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则 Y CB B 1 为对偶问题
Min s.t
CB
W Yb YA C Y 0 Z XB XB b B-1b CBB-1b
0 XS B-1 -CBB-1
XB I 0
CN-CBB-1N
Min W = 30y1+ 60y2 + 24y3 例1 Max Z=40X1+ 50X2 X1+2X2 30 y1 y1+3y2 + 0y3 40 3X1+2X2 60 y2 s.t 2y1+2y2 + 2y3 50 s.t y3 2X2 24 y1 , y2 , y3 0 X1 , X2 0 Max W’ = -30y1- 60y2 24y3 y1+3y2 + 0y3 – y4 = 40 2y1+2y2 + 2y3 – y5 = 50 s.t y1 , y2 , y3 , y4 , y5 0
根据原则2 ，对方能够接受的价格显然是越低越好，因此 此问题可归结为以下数学模型：
目标函数 Min W = 30y1 + 60 y2 + 24y3 y1 + 3y2 约束条件 s.t y1 , y2 , y3 0 原线性规划问题称为原问题，此问题为对偶问题， y1 , y2 , y3 称为影子价格
Max s.t
Z 5 x1 6 x2 3 x1 2 x2 7 3 x 2 x 7 1 2 4 x1 x2 9 x1 , x2 0
上式已为对称型对偶问题，故可写出它的对偶规划
Min s.t
7 y1 9 y2 Z 7 y1 3 y1 4 y2 5 3 y1 2 y1 y2 6 2 y1 y, y, y 0 1 1 2
所以Y*是对偶问题的可行解， 1 W Y b C B b B 对偶问题的目标函数值为 X*是原问题的最优解，原 问题的目标函数值为
Z CX CB B 1 b
Z W
推论： 若一对对偶问题中的任意一个有最优解，则另一个 也有最优解，且目标函数最优值相等。
一对对偶问题的关系，有且仅有下列三种：
CX YAX Yb
所以原问题的目标函数值有上界，即可找到有限 最优解；对偶问题有下界，也存在有限最优解。
(2) 当X*为原问题的一个最优解，B为相应的最优基,通 过引入松弛变量Xs,将问题(P)转化为标准型
C 0 CB B A I C CB B 1 A CB B
Z CX AX X s b X , X s 0
对偶问题 Min W Yb YA Ys c s.t Y , Ys 0
AX X s b
X s b AX
YA Ys C Ys YA C YAX Ys X CX
4.1 对偶问题
(1) 对偶问题的提出
例1、生产组织与计划问题 A 煤 劳动力 仓库 单位利润 1 3 0 40 B 2 2 2 50 可用资源 30 60 24
A, B各生产多少, 可获最大利润?
目标函数
Max Z= 40x1 +50x2 x1 + 2x2 30 3x1 + 2x2 60 2x2 24 x1，x2 0
定理2 (弱对偶定理)
yb X ， 分别为 (P), (D) 的可行解，则有 C X y
证明：由A X b, y 0
有 yA X y b
由 yA C, X 0 有 y A X C X
所以 C X y A X yb
推论1、(P), (D)都有可行解，则必都有最优解。 推论2、(P)有可行解, 但无有限最优解，则(D)无可 行解。 定理3、 X , y 分别为(P), (D)的可行解，且 C X = y b , 则它们是(P), (D) 的最优解。
则上式化为
令
y1 y1 y1
Min s.t
Z 7 y1 9 y2 3 y1 4 y2 5 2 y1 y2 6 y 无限制, y 0 2 1
Max s.t
Z 5 x1 6 x2 3 x1 2 x2 7 4 x1 x2 9 x , x 0 1 2
约束条件
s.t
如果因为某种原因，不愿意自己生产，而希望通 过将现有资源承接对外加工来获得收益，那么应 如何确定各资源的使用价格？
两个原则 1. 所得不得低于生产 的获利 2. 要使对方能够接受
目标函数
Max Z= 40x1 +50x2
x1 + 2x2 30 y1
约束条件 s.t 3x1 + 2x2 60 2x2 24 y2 y3
解：由原问题的结构可知为对称型对偶问题
Min s.t
例3：求线性规划问 题的对偶规划
Max s.t
Z 5 x1 6 x2 3 x1 2 x2 7 4 x1 x2 9 x , x 0 1 2
解：由原问题的结构可知不是对称型对偶问题， 可先化为对称型，再求其对偶规划。
40
2y1 + 2 y2 + 2y3 50
(2) 对偶问题的形式
定义 设原线性规划问题为
Max Z c1 x1 c2 x2 cn xn a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a21 x1 a22 x2 a2 n xn b2 a x a x a x b mn n m m1 1 m 2 2 x j 0 j 1,2, , n
1. 都有最优解，且目标函数最优值相等；
2. 两个都无可行解；
3. 一个问题无界，则另一问题无可行解。
定理5 若 X , Y分别为(P) ,
(D)的可行解，则X , Y为 最优解的充要条件是 证: (必要性） 原问题
Y b AX 0 YA C X 0
同时
成立
Max s.t
＝
对偶问题变量类型
的对应关系
约束
＝
0 变量 0
无限制
4.2 对偶问题的基本性质
定理1 对偶问题的对偶就是原问题
Max Z=CX s.t. AX ≤b X ≥0 对偶的定义
Min W=Yb s.t. YA ≥C Y≥0
Min Z’=-CX s.t. -AX≥-b X ≥0
Max W’=-Yb s.t. -YA≤-C Y≥0 对偶的定义
s.t
s.t
为其对偶问题，其中yi (i=1,2,…,m) 称为对偶变量。 上述对偶问题称为对称型对偶问题。 原问题简记为(P)，对偶问题简记为(D)
原始问题 Max Z=CX s.t. AX≤b X ≥0
Max C
对偶问题 Min W=Yb s.t. YAT≥C Y ≥0
Min
bT
AT m ≥ CT
m
A n
≤ b
n
例2：求线性规划问 题的对偶规划
Max s.t
Z 5 x1 6 x2 3 x1 2 x2 7 4 x1 x2 9 x , x 0 1 2 W 7 y1 9 y2 3 y1 4 y2 5 2 y1 y2 6 y , y 0 1 2
Max s.t
Z 5 x1 6 x2 3 x1 2 x2 7 4 x1 x2 9 x , x 0 1 2
Min s.t
W 7 y1 9 y2 3 y1 4 y2 5 2 y1 y2 6 y , y 0 1 2
设三种资源的使用单价分别为 y1 , y2 , y3
y1 +3 y2 40
x1，x2 0
生产单位产品A的资源消耗所得不少于单位产品A的获利
生产单位产品B的资源消耗所得不少于单位产品B的获利 2y1 + 2 y2 + 2y3 50
通过使用所有资源对外加工所获得的收益
W = 30y1 + 60 y2 + 24y3
YAX YX s Yb
YX s Ys X 0
原始问题和对偶问题变量、松弛变量的维数
Max Z=CX s.t. AX+XS=b X, XS ≥0
n m XS
X
m Y
A
YS
I
= b
Min W=Yb s.t. ATY-YS=C W, WS ≥0
XTYS=0 YTXS=0
n
AT
m
-I
n
= C
原始问题的变量
原始问题的松弛变量
x1
xj
xn
xn+1 xn+i xn+m
y1
yi ym
ym+1
ym+j
yn+m
对偶问题的变量
对偶问题的松弛变量
xjym+j=0
yixn+i=0
(i=1,2,…,m; j=1,2,…,n)
在一对变量中，其中一个大于0，另一个一定等于0
4.3 对偶问题的解
Max Z CX 0 X s * 为原问 X * ˆ 题的一 设原问题为 AX IX s b 令 X X s.t s 最优解 X , X 0 s
证明：对任X，有CX y b =CX
X最优
定理4(主对偶定理) 若一对对偶问题(P)和(D)都有可行解，则它们都 有最优解，且目标函数的最优值必相等。
证明： (1) 当X*和Y*为原问题和对偶问题的一个可行解 有
AX b YAX Yb
YA C
YAX CX
对偶问题目标函数值
原问题目标函数值
Max W’ = -30y1- 60y2 - 24y3 +0(y4 + y5 )-M (y6 + y7 ) s.t y1+3y2 + 0y3 – y4 + y6 = 40 2y1+2y2 + 2y3 – y5 + y7 = 50 y1 , y2 , y3 , y4 , y5 0
