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组合与组合数教案一、教学目标1. 让学生理解组合的概念，掌握组合数的计算方法。
2. 培养学生运用组合知识解决实际问题的能力。
3. 引导学生发现生活中的组合现象，培养学生的观察力和想象力。
二、教学内容1. 组合的概念：组合是从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素的所有可能排列的集合。
2. 组合数的计算：组合数用C(n,m)表示，计算公式为C(n,m) = n! / [m! (n-m)!]，其中n!表示n的阶乘。
三、教学重点与难点1. 教学重点：组合的概念，组合数的计算方法。
2. 教学难点：组合数的计算公式的推导与应用。
四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生主动探索组合数的计算方法。
2. 利用实例分析，让学生体验组合知识在实际问题中的应用。
3. 采用小组讨论法，培养学生的合作与交流能力。
五、教学过程1. 导入新课：通过生活中的实例，如排列组合的抽奖活动，引导学生思考组合的概念。
2. 讲解组合的概念：详细解释组合的定义，让学生理解组合的本质。
3. 推导组合数的计算公式：引导学生利用阶乘的概念，推导组合数的计算公式。
4. 讲解组合数的计算方法：讲解组合数的计算公式，让学生掌握组合数的计算方法。
5. 应用实例：通过实际问题，让学生运用组合知识解决问题，巩固所学知识。
6. 课堂小结：总结本节课的主要内容，强调组合的概念和组合数的计算方法。
7. 课后作业：布置相关练习题，让学生巩固组合知识。
六、教学活动1. 设计意图：通过小组合作活动，让学生更深入理解组合概念，并锻炼动手动脑能力。
活动内容：让学生分组，每组使用卡片或骰子等物品，创造出不同的组合。
每组需要记录下他们创建的组合，并计算出组合数。
2. 分组活动：学生自由分组，每组4-6人。
每组选择一种物品，如卡片、骰子等，进行组合创造。
3. 分享与讨论：每组向全班展示他们的组合创造，并分享他们的组合数计算过程。
其他组的学生可以提问或提出不同看法。
4. 教师点评：教师对每组的展示进行点评，强调组合的概念和组合数的计算方法。
1.2.2组合与组合数公式教学目标：组合、组合数的概念；理解组合的意义，掌握组合数的计算公式． 教学过程：1、复习、引入：1．复习排列的有关内容：2．提出问题：1： 从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？2： 从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加一项活动，有多少种不同的选法？引出课题：组合．．问题． 2、新授：组合的概念：一般地，从n 个不同元素中取出m （m ≤n ）个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合．注：1．不同元素 2．“只取不排”——无序性 3．相同组合：元素相同 练习 判断下列问题哪个是排列问题哪个是组合问题：⑴ 从A 、B 、C 、D 四个景点选出2个进行游览；（组合）⑵ 从甲、乙、丙、丁四个学生中选出2个人担任班长和团支部书记．（排列）组合数的概念：从n 个不同元素中取出m （m ≤n ）个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数．用符号mn C 表示．例如：问题 2中从3个同学选出2名同学的组合可以为：甲乙，甲丙，乙丙．即有323=C 种组合．又如：从A 、B 、C 、D 四个景点选出2个进行游览的组合：AB ，AC ，AD ，BC ，BD ，CD 一共6种组合，即：624=C（在讲解时一定要让学生去分析：要解决的问题是排列问题还是组合问题，关键是看是否与顺序有关．）那么又如何计算m n C 呢？组合数公式的推导：⑴提问：从4个不同元素a ，b ，c ，d 中取出3个元素的组合数34C 是多少呢？启发： 由于排列可以看成先组合后排序，而从4个不同元素中取出3个元素的排列数34A 可以求得，故我们可以考察一下34C 和34A 的关系，如下：组 合 排列dcb cdb bdc dbc cbd bcd bcd dca cda adc dac cad acd acddba bda adb dab bad abd abdcba bca acb cab bac abc abc,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,→→→→ 由此可知：每一个组合都对应着6个不同的排列，因此，求从4个不同元素中取出3个元素的排列数34A ，可以分如下两步：① 考虑从4个不同元素中取出3个元素的组合，共有34C 个；② 对每一个组合的3个不同元素进行全排列，各有33A 种方法．由分步计数原理得：34A ＝⋅34C 33A ，所以：333434A A C =． ⑵ 推广： 一般地，求从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数mn A ，可以分如下两步：① 先求从n个不同元素中取出m 个元素的组合数m n C ；② 求每一个组合中m 个元素全排列数m m A ，根据分步计数原理得：m n A ＝m n C m m A ⋅ ⑶ 组合数公式：!)1()2)(1(m m n n n n A A C m m m n m n +---==Λ或 )!(!!m n m n C m n -=),,(n m N m n ≤∈*且 巩固练习： 1．计算：⑴ 47C ⑵ 710C2．求证：11+⋅-+=m n m n C mn m C 3．设,+∈N x 求321132-+--+x x x x C C 的值．例题讲评例1． 6本不同的书分给甲、乙、丙3同学，每人各得2本，有多少种不同的分法？例2．4名男生和6名女生组成至少有1个男生参加的三人实践活动小组，问组成方法共有多少种？学生练习：（课本99练习）课堂小结：解决实际问题时首先要看是否与顺序有关，从而确定是排列问题还是组合问题，必要时要利用分类和分步计数原理．课后作业：课后反思：。
高中数学组合优秀教案
主题：组合数
主要内容：组合数的概念及性质，组合数的运算法则，组合数在实际问题中的应用
一、学习目标
1. 理解组合数的概念和性质。
2. 掌握组合数的运算法则。
3. 能够灵活运用组合数解决实际问题。
二、教学重点
1. 组合数的定义和性质。
2. 组合数的运算法则。
3. 实际问题中组合数的应用。
三、教学难点
1. 灵活运用组合数解决实际问题。
2. 深入理解组合数的概念和性质。
四、教学过程
1. 导入：通过一个有趣的问题引出组合数的概念，让学生产生兴趣。
2. 授课：讲解组合数的定义和性质，介绍组合数的运算法则。
3. 拓展：通过练习让学生掌握组合数的运算技巧。
4. 应用：通过实际问题让学生灵活运用组合数解决问题。
5. 总结：回顾本节课的内容，强调组合数在数学中的重要性。
五、教学反馈
1. 布置作业：留作业巩固学习成果。
2. 点评作业：对学生的学习情况进行评价，及时纠正错误。
3. 反馈教学：根据学生的反馈对教学方法进行调整，提高教学效果。
六、教学资源
1. 教材：《高中数学》
2. 辅助教材：《高中数学组合数专题讲义》
3. 多媒体教学设备：电脑、投影仪
七、教学评估
1. 学生态度：学生是否主动参与课堂活动。
2. 学生表现：学生是否能够熟练运用组合数解决问题。
3. 教学效果：学生是否能够掌握组合数的相关知识和技能。
高中数学教案：组合高中数学教案：组合高中数学教案：组合教学目标（1）使学生正确理解组合的意义，正确区分排列、组合问题；（2）使学生掌握组合数的计算公式；（3）通过学习组合知识，让学生掌握类比的学习方法，并提高学生分析问题和解决问题的能力；教学重点难点重点是组合的定义、组合数及组合数的公式；难点是解组合的应用题．教学过程设计（－）导入新课（教师活动）提出下列思考问题，打出字幕．［字幕］一条铁路线上有6个火车站，（1）需准备多少种不同的普通客车票？（2）有多少种不同票价的普通客车票？上面问题中，哪一问是排列问题？哪一问是组合问题？（学生活动）讨论并回答．答案提示：（1）排列；（2）组合．［评述］问题（1）是从6个火车站中任选两个，并按一定的顺序排列，要求出排法的种数，属于排列问题；（2）是从6个火车站中任选两个并成一组，两站无顺序关系，要求出不同的组数，属于组合问题．这节课着重研究组合问题．设计意图：组合与排列所研究的问题几乎是平行的．上面设计的问题目的是从排列知识中发现并提出新的问题．（二）新课讲授［提出问题创设情境］（教师活动）指导学生带着问题阅读课文．［字幕］1．排列的定义是什么？2．举例说明一个组合是什么？3．一个组合与一个排列有何区别？（学生活动）阅读回答．（教师活动）对照课文，逐一评析．设计意图：激活学生的思维，使其将所学的知识迁移过渡，并尽快适应新的环境．【归纳概括建立新知】（教师活动）承接上述问题的回答，展示下面知识．［字幕］模型：从个不同元素中取出个元素并成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合．如前面思考题：6个火车站中甲站→乙站和乙站→甲站是票价相同的车票，是从6个元素中取出2个元素的一个组合．组合数：从个不同元素中取出个元素的所有组合的个数，称之，用符号表示，如从6个元素中取出2个元素的组合数为 .［评述］区分一个排列与一个组合的关键是：该问题是否与顺序有关，当取出元素后，若改变一下顺序，就得到一种新的取法，则是排列问题；若改变顺序，仍得原来的取法，就是组合问题．（学生活动）倾听、思索、记录．（教师活动）提出思考问题．［投影］与的关系如何？（师生活动）共同探讨．求从个不同元素中取出个元素的排列数，可分为以下两步：第1步，先求出从这个不同元素中取出个元素的组合数为；第2步，求每一个组合中个元素的全排列数为．根据分步计数原理，得到［字幕］公式1：公式2：（学生活动）验算，即一条铁路上6个火车站有15种不同的票价的普通客车票．设计意图：本着以认识概念为起点，以问题为主线，以培养能力为核心的宗旨，逐步展示知识的形成过程，使学生思维层层被激活、逐渐深入到问题当中去．（三）小结（师生活动）共同小结．本节主要内容有1．组合概念．2．组合数计算的两个公式．（四）布置作业1．课本作业：习题10 3第1（1）、（4），3题．2．思考题：某学习小组有8个同学，从男生中选2人，女生中选1人参加数学、物理、化学三种学科竞赛，要求每科均有1人参加，共有180种不同的选法，那么该小组中，男、女同学各有多少人？3．研究性题：在的边上除顶点外有 5个点，在边上有 4个点，由这些点（包括）能组成多少个四边形？能组成多少个三角形？（五）课后点评在学习了排列知识的基础上，本节课引进了组合概念，并推导出组合数公式，同时调控进行训练，从而培养学生分析问题、解决问题的能力．作业参考答案2．解；设有男同学人，则有女同学人，依题意有，由此解得或或2．即男同学有5人或6人，女同学相应为3人或2人．3．能组成（注意不能用点为顶点）个四边形，个三角形．探究活动同室四人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的`贺年卡，那么四张不同的分配万式可有多少种？解设四人分别为甲、乙、丙、丁，可从多种角度来解．解法一可将拿贺卡的情况，按甲分别拿乙、丙、丁制作的贺卡的情形分为三类，即：甲拿乙制作的贺卡时，则贺卡有3种分配方法．甲拿丙制作的贺卡时，则贺卡有3种分配方法．甲拿丁制作的贺卡时，则贺卡有3种分配方法．由加法原理得，贺卡分配方法有3+3+3=9种．解法二可从利用排列数和组合数公式角度来考虑．这时还存在正向与逆向两种思考途径．正向思考，即从满足题设条件出发，分步完成分配．先可由甲从乙、丙、丁制作的贺卡中选取1张，有种取法，剩下的乙、丙、丁中所制作贺卡被甲取走后可在剩下的3张贺卡中选取1张，也有种，最后剩下2人可选取的贺卡即是这2人所制作的贺卡，其取法只有互取对方制作贺卡1种取法．根据乘法原理，贺卡的分配方法有（种）．逆向思考，即从4人取4张不同贺卡的所有取法中排除不满足题设条件的取法．不满足题设条件的取法为，其中只有1人取自己制作的贺卡，其中有2人取自己制作的贺卡，其中有3人取自己制作的贺卡（此时即为4人均拿自己制作的贺卡）．其取法分别为 1．故符合题设要求的取法共有（种）．。
组合与组合数教案（优秀）教学目标：1. 理解组合的概念和性质。
2. 掌握组合数的计算方法。
3. 能够应用组合数解决实际问题。
教学重点：1. 组合的概念和性质。
2. 组合数的计算方法。
教学难点：1. 理解组合的性质和计算方法。
教学准备：1. 教学PPT。
2. 练习题。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入组合的概念，引导学生思考在日常生活中遇到的组合问题。
二、新课讲解（15分钟）1. 讲解组合的定义和性质，通过示例解释组合的概念。
2. 介绍组合数的计算方法，包括排列组合公式和递推公式。
3. 通过PPT展示组合数的计算过程和应用实例。
三、课堂练习（10分钟）1. 让学生独立完成练习题，巩固组合的概念和计算方法。
2. 引导学生思考如何应用组合数解决实际问题。
四、总结与拓展（5分钟）1. 总结组合的概念和计算方法，强调组合在实际生活中的应用。
2. 提出拓展问题，引导学生进一步思考组合数的性质和应用。
五、作业布置（5分钟）1. 布置练习题，要求学生巩固组合的概念和计算方法。
2. 鼓励学生思考生活中的组合问题，培养学生的应用能力。
教学反思：本节课通过导入、新课讲解、课堂练习、总结与拓展等环节，使学生理解组合的概念和性质，掌握组合数的计算方法，并能够应用组合数解决实际问题。
在教学过程中，要注意引导学生思考和讨论，激发学生的学习兴趣和主动性。
通过练习题和实际问题的解决，巩固学生的知识，提高学生的应用能力。
六、组合与组合数在几何中的应用（15分钟）教学目标：1. 理解组合数在几何中的应用。
2. 学会使用组合数解决几何问题。
教学重点：1. 组合数在几何中的应用。
教学难点：1. 如何将几何问题转化为组合问题。
教学准备：1. 教学PPT。
2. 几何问题示例。
教学过程：1. 通过PPT展示组合数在几何中的应用实例，如平面几何中的区域划分、线段组合等。
2. 引导学生思考如何将几何问题转化为组合问题，并利用组合数解决。
3. 分析几何问题中的组合规律，引导学生总结解决几何问题的方法。
计数排列组合教案第一章：排列组合基本概念1.1 排列组合的定义排列：从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列的过程。
组合：从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素，但与排列不同的是，组合不考虑元素的顺序。
1.2 排列组合的符号表示排列符号：P(n,m) 或A(n,m)组合符号：C(n,m)1.3 排列组合的数量公式排列数量公式：P(n,m) = n! / (n-m)!组合数量公式：C(n,m) = n! / (m! (n-m)!)第二章：排列的应用2.1 排列的定义及性质排列的定义：从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列的过程。
排列的性质：排列的顺序不同，视为不同的排列。
2.2 排列的数量公式排列数量公式：P(n,m) = n! / (n-m)!排列的应用场景：例如，安排活动、安排比赛等。
2.3 排列的计算实例实例1：从A、B、C、D四个字母中取出2个字母，求排列的数量。
实例2：从一个班级中选出3名学生参加比赛，求排列的数量。
第三章：组合的应用3.1 组合的定义及性质组合的定义：从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素，但与排列不同的是，组合不考虑元素的顺序。
组合的性质：组合的元素顺序不影响其结果。
3.2 组合的数量公式组合数量公式：C(n,m) = n! / (m! (n-m)!)组合的应用场景：例如，组合抽奖、组合选课等。
3.3 组合的计算实例实例1：从A、B、C、D四个字母中取出2个字母，求组合的数量。
实例2：从一个班级中选出3名学生参加比赛，求组合的数量。
第四章：排列组合的综合应用4.1 排列组合的综合应用场景场景1：安排活动，如聚会、旅游等。
场景2：比赛安排，如比赛分组、比赛日程等。
场景3：抽奖活动，如彩票、抽奖箱等。
4.2 排列组合的综合计算实例实例1：从一个班级中选出3名学生参加比赛，要求班级中有20名学生，求排列和组合的数量。
实例2：安排一次聚会，共有10个朋友，要求每个朋友都不与其他朋友重复参加，求排列的数量。
组合与组合数教案（优秀）一、教学目标1. 让学生理解组合的概念，掌握组合的计算方法。
2. 培养学生运用组合知识解决实际问题的能力。
3. 引导学生发现数学在生活中的应用，提高学习数学的兴趣。
二、教学内容1. 组合的定义及计算方法。
2. 组合数的计算公式。
3. 组合在实际问题中的应用。
三、教学重点与难点1. 重点：组合的概念，组合的计算方法，组合数的计算公式。
2. 难点：组合在实际问题中的应用。
四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究组合的概念和计算方法。
2. 用实例讲解组合在实际问题中的应用，提高学生的实践能力。
3. 利用多媒体辅助教学，直观展示组合的图形和计算过程。
五、教学准备1. 课件：组合的定义、计算方法、组合数的计算公式及相关实例。
2. 教学素材：相关实际问题，用于引导学生运用组合知识解决。
3. 学生作业：布置相关的练习题，巩固所学知识。
六、教学过程1. 导入：通过一个简单的实际问题引入组合的概念，激发学生的兴趣。
2. 新课导入：讲解组合的定义，引导学生理解组合的意义。
3. 组合的计算方法：讲解组合的计算方法，让学生通过实例体会组合的计算过程。
4. 组合数的计算公式：推导组合数的计算公式，让学生理解组合数与排列数的关系。
5. 练习与讨论：让学生分组讨论，互相解答疑惑，巩固所学知识。
七、课堂练习1. 布置适量的课堂练习题，让学生运用组合知识解决问题。
2. 引导学生互相批改，讨论解题思路，提高解题能力。
3. 对学生的练习情况进行点评，指出优点和不足，给予鼓励和建议。
八、组合在实际问题中的应用1. 通过实例讲解组合在实际问题中的应用，让学生体会数学的价值。
2. 引导学生运用组合知识解决实际问题，培养学生的实践能力。
3. 让学生分组讨论，分享各自的解题过程和心得，互相学习。
九、课堂小结1. 回顾本节课所学内容，让学生总结组合的概念、计算方法和组合数的计算公式。
2. 强调组合在实际问题中的应用，激发学生学习数学的兴趣。
高中数学排列组合计算教学一、教学任务及对象1、教学任务本节课的教学任务是以高中数学排列组合计算为核心，使学生掌握排列组合的基本概念、原理及其计算方法。
通过学习，学生能够理解排列与组合的区别，运用排列组合知识解决实际问题，提高逻辑思维能力和数学运算能力。
2、教学对象本节课的教学对象为高中一年级学生，他们在之前的学习中已经接触过基本的计数原理，具备一定的数学基础。
此外，学生已经掌握了加法原理和乘法原理，但对于排列组合的计算方法尚不熟悉，需要通过本节课的学习来提高。
在教学过程中，教师需关注学生的个体差异，因材施教，使每个学生都能在课堂上得到提高。
二、教学目标1、知识与技能（1）理解排列组合的概念，掌握排列、组合的计算公式；（2）能够运用排列组合知识解决实际问题，如：分配问题、选择问题等；（3）提高数学运算能力，熟练运用排列组合知识进行计算；（4）培养逻辑思维能力，能够分析问题中的排列组合关系。
2、过程与方法（1）通过实例导入，引导学生发现排列组合问题，激发学生的探究欲望；（2）采用小组合作、讨论交流的方式，让学生在互动中掌握排列组合的计算方法；（3）设计丰富的练习题，巩固所学知识，提高学生的实际应用能力；（4）鼓励学生总结解题规律，形成自己的解题方法。
3、情感，态度与价值观（1）培养学生对数学学科的兴趣，激发学习热情；（2）引导学生用数学的眼光观察生活，发现生活中的排列组合问题；（3）培养学生严谨、认真的学习态度，对待数学问题要有耐心和毅力；（4）培养学生团队合作意识，学会倾听、尊重他人意见，共同解决问题；（5）通过解决实际问题，让学生体会到数学在生活中的重要性，增强社会责任感。
在教学过程中，教师需关注学生的情感态度，营造轻松愉快的学习氛围，使学生在愉悦的情感中学习。
同时，注重培养学生的价值观，让学生认识到数学学习的意义和价值，从而激发他们学习的内在动力。
总之，本节课的教学目标旨在提高学生的知识与技能，培养学生的逻辑思维能力和实际应用能力，同时关注学生的情感态度和价值观的培养。
1.2.2组合(1):(2):例本；精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太）要求每个盒子教学过程设计队进半决赛：甲组第一名与乙组第二名，乙组第一名与甲组第二名作游客每人一份，又有多阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。
读大海，读出了它气势磅礴的豪情。
读石灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。
2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂；幸福是“春种一粒粟，秋收千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；幸福是“奇闻共欣赏，疑义相与析”的愉悦。
幸福是“随风潜入夜，润物细无声”的奉献；幸福是“夜来风雨声，花落知多少”的恬淡。
幸福是“零落成泥碾作尘，只有香如故”的圣洁。
幸福是“壮志饥餐胡虏肉，笑谈渴饮匈奴血”的豪壮。
幸福是“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的胸怀。
幸福是“人生自古谁无死，留取丹心照汗青”的气节。
3、大自然的语言丰富多彩：从秋叶的飘零中，我们读出了季节的变换；从归雁的行列中，我读出了集体的力量；从冰雪的消融中，我们读出了春天的脚步；从穿石的滴水中，我们读出了坚持的可贵；从蜂蜜的浓香中，我们读出了勤劳的甜美。
4、成功与失败种子，如果害怕埋没，那它永远不能发芽。
鲜花，如果害怕凋谢，那它永远不能开放。
矿石，如果害怕焚烧（熔炉），那它永远不能成钢（炼成金子）。
蜡烛，如果害怕熄灭（燃烧），那它永远不能发光。
航船，如果害怕风浪，那它永远不能到达彼岸。
5、墙角的花，当你孤芳自赏时，天地便小了。
井底的蛙，当你自我欢唱时，视野便窄了。
笼中的鸟，当你安于供养时，自由便没了。
山中的石！当你背靠群峰时，意志就坚了。
水中的萍！当你随波逐流后，根基就没了。
空中的鸟！当你展翅蓝天中，宇宙就大了。
空中的雁！当你离开队伍时，危险就大了。
地下的煤！你燃烧自己后，贡献就大了6、朋友是什么？朋友是快乐日子里的一把吉它，尽情地为你弹奏生活的愉悦；朋友是忧伤日子里的一股春风，轻轻地为你拂去心中的愁云。
高中数学教案：排列与组合一、教学目标1. 理解排列与组合的概念，掌握排列与组合的计算方法。
2. 培养学生的逻辑思维能力，提高学生解决实际问题的能力。
3. 培养学生合作学习、积极探究的精神。
二、教学内容1. 排列的概念与计算方法2. 组合的概念与计算方法3. 排列与组合的应用4. permutation 和bination 的概念与计算公式5. 排列与组合在实际问题中的应用案例。
三、教学重点与难点1. 重点：排列与组合的概念、计算方法及应用。
2. 难点：排列与组合的计算公式推导及应用。
四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究排列与组合的规律。
2. 利用实例分析，让学生体会排列与组合在实际问题中的应用。
3. 采用小组讨论法，培养学生的合作意识与团队精神。
五、教学过程1. 导入新课：通过生活中的一些实例，引入排列与组合的概念。
2. 讲解排列与组合的定义及计算方法：讲解排列的概念、计算方法，引导学生理解排列的意义；讲解组合的概念、计算方法，让学生掌握组合的计算技巧。
3. 练习与巩固：布置一些练习题，让学生运用所学知识解决问题，加深对排列与组合的理解。
4. 应用拓展：分析一些实际问题，让学生运用排列与组合的知识解决实际问题。
5. 总结与反思：对本节课的内容进行总结，引导学生反思自己在学习过程中的收获与不足。
教案参考示例：一、教学目标1. 理解排列与组合的概念，掌握排列与组合的计算方法。
2. 培养学生的逻辑思维能力，提高学生解决实际问题的能力。
3. 培养学生合作学习、积极探究的精神。
二、教学内容1. 排列的概念与计算方法2. 组合的概念与计算方法3. 排列与组合的应用4. permutation 和bination 的概念与计算公式5. 排列与组合在实际问题中的应用案例。
三、教学重点与难点1. 重点：排列与组合的概念、计算方法及应用。
2. 难点：排列与组合的计算公式推导及应用。
四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究排列与组合的规律。
学习必备欢迎下载简单的组合计数问题浙江省镇海中学沈虎跃【教学目标】【知识与技能】1、灵活应用分类相加原理与分步相乘原理进行计数．2、掌握基本的组合数恒等变形.【过程与方法】通过解决几个简单的组合计数问题的学习，使学生进一步熟练掌握解决简单的组合计数问题的常用思考方法．【情感、态度价值观】1、渗透解决问题从自然的想法出发，从简单问题入手的基本原则．2、使学生表达清晰、思考有条理．3、通过引导学生主动参与分析解决问题，培养学生的探索精神，及锲而不舍的精神．【重点难点】重点：灵活应用分类相加原理与分步相乘原理进行计数．难点：如何将问题进行适当的分类或分步．【突破方式】通过典型例题的师生互动分析、共同解决，加深学生对两个基本计数原理的理解；通过引申变式训练，进一步深化其应用．【教学策略】【教学顺序】课题引入，方法展示，互动探究，方法构建，练习巩固，归纳小结．【教学方法与手段】1．采用师生互动的方式，在教师的引导下，学生通过思考、交流、讨论、辨析，加深学生对两个基本计数原理的理解，体验自主探索、合作交流的学习方式，充分发挥学生的积极性与主动性．2．利用计算机辅助教学．【教学过程】一、课题引入本课我们主要通过共同解决几个简单的组合计数问题来进一步理解基本计数原理、掌握组合计数中一些常用方法与技巧。
同学们最喜欢听技巧，最好来“四两拨千斤”，要知道如果用杠杆原理来做的话，你的运动位移是抬起高度的2500 倍，你以更长的位移换取更小的力。
数学上大概也如此，想到用更简洁的方法与技巧，大概要付出更长的思考时间，当然数学上更长的思考时间可以在平时进行，还是那句老话，“一份辛苦，一份收获” 。
对于组合数学我很欣赏。
不妨从一个简单的例子来展示一下。
二、方法展示【引例】 n 元集 S={1,2,3, ,n}的子集个数为。
方法 1：按照子集中含有元素的个数分类计数：k n含有 k 个元素的子集有k n 。
C n（）个则共有子集k=0,1,2,3, C n 2,n,k 0其中揭示了组合计数中一个基本原理：分类相加原理，即完成一件事情可分成n 类，n第 i 类有 M i种方式，则完成这一件事情共有N M i种方式。
i 1方法 2：按照每一个元素的归属分步计数：设 A S，我们考虑， 1 A 或 1 A有 2种方式， 2 A 或 2 A 有 2 种方式，一般地， k A 或 k A 有 2 种方式，当1，2，3，， n 这 n 个元素的归属确定，则子集 A 中的元素也就确定下来了，这样共有 2 2 2 2n个不同的子集。
n 步，其中揭示了组合计数中一个基本原理：分步相乘原理，即完成一件事情可分成n第 i 步有 M i种方式，则完成这一件事情共有N M i种方式。
i 1以上两种方式及其揭示的原理是组合计数中的两个基本原理，在今后的计数中经常用到。
当然对于一个关于n 的问题我们也可以从简单做起、从小做起的角度考虑.当 n=1 时，子集个数为 2 个即， {1}当 n=2 时，子集个数为 4 个即， {1} ， {2} ， {1,2}当 n=3 时，子集个数为8 个即， {1} ， {2} ， {1,2} ， {3} ， {1,3} ， {2,3} ， {1,2,3}也就是说，我们只需将前一种方式排出，则下一种即可作出。
方法 3：递推法计数：设 n 元集 S={1,2,3, ,n} 的子集个数为a n，则a12，则 n＋ 1 元集 {1,2,3, ,n＋1} 的子集个数为 a n 1，同时这些子集可以分成两类：第一类，不含n＋1，有a n个；第二类，含n＋ 1，只需在每不含 n＋1 的子集中添加 n＋ 1 即可，这样也有有a n个。
故 a n 1 2a n a1 2 即 a n 2n n N三、互动探究【例 1】已知 A∪ B={1,2,3, ┄, n}，则有序集合对 (A, B)的个数为方法 1：（按 A 中的元素个数分类）：设|A|=k,则此时B的构成如下:A 中的每个元素可取也可不取,其余元素全取 ,故有序集合对 (A, B)nC n k 2k (1 2) n 3n的个数为k 0。
A B方法 2：（分步而言）：①（如图）将A∪ B 分成 A－ B、A∩B、B－ A 互不相交的三个部分即分为三类，则i 可以放在这三类中的任意一类（i ＝ 1,2,3,┄ , n），故共有3n个有序集合对。
②对于元素i 有 i A ，i A 两种选择，又i B ，i B 两种选择 ,再除去 i 不在 A，也不在B 中的情形，即有(221) 种方式（i＝1,2,3,┄, n），故共有 (2 21)n3n个有序集合对。
【引申1】已知 A ∪ B∪ C={1,2,3, ┄, n} ，则三元有序集合组(A, B,C)的个数为。
方法 1：（按 A∪ B 中的元素个数分类）：设|A∪B|=k,则C的选择方式有 2k种,满足|A∪B|=k的集合对(A, B)有3k中,这样故三元有序集A BCnC n k 3k 2k (1 6) n7n合组 (A, B,C 的个数为k 0方法 2：（分步而言） ：①（如图）恰好分成互不相交的7 部分，故共有 7n 个有序集合对。
② 对于元素 i 有 i A ， i A 两种选择， i B ， i B 两种选择 , 又 i C ， i C 两种选择 ,再除去 i 不在 A ，不在 B 中, 也不在 C 中的情形，即有 (2 31) 种方式（ i ＝1,2,3,┄ , n ），故共有 (23 1)n7n 个有序集合对。
【引申 2 】已知 A ∪ B ∪ C ∪ D ={1,2,3, ┄ , n} ，则四元有序集合组 (A , B,C,D) 的个数 为 。
n方法 1：（分类而言） ： C n k 7k 2k(1 14) n 15nk 0方法 2：（分步而言） ：①（如图）画四个圆能行吗？不行！（为什么肯定不行？）当然画图还可以，比如②同【引申 1】、【引申 2】可知，故共有 (2 4 1)n 15n 个有序集合对。
【引申 3】已知 A 1∪ A 2∪ ∪ A k ={1,2,3, ┄ , n}，则 n 元有序集合组 (A 1, A 2, , A k )的个 数为 。
对于 k 较大时画图比较麻烦， 采用方法 2 比较恰当， 这样可得共有 (2 k 1)n个有序集合对。
数学归纳法四、方法构建1、将问题恰当地分类或分步2、从简单入手（包括简单的想法、问题的特殊化等）五、练习巩固【练习】用 1，2，3，4， 5， 6 组成一个 n 位整数，其中数字 1 出现偶数次有多少个？ 解 :设 1 在 n 位整数中出现 2i 次 (i 0,1,2, ,n) ,2n25n2iC n 2i(5 1)n 2 (5 1)n6n 4n .i 02附（递推法） :设 A={ 用 1，2，3， 4，5，6 组成一个 n 位整数，其中数字 1 出现偶数次的个数 }设 | A A 则 A 5A (6 n 1 An 1 ),A 5,| n, n n 1 11 ( 6)n 13[1(3 )n 1]A n A n 1 ,A nA 11 22 1 [1 (3 n]4n4n 14 4 即4n 4 432 2)11 (4 n 2A n 6n ) n N * .2【引申 1】用 1，2，3， 4， 5，6 组成一个 n 位整数，其中数字 1， 2 均出现偶数次有多少个？解 : 设 1,2 在 n 位整数中共出现2i 次 (i1,2, , n) ,其中 1 出现 2 j 次 ( j1,2, , i ) ,则 1，22 均出现偶数次有nnn 2i2i24n 2 i C n 2i 1 22i4n 2 i C n 2iC 22i j = 4n4n 2i C n 2iC 22i j 4ni 0j 0i 1j 0i 12nn1 2 n 2 i2i 2 2i4 n1 (4 2)n(4 2)n n]4 2 i 14C n[2426n 2 4n 2nn N *4附（递推法） : 设a n ：表示在 n 位整数中 1 出现偶数次b n ：表示在 n 位整数中 1 出现奇数次c n ：表示在 n 位整数中 1 出现偶数次d n ：表示在 n 位整数中 1 出现奇数次 则a nb n 1c n 1 4a n 1b n d n 1 a n 1 4b n 1c nd n 1 a n 1 4c n 1d nb n 1c n 1 4d n 1由①-④得,2 出现偶数次的个数； ,2 出现偶数次的个数； ,2 出现奇数次的个数；,2 出现奇数次的个数； ① ② ③④a n d n 4( a n 1 d n 1 )4n 1 (a 1d 1 ) 4n 1 (4 0) 4n由②-③得b nc n4( b n 1 c n 1)4n 1(b 1 c 1 ) 4n 1(1 1) 0又令A n a n d n 即 1,2 均出现次数同奇偶的个数;B nb nc n 即 1,2 均出现次数异奇偶的个数 ;所以 A n 2B n 1 4A n 1 (可由① +④得 ) ⑤B n 2 A n 1 4B n 1 (可由② +③得 )⑥由⑤ +⑥得 A n B n6n由⑤-⑥得A nB nA n 1B n 1A 1B 14 2 2所以 , A n 6n2n26n 2nn1[( a n4nnn所以 , a nd n ) (a n d n )]26 2 4 2n N *22 4【引申 2】用 1，2，3， 4， 5，6 组成一个 n 位整数，其中数字 1， 2 至少一个出现偶数次有多少个？解 :设 A={ n 位整数中 1 出现偶数次的个数 } ； B={ n 位整数中 2 出现偶数次的个数 } 则 A B={ n 位整数中 1，2 均出现偶数次的个数} ，由上面的讨论可知 ,11nnn| A |6n)n6n)n N*，|A B|=62 42n N *(4nN * , B n (4n224故 | A B | | A | | B | | A B | 4n6n6n 2 4n2n3 6n 2 4n 2n n N *44【例 3】设自然数 k 满足 1 k 100， 对1,2, ,100的任一个排列 a 1,a 2 ,a 100 ，取最小的 m k，使a m 至少小于 a 1 , a 2 ,,a k 中 k 1个数，已知满足 a m100!1 的数列的个数为.求 k 。
4解答：将 a 1 ,a 2 , a k 重新排列成 b 1b 2b k ，由 m 的最小性，设 b 2 t ，则a m t ， a i t (i k 1, k 2, m 1)当 t 固定时.由 b 1 t . 且 b 1 不能为 1，故 b 1 有 t 2 种取法，而 b 3 ,b k t, 故有 C 100k2 t 种取法，而将1 2k 排列有 k!种，于是确定a 1, a 2 , , a k 有 (t 2) C k 2b ,b ,b100 t k!种,而前面分析a i t (i k 1,k 2, , m 1) ,而在大于 t 的 100 t 个数中除去b 3 ,b 4,,b k 还有 100 t ( k 2) 102 t k m k 1 种取法 而a m 1 是固定的,其余数 个数。
