空间中的夹角与距离-高考数学知识点总结-高考数学真题复习(word文档物超所值)

高三数学空间角与空间距离的计算通用版【本讲主要内容】空间角与空间距离的计算 空间直线与直线、直线与平面、平面与平面所成角的大小，直线与直线、直线与平面、平面与平面间的距离的求解【知识掌握】 【知识点精析】空间的角和距离是空间图形中最基本的数量关系，空间的角主要研究射影以及与射影有关的定理、空间两直线所成的角、直线和平面所成的角、以及二面角和二面角的平面角等．解这类问题的基本思路是把空间问题转化为平面问题去解决． 1. 空间的角的概念及计算方法（1）空间角概念——空间的角，是对由点、直线、平面所组成的空间图形中各种元素间的位置关系进行定量分析的一个重要概念，由它们的定义，可得其取值X 围，如①两异面直线所成的角θ∈（0，2π） ②直线与平面所成的角θ∈[0，2π] ③二面角的大小，可用它们的平面角来度量，其平面角θ∈（0，π）．说明：对于空间角的计算，总是通过一定的手段将其转化为一个平面内的角，并把它置于一个平面图形，而且是一个三角形的内角来解决，而这种转化就是利用直线与平面的平行与垂直来实现的，因此求这些角的过程也是直线、平面的平行与垂直的重要应用．通过空间角的计算和应用进一步提高运算能力、逻辑推理能力及空间想象能力．（2）空间的角的计算方法①求异面直线所成的角常用平移法（转化为相交直线）；②求直线与平面所成的角常利用射影转化为相交直线所成的角； ③求二面角α－l －β的平面角（记作θ）通常有以下几种方法： （ⅰ）根据定义； （ⅱ）过棱l 上任一点O 作棱l 的垂面γ，设γ∩α＝OA ，γ∩β＝OB ，则∠AOB ＝θ（图1）；（ⅲ）利用三垂线定理或逆定理，过一个半平面α内一点A ，分别作另一个平面β的垂线AB （垂足为B ），或棱l 的垂线AC （垂足为C ），连结AC ，则∠ACB ＝θ或∠ACB ＝π－θ（图2）；（ⅳ）设A 为平面α外任一点，AB ⊥α，垂足为B ，AC ⊥β，垂足为C ，则∠BAC ＝θ或∠BAC ＝π－θ（图3）；（ⅴ）利用面积射影定理，设平面α内的平面图形F 的面积为S ，F 在平面β内的射影图形的面积为S ‘，则cos θ＝SS '．2. 空间的距离问题 （1）空间各种距离是对点、线、面组成的空间图形位置关系进行定量分析的重要概念．空间距离是指两点间距离、点线距离、点面距离、线线距离、线面距离以及面面距离等，距离都要转化为两点间距离即线段长来计算，在实际题型中，这六种距离的重点和难点是求点到平面的距离，因线线距离、线面距离和面面距离除用定义能直接计算出结果的外，都要转化为求点到平面的距离进行计算．（2）空间的距离问题主要是：求空间两点之间、点到直线、点到平面、两条异面直线之间（限于给出公垂线段的）、平面和它的平行直线、以及两个平行平面之间的距离．（3）求距离的一般方法和步骤是： 一作——作出表示距离的线段；二证——证明它就是所要求的距离；三算——计算其值． 此外，我们还常用体积法或向量法求点到平面的距离．【解题方法指导】例1. 三棱锥P-ABC 中，∠ABC ＝90，PA ＝1，AB ＝3，AC ＝2，PA ⊥平面ABC.（1）求直线AB 与直线PC 所成的角； （2）求PC 和面ABC 所成的角； （3）求二面角A-PC-B 的大小．PA BC解：（1）作矩形ABCD.∴AB 和PC 所成角即为CD 和PC 所成角，且CD ⊥PD ．CD ＝3，AD ＝1，PD ＝2，tanPCD ＝3632=.故AB 和PC 所成角为arctan 36（2）∵PA ⊥面ABC ，PC 和面ABC 所成角即为∠ACP ，求得tanACP ＝21， ∴∠ACP ＝arctan21 （3）∵PA ⊥面ABC ，∴面PAC ⊥面ABC ，过B 作BG ⊥AC 于G ，则BG ⊥面PAC.过G 作GH ⊥PC 于H ，连接BH ，则BH ⊥PC ． ∴∠BHG 为二面角A-PC-B 的平面角． 在Rt △ABC 与Rt △PBC 中，PB ＝2，BC ＝1，AC ＝2，AB ＝3∴PC ＝5∴BH ＝52，BG ＝23． ∴sinBHG ＝4155223==BH BG ∴∠BHG ＝arcsin 45．故二面角A-PC-B 的大小为arcsin 45．例2. 在正三棱柱111C B A ABC -中，各棱长都等于a ，D 、E 分别是1AC 、1BB 的中点， （1）求证：DE 是异面直线1AC 与1BB 的公垂线段，并求其长度；（2）求二面角C AC E --1的大小； （3）求点1C 到平面AEC 的距离．解：（1）取AC 中点F ，连接DF ．∵ D 是1AC 的中点，F∴DF ∥1CC ，且121CC DF =．又11//CC BB ，E 是1BB 的中点， ∴DF ∥BE ，DF ＝BE ，∴四边形BEDF 是平行四边形， ∴DE ∥BF ，DE ＝BF ．∵1BB ⊥面ABC ，⊂BF 面ABC ，∴1BB ⊥BF ．又∵F 是AC 的中点，△ABC 是正三角形，∴BF ⊥AC ，a BF 23=． ∵1BB ⊥BF ，1BB ∥1CC ，∴BF ⊥1CC ，∴BF ⊥面11A ACC ， 又∵⊂1AC 面11A ACC ，∴BF ⊥1AC ， ∵DE ∥BF ，∴DE ⊥1AC ，DE ⊥1BB ，∴DE 是异面直线1AC 与1BB 的公垂线段，且a DE 23=． （2）∵11//CC BB ，DE ⊥1BB ， ∴DE ⊥1CC ， 又∵为DE ⊥1AC ，∴DE ⊥面11A ACC ． 又⊂DE 面1AEC ，∴面1AEC ⊥面1ACC ， ∴二面角C AC E --1的大小为90°．（3）连接CE ，则三棱锥1CEC A -的底面面积为221a S CEC =∆，高a h 23=．所以32123232311a a a V CEC A ==⋅⋅-．在三棱锥AEC C -1中，底面△AEC 中，a CE AE 25==，则其高为a ，所以22a S AEC =∆．设点1C 到平面AEC 的距离为d ，由AEC C CEC A V V --=11得32123231a a d =⋅， 所以a d 23=，即点1C 到平面AEC 的距离为a 23【考点突破】【考点指要】空间角是立体几何中的一个重要概念．它是空间图形中的一个突出的量化指标，是空间图形位置关系的具体体现，故它以高频率的姿态出现在历届高考试题中，可以在填空题或选择题中出现，更多的在解答题中出现．空间中各种距离都是高考中的重点内容，可以和多种知识相结合，是诸多知识的交汇点，考查题型多以选择题、填空题为主，有时渗透于解答题中，所以复习时应引起重视．【典型例题分析】例1. （2003全国卷文）如图，已知正四棱柱2,1,11111==-AA AB D C B A ABCD ，点E 为1CC 中点，点F 为1BD 中点．（1）证明EF 为BD 1与CC 1的公垂线；（2）求点1D 到平面BDE 的距离．解法1：（1）连结AC 交BD 于点O ，则点O 为BD 中点，连OF ，则可证OCEF 为矩形， 故EF ⊥CC 1 ，EF ∥AC ．又可证AC ⊥平面BD 1 ∴AC ⊥BD 1，∴EF ⊥BD 1， 故 EF 为BD 1与CC 1的公垂线．O（2）连结D 1E ，则有三棱锥D1-DBE 的高d 即为点1D 到平面BDE 的距离． 由已知可证三角形DBE 为边长为2的正三角形，故2331311⋅⋅=⋅⋅=∆-d S d V DBE DBE D ； 又31311111=⋅===∆---DBD DBD C DBD E DBE D S CO V V V∴3123=d ∴332=d ， 即1D 到平面BDE 的距离为332解法2：解（1）以D 为原点，建立如图所示的直角坐标系，则 )0,0,0(D ，)2,0,0(1D)0,1,1(B ，)0,1,0(C ，)2,1,0(1C ，)1,1,0(E ，)1,21,21(F ，∴)0,21,21(-=EF ，)2,1,1(1--=BD ，)2,0,0(1=CC∴01=⋅BD EF ，01=⋅CC EF ；∴1BD EF ⊥，1BD EF ⊥ 又EF 与CC 1、BD 1分别交于E 、F ，故EF 为BD 1与CC 1的公垂线. （2）由（1）)0,1,1(--=BD ，)1,0,1(-=BE ，)2,1,1(1--BD ， 设 平面BDE 的法向量为 ),,(z y x n =，则BD n ⊥，BE n ⊥，∴⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00BE n BD n ， ∴⎩⎨⎧=+-=--00z x y x ， 即 ⎩⎨⎧=-=z x y x ，∴ 不妨设 )1,1,1(-=n ，则点1D 到平面BDE 的距离为33232||1===n n BD d ， 即为所求．例2. （2006全国卷Ⅲ文20）如图，12l l ，是互相垂直的异面直线，MN 是它们的公垂线段．点A B ，在1l 上，C 在2l 上，AM MB MN ==．（Ⅰ）证明AC NB ⊥；（Ⅱ）若60ACB ∠=，求NB 与平面ABC 所成角的余弦值．Ｃ1l2解法一：（Ⅰ）由已知221l MN l l ⊥⊥，，1MNl M =，可得2l ⊥平面ABN ．由已知1MN l AM MB MN ⊥==，，可知AN NB =且AN NB ⊥． 又AN 为AC 在平面ABN 内的射影， AC NB ∴⊥．（Ⅱ）Rt Rt CNA CNB △≌△，AC BC ∴=，又已知60ACB ∠=︒，因此ABC △为正三角形． Rt Rt ANB CNB △≌△，NC NA NB ∴==，因此N 在平面ABC 内的射影H 是正三角形ABC 的中心， 连结BH ，NBH ∠为NB 与平面ABC 所成的角．在Rt NHB △中，cos 3ABHB NBH NB ∠===．N1l l解法二：如图，建立空间直角坐标系M xyz -．1l令1MN =，则有(100)(100)(010)A B N -，，，，，，，，．（Ⅰ）MN 是12l l ，的公垂线，21l l ⊥， 2l ∴⊥平面ABN ．2l ∴平行于z 轴．故可设(01)C m ，，．于是(11)(110)AC m NB ==-，，，，，， ∵0011=+-=⋅NB AC AC NB ∴⊥． （Ⅱ）(11)AC m =，，，(11)BC m =-，，，AC BC ∴=．又已知60ACB ∠=︒，ABC ∴△为正三角形，2AC BC AB ===． 在Rt CNB △中，NB =NC =(0C ． 连结MC ，作NH MC ⊥于H ，设(0)(0)H λλ>，．(012)(01HN MC λλ∴=--=，，，，，．∵021=--=⋅λλMC HN ，∴31=λ1033H ⎛⎫∴ ⎪ ⎪⎝⎭，，，可得2033HN ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，，， 连结BH ，则1133BH ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，，，∵092920=-+=⋅BH HN ，HN BH ∴⊥，又MC BH H =， HN ∴⊥平面ABC ，NBH ∠为NB 与平面ABC 所成的角．又(110)BN =-，，， ∴3623234cos =⨯=⋅=∠BN BH BN BH NBH【综合测试】一、选择题1、已知AB 是异面直线a 、b 的公垂线段，AB ＝2，a 与b 成30°，在直线a 上取AP ＝4，则点P 到直线b 的距离是（ ）A 、22B 、25C 、142D 、5 2、将锐角为60°，边长为a 的菱形ABCD 沿较短的对角线BD 折成60°的二面角，则AC 与BD 的距离为（ ）A 、a 43B 、a 43C 、a 23 D 、64a 3、正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，M 是DD 1的中点，O 为正方形A 1B 1C 1D 1的中心，P 是棱AB 上的垂足，则直线A 1M 与OP 所成的角（ ）．A 、30oB 、45oC 、60oD 、90o 4、二面角α-AB-β大小为θ（0°≤θ≤90°），AC ⊂α，∠CAB ＝45o ，AC 与平面β所成角为30o ，则θ角等于（ ）．A 、30oB 、45oC 、60oD 、90o 5、（2005某某卷文4）如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E 是A 1B 1的中点，则E 到平面AB C 1D 1的距离为（ ）A 、23 B 、22C 、21 D 、336、已知直线a 及平面α，a 与α间的距离为d ．a 在平面α内的射影为a '，l 为平面α内与a '相交的任一直线，则a 与l 间的距离的取值X 围为（ ）A 、[),d +∞B 、(),d +∞C 、(]0,dD 、{}d二、填空题 7、（2005某某卷理12）如图，PA ⊥平面ABC ，∠ACB ＝90°且PA ＝AC ＝BC ＝a ，则异面直线PB 与AC 所成角的正切值等于____________．8、已知∠60o ，则以OC三、解答题：9. C 点到AB 1ABC DA 1E B 1C10.（2006理17）如图，在底面为平行四边形的四棱锥P ABCD -中，AB AC ⊥，PA ⊥平面ABCD ，且PA AB =，点E 是PD 的中点．（Ⅰ）求证：AC PB ⊥；（Ⅱ）求证：PB ∥平面AEC ； （Ⅲ）求二面角E AC B --的大小．B[参考答案]一、选择题1. 选A 提示：过P 做直线b 的垂线2. 选A 提示：用异面直线距离公式求解3. 选D 提示：过A 1做OP 的平行线4. 选B 提示：过C 做平面β的垂线5. 选B. 提示：转化为求B 1到平面AB C 1D 1的距离6. 选D 提示：转化为a 与α间的距离 二、填空题7.2. 提示：将三角形ABC 补成正方形ACBD. 8. 33- 提示：利用直线与直线所成角的大小求出边长，再求二面角平面角的大小三、解答题：9. 解：由CD ⊥平面A 1B 1BA ∴CD ⊥DE ∵AB 1⊥平面CDE ∴DE ⊥AB 1，∴DE 是异面直线AB 1与CD 的公垂线段∵CE ＝23，AC ＝1 ，∴CD ＝.22∴21)()(22=-=CD CE DEABC DA 1E B 1C 110. 解法一：（Ⅰ）（Ⅱ）（略 解见第45讲【达标测试】第9题）（Ⅲ）过O 作FG AB ∥，交AD 于F ，交BC 于G ，则F 为AD 的中点．CDAB AC ⊥，OG AC ∴⊥． 又由（Ⅰ），（Ⅱ）知，AC PB EO PB ，⊥∥，AC EO ∴⊥． EOG ∴∠是二面角E AC B --的平面角．连接EF ，在EFO △中，1122EF PA FO AB ==，，word11 / 11 又PA AB EF FO =，⊥，45135EOF EOG ∴∠=∠=，，∴二面角E AC B --的大小为135．解法二：（Ⅰ）建立空间直角坐标系A xyz -，如图．y 设AC a PA b ==，，则有(000)(00)(00)(00)A B b C a P b ，，，，，，，，，，，，(00)(0)AC a PB b b ∴==-，，，，，，从而0=⋅PB AC ，AC PB ∴⊥．（Ⅱ）连接BD ，与AC 相交于O ，连接EO ．由已知得(0)D a b -，，，002222ab b a E O ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，，， 022b b EO ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭，，，又(0)PB b b =-，，， 2PB EO ∴=，PB EO ∴∥，又PB ⊄平面AEC EO ，⊂平面AEC ， PB ∴∥平面AEC ．（Ⅲ）取BC 中点G ．连接OG ，则点G 的坐标为000222a b b OG ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，，， 又0(00)22b b OE AC a ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，，，，，，00=⋅=⋅∴AC OG AC OE ，．OE AC OG AC ∴，⊥⊥．EOG ∴∠是二面角E AC B --的平面角．22cos -=⋅<OGOE OG OE ．135EOG ∴∠=． ∴二面角E AC B --的大小为135．。

§8.6 空间中的夹角与距离2014高考会这样考 1.考查异面直线所成的角，直线与平面所成的角、二面角的概念及求法；2.考查点到平面的距离的概念及求法． 复习备考要这样做 1.掌握异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的概念；能在图形中找到或作出所求的角，并能选择正确的方法进行计算；2.理解点到平面距离的意义，能作出点到平面的垂线段，或能用转化法求点到平面的距离．1． 异面直线所成的角(1)定义：已知两条异面直线a 、b ，经过空间任意一点O ，作a ′∥a ，b ′∥b ，我们把a ′与b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a 与b 所成的角(或夹角)．(2)范围：⎝⎛⎦⎤0，π2. 2． 斜线和平面所成的角(1)定义：斜线和平面所成的角是斜线和它在平面内的射影所成的角．当直线和平面平行时，称直线和平面成0°角．当直线和平面垂直时，称直线和平面成90°角．(2)范围：⎝⎛⎭⎫0，π2. 3． 二面角(1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面．(2)二面角的平面角 以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．(3)范围：[0，π]．4．点到平面的距离平面外一点P在该平面上的射影为P′，则线段PP′的长度就是点到平面的距离．[难点正本疑点清源]1．解(证)与角有关的问题，通常是先“定位”，后“定量”．空间各种角的度量都是转化为平面角来实现的，要熟练掌握各类角转化为平面角的方法．求角的一般步骤：(1)找出或作出有关的平面角；(2)证明它符合定义；(3)化归到某一个三角形中进行计算．2．空间两图形之间的距离最终都转化为两点之间的距离，通过解三角形或特殊图形得到解决．关于距离问题的解法体现了数学的等价转化和数形结合思想：点到平面之间距离转化为点和垂足之间距离或者转化为以该点为顶点的三棱锥的高．解决立体几何距离问题，不仅在于怎样计算，更重要的是为什么这样算，因此，从正确作图，归纳推理到熟练计算每一环节都很重要，所以，要培养提高正确作、严密证、快速算的能力．1．A、B两点相距4 cm，且A、B与平面α的距离分别为3 cm和1 cm，则AB与平面α所成的角是() A．30°B．90°C．30°或90°D．30°或90°或150°答案 C解析注意分类讨论．当A、B在平面α的两侧时，AB⊥α即AB与α所成的角为90°，当A、B在平面α的同侧时，AB与平面α所成的角为30°.2． 平面α⊥平面β，A ∈α，B ∈β，AB 与两平面α、β所成的角分别为π4和π6.过A 、B 分别作两平面交线的垂线，垂足为A ′、B ′，若AB ＝12，则A ′B ′等于( )A ．4B ．6C ．8D ．9 答案 B解析 如图所示，连接A ′B 可知∠ABA ′＝π6，则A ′B ＝AB cos π6＝63，连接AB ′可知∠BAB ′＝π4， 则BB ′＝AB sin π4＝62， 在Rt △BB ′A ′中，A ′B ′＝A ′B 2－BB ′2＝6. 3． 如图，四边形ABCD 中，AB ＝AD ＝CD ＝1，BD ＝2，BD ⊥CD .将四边形沿对角线BD折成四面体A ′—BCD ，使平面A ′BD ⊥平面BCD ，则下列结论正确的是 ( )A ．A ′C ⊥BDB ．∠BA ′C ＝90°C ．CA ′与平面A ′BD 所成的角为30°D ．四面体A ′—BCD 的体积为13答案 B解析 如图所示，取BD 的中点O ，∵A ′B ＝A ′D ，∴A ′O ⊥BD ，又平面A ′BD ⊥平面BCD ，平面A ′BD ∩平面BCD ＝BD ，∴A ′O ⊥平面BCD ，∵CD ⊥BD ，∴OC 不垂直于BD .假设A ′C ⊥BD ，∵OC 为A ′C 在平面BCD 内的射影，∴OC ⊥BD ，矛盾，∴A ′C 不垂直于BD ，A 错误；∵CD ⊥BD ，平面A ′BD ⊥平面BCD ，∴CD ⊥平面A ′BD ，A ′C 在平面A ′BD 内的射影为A ′D ，∵A ′B ＝A ′D ＝1，BD ＝2，∴A ′B ⊥A ′D ，A ′B ⊥A ′C ，B 正确；∠CA ′D 为直线CA ′与平面A ′BD 所成的角，∠CA ′D ＝45°，C 错误；V A ′—BCD ＝13S △A ′BD ·CD ＝16，D 错误． 4． 正四面体P —ABC 中，M 为棱AB 的中点，则P A 与CM 所成角的余弦值为________．答案 36解析 过点M 作MN ∥P A 交PB 于点N ，∠CMN 即为P A 与CM 所成的角，N 为PB 的中点，CM ＝CN ＝32P A ，MN ＝12P A ，在等腰三角形CMN 中，cos ∠CMN ＝36. 5． 在三棱锥A —BCD 中，AB ＝AD ＝CB ＝CD ，∠BAD ＝∠BCD ＝90°，且面ABD ⊥面CBD ，给出下列结论：①AC ⊥BD ；②△ACD 是等腰三角形；③AB 与面BCD 成60°角；④AB 与CD 成60°角．其中正确的是________．(填序号)答案①②④解析③中AB与面BCD成的角为45°.至于④，可以将三棱锥补成一个底面是正方形的四棱锥A—BCDE，易知∠ABE＝60°，即AB与CD所成的角为60°.题型一异面直线所成的角例1如图所示，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝3，BC＝AA1＝4，点O是AC的中点．(1)求证：AD1∥平面ODC1；(2)求异面直线AD1和DC1所成的角的余弦值．思维启迪：(1)在平面DOC1找AD1的平行线，可考虑连接CD1；(2)平移AD1使其与DC1相交．(1)证明如图所示，连接D1C交DC1于点O1，连接OO1.因为O、O1分别是AC和D1C的中点，所以OO1∥AD1.又OO1⊂平面DOC1，AD1⊄平面DOC1，所以AD1∥平面DOC1.(2)由OO1∥AD1，知AD1和DC1所成的角等于OO1和DC1所成的锐角或直角．在△OO1D中，由题意，可得OD＝52，O1D＝52，OO1＝2 2.由余弦定理，得cos ∠OO 1D ＝⎝⎛⎭⎫522＋(22)2－⎝⎛⎭⎫5222×52×22＝225，故AD 1和DC 1所成的角的余弦值为225. 探究提高 求异面直线所成角的方法：(1)找 利用定义转化为平面角：对于异面直线所成的角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选在特殊的位置上．(2)证 证明作出的角即为所求角．(3)求 把这个平面角置于一个三角形中，通过解三角形求空间角．(4)两异面直线所成的角归结到一个三角形的内角时，容易忽视这个三角形的内角可能等于两异面直线所成的角，也可能等于其补角．如图，已知四棱锥P —ABCD 的底面ABCD 是边长为2的正方形，PD ⊥底面ABCD ，E 为棱BC 的中点．若PD ＝1，求异面直线PB 和DE 所成角的余弦值．解 取AD 的中点，连接PF 、FB .E ，F 分别为棱BC ，AD 的中点，∵ABCD 是边长为2的正方形，∴DF ∥BE ，且DF ＝BE ，∴四边形DFBE 为平行四边形，∴DE ∥BF ，∴∠PBF 是PB 与DE 所成的角．∵在△PBF 中，BF ＝5，PF ＝2，PB ＝3，∴cos ∠PBF ＝BF 2＋BP 2－PF 22BF ·BP ＝5＋9－22×5×3＝255. 即异面直线PB 和DE 所成角的余弦值为255. 题型二 直线与平面所成的角例2 如图，四棱锥P —ABCD 中，底面为直角梯形，AD ∥BC ，∠BAD＝90°，P A ⊥底面ABCD ，且P A ＝AD ＝AB ＝2BC ，M 、N 分别为PC 、PB 的中点．(1)求证：PB ⊥DM ；(2)求CD 与平面ADMN 所成角的正弦值．思维启迪：(1)要证PB ⊥DM ，只需证PB ⊥平面ADMN 即可．(2)可以作CD 在平面ADMN 的射影，也可以转化为与CD 平行的直线与平面所成的角．(1)证明 ∵P A ⊥底面ABCD ，∴P A ⊥AB ，P A ⊥AD ，∵N 是PB 的中点，且P A ＝AB ，∴AN ⊥PB .∵AD ⊥P A ，AD ⊥AB ，∴AD ⊥平面P AB ，∴AD ⊥PB ，由条件知MN ∥BC ∥AD ，∴MN 和AD 在同一个平面内，从而PB ⊥平面ADMN .又∵DM ⊂平面ADMN ，∴PB ⊥DM .(2)解 取AD 的中点G ，连接BG 、NG ，则BG ∥CD ，∴BG 和CD 与平面ADMN 所成的角相等．∵PB ⊥平面ADMN ，∴∠BGN 是BG 与平面ADMN 所成的角．设P A ＝AD ＝AB ＝2，则BG ＝5，BN ＝2，∴在Rt △BGN 中，sin ∠BGN ＝BN BG ＝105. 即CD 与平面ADMN 所成角的正弦值为105. 探究提高 (1)求线面夹角时重点是找到斜线在平面内的射影，因此重点是找到直线上一点向平面作垂线．(2)求线线角和线面角时，有时可通过平移改换要求的角，如本题将CD 平移到BG ，使问题得以巧妙解决．(3)第一问往往是为第二问设置台阶，要注意这一规律．在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，AA 1＝1，E ，H 分别是A 1B 1和BB 1的中点．(1)求证：直线EH ∥平面AD 1C ；(2)求直线B 1C 与平面AC 1D 1所成角的余弦值．(1)证明 连接A 1B ，因为E ，H 分别是A 1B 1和BB 1的中点，所以EH ∥A 1B ，又A 1B ∥CD 1，所以EH ∥CD 1，又CD 1⊂平面AD 1C 且EH ⊄平面AD 1C ，所以EH ∥平面AD 1C .(2)连接A 1D 交AD 1于O 点，过D 点作DM ⊥AD 1于M 点，因为B 1C ∥A 1D ，所以直线B 1C 与平面AC 1D 1所成的角等于A 1D 与平面AC 1D 1所成的角， 易证DM ⊥平面AC 1D 1，所以∠DOM 就是A 1D 与平面AC 1D 1所成的角，在Rt △DOM 中易求cos ∠DOM ＝35. 题型三 二面角例3 如图，在四棱锥P —ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，AC ⊥CD ，∠ABC＝60°，P A＝AB＝BC，E是PC的中点．(1)求PB和平面P AD所成的角的大小；(2)证明AE⊥平面PCD；(3)求二面角A—PD—C的正弦值．思维启迪：(1)先找出PB和平面P AD所成的角，线面角的定义要能灵活运用；(2)可以利用线面垂直根据二面角的定义作角．(1)解在四棱锥P—ABCD中，因P A⊥底面ABCD，AB⊂平面ABCD，故P A⊥AB.又AB⊥AD，P A∩AD＝A，从而AB⊥平面P AD，故PB在平面P AD内的射影为P A，从而∠APB为PB和平面P AD所成的角．在Rt△P AB中，AB＝P A，故∠APB＝45°.所以PB和平面P AD所成的角的大小为45°.(2)证明在四棱锥P—ABCD中，因P A⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，故CD⊥P A.由条件CD⊥AC，P A∩AC＝A，∴CD⊥平面P AC.又AE⊂平面P AC，∴AE⊥CD.由P A＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝P A.∵E 是PC 的中点，∴AE ⊥PC .又PC ∩CD ＝C ，综上得AE ⊥平面PCD .(3)解 过点E 作EM ⊥PD ，垂足为M ，连接AM ，如图所示．由(2)知，AE ⊥平面PCD ，AM 在平面PCD 内的射影是EM ，则AM ⊥PD .因此∠AME 是二面角A —PD —C 的平面角．由已知，可得∠CAD ＝30°.设AC ＝a ，可得P A ＝a ，AD ＝233a ，PD ＝213a ，AE ＝22a . 在Rt △ADP 中，∵AM ⊥PD ，∴AM ·PD ＝P A ·AD ，则AM ＝P A ·AD PD ＝a ·233a 213a ＝277a . 在Rt △AEM 中，sin ∠AME ＝AE AM ＝144. 所以二面角A —PD —C 的正弦值为144. 探究提高 作二面角的平面角可以通过垂线法进行，在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角．(2011·浙江)如图，在三棱锥P —ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 的中点，PO ⊥平面ABC ，垂足O 落在线段AD 上．(1)证明：AP ⊥BC ；(2)已知BC ＝8，PO ＝4，AO ＝3，OD ＝2，求二面角B —AP —C 的大小．(1)证明 由AB ＝AC ，D 是BC 的中点，得AD ⊥BC .又PO ⊥平面ABC ，得PO ⊥BC .因为PO ∩AD ＝O ，所以BC ⊥平面P AD ，故AP ⊥BC .(2)解 如图，在平面P AB 内作BM ⊥P A 于M ，连接CM .因为BC ⊥P A ，得P A ⊥平面BMC ，所以AP ⊥CM .故∠BMC 为二面角B —AP —C 的平面角．在Rt △ADB 中，AB 2＝AD 2＋BD 2＝41，得AB ＝41.在Rt △POD 中，PD 2＝PO 2＋OD 2，在Rt △PDB 中，PB 2＝PD 2＋BD 2，所以PB 2＝PO 2＋OD 2＋BD 2＝36，得PB ＝6.在Rt △POA 中，P A 2＝AO 2＋OP 2＝25，得P A ＝5.又cos ∠BP A ＝P A 2＋PB 2－AB 22P A ·PB ＝13，从而sin ∠BP A ＝223.故BM ＝PB sin ∠BP A ＝4 2.同理CM ＝4 2.因为BM 2＋MC 2＝BC 2，所以∠BMC ＝90°，即二面角B —AP —C 的大小为90°.题型四 点到平面的距离例4 在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB 1⊥BC 1，AB ＝CC 1＝a ，BC ＝b .(1)设E ，F 分别为AB 1，BC 1的中点，求证：EF ∥平面ABC ；(2)求证：A 1C 1⊥AB ；(3)求B 1到平面ABC 1的距离．思维启迪：(1)线线平行或面面平行⇒线面平行；(2)线面垂直⇒线线垂直；(3)求垂线段长或用等积法．(1)证明 分别取AB ，BC 的中点M ，N ，连接EM ，MN ，FN ，于是EM 綊12BB 1，FN 綊12BB 1，从而EM 綊FN ，即四边形EFNM 是平行四边形，∴EF ∥MN .而EF ⊄平面ABC ，MN ⊂平面ABC ，故EF ∥平面ABC .(2)证明 连接A 1B ，∵ABC —A 1B 1C 1是直三棱柱，∴AA 1⊥AB .又AB ＝CC 1＝AA 1，∴ABB 1A 1是正方形，从而AB 1⊥A 1B .∵AB 1⊥BC 1，∴AB 1⊥平面A 1BC 1，∴A 1C 1⊥AB 1，而A 1C 1⊥AA 1，∴A 1C 1⊥平面ABB 1A 1.又AB ⊂平面ABB 1A 1，∴A 1C 1⊥AB .(3)解 ∵A 1B 1∥AB ，AB ⊂平面ABC 1，A 1B 1⊄平面ABC 1，∴A 1B 1∥平面ABC 1，于是B 1到平面ABC 1的距离等于A 1到平面ABC 1的距离，过A 1作A 1H ⊥AC 1于H . 由(2)知，BA ⊥平面ACC 1A 1，∴BA ⊥A 1H ，于是A 1H ⊥平面ABC 1.在Rt △A 1AC 1中，AA 1＝CC 1＝a ，A 1C 1＝AC ＝BC 2－AB 2＝b 2－a 2， AC 1＝C 1C 2＋AC 2＝a 2＋(b 2－a 2)＝b ，∴A 1H ＝A 1A ·A 1C 1AC 1＝a b 2－a 2b， ∴B 1到平面ABC 1的距离为a b 2－a 2b . 探究提高 求点到平面的距离，一般找出(或作出)过此点与已知平面垂直的平面，利用面面垂直的性质过该点作出平面的垂线，进而计算；也可以利用“三棱锥体积法”直接求距离．如本题(3)的如下解法即用等积法VC 1－ABB 1＝VB 1－ABC 1，即13A 1C 1·12AB ·BB 1＝13·h ·12AB ·AC 1，将各数据代入可得h 的值．如图所示，在四棱锥P —ABCD 中，侧面P AD ⊥底面ABCD ，侧棱P A ＝PD ＝2，底面ABCD 为直角梯形，其中BC ∥AD ，AB ⊥AD ，AD ＝2AB ＝2BC ＝2，O 为AD 中点．(1)求证：PO ⊥平面ABCD ；(2)求异面直线PB 与CD 所成角的余弦值；(3)求点A 到平面PCD 的距离．(1)证明 如图所示，在△P AD 中，O 为AD 中点，P A ＝PD ，∴PO ⊥AD ，又∵侧面P AD ⊥底面ABCD ，平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ，PO ⊂平面P AD ，∴PO ⊥平面ABCD .(2)解 连接BO ，在直角梯形ABCD 中，BC ∥AD ，AD ＝2AB ＝2BC ，又∵OD ∥BC 且OD ＝BC ，∴四边形OBCD 是平行四边形，∴OB ∥DC .由(1)知PO ⊥OB ，∠PBO 为锐角，∴∠PBO 是异面直线PB 与CD 所成的角．∵AD ＝2AB ＝2BC ＝2，在Rt △AOB 中，AB ＝1，AO ＝1，∴OB ＝2，在Rt △POA 中，AP ＝2，AO ＝1，∴OP ＝1，在Rt △PBO 中，PB ＝OP 2＋OB 2＝3，cos ∠PBO ＝OB PB ＝23＝63， ∴异面直线PB 与CD 所成的角的余弦值为63.(3)解 方法一 由(2)得CD ＝OB ＝2，在Rt △POC 中，PC ＝OC 2＋OP 2＝2，∴PC ＝CD ＝DP ，S △PCD ＝34·2＝32. 又∵S △ACD ＝12AD ·AB ＝1， 设点A 到平面PCD 的距离为h ，由V P —ACD ＝V A —PCD 得13S △ACD ·OP ＝13S △PCD ·h ， 即13×1×1＝13×32×h ，解得h ＝233. 方法二 ∵AO ＝OD ，∴A 到平面PCD 的距离是O 到平面PCD 的距离的两倍，易知PC ＝CD ＝PD ，OC ＝OP ＝OD ，∴三棱锥O —PCD 为正三棱锥．设O 在平面PCD 内的射影为H ，则H 为△PCD 的中心，∴PH ＝23·32PD ＝63， ∴OH ＝12－⎝⎛⎭⎫632＝33， ∴A 到平面PCD 的距离为233.二面角求解要规范典例：(14分)如图所示，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AD ＝AA 1＝1，AB ＝2，点E 在棱AB 上移动．(1)证明：D 1E ⊥A 1D ；(2)当E 为AB 的中点时，求点E 到面ACD 1的距离；(3)AE 等于何值时，二面角D 1—EC —D 的大小为π4？ 审题视角 (1)线面垂直转化为线线垂直；(2)点到面的距离问题，可通过等积变换求解；(3)先找出二面角，在知道二面角大小的情况下求AE ，可用方程的思想．规范解答(1)证明 ∵AE ⊥平面AA 1D 1D ，A 1D ⊥AD 1，∴A 1D ⊥D 1E .[3分](2)解 设点E 到面ACD 1的距离为h .在△ACD 1中，AC ＝CD 1＝5，AD 1＝2，故S △AD 1C ＝32.[4分] 而S △ACE ＝12·AE ·BC ＝12， ∴VD 1—ACE ＝13S △ACE ·DD 1＝13S △AD 1C ·h .[6分] ∴h ＝13.[7分](3)解 过D 作DH ⊥CE 于H ，连接D 1H 、DE ，则D 1H ⊥CE ，∴∠DHD 1为二面角D 1—EC —D 的平面角．[9分]设AE ＝x ，则BE ＝2－x .在Rt △D 1DH 中，由∠DHD 1＝π4，知DH ＝1.[10分]∵在Rt △ADE 中，DE ＝1＋x 2，∴在Rt △DHE 中，EH ＝x ；在Rt △DHC 中，CH ＝3；在Rt △CBE 中，CE ＝x 2－4x ＋5. ∴x ＋3＝x 2－4x ＋5⇒x ＝2－ 3.[13分]∴AE ＝2－3时，二面角D 1—EC —D 的大小为π4.[14分] 温馨提醒 (1)本题考查了线线垂直的证明，点到平面的距离的求法，以及二面角的有关问题，是高考的重点内容．(2)本题失分的主要原因是答题不规范．在解有关二面角的问题时，要强调：作、证、算．一定要明确指出二面角的平面角．然后再求二面角的平面角，或者再根据二面角的平面角的大小求解.方法与技巧1． 求线线角常用平移法，选取一特殊点将两异面直线移成一夹角，构造三角形，利用余弦定理求角，但需要注意，所成角可能是所求角的补角．求线面角关键在于找出直线在平面内的射影，而射影的构成，有时可以直接作垂线，有时必须借助垂面来作．2． 求二面角的常用方法：作棱的垂面，找出二面角的平面角．3． 空间距离的求解，重在转化方法的运用上，基本问题是点到面的距离．求点到面的距离的常用方法有：(1)作垂线，求垂线段的长；(2)等体积法；(3)相关点距离转移法． 失误与防范计算题同样需要严格合理的推理论证过程．关键是在“度”的把握上，既不能一字未证，又不能过于繁琐，因此，需要在平时的学习中积累经验．A组专项基础训练(时间：35分钟，满分：57分)一、选择题(每小题5分，共20分)1. 如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A—BCD，则在三棱锥A—BCD中，下列命题正确的是() A．平面ABD⊥平面ABCB．平面ADC⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDCD．平面ADC⊥平面ABC答案 D解析在平面图形中CD⊥BD，折起后仍有CD⊥BD，由于平面ABD⊥平面BCD，故CD⊥平面ABD，CD⊥AB.又AB⊥AD，故AB⊥平面ADC.所以平面ABC⊥平面ADC.D 选项正确．易知选项A、B、C错误．2．已知正三棱锥的侧棱长是底面边长的2倍，则侧棱与底面所成角的余弦值为()A.33 B.34 C.36 D.312答案 C解析 设正三棱锥的底面边长为a ，则侧棱长为2a .作SO ⊥平面ABC于点O ，连接AO 并延长AO 交BC 于点E ，因为△ABC 为正三角形，所以O 为底面的中心，所以∠SAO 为SA 与平面ABC 所成的角．又AO ＝23×32a ＝33a ， 所以cos ∠SAO ＝33a 2a ＝36，即所求余弦值为36.3． (2011·福建改编)如图，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，点E 为AD 的中点，点F 在CD 上．若EF ∥平面AB 1C ，则线段EF 的长度等于( ) A. 2B. 3C.22D.13答案 A解析 由于在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，∴AC ＝2 2.又E 为AD 中点，EF ∥平面AB 1C ，EF ⊂平面ADC ，平面ADC ∩平面AB 1C ＝AC ，∴EF ∥AC ，∴F 为DC 中点，∴EF ＝12AC ＝ 2. 4． 已知三棱柱ABC —A 1B 1C 1的侧棱与底面边长都相等，A 1在底面ABC 上的射影为BC 的中点，则异面直线AB 与CC 1所成的角的余弦值为( ) A.34 B.54 C.74 D.34 答案 D二、填空题(每小题5分，共15分)5. 如图，在四面体ABCD中，截面PQMN是正方形，PQ∥AC，QM∥BD，则下列命题中，正确的有____．①AC⊥BD；②AC∥截面PQMN；③AC＝BD；④异面直线PM与BD所成的角为45°答案①②④解析由PQ∥AC，QM∥BD，PQ⊥QM可得AC⊥BD，故①正确；由PQ∥AC可得AC∥截面PQMN，故②正确；异面直线PM与BD所成的角等于PM与PN所成的角，故④正确；③是错误的，故填①②④.6. 如图所示，三棱锥P—ABC中，P A⊥平面ABC，P A＝AB，则直线PB与平面ABC所成的角的大小为________．答案45°解析因为P A⊥平面ABC，所以斜线PB在平面ABC上的射影为AB，所以∠PBA即为直线PB与平面ABC所成的角．在△P AB中，∠BAP＝90°，P A＝AB，所以∠PBA＝45°，即直线PB与平面ABC所成的角的大小为45°.7．如图，在长方形ABCD中，AB＝2，BC＝1，E为DC的中点，F为线段EC上一动点．现将△AFD沿AF折起，使平面ABD⊥平面ABC.在平面ABD内过点D作DK⊥AB，K为垂足．设AK＝t，则t的取值范围是__________．答案 ⎣⎡⎦⎤12，1解析 如图，过D 作DG ⊥AF ，垂足为G ，连接GK ， ∵平面ABD ⊥平面ABC ， DK ⊥AB ，∴DK ⊥平面ABC ， ∴DK ⊥AF .又DG ⊥AF ， ∴AF ⊥平面DKG ，∴AF ⊥GK .容易得到，当F 运动到E 点时，K 为AB 的中点，t ＝AK ＝AB2＝1；当F 运动到C 点时，在Rt △ADF 中，易得AF ＝5，且AG ＝15，GF ＝45， 又易知Rt △AGK ∽Rt △ABF ， 则AG AK ＝AB AF ，又AB ＝2，AK ＝t ，则t ＝12. ∴t 的取值范围是⎣⎡⎦⎤12，1. 三、解答题(共22分)8． (10分)如图所示，直二面角D —AB —E 中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，AE ＝EB ，F 为CE 上的点，且BF ⊥平面ACE . (1)求证：AE ⊥平面BCE ； (2)求二面角B —AC —E 的正弦值．(1)证明 在直二面角D —AB —E 中，由ABCD 是正方形， 则CB ⊥平面AEB ，∴AE ⊥BC ，又BF ⊥平面ACE ， 则AE ⊥BF ，∴AE ⊥平面BCE .(2)解 由(1)知平面AEC ⊥平面BCE ，又BF ⊥平面ACE ，则BF ⊥AC ，连接BD 与AC 交于O 点，连接OF (如图)，又AC ⊥BD ，∴AC ⊥平面BOF ，∴AC ⊥FO . ∴∠BOF 为二面角B —AC —E 的平面角， 在Rt △AEB 中，BE ＝2，在Rt △EBC 中，BC ＝2，∴BF ＝BE ·BC EC ＝233，在Rt △BFO 中，sin ∠BOF ＝63， 则二面角B —AC —E 的正弦值为63.9． (12分)如图所示，四棱锥P —ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，四边形ABCD是矩形．F 是PD 的中点．若P A ＝AD ＝3，CD ＝ 6. (1)求证：AF ⊥平面PCD ；(2)求直线AC 与平面PCD 所成角的余弦值的大小． (1)证明 ∵P A ⊥ABCD ，∴P A ⊥CD ， ∵四边形ABCD 为矩形，∴CD ⊥AD ， ∴CD ⊥平面P AD ，∴CD ⊥AF ， 又AP ＝AD ，PF ＝DF ，∴AF ⊥PD ， ∴AF ⊥平面PCD .(2)解 由(1)知AF ⊥平面PCD ，连接CF . 则∠ACF 为AC 与平面PCD 所成的角． 在Rt △ACF 中，AC ＝32＋(6)2＝15.AF ＝12PD ＝322.∴CF ＝15－92＝212＝422. ∴cos ∠ACF ＝CF AC ＝7010.即直线AC 与平面PCD 所成的角的余弦值为7010.B 组 专项能力提升 (时间：25分钟，满分：43分)一、选择题(每小题5分，共15分)1． (2012·郑州模拟)如图所示，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E是A 1B 1上的点，则点E 到平面ABC 1D 1的距离d 是( )A.32B.22C.12D.33答案 B解析 ∵A 1B 1∥ABC 1D 1，E ∈A 1B 1，∴A 1到平面ABC 1D 1的距离即为点E 到平面ABC 1D 1的距离，∴d ＝22. 2． 已知三棱锥S －ABC 中，底面ABC 为边长等于2的等边三角形，SA 垂直于底面ABC ，SA ＝3，那么直线AB 与平面SBC 所成角的正弦值为( )A.34B.54C.74D.34答案 D解析 如图所示，过点A 作AD ⊥BC 于点D ，连接SD ；作AG ⊥SD 于 点G ，连接GB .∵SA ⊥底面ABC ，△ABC 为等边三角形，∴BC ⊥SA ，BC ⊥AD . ∴BC ⊥平面SAD .又AG ⊂平面SAD ，∴AG ⊥BC . 又AG ⊥SD ，∴AG ⊥平面SBC .∴∠ABG 即为直线AB 与平面SBC 所成的角．∵AB ＝2，SA ＝3，∴AD ＝3，SD ＝2 3. 在Rt △SAD 中，AG ＝SA ·AD SD ＝32，∴sin ∠ABG ＝AG AB ＝322＝34.3． 已知三棱柱ABC —A 1B 1C 1的侧棱与底面边长都相等，A 1在底面ABC 内的射影为△ABC的中心，则AB 1与底面ABC 所成角的正弦值等于( )A.13B.23C.33D.23答案 B解析 设棱柱的侧棱与底面边长均为1，O 为△ABC 的中心，如图，连接AO ，则AO ＝33. ∵A 1O ⊥平面ABC ，∴A 1O ＝63. 又在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中， A 1B 1∥平面ABC ，∴点B 1到平面ABC 的距离d ＝63. 连接AB 1，A 1B ，BO ，设A 1B 与AB 1交点为H . 在Rt △A 1BO 中，A 1B ＝1.∵四边形AA 1B 1B 为菱形，∴A 1H ⊥AB 1，∴AH ＝AA 21－A 1H 2＝32，∴AB 1＝ 3. 设AB 1与底面ABC 成的角为α，则sin α＝d AB 1＝23. 二、填空题(每小题5分，共15分)4． 直线l 在平面α内，经过α外一点A 与l 、α都成45°的角的直线有________条．答案 2解析 如图，AO ⊥α，BC ∥l ，∠ABO ＝∠ACO ＝45°，只有AB 、AC 两条直线满足条件． 5． 如图，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、BC 的中点，现在沿DE 、DF 及EF 将三个角折起，使A 、B 、C 三点重合，重合后的点记为P ，那么在四面体P —DEF 中，二面角 D —PE —F 的大小为________．答案90°解析由已知可知，PD⊥PE，PF⊥PE，所以∠DPF是二面角D—PE—F的平面角．又因为PD⊥PF，所以二面角D—PE—F的大小为90°.6. 如图所示，正方体的棱长为1，C 、D 分别是两条棱的中点，A 、B 、M是顶点，那么点M 到截面ABCD 的距离是______________． 答案 23解析 取AB 、DC 的中点分别为P 、Q ，如图所示，作MN ⊥PQ ，则MN 的长即为点M 到截面ABCD 的距离．在△PQM 中，PM ＝22，PQ ＝MQ ＝324，由面积可知PQ ·MN ＝PM ·1， 所以MN ＝23.三、解答题7． (13分)如图，是半径为a 的半圆，AC 为直径，点E 为的中点，点B 和点C 为线段AD 的三等分点，平面AEC 外一点F 满 足FC ⊥平面BED ，FB ＝5a . (1)证明：EB ⊥FD ；(2)求点B 到平面FED 的距离．(1)证明 ∵FC ⊥平面BED ，BE ⊂平面BED ，∴EB ⊥FC . 又点E 为的中点，B 为直径AC 的中点，∴EB ⊥BC .又∵FC ∩BC ＝C ，∴EB ⊥平面FBD . ∵FD ⊂平面FBD ，∴EB ⊥FD .(2)解 方法一 如图，在平面BEC 内过C 作CH ⊥ED ，连接FH .则由FC ⊥平面BED ED ⊥平面FCH .∵Rt △DHC ∽Rt △DBE ， ∴DC DE ＝CH BE. 在Rt △DBE 中，DE ＝BE 2＋BD 2＝BE 2＋(2BC )2＝5a ，∴CH ＝DC ·BE DE ＝a ·a 5a ＝55a .∵FB ＝5a ，BC ＝a ，∴FC ＝2a .在平面FCH 内过C 作CK ⊥FH ，则CK ⊥平面FED . ∵FH 2＝FC 2＋CH 2＝4a 2＋a 25＝215a 2，∴FH ＝1055a . ∴CK ＝FC ·CH FH ＝2a ·55a1055a ＝22121a .∵C 是BD 的中点，∴点B 到平面FED 的距离为2CK ＝42121a .方法二 ∵EB ⊥平面FBD ，BF ⊂平面FBD ，∴EB ⊥FB . 在Rt △FBE 中，∵FB ＝5a ，EB ＝a ，∴EF ＝6a .又∵FC ⊥平面BED ，∴FC ⊥BD . ∵BC ＝CD ，∴FD ＝FB ＝5a . 在Rt △EBD 中，ED ＝BE 2＋BD 2＝5a .在△EFD 中，DF ＝DE ＝5a ，EF ＝6a ， 由余弦定理得cos ∠EDF ＝25，∴sin ∠EDF ＝215.∴S △EFD ＝12DE ·DF ·sin ∠EDF ＝212a 2.设B 到平面FED 的距离为h ，∵V F －EBD ＝13S △EBD ·FC ＝13×12·2a ·a ·2a ＝23a 3，且V F －EBD ＝V B －EFD ，∴23a 3＝13×212a 2h ，∴h ＝42121a ， 即点B 到平面FED 的距离为42121a .。

空间立体几何夹角知识点归纳一、知识概述《空间立体几何夹角知识点》①基本定义：- 在空间立体几何里，夹角可不像平面几何里那么简单。

就拿异面直线夹角来说，通俗来讲，就是把两条不在同一个平面的直线，想办法拉到一个平面上，它们所成的锐角或者直角就是异面直线夹角。

线面夹角呢，说的是直线和它在平面上的投影线所成的锐角。

那二面角又是什么呢？就想象两个半平面合起来像个打开的书本，这个书本的“开口”大小就是二面角，它的大小用这两个半平面的法向量的夹角来表示。

②重要程度：- 这在立体几何里可相当重要啊。

就好比房子的骨架结构，各种角度确定了这个立体图形的形状和位置关系。

在实际的工程建筑、计算机图形学甚至美术设计（比如3D雕塑啥的）里都离不开它。

在学科里也是，很多证明题、计算题都会涉及到夹角的知识。

③前置知识：- 得先了解空间直角坐标系，知道怎么确定一个点在空间中的位置。

还要懂得向量的基础知识，像向量的加减法、向量的模这类概念，这是理解和计算夹角的基础。

④应用价值：- 就说建筑行业吧，工人们在搭建桥梁、高楼大厦的时候，要确保各个部件之间的夹角正确，这样才能保证结构稳定。

在机械制造里，零件之间的夹角不准确可能会导致整个机器无法正常运转。

在游戏开发或者动画制作里，要让虚拟的3D场景看起来逼真，就得准确设置场景里各个物体之间的夹角。

二、知识体系①知识图谱：- 在立体几何中，夹角知识点就像是连接不同立体图形的桥梁。

它和线面关系、面面关系等知识紧密相连共同构建成了立体几何的知识体系。

从简单的直线与直线的关系，到直线与平面的关系，再到两个平面之间的关系，夹角在其中一直起着描述关系程度的重要角色。

②关联知识：- 和向量关系特别紧密。

很多时候都要借助向量来计算夹角。

另外，跟平行关系、垂直关系也有着千丝万缕的联系。

比如说，两条直线垂直时，它们所成的异面直线夹角就是90度；一个平面和一条直线垂直，那线面夹角就是90度。

③重难点分析：- 重难点得说实话就是空间想象能力。

空间向量的夹角与距离求解公式1．空间向量的夹角与距离求解公式【知识点的认识】1．空间向量的夹角公式→→设空间向量푎=（a1，a2，a3），푏=（b1，b2，b3），→→cos＜푎，푏＞=→→푎⋅푏→→|푎|⋅|푏|=푎1푏1+푎2푏2+푎3푏3푎12+푎22+푎32⋅푏12+푏22+푏32注意：→→→→（1）当 cos＜푎，푏＞= 1时，푎与푏同向；→→→→（2）当 cos＜푎，푏＞=― 1时，푎与푏反向；→→→→（3）当 cos＜푎，푏＞= 0时，푎⊥푏．2．空间两点的距离公式设A（x1，y1，z1），B（x2，y2，z2），则→퐴퐵=(푥2―푥1，푦2―푦1，푧2―푧1)→d A，B＝|퐴퐵| =→퐴퐵⋅→퐴퐵=(푥2―푥1)2+(푦2―푦1)2+(푧2―푧1)2．【解题思路点拨】1．求空间两条直线的夹角建系→写出向量坐标→利用公式求夹角2．求空间两点的距离建系→写出点的坐标→利用公式求距离．【命题方向】（1）利用公式求空间向量的夹角→→例：已知A（2，﹣5，1），B（2，﹣2，4），C（1，﹣4，1），则向量퐴퐵与퐴퐶的夹角为（）1/ 3A.30°B.45°C.60°D.90°→→→分析：由题意可得：퐴퐵=(0，3，3)，퐴퐶=(―1，1，0)，进而得到퐴퐵⋅→→→→→퐴퐶与|퐴퐵|，|퐴퐶|，再由cos＜퐴퐵，퐴퐶＞=→→퐴퐵⋅퐴퐶→→可得答案．|퐴퐵||퐴퐶|解答：因为A（2，﹣5，1），B（2，﹣2，4），C（1，﹣4，1），所以→→퐴퐵=(0，3，3)，퐴퐶=(―1，1，0)，→所以퐴퐵⋅→→→퐴퐶═0×（﹣1）+3×1+3×0＝3，并且|퐴퐵|＝3 2，|퐴퐶| = 2，→→所以 cos＜퐴퐵，퐴퐶＞=→→퐴퐵⋅퐴퐶→→|퐴퐵||퐴퐶|=332×2=12，→→∴퐴퐶的夹角为 60°퐴퐵与故选C．点评：解决此类问题的关键是熟练掌握由空间中点的坐标写出向量的坐标与向量求模，以及由向量的数量积求向量的夹角，属于基础试题．（2）利用公式求空间两点的距离例：已知空间直角坐标系中两点A（3，﹣1，2），B（0，﹣1，﹣2），则A，B 两点间的距离是（）A.3B. 29C.25D.5分析：求出AB 对应的向量，然后求出AB 的距离即可．解答：因为空间直角坐标系中两点A（3，﹣1，2），B（0，﹣1，﹣2），→→所以퐴퐵=（﹣3，0，﹣4），所以|퐴퐵|=(―3)2+02+(―4)2= 5．故选D．点评：本题考查空间两点的距离求法，考查计算能力．2/ 33/ 3。

DBAC α2008高考数学第一轮复习单元讲座 空间夹角和距离一．课标要求：1．能借助空间几何体内的位置关系求空间的夹角和距离；2．能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用。

二．命题走向空间的夹角和距离问题是立体几何的核心内容，高考对本讲的考察主要有以下情况：（1）空间的夹角；（2）空间的距离；（3）空间向量在求夹角和距离中的应用。

预测2008年高考对本讲内容的考察将侧重空间向量的应用求夹角、求距离。

课本淡化了利用空间关系找角、求距离这方面内容的讲解，而是加大了向量在这方面内容应用的讲解，因此作为立体几何的解答题，用向量方法处理有关夹角和距离将是主要方法，在复习时应加大这方面的训练力度。

题型上空间的夹角和距离主要以主观题形式考察。

三．要点精讲1．空间中各种角包括：异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角。

（1）异面直线所成的角的范围是2,0(π。

求两条异面直线所成的角的大小一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为共面问题来解决。

具体步骤如下：①利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选择在特殊的位置上；②证明作出的角即为所求的角； ③利用三角形来求角。

（2）直线与平面所成的角的范围是]2,0[π。

求直线和平面所成的角用的是射影转化法。

具体步骤如下：①找过斜线上一点与平面垂直的直线；②连结垂足和斜足，得出斜线在平面的射影，确定出所求的角； ③把该角置于三角形中计算。

注：斜线和平面所成的角，是它和平面内任何一条直线所成的一切角中的最小角，即若θ为线面角，α为斜线与平面内任何一条直线所成的角，则有αθ≤；（3）确定点的射影位置有以下几种方法：①斜线上任意一点在平面上的射影必在斜线在平面的射影上；②如果一个角所在的平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面上的射影在这个角的平分线上；如果一条直线与一个角的两边的夹角相等，那么这一条直线在平面上的射影在这个角的平分线上；③两个平面相互垂直，一个平面上的点在另一个平面上的射影一定落在这两个平面的交线上；④利用某些特殊三棱锥的有关性质，确定顶点在底面上的射影的位置：a.如果侧棱相等或侧棱与底面所成的角相等，那么顶点落在底面上的射影是底面三角形的外心；b. 如果顶点到底面各边距离相等或侧面与底面所成的角相等，那么顶点落在底面上的射影是底面三角形的内心(或旁心)；c. 如果侧棱两两垂直或各组对棱互相垂直，那么顶点落在底面上的射影是底面三角形的垂心；（4）二面角的范围在课本中没有给出，一般是指],0(π，解题时要注意图形的位置和题目的要求。

QBCPADON 图1-1图1-2高中数学知识要点重温（19）空间中的角和距离1．解立几题要有化平几思想：所有求空间角与距离的问题最终都要转化到平面上求解，有时还可以将要求的角（或线段）所在的平面分离出来，这样清楚醒目，便于求解，不易出错。

2．研究异面直线所成的角通常有两种方法。

①通过平移使之成为一个平面角，然后解三角形求得；②在空间直角坐标系中利用向量的夹角公式。

[注意] 异面直线所成角的范围是：（00，900]， 如： cos <，>=-31,则异面直线 a, b 所成的角为arccos 31。

[举例] 如图, 已知两个正四棱锥ABCD Q ABCD P --与的高分别为1和2,4=AB ，(Ⅰ) 证明: ABCD PQ 平面⊥ ;(Ⅱ) 求异面直线AQ 与PB 所成的角;解析：(Ⅰ)记AC 、BD 交于O ，连PO 、QO ， 则PO ⊥面ABCD ，QO ⊥面ABCD ，∴P 、Q 、O 共线，PQ ⊥面ABCD ； (Ⅱ)方法一：“平移”：注意到AC 、PQ 交于O ， 取OC 的中点N ，连结PN ，BN ，∵11,22PO NO NO OQ OA OC ===，∴PONOOQ OA =，故AQ ∥P Ｎ. ∠BP Ｎ是异面直线AQ 与PB 所成的角（或其补角）. PB ==∵BN ===∴222cos 29PB PN BN BPN PB PN+-∠===⋅ 故异面直线AQ 与PB 所成的角是．方法二：“建系”：由题设知，ABCD 是正方形， ∴AC BD ⊥．由（I ），PQ ⊥平面ABCD ，故 可以分别以直线CA 、DB 、QP 为x 轴，y 轴， z 轴建立空间直角坐标系（如图1-2），由题设，相关各点的坐标分别是(0,0,1)P ，(0,0,2)Q -，B，)2,0,22(--=AQ ，(0,1)PB =-,于是3cos ,AQ PB AQ PB AQ PB⋅<>==⋅注：在“平移”时常用到一些平面图形的性质，如：三角形的中位线、梯形中位线、平行四边形、平行线分线段成比例定理的逆定理甚至三角形相似等。

高中数学必修 + 选修知识点概括必修 1 数学知识点第一章：会合与函数观点1、会合三因素：确立性、互异性、无序性。

2、常有会合：正整数会合：N*或N，整数会合：Z ，有理数会合： Q，实数会合： R.3、并集 . 记作：A B.交集.记作： A B.全集、补集C U A { x | x U ,且 x A}(C U A)∩( C U B) = C U(A∪B) (C U A)∪( C U B) = C U(A∩B)；A B B B A；简略逻辑：或：有真为真，全假为假。

且：有假为假，全真为真。

非：真假相反原命题互逆逆命题若 p则 q互若 q 则 p否为互逆互否为逆否否互否命题逆否命题若┐q则┐p若┐p则┐q互逆原命题：若 P则 q；抗命题：若q 则 p；否命题：若┑ P 则┑q；逆否命题：若┑ q 则┑ p。

常用变换：① f ( x y) f ( x) f ( y) f ( x y) f ( x).f ( y)证f ( x y)f ( y)f( )[()]() ( )f ( x)x f x y y f x y f y② f (x) f ( x) f (y) f (x y) f ( x) f ( y)y证：x xf()f()f() f (y)yy4、设 A、B 是非空的数集，假如依据某种确立的对应关系 f ，使对于会合A中的随意一个数 x ，在会合B中都有唯一确立的数 f x和它对应，那么就称 f : A B 为会合A到会合B的一个函数，记作： y f x , x A .分母不等于零5、定义域被开方大于等于零对数的幂大于零，底大于零不等于1值域：利用函数单一性求出所给区间的最大值和最小值，6、函数单一性：(1)定义法：设x1、x2[ a, b], x1 x2那么f (x1 ) f ( x2 )0 f ( x)在[ a, b] 上是增函数；f (x1 ) f ( x2 )0 f ( x)在[ a, b] 上是减函数.步骤：取值—作差—变形—定号—判断(2)导数法：设函数 y f ( x) 在某个区间内可导，若f (x) 0 ，则f ( x)为增函数；若f ( x)0 ，则 f ( x)为减函数 .7、奇偶性f x 为偶函数：f x f x 图象对于y 轴对称.函数 f x 为奇函数f x f x 图象对于原点对称 .若奇函数y f x 在区间0,上是递加函数，则y f x 在区间,0 上也是递加函数．若偶函数 yf x 在区间 0,上是递加函数，则yf x 在区间 ,0 上是递减函数．函数的几个重要性质：① 如 果 函 数 yf x 对 于 一 切 x R ， 都 有f ax f ax 或 f （ 2a-x ） =f （ x ），那函数 y f x 的图象对于直线 x a 对称 .②函数 yf x 与函数 y fx 的图象对于直线x 0对称；函数 yf x 与函数 y f x 的图象对于直线y 0 对称；函数 yf x 与函数 yf x的图象对于坐标原点对称 .二、函数与导数1、几种常有函数的导数① C '0 ；② ( x n )' nx n 1 ；③ (sin x) ' cos x ； ④ (cos x) ' sin x ； ⑤ ( a x ) 'a xln a ； ⑥ ( e x) 'e x； ⑦ (log a x)'1 ；⑧ (ln x) ' 1x ln ax2、导数的运算法例（ 1） (u v)'u ' v '.（ 2） (uv)' u 'v uv ' .（ 3） ( u)'u 'v uv ' (v 0) .vv 23、复合函数求导法例复合函数 yf (g (x)) 的导数和函数y f (u), u g ( x) 的导数间的关系为 y x y u u x ， 即 y 对 x 的导数等于 y 对 u 的导数与 u 对 x 的导数的乘积 .解题步骤 :分层—层层求导—作积复原导数的应用：1、 yf ( x) 在点 x 0 处的导数的几何意义 ：函数 yf (x) 在点 x 0 处的导数是曲线yf ( x) 在P(x 0 , f (x 0 )) 处的切线的斜率 f (x 0 ) ，相应的切线方程是 yy 0 f (x 0 )(xx 0 ) .切线方程 : 过点 P x 0 , y 0 的切线方程，设切点为x 1, y 1 ，则切线方程为 y y 1 f ' x 1 x x 1 ，再将 P 点带入求出 x 1 即可 2、函数的极值 (---- 列表法 )(1) 极值定义：极值是在 x 0 邻近全部的点，都有f ( x) ＜ f ( x 0 ) ，则 f ( x 0 ) 是函数 f (x) 的极大值；极值是在 x 0 邻近全部的点，都有 f ( x) ＞ f (x 0 ) ，则 f ( x 0 ) 是函数 f (x) 的极小值 .(2) 鉴别方法：①假如在 x 0 邻近的左边 f ' (x) ＞ 0，右边 f ' (x) ＜ 0，那么 f ( x 0 ) 是极大值；②假如在 x 0 邻近的左边 f ' (x) ＜ 0，右边 f ' (x) ＞ 0，那么 f ( x 0 ) 是极小值 .3、求函数的最值(1) 求 y f (x) 在 (a, b) 内的极值（极大或许极小值）(2) 将 y f (x) 的各极值点与 f (a), f (b) 比较，此中最大的一个为最大值，最小的一个为极小值。