八年级期末复习(3)-反比例函数

初三数学期末复习《反比例函数》一、反比例函数的概念：知识要点1： 一般地，形如 y =xk( k 是常数, k ≠ 0 ) 的函数叫做反比例函数。

注意：（1）常数 k 称为比例系数，k 是非零常数；（2）解析式有三种常见的表达形式：（A ）y =xk （k ≠ 0） ， （B ）xy = k （k ≠ 0） （C ）y=kx -1（k ≠0） 题型1：有关反比例函数的概念1.下列问题中两个变量间的函数关系式是反比例函数的是（ ） A.小红1分钟可以制作2朵花．x 分钟可以制y 朵花B.体积10cm 3的长方体，高为hcm 时，底面积为Scm 2C.用一根长 50cm 的铁丝弯成一个矩形一边长为xcm 时，面积为ycm 2D.小李接到一次检修管道的任务，已知管道长100m ，设每天能完成10m ，x 天后剩下的未检修的管道长为ym 2．下列说法正确的是（ ）A ．圆面积公式S=πr 2中，S 与r 成正比例关系B ．三角形面积公式S =12ah 中，当S 是常量时，a 与h 成反比例关系 C ．11y x =+中，y 与x 成反比例关系 D ．12x y -=中，y 与x 成正比例关系3.反比例函数ky x=中，k 与x 的取值情况是（ ）A.k ≠0，x 取全体实数B.x ≠0, k 取全体实数C.k ≠0，x ≠0D.k 、x 都可取全体实数 4.下列函数，①1)2(=+y x ; ②11+=x y ;③21x y = ;④x y 21-=;⑤2x y =-; ⑥13y x=；其中是y 关于x 的反比例函数的有：_________________。

4. y －1=23+x 可以看作_______和_______成反比例.5. 如果函数y=222-+k k kx是反比例函数，那么k=____, 此函数的解析式是__ ______.6．如果函数 322)(--+=k k xk k y 是反比例函数，即k = ；题型2：用待定系数法求反比例函数的解析式1.已知y 是x 的反比例函数，且当x=-2时，y=12,（1）求这个反比例函数关系式和自变量x 的取值范围；(2）分别求当x=3,x=13-时函数y 的值.2．反比例函数(0ky k x=≠）的图象经过（—2，52， n ）， 求（1）n 的值；（2）判断点B （24，2-）是否在这个函数图象上，并说明理由3．已知y-l 与x 成反比例，且当x=2时，y=-2, 求y 关于x 的函数关系式．4．已知a 与b 2成反比例，b=4时，a =5，求45b =时a 的值．5．函数 y=y 1+y 2与x 成正比例，y 2与x 2成反比例，且x=2与x= 3 时y 的值都等于19，求y 关于x 的函数关系式．课后过关练习一、填空题1、近视眼镜的度数y （度）与镜片焦距x 成反比例.已知400度近视眼镜片的焦距为0.25米，则眼镜度数y 与镜片焦距x 之间的函数关系式是 .2、如果反比例函数xky =的图象过点（2，-3），那么k = . 3、已知y 与x 成反比例，并且当x=2时，y=-1，则当y=3时，x 的值是 . 4、已知y 与（2x+1）成反比例，且当x=1时，y=2，那么当x=0，y 的值是 . 5、若点A （6，y 1）和B （5，y 2）在反比例函数xy 4-=的图象上，则y 1与y 2的大小关系是 . 7、若函数12)1(---=m mx m y 是反比例函数，则m 的值是 .8、当三角形面积是8cm 2时，它的底边上的高h (cm ）与底边长x(cm)之间的函数解析式是 .9、把23y x =-化为ky x=的形式为 ；比例系数为 .10、若函数12)1(-+=m xm y 是反比例函数，则m= ，它的图像在第 象限；二、选择题1、下列属于反比例函数的是( )A.3x y =B.3x y =-C.34y x =-D.2y x =- 2、如果反比例函数的图象经过点P （-2，-1），那么这个反比例函数的表达式为（ ） A 、x y 21= B 、x y 21-= C 、x y 2= D 、x y 2-= 3、已知y 与x 成反比例，当x=3时，y=4，那么当y=3时，x 的值等于（ ） A 、4 B 、-4 C 、3 D 、-3 4、如果y 与z 成反比例关系，x 与z 成正比例关系，则y 与x 成 （ ）A ． 正比例关系B 反比例关系C ． 一次函数关系D ． 不同于以上答案 三、解答题 ：1、已知y 与x 成反比例，并且当x=3时，y=4 （1）写出y 与x 的函数关系式； （2）当x=1.5时，求y 的值。

反比例函数的综合要点一、确定反比例函数的关系式确定反比例函数关系式的方法仍是待定系数法，由于反比例函数中y=kx，只有一个待定系数k，因此只需要知道一对x，y的对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式．用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是：(1)设所求的反比例函数为：y=kx(k≠0)；(2)把已知条件(自变量与函数的对应值)代入关系式，得到关于待定系数的方程；(3)解方程求出待定系数k的值；(4)把求得的k值代回所设的函数关系式y=kx中．要点二、反比例函数的图象和性质1．反比例函数的图象特征：反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限；反比例函数的图象关于原点对称，永远不会与x轴、y轴相交，只是无限靠近两坐标轴．要点诠释：(1)若点(a,b)在反比例函数y=kx的图象上，则点(-a，-b)也在此图象上，所以反比例函数的图象关于原点对称；(2)在反比例函数y =k x(k 为常数，k ≠0)中，由于x ≠0且y ≠0，所以两个分支都无限接近但永远不能达到x 轴和y 轴．2．反比例函数的性质(1)如图1，当k ＞0时，双曲线的两个分支分别位于第一、三象限，在每个象限内，y 值随x 值的增大而减小．(2)如图2，当k ＜0时，双曲线的两个分支分别位于第二、四象限，在每个象限内，y 值随x 值的增大而增大．要点诠释：反比例函数的增减性不是连续的，它的增减性都是在各自的象限内的增减情况，反比例函数的增减性都是由反比例系数k 的符号决定的；反过来，由双曲线所在的位置和函数的增减性，也可以推断出k 的符号．要点三、反比例函数y =k x(k ≠0)中的比例系数k 的几何意义过双曲线y =k x (k ≠0)上任意一点作x 轴、y 轴的垂线，所得矩形的面积为|k|．过双曲线y =k x (k ≠0)上任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点和原点，所得三角形的面积为||2k ．要点诠释：只要函数式已经确定，不论图象上点的位置如何变化，这一点与两坐标轴的垂线和两坐标轴围成的面积始终是不变的．例1．两个反比例函数y =3x ，y =6x在第一象限内的图象如图所示，点P 1，P 2，P 3……P 2020在反比例函数y =6x 图象上，它们的横坐标分别是x 1，x 2，x 3……x 2020，纵坐标分别是1，3，5，…，共2020个连续奇数，过点P 1，P 2，P 3……P 2020分别作y 轴的平行线，与反比例函数y =3x的图象交点依次是Q 1(x 1，y 1)，Q 2(x 2，y 2)，Q 3(x 3，y 3)……Q 2020(x 2020，y 2020)，则y 2020等于()A ．2019.5B ．2020.5C ．2019D ．4039例2．如图，直线y =k 1x +b 与双曲线y =2k x A ，B 两点，其横坐标分别为1和5，则不等式k 1x ＜2k x +b 的解集是．1．一次函数y 1＝k 1x +b 和y 2＝2k x (k 2＞0)相交于A (1，m )，B (3，n )两点，则不等式k 1x +b ＞2k x的解集为()A．1＜x＜3B．x＜1或x＞3C．x＜0或x＞3D．1＜x＜3或x＜02．反比例函数y=kx和正比例函数y＝mx的图象如图．由此可以得到方程kx＝mx的实数根为()A．x＝﹣2B．x＝1C．x1＝2，x2＝﹣2D．x1＝1，x2＝﹣2例3．如图，点A在双曲线y=kx的第一象限的那一支上，AB垂直y轴于点B，点C在x轴正半轴上，且OC=2AB，点E在线段AC上，且AE=3EC，点D为OB的中点，若△ADE的面积为3，则k的值为．1．如图，在反比例函数y=4x的图象上有一点A向x轴作垂线交x轴于点C，B为线段AC的中点，又D点在x轴上，且OD＝3OC，则△OBD的面积为．例4．在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y=kx(k≠0，x＞0)的图象经过点A(1，－4)，直线y=－2x+m与x轴交于点B(1，0)．(1)求k，m的值；(2)已知点P(n，－2n)(n＞0)，过点P作平行于x轴的直线，交直线y=－2x+m于点C，过点P作平行于y轴的直线交反比例函数y=kx(k≠0，x＞0)的图象于点D，当PD=2PC时，结合函数的图象，求出n的值．1．如图，正比例函数y1＝mx，一次函数y2＝ax+b和反比例函数y3＝kx的图象在同一直角坐标系中，若y3＞y2＞y1，则自变量x的取值范围是()A．x＜﹣1B．﹣1＜x＜0或x＞1．6C．﹣1＜x＜0D．x＜﹣1或0＜x＜12．设函数y1＝kx，y2＝kx (k＞0)，当2≤x≤3时，函数的y1最大值是a，函数y2的最小值是a﹣4，则ak＝()A．4B．6C．8D．103．已知反比例函数y＝8x和y＝3x在第一象限内的图象如图所示，则△AMN的面积为．4．如图，P1是反比例函数y=kx(k＞0)图象在第一象限上的一点，点A1的坐标为(2，0)．(1)当点P1的横坐标逐渐增大时，△P1OA1的面积将如何变化？逐渐减少．(2)若点P2在反比例函数图象上，点A2在x轴上，△P1OA1与△P2A1A2均为等边三角形，①求次反比例函数的解析式；②求点A2的坐标．5．如图，反比例函数y=kx图象和一次函数y＝ax+b经过M(1，6)和N(2，a)．(1)求一次函数解析式；(2)一次函数y＝ax+b与x轴交于点B，与y轴交于点A，求证：AM＝BN．6．已知：A (a ，y 1)．B (2a ，y 2)是反比例函数y =k x (k ＞0)图象上的两点．(1)比较y 1与y 2的大小关系；(2)若A 、B 两点在一次函数y =43x+b 第一象限的图象上(如图所示)，分别过A 、B 两点作x 轴的垂线，垂足分别为C 、D ，连接OA 、OB ，且S △OAB =8，求a 的值；(3)在(2)的条件下，如果3m =－4x +24，3n =32x ，求使得m ＞n 的x 的取值范围．7．如图，在平面直角坐标系xOy 中，函数y =k x(x ＜0)的图象经过点A (﹣1，6)，直线y ＝mx ﹣2与x 轴交于点B (﹣1，0)．(1)求k ，m 的值；(2)过第二象限的点P (n ，﹣2n )作平行于x 轴的直线，交直线y ＝mx ﹣2于点C ，交函数y =k x(x ＜0)的图象于点D ．①当n ＝﹣1时，判断线段PD 与PC 的数量关系，并说明理由；②若PD ≥2PC ，结合函数的图象，直接写出n 的取值范围．8．在平面直角坐标系xOy中，函数y=mx(x＞0)的图象G与直线l：y=kx－4k+1交于点A(4，1)，点B(1，n)(n≥4，n为整数)在直线l上．(1)求m的值；(2)横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记图象G与直线l围成的区域(不含边界)为W．①当n=5时，求k的值，并写出区域W内的整点个数；②若区域W内恰有5个整点，结合函数图象，求k的取值范围．【经典例题1】A【解析】解：∵P n 的纵坐标为：2n －1，∴P 2020的纵坐标为2×2020－1=4039．∵y =与y =在横坐标相同时，y =的纵坐标是y =的纵坐标的2倍，∴y 2020=×4039=2019．5．∴A 答案正确．【经典例题2】－5＜x ＜－1或x ＞0【解析】解：根据一次函数平移和反比例函数的对称性可得，直线y =k 1x －b 与双曲线y =2k x 交于第三象限点的坐标为(－5，－1)和(－1，－5)，如下图所示，∴不等式k 1x ＜2k x +b ，即k 1x －b ＜2k x 的解集，即当直线y =k 1x －b 的图象在反比例函数y =2k x 图象的下方对应的自变量x 的取值范围为：－5＜x ＜－1或x ＞0．【举一反三1】D【解析】解：如图，由图象可得：不等式k 1x +b ＞2k x 的解集是1＜x ＜3或x ＜0．故选：D ．【举一反三2】C【解析】解：如图，反比例函数y ＝和正比例函数y ＝mx 相交于点A (﹣2，1)，∴另一个交点为：(2，﹣1)，∴方程＝mx 的实数根为：x 1＝2，x 2＝﹣2．故选：C ．【经典例题3】163【解析】解：连DC ，∵AE =3EC ，S △ADE =3，∴S △CDE =1．∴S △ADC =4．设A (a ，b )，则AB =a ，OC =2AB =2a ．∵D 为OB 的中点，∴BD =OD =12b ．∵S 梯形OBAC =S △ABD +S △ADC +S △ODC ，12(a +2a )·b =12a ·12b +4+12·2a ·b ，∴ab =163．把A (a ，b )代入y =，得k =ab =163．【举一反三1】3【解析】解：设A （x 、y ），由反比例函数y =4x可知xy ＝4，BC ＝AC ＝y ，OD ＝3OC ＝3x ，∴S △OBD ＝BC ×OD ＝×y ×3x ＝xy ＝×4＝3．故答案为：3．【经典例题4】【解析】解：(1)把A(1，－4)代入y=k x，得k=1×(－4)=－4；把B(1，0)代入y=－2x+m，得－2+m=0，解得m=2；(2)反比例函数解析式为y=－(x＞0)，一次函数解析式为y=－2x+2，如图，当y=－2n时，－2x+2=－2n，解得x=n+1，则C(n+1，－2n)，∴PC=n+1－n=1，当y=－2n时，y=－=，∴D(n，－)，∴PD=|－2n+|，∵PD=2PC，∴|－2n+|=2，当－2n+=2时，解得n1=－2(舍去)，n2=1，当－2n+=－2时，解得n1=－1(舍去)，n2=2，综上所述，当PD=2PC时，n=1或n=2．【自我检测1】B【解析】解：由图象可知，当﹣1＜x＜0或x＞1．6时，双曲线y3落在直线y2上方，且直线y2落在直线y1上方，即y3＞y2＞y1，所以若y3＞y2＞y1，则自变量x的取值范围是﹣1＜x＜0或x＞1．6．故选：B．【自我检测2】C【解析】解：∵k＞0，2≤x≤3，∴y1随x的增大而减小，y2随x的增大而增大，∴当x＝2时，y1取最大值，最大值为＝a①；当x＝2时，y2取最小值，最小值为﹣＝a﹣4②；由①②得a＝2，k＝4，∴ak＝8，故选：C．【自我检测3】25 16【解析】解：设A(a，)，则M(a，)，N(，)，∴AN＝a﹣＝，AM＝﹣＝，∴△AMN的面积＝AN×AM＝××＝25 16，故答案为：25 16．【自我检测4】【解析】解：(1)△P1OA1的面积逐渐减少；(2)作P1C⊥OA1于C，∵△P1OA1为等边三角形，A1(2，0)，∴OC=1，P1C3P1(1，3)．∴反比例函数的解析式为y=3 x．(3)作P2D⊥A1A2于D，如上图，设A1D=x，则OD=2+x，P2D3x，∴P2(2+x3x)．将点P2代入y=3x，得y332x=+．x2+2x－1=0，解得x1=－2，x2=－12＜0(舍)．∴x=－2，OA2=2+x+x=2+2x=2+2(－2)=22．∴A2(22，0)．【自我检测5】【解析】解：(1)∵点M(1，6)在反比例函数y＝图象上，∴k＝1×6＝6，∴反比例函数的关系式为y＝，把N(2，a)代入得，a＝＝3，∴N(2，3)．∵点M(1，6)和N(2，3)在一次函数y＝ax+b的图象上，∴a+b＝6，2a+b＝3，解得a＝﹣3，b＝9，∴一次函数的关系式为y＝﹣3x+9；(2)过点M、N分别作MC⊥OA，ND⊥OB，垂足分别为C、D，当x＝0时，y＝9，当y＝0时，x＝3，∴一次函数y＝﹣3x+9与x轴的交点B(3，0)，与y轴的交点A(0，9)，由于A(0，9)，B(3，0)，M(1，6)，N(2，3)，∴MC＝1，AC＝9﹣6＝3，ND＝3，BD＝3﹣2＝1，∴MC＝BD＝1，AC＝ND＝3，又∵∠ACM＝∠NDB＝90°，∴△ACM≌△NDB(SAS)，∴AM＝BN．【自我检测6】【解析】解：(1)∵A、B是y=kx(k＞0)图象上的两点，∴a≠0．当a＞0时，A、B在第一象限，a＜2a，∴此时y1＞y2，同理，a＜0时，y1＜y2．(2)∵A(a，y1)、B(2a，y2)在y=kx(k＞0)图象上，∴AC=y1=，BD=y2=．∴y1=2y2．又A (a ，y 1)、B (2a ，y 2)在y =a +b 图象上，∴y 1=a +b ，y 2=a +b ．∴a +b =2(a +b )，得b =4a ．∵S △AOC +S 梯形ACDB =S △AOB +S △BOD ，又S △AOC =S △BOD ，∴S 梯形ACDB =S △AOB ，即[(a +b )+(a +b )]•a =8．∴a 2=4，由a ＞0，得a =2．(3)由(2)知，一次函数y =x +8，反比例函数y =．∵A 、B 两点的横坐标分别为2，4，且m =x +8，n =，∴使得m ＞n 的x 的范围，是反比例函数的图象在一次函数图象下方的点的横坐标取值范围．∴由图可知，2＜x ＜4或x ＜0．【自我检测7】【解析】解：(1)∵函数y =k x (x ＜0)的图象经过点A (﹣1，6)，∴k ＝﹣6．∵直线y ＝mx ﹣2与x 轴交于点B (﹣1，0)，∴m ＝﹣2．(2)①判断：PD ＝2PC ．理由如下：当n ＝﹣1时，点P 的坐标为(﹣1，2)，∵y ＝﹣2x ﹣2交于于点C ，且点P (﹣1，2)作平行于x 轴的直线，∴点C 的坐标为(﹣2，2)，∵函数y =k x(x ＜0)的图象于点D ，且点P (﹣1，2)作平行于x 轴的直线，点D 的坐标为(﹣3，2)．∴PC ＝1，PD ＝2．∴PD ＝2PC ．②当PD＝2PC时，有两种情况，分别为：y＝2，或者y＝6．若PD≥2PC，0＜y≤2，或y≥6即0＜﹣2n≤2，或﹣2n≤6解得﹣1≤n＜0．或n≤﹣3【自我检测8】【解析】(1)解：把A(4，1)代入y=mx(x＞0)，得m=4×1=4；(2)①当n=5时，把B(1，5)代入直线l：y=kx－4k+1得，5=k－4k+1，解得k=4 3-，如图所示，区域W内的整点有(2，3)，(3，2)，有2个；(3)直线l：y=kx－4k+1过(1，6)时，k=53-，区域W内恰有4个整点，直线l：y=kx－4k+1过(1，7)时，k=－2，区域W内恰有5个整点，∴区域W内恰有5个整点时，k的取值范围是－2≤k＜5 3-．。

初二反比例函数知识点归纳总结反比例函数是数学中的重要概念之一。

在初二阶段，学习反比例函数是提高数学水平的重要一步。

本文将对初二反比例函数的知识进行归纳总结，旨在帮助同学们更好地理解和应用反比例函数。

一、定义与性质1. 反比例函数的定义：反比例函数是一种函数关系，其特点是当自变量的值增大时，函数值减小，反之亦然。

反比例函数可以表示为：y = k / x，其中k为常数。

2. 反比例函数的图像特点：- 反比例函数的图像一般在原点附近形成一个超越x轴的双曲线；- 曲线上的点与y轴相交时，x轴不取0，即该函数无定义域为0；- 随着x的增大，曲线逐渐靠近x轴但永远不会与x轴相交；- 反比例函数不存在水平渐近线，但存在垂直渐近线。

二、图像与特殊情况1. 特殊情况一：k为正数当k为正数时，反比例函数的图像在第一象限和第三象限，且随着x的增大，函数值趋近于0。

2. 特殊情况二：k为负数当k为负数时，反比例函数的图像在第二象限和第四象限，且随着x的增大，函数值趋近于0，但y值始终为负数。

3. 特殊情况三：k为0当k为0时，反比例函数无定义，即不存在反比例关系。

三、直接变比例函数和间接变比例函数1. 直接变比例函数：直接变比例函数是指当x增大时，y也增大；当x减小时，y也减小的函数。

直接变比例函数的公式一般为y = kx。

- k > 0时，函数图像为一条通过原点的直线；- k < 0时，函数图像与x轴平行且位于x轴下方。

2. 间接变比例函数：间接变比例函数是指当x增大时，y减小；当x减小时，y增大的函数。

间接变比例函数的公式一般为y = k / x。

四、解反比例函数问题的方法1. 已知一点求函数关系的过程：当已知反比例函数图像上的一点时，可以利用该点的坐标，代入反比例函数的公式求解常数k。

进而确定反比例函数的具体形式。

2. 已知函数关系求特定点的过程：当已知一个反比例函数的表达式时，可以通过代入特定的x值，求解对应的y值，得到该函数的多个点。

反比例函数知识点知识点总结反比例函数知识点总结一、反比例函数的定义一般地，如果两个变量 x、y 之间的关系可以表示成\（y ＝＼frac{k}｛x}＼）（k 为常数，＼（k≠0\））的形式，那么称 y 是 x 的反比例函数。

其中，x 是自变量，y 是函数。

自变量 x 的取值范围是不等于 0 的一切实数。

例如：＼（y ＝＼frac{3}｛x}＼），＼（y ＝＼frac{2}｛x}＼）等都是反比例函数。

需要注意的是，反比例函数中，＼（k\）称为比例系数。

二、反比例函数的表达式反比例函数常见的表达式有以下三种形式：1、＼（y ＝＼frac{k}｛x}＼）（＼（k≠0\）），这是最基本的形式。

2、＼（xy ＝ k\）（＼（k≠0\）），变形可得\（y ＝＼frac{k}｛x}＼）。

3、＼（y ＝ kx^｛－1}＼）（＼（k≠0\）），同样可以转化为\（y ＝＼frac{k}｛x}＼）。

三、反比例函数的图象反比例函数的图象是双曲线。

当\（k＞0\）时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内 y 随 x 的增大而减小；当\（k＜0\）时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内 y 随 x 的增大而增大。

例如，对于反比例函数\（y ＝＼frac{2}｛x}＼），因为\（k ＝ 2＞0\），所以它的图象位于第一、第三象限，在每个象限内，y 随 x 的增大而减小。

四、反比例函数图象的性质1、对称性反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形。

对称轴有两条，分别是直线\（y ＝ x\）和直线\（y ＝ x\）；对称中心是坐标原点\（（0,0)＼）。

2、渐近性双曲线无限接近但永远不会与坐标轴相交。

这是因为当\（x\）趋近于 0 时，＼（y\）会趋近于正无穷大或负无穷大；当\（x\）趋近于正无穷大或负无穷大时，＼（y\）会趋近于 0。

3、增减性前面已经提到，当\（k＞0\）时，在每一象限内 y 随 x 的增大而减小；当\（k＜0\）时，在每一象限内 y 随 x 的增大而增大。

1八年级下册数学 反比例函数的图象和性质（复习课）主备：古新贵 审核：八年级数学组复习目标：1、巩固反比例函数图像和性质，通过对图像的分析，进一步探究反比例函数的增减性。

2、掌握反比例函数的增减性，能运用反比例函数的性质解决一些简单的实际问题。

复习重点：通过对反比例函数图像的分析，探究反比例函数的增减性。

复习难点：数形结合思想和分类讨论思想的灵活应用。

复习过程： 【知识梳理】1．反比例函数：一般地，如果两个变量x 、y 之间的关系可以表示成y ＝或 （k 为常数，k ≠0）的形式，那么称y 是x 的反比例函数． 2. 反比例函数的图象和性质3．k 的几何含义：反比例函数y ＝kx(k ≠0)中比例系数k 的几何意义， 即过双曲线 y ＝k x(k ≠0)上任意一点P 作x 轴、y 轴垂线，设垂分别为A 、B ，则所得矩形OAPB 的面积为 .【例题精讲】例1 某汽车的功率P 为一定值，汽车行驶时的速度v （米／秒）与它所受的牵引力F （牛）之间的函数关系如右图所示：（1）这辆汽车的功率是多少？请写出这一函数的表达式； （2）当它所受牵引力为1200牛时，汽车的速度为多少千米／时？ （3）如果限定汽车的速度不超过30米／秒，则F 在什么范围内？例2如图，一次函数y kx b =+的图象与反比例函数my x=的图象交于(21)(1)A B n -，，，两点．（1）试确定上述反比例函数和一次函数的表达式； （2）求AOB △的面积；（3）x 为何值时，一次函数值大于反比例函数值． k 的符号k ＞0k ＜0图像的大致位置经过象限 第 象限 第 象限 性质在每一象限内,y 随x 的增大而在每一象限内,y 随x 的增大而 对称性OyxBAoy xy xo2【总结质疑】1、意义：（1）名称：双曲线，它有两个分支，分别位于一、三或二、四象限； （2）这两个分支关于原点成中心对称；（3）由于反比例函数自变量x ≠0，函数y ≠0，所以反比例函数的图象与 x 轴和y 轴都没有交点，无限接近坐标轴，永远不能到达坐标轴。

八年级反比例函数知识点反比例函数是初中数学中比较难理解的重点之一，也是必修内容。

下面我们将为大家详细介绍八年级反比例函数的相关知识点。

一、什么是反比例函数反比例函数是指形式为y=k/x的函数，其中k为常数，x≠0，y≠0 。

反比例函数的图像是一个“开口朝下”的双曲线。

二、反比例函数的性质1.值域反比例函数的值域是由x取值的范围决定的，当x趋近于正无穷时，y趋近于0，当x趋近于0时，y趋近于正无穷。

2.特殊函数值当x=1/k时，y=k/(1/k)=k²，即x=1/k时，反比例函数的函数值为k²。

3.增减性反比例函数在定义域上是单调递减函数。

4.对称性反比例函数的图像在y轴上具有对称性。

5.渐近线反比例函数的图像有两条渐近线，即x轴和y轴。

当x趋近于0或正无穷时，y趋近于0，此时y轴成为反比例函数的一个渐近线；当y趋近于0或正无穷时，x趋近于0，此时x轴成为反比例函数的一个渐近线。

三、反比例函数的图像及基本形状反比例函数的图像是一条双曲线，其基本形状为“开口朝下”的形式。

四、如何求反比例函数的解析式当已知反比例函数的函数图像时，我们可以通过图像上的两个点来求解析式。

对于y=k/x来说，只需给出两组x和y的值即可确定k的取值。

如已知函数图像经过点(1,3)和(2,1.5)，则可列出方程组：3=k/11.5=k/2通过方程组求解k的值，即可得到反比例函数的解析式为y=k/x，其中k=4.5。

另外，还有一种方法，即设已知反比例函数的解析式为y=k/x，将待求的常数k表示成y和x的函数，即k=xy，代入原方程中，可得yx=k或xy=k，这样就求出了反比例函数的解析式。

综上所述，反比例函数是初中数学中重点难点之一，希望同学们能够认真掌握，熟练应用。

《反比例函数》期末复习题一．选择题。

1. 下列函数中，y 是x 的反比例函数的是（ ）A 、 1)1(=-y xB 、11+=x y C 、21x y = D 、x y 31-= 2.下列各点中，在函数xy 2-=的图像上的是（ ）A 、（2，1）B 、（-2，1）C 、（2，-2）D 、（1，2） 3.反比例函数y ＝x n 5+图象经过点（2，3），则n 的值是（ ）． A 、－2 B 、－1 C 、0 D 、14.若反比例函数y ＝xk （k ≠0）的图象经过点（－1，2），则这个函数的图象一定经过点（ ）． A 、（2，－1） B 、（－21，2） C 、（－2，－1） D 、（21，2） 5.已知甲、乙两地相距s （km ），汽车从甲地匀速行驶到乙地，则汽车行驶的时间t （h ）与行驶速度v （km/h ）的函数关系图象大致是（ ）6.若y 与x 成正比例，x 与z成反比例，则y 与z 之间的关系是（）．A 、成正比例B 、成反比例C 、不成正比例也不成反比例D 、无法确定7.一次函数y ＝kx －k ，y 随x 的增大而减小，那么反比例函数y ＝xk满足（ ）．A 、当x ＞0时，y ＞0B 、在每个象限内，y 随x 的增大而减小C 、图象分布在第一、三象限D 、图象分布在第二、四象限8.已知反比例函数y ＝xm21-的图象上有A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）两点，当x 1＜x 2＜0时， y 1＜y 2，则m 的取值范围是（ ）． A 、m ＜0 B 、m ＞0 C 、m ＜21 D 、m ＞21 9. 若M(12-,1y )、N(14-,2y )、P(12,3y )三点都在函数ky x=（k>0）的图象上，则1y 、2y 、3y 的大小关系是 （ ）A 、132y y y >>B 、312y y y >>C 、213y y y >>D 、123y y y >> 10．在同一直角坐标系中，函数y=kx-k 与(0)ky k x=≠的图象大致是（ ）11. 已知反比例函数的图象经过点（a ，b ），则它的图象一定也经过（ ） （A ）(－a ,－b ) （B ）(a ,－b ) （C ）(－a ，b ) （D ）（0，0） 12．如图，一次函数与反比例函数的图象相交于A 、B 两点，则图中使反比例函数的值小于一次函数的值的x 的取值范围 是（ ）．A 、x ＜－1B 、x ＞2C 、－1＜x ＜0或x ＞2D 、x ＜－1或0＜x ＜2二．填空题。

【期末压轴题】专题03：反比例函数综合（原卷版）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．定义：[]x 表示不超过实数x 的最大整数例如：[]1.71=，305⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，1234⎡⎤-=-⎢⎥⎣⎦根据你学习函数的经验，下列关于函数[]y x =的判断中，正确的是（ ） A ．函数[]y x =的定义域是一切整数 B ．函数[]y x =的图像是经过原点的一条直线 C ．点2(2,2)5在函数[]y x =图像上D ．函数[]y x =的函数值y 随x 的增大而增大2．如图，正比例函数y ＝kx 与反比例函数y ＝﹣8x相交于A ，C 两点，过点A 作x 轴的垂线交x 轴于B 点，连接BC ，则△ABC 的面积等于（ ）A ．4B ．8C ．12D ．163．如图，在平面直角坐标系中，△ABO 的顶点O 在坐标原点，另外两个顶点A 、B 均在反比例函数(0)ky k x=≠的图像上，分别过点A 、点B 作y 轴、x 轴的平行线交于点C ，连接OC 并延长OC 交AB 于点D ，已知C （1，2），△BDC 的面积为3，则k 的值为（ ）A ．B ．C ．+2D ．84．反比例函数y=kx的图像如图所示，下列说法正确的是（ ）A ．k>0B ．y 随x 的增大而增大C ．若矩形 OABC 的面积为2，则2k =-D ．若图像上点B 的坐标是（-2，1），则当x<-2时，y 的取值范围是y<1 5．关于反比例函数4y x=-，下列说法正确的是（ ）A ．函数图像经过点（2，2）；B ．函数图像位于第一、三象限；C ．当0x >时，函数值y 随着x 的增大而增大；D ．当1x >时，4y <-．6．如图，在四边形ABCD 中，动点P 从点A 开始沿A B C D →→→的路径匀速前进到D 为止，在这个过程中，APD ∆的面积S 随时间t 的变化关系用图象表示正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．7．若函数y=（2m+6）x 2+（1﹣m ）x 是正比例函数，则m 的值是（ ） A ．m=﹣3B ．m=1C ．m=3D ．m ＞﹣38．甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行2400米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人的距离y （米）与甲出发的时间t （分）之间的关系如图所示，下列结论：△甲步行的速度为60米/分；△乙走完全程用了30分钟；△乙用12分钟追上甲；△乙到达终点时，甲离终点还有300米．其中正确的结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个9．今年“五一”节，小明外出爬山，他从山脚爬到山顶的过程中，中途休息了一段时间，设他从山脚出发后所用时间为t （分钟），所走路程为s （米），s 与t 之间的函数关系如图所示，则下列说法中，错误的是（ ）A ．小明中途休息用了20分钟B ．小明在上述过程中所走路程为7200米C ．小明休息前爬山的速度为每分钟60米D ．小明休息前后爬山的平均速度相等10．已知（1x ，1y ），（2x ，2y ），（3x ，3y ）是反比例函数4y x=-的图像上的三个点，且120x x <<，30x >，则1y ，2y ，3y 的大小关系是（ ） A ．312y y y <<； B ．213y y y <<； C ．123y y y <<； D ．321y y y <<．二、填空题11．已知反比例函数1k y x-=的图象经过一、三象限，则实数k 的取值范围是_____． 12．两位同学在描述同一反比例函数的图像时，甲同学说：“从这个反比例函数图像上任意一点向x 轴、y 轴作垂线，与两坐标轴所围成的矩形面积为2014．”乙同学说：“这个反比例函数图像与直线y x =-有两个交点．”你认为这两位同学所描述的反比例函数的解析式是________________．13．如图，已知在平面直角坐标系中，点A 在x 轴正半轴上，点B 在第一象限内，反比例函数y ＝kx的图象经过△OAB 的顶点B 和边AB 的中点C ，如果△OAB 的面积为6，那么k 的值是_____．14．函数y _____． 15．已知点A （2，－1）在反比例函数(0)ky k x=≠的图像上，那么k =__________．16．函数2y x 1=-的定义域是______． 17．点A 在双曲线y=1x 上，点B 在双曲线y=3x上，且AB△x 轴，过点A,B 分别向x 轴作垂线，垂足分别为D 、C ，那么四边形ABCD 的面积是__________________． 18．在直角坐标系中，O 是坐标原点，点P （m ，n ）在反比例函数ky x=的图象上． （1）若m ＝k ，n ＝k ﹣2，则k ＝_____； （2）若m +n ＝k ，OP ＝2，且此反比例函数ky x=，满足：当x ＞0时，y 随x 的增大而减小，则k ＝_____．三、解答题 19．阅读理解：材料一：若三个非零实数x ，y ，z 满足：只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实数x ，y ，z 构成“和谐三数组”.材料二：若关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c = 0(a ≠0)的两根分别为1x ，2x ，则有12b x x a +=-，12c x x a⋅=． 问题解决：（1）请你写出三个能构成“和谐三数组”的实数 ；（2）若1x ，2x 是关于x 的方程ax 2+bx +c = 0 (a ，b ，c 均不为0)的两根，3x 是关于x 的方程bx +c =0(b ，c 均不为0)的解．求证：x 1，x 2，x 3可以构成“和谐三数组”； （3）若A (m ，y 1) ，B (m + 1，y 2) ，C (m +3，y 3)三个点均在反比例函数4y x=的图象上，且三点的纵坐标恰好构成“和谐三数组”，求实数m 的值．20．已知y ＝y 1﹣y 2，y 1与x 成正比例，y 2与x ﹣1成反比例，当x ＝2时，y ＝4；当x ＝3时，y ＝8．求y 关于x 的函数解析式．21．如图，平面直角坐标系中，直线l 经过原点O 和点A （6，4），经过点A 的另一条直线交x 轴于点B （12，0）． （1）求直线l 的表达式； （2）求△AOB 的面积；（3）在直线l 上求点P ，使S △ABP ＝13S △AOB ．22．（1）阅读下面的材料：如果函数y ＝f （x ）满足：对于自变量x 的取值范围内的任意1x ，2x ， （1）若1x ＜2x ，都有f （1x ）＜f （2x ），则称f （x ）是增函数； （2）若1x ＜2x ，都有f （1x ）＞f （2x ），则称f （x ）是减函数． 例题：证明函数f （x ）＝5x（x ＞0）是减函数．证明：设0＜1x ＜2x ， f （1x ）﹣f （2x ）＝1255x x -＝211255x x x x -＝21125x x x x -（）．△0＜1x ＜2x ，△2x ﹣1x ＞0，1x 2x ＞0． △21125x x x x -（）＞0.即f （1x ）﹣f （2x ）＞0． △f （1x ）＞f （2x ）．△函数f （x ）＝5x（x ＞0）是减函数．（2）根据以上材料，解答下面的问题：已知：函数f （x ）＝21321x x ++（x ＜0），△计算：f （﹣1）＝ ，f （﹣2）＝ ； △猜想：函数f （x ）＝21321x x ++（x ＜0）是 函数（填“增”或“减”）；△验证：请仿照例题证明你对△的猜想．23．问题：我们已经知道反比例函数的图象是双曲线，那么函数y ＝6||3x -的图象是怎样的呢？（经验）（1）我们在研究反比例函数的图象和性质的时候是从以下两个方面来探究的： △由数想形：先根据表达式中x 、y 的数量关系，初步估计图象的基本概貌．如：形状（直线或曲线）；位置（所在区域、与直线或坐标轴的交点情况）；趋势（上升、下降）；对称性等．△描点画图：根据已有的函数画图的经验，利用描点画图． （2）我们知道，函数y ＝21x +的图象是如图1所示的两条曲线，一支在过点(﹣1，0)且平行于y 轴的直线的右侧且在x 轴的上方，另一支在过点(﹣1，0)且平行于y 轴的直线的左侧且在x 轴的下方．（探索）请你根据以上经验，研究函数y ＝6||3x -的图象和性质并解决相关问题． （1）由数想形： ； （请你写出两条）． （2）描点画图：△列表：如表是x 与y 的几组对应值，其中a ＝ ；b ＝ ；△描点：根据表中各组对应值(x ，y )，在平直角坐标系中描出各点． △连线：用平滑的曲线顺次连接备点，请你把图象（如图2）补充完整． （应用）观察你所画的函数图象，解答下列问题：（3）若点A (a ，c )，B (b ，c )为该函数图象上不同的两点，则a +b ＝ ； （4）直接写出当6||3x -≥﹣2时，x 的取值范围为 ．24．已知点(),P m n 是反比例函数6y x=（0x >）的图象上的一动点，//PA x 轴，//PB y 轴，分别交反比例函数3y x=（0x >）的图象于点A ，B ，点C 是直线2y x =上的一点． （1）点A 的坐标为（______，______），点B 的坐标为（______，______）；（用含m 的代数式表示）（2）在点P 运动的过程中，连接AB ，PAB △的面积是一个定值，则这个定值为______； （3）在点P 运动的过程中，以点P ，A ，B ，C 为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求出此时m 的值：若不能，请说明理由．25．让我们一起用描点法探究函数y ＝6||x 的图象性质，下面是探究过程，请将其补充完整： （1）函数y ＝6||x 的自变量x 的取值范围是 ； 根据取值范围写出y 与x 的几组对应值，补全下面列表：（2）如图，在平面直角坐标系中，描出了上表中各组对应值为坐标的点．请你根据描出的点，画出该函数的图象； （3）观察画出的函数图象，写出： △y ＝5时，对应的自变量x 值约为 ；△函数y ＝6||x 的一条性质： ．26．如图1，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点A 在x 轴的正半轴上，在第一象限内以OA 为边作OABC ，点()2,C y 和边AB 的中点D 都在反比例函数()0ky x x=>的图象上，已知OCD 的面积为92（1）求反比例函数解析式；（2）点(),0P a 是x 轴上一个动点，求PC PD -最大时a 的值；（3）过点D 作x 轴的平行线（如图2），在直线l 上是否存在点Q ，使COQ ∆为直角三角形？若存在，请直接写出所有的点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【期末压轴题】专题03：反比例函数综合（解析版）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．定义：[]x 表示不超过实数x 的最大整数例如：[]1.71=，305⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，1234⎡⎤-=-⎢⎥⎣⎦根据你学习函数的经验，下列关于函数[]y x =的判断中，正确的是（ ） A ．函数[]y x =的定义域是一切整数 B ．函数[]y x =的图像是经过原点的一条直线 C ．点2(2,2)5在函数[]y x =图像上D ．函数[]y x =的函数值y 随x 的增大而增大 【标准答案】C 【思路点拨】根据题意描述的概念逐项分析即可． 【精准解析】A 、对于原函数，自变量显然可取一切实数，则其定义域为一切实数，故错误；B 、因为原函数的函数值是一些整数，则图象不会是一条过原点的直线，故错误；C 、由题意可知2225⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则点2(2,2)5在函数[]y x =图像上，故正确；D 、例如113⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，112⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，即当13x =，12x =时，函数值均为1y =，不是y 随x 的增大而增大，故错误； 故选：C ． 【名师指导】本题考查函数的概念以及新定义问题，仔细审题，理解材料介绍的的概念是解题关键． 2．如图，正比例函数y ＝kx 与反比例函数y ＝﹣8x相交于A ，C 两点，过点A 作x 轴的垂线交x 轴于B 点，连接BC ，则△ABC 的面积等于（ ）A ．4B ．8C ．12D ．16【标准答案】B 【思路点拨】 设A 点坐标为（8,a a -），则C 点坐标为（8,a a-），利用坐标求面积即可． 【精准解析】解：△正比例函数y ＝kx 与反比例函数y ＝﹣8x相交于A ，C 两点，△A ，C 两点关于原点对称，设A 点坐标为（8,a a -），则C 点坐标为（8,a a-）， S △ABC =18()82a a a-⨯--⨯=， 故选：B ． 【名师指导】本题考查了反比例函数k 的几何意义和对称性，解题关键是通过设坐标求三角形面积． 3．如图，在平面直角坐标系中，△ABO 的顶点O 在坐标原点，另外两个顶点A 、B 均在反比例函数(0)ky k x=≠的图像上，分别过点A 、点B 作y 轴、x 轴的平行线交于点C ，连接OC 并延长OC 交AB 于点D ，已知C （1，2），△BDC 的面积为3，则k 的值为（ ）A ．B ．C ．+2D ．8【标准答案】C 【思路点拨】过B 、C 分别做BE△x 轴，CF△x 轴，过D 作DG△BC ，DH△AB ，设BC=a ，由点C 的坐标即可表示点B 、C 的坐标，即可得出AC 与BC 的比值，由相似三角形的判定易证得△COF△△DCG ，得出DG 与DH 的比值，得出22ABCBCDACDSSS==，由三角形面积公式列出关于a 的等式，求得a 的值得出B 点坐标，即可求得k 值． 【精准解析】解：过B 、C 分别做BE△x 轴垂足为E ，延长AC 交x 轴于F ，过D 作DG△BC ，DH△AB ，垂足为G 、H ．△ C （1，2）△ OF=1，CF=2=BE ，则点A 的横坐标为1，点B 的纵坐标为2，设BC=a ，则B （a+1，2）△B 在反比例函数k y x=的图像上， △()21k a =+，△A 在反比例函数k y x =的图像上，且点A 的横坐标为1， △A 点的纵坐标为：22y a =+，即点A （1，2a+2），△ AC=AF -CF=2a+2-2=2a ， △ 12AC BC =， △ BC//x 轴，CF△x 轴，DG△BC ，△COF=△DCG ，△CFO=△DGC=90°，△ △COF△△DCG ， △ 21CF D CG OF G ==，即21DG DH =， △ 3BCD ACD SS ==， △6ABC S =， △162AC BC ⋅⋅=，即1262a a ⨯⨯=，△ a =△ B （2），△ k=2+故选：C【名师指导】本题考查了反比函数图像上点的坐标特征，相似三角形的性质和判定，注意准确作出辅助线，求得点B 的坐标是关键．4．反比例函数y=k x的图像如图所示，下列说法正确的是（ ）A ．k>0B ．y 随x 的增大而增大C ．若矩形 OABC 的面积为2，则2k =-D ．若图像上点B 的坐标是（-2，1），则当x<-2时，y 的取值范围是y<1【标准答案】C【思路点拨】根据反比例函数的性质以及系数k 的几何意义进行判断．【精准解析】解：A 、反比例函数图象分布在第二、四象限，则k ＜0，所以A 选项错误；B 、在每一象限，y 随x 的增大而增大，所以B 选项错误；C 、矩形OABC 面积为2，则|k |＝2，而k ＜0，所以k ＝﹣2，所以C 选项正确；D 、若图象上点B 的坐标是（﹣2，1），则当x ＜﹣2时，y 的取值范围是0＜y ＜1，所以D 选项错误．故选C【名师指导】本题考查了反比例函数系数k 的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y 轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．也考查了反比例函数的性质．5．关于反比例函数4y x=-，下列说法正确的是（ ） A ．函数图像经过点（2，2）； B ．函数图像位于第一、三象限；C ．当0x >时，函数值y 随着x 的增大而增大；D ．当1x >时，4y <-．【标准答案】C【思路点拨】直接利用反比例函数的性质分别分析得出答案．【精准解析】A、关于反比例函数y=-4x，函数图象经过点（2，-2），故此选项错误；B、关于反比例函数y=-4x，函数图象位于第二、四象限，故此选项错误；C、关于反比例函数y=-4x，当x＞0时，函数值y随着x的增大而增大，故此选项正确；D、关于反比例函数y=-4x，当x＞1时，y＞-4，故此选项错误；故选C．【名师指导】此题主要考查了反比例函数的性质，正确掌握相关函数的性质是解题关键．6．如图，在四边形ABCD中，动点P从点A开始沿A B C D→→→的路径匀速前进到D为止，在这个过程中，APD∆的面积S随时间t的变化关系用图象表示正确的是（）A．B．C．D．【标准答案】C【思路点拨】根据点P的运动过程可知：APD∆的底边为AD，而且AD始终不变，点P到直线AD的距离为APD∆的高，根据高的变化即可判断S与t的函数图象．【精准解析】解：设点P到直线AD的距离为h，APD∴∆的面积为：1·2S AD h =，当P在线段AB运动时，此时h不断增大，S也不端增大当P在线段BC上运动时，此时h不变，S也不变，当P在线段CD上运动时，此时h不断减小，S不断减少，又因为匀速行驶且CD AB>，所以在线段CD上运动的时间大于在线段AB上运动的时间故选C．【名师指导】本题考查函数图象，解题的关键是根据点P到直线AD的距离来判断s与t的关系，本题属于基础题型．7．若函数y=（2m+6）x2+（1﹣m）x是正比例函数，则m的值是（）A．m=﹣3B．m=1C．m=3D．m＞﹣3【标准答案】A【精准解析】由题意可知：260m+=△m=-3故选：A8．甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行2400米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人的距离y（米）与甲出发的时间t（分）之间的关系如图所示，下列结论：△甲步行的速度为60米/分；△乙走完全程用了30分钟；△乙用12分钟追上甲；△乙到达终点时，甲离终点还有300米．其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【标准答案】C【思路点拨】根据题意和函数图象中的数据可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题．【精准解析】由题意可得：甲步行速度=2404=60（米/分）；故△结论正确；设乙的速度为：x米/分，由题意可得：16×60=(16﹣4)x，解得x=80，△乙的速度为80米/分；△乙走完全程的时间=24008030（分）；故△结论正确；由图可得，乙追上甲的时间为：16﹣4=12（分）；故△结论正确；乙到达终点时，甲离终点距离是：2400﹣(4+30)×60=360（米），故△结论错误；故正确的结论有△△△共3个．故选：C．【名师指导】本题考查了函数图象的应用，解题的关键是正确分析函数图象并求出甲乙两人的速度，利用数形结合的思想解答．9．今年“五一”节，小明外出爬山，他从山脚爬到山顶的过程中，中途休息了一段时间，设他从山脚出发后所用时间为t（分钟），所走路程为s（米），s与t之间的函数关系如图所示，则下列说法中，错误的是（）A．小明中途休息用了20分钟B．小明在上述过程中所走路程为7200米C．小明休息前爬山的速度为每分钟60米D．小明休息前后爬山的平均速度相等【标准答案】B【思路点拨】根据函数图象可知，小明40分钟爬山2400米，40～60分钟休息，60～100分钟爬山（4800-2400）米，爬山的总路程为4800米，根据路程、速度、时间之间的关系进行解答即可．【精准解析】A 、小明中途休息的时间是：60-40=20分钟，故本选项正确；B 、小明在上述过程中所走路程为4800米，故本选项错误；C 、小明休息前爬山的速度为240040=60（米/分钟），故本选项正确； D 、因为小明休息后爬山的速度是4800240010060--=60（米/分钟），所以小明休息前后爬山的平均速度相等，故本选项正确；故选B ．【名师指导】本题考查了函数图象，读懂函数图象，从图象中获取必要的信息是解决本题的关键．10．已知（1x ，1y ），（2x ，2y ），（3x ，3y ）是反比例函数4y x=-的图像上的三个点，且120x x <<，30x >，则1y ，2y ，3y 的大小关系是（ ）A ．312y y y <<；B ．213y y y <<；C ．123y y y <<；D ．321y y y <<．【标准答案】A【思路点拨】 先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再根据x 1＜x 2＜0，x 3＞0，则y 1，y 2，y 3的大小关系即可．【精准解析】解：△反比例函数4y x=-中k=-4＜0， △函数图象在二、四象限，△在每一象限内y 随x 的增大而增大，△x 1＜x 2＜0，△0＜y 1＜y 2，△x 3＞0，△y 3＜0，△y 3＜y 1＜y 2．故选：A ．【名师指导】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，先根据题意判断出函数图象在二、四象限是解答此题的关键．二、填空题11．已知反比例函数1k y x-=的图象经过一、三象限，则实数k 的取值范围是_____．【标准答案】k ＞1．【思路点拨】 根据反比例函数1k y x-=的图象经过一、三象限得出关于k 的不等式，求出k 的取值范围即可．【精准解析】△反比例函数1k y x -=的图象经过一、三象限， △k ﹣1＞0，即k ＞1．故答案为k ＞1．【名师指导】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的图象与系数的关系是解答此题的关键．12．两位同学在描述同一反比例函数的图像时，甲同学说：“从这个反比例函数图像上任意一点向x 轴、y 轴作垂线，与两坐标轴所围成的矩形面积为2014．”乙同学说：“这个反比例函数图像与直线y x =-有两个交点．”你认为这两位同学所描述的反比例函数的解析式是________________． 【标准答案】2014y x=-【思路点拨】根据反比例函数中k 的几何意义=k xy ，再根据图像与直线y x =-有两个交点，可知反比例函数图像在二、四象限，即可判断k 的值【精准解析】 解：根据题意得=2014=k xy ，△2014=k 或2014=-k ，又△图像与直线y x =-有两个交点，△2014=-k ， 故反比例函数的解析式是2014y x =-. 【名师指导】本题考查反比例函数k 的几何意义，判断反比例函数的象限是关键.13．如图，已知在平面直角坐标系中，点A 在x 轴正半轴上，点B 在第一象限内，反比例函数y ＝k x 的图象经过△OAB 的顶点B 和边AB 的中点C ，如果△OAB 的面积为6，那么k 的值是_____．【标准答案】4【思路点拨】过B作BD△OA于点D，设点B（m，n），根据△OAB的面积为6，可以求得A点坐标，而点C是AB的中点，即可表示出C点坐标，再将点B、C坐标同时代入反比例函数解析式，即可求解．【精准解析】解：过B作BD△OA于D，△点B在反比例函数kyx=的图象上，△设B（m，n），△△OAB的面积为6，△12 OAn=，△A（12n，0），△点C是AB的中点，△C（122mnn+，2n），△点C在反比例函数kyx=的图象上，△12=22mn nmnn+⋅，△4 mn=，△4k=．故答案为4．【名师指导】本题目考查反比例函数，难度一般，正确作出辅助线，设出点B 的坐标，是顺利解题的关键．14．函数y 的定义域为_____． 【标准答案】x≥﹣1且x≠0【思路点拨】根据二次根式被开方数是非负数、分式的分母不为0列出不等式，解不等式得到答案．【精准解析】解：由题意得，x+1≥0，x≠0，解得，x≥﹣1且x≠0，故答案为：x≥﹣1且x≠0．【名师指导】本题考查了代数式有意义的x 的取值范围，一般地从两个角度考虑:分式的分母不为0;偶次根式被开方数为非负数．15．已知点A （2，－1）在反比例函数(0)k y k x=≠的图像上，那么k =__________． 【标准答案】－2．【思路点拨】把（2，-1）代入函数(0)k y k x=≠中即可求出k 的值． 【精准解析】解：由题意知，已知点A （2，-1）在反比例函数(0)k y k x=≠的图象上， 可把（2，-1）代入函数(0)k y k x=≠中，得k=-2， 故答案为：-2．【名师指导】本题考查了待定系数法求解反比例函数解析式，此为近几年中考的热点问题，同学们要熟练掌握．16．函数2y x 1=-的定义域是______． 【标准答案】x≠1．【思路点拨】根据分式有意义的条件是分母不为0,分析原函数式可得关系式x -1≠0，解可得自变量x 的取值范围.【精准解析】解：根据题意，有x-1≠0，解可得x≠1.故答案为：x≠1.【名师指导】考查了分式有意义的条件是分母不等于0.17．点A在双曲线y=1x上，点B在双曲线y=3x上，且AB△x轴，过点A,B分别向x轴作垂线，垂足分别为D、C，那么四边形ABCD的面积是__________________．【标准答案】2【思路点拨】根据反比例函数系数k的几何意义得出矩形EODA的面积为1，矩形BCOE的面积是3，则矩形ABCD的面积为：3-1=2．【精准解析】过点A作AE△y轴于点E，△点A在双曲线y=1x上，点B在双曲线y=3x上，△矩形EODA的面积为1，矩形EOCB的面积是3，△矩形ABCD的面积为：3-1=2，故答案为:2．【名师指导】此题考查反比例函数关系k的几何意义，得出矩形EODA和矩形BCOE的面积是解题关键．18．在直角坐标系中，O是坐标原点，点P（m，n）在反比例函数kyx=的图象上．（1）若m＝k，n＝k﹣2，则k＝_____；（2）若m+n＝k，OP＝2，且此反比例函数kyx=，满足：当x＞0时，y随x的增大而减小，则k＝_____．【标准答案】3【思路点拨】（1）函数经过一定点，将此点坐标代入函数解析式ky x=（k ≠0），即可求得k 的值；（2）根据点（x ，y ）到原点的距离公式d m ，n 的方程； 再结合完全平方公式的变形，得到关于k 的方程，进一步求得k 值． 【精准解析】 解：（1）根据题意，得 k ﹣2＝kk＝1，△k ＝3．（2）△点P （m ，n ）在反比例函数y ＝xk的图象上．△mn ＝k 又△OP ＝2，2，△（m +n ）2﹣2mn ﹣4＝0， 又m +n ＝k ，mn ＝k ， 得k 2﹣2k ＝4， （k ﹣1）2＝5，△x ＞0时，y 随x 的增大而减小，则k ＞0．△k ﹣1k ＝ 【名师指导】本题考查求反比例函数解析式.能够熟练运用待定系数法进行求解．注意：（1）明确两点间的距离公式；（2）在ky x=中，当k ＞0时，在每一个象限内，y 随x 的增大而减小；当k ＜0时，在每一个象限内，y 随x 的增大而增大．三、解答题19．阅读理解：材料一：若三个非零实数x ，y ，z 满足：只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实数x ，y ，z 构成“和谐三数组”.材料二：若关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c = 0(a ≠0)的两根分别为1x ，2x ，则有12bx x a+=-，12c x x a⋅=．问题解决：（1）请你写出三个能构成“和谐三数组”的实数 ；（2）若1x ，2x 是关于x 的方程ax 2+bx +c = 0 (a ，b ，c 均不为0)的两根，3x 是关于x 的方程bx +c =0(b ，c 均不为0)的解．求证：x 1，x 2，x 3可以构成“和谐三数组”； （3）若A (m ，y 1) ，B (m + 1，y 2) ，C (m +3，y 3)三个点均在反比例函数4y x=的图象上，且三点的纵坐标恰好构成“和谐三数组”，求实数m 的值．【标准答案】（1）65，2，3（答案不唯一）；（2）见解析；（3）m =﹣4或﹣2或2．【思路点拨】（1）根据“和谐三数组”的定义可以先写出后2个数，取倒数求和后即可写出第一个数，进而可得答案；（2）根据一元二次方程根与系数的关系求出1211+x x ，然后再求出31x ，只要满足1211+x x =31x 即可；（3）先求出三点的纵坐标y 1，y 2，y 3，然后由“和谐三数组”可得y 1，y 2，y 3之间的关系，进而可得关于m 的方程，解方程即得结果． 【精准解析】 解：（1）△115236+=，△65，2，3是“和谐三数组”； 故答案为：65，2，3（答案不唯一）；（2）证明：△1x ，2x 是关于x 的方程ax 2+bx +c = 0 (a ，b ，c 均不为0)的两根， △12b x x a +=-，12cx x a⋅=，△12121211bx x b a c x x x x c a-++===-⋅，△3x 是关于x 的方程bx +c =0(b ，c 均不为0)的解， △3cx b=-，△31b x c =-，△1211+x x =31x ， △x 1 ，x 2，x 3可以构成“和谐三数组”；（3）△A (m ，y 1) ，B (m + 1，y 2) ，C (m +3，y 3)三个点均在反比例函数4y x=的图象上， △14y m =，241y m =+，343y m =+， △三点的纵坐标y 1，y 2，y 3恰好构成“和谐三数组”， △123111y y y =+或213111y y y =+或312111y y y =+， 即13444m m m ++=+或13444m m m ++=+或31444m m m ++=+， 解得：m =﹣4或﹣2或2． 【名师指导】本题是新定义试题，主要考查了一元二次方程根与系数的关系、反比例函数图象上点的坐标特征和对新知“和谐三数组”的理解与运用，正确理解题意、熟练掌握一元二次方程根与系数的关系与反比例函数的图象与性质是解题的关键．20．已知y ＝y 1﹣y 2，y 1与x 成正比例，y 2与x ﹣1成反比例，当x ＝2时，y ＝4；当x ＝3时，y ＝8．求y 关于x 的函数解析式． 【标准答案】y ＝3x ﹣21x -． 【思路点拨】利用成正比例和成反比例的定义设出y 1和y 2，进而得出21211k y y y k x x =-=--，再把两组对应值分别代入，然后解方程组即可． 【精准解析】 解：设11y k x =，221k y x =-，则21211ky y y k x x =-=--， 把x ＝2，y ＝4；x ＝3，y ＝8代入得212124213831k k k k ⎧-=⎪⎪-⎨⎪-=⎪-⎩，解得1232k k =⎧⎨=⎩，所以y 关于x 的函数解析式为y ＝3x ﹣21x -． 【名师指导】本题考查了待定系数法求函数解析式，熟练掌握成正比例和成反比例的定义是解题关键． 21．如图，平面直角坐标系中，直线l 经过原点O 和点A （6，4），经过点A 的另一条直线交x 轴于点B （12，0）． （1）求直线l 的表达式； （2）求△AOB 的面积；（3）在直线l上求点P，使S△ABP＝13S△AOB．【标准答案】（1）23y x=；（2）24；（3）84,3⎛⎫⎪⎝⎭或168,3⎛⎫⎪⎝⎭【思路点拨】（1）直线l是正比例函数的图象，用待定系数法即可求得；（2）过点A作AC△OB于点C，则可得AC的长度，从而可求得△AOB的面积；（3）设点P的坐标为2,3a a⎛⎫⎪⎝⎭，分点P在线段OA上和点P在线段OA的延长线上两种情况考虑即可．【精准解析】（1）设直线l的解析式为：y=kx，其中k≠0△点A（6，4）在直线y=kx上△6k=4△23 k=△直线l的解析式为23 y x =（2）过点A作AC△OB于点C，如图△A（6，4），B（12，0）△AC=4，OB=12△111242422AOB S OB AC =⨯=⨯⨯=△（3））设点P 的坐标为2,3a a ⎛⎫⎪⎝⎭△ S △ABP ＝13S △AOB△S △ABP ＝8当点P 在线段OA 上时，如图所示 △POB AOB PAB S S S =-△△△ △△POB 的面积为24-8=16 即12121623a ⨯⨯= 解得：a =4此时点P 的坐标为84,3⎛⎫ ⎪⎝⎭当点P 在线段OA 的延长线上时，如图所示 △POB AOB PAB S S S =+△△△ △△POB 的面积为24+8=32 即12123223a ⨯⨯= 解得：a =8此时点P 的坐标为168,3⎛⎫ ⎪⎝⎭综上所述，点P 的坐标为84,3⎛⎫ ⎪⎝⎭或168,3⎛⎫⎪⎝⎭【名师指导】本题考查了待定系数法求正比例函数的解析式，图形面积，正比例函数的图象等知识，涉及分类讨论思想．22．（1）阅读下面的材料：如果函数y ＝f （x ）满足：对于自变量x 的取值范围内的任意1x ，2x ， （1）若1x ＜2x ，都有f （1x ）＜f （2x ），则称f （x ）是增函数； （2）若1x ＜2x ，都有f （1x ）＞f （2x ），则称f （x ）是减函数． 例题：证明函数f （x ）＝5x（x ＞0）是减函数． 证明：设0＜1x ＜2x ， f （1x ）﹣f （2x ）＝1255x x -＝211255x x x x -＝21125x x x x -（）．△0＜1x ＜2x ，△2x ﹣1x ＞0，1x 2x ＞0．△21125x x x x -（）＞0.即f （1x ）﹣f （2x ）＞0．△f （1x ）＞f （2x ）．△函数f （x ）＝5x（x ＞0）是减函数．（2）根据以上材料，解答下面的问题： 已知：函数f （x ）＝21321x x ++（x ＜0），△计算：f （﹣1）＝ ，f （﹣2）＝ ； △猜想：函数f （x ）＝21321x x ++（x ＜0）是 函数（填“增”或“减”）；△验证：请仿照例题证明你对△的猜想．【标准答案】△2-23，8-59；△增；△见解析【思路点拨】（1）根据题目中的函数解析式可以解答本题； （2）由（1）答案可得结论；（3）根据题目中例子的证明方法可以证明（2）中的猜想成立． 【精准解析】 解：△△()21321f x x x =++，△()12132213f -=-=-+，()18265819f -=-=-+； △由（1）可知，-1<-2时，有()()12f f -<-， △函数f （x ）＝21321x x ++（x ＜0）是增函数；△证明：设x 1＜x 2＜0，△f （x 1）﹣f （x 2）＝1211321x x ++﹣2221-321x x +＝3（x 1﹣x 2）＋212122212()()2121x x x x x x +-++（）（）， △x 1＜x 2＜0，△x 2﹣x 1＞0，x 1＋x 2＜0， △f （x 1）﹣f （x 2）＜0， △f （x 1）＜f （x 2）， △函数f （x ）＝21321x x ++（x ＜0）是增函数．【名师指导】本题考查函数的概念、反比例函数，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题的条件，利用函数的性质解答．23．问题：我们已经知道反比例函数的图象是双曲线，那么函数y ＝6||3x -的图象是怎样的呢？（经验）（1）我们在研究反比例函数的图象和性质的时候是从以下两个方面来探究的： △由数想形：先根据表达式中x 、y 的数量关系，初步估计图象的基本概貌．如：形状（直线或曲线）；位置（所在区域、与直线或坐标轴的交点情况）；趋势（上升、下降）；对称性等．△描点画图：根据已有的函数画图的经验，利用描点画图． （2）我们知道，函数y ＝21x +的图象是如图1所示的两条曲线，一支在过点(﹣1，0)且平行于y 轴的直线的右侧且在x 轴的上方，另一支在过点(﹣1，0)且平行于y 轴的直线的左侧。

专题03 反比例函数的参数法与k 的几何意义 专题讲练专题1. 反比例函数的参数解法“参数法”是一种解数学题的方法,它指在解决问题的过程中,通过适当引入与题目研究的问题发生联系的新变量(即为参数),然后以此作为媒介,再进行分析和综合,进而解决问题.运用参数解题有化繁为简之功效,因此,适当地引入参数,对提高解题能力,进一步学好数学,都会产生积极的作用.“参数法”解决反比例函数问题基本思路为：①设参数；②用参数表示点的坐标；③用参数表示线段的长；④用参数表标图形的面积（周长）；⑤利用等量关系建立方程或不等式；⑥解方程（或化简）；⑦解答。

题型1、设一个参数求解问题例1．（2021·福建省福州中考三模）如图，平行四边形OABC 中，点A ，C 在反比例函数1k y x=第一象限的图象上，点B 在反比例函数2ky x=第一象限的图象上，连接AC 并延长交x 轴于点D ，若2AD AC =，则12k k 的值是_______．变式1. （2021·江苏南京八年级月考）如图，正方形ABCD 的顶点A ，B 分别在x 轴和y 轴上，与反比例函数18y x=的图象恰好交于BC 的中点E ，若OB ＝2OA ，则S △ABO 的值为_______．变式2．（2022·成都·中考模拟）设双曲线()0ky k x=>与直线y x =交于A ，B 两点（点A 在第三象限），将双曲线在第一象限的一支沿射线BA 的方向平移，使其经过点A ，将双曲线在第三象限的一支沿射线AB 的方向平移，使其经过点B ，平移后的两条曲线相交于点P ，Q 两点，此时我们称平移后的两条曲线所围部分（如图中阴影部分）为双曲线的“眸”，PQ 为双曲线的“眸径”.当双曲线()0ky k x=>的眸径为6时，k 的值为__________.例2.（2021·山东·八年级期末）如图，点B 为反比例函数(0,0)ky k x x=<<上的一点，点A 为x 轴负半轴上一点．连接AB ，将线段AB 绕点A 逆时针旋转90°，点B 的对应点为点C ．若点C 恰好也在反比例函数k y x=的图象上，已知B 、C 的纵坐标分别为4、1，则k ＝___．变式3. （2021·南京市·八年级月考）如图，直线y kx =与双曲线2y x=交于A ，B 两点，过点B 作y 轴的平行线，交双曲线3(0)y x x=-<于点C ，连接AC ，则△ABC 的面积为______．变式4．（2021·江苏靖江市·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点O 与原点重合，顶点A ，C 分别在x 轴，y 轴上，反比例函数的图像与正方形的两边，分别交于点M，N ，连接，，，若，，则k 的值为________．OABC (0,0)ky k x x=>>AB BC OM ON MN 45MON ∠=︒4MN =例3．（2021·四川成都九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点A、B分别在x轴和y轴，3 4OAOB=，∠AOB的角平分线与OA的垂直平分线交于点C，与AB交于点D，反比例函数y＝kx的图象过点C．当以CD为边的正方形的面积为47时，k的值为_____．变式5．（2021·浙江宁波·中考模拟预测）如图，平面直角坐标系xOy中，在反比例函数4kyx=（k＞0，x＞0）的图象上取点A，连接OA，与kyx=的图象交于点B，过点B作BC∥x轴交函数4kyx=的图象于点C，过点C作CE∥y轴交函数kyx=的图象于点E，连接AC，OC，BE，OC与BE交于点F，则CEFABCSS∆∆＝____．变式6．（2021·江苏·八年级期中）如图，直线y ＝﹣x +b 与x 、y 轴的正半轴交于点A ，B ，与双曲线y ＝﹣4x交于点C （点C 在第二象限内），点D ，过点C 作CE ⊥x 轴于点E ，记四边形OBCE 的面积为S 1，△OBD 的面积为S 2，若12S S ＝712，则b 的值为_____．题型2、设两个参数求解问题例1．（2020·四川成都·中考真题）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线y mx =（0m >）与双曲线4y x=交于A ，C 两点（点A 在第一象限），直线y nx =（0n <）与双曲线1y x=-交于B ，D 两点．当这两条直线互相垂直，且四边形ABCD 的周长为2A 的坐标为_________．变式1．（2021·重庆一中九年级期中）如图，菱形OABC 的两个顶点A 、C 在反比例函数y ＝kx（k ≠0）的第一象限内的图象上，已知菱形OABC 面积为6，点B 坐标为（22，则k 的值为（ ）A ．2B ．4C ．2D ．8变式2．如图，平行四边形ABCD 在平面直角坐标系中如图所示位置，边CD 在y 轴的正半轴，点B 在x 轴的负半轴．双曲线(0)ky k x=≠过边AB 边上的点N 和AD 边上的点M ．若AN ：NB =1：2，点M 为AD 的中点，点P 是OB 上一点，且满足OP ：BP =1：2．连接MP 、DP ，若S △MDP =3，则k 的值为（ ）A ．-6B ．163-C ．7211-D ．7213-变式3．如图，点A 、C 为反比例函数16y x =-上的动点，点B 、D 为反比例函数22y x=上的动点，若四边形ABCD 为菱形，则该菱形边长的最小值为___________．例2．（2021·湖南望城·中考模拟预测）如图，反比例函数12y x =-的图象与直线1(0)2y x b b =+>交于A ，B 两点（点A 在点B 右侧），过点A 作x 轴的垂线，垂足为点C ，连接AO ，BO ，图中阴影部分的面积为12，则b 的值为________．变式4、平面直角坐标系中，点A 在反比例函数10ky x x=>（）的图象上，点'A 与点A 关于点O 对称，直线'AA的解析式为2y mx =，将直线'AA 绕点'A 顺时针旋转，与反比例函数图象交与点B ，直线'AB 的解析式为32my x n =+，若'AAB 的面积为3，则k 的值为______．变式5.如图，A ，B 两点在反比例函数(0,0)k y k x x=>>的图象上，AC x ⊥轴于点C ，BD x ⊥轴于点D ，连接OB 交AC 于点E ，若OAE △的面积是5，则四边形CDBE 的面积是__________．变式6．（2021·浙江苍南·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，矩形OABC 的顶点A ，C 分别在x 轴，y 轴的正半轴上，延长BC 交反比例函数1k y x =的图象于点E ．若反比例函数22y x=的图象经过OB 的中点D ，且OB OE =，则k 的值为______．题型3、设参求值综合题例1、如图，矩形ABCD 的AB 边长为8，点B 的坐标为()4,0-，点C 的坐标为()1,0-，E 点是DC 的中点.反比例函数()0ky x x=＜的图像经过点E ，与AB 边交于F 点．(1)求k 的值；(2)求F 点坐标； (3)连接矩形ABCD 两对边AD 与BC 的中点M 、N ．设线段MN 与反比例函数图像交于点P ，将线段MN 沿x 轴向右平移n 个单位，若MP NP ＜，求n 的取值范围．变式1.如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，△ABO 的边AB 垂直于x 轴，垂足为点B ，反比例函数y kx=（x ＞0）的图象经过AO 的中点C ，交AB 于点D ，且AD ＝3．(1)若点D 的坐标为（4，n ）．①求反比例函数y kx=的表达式；②求经过C ，D 两点的直线所对应的函数解析式；(2)在（1）的条件下，设点E 是x 轴上的点，使△CDE 为以CD 为直角边的直角三角形，求E 点的坐标．变式2．如图，直线AB 与反比例函数y ＝kx（x ＞0）的图象交于A ，B 两点，已知点A 的坐标为（2，4），△AOB 的面积为6．(1)反比例函数的表达式；(2)求直线AB 的函数表达式；(3)若动点P 在y 轴上运动，当|P A ﹣PB |最大时，求P 点坐标．变式3．如图，已知一次函数图象y =x +b 与y 轴交于点C （0，1），与反比例函数图象y =kx交于点A （a ，2）和点B 两点．(1)求一次函数和反比例函数的解析式；(2)求点B 的坐标和△AOB 的面积；(3)若点M 为y 轴上的一个动点，N 为平面内一个动点，当以A 、B 、M 、N 为顶点的四边形是矩形时，请求出M 点坐标．变式4.如图1，点(08)(2)A B a ，、，在直线2y x b =-+上，反比例函数(ky x x=＞0）的图象经过点B ． (1)求反比例函数解析式；(2)将线段AB 向右平移m 个单位长度（m ＞0），得到对应线段CD ，连接AC 、BD ．①如图2，当m ＝3时，过D 作DF ⊥x 轴于点F ，交反比例函数图象于点E ，求E 点坐标；②在线段AB 运动过程中，连接BC ，若△BCD 是以BC 为腰的等腰三角形，求所有满足条件的m 的值．专题2.反比例函数中K 的几何意义反比例函数中k 的几何意义就是双曲线上任意一点与 两坐标轴构成的矩形面积的数量等于k 的绝对值，而此矩形的两边恰巧与这个点的横纵坐标有关，于是巧妙的运用图形面积，将极大的简化运算，一般来讲，当图象上明确存在一个点时，经常从k 的几何意义锲入问题。