子表示 0.54，下列表
示正确的是( A )
A．0.3ab B．3ab
C．0.1ab2 D．0.1a2b
14．计算
2× 3
6－1＝__1__．
15．若 57－2m是最简二次根式，则 m 的值是_3___．
3．最简二次根式应满足的条件：
(1)被开方数不含___分__母___； (2)被开方数中所有因数(或因式)的幂的指数都__小__于__2__.
1．(2 分)计算： 10÷ 2＝( A )
A. 5
B．5
5 C. 2
10 D. 2
2．(2 分)计算： 53÷ 13的结果是( B )
A. 3
B. 5
C．5
解：S＝3

概念 形如 a （a ≥ 0）的式子叫做二次根式.
二次
根式
性质1： (1) a 0(a 0)
性质
(2) ( a )2 a(a 0)
性质2：
a2
|
a
|
a(a 0)， a(a 0).
第四页，共十二页。
新课导入
课时导入
计算：
（1） 4 25 =与 4 25 ； （2） 16 9 =与 16 9 ；
第二十一章 二次根式
21.2 二次根式的乘除
课时1 二次根式的乘法
第一页，共十二页。
目
录
CONTENTS
1 学习目标 3 新课讲解 5 当堂小练 7 布置作业
2 新课导入 4 课堂小结 6 拓展与延伸
第二页，共十二页。
学习目标
1.二次根式的乘法法则. （重点）
第三页，共十二页。
新课导入
知识回顾
2
2
第七页，共十二页。
课堂小结 一般地，有
a b ab a 0，b 0
这就是说，两个算术平方根的积，等于它们被 开方数的积的算术平方根.
第八页，共十二页。
当堂小练
1.化简 a 1 的结果是（ C ） a
A. a
B. a
C. a
D. a
分析： a 1 a 1 a 2 1
a
a
a
a2 1 a
a
第九页，共十二页。
当堂小练
2.等式 x 1 x 1 x2 1 成立的条件是 （A ）
A. x ≥ 1 C. –1 ≤ x ≤ 1
B. x ≥ –1 D. x ≥ 1 或 x ≤ –1
解：由 x – 1 ≥ 0，x + 1 ≥ 0 得 x≥1

4 原式 2 3 6
36 6
（3）例2：化简
(1). 12 =2 3 (2). 4a3 =2a a (3). a4b =a2 b
例3化简
四、精讲提升 拓展延伸
（1）二次根式的乘法法则：
a b ab;(a 0,b0)
特别注意：如果有三个或多个二次根式相乘，公式 仍然成立。
二次根式乘法法则: 两个二次根式相乘，将它们的
被开方数相乘.
（2）例题1：计算 解：3 2 3 2
(1). 7 6 （1）原1式 3627 422
(2).
1
3 2 2
32
2
3 2
(3(2))..原式2 1 332 216 46 2
(4). 2 3 6
（1）比较下面几个式子的大小
4 9
49
4 25
4 25
16 9
16 9
100 0.01
100 0.01
问:从上面的计算你发现了什么规律？如何 用a，b表示？成立的条件是什么?
（2）例题1：计算
(1). 7 6 (2). 1 32
2 (3). 2 3 2 (4). 2 3 6
（3）例2：化简
(1). 12 (2). 4a3 (3). a4b
例3化简：
三、反馈展示 质疑释疑
（1）计算
4 9
= 49
4 25
= 4 25
16 9
= 16 9
100 0.01 = 100 0.01
a b a b(a 0,b 0)
a b a b(a 0,b 0)
2、化简：
(1). 8; (2). 18; (3). a3