学年高中数学第一章空间几何体1.3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积练习新人教A版必修2

1．3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积知识导图学法指导1.求几何体的表面积，要充分利用柱体、锥体、台体的结构特征，准确把握各个面的形状与数量关系，尤其是侧面展开图与原几何体的关系．2．求体积问题则要准确把握底面积和高，尤其是四面体，确定哪个面为底面要依据条件看哪个面的面积容易求出．3．充分利用展开图和截面图，将空间问题转化为平面问题．高考导航本节知识是高考的重点内容，考查频率很高，常考题型如下：(1)几何体的表面积或体积的计算，以选择题、填空题为主，分值5分．(2)与后面要学习的点、线、面的位置关系的知识综合，作为解答题中的一问，考查几何体体积的计算，分值5～8分.知识点柱体、锥体、台体的表面积1．棱柱、棱锥、棱台的表面积棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的多面体，因此它们的表面积等于各个面的面积之和，也就是展开图的面积．2．圆柱、圆锥、圆台的表面积圆柱(底面半径为r，母线长为l)圆锥(底面半径为r，母线长为l)圆台(上、下底面半径分别为r′，r，母线长为l)侧面展开图底面积S底＝2πr2S底＝πr2S底＝π(r′2＋r2) 侧面积S侧＝2πrl S侧＝πrl S侧＝π(r′＋r)l表面积S表＝2πr(r＋l)S表＝πr(r＋l)S表＝π(r′2＋r2)＋π(r＋r′)l3.体积公式图形体积公式柱体棱柱底面积为S，高为h，V＝Sh圆柱底面半径为r，高为h，V＝πr2h锥体棱锥底面积为S，高为h, V＝13Sh圆锥底面半径为r，高为h，V＝13πr2h台体棱台上底面积为S′，下底面积为S，高为h，V＝13(S′＋S′S＋S)·h 圆台上底半径为r，下底半径为R，高为h，V＝13π(r2＋rR＋R2)h1 .多面体与旋转体表面积的计算方法(1)多面体展开图的面积即为多面体的表面积，在实际计算中，只要弄清楚多面体的各个面的形状并计算其面积，然后求其和即可，一般不把多面体真正展开．(2)求旋转体的表面积时，要清楚常见旋转体的侧面展开图是什么，关键是求其母线长与上、下底面的半径．2 .柱体、锥体、台体体积之间的关系柱体、锥体、台体的关系如下：根据以上关系，在台体的体积公式中，令S ′＝S，得柱体的体积公式；令S ′＝0，得锥体的体积公式，其关系如图：[小试身手]1．判断下列命题是否正确. (正确的打“√”，错误的打“×”)(1)锥体的体积等于底面面积与高之积．( )(2)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差．( )答案：(1)×(2)√2．已知正六棱柱的高为6，底面边长为4，则它的表面积为( )A．48(3＋3) B．48(3＋23)C．24(6＋2) D．144解析：由题意，知侧面积为6×6×4＝144，两底面积之和为2×34×42×6＝483，所以表面积S＝48(3＋3)．答案：A3．若圆锥的母线长为8，底面周长为6π，则其体积是( ) A．24π B．24C ．355π D．355解析：设圆锥的母线长为l ，高为h ，底面半径为r ，由底面周长为2πr ＝6π，得r ＝3，所以h ＝l 2－r 2＝82－32＝55.由圆锥的体积公式可得V ＝13πr 2h ＝355π.答案：C4．圆台OO ′的母线长为6，两底面半径分别为2,7，则圆台的侧面面积是________． 解析：圆台的上底面半径r ′＝2，下底面半径r ＝7，母线长l ＝6，则圆台的侧面面积S 侧＝π(r ′＋r )l ＝π×(2＋7)×6＝54π.答案：54π类型一 空间几何体的表面积例1 (1)底面为正方形的直棱柱，它的底面对角线长为2，体对角线长为6，则这个棱柱的侧面积是( )A ．2B ．4C ．6D ．8(2)若一个圆锥的轴截面是边长为 4 cm 的等边三角形，则这个圆锥的侧面积为________cm 2，表面积为________cm 2.【解析】 (1)由已知得底面边长为1，侧棱长为6－2＝2.∴S 侧＝1×2×4＝8. (2)如图所示，∵轴截面是边长为4 cm 的等边三角形，∴OB ＝2 cm ，PB ＝4 cm ， ∴圆锥的侧面积S 侧＝π×2×4＝8π (cm 2)， 表面积S 表＝8π＋π×22＝12π (cm 2)． 【答案】 (1)D (2)8π 12π(1)先由面对角线长求边长，再由体对角线求侧棱长，进而求解．(2)由轴截面求出底面半径，再利用圆锥的侧面积公式求圆锥的侧面积，进而求表面积．方法归纳1．多面体的表面积转化为各面面积之和．2．解决有关棱台的问题时，常用两种解题思路：一是把基本量转化到梯形中去解决；二是把棱台还原成棱锥，利用棱锥的有关知识来解决．3．旋转体中，求面积应注意侧面展开图，上下面圆的周长是展开图的弧长．圆台通常还要还原为圆锥．跟踪训练1 如图所示，有一滚筒是正六棱柱形(底面是正六边形，每个侧面都是矩形)，两端是封闭的，筒高1.6 m ，底面外接圆的半径是0.46 m ，问：制造这个滚筒需要________m 2铁板(精确到0.1 m 2)．解析：因为此正六棱柱底面外接圆的半径为0.46 m ， 所以底面正六边形的边长是0.46 m. 所以S 侧＝ch ＝6×0.46×1.6＝4.416 (m 2)． 所以S 表＝S 侧＋S 上底＋S 下底＝4.416＋2×34×0.462×6≈5.6 (m 2)． 故制造这个滚筒约需要5.6 m 2铁板． 答案：5.6本题实质上是求解正六棱柱的表面积，根据底面外接圆半径可确定该六棱柱底面边长，高已知，从而问题可解．类型二 空间几何体的体积 例2 (1)在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D 为棱AA 1的中点，若△BC 1D 是面积为6的直角三角形，则此三棱柱的体积为________；(2)一个正三棱锥的底面边长为6，侧棱长为15，求这个正三棱锥的体积． 【解析】 (1)由题意，设AC ＝a (a ＞0)，CC 1＝b (b ＞0)，则BD ＝C 1D ＝a 2＋b 24，BC 1＝a 2＋b 2，由△BC 1D 是面积为6的直角三角形，得⎝⎛⎭⎪⎫a 2＋14b 2×2＝a 2＋b 2，得b 2＝2a 2，又12×32a 2＝6，∴a 2＝8，∴b 2＝16，即b ＝4.∵S △ABC ＝34a 2，∴V ＝34×8×4＝8 3., (2)如图所示为正三棱锥S －ABC .设H 为正三角形ABC 的中心，连接SH ，则SH 即为该正三棱锥的高．连接AH 并延长交BC 于E ，则E 为BC 的中点，且AE ⊥BC .∵△ABC 是边长为6的正三角形， ∴AE ＝32×6＝33，∴AH ＝23AE ＝2 3. 在Rt△SHA 中，SA ＝15，AH ＝23， ∴SH ＝SA 2－AH 2＝15－12＝ 3.在△ABC 中，S △ABC ＝12BC ·AE ＝12×6×33＝93，∴V S －ABC ＝13×93×3＝9，即这个正三棱锥的体积为9.【答案】 (1)8 3 (2)9(1)利用截面的面积求出三棱柱的底面边长及高，然后利用体积公式求体积． (2)求棱锥的体积关键是求其高，需要在正棱锥的特征三角形中求解． 方法归纳1．常见的求几何体体积的方法①公式法：直接代入公式求解．②等积法：如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的形式即可．③分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积．2．求几何体体积时需注意的问题柱、锥、台的体积的计算，一般要找出相应的底面和高，要充分利用截面、轴截面，求出所需要的量，最后代入公式计算．跟踪训练2 如图，过圆柱的两条母线AA 1和BB 1的截面A 1ABB 1的面积为S ，母线AA 1的长为l ，∠A 1O 1B 1＝90°，求此圆柱的体积．解析：∵S 截面A 1ABB 1＝S ，AA 1＝l ， ∴A 1B 1＝S l .在Rt△A 1O 1B 1中，O 1A 1＝22·S l ＝2S 2l， ∴V 圆柱＝πr 2h ＝π·⎝ ⎛⎭⎪⎫2S 2l 2·l ＝πS 22l .根据母线长及截面的面积便可确定AB 的长，结合底面直角三角形便可求得底面半径．类型三 组合体的表面积和体积例3 梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，AD ＝a ，BC ＝2a ，∠DCB ＝60°，在平面ABCD 内过点C 作l ⊥BC ，以l 为轴将梯形ABCD 旋转一周，求旋转体的表面积和体积．【解析】 由题意知以l 为轴将梯形ABCD 旋转一周后形成的几何体为圆柱中挖去一个倒置的且与圆柱等高的圆锥，如图所示．在梯形ABCD 中，∠ABC ＝90°，AD ∥BC ，AD ＝a ，BC ＝2a ，∠DCB ＝60°，∴CD ＝BC －AD cos60°＝2a ，AB ＝CD sin60°＝3a ，∴DD ′＝AA ′－2AD ＝2BC －2AD ＝2a ， ∴DO ＝12DD ′＝a .由上述计算知，圆柱的母线长为3a ，底面半径为2a ；圆锥的母线长为2a ，底面半径为a .∴圆柱的侧面积S 1＝2π·2a ·3a ＝43πa 2，圆锥的侧面积S 2＝π·a ·2a ＝2πa 2， 圆柱的底面积S 3＝π(2a )2＝4πa 2，圆锥的底面积S 4＝πa 2，∴组合体上底面面积S 5＝S 3－S 4＝3πa 2，∴旋转体的表面积S ＝S 1＋S 2＋S 3＋S 5＝(43＋9)πa 2.又由题意知形成的几何体的体积为圆柱的体积减去圆锥的体积，且V 柱＝π·(2a )2·3a ＝43πa 3，V 锥＝13·π·a 2·3a ＝33πa 3. ∴旋转体的体积V ＝V 柱－V 锥＝43πa 3－33πa 3＝1133πa 3. 旋转体的表面积等于圆柱侧面积、圆锥侧面积与圆柱上下底面积之和减去圆锥底面积，旋转体的体积为圆柱的体积减去圆锥的体积．方法归纳求组合体的表面积与体积的方法(1)分析结构特征．弄清组合体的组成形式，找准有关简单几何体的关键量． (2)设计计算方法．根据组成形式，设计计算方法，特别要注意“拼接面”面积的处理．利用“切割”“补形”的方法求体积．(3)计算求值．根据设计的计算方法求值．跟踪训练3 如图，在△ABC 中，AB ＝8，BC ＝10，AC ＝6，DB ⊥平面ABC ，且AE ∥FC ∥BD ，BD ＝3，FC ＝4，AE ＝5，则此几何体的体积为________．解析：用“补形法”把原几何体补成一个直三棱柱，使AA ′＝BB ′＝CC ′＝8，由已知得∠BAC ＝90°，所以V 几何体＝12V 三棱柱＝12×S △ABC ·AA ′＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×6×8×8＝96.答案：96将所求几何体补成一个直三棱柱，利用棱柱的体积公式即可求得该几何体的体积.[基础巩固](25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．如图所示，圆锥的底面半径为1，高为3，则该圆锥的表面积为( )A．π B．2πC．3π D．4π解析：设圆锥的母线长为l，则l＝12＋32＝2，所以圆锥的表面积为S＝π×1×(1＋2)＝3π.答案：C2．若棱台的上、下底面面积分别为4,16，高为3，则该棱台的体积为( )A．26 B．28C．30 D．32解析：所求棱台的体积V＝13×(4＋16＋4×16)×3＝28.答案：B3．若圆柱的底面半径为1，其侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的侧面积是( ) A．4π2 B．3π2C．2π2 D．π2解析：依题意，圆柱的母线长l＝2πr，故S侧＝2πrl＝4π2r2＝4π2.答案：A4．正方体ABCD－A1B1C1D1中，以顶点A、C、B1、D1为顶点的正三棱锥的全面积为43，则该正方体的棱长为( )A. 2 B ．2 C ．4 D ．2 2解析：设正方体棱长为a ，侧面的对角线长为2a ，所以正三棱锥A －CB 1D 1的棱长为2a ，其表面积为4×34×(2a )2＝43，可得a 2＝2，即a ＝ 2. 答案：A5．在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝32，∠ABC ＝120°，将△ABC 绕直线BC 旋转一周，所形成的几何体的体积是( )A.92πB.72πC.52πD.32π解析：如图，△ABC 绕直线BC 旋转一周，所形成的几何体是以△ACD 为轴截面的圆锥中挖去一个以△ABD 为轴截面的圆锥后剩余的部分．因为AB ＝2，BC ＝32，∠ABC ＝120°，所以AE ＝AB sin60°＝3，BE ＝AB ·cos60°＝1，CE ＝52.V 1＝13π·AE 2·CE ＝5π2，V 2＝13π·AE 2·BE ＝π， 所以V ＝V 1－V 2＝32π.故选D.答案：D二、填空题(每小题5分，共15分)6．[2019·重庆市巴南区校级月考]已知圆锥的底面半径为2 cm ，高为1 cm ，则圆锥的侧面面积是________cm 2.解析：根据圆锥的侧面面积公式可得S 侧＝π×2×22＋12＝25π(cm)2. 答案：25π7．[2019·郑州市校级月考]底面是菱形的直棱柱，它的体对角线的长分别是7和15，高是5，则这个直棱柱的侧面面积是________．解析：依题意得，直棱柱底面的一条对角线长为152－52＝102，底面的另一条对角线长为72－52＝2 6.又菱形的两对角线互相垂直平分，故底面边长为522＋62＝214，则这个直棱柱的侧面面积S 侧＝4×214×5＝4014.答案：40148．[2019·启东市校级检测]如图，已知底面半径为r 的圆柱被一个平面所截，剩余部分母线长的最大值为a ，最小值为b ，那么圆柱被截后剩下部分的体积是________．解析：将该几何体上部补上一个与该几何体相同的几何体，得到一个圆柱，其体积为π(a ＋b )r 2，所以所求几何体的体积为12π(a ＋b )r 2.答案：12π(a ＋b )r 2三、解答题(每小题10分，共20分)9．已知棱长为a ，各面均为等边三角形的四面体S －ABC 如图所示，求它的表面积． 解析：因为四面体S －ABC 的四个面是全等的等边三角形，所以四面体的表面积等于其中任何一个面面积的4倍．不妨求△SBC 的面积，过点S 作SD ⊥BC ，交BC 于点D ，如图所示． 因为BC ＝SB ＝a ，SD ＝SB 2－BD 2＝a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22＝32a ，所以S △SBC ＝12BC ·SD ＝12a ×32a ＝34a 2.故四面体S －ABC 的表面积S ＝4×34a 2＝3a 2.10．如图，在四边形ABCD 中，∠DAB ＝90°，∠ADC ＝135°，AB ＝5，CD ＝22，AD ＝2，求四边形ABCD 绕AD 旋转一周所成几何体的体积．解析：如图，过C 作CE 垂直于AD ，交AD 延长线于E ，则所求几何体的体积可看成是由梯形ABCE 绕AE 旋转一周所得的圆台的体积，减去△EDC 绕DE 旋转一周所得的圆锥的体积．所以所求几何体的体积V ＝V 圆台－V 圆锥＝13π×(52＋5×2＋22)×4－13π×22×2＝1483π.[能力提升](20分钟，40分)11．如图所示，正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′的棱长为4，动点E ，F 在棱AB 上，且EF ＝2，动点Q 在棱D ′C ′上，则三棱锥A ′－EFQ 的体积( )A ．与点E ，F 的位置有关B ．与点Q 的位置有关C ．与点E ，F ，Q 的位置都有关D ．与点E ，F ，Q 的位置均无关，是定值解析：因为点Q 到平面A ′EF 的距离为正方体的棱长4，A ′到EF 的距离为正方体的棱长4，所以V A′－QEF＝V Q－A′EF＝13×12×2×4×4＝163，是定值，因此与点E，F，Q的位置均无关．答案：D12．如图所示，正方形ABCD的边长为6 cm，BC，CD的中点分别为E，F，现沿AE，EF，AF折叠，使B，C，D三点重合，构成一个三棱锥，则这个三棱锥的表面积为________．解析：因为折叠后构成的三棱锥的表面均由原正方形的各部分围成，且没有重叠，因此这个三棱锥的表面积等于正方形ABCD的面积，为6×6＝36(cm2)．答案：36 cm213．如图是一建筑物的三视图(单位：m)，现需将其外壁用油漆粉刷一遍，已知每平方米用漆0.2 kg，问需要油漆多少千克？(无需求近似值)解析：由三视图知建筑物为一组合体，自上而下分别是圆锥和正四棱柱，并且圆锥的底面半径为3 m，母线长为5 m，正四棱柱的高为4 m，底面是边长为3 m的正方形，圆锥的表面积为πr2＋πrl＝9π＋15π＝24π (m2)；四棱柱的一个底面积为9 m2，正四棱柱的侧面积为4×4×3＝48 (m2)，所以外壁面积为24π－9＋48＝(24π＋39) (m2)．所以需要油漆(24π＋39)×0.2＝(4.8π＋7.8) (kg)．14．一个直角梯形的两底边长分别为2和5，高为4，将其绕较长的底所在的直线旋转一周，求所得旋转体的表面积．解析：如图，梯形ABCD中，AD＝2，AB＝4，BC＝5.作DM⊥BC，垂足为点M，则DM＝4，MC＝5－2＝3.在Rt△CMD中，由勾股定理得CD＝32＋42＝5.在旋转形成的旋转体中，AB形成一个圆面，AD形成一个圆柱的侧面，CD形成一个圆锥的侧面，设其面积分别为S1，S2，S3，则S1＝π·42＝16π，S2＝2π×4×2＝16π，S3＝π×4×5＝20π，故此旋转体的表面积为S＝S1＋S2＋S3＝52π.。

1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积时间:30分钟，总分：70分班级：姓名：一、选择题（共6小题，每题5分，共30分）1、轴截面是正三角形的圆锥称作等边圆锥，则等边圆锥的侧面积是底面积的( )A．4倍B．3倍C.2倍D．2倍【答案】 D【解析】设轴截面正三角形的边长为2a，∴S底＝πa2，S侧＝πa×2a＝2πa2，∴S侧＝2S底．故选D。

2、某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是个半圆，则该几何体的表面积为( )A. B.π+ C.+ D.+【答案】C【解析】由三视图可知该几何体为一个半圆锥，底面半径为1，高为，所以表面积S=×2×+×π×12+×π×1×2=+.故选C.3.某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为( )A. B. C. D.1【答案】A【解析】通过三视图可还原几何体为如图所示的三棱锥,则通过侧视图得高h=1,底面积S=×1×1=,所以体积V=Sh=.故选A.4.如图，正方体ABCD-A′B′C′D′的棱长为4，动点E，F在棱AB上，且EF=2，动点Q在棱D′C′上，则三棱锥A′-EFQ的体积( )A.与点E，F的位置有关B.与点Q的位置有关C.与点E，F，Q的位置都有关D.与点E，F，Q的位置均无关，是定值【答案】D【解析】V A ′-EFQ =V Q-A ′EF =××EF ×AA ′×A ′D ′，所以其体积为定值，与点E ，F ，Q 的位置均无关.故选D.5、将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是( )A ．4πB ．3πC ．2πD ．π【答案】 C【解析】 底面圆半径为1，高为1，侧面积S ＝2πrh ＝2π×1×1＝2π.故选C. 6、一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是( )A ．1＋ 3B ．2＋ 3C ．1＋2 2D ．2 2【答案】 B 【解析】根据三视图还原几何体如图所示，其中侧面ABD ⊥底面BCD ，另两个侧面ABC ，ACD 为等边三角形，则有S 表面积＝2×12×2×1＋2×34×(2)2＝2＋ 3.故选B.二、填空题 （共4小题，每题5分，共20分）7、一个棱柱的侧面展开图是三个全等的矩形，矩形的长和宽分别为6 cm,4 cm ，则该棱柱的侧面积为________cm 2.【答案】 72【解析】 棱柱的侧面积S 侧＝3×6×4＝72(cm 2)．8．(2015·天津高考)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m 3.【答案】 83π【解析】 由几何体的三视图可知该几何体由两个圆锥和一个圆柱构成，其中圆锥的底面半径和高均为1，圆柱的底面半径为1且其高为2，故所求几何体的体积为V ＝13π×12×1×2＋π×12×2＝83π.9、某几何体的三视图如图所示，则它的体积是 。

2018-2019学年高中数学第一章空间几何体1.3 空间几何体的表面积与体积1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积检测新人教A版必修2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018-2019学年高中数学第一章空间几何体1.3 空间几何体的表面积与体积1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积检测新人教A版必修2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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1 柱体、锥体、台体的表面积与体积［A级基础巩固]一、选择题1．如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4π,那么圆柱的体积等于（）A．π B．2π C．4π D．8π解析：设圆柱的底面半径为r，则圆柱的母线长为2r，由题意得S圆柱侧＝2πr×2r＝4πr2＝4π,所以r＝1,所以V圆柱＝πr2×2r＝2πr3＝2π.答案：B2．(2017·全国卷Ⅲ)已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为( ）A．π B.错误! C。

错误! D.错误!解析:设圆柱的底面半径为r，球的半径为R，且R＝1,由圆柱两个底面的圆周在同一个球的球面上可知,r,R及圆柱的高的一半构成直角三角形．所以r＝错误!＝错误!.所以圆柱的体积为V＝πr2h＝错误!π×1＝错误!.故选B。

答案：B3．如图所示,正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，则三棱锥D1。

1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积【基础练习】1．以边长为2的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于( )A ．4B ．8C ．4πD ．8π【答案】D【解析】由题意得圆柱的底面半径r ＝2，母线l ＝2，所以圆柱的侧面积S ＝2πrl ＝8π. 2．底面半径为1，母线长为2的圆锥的体积为( ) A ．2π B ．3π C ．2π3D ．3π3 【答案】D【解析】底面半径为1，母线长为2的圆锥的高d ＝22－1＝3，体积V ＝13πr 2h ＝3π3.故选D ．3．如图所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，则三棱锥D 1－ACD 的体积是( )A ．16 B ．13 C ．12 D ．1【答案】A【解析】三棱锥D 1－ADC 的体积V ＝13S △ADC ×D 1D ＝13×12×AD ×DC ×D 1D ＝13×12＝16.4．(2019年湖北孝感模拟)若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的表面积是( )A ．72＋16 2B ．72＋16 3C ．64＋16 2D ．64＋16 3【答案】A【解析】由三视图可知该几何体是一个以正视图为底面的圆柱，高为4，其表面积S ＝3×4×2＋2×2×2＋4×22×2＋4×6＋12×(2＋6)×2×2＝72＋16 2.5．如图是一个几何体的三视图，若它的体积是33，则a ＝________.【答案】3【解析】由三视图可知几何体为一个直三棱柱，底面三角形面积为a ，则V ＝3×a ＝33，所以a ＝ 3.6．一个圆柱和一个圆锥的轴截面分别是边长为a 的正方形和正三角形，则它们的表面积之比为________．【答案】2∶1【解析】S 圆柱＝2·π⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22＋2π·⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2·a ＝32πa 2，S 圆锥＝π⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22＋π·a 2·a ＝34πa 2，∴S 圆柱∶S 圆锥＝2∶1.7．如图是某几何体的三视图．(1)画出它的直观图(不要求写画法)；(2)求这个几何体的表面积和体积．【解析】(1)这个几何体的直观图如图所示．(2)这个几何体是一个简单组合体，它的下部是一个圆柱(底面半径为1，高为2)，它的上部是一个圆锥(底面半径为1，母线长为2，高为3)，所以所求表面积为S＝π×12＋2π×1×2＋π×1×2＝7π，体积为V＝π×12×2＋13×π×12×3＝2π＋33π.8．已知正三棱锥V－ABC的正视图、俯视图如图所示，其中VA＝4，AC＝23，求该三棱锥的表面积．【解析】由正视图与俯视图可得正三棱锥的直观图如图所示，且VA＝VB＝VC＝4，AB＝BC＝AC＝2 3.取BC的中点D，连接VD，则VD⊥BC，有VD＝VB2－BD2＝42－32＝13，则S△VBC＝12×VD×BC＝12×13×23＝39，S△ABC＝12×(23)2×32＝33，所以三棱锥V－ABC的表面积为3S△VBC＋S△ABC＝339＋3 3.【能力提升】9．(2019年北京期末)若一个几何体的表面积和体积在数值上相同，则称这个几何体为“同积几何体”．已知某几何体为“同积几何体”，其三视图如图所示，则a为( )A ．14＋223B ．8＋223C ．12＋223D ．8＋2 2【答案】A【解析】如图，根据几何体的三视图可知该几何体是一个四棱柱，其体积为12(a ＋2a )·a ·a ＝32a 3，表面积为12(2a ＋a )·a ·2＋a 2＋a 2＋2a ·a ＋2a ·a ＝7a 2＋2a 2，所以7a2＋2a 2＝32a 3，解得a ＝14＋223.故选A ．10．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A ．24＋12 3B ．24＋5 3C ．12＋5 3D ．12＋12 3【答案】A【解析】由已知可得几何体为三棱柱，底面是斜边长为4，斜边上的高为3的直角三角形，底面面积为23，底面周长为6＋23，棱柱的高为4，故棱柱的表面积S ＝2×23＋4×(6＋23)＝24＋123，故选A ．11．(2019年四川成都模拟)我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水．天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸．若盆中积水深九寸，则平地降雨量是________寸．(注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸)【答案】3【解析】由题意知盆内所盛水的上底面直径为28＋122＝20(寸)，下底面半径为6寸，高为9寸，故体积为V ＝13×9×(π×102＋π×62＋π×10×6)＝588π，又盆口面积为π×142＝196π.故平地降雨量为588π196π＝3(寸)．12．已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图是一个底边长为6、高为4的等腰三角形．(1)求该几何体的体积V ； (2)求该几何体的侧面积S .【解析】由已知可得该几何体是一个底面为矩形、高为4、顶点在底面的射影是矩形中心的四棱锥V －ABCD .(1)V ＝13×(8×6)×4＝64.(2)该四棱锥有两个侧面VAD ，VBC 是全等的等腰三角形且BC 边上的高为h 1＝42＋⎝ ⎛⎭⎪⎫822＝42，另两个侧面VAB ，VCD 也是全等的等腰三角形，AB 边上的高为h 2＝42＋⎝ ⎛⎭⎪⎫622＝5.因此S 侧＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×6×42＋12×8×5＝40＋24 2.。

1.3 空间几何体的表面积与体积1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积基础巩固1.(2014兰州五十五中高一期末)各棱长均为a的三棱锥的表面积为( D )(A)4a2(B)3a2(C)2a2(D)a2解析:三棱锥的表面积S=4××a2sin 60°=a2.故选D.2.(2014莱州高二期末)如图是一个几何体的三视图,其中正视图和侧视图都是一个两底长分别为2和4,腰长为4的等腰梯形,则该几何体的侧面积是( B )(A)6π(B)12π(C)18π (D)24π解析:由三视图知,该几何体是圆台,两底面半径分别为r′=1,r=2,母线l=4,则S侧=π(r+r′)l=π(1+2)×4=12π.故选B.3.(2015吕梁学院附中高二(上)月考)某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥的表面积是( B )(A)32 (B)16+16(C)48 (D)16+32解析:由题意知该几何体为四棱锥,其高为2,底面是边长为4的正方形,S侧=×4××4=16,S底=4×4=16,S表=16+16,故选B.4.(2015大同一中高二(上)月考)网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则此几何体的体积为( B )(A)6 (B)9 (C)12 (D)18解析:该几何体是三棱锥,三棱锥的高为3;底面三角形是斜边长为6,高为3的等腰直角三角形,此几何体的体积为V=××6×3×3=9,故选B.5.(2015吕梁学院附中高二(上)月考)某个几何体的三视图如图(其中正视图中的圆弧是半圆)所示,则该几何体的表面积为( C )(A)92+24π(B)82+14π(C)92+14π(D)82+24π解析:由三视图知几何体是半圆柱与长方体的组合体,下面长方体的长、宽、高分别为5、4、4;上面半圆柱的半径为2,高为5;所以几何体的表面积S=S半圆柱侧+S长方体侧+S长方体底+2S半圆柱底=π×2×5+2×(4+5)×4+4×5+π×22=92+14π,故选C.6.(2015安庆市石化一中高二(上)期中)若某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则此几何体的体积等于 cm3.解析:几何体为三棱柱去掉一个三棱锥后的几何体,底面是直角三角形,直角边长分别为3,4,侧面的高为5,被截取的棱锥的高为3.如图:V=V棱柱-V棱锥=×3×4×5-××3×4×3=24(cm3).答案:247.(2015蚌埠市五河高中高二(上)期中)圆锥的侧面展开图是圆心角为120°、半径为2的扇形,则圆锥的表面积是.解析:因为圆锥的侧面展开图是圆心角为120°、半径为2的扇形,所以圆锥的侧面积等于扇形的面积==π,设圆锥的底面圆的半径为r,因为扇形的弧长为×2=π,所以2πr=π,所以r=,所以底面圆的面积为π.所以圆锥的表面积为π,答案:π能力提升8.(2015山西山大附中高二(上)期中)在三棱锥P ABC中,三条侧棱两两互相垂直,侧棱长为a,则点P到平面ABC的距离为( C )(A)a (B) a (C) a (D) a解析:设点P到平面ABC的距离为h,因为三条侧棱两两垂直,且侧棱长为a,所以AB=BC=AC=a,所以S△ABC=a2,根据=,可得××a3=×a2×h,所以h=a,即点P到平面ABC的距离为a,故选C.9.(2015山西忻州高二期中联考)如图,已知三棱柱ABC A 1B1C1,点P、Q分别在棱AA1和CC1上,AP=C1Q,则平面BPQ把三棱柱分成两部分的体积比为( A )(A)2∶1 (B)3∶1(C)3∶2 (D)4∶3解析:设三棱柱ABC A 1B1C1的体积为V,连接BA1,BC1,因为点P、Q分别在棱AA1和CC1上,AP=C1Q,所以四棱锥B APQC,B C 1QPA1的底面积相等.把三棱柱ABC A 1B1C1分割为B APQC,B C1QPA1,B B1A1C1,三棱锥B B 1A1C1的体积为V,所以四棱锥B APQC,B C 1QPA1的体积之和为V-V=,因为四棱锥B APQC,B C 1QPA1的底面积、高相等.所以四棱锥B APQC,B C 1QPA1的体积相等,即为V,所以棱锥B APQC,B C 1QPA1,B B1A1C1的体积相等,为V,所以平面BPQ把三棱柱分成两部分的体积比为2∶1,故选A.10.(2015吕梁学院附中高二(上)月考)有一块扇形铁皮OAB,∠AOB=60°,OA=72 cm,要剪下来一个扇环形ABCD,做圆台形容器的侧面,并在余下的扇形OCD内剪下一块与其相切的圆形使它恰好作圆台形容器的下底面(大底面),试求:(1)AD应取多长?(2)容器的容积是多少?解:(1)如图,设圆台上、下底面半径分别为r、R,AD=x,则OD=72-x,由题意得解得R=12,r=6,x=36,所以AD=36 cm.(2)圆台所在圆锥的高H==12,圆台的高h==6,所以V容=(πr2+πrR+πR2)h=504π cm3.探究创新11.(2014连云港高一期末)如图,正方体ABCD A 1B1C1D1的棱长为2,P是BC的中点,点Q是棱CC1上的动点.(1)点Q在何位置时,直线D1Q,DC,AP交于一点,并说明理由;(2)求三棱锥B 1DBQ的体积;(3)若点Q是棱CC1的中点时,记过点A,P,Q三点的平面截正方体所得截面面积为S,求S. 解:(1)当Q是棱CC1的中点时,直线D1Q,DC,AP交于一点,理由:延长D1Q、DC交于点O,则QC为△DD1O的中位线,所以C为DO的中点,延长AP、DC交于点O′,则PC为△ADO′的中位线,所以C为DO′的中点,所以点O与点O′重合,所以直线D1Q、DC、AP交于一点.(2)==×（×2×2）×2=.(3)连接AD1、PQ,由(1)知,AD1∥PQ,所以梯形APQD1为所求截面,梯形APQD1的高为=,S=(+2)×=.。

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1。

3。

1 柱体、锥体、台体的表面积与体积目标定位1。

了解表面与展开图的关系.2。

了解柱、锥、台体的表面积和体积计算公式;能运用柱、锥、台的表面积和体积公式进行计算和解决有关实际问题。

自主预习1.多面体的表面积多面体的表面积就是各个面的面积的和，也就是展开图的面积。

2。

旋转体的表面积名称图形公式圆柱底面积：S底＝2πr2侧面积:S侧＝2πrl表面积：S＝2πrl＋2πr2圆锥底面积:S底＝πr2侧面积：S侧＝πrl表面积：S＝πrl＋πr2圆台上底面面积:S上底＝πr′2下底面面积：S下底＝πr2侧面积：S侧＝πl(r＋r′)表面积：S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)3.(1)柱体：柱体的底面面积为S,高为h，则V＝Sh。

(2）锥体：锥体的底面面积为S,高为h,则V＝错误!Sh。

（3)台体:台体的上、下底面面积分别为S′、S，高为h，则V＝13(S′＋错误!＋S）h。

即时自测1。

判断题(1)直棱柱的侧面展开图是矩形，一边是棱柱的侧棱,另一边等于棱柱的底面周长。

(√)（2)圆锥的侧面展开图是一个等腰三角形。

高中数学第一章空间几何体1.3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积课时作业新人教A版必修2选题明细表知识点、方法题号求几何体的侧面积与表面积1,7求几何体的体积2,3,8,10组合体的表面积与体积5,12,13综合问题4,6,9,11基础巩固1.(2018·兰州高一期末)已知圆锥的底面半径长为2,母线长为3,则该圆锥的侧面积为( A )(A)6π(B)16π(C)12π(D)4π解析:圆锥的底面半径为r=2,母线为l=3,则该圆锥的侧面积为S侧=πrl=π×2×3=6π.故选A.2.如图是一个几何体的三视图,其中正视图是腰长为2的等腰三角形,俯视图是半径为1的半圆,则该几何体的体积是( B )(A)π(B)π(C)π (D)π解析:由三视图,可知给定的几何体是一个圆锥的一半,故所求的体积为××π×12×=π.故选B.3.如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,则三棱锥D1-ACD的体积是( A )(A)(B)(C)(D)1解析:三棱锥D1-ADC的体积V=S△ADC×D1D=××AD×DC×D1D=×× 1×1×1=.故选A.4.圆台的体积为7π,上、下底面的半径分别为1和2,则圆台的高为( A )(A)3 (B)4 (C)5 (D)6解析:由题意,V=(π+2π+4π)h=7π,所以h=3.故选A.5.已知等腰直角三角形的直角边的长为1,将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的表面积为( A )(A)π(B)π(C)π(D)π解析:由题知该几何体为两个倒立的圆锥底对底组合在一起,其中母线长L为1,半径R=,所以S=π××1×2=π.故选A.6.(2018·山西山大附中高二上期中)在三棱锥P ABC中,三条侧棱两两互相垂直,侧棱长为a,则点P到平面ABC的距离为( C )(A)a (B) a(C) a (D) a解析:设点P到平面ABC的距离为h,因为三条侧棱两两垂直,且侧棱长为a,所以AB=BC=AC=a,所以S△ABC=a2,根据=,可得××a3=×a2×h,所以h=a,即点P到平面ABC的距离为a,故选C.7.(2018·江苏南通高一期末)已知一个圆锥底面半径为1,体积为,则该圆锥的侧面积为.解析:由V=πR2h=,R=1得h=2,所以母线长L==,所以S=πRL=π××1=π.答案:π8.一个正三棱柱的三视图如图所示(单位:cm),求这个正三棱柱的表面积与体积.解:由三视图知直观图如图所示,则高AA′=2 cm,底面高B′D′=2 cm,所以底面边长A′B′=2×=4(cm).一个底面的面积为×2×4=4(cm2).所以表面积S=2×4+4×2×3=24+8(cm2),V=4×2=8(cm3).所以表面积为(24+8)cm2,体积为8 cm3.能力提升9.已知高为3的棱柱ABC-A1B1C1的底面是边长为1的正三角形,如图,则三棱锥B AB1C的体积为( D )(A)(B)(C)(D)解析:==S△ABC×h=××3=.故选D.10.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,过A1,C1,B三点的平面截去长方体的一个角后,得到如图所示的几何体ABCD-A1C1D1,且这个几何体的体积为10,则AA1= .解析:由题意知=-=2×2·AA1-××2× 2·AA1=AA1=10,所以AA1=3.答案:311.(2018·贵阳市高一期末)《九章算术》中,将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”,将底面为矩形,一棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”,已知某“堑堵”与某“阳马”组合而成的几何体的三视图如图所示,已知该几何体的体积为,则图中x= .解析:如图所示,由已知中的三视图可得:该几何体是一个四棱锥与三棱柱的组合体,其直观图如图所示:所以该几何体的体积为=1××1·x+×12·x,解得x=.答案:12.如图在底面半径为2,母线长为4的圆锥中内接一个高为的圆柱,求圆柱的表面积.解:设圆锥的底面半径为R,圆柱的底面半径为r,表面积为S.则R=OC=2,AC=4,AO==2.如图所示易知△AEB∽△AOC,所以=,即=,所以r=1,S底=2πr2=2π,S侧=2πr·h=2π.所以S=S底+S侧=2π+2π=(2+2)π.探究创新13.一个圆锥的底面半径为2 cm,高为6 cm,在其内部有一个高为x cm的内接圆柱.(1)求圆锥的侧面积;(2)当x为何值时,圆柱的侧面积最大?并求出侧面积的最大值.解:(1)圆锥的母线长为=2(cm),所以圆锥的侧面积S1=π×2×2=4π(cm2).(2)画出圆锥的轴截面如图所示:设圆柱的底面半径为r cm,由题意,知=,所以r=,所以圆柱的侧面积S2=2πrx=(-x2+6x)=-[(x-3)2-9], 所以当x=3时,圆柱的侧面积取得最大值,且最大值为6π cm2.。

福建省莆田市高中数学第一章空间几何体1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积和体积1.3.2 球的体积和表面积练习（无答案）新人教A版必修2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（福建省莆田市高中数学第一章空间几何体1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积和体积1.3.2 球的体积和表面积练习（无答案）新人教A版必修2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为福建省莆田市高中数学第一章空间几何体1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积和体积1.3.2 球的体积和表面积练习（无答案）新人教A版必修2的全部内容。

6 51。

3.1柱体、锥体、台体的表面积和体积一、选择题：1。

如图有一个几何体的三视图及其尺寸如下（单位cm ），则该几何体的表面积和体积为（ ）。

正视图 侧视图 俯视图A ．224cm π，312cm πB ．215cm π,312cm πC ．224cm π，336cm πD ．以上都不正确2.如图所示,在三棱柱的侧棱A 1A 和B 1B 上各有一动点P ，Q ，且满足A 1P=BQ ，过P 、Q 、C 三点的截面把棱柱分成两部分,则其体积之比为（ )A ．3∶1B ．2∶1C ．4∶1D ．3∶13。

中心角为135°的扇形，其面积为B ，其围成的圆锥的全面积为A ，则A ∶B 为( ）。

A ．11∶8B ．3∶8C ．8∶3D ．13∶8二、填空题：4.已知一个长方形的长和宽分别为2cm 和4cm ，绕其一边所在的直线旋转一周所成的几何体的表面积是_________．5。

已知正三棱锥的侧面积为1832，高为3cm 。