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第1课时 交变电流的产生和描述考纲解读 1.能掌握交变电流的产生和描述，会写出交变电流的瞬时值表达式.2.能认识交变电流的图象和进行有效值、最大值的计算．1． [交变电流的产生和变化规律]关于线圈在匀强磁场中转动产生的交变电流，下列说法中正确的是( )A ．线圈平面每经过中性面一次，感应电流的方向就改变一次，感应电动势的方向不变B ．线圈每转动一周，感应电流的方向改变一次C ．线圈平面每经过中性面一次，感应电动势和感应电流的方向都改变一次D ．线圈每转动一周，感应电动势和感应电流的方向都改变一次 答案 C解析 依据交流电的变化规律可知，如果从中性面开始计时，有e ＝E m sin ωt 和i ＝I m sin ωt ；如果从垂直于中性面的位置开始计时，有e ＝E m cos ωt 和i ＝I m cos ωt .不难看出：线圈平面每经过中性面一次，感应电流的方向就改变一次，感应电动势的方向也改变一次；线圈每转动一周，感应电流的方向和感应电动势的方向都改变两次．故正确答案为C.2． [描述交变电流的物理量]小型交流发电机中，矩形金属线圈在匀强磁场中匀速转动，产生的感应电动势与时间呈正弦函数关系，如图1所示．此线圈与一个R ＝10 Ω的电阻构成闭合电路，不计电路的其他电阻，下列说法正确的是( )A ．交变电流的周期为0.125 s图1B ．交变电流的频率为8 HzC ．交变电流的有效值为 2 AD ．交变电流的最大值为4 A 答案 C解析 由题图可知，交变电流的周期为0.250 s ，频率为4 Hz ，交变电流的最大值为2010 A ＝2 A ，有效值为22A ＝ 2 A ，所以应选C.3． [有效值的计算]电阻R 1、R 2与交流电源按照如图2甲所示方式连接，R 1＝10 Ω、R 2＝20 Ω.合上开关S 后，通过电阻R 2的正弦交变电流i 随时间t 变化的情况如图乙所示．则( )图2A ．通过R 1的电流的有效值是1.2 AB ．R 1两端的电压有效值是6 VC ．通过R 2的电流的有效值是1.2 2 AD ．R 2两端的电压有效值是6 2 V 答案 B解析 由题图知流过R 2交流电电流的最大值I 2m ＝0.6 2 A ，有效值I 2＝I 2m2＝0.6 A ，故选项C 错误；由U 2m＝I 2m R 2＝12 2 V 知，U 2＝12 V ，选项D 错误；因串联电路电流处处相同，则I 1m ＝0.6 2 A ，电流的有效值I 1＝I 1m2＝0.6 A ，故选项A 错误；由U 1＝I 1R 1＝6 V ，故选项B 正确． 考点梳理一、交变电流的产生和变化规律 1． 交变电流大小和方向都随时间做周期性变化的电流．如图3(a)、(b)、(c)、(d)所示都属于交变电流．其中按正弦规律变化的交变电流叫正弦式交变电流，简称正弦式电流，如图(a)所示．图32． 正弦交流电的产生和图象(1)产生：在匀强磁场里，线圈绕垂直于磁场方向的轴匀速转动． (2)中性面①定义：与磁场方向垂直的平面． ②特点a ．线圈位于中性面时，穿过线圈的磁通量最大，磁通量的变化率为零，感应电动势为零．b ．线圈转动一周，两次经过中性面．线圈每经过中性面一次，电流的方向就改变一次．(3)图象：用以描述交流电随时间变化的规律，如果线圈从中性面位置开始计时，其图象为正弦函数曲线． 二、正弦交变电流的函数表达式、峰值和有效值 1． 周期和频率(1)周期(T )：交变电流完成一次周期性变化(线圈转一周)所需的时间，单位是秒(s)，公式T ＝2πω.(2)频率(f )：交变电流在1 s 内完成周期性变化的次数．单位是赫兹(Hz)． (3)周期和频率的关系：T ＝1f 或f ＝1T.2． 正弦式交变电流的函数表达式(线圈在中性面位置开始计时)(1)电动势e 随时间变化的规律：e ＝E m sin_ωt .(2)负载两端的电压u 随时间变化的规律：u ＝U m sin_ωt .(3)电流i 随时间变化的规律：i ＝I m sin_ωt .其中ω等于线圈转动的角速度，E m ＝nBSω. 3． 交变电流的瞬时值、峰值、有效值(1)瞬时值：交变电流某一时刻的值，是时间的函数．(2)峰值：交变电流的电流或电压所能达到的最大值，也叫最大值．(3)有效值：跟交变电流的热效应等效的恒定电流的值叫做交变电流的有效值．对正弦交流电，其有效值和峰值的关系为：E ＝E m 2，U ＝U m 2，I ＝I m2. (4)平均值：是交变电流图象中波形与横轴所围面积跟时间的比值．4． [瞬时值表达式的书写]如图4所示，图线a 是线圈在匀强磁场中匀速转动时所产生正弦交流电的图象，当调整线圈转速后，所产生正弦交流电的图象如图线b 所示，以下关于这两个正弦交流电的说法正确的是( )A ．在图中t ＝0时刻穿过线圈的磁通量均为零图4B ．线圈先后两次转速之比为3∶2C ．交流电a 的瞬时值表达式为u ＝10sin 5πt (V)D ．交流电b 的最大值为5 V 答案 BC解析 t ＝0时刻穿过线圈的磁通量最大，磁通量的变化率为零，故电压为零，A 错．读图得两次周期之比为2∶3，由转速n ＝ω2π＝1T 得转速与周期成反比，故B 正确．读图得a 的最大值为10 V ，ω＝5π rad/s ，由交流电感应电动势的瞬时值表达式e ＝E m sin ωt (V)(从线圈在中性面位置开始计时)得，u ＝10sin 5πt (V)，故C 正确．交流电的最大值E m ＝nBSω，所以根据两次转速的比值可得，交流电b 的最大值为23×10 V ＝203 V ，故D 错．方法提炼 书写交变电流瞬时值表达式的基本思路1． 确定正弦交变电流的峰值，根据已知图象读出或由公式E m ＝nBSω求出相应峰值． 2． 明确线圈的初始位置，找出对应的函数关系式．如：(1)线圈从中性面位置开始转动，则i －t 图象为正弦函数图象，函数式为i ＝I m sin ωt . (2)线圈从垂直中性面位置开始转动，则i －t 图象为余弦函数图象，函数式为i ＝I m cos ωt . 考点一 交变电流的变化规律1． 正弦式交变电流的变化规律(线圈在中性面位置开始计时)2. 两个特殊位置的特点(1)线圈平面与中性面重合时，S ⊥B ，Φ最大，ΔΦΔt ＝0，e ＝0，i ＝0，电流方向将发生改变．(2)线圈平面与中性面垂直时，S ∥B ，Φ＝0，ΔΦΔt最大，e 最大，i 最大，电流方向不改变．特别提醒 1.只要线圈平面在匀强磁场中绕垂直于磁场的轴匀速转动，就产生正弦式交流电，其变化规律与线圈的形状、转动轴处于线圈平面内的位置无关． 2． Φ－t 图象与对应的e －t 图象是互余的．例1 如图5甲所示，一矩形线圈abcd 放置在匀强磁场中，并绕过ab 、cd 中点的轴OO ′以角速度ω逆时针匀速转动．若以线圈平面与磁场夹角θ＝45°时(如图乙)为计时起点，并规定当电流自a 流向b 时，电流方向为正．则下列四幅图中正确的是( )图5审题指导 解答本题应注意以下三点： (1)确定t ＝0时刻感应电流的方向．(2)利用t ＝0时刻的速度确定感应电动势的大小． (3)判定t ＝0时刻后短时间内电流的变化趋势．解析 该题考查交变电流的产生过程．t ＝0时刻，根据题图乙表示的转动方向，由右手定则知，此时ad 中电流方向由a 到d ，线圈中电流方向为a →d →c →b →a ，与规定的电流正方向相反，电流为负值．又因为此时ad 、bc 两边的切割速度方向与磁场方向成45°夹角，由E ＝2Bl v ⊥，可得E ＝2×22Bl v＝22E m ，即此时电流是最大值的22倍，由图乙还能观察到，线圈在接下来45°的转动过程中，ad 、bc 两边的切割速度v ⊥越来越小，所以感应电动势应减小，感应电流应减小，故瞬时电流的表达式为i ＝－I m cos (π4＋ωt )，则图象为D图象所描述，故D 项正确． 答案 D突破训练1 如图6所示是一台发电机的结构示意图，其中N 、S是永久磁铁的两个磁极，它们的表面呈半圆柱面形状．M 是圆柱形铁芯，它与磁极的柱面共轴，铁芯上有一矩形线框，可绕与铁芯M 共轴的固定转动轴旋转．磁极与铁芯之间的缝隙中形 图6成方向沿半径、大小近似均匀的磁场．若从图示位置开始计时，当线框绕固定转动轴匀速转动时，下列图象中能正确反映线框中感应电动势e 随时间t 变化规律的是( ) 答案 D解析 因发电机的两个磁极N 、S 呈半圆柱面形状，磁极间的磁感线如图所示，即呈辐向分布磁场，磁感应强度的大小不变，仅方向发生改变，故线框在磁场中转动时垂直切割磁感线，产生的感应电动势的大小不变，线框越过空隙段后，由于线框切割磁感线方向发生变化，所以感应电动势的方向发生变化，综上所述，D 正确．突破训练2 实验室里的交流发电机可简化为如图7所示的模型，正方形线圈在水平匀强磁场中，绕垂直于磁感线的OO ′轴匀速转动．今在发电机的输出端接一个电阻R 和理想电压表，并让线圈每秒转25圈，读出电压表的示数为10 V ．已知R ＝10 Ω，线圈电阻忽略不计，下列说法正确的是( )A ．线圈平面与磁场平行时，线圈中的瞬时电流为零图7B ．从线圈平面与磁场平行开始计时，线圈中感应电流瞬时值表达式为i ＝2sin 50πt AC ．流过电阻R 的电流每秒钟方向改变25次D ．电阻R 上的热功率等于10 W 答案 D解析 线圈平面与磁场平行时，瞬时感应电流最大，A 错．从线圈平面与磁场平行时开始计时，Εm ＝10 2 V ，f ＝25 Hz ，i ＝2cos 50πt A ，B 错．电流方向每秒改变50次，C 错．P R ＝U 2R ＝10 W ，D 正确．考点二 交流电有效值的求解有效值是交流电中最重要的物理量，必须会求解，特别是正弦交流电的有效值，应记 住公式．求交变电流有效值的方法有：(1)利用I ＝I m 2，U ＝U m 2，E ＝E m2计算，只适用于正(余)弦式交流电． (2)非正弦式交流电有效值的求解根据电流的热效应进行计算，其中，交变电流的有效值是根据电流通过电阻时产生的热效应定义的，即让交变电流和直流电流通过相同的电阻，在相同的时间里若产生的热量相同，则交变电流(电压)的有效值就等于这个直流电流(电压)的值，即求解交变电流有效值问题必须在相同电阻、相同时间、相同热量的“三同”原则下求解．例2 如图8所示，图甲和图乙分别表示正弦脉冲波和方波的交变电流与时间的变化关系．若使这两种电流分别通过两个完全相同的电阻，则经过1 min 的时间，两电阻消耗的电功之比W 甲∶W 乙为( )图8A ．1∶ 2B ．1∶2C ．1∶3D ．1∶6解析 电功的计算中，I 要用有效值计算，图甲中，由有效值的定义得(12)2R ×2×10－2＋0＋(12)2R ×2×10－2＝I 21R ×6×10－2，得I 1＝33A ；图乙中，I 的值不变，I 2＝1 A ，由W ＝UIt ＝I 2Rt 可以得到W 甲∶W 乙＝1∶3. 答案 C突破训练3 如图9甲所示，为一种调光台灯电路示意图，它通过双向可控硅电子器件实现了无级调节亮度．给该台灯接220 V 的正弦交流电后加在灯管两端的电压如图乙所示，则此时交流电压表的示数为( )图9A ．220 VB ．110 VC.2202VD.1102V答案 B解析 本题考查电压的有效值的计算．设电压的有效值为U ，根据有效值定义有⎝⎛⎭⎫22022R·T 2＝U 2RT ，解得U ＝110 V ，则B 项正确．考点三 交变电流的“四值”的比较与理解1． 交变电流的瞬时值、峰值、有效值和平均值的比较2. 交变电流瞬时值表达式的求法(1)先求电动势的最大值E m ＝nBSω； (2)求出角速度ω，ω＝2πT；(3)明确从哪一位置开始计时，从而确定是正弦函数还是余弦函数； (4)写出瞬时值的表达式．例3 如图10所示，线圈abcd 的面积是0.05 m 2，共100匝，线圈电阻为1 Ω，外接电阻R ＝9 Ω，匀强磁场的磁感应强度B ＝1π T ，当线圈以300 r/min 的转速匀速旋转时．问：(1)若从线圈处于中性面开始计时，写出线圈中感应电动势的瞬时值表达式； (2)线圈转过130 s 时电动势的瞬时值多大？图10(3)电路中，电压表和电流表的示数各是多少？(4)从中性面开始计时，经130 s 通过电阻R 的电荷量是多少？解析 (1)e ＝E m sin ωt ＝nBS ·2πf sin (2πft ) ＝100×1π×0.05×2π×30060sin (2π×30060t ) V＝50sin 10πt V(2)当t ＝130 s 时，e ＝50sin (10π×130) V ≈43.3 V .(3)电动势的有效值为E ＝E m 2＝502V ≈35.4 V ， 电流表示数I ＝E R ＋r ＝35.49＋1 A ＝3.54 A ，电压表示数U ＝IR ＝3.54×9 V ＝31.86 V.(4)130 s 内线圈转过的角度θ＝ωt ＝30060×2π×130＝π3. 该过程中，ΔΦ＝BS －BS cos θ＝12BS ，由I ＝q Δt ，I ＝E R ＋r，E ＝n ΔΦΔt得q ＝n ΔΦR ＋r ＝nBS 2(R ＋r )＝100×1π×0.052×(9＋1) C ＝14π C.答案 (1)e ＝50sin 10πt V (2)43.3 V (3)31.86 V 3.54 A (4)14πC例4 一理想变压器原、副线圈匝数比n 1∶n 2＝11∶5，原线圈与正弦交变电源连接，输入电压u 如图11所示．副线圈仅接入一个10 Ω的电阻．则( )图11A ．流过电阻的电流是20 AB ．与电阻并联的电压表的示数是100 2 VC ．经过1分钟电阻发出的热量是6×103 JD ．变压器的输入功率是1×103 W解析 原线圈中电压的有效值是220 V ．由变压比知副线圈中电压为100 V ，流过电阻的电流是10 A ；与电阻并联的电压表的示数是100 V ；经过1 分钟电阻发出的热量是6×104J ；P 入＝P 出＝U 22R ＝100210V ＝1×103W ．只有D 项正确． 答案 D突破训练4 一正弦交流电的电压随时间变化的规律如图12所示．由图可知( )图12A ．该交流电的电压瞬时值的表达式为u ＝100sin (25t ) VB ．该交流电的频率为25 HzC ．该交流电的电压的有效值为100 2 VD ．若将该交流电压加在阻值为R ＝100 Ω的电阻两端，则电阻消耗的功率是50 W 答案 BD解析 从题图中可知，交流电周期T ＝4×10－2 s ，峰值电压U m ＝100 V ，故交流电的频率f ＝1T ＝25 Hz ，有效值U ＝U m 2＝50 2 V ．将该交流电压加在R ＝100 Ω的电阻两端时，电阻消耗的热功率P ＝U 2R ＝50 W ，电压的瞬时值表达式u ＝U m sin 2πTt ＝100sin (50πt ) V ，故正确选项为B 、D. 高考题组1． (2012·北京理综·15)一个小型电热器若接在输出电压为10 V 的直流电源上，消耗电功率为P ；若把它接在某个正弦式交流电源上，其消耗的电功率为P2.如果电热器电阻不变，则此交流电源输出电压的最大值为( )A ．5 VB ．5 2 VC ．10 VD ．10 2 V答案 C解析 根据P ＝U 2R ，对直流电有P ＝102R ，对正弦式交流电有P 2＝U ′2R ，所以正弦式交流电的有效值为U ′＝PR 2＝102V ，故交流电源输出电压的最大值U m ′＝2U ′＝10 V ，故选项C 正确，选项A 、B 、D 错误． 2． (2012·广东理综·19)某小型发电机产生的交变电动势为e ＝50sin 100πt (V)．对此电动势，下列表述正确的有( )A ．最大值是50 2 VB ．频率是100 HzC ．有效值是25 2 VD ．周期是0.02 s答案 CD解析 交变电动势e ＝E m sin ωt 或e ＝E m cos ωt ，其中E m 为电动势的最大值，ω为角速度，有效值E ＝E m2，周期T ＝2πω，频率f ＝1T .由e ＝50sin 100πt (V)知，E m ＝50 V ，E ＝502 V ＝25 2 V ，T ＝2πω＝2π100π s ＝0.02 s ，f＝1T ＝10.02Hz ＝50 Hz ，所以选项C 、D 正确． 3． (2011·四川理综·20)如图13所示，在匀强磁场中匀速转动的矩形线圈的周期为T ，转轴O 1O 2垂直于磁场方向，线圈电阻为2 Ω.从线圈平面与磁场方向平行时开始计时，线圈转过60°时的感应电流为1 A ．那么( )A ．线圈消耗的电功率为4 WB ．线圈中感应电流的有效值为2 A图13C ．任意时刻线圈中的感应电动势为e ＝4cos2πTt D ．任意时刻穿过线圈的磁通量为Φ＝T πsin 2πT t答案 AC解析 从线圈平面平行于磁感线开始计时，交变电流的感应电动势的表达式为e ＝E m cos ωt ，则感应电流i ＝e R ＝E m R cos θ，由题给条件有：1＝E m 2×12，解得E m ＝4 V ，则I m ＝2 A ，I 有效＝ 2 A ，线圈消耗的电功率P ＝I 2有效R ＝4 W ，所以A 正确，B 错误．e ＝ 4cos ωt ＝4cos2πT t ，故C 正确．由E m ＝BSω＝Φm 2πT 得Φm ＝2Tπ，故任意时刻Φ＝ 2T πsin 2πT t ，故D 错误． 模拟题组4． 一台小型发电机产生的电动势随时间变化的正弦规律图象如图14甲所示．电路组成如图乙所示，已知发电机线圈内阻为5.0 Ω，外接灯泡阻值为95.0 Ω，灯泡正常发光，则( )图14A ．电压表的示数为220 VB ．电路中的电流方向每秒钟改变50次C ．灯泡消耗的功率为509 WD ．发电机线圈内阻每秒钟产生的焦耳热为24.2 J 答案 D解析 电压表的示数应为有效值，U ＝U m 2·RR ＋r ＝209 V ，A 项错；电路中的电流方向每秒钟改变100次，B 项错；P 灯＝U 2R ＝459.8 W ，C 项错；发电机线圈内阻的发热功率为P ′＝I 2r ＝(UR )2r ＝24.2 W ，每秒生热24.2J ，D 项对．5． 在匀强磁场中，一矩形金属线框绕与磁感线垂直的转轴匀速转动，如图15甲所示，金属线框的总电阻为R ，金属线框产生的交变电动势的图象如图乙所示，则( )甲 乙图15A ．t ＝0.005 s 时线框的磁通量变化率为零B ．t ＝0.01 s 时线框平面与中性面重合C ．线框中产生的电功率为P ＝31122RD ．线框中产生的交变电动势频率为50 Hz 答案 BCD解析 由题图乙可知在0.005 s 时，电动势最大，那么线框的磁通量的变化率应为最大，A 项错．在0.01 s 时，e ＝0，线框位于中性面位置，线框中的电功率为P ＝U 2R ＝(U m 2)2/R ＝31122R ，B 、C 项正确；e 的频率f ＝1T ＝10.02 Hz＝50 Hz ，D 项正确．(限时：45分钟)►题组1 对交变电流的产生及图象的考查1． 如图1甲所示，矩形线圈abcd 在匀强磁场中逆时针匀速转动时，线圈中产生的交变电流如图乙所示，设沿abcda 方向为电流正方向，则( )图1A ．乙图中Oa 时间段对应甲图中A 至B 图的过程 B ．乙图中c 时刻对应甲图中的C 图C ．若乙图中d 等于0.02 s ，则1 s 内电流的方向改变了50次D ．若乙图中b 等于0.02 s ，则交流电的频率为50 Hz 答案 A解析 由交变电流的产生原理可知，甲图中的A 、C 两图中线圈所在的平面为中性面，线圈在中性面时电流为零，再经过1/4个周期电流达到最大值，再由楞次定律判断出电流的方向，因此甲图中A 至B 图的过程电流为正，且从零逐渐增大到最大值，A 对；甲图中的C 图对应的电流为零，B 错；每经过中性面一次线圈中的电流方向就要改变一次，所以一个周期内电流方向要改变两次，所以在乙图中对应Od 段等于交变电流的一个周期，若已知d 等于0.02 s ，则频率为50 Hz ，1 s 内电流的方向将改变100次，C 错；若乙图中b 等于0.02 s ，则交流电的频率应该为25 Hz ，D 错．2． 如图2所示，矩形线圈abcd 在匀强磁场中，可以分别绕垂直于磁场方向的轴P 1和P 2以相同的角速度匀速转动，当线圈平面转到与磁场方向平行时( )A ．线圈绕P 1转动时的电流等于绕P 2转动时的电流B ．线圈绕P 1转动时的电动势小于绕P 2转动时的电动势C ．线圈绕P 1和P 2转动时电流的方向相同，都是a →b →c →d图2D ．线圈绕P 1转动时dc 边受到的安培力大于绕P 2转动时dc 边受到的安培力 答案 A解析 产生正弦交流电的条件是轴和磁感线垂直，与轴的位置和线圈形状无关，两种情况下转到图示位置时产生的电动势E 具有最大值E m ＝nBSω，由欧姆定律I ＝ER 总可知此时I 相等，A 正确，B 错误；由右手定则可知电流方向为a →d →c →b ，故C 错误；两种情况下dc 边受的安培力均为F ＝Bl cd I ，故D 错误． 3． 如图所示，面积均为S 的单匝线圈绕其对称轴或中心轴在匀强磁场B 中以角速度ω匀速转动，能产生正弦交变电动势e ＝BSωsin ωt 的图是( )答案 A解析 线圈在匀强磁场中绕垂直于磁场方向的轴(轴在线圈所在平面内)匀速转动，产生的正弦交变电动势为e ＝BSωsin ωt ，由这一原理可判断，A 图中感应电动势为e ＝BSωsin ωt ；B 图中的转动轴不在线圈所在平面内；C 、D 图转动轴与磁场方向平行，而不是垂直．4． 矩形线框绕垂直于匀强磁场且沿线框平面的轴匀速转动时产生了交变电流，下列说法正确的是( )A ．当线框位于中性面时，线框中感应电动势最大B ．当穿过线框的磁通量为零时，线框中的感应电动势也为零C ．每当线框经过中性面时，感应电动势或感应电流方向就改变一次D ．线框经过中性面时，各边不切割磁感线 答案 CD解析 线框位于中性面时，线框平面与磁感线垂直，穿过线框的磁通量最大，但此时切割磁感线的两边速度方向与磁感线平行，不切割磁感线，穿过线框的磁通量的变化率等于零，所以感应电动势等于零，感应电动势或感应电流的方向在此时刻改变．垂直于中性面时，穿过线框的磁通量为零，切割磁感线的两边的速度与磁感线垂直，有效切割速度最大，此时穿过线框的磁通量的变化率最大，所以感应电动势最大．故C 、D 正确．5． (2012·安徽理综·23)图3甲是交流发电机模型示意图．在磁感应强度为B 的匀强磁场中，有一矩形线圈abcd可绕线圈平面内垂直于磁感线的轴OO ′转动，由线圈引出的导线ae 和df 分别与两个跟线圈一起绕OO ′转动的金属圆环相连接，金属圆环又分别与两个固定的电刷保持滑动接触，这样矩形线圈在转动中就可以保持和外电路电阻R 形成闭合电路．图乙是线圈的主视图，导线ab 和cd 分别用它们的横截面来表示．已知ab 长度为L 1，bc 长度为L 2，线圈以恒定角速度ω逆时针转动．(只考虑单匝线圈)甲 乙丙 图3(1)线圈平面处于中性面位置时开始计时，试推导t 时刻整个线圈中的感应电动势e 1的表达式；(2)线圈平面处于与中性面成φ0夹角位置时开始计时，如图丙所示，试写出t 时刻整个线圈中的感应电动势e 2的表达式；(3)若线圈电阻为r ，求线圈每转动一周电阻R 上产生的焦耳热．(其他电阻均不计) 答案 (1)e 1＝BL 1L 2ωsin ωt (2)e 2＝BL 1L 2ωsin (ωt ＋φ0)(3)πωRB 2L 21L 22(R ＋r )2解析 (1)如图所示，矩形线圈abcd 在磁场中转动时，ab 、cd 切割磁感线，且转动的半径为r ＝L 22，转动时ab 、cd 的线速度v ＝ωr ＝ωL 22，且与磁场方向的夹角为ωt ，所以，整个线圈中的感应电动势e 1＝2BL 1v sin ωt ＝BL 1L 2ωsin ωt .(2)当t ＝0时，线圈平面与中性面的夹角为φ0，则t 时刻时，线圈平面与中性面的夹角为ωt ＋φ0 故此时感应电动势的瞬时值e 2＝2BL 1v sin (ωt ＋φ0)＝BL 1L 2ωsin (ωt ＋φ0)(3)线圈匀速转动时感应电动势的最大值E m ＝BL 1L 2ω，故有效值E ＝E m 2＝BL 1L 2ω2回路中电流的有效值I ＝E R ＋r ＝BωL 1L 22(R ＋r )根据焦耳定律知转动一周电阻R 上的焦耳热为Q ＝I 2RT ＝[BωL 1L 22(R ＋r )]2R 2πω＝πωRB 2L 21L 22(R ＋r )2.►题组2 对交变电流“四值”的考查6． 如图4所示，垂直于纸面向里的磁感应强度为B 的匀强磁场以虚线为界，虚线左侧磁场范围足够大，单匝矩形线圈中的轴线与磁场边界重合，线圈以恒定的角速度ω绕中轴线转动，线圈所围面积为S ，线圈导线的总电阻为R .t ＝0时刻线圈平面与纸面重合，以下说法正确的是( ) A ．时刻t 线圈中电流的瞬时值i ＝BSωR cos ωtB ．线圈中电流的有效值I ＝2BSω4R图4C ．线圈中电流的有效值I ＝2BSω2RD ．线圈消耗的电功率P ＝(BSω)2R答案 B解析 电动势的最大值应为E m ＝BSω2，t ＝0时，e ＝0，因此瞬时值表达式应为e ＝12BSω sin ωt ，i ＝BSω2R sin ωt ，A 项错；电流的有效值I ＝I m 2＝2BSω4R ，B 项正确，C 项错误；线圈消耗的电功率应为P ＝I 2R ＝(BSω)28R，D 项错，因此正确选项为B.7. 如图5所示，矩形线圈abcd 绕轴OO ′匀速转动产生交流电，在图示位置开始计时，则下列说法正确的是( )A ．t ＝0时穿过线圈的磁通量最大，产生的感应电流最大B ．t ＝T4(T 为周期)时感应电流沿abcda 方向图5C ．若转速增大为原来的2倍，则交变电流的频率是原来的2倍D ．若转速增大为原来的2倍，则产生的电流有效值为原来的4倍 答案 BC解析 图示时刻，ab 、cd 边切割磁感线的有效速率为零，产生的感应电动势为零，A 错误；根据线圈的转动方向，确定T4时线圈的位置，用右手定则可以确定线圈中的感应电流方向沿abcda 方向，B 正确；根据转速和频率的定义可知C 正确；根据ω＝2πf ，E m ＝nBSω，E ＝E m 2，I ＝ER 总可知电流有效值变为原来的2倍，D 错误．8． 如图6，交流发电机的矩形线圈边长ab ＝cd ＝0.4 m ，ad ＝bc ＝0.2 m ，线圈匝数N ＝100，电阻r ＝1 Ω，线圈在磁感应强度B ＝0.2 T 的匀强磁场中绕垂直于磁场的轴以ω＝100π rad/s 的角速度匀速转动，外接电阻R ＝9 Ω，以图示时刻开始计时，则( )A ．电动势瞬时值为160πs in (100πt ) VB ．t ＝0时线圈中磁通量变化率最大图6C ．t ＝12 s 时线圈中感应电动势最大D ．交变电流的有效值是82π A解析 图示时刻线圈平面垂直于中性面，电动势的瞬时值e ＝NBSωcos ωt ＝100×0.2×(0.4×0.2)×100πcos (100πt ) V ＝160πcos (100πt ) V ，A 错误．图示时刻即t ＝0时，Φ＝0，但ΔΦΔt 最大，B 正确．t ＝12 s 时，e ＝E m ，C 正确，交变电流的有效值是82π A ，D 正确．9． 如图7所示，矩形线圈面积为S ，匝数为N ，线圈电阻为r ，在磁感应强度为B 的匀强磁场中绕OO ′轴以角速度ω匀速转动，外电路电阻为R ，当线圈由图示位置转过60°的过程中，下列判断正确的是( )A ．电压表的读数为NBSωR2(R ＋r )B ．通过电阻R 的电荷量为q ＝NBS2(R ＋r )图7C ．电阻R 所产生的焦耳热为Q ＝N 2B 2S 2ωR π4(R ＋r )2D ．当线圈由图示位置转过60°时的电流为NBSω2(R ＋r )答案 AB解析 线圈在磁场中转动产生了正弦交流电，其电动势的最大值E m ＝NBSω，电动势的有效值E ＝NBSω2，电压表的读数等于交流电源路端电压，且为有效值，则U ＝NBSω2(R ＋r )R ，A 正确；求通过电阻R 的电荷量要用交流电的平均电流，则q ＝I Δt ＝N ΔΦR ＋r ＝N (BS －12BS )R ＋r ＝NBS2(R ＋r )，故B 正确；电阻R 上产生的热量应该用有效值来计算，则电阻R 产生的热量Q ＝I 2Rt ＝[NBSω2(R ＋r )]2R ·π3ω＝πN 2B 2S 2Rω6(R ＋r )2，故C 错误；线圈由图示位置转过60°时的电流为瞬时值，则i ＝NBSωR ＋r sin ωt ＝NBSωR ＋r sin π3＝3NBSω2(R ＋r )，故D 错误．10．如图8所示，一个半径为r 的半圆形线圈，以直径ab 为轴匀速转动，转速为n ，ab 的左侧有垂直于纸面向里(与ab 垂直)的匀强磁场，磁感应强度为B .M 和N 是两个集流环，负载电阻为R ，线圈、电流表和连接导线的电阻不计，求： (1)感应电动势的最大值；(2)从图示位置起转过1/4转的时间内负载电阻R 上产生的热量； (3)从图示位置起转过1/4转的时间内通过负载电阻R 的电荷量； 图8(4)电流表的示数．答案 (1)π2Bnr 2(2)π4B 2r 4n 8R (3)πBr 22R(4)π2r 2nB2R线圈绕轴匀速转动时，在电路中产生如图所示的交变电流． 此交变电动势的最大值为 E m ＝BSω＝B ·πr 22·2πn ＝π2Bnr 2(2)在线圈从图示位置转过1/4转的时间内，电动势的有效值为E ＝E m 2＝2π2Bnr 22电阻R 上产生的热量 Q ＝(E R )2R ·T 4＝π4B 2r 4n8R(3)在线圈从图示位置转过1/4转的时间内，电动势的平均值为E ＝ΔΦΔt通过R 的电荷量q ＝I ·Δt ＝ER ·Δt ＝ΔΦR ＝πBr 22R(4)设此交变电动势在一个周期内的有效值为E ′，由有效值的定义得(E m2)2R ·T 2＝E ′2R T ，解得E ′＝E m2故电流表的示数为I ＝E ′R ＝π2r 2nB2R .。
