习题1.2

大学化学课后习题1,2,3答案大学化学课后习题答案(吉林大学版)第1_2_3_章第一章化学反应的基本规律1.2习题及详解一、判断问题1.状态函数都具有加和性。

（×）2.系统的状态发生改变时，至少有一个状态函数发生了改变。

（√）3.由于caco3固体的分解反应是吸热的，故caco3的标准摩尔生成焓是负值。

（×）4.利用盖斯定律计算反应热效应时,其热效应与过程无关,这表明任何情况下,化学反应的热效应只与反应的起,始状态有关,而与反应途径无关。

(×)5.因为物质的绝对熵随温度的升高而增大，故温度升高可使各种化学反应的δs大大增加。

（×）6.δh,δs受温度影响很小，所以δg受温度的影响不大。

（×）7.凡δg大于零的过程都不能自发进行。

（×）8.273k，101.325kpa下，水凝结为冰，其过程的δs<0,δg=0。

(√)kt？？（ph2o/p？）4（ph2/p？）49.反应Fe3O4（s）+4h2（g）的平衡常数表达式→ 3Fe（s）+4H2O（g）为10。

2No+O2反应速率方程→ 2no2是：v?kc2(no)?c(o2)。

（√），该反应一定是基元反应。

（×）二．选择题1.气体系统通过路径1和路径2扩展到相同的最终状态，两个变化过程产生的体积功相等，没有非体积功，则两个过程（b）a.因变化过程的温度未知，依吉布斯公式无法判断δg是否相等b.δh相等c、系统和环境之间的热交换不等于D。

上述所有选项都是正确的cucl2(s)+cu(s)→2cucl(s)δrhmθ(1)=170kj?mol-1cu(s)+cl2(g)→cucl2(s)δrhmθ(2)=-206kj?mol-1则δfhmθ（cucl,s）应为（d）kj.mol-1a、 36b.-36摄氏度。

18d.-十八3.下列方程式中,能正确表示agbr(s)的δfhmθ的是(b)a.ag(s)+1/2br2(g)→agbr(s)b.ag(s)+1/2br2(l)→agbr(s)c.2ag(s)+br2(l)→2agbr( s)d.ag+(aq)+br-(aq)→agbr(s)在4.298k下，在下面对参考状态元素的描述中，正确的一个是（c）aδfhmθ≠0，δfgmθ＝0，smθ＝0b。

1.2会计基本假设、会计基础练习题单选题1。

下列各项中，属于企业会计核算的基础是(）A收付实现制B持续经营C会计分期D权责发生制2.下列有关企业会计基础的表述中，错误的是(）A权责发生制下凡不属于当期的费用,即使款项已在当期支付,也并不作为当期费用B权责发生制下凡不属于当期的收入,即使款项已在当期收取,也并不作为当期收入C收付实现制的会计基础是企业会计结算的主要依据D权责发生制的会计基础，在企业会计核算中发挥了统驭作用3。

将企业持续经营的生产经营活动划分为一个连续的长短相同的期间,体现的会计基本假设是（）A会计分期B货币计量C持续经营D会计主体4。

货款已经收到，但销售并未实现，则企业应当不确认销售商品收入，这一做法是（）A可比性信息质量的要求B谨慎性信息质量的要求C收付实现制基础的要求D权责发生制基础的要求5。

下列各项中，不属于会计中期的是()A月度B季度C年度D半年度6。

形成权责发生制和收付实现制不同的记账基础，进而出现应收、应付、预收、预付、折旧摊销等会计处理方法所依据的会计基本假设是(）A会计主体B持续经营C会计分期D货币计量7.界定从事会计工作和提供会计信息的空间范围是会计基前提是（）A会计职能B会计主体C会计内容D会计对象8。

企业本月收到上月赊销产品款20000元,本月销售产品40000元，收到货款30000元，余款尚未收到按权责发生制原则，本月实现的产品销售收入为(）元A20000 B30000 C40000 D600009.A公司1月份发生下列支出，预付本季度全年保险费2400，支付上年第四季度借款利息3000元（已预提），支付本月办公费800元，计入本月费用的是（）元A1000 B6200 C3200 D38010。

企业为应收账款计提坏账准备，主要体现的会计信息质量要求是（）A谨慎性B可比性C可靠性D重要性11.通常情况下，最关心偿债能回复力和支付利息能力的财务报表使用者是()A企业的债权人B企业职工C企业股东D税务机关12。

人教版高中数学必修1课后习题答案(第一章集合与函数概念)人教A版习题1.2（第24页）练习（第32页）1．答：在一定的范围内，生产效率随着工人数量的增加而提高，当工人数量达到某个数量时，生产效率达到最大值，而超过这个数量时，生产效率随着工人数量的增加而降低．由此可见，并非是工人越多，生产效率就越高．2．解：图象如下[8,12]是递增区间，[12,13]是递减区间，[13,18]是递增区间，[18,20]是递减区间．3．解：该函数在[1,0]-上是减函数，在[0,2]上是增函数，在[2,4]上是减函数，在[4,5]上是增函数． 4．证明：设12,x x R∈，且12x x <， 因为121221()()2()2()0f x f x x x x x -=--=->，即12()()f x f x >， 所以函数()21f x x =-+在R 上是减函数.5．最小值．练习（第36页）1．解：（1）对于函数42()23f x x x =+，其定义域为(,)-∞+∞，因为对定义域内每一个x 都有4242()2()3()23()f x x x x x f x -=-+-=+=，所以函数42()23f x x x =+为偶函数；（2）对于函数3()2f x x x =-，其定义域为(,)-∞+∞，因为对定义域内每一个x 都有33()()2()(2)()f x x x x x f x -=---=--=-，所以函数3()2f x x x =-为奇函数；（3）对于函数21()x f x x+=，其定义域为(,0)(0,)-∞+∞U ，因为对定义域内每一个x 都有22()11()()x x f x f x x x-++-==-=--，所以函数21()x f x x+=为奇函数；（4）对于函数2()1f x x =+，其定义域为(,)-∞+∞，因为对定义域内每一个x 都有22()()11()f x x x f x -=-+=+=，所以函数2()1f x x =+为偶函数.2．解：()f x 是偶函数，其图象是关于y 轴对称的；()g x 是奇函数，其图象是关于原点对称的．习题1.3（第39页）1．解：（1）函数在5(,)2-∞上递减；函数在5[,)2+∞上递增； （2）函数在(,0)-∞上递增；函数在[0,)+∞上递减.2．证明：（1）设120x x <<，而2212121212()()()()f x f x x x x x x x -=-=+-， 由12120,0x x x x +<-<，得12()()0f x f x ->，即12()()f x f x >，所以函数2()1f x x =+在(,0)-∞上是减函数；（2）设120x x <<，而1212211211()()x x f x f x x x x x --=-=，由12120,0x x x x >-<，得12()()0f x f x -<，即12()()f x f x <，所以函数1()1f x x=-在(,0)-∞上是增函数. 3．解：当0m >时，一次函数y mx b =+在(,)-∞+∞上是增函数；当0m <时，一次函数y mx b =+在(,)-∞+∞上是减函数，令()f x mx b =+，设12x x <， 而1212()()()f x f x m x x -=-，当0m >时，12()0m x x -<，即12()()f x f x <， 得一次函数y mx b =+在(,)-∞+∞上是增函数；当0m <时，12()0m x x ->，即12()()f x f x >， 得一次函数y mx b =+在(,)-∞+∞上是减函数.4．解：自服药那一刻起，心率关于时间的一个可能的图象为5．解：对于函数21622100050x y x =-+-， 当162405012()50x=-=⨯-时，max 307050y =（元）， 即每辆车的月租金为4050元时，租赁公司最大月收益为307050元． 6．解：当0x <时，0x ->，而当0x ≥时，()(1)f x x x =+，即()(1)f x x x -=--，而由已知函数是奇函数，得()()f x f x -=-，得()(1)f x x x -=--，即()(1)f x x x =-，所以函数的解析式为(1),0()(1),0x x x f x x x x +≥⎧=⎨-<⎩. B 组1．解：（1）二次函数2()2f x x x =-的对称轴为1x =，则函数()f x 的单调区间为(,1),[1,)-∞+∞，且函数()f x 在(,1)-∞上为减函数，在[1,)+∞上为增函数，函数()g x 的单调区间为[2,4]， 且函数()g x 在[2,4]上为增函数； （2）当1x =时，min ()1f x =-，因为函数()g x 在[2,4]上为增函数，所以2min ()(2)2220g x g ==-⨯=．2．解：由矩形的宽为xm ，得矩形的长为3032xm -，设矩形的面积为S ， 则23033(10)22x x x S x --==-， 当5x =时，2max 37.5S m =，即宽5x =m 才能使建造的每间熊猫居室面积最大，且每间熊猫居室的最大面积是237.5m ．3．判断()f x 在(,0)-∞上是增函数，证明如下： 设120x x <<，则120x x ->->，因为函数()f x 在(0,)+∞上是减函数，得12()()f x f x -<-， 又因为函数()f x 是偶函数，得12()()f x f x <，所以()f x 在(,0)-∞上是增函数．复习参考题（第44页）A 组1．解：（1）方程29x =的解为123,3x x =-=，即集合{3,3}A =-；（2）12x ≤≤，且x N ∈，则1,2x =，即集合{1,2}B =；（3）方程2320xx -+=的解为121,2x x ==，即集合{1,2}C =．2．解：（1）由PA PB =，得点P 到线段AB 的两个端点的距离相等，即{|}P PA PB =表示的点组成线段AB 的垂直平分线；（2）{|3}P POcm =表示的点组成以定点O 为圆心，半径为3cm 的圆． 3．解：集合{|}P PA PB =表示的点组成线段AB 的垂直平分线， 集合{|}P PA PC =表示的点组成线段AC 的垂直平分线，得{|}{|}P PA PB P PA PC ==I 的点是线段AB 的垂直平分线与线段AC 的垂直平分线的交点，即ABC ∆的外心．4．解：显然集合{1,1}A =-，对于集合{|1}B x ax ==，当0a=时，集合B =∅，满足B A ⊆，即0a =；当0a ≠时，集合1{}B a=，而B A ⊆，则11a =-，或11a =，得1a =-，或1a =，综上得：实数a 的值为1,0-，或1．5．解：集合20(,)|{(0,0)}30x y A B x y x y ⎧-=⎫⎧==⎨⎨⎬+=⎩⎩⎭I ，即{(0,0)}A B =I ；集合20(,)|23x y A C x y x y ⎧-=⎫⎧==∅⎨⎨⎬-=⎩⎩⎭I，即A C =∅I ；集合3039(,)|{(,)}2355x y B C x y x y ⎧+=⎫⎧==-⎨⎨⎬-=⎩⎩⎭I； 则39()(){(0,0),(,)}55A B B C =-IU I .6．解：（1）要使原式有意义，则2050x x -≥⎧⎨+≥⎩，即2x ≥，得函数的定义域为[2,)+∞；（2）要使原式有意义，则40||50x x -≥⎧⎨-≠⎩，即4x ≥，且5x ≠，得函数的定义域为[4,5)(5,)+∞U ．7．解：（1）因为1()1x f x x -=+， 所以1()1a f a a -=+，得12()1111a f a a a -+=+=++， 即2()11f a a +=+；（2）因为1()1xf x x-=+，所以1(1)(1)112a af a a a -++==-+++， 即(1)2af a a +=-+．8．证明：（1）因为221()1x f x x +=-，所以22221()1()()1()1x x f x f x x x +-+-===---，即()()f x f x -=；（2）因为221()1x f x x+=-， 所以222211()11()()111()x x f f x x x x++===---， 即1()()f f x x=-.9．解：该二次函数的对称轴为8k x=， 函数2()48f x x kx =--在[5,20]上具有单调性， 则208k ≥，或58k ≤，得160k ≥，或40k ≤， 即实数k 的取值范围为160k ≥，或40k ≤．10．解：（1）令2()f x x -=，而22()()()f x x x f x ---=-==，即函数2y x -=是偶函数； （2）函数2y x -=的图象关于y 轴对称； （3）函数2y x -=在(0,)+∞上是减函数； （4）函数2y x -=在(,0)-∞上是增函数．B 组1．解：设同时参加田径和球类比赛的有x 人， 则158143328x ++---=，得3x =，只参加游泳一项比赛的有15339--=（人），即同时参加田径和球类比赛的有3人，只参加游泳一项比赛的有9人．2．解：因为集合A ≠∅，且20x ≥，所以0a ≥．3．解：由(){1,3}U A B =U ð，得{2,4,5,6,7,8,9}A B =U ，集合A B U 里除去()U A B I ð，得集合B ， 所以集合{5,6,7,8,9}B =.4．解：当0x ≥时，()(4)f x x x =+，得(1)1(14)5f =⨯+=； 当0x <时，()(4)f x x x =-，得(3)3(34)21f -=-⨯--=；(1)(5),1(1)(1)(3),1a a a f a a a a ++≥-⎧+=⎨+-<-⎩． .5．证明：（1）因为()f x ax b =+，得121212()()222x x x x a f a b x x b ++=+=++， 121212()()()222f x f x ax b ax b a x x b ++++==++， 所以1212()()()22x x f x f x f ++=； （2）因为2()g x x ax b =++，得22121212121()(2)()242x x x x g x x x x a b ++=++++， 22121122()()1[()()]22g x g x x ax b x ax b +=+++++ 2212121()()22x x x x a b +=+++， 因为2222212121212111(2)()()0424x x x x x x x x ++-+=--≤， 即222212121211(2)()42x x x x x x ++≤+， 所以1212()()()22x x g x g x g ++≤. 6．解：（1）函数()f x 在[,]b a --上也是减函数，证明如下：设12b x x a -<<<-，则21a x x b <-<-<， 因为函数()f x 在[,]a b 上是减函数，则21()()f x f x ->-，又因为函数()f x 是奇函数，则21()()f x f x ->-，即12()()f x f x >， 所以函数()f x 在[,]b a --上也是减函数；（2）函数()g x 在[,]b a --上是减函数，证明如下： 设12b x x a -<<<-，则21a x x b <-<-<，因为函数()g x 在[,]a b 上是增函数，则21()()g x g x -<-， 又因为函数()g x 是偶函数，则21()()g x g x <，即12()()g x g x >， 所以函数()g x 在[,]b a --上是减函数．7．解：设某人的全月工资、薪金所得为x 元，应纳此项税款为y 元，则 0,02000(2000)5%,2000250025(2500)10%,25004000175(4000)15%,40005000x x x y x x x x ≤≤⎧⎪-⨯<≤⎪=⎨+-⨯<≤⎪⎪+-⨯<≤⎩ 由该人一月份应交纳此项税款为26.78元，得25004000x <≤， 25(2500)10%26.78x +-⨯=，得2517.8x =， 所以该人当月的工资、薪金所得是2517.8元．。

1.2充分条件与必要条件A组1.“四边形是平行四边形”是“四边形是正方形”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：由“四边形是平行四边形”不一定得出“四边形是正方形”,但当“四边形是正方形”时必有“四边形是平行四边形”,故“四边形是平行四边形”是“四边形是正方形”的必要不充分条件.答案：B2.“x≤2或x≥5”是“x2-7x+10>0”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：x2-7x+10>0,解得x>5或x<2.∴“x≤2或x≥5”是“x2-7x+10>0”的必要不充分条件.故选B.答案：B3.“a=2”是“直线ax+2y=0平行于直线x+y=1”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：若a=2,则ax+2y=0即为x+y=0与直线x+y=1平行,反之若ax+2y=0与x+y=1平行,则-=-1,a=2,故选C.答案：C4.给出下列3个结论:①x2>4是x3<-8的必要不充分条件;②在△ABC中,AB2+AC2=BC2是△ABC 为直角三角形的充要条件;③若a,b∈R,则“a2+b2≠0”是“a,b不全为0”的充要条件.其中正确的是()A.①②B.②③C.①③D.①②③解析：由x2>4可得x>2或x<-2,而由x3<-8可得x<-2,所以x2>4是x3<-8的必要不充分条件,①正确;在△ABC中,若AB2+AC2=BC2,则△ABC一定为直角三角形,反之不成立,AB2+AC2=BC2是△ABC为直角三角形的充分不必要条件,故②不正确;容易判断③正确.答案：C5.“φ=π”是“曲线y=sin(2x+φ)过坐标原点”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析：当φ=π时,y=sin(2x+π)=-sin 2x,此时曲线过原点;而当曲线过原点时,φ=kπ,k∈Z.答案：A6.指数函数f(x)=(3-a)x是单调递增函数的充要条件是.解析：由指数函数的性质可得,要使该函数为增函数,只要3-a>1,即a<2.答案：a<27.已知a,b是两个命题,如果a是b的充分条件,那么¬a是¬b的条件.解析：由已知条件可知a⇒b,∴¬b⇒¬a.∴¬a是¬b的必要条件.答案：必要8.下面两个命题中,p是q的什么条件?(1)p:在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,b2>a2+c2,q:△ABC为钝角三角形;(2)a,b∈R,p:x>a2+b2,q:x>2ab.解(1)在△ABC中,因为b2>a2+c2,所以cos B=<0,所以B为钝角,即△ABC为钝角三角形.反之,若△ABC为钝角三角形,B可能为锐角,这时b2<a2+c2.所以p⇒q,q p,故p是q的充分不必要条件.(2)因为当a,b∈R时,有a2+b2≥2ab,所以p⇒q.反之,若x>2ab,则不一定有x>a2+b2,即p⇒q,q p,故p是q的充分不必要条件. 9.指出下列各组命题中,p是q的什么条件(用“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”作答).(1)向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),p:,q:a∥b;(2)p:|x|=|y|,q:x=-y;(3)p:直线l与平面α内两条平行直线垂直,q:直线l与平面α垂直;(4)f(x),g(x)是定义在R上的函数,h(x)=f(x)+g(x),p:f(x),g(x)均为偶函数,q:h(x)为偶函数.解(1)由向量平行公式可知p⇒q,但当b=0时,a∥b不能推出,即q p,故p是q的充分不必要条件.(2)因为|x|=|y|⇒x=±y,所以p q,但q⇒p,故p是q的必要不充分条件.(3)由线面垂直的判定定理可知:p q,但由线面垂直的定义可知:q⇒p,故p是q的必要不充分条件.(4)若f(x),g(x)均为偶函数,则h(-x)=f(-x)+g(-x)=f(x)+g(x)=h(x),所以p⇒q,但q p,故p是q的充分不必要条件.10.已知实数p:x2-4x-12≤0,q:(x-m)(x-m-1)≤0.(1)若m=2,则p是q的什么条件;(1)若q是p的充分不必要条件,求实数m的取值范围.解实数p:x2-4x-12≤0,解得-2≤x≤6,q:(x-m)(x-m-1)≤0,解得m≤x≤m+1,令A=[-2,6],B=[m,m+1],(1)若m=2,则B=[2,3],所以p是q的必要不充分条件;(2)若q是p的充分不必要条件,即B⫋A,则解得-2≤m≤5,∴m∈[-2,5].B组1.m=是直线x-y+m=0与圆x2+y2-2x-2=0相切的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：由圆心(1,0)到直线x-y+m=0距离d=,得m=或m=-3,故选A.答案：A2.若向量a=(x,3)(x∈R),则“x=4”是“|a|=5”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：若x=4,则a=(4,3),所以|a|==5;若|a|=5,则=5,所以x=±4,故“x=4”是“|a|=5”的充分不必要条件.答案：A3.以q为公比的等比数列{a n}中,a1>0,则“a1<a3”是“q>1”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析：在等比数列中,若a1<a3,则a1<a1q2.∵a1>0,∴q2>1,即q>1或q<-1.若q>1,则a1q2>a1,即a1<a3成立.∴“a1<a3”是“q>1”成立的必要不充分条件,故选B.答案：B4.设l,m,n均为直线,其中m,n在平面α内,则“l⊥α”是“l⊥m且l⊥n”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析：因为l⊥α,m⊂α,n⊂α,所以l⊥m且l⊥n,故充分性成立;当l⊥m且l⊥n时,m,n⊂α,不一定有m与n相交,所以l⊥α不一定成立,故必要性不成立.答案：A5.“0≤m≤1”是“函数f(x)=cos x+m-1有零点”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析：令f(x)=cos x+m-1=0,得cos x=-m+1,若函数有零点,则-1≤-m+1≤1,解得0≤m≤2,因此“0≤m≤1”是“函数f(x)=cos x+m-1有零点”的充分不必要条件.答案：A6.在△ABC中,设命题p:,命题q:△ABC是等边三角形,那么命题p是命题q的条件.解析：由,得,因此b2=ac,a2=bc,c2=ab,可得a=b=c,故△ABC是等边三角形;反之,若△ABC是等边三角形,则一定有.故命题p是命题q的充要条件.答案：充要7.给出下列命题:①“a>b”是“a2>b2”的充分不必要条件;②“lg a=lg b”是“a=b”的必要不充分条件;③若x,y∈R,则“|x|=|y|”是“x2=y2”的充要条件;④在△ABC中,“sin A>sin B”是“A>B”的充要条件.其中真命题是.(写出所有真命题的序号)解析：∵a=-2,b=-3时,a>b,而a2<b2,∴a>b对a2>b2不具备充分性,故①错误;∵lg a=lg b⇒a=b,∴具备充分性,故②错误;∵|x|=|y|⇒x2=y2,x2=y2⇒|x|=|y|,∴“|x|=|y|”是“x2=y2”的充要条件,③正确;∵在△ABC中,(1)当A,B均为锐角或一个为锐角一个为直角时,sin A>sin B⇔A>B.(2)当A,B有一个为钝角时,假设B为钝角,∵A+B<π⇒A<π-B⇒sin A<sin B,与sin A>sin B矛盾,∴只能A为钝角.∴sin A>sin B⇒A>B;反过来A>B,A为钝角时,π-A>B⇒sin A>sin B,∴④正确.答案：③④8.已知数列{a n}的前n项和S n=p n+q(p≠0且p≠1),求证:数列{a n}为等比数列的充要条件为q=-1.证明充分性:当q=-1时,a1=p-1,当n≥2时,a n=S n-S n-1=(p-1),当n=1时也成立.于是=p(p≠0且p≠1),即数列{a n}为等比数列.必要性:当n=1时,a1=S1=p+q.当n≥2时,a n=S n-S n-1=p n-1(p-1),因为p≠0且p≠1,所以=p.因为{a n}为等比数列,所以=p,即=p,即p-1=p+q,故q=-1.综上所述,q=-1是数列{a n}为等比数列的充要条件.。

1．求下列函数的反函数： ⑴11xy x-=+； 【解】从11x y x -=+解出x ，得11yx y-=+，对换变量,x y 得11x y x -=+， 即得11x y x -=+的反函数就是自身11xy x-=+。

⑵212xxy =+；【解】从212x x y =+解出x ，得21xy y =-，即得2log 1y x y=-， 对换变量,x y 得2log 1xy x=-， 即得212xxy =+的反函数就是自身2log 1x y x =-。

⑶114114xy x-+=++。

【解】从114114xy x-+=++解出x ，得1141y x y -+=+，即得211[()1]41y x y -=-+2(1)y y -=+， 对换变量,x y 得2(1)xy x -=+， 即得114114xy x-+=++的反函数是2(1)x y x -=+。

2．下列函数可以看成由哪些简单函数复合而成的？ ⑴sin 3y x =；【解】以简单变量u 替换内层的复杂变量3x ，即作中间变量3u x =,使得替换后的函数成为简单函数sin y u =，于是，函数sin 3y x =可以看成由简单函数sin y u =，3u x =复合而成的。

⑵2sin x y e =；【解】以简单变量u 替换内层的复杂变量2sin x ，即作中间变量2sin u x =,使得替换后的函数成为简单函数u y e =；这时，中间变量22sin (sin )u x x ==仍为复合函数，再以简单变量v 替换内层的复杂变量sin x ，即作第二中间变量sin v x =,使得替换后的函数成为简单函数2u v =，于是，函数2sin x y e =可以看成由简单函数uy e =，2u v =，sin v x =复合而成的。

⑶ln(ln(ln ))y x =；【解】以简单变量u 替换内层的复杂变量ln(ln )x ，即作中间变量ln(ln )u x =,使得替换后的函数成为简单函数ln y u =；这时，中间变量ln(ln )u x =仍为复合函数，再以简单变量v 替换内层的复杂变量ln x ，即作第二中间变量ln v x =,使得替换后的函数成为简单函数ln u v =，于是，函数ln(ln(ln ))y x =可以看成由简单函数ln y u =，ln u v =，ln v x =复合而成的。

算法第四版习题答案1.2/** 1.2.1 编写一个Point2D的用例，从命令行接受一个整数N。

在单位正方形内生成N个随机点，然后计算两点之间的最近距离*/public class testPoint2D {public testPoint2D() {// TODO Auto-generated constructor stub}public static void drawbox(double bw, double bh){StdDraw.setPenRadius(0.005);StdDraw.setPenColor(StdDraw.RED);Interval1D xinterval = new Interval1D(0, bw);Interval1D yinterval = new Interval1D(0, bh);Interval2D box = new Interval2D(xinterval, yinterval);box.draw();}public static Point2D[] drawpoint(int N){Point2D[] p=new Point2D[N];for(int i=0;i<N;i++){double x=Math.random();double y=Math.random();p[i]=new Point2D(x, y) ;p[i].draw();}return p;}public static double findmindist(Point2D[] p){Point2D p1=p[0];Point2D p2=p[1];double mindist =p[0].distanceTo(p[1]);StdDraw.setPenRadius(0.002);StdDraw.setPenColor(StdDraw.RED);int n=p.length ;for(int i=1;i<n-1;i++)for(int j=i+1;j<n;j++){double temp=p[i].distanceTo(p[j]);if(temp<mindist){ mindist=temp;p1=p[i];p2=p[j];}}p1.drawTo(p2);StdOut.print("min dist="+mindist +p1.toString()+p2.toString());return mindist;}public static void main(String[] args) {int N=StdIn.readInt();//读取画点的数量//StdDraw.setXscale(0,1 );//StdDraw.setYscale(0,1);drawbox(1,1);//画出一个单位大小的正方形StdDraw.setPenRadius(0.01);StdDraw.setPenColor(StdDraw.BLACK);//drawpoint(N);//画出N个点double min=findmindist(drawpoint(N));}}/** 编写一个Interval1D的用例，从命令行接受一个整数N。

2 电力电子器件（6）第1章习题第2部分：简答题1. 什么是电力电子技术？答：电力电子技术是应用于电力领域的电子技术，使用电力电子器件对电能进行变换和控制的技术。

2. 电能变换电路的有什么特点？机械式开关为什么不适于做电能变换电路中的开关？答：电能变换电路在输入与输出之间将电压、电流、频率、相位、相数中的一相加以变换。

电能变换电路中理想开关应满足切换时开关时间为零，使用寿命长，而机械开关不能满足这些要求。

3. 电力电子变换电路包括哪几大类？答：交流变直流——整流；直流变交流——逆变；直流变直流——斩波；交流变交流——交流调压、变频。

第2章习题（1）第2部分：简答题1.电力电子器件是如何定义和分类的？同处理信息的电子器件相比，它的特点是什么？答：电力电子器件是指可直接用于处理电能的主电路中，实现电能变换或控制的电子器件。

按照控制程度：不控型器件，半控型器件，全控型器件。

按驱动电路：电流驱动型，电压驱动型。

特点：处理的功率大，器件处于开关状态，需要信息电子电路来控制，需要安装散热片。

2.使晶闸管导通的条件是什么？答：两个条件缺一不可：（1）晶闸管阳极与阴极之间施加正向阳极电压。

（2）晶闸管门极和阴极之间必须加上适当的正向脉冲电压和电流。

3.维持晶闸管导通的条件是什么？怎样才能使晶闸管由导通变为关断？答：维持晶闸管导通的条件是流过晶闸管的电流大于维持电流。

欲使之关断，只需将流过晶间管的电流减小到其维持电流以下，可采用阳极电压反向、减小阳极电压或增大回路阻抗等方式。

第2章习题（1）第3部分：计算题1.晶闸管在单相正弦有效值电压220V时工作,若考虑晶闸管的安全裕量,其电压定额应选多大?解：晶闸管所承受的正、反向电压最大值为输入正弦交流电源电压的峰值311V；（注：电压峰值＝1.414*有效值）取晶闸管的安全裕量为2倍，则晶闸管额定电压不低于：2×311V＝622V。

2.流经晶闸管的电流波形如题图1－41所示,其电流最大值为Im。

第2节物质的酸碱性一.选择题（2020春•西湖区期末）推理是学习科学的重要方法，以下推理成立的是（）A.碳酸能使紫色石蕊试液变红，所以能使紫色石蕊试液变红的一定是碳酸B.单质是由同种元素组成的，所以由同种元素组成的物质一定是单质C.物质M在纯氧中燃烧后产生二氧化碳和水，所以M一定含碳和氢元素D.离子是带电的微粒，所以带电荷的微粒一定是离子（2019秋•常州期末）以下溶液中，导电性最弱的是（）A.蔗糖溶液B.氯化钠溶液C.硫酸溶液D.氢氧化钠溶液（2019秋•高州市期末）今年5月，我市各县区进行初中理化实验技能考查，在化学实验中小芳向一无色溶液中滴加紫色石蕊溶液，溶液呈蓝色。

以下结论正确的选项是（）A.该溶液显中性B.该溶液一定是一种碱的溶液C.该溶液能使无色酚献试液变红色D.该溶液是一种酸溶液（2018秋•河口区期末）李明同学在做家庭小实验时观察到，将紫甘蓝汁液加入到不同物质中会呈现不同颜色，并记录如下：苹果汁显酸性，那么在苹果汁中加入紫甘蓝汁液最有可能显示的颜色是（）A.蓝紫色B.红色C.绿色D.蓝色（2018秋•北仑区期末）把以下物质放入水中，能使紫色石蕊试液变蓝的是（）A. Cu （0H） 2B. Na20C. NaClD. CuO（2018秋•姑苏区期末）以下物质中含有大量自由移动离子的是（）A.稀盐酸B.氯化钠晶体C.酒精D.石墨（2018秋•平谷区期末）以下物质能使紫色石蕊试液变红的是（）A. C02B. 02C. NaClD. Ca （OH）2（2018秋•市中区期末）花青素遇酸性溶液变红色，遇碱性溶液变蓝色。

以下哪种调味品可以使花青素变红色（）A.食盐B.白醋C.味精D.香油（2018秋•韩城市期末）逻辑推理是一种重要的化学思维方法，以下推理正确的是（）A.酸性溶液能使紫色石蕊试液变红，能使紫色石蕊试液变红的一定是酸性溶液B.洗洁精除去餐具上的油污利用了乳化原理，那么汽油除去衣服上的油渍也利用了乳化原理C.阳离子都是带正电荷的粒子，带正电荷的粒子一定是阳离子D.氧化物中都含有氧元素，那么含有氧元素的化合物一定是氧化物（2018秋•唐山期末）以下说法不正确的选项是（）A.有一种溶液能使无色的酚醐试液变红，那么该溶液呈碱性B.有一种溶液能使紫色的石蕊试液变蓝，那么该溶液呈碱性C.有一种溶液不能使无色的酚酥试液变色，那么该溶液呈酸性D.有一种溶液能使紫色的石蕊试液变红，那么该溶液呈酸性（2018秋•铁西区期末）小明设计了如图装置探究“微粒是不断运动的一段时间后，可观察到的无色酚麟试液变红，那么物质A是（）A无色酚酎试液A.浓氨水B.浓盐酸C.石灰水D.双氧水（2017秋•温州期末）紫甘蓝是群众爱吃的蔬菜，含有丰富的花青素。

统计学一、单项选择题1.要了解50个学生的学习情况，则总体单位是（）A、50个学生B、每一个学生C、50各学生的学习成绩D、每一个学生成绩2.一个总体单位（）A、只能有一个标志B、只能有一个指标C、可以有多个标志D、只能有一个指标3.统计认识的过程是（）A、从质到量B、从量到质C、从质开始到量，再到质与量的结合D、从量开始到质，再到量与质的结合4.对某市高等学校的科研所进行调查，则统计总体是（）A、某市所有的高等学校B、某一高等学校的科研所C、某一高等学校D、某市所有高等学校的科研所5.某高校在校学生数为10000人，若要研究该校在校学生规模是否适度，这里的“在校学生数为10000人”是（）A、指标B、变量C、标志D、标志值6.某企业几个工人的工资分别为1500元、l650元，1800元和2000元，这几个数字是（）A、标志B、标志值C、指标D、变量7.下列指标中属于数量指标的是（）A、利润额B、劳动生产率C、人口密度D、资金利税率8.某企业有500名职工，将500名职工的月工资总额除以500之后求出该企业的月平均工资，这是（）A、对500个变量求平均B、对500个变量值求平均C、对500个标志求平均D、对500个指标求平均9、下列属于离散变量的是（）A、厂房面积B、职工人数C、销售额D、原材料消耗额10.下列各项中哪项属于存量（）A、存款余额B、存款发生额C、出生人数D、人口自然增长量二、多项选择题1、在全国人口普查中（）A、每个人是总体单位B、女性是品质标志C、年龄是数量标志D、人口平均寿命是数量标志E、全国人口数是总体2、下列标志中，属于品质标志的有（）A、利润率B、产品品种C、男性D、产值E、统计人员技术职务3、下列统计指标中，属于数量指标的有（）A、全国总人口B、社会总产值C、平均工资D、全国钢产量E、计划完成程度4、下列指标中属于离散指标的有（）A、商业企业单位数B、商品总销售额C、职工人数D、商品库存额E、商店经营商品品种数5、下列标志中，属于数量标志的有（）A、职务B、出勤人数C、产品产量D、八级工资制E、文化程度6、下列各项中，属于统计指标的有（）A、某人的身高B、我国某年的钢铁产量C、某设备的使用年限D、某职工某年的工资收入E、2008年我国的人均国内生产总值三、综合题要调查某大型汽车制造公司职工的情况时，试指出总体、总体单位，并举出若干个品质标志、数量标志、数量指标和质量指标的例子。

习题 1.21. 解：因为对2的任一向量(21,x x )，按对应规则都有2中惟一确定的向量与之对应，所以是2的一个变换.(1) 关于x 轴的对称变换； (2) 关于y 轴的对称变换； (3) 关于原点的对称变换； (4) 到x 轴的投影变换； (5) 到y 轴的投影变换.2. 解： (1) 不是.因为(2211ααk k +)＝2211ααk k ++β≠k 1(1α)+k 2)()()(22112βαβαα+++=k k=2211ααk k ++)(21k k +β(2) 不是.因为(2211ααk k +)＝β≠k 1(1α)+k 2βα)()(212k k +=(3) 不是.因为取 x =(1 , 0 , 0 ) , 1≠k 时,(k x )=(k 2,0, 0)≠k( x )= k (1, 0, 0)=(k , 0, 0)(4) 是.因为 设x =(321,,x x x ) , y =(321,,y y y )(k 1x +k 2y )=112(x k ),,2(),,1322121322y y y y y k x x x x +-++-=k 1(x )+k 2( y )(5) 是.因为()()(2211x f k x f k +)=)1()1(2211+++x f k x f k=k 1(f 1(x ))+k 2))((2x f(6) 是.因为()()(2211x f k x f k +)=)()(022011x f k x f k += k 1(f 1(x ))+k 2))((2x f(7) 不是.因为 设x =(321,,x x x ) , y =(321,,y y y )(k 1x +k 2y )= ()0),sin(),cos(22211211y k x k y k x k ++≠k 1(x )+k 2( y )=)0,sin ,(cos )0,sin ,(cos 212211y y k x x k + =()0,sin sin ,cos cos 22211211y k x k y k x k ++ .3. 解：1(α+β)=1[()]()11222221,,y x y x y x y x --+=++()()=-+-=1212,,y y x x 1(α)+1(β)1(k α)=1(k (x 1, x 2))()()kx x k kx kx =-=-=1212,,1(α)所以1是线性变换.同理可证2也是线性变换.(1+2)(α)= (1+2)[(x 1, x 2)]=1[(x 1, x 2)]+2[(x 1, x 2)]),(),(),(21212112x x x x x x x x --+=-+-=12(α)=1［2(α)］=1[( x 1, -x 2)]=(- x 2, -x 1)21(α)=2［1(α)］=2[( x 2, -x 1)]=( x 2, x 1) .4. 证：（1）因()()()C B A B A C B A +-+=+()()=-+-=BC CB AC CA (A )+(B )()()()()=-=-=AC CA k C kA kA C kA k(A )故是线性变换.（2）(A )B +A(B ) ()()BC CB A B AC CA -+-==-=ABCCAB (AB )5. 解：令 ()3,,R c b a c cb a a ∈↔⎥⎦⎤⎢⎣⎡+ 即可.6. 证：设()[]n x p x f ∈，则(12-21)(f(x))=1［2(f(x))］－2［1(f(x))］=1［xf(x)］－2［f(x)］()()()()x f x f x x f x x f ='-'+=故12－21是恒等变换.7. 证：设2V ∈α，则2211e k e k +=α，由于2(e 1)+ 2(e 2)=2(e 1+e 2)=e '1+e '22(e 1)－2(e 2)=2(e 1－e 2)=e '1－e '2所以，2(e 1)=e '1,2(e 2)= e '2 于是1(α)=k11(e 1)+k21(e 2)2211e k e k '+'= = k12(e 1)+k22(e 2)=2(α)故1=2.8. 解：(1) 因为j i ,在xoy 平面上，其投影不变，故有(i )=i ,(j)=j ,又k 垂直xoy 平面，则0)(=k , 得((i ),(j ),(k ))=(i ，j ，k ) 000010001所求矩阵为A = 000010001 .(2) 因为,001)(γβαα++==i,010)(γβαβ++==j ,,011)(γβαγ++=+=j i所以, 所求矩阵为 A = 000110101 .(3) 由的定义知, (i )= ((1 ,0 ,0 ))= ( 2 ,0 ,1)(j )= ((0 ,1, 0 ))= ( -1, 1 , 0)(k )=((0 ,0 ,1))= ( 0 ,1 , 0)有 ((i ),(j ),(k ))=(),,k j i 0111012- 所求矩阵为 A = 0111012- . (4) 据题设： )())(('t f t f = 则)(1x =(bt e at cos )'=bt be bt ae at at sin cos -=21bx ax - )(2x =( bt e at sin )' =12bx ax +)(3x =( bt te at cos )'=431bx ax x -+ )(4x =(bt te at sin )' =342bx ax x ++)(5x =(bt e t at cos 212)' =653bx ax x -+)(6x = ( bt t sin 212 )' =564bx ax x ++于是( )(1x , )(2x , )(3x , )(4x , )(5x , )(6x )()D x x x x x x 654321,,,,,= ,所求矩阵为D =ab baa bbaa bba---00000010000100001000019. 解：(1) (123,,e e e )=(321,,e e e ) 001010100 =(321,,e e e )C所求矩阵为 B=C 1-AC = 111213212223313233a a a a a a a a a (2) (321,,e ke e )=(321,,e e e ) 10000001k =(321,,e e e )C所求矩阵为B=C1-AC =333231232221131211akaakaakaakaa(3) (3221,,eeee+)=(321,,eee)1111=(321,,eee)C 所求矩阵为B=C1-AC=33323231132312221211222113121211aaaaaaaaaaaaaaaa+----++10. 解：由定义知()()31121,0,2εεε+==212)0,1,1()(εεε+-=-=()()23,1,0εε==所以，所求矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-11112.11. 解：因为()()21121,2εεε'+'==()()1231,3εε'==()()2131,1εεε'+'-=-=所以，所求矩阵为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-11132.12. 解： (1η,2η,3η)=(321,,εεε) 111101011--(321,,εεε)=(1η,2η,3η) 111101011--1-= (1η,2η,3η) CB=C 1-AC = 11110111-- 021011101- 111101011--1-= 12121211---- .13. 解：(1) (1η,2η,3η) = (321,,e e e ) C , 过渡矩阵为C=(321,,e e e )1-(1η,2η,3η)= 1011101211- 111122221---- = 252112323123232--- (2) ()(1e ,)(2e ,)(3e )=(1η,2η,3η) = (321,,e e e ) C故在基{}i e 下的矩阵就是 C . (3) (()1η,(2η),(3η) ) = (1η,2η,3η) = (321,,e e e ) C=()(1e ,)(2e ,)(3e ) C = (1η,2η,3η) C故在基{}i η下的矩阵仍为C . 14. 解：（1） 由于()211111100cE aE c a E +=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=()221212100cE aE c a E +=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=()211121100dE bE d b E +=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=()221222100dE bE d b E +=⎥⎦⎤⎢⎣⎡= 故1在该基下的矩阵为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=d cd c b a b a A 000000001 类似地，可得2在该基下的矩阵为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=d b c a d b c a A 000000002. 由于3=12，所以3在该基下的矩阵为⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡==2222213d bd cd bccd ad c ac bd b ad abbc abaca A A A同理，可得4在该基下的矩阵为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=a c a c b a b a A 0200022000204 （2）由于由简单基E 11，E 12，E 21，E 22改变为给定基E 1，E 2，E 3，E 4的过渡矩阵为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=001110011000001C 于是，4在给定基下的矩阵为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--==-a b ca b c c c a b b a C A C B 002202204115. 解： （1）将题给关系式写成矩阵形式为(()1e ,(2e ),(3e ) ) ()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡110011101,,423312121321εεε 即()()()B e e e 3211321321,423312121110011101,,,,εεεεεε=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-由于()()C e e e 321321,,,,=εεε，所以有(=),,321εεε()()BC C e e e 321321,,,,εεε=故在基（II ）下的矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----==256355123BC A （2）因为(=)1ε()()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡001,,001,,321321A εεεεεε ()()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=953,,001,,321321e e e CA e e e所以()1ε在基（I ）下的坐标为（3，5，9）.16. 解：（1）取[]2x p 的简单基1，x ，x 2，则有()()()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡==101110102,,1,,1,,202321x x A x x f f f 从简单基改变到基f 1，f 2，f 3和g 1，g 2，g 3的过渡阵分别为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=5222101011C ， ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=2101010112C 故有(g 1, g 2, g 3)=(1, x, x 2 )C =()211321,,C C f f f -()()21101232121102,,,,1C C A C g g g C C A x x ---== 即在基（II ）下的矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---==--110211*********C C A C A （2）因为()()()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-321,,321,,1123212C g g g x x x f ()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=032,,321g g g 所以(f(x))=()()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-032,,032,,321321A g g g g g g()23211354,,x x g g g +--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-= .17. 证：设在给定基下的矩阵为()ij a A =，并设C 为从旧基到新基的过渡矩阵，由于在任一组基下的矩阵相同，则有AC C A 1-=，即AC=CA ，根据“A 与一切满秩矩阵可变换”性质，即可定出A 必为数量矩阵()常数k kI A ,=.18. 解：由基321,,ηηη到基321,,εεε的过渡矩阵为⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=3103161213121211C 故 {}i ε在基下的矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--==-46846453106111C B C B .那么，+，，， (+ )在基{}i ε下的矩阵分别为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=+2644241011151061B A ， ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=601272122126061AB , ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=123414026215291361BA ， ()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=+3612078611442549675181B A B .19. 证：设有可逆方阵P 与Q ，使 B=P 1-AP , D=Q 1-CQ 则DB O O =CQ Q AP P 11--OO =11--OO QCA O OQP O=QP O O 1-CA O OQP O O即 CA O O 与 DB O O 相似.20. 证：设1r rankA =，2r rankB =，则A ，B 的行向量的极大无关组中分别含有21,r r 个行向量，设分别为11,,r αα 和21,,r ββ ，则A 的每个行向量均可由11,,r αα 线性表示，B 的每个行向量均可由21,,r ββ 线性表示.又可A+B 的每个行向量是A 与B 的相应行向量的和，故A+B 的每个行向量均可由11,,r αα ，21,,r ββ 线性表示.因此A+B 的行向量组的极大无关组中所含向量的个数不超过21r r +，即()rankB rankA B A rank +≤+.21. 证：设()n B r rankA βββ,,,,21 ==，则()()0,,,,,,2121===n n A A A A AB ββββββ ，所以θβ=1A ，θβ=2A ，…，θβ=n A .这就说明B 的列向量n βββ,,,21 都是以A 为系数矩阵的齐次方程组的解.由于r r a n kA =，所以解空间的维数为r n -，从而知nββ,,1 的极大无关组所含向量的个数r n -≤，即r n rankB -≤，因此有n r n r rankB rankA =-+≤+ .22. 证：设A ，B 为同一数域上的n m ⨯与g n ⨯阶矩阵，显然，方程组BX=θ的解向量X 也满足方程组()θ=X AB ，记{}θ==BX X U ， (){}θ==X AB X V则V U ⊂，于是dinV AB rank n rankB n U =-≤-=)(dim 即()rankB AB rank ≤.又由于()()()T T T A B rank AB rank AB rank ==rankA rankA T =≤ 因此 (){}r a n k B r a n k A AB rank ,min ≤.23. 证：由上题知，()rankA A A rank T ≤，现在只需证明()rankA A A rank T ≥即可.考虑线性方程组θ=AX A T ，设()T n x x x X ,,,21 =是方程组的一组解，将θ=AX A T 两边左乘X T ，得θ=AX A X T T ，即()θ=AX AX T ，所以θ=AX ，即{}{}00=⊂=AX X AX A X T .于是()rankA n A A rank n T -≤-即有()rankA A A rank T ≤，故有()rankA A A rank T = ，并且有()()rankA rankA A A rank A A rank T T TTT ===即有()()T T AA rank A A rank rankA ==.注：对复矩阵A ，上式不一定成立.例如⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=11i i A ,1=rankA .由于 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=00001111ii ii A A T 故()0=A A rank T .此时，相应的关系式应为()()A A rank AA rank rankA **== .24. 证：必要性.由上题已证得，充分性只要在AX=θ两边左乘A T 即可.25. 证：（1）因为n rankA =，故n m ≥，不妨设A 的前n 行线性无关，且构成的n 阶满秩方阵为A 1，后n m -行构成的矩阵为A 2，则⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=B A B A B A A AB 2121所以()()rankB B A rank AB rank =≥1，但()r a n k BAB rank ≤，故()r a n k BAB rank =.（2） 同理可证.26. 解：（1）⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0011A ， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=0011B ； （2）⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0001A ， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0020B ； （3）⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0001A ， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1000B .27. 证：因为()()()n m rankB rankA AB rank rankC ,min ,min ≤≤=，但n m >，故m 阶方阵C 的秩m n <≤，所以C 是降秩的.28. 解：先求矩阵A 的特征值和特征向量为 121==λλ， ()T 20,6,31-=α 23-=λ, ()T 1,0,02=α故的特征值和特征向量为121==λλ， ()3212063e e e k +-，0≠k 23-=λ， 3ke ， 0≠k .29. 解：（1）121==λλ，()T 1,0,11=α，()T 0,1,02=α，13-=λ，()T 1,0,13-=α.(2)1=λ,()T2,1,31-=α，i143,2±=λ，().10,1432,1463,2Ti i -±-±=α（3）121==λλ，()T 20,6,31-=α，23-=λ，()T 1,0,02=α； （4）2321===λλλ，()T 0,0,1,11=α，()T 0,1,0,12=α，()T 1,0,0,13=α，24-=λ，()T 1,1,1,14---=α.以上分别求出了在不同基下所对应矩阵A 的特征值和特征向量，则类似于上题的方法，可求出不同基下所对应的特征值和特征向量.30. 解：（1），（2），（4）为非亏损矩阵（单纯矩阵），其变换矩阵P 分别为（1）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-101010101； （2）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----+---+101021432143211461463i i i i ; （4）⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---110101010011111.31. 证 ： 设在给定基下的矩阵为A ，则()n i A i ni i ,,2,100det 1=≠⇔≠=∏=λλ32. 证：设r rankA =，则存在满秩矩阵P 与Q ，使得()0,r I diag PAQ =，故有()C I diag BP PAQQ PABP r 0,111==--- 其中()ij C BQ Q C ==--11， 这说明AB 与diag （0,r I ）相似.另一方面，有()0,111r I C d i a g P A Q BP Q BAQ Q ==---，说明BA 与()0,r I Cdiag 相似.不难验证有()()()()0,det 0,det r r I Cdig I C I diag I -=-λλ 故AB 与BA 有相同的特征多项式，因此有相同的特征值和迹.33. 证：设A 的任一特征值为λ，λ的对应于λ的特征子空间记为λV .对λV 中任意向量Z 有BZ Z B BAZ ABZ λλ===故λV BZ ∈，因此λV 为线性变换()BZ Z =的不变子空间，即()BZ Z =为λV 中的线性变换，此线性变换的特征向量即为B 的特征向量，但它又属于λV ，由λV 的定义知它又是A 的特征向量，即A 与B 有公共的特征向量.34. 证：设A 的特征值为i λ，则A 2的特征值为2i λ，由12=i λ有1±=i λ，若所有1=i λ，则A+I 为满秩矩阵，故由（A+I ）（A-I ）=A 2-I 2=0，有A=I .35. 证：不失一般性，设B 非奇异，有AB=B -1（BA ）B 即AB 与BA 相似，所以它们有相同的特征多项式.36. 证：设A 为n 阶方阵，具其秩为r ，由于A 2=A ，知A 的列向量都是A 的对应于特征值1的特征向量.因γ=rankA ，故特征值1的几何重复度为r ，其代数重复度至少为r .又θ=AX 的基础解系中的向量个数为r n -，即A 的特征值0的几何重复度为r n -，其代数重复度不小于r n -.由于一个n 阶矩阵的特征值的代数重复度之和恰为n ，故特征值1和0的代数重复度分别为r 和r n -.可见A 除了1和0外无其它特征值，而1和0的几何重复度之和为n ，故A 为非亏损矩阵，所以A 相似()0,r I diag .37. 证：用反证法.若A 可相似于对角矩阵，对角元素即为A 的特征值，且至少有一个不为0.但是，由于λαα=A ，于是θαλα==k k A ，因为θα≠，所以0=k λ，故0=λ，即A 的特征值都等于0，矛盾.38. 证：由X AX λ=，有()X k kX A λ=，X X A k k λ=，从而有()()X f X A f λ=，即X 也是()A f 的特征向量.显然()A f 的特征值为()λf ，即为λ的多项式.39. 解：取3中的自然基321,,εεε，计算得(1ε)=(0 , -2 ,-2 ) , (2ε)=(-2 , 3 ,-1 ) , (3ε)=(-2 , -1 ,3 )则在基321,,εεε下的矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------=31213222A而A的特征值为2,4321-===λλλ，与之对应的特征向量为()TX0,2,11-=，()TX2,0,12-=，()TX1,1,23=，则有()2,4,41-=Λ=-diagACC，其中⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=112211C.由()321,,ααα=（321,,εεε）C求得3R的另一组基为()0,2,12211-=+-=εεα，()2,0,12312-=+-=εεα，()1,1,223213=++=εεεα，显然在该基下的矩阵为对角阵Λ.40. 解：（1）因为()21xx+=，()21xx+=，()xx+=12，所以在基1，x，x2下的矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=111111A.（2）由于A原特征值为121-==λλ，23=λ，相应的特征向量为()TX01,11-=，()TX1,12-=，()TX11,13=，存在可逆阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=1111111C，使⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--==-2111AACC，故所求的基321,,eee为()()()2223211,1,1,,1,,xxxxCxxeee+++-+-==.41. 解：（1）对任意的V∈βα,及Rlk∈,，有()()()()()BBlBBkBlklkBlkTTTTTTββααβαβαβα-+-=+-+=+=k ((α))+l ((β))故是线性变换. （2）取V 的简单基⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=0100,0010,1001321A A A 由于(),01101⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=0110)(2A ,⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=0110)(3A , 所以在基321,,A A A 下的矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=111111000R R 的特征值为2,0321===λλλ，对应的线性无关的特征向量为（1，1，0）T ，（0，1，1）T ，（0，1，-1）T ，令⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=110111001C ， ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=Λ200 则有Λ=-RC C 1，由（B 1，B 2，B 3）=（A 1，A 2，A 3）C 求得V 的另一组基为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=+=1011211A A B ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+=0110322A A B ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-=0110323A A B，在该基下的矩阵为Λ.42. 证：（1）取n的一组基n e e e ,,,21 ，设1（n e e e ,,,21 ）=（n e e e ,,,21 ）A2（n e e e ,,,21 ）=（n e e e ,,,21 ）B则有 (12)（n e e e ,,,21 ）=（n e e e ,,,21 ）（AB ） (1+2)（n e e e ,,,21 ）=（n e e e ,,,21 ）（A+B ）由12=1+2，可得AB=A+B ，从而有B T A T =A T +B T .若1是1的特征值，则 1也是A 的特征值，从而1也是A T 的特征值，设A T 对应于特征值1的特征向量为β，即()0≠=βββT A ，由（B T A T ）β=（A T +B T ）β，可得B T β=β+B T β，即β=0，这与β是A T 的特征向量矛盾，故1不是1的特征值.（2）因1有几个不同的特征值，所以1有n 个线性无关的特征向量.记1的对应于特征值n λλλ,,,21 的线性无关的特征向量为X 1，X 2，…，X n ，即1i i i X X λ= （i =1，2，…，n ），则X 1，X 2，…，X n 作为n的基时，1的矩阵A =diag （n λλλ,,,21 ）.再由AB=A+B 及1≠i λ知()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-=-1,,1,122111n n d i a g A I A B λλλλλλ 即1与2在该基X 1，X 2，…，X n 下的矩阵都为对角阵.43. 证：对任意0λαV ∈，有1(αλα0)∈.由于1(2(α))=2(1(α))=2(λα)所以2()0λαV ∈, 故0λV 是2的不变子空间.44. 解：(1) (4'3'2''1,,,e e e e )=( 4321,,,e e e e )C=(4321,,,e e e e ) 211111000320001---∴ B=C 1-AC =242134040168101042699631-----(2) 先求核θ(1-) . 设η=)(1θ-在基{}i ε下的坐标为(4321,,,x x x x )，(θη=)在此基下的坐标为(0,0,0,0)，于是A 4321x x xx =000此时A 的秩为２，解之，得基础解系 )1,0,2,1(,)0,1,23,2(21--=--=ξξ, 作 421232112,232e e e e e e +--=+--=ηη . 显然，21,ηη为核θ(1-)的一组基，故核由21,ηη所张成，即θ(1-)=Span (21,ηη) .再求值域(4) . 由于 ((e 1),(e 2),(e 3),(e 4)) = (4321,,,e e e e ) A 而A 的秩为２，所以(e 1),(e 2),(e 3),(e 4)的秩也为２，且(e 1),(e 2)线性无关，故组成(4)的基，从而(4)=Span ((e 1),(e 2)) .(3) 由(2)知21,ηη是核θ(1-)的一组基，易知2121,,,ηηe e 为4的一组基，由于有(2121,,,ηηe e )=(4321,,,e e e e )100100223101201---- = (4321,,,e e e e ) D所以在此基下的矩阵为B=D 1-AD=022021001290025-(4) (2)知(e 1),(e 2)是值域 (4)的一组基，又知(e 1),(e 2),43,e e 为4的一组基，有((e1),(e2),43,e e )=(4321,,,e e e e )10221210210001-- =(4321,,,e e e e ) T所以在此基下的矩阵为B=T 1-A T = 000002231291225 .45. 证：取3中的自然基321,,εεε，因为(+ )(1ε)=(1ε)+ (1ε)=（1，0，0）+（0，0，1）=（1，0，1）同理有(+ )(2ε)=（2，0，0）， (+ )(3ε) =（1，1，0）这表明+ 将基321,,εεε变换成3中的另一组基1e =（1，0，1），2e =（2，0，0），3e =（1，1，0）（易证它们线性无关）. 又因（+ ）（3）是3的子空间，而321,,e e e 是（+ ）（3）的最大无关组，故这个子空间的维数为3，再由习题1.1中第22题的结果知（+ ）（3）=3（此时取V 2=3）.46. 解：因为2［(321,,a a a )］=(［(321,,a a a )］)=()[]21,,0a a =（0，0，1a ）所以2的像子空间为R (2)(){}R a a ∈=,0,0核子空间为N (2)(){}R a a a a ∈=2232,,,0因此，dimR (2)=1，其一组基为（0，0，1）；dim N (2)=2，其一组基为（0，1，0），（0，0，1）.47. 证 ：（1）由的定义容易验证满足可加性和齐次性，所以它为线性变换.又因2[(n x x x ,,,21 )]=[()()2111,,,0,0],,,0--=n n x x x x ，…推知n[()()0,,0,0],,,21 ==n x x x ，即nϑ=（零变换）.（2）若[()()()0,,0,0,,,0],,,1121 ==-n n x x x x x ，则1x =2x =…=1-n x =0即()θ1-为由一切形如（0，0，…，n x ）的向量构成的子空间，它是一维子空间，则（0，…，0，1）是它的基.又由维数关系dim (V)+dim1-(θ)=n便得 (V) 的维数等于 n-1 .48. 证 ：（1）必要性.若(V)= (V)，对任V ∈α，则∈)(α （V ）=(V) ，故存在V ∈β，使 =)(α)(β ，=)(α2)(β= )(β= )(α ，由α的任意性有= .同理可证= .充分性.若= ,=, 对任(∈)α(V )V ⊂，=)(α)(α= ()(α)∈ (V ) , 故(V)⊂ (V) ；同理可证 (V) ⊂(V).(2)必要性.若()=-θ1)(1θ-，对任V ∈β,作-β)(β，因（-β)(β）=)(β-2)(β=)(β-)(β=θ ，所以，-β)(β∈()θ1- =)(1θ- ，则 （-β)(β）= θ ，故=)(β )(β，由β的任意性有 = . 同理，通过作β- )(β ， 可得=.充分性.若= , =, 对任 ∈α()θ1-，由=)(α=)(α （)(α）= （θ）=θ ，故()⊂-θ1)(1θ-；同理，由任∈β)(1θ- ，可得()⊂-θ1)(1θ-.。