下载文档原格式
中南大学2005年研究生入学考试试题考试科目考试科目：：数学分析一、（共30分，每小题10分）（1）求极限2lim 1(),(0);3n n n n x x x →+∞++≥ （2）求极限1lim [()()];n n x x a x a x →+∞++−L（3）设lim ,n n x a →+∞=证明lim ;n n y b →+∞=其中， 0011!,2!()!n n n nn nn k n C x C x C xn y C k n k +++==−L 0,1,,k n =L二、（共20分，每小题10分）分别讨论函数2()f x x =在下列区间中是否一致连续：（1）(,)l l −，这里l 为随便多大的正数；（2）在区间(,)−∞+∞上。
三、（20分）证明下列拉格朗日定理并叙述其几何意义： “若函数()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 上可导；则在(,)a b 内至少存在一点0x ，使'()()()f b f a f x b a−=−。
” 四、（20分）求半径为R 的球内嵌入有最大体积的圆柱体的体积。
五、（共36分，每小题12分）（1）求积分10,(0)ln b a x x dx b a x −>>∫； （2）求第一类曲面积分22(),Sx y dS +∫∫其中S 为体积221x y z +≤≤的边界； （3）分别研究函数项级数1sin n nx n ∞=∑在下列区间上的一致收敛性：（a ）在2x επε≤≤−上，其中0ε>（b ）在02x π≤≤上。
六、（12分）设{()}n x φ是[0,1]上的非负可积函数序列，且10lim ()n n K x dx φ→+∞=∫存在。
若(0,1]α∀∈，有1lim()0n nx dx αφ→+∞=∫；证明对任何一个[0,1]上的连续函数()f x 都有 10lim ()()(0)nn x f x dx Kf φ→+∞=∫。
中南大学专业硕士“高等工程数学Ⅰ”考试试卷（开卷）考试日期： 2014 年月日时间 100 分钟注：解答全部写在答题纸上一、填空题 ( 本题 24 分，每小题 3 分 )1111324（1）如果Ax b, A 161，矩阵 A 1， A，利用 Gauss-Seidel 迭253113344代法求解此方程组是否收敛；答案：953，收敛，212解析： || A ||1为列范数，等于各列绝对值之和的最大值，||A ||为行范数，等于各行绝对值之和的最大值， A 为严格对角占优矩阵，根据课本P143定理 5.4.12 知， Jacobi 和 G-S 均收敛。
（ 2）利用迭代法求解非线性方程 f ( x) 2x e x0 的根，取初值 x0 0.5 。
给出一个根的存在区间，在该区间上收敛的迭代函数为；答案： [-1 ，0] ，g( x) 1 e x2解析：1 1 xf (1)20,f(0)10 ，故在[-10]g(x)e，根据课本P93定理 4.2.32e1可知迭代函数收敛的条件：（1）在[-1,0] 上一阶导数存在；（ 2）x [1,0] ，均有 | g(x) |[-1,0]；（3）| g' ( x) |max 1 ，2 1e x在[-1,0]上收敛。
故 g( x)2（3）设事件A发生的概率为p，在 n 次重复试验中事件m np近似服A 发生次数为m，当 n 充分大时，m )m(1n从的分布为；答案:N (0,1)解析：课本 P187 定理 7.2.4（4）设x1 , x2 , x3 , x4[ 1,1] ，若数值积分公式1 f (x)dx A1 f ( x1 ) A2 f ( x2 ) A3 f ( x3 )A4 f ( x4 ) 的代数精度大于11，则A1A2A3A4；答案： 21解析：令 f ( x) 1 ，可得1dx2A1 A2A3A4。
1（ 5）已知y f ( x) 通过点(x i, y i), i0,1,2,3 ，则其Lagrange插值基函数l2( x)；答案： l 2 ( x)(x x0 )( x x1)( x x3 ) ( x2 x0 )( x2x1 )( x2x3 )解析：课本 P20 拉格朗日插值基函数的定义（式 2.3.2）。
中南⼤学历年真题简答题中南⼤学研究⽣⼊学考试简答题1、试⽐较极差、平均差和标准差三种变异指标的特点，并说明为什么标准差是最常⽤、最基本的变异指标？答：极差是数据最⼤值减去数据最⼩值之差，是数据离散或差异程度的最简单侧度值。
特点：数据的分散程度就越⼤，极差就越⼤。
极差计算简单，但它仅取决于极端标志值，不能全⾯反映各单位标志值变异的程度，也不能拿来评价平均指标的代表性。
平均差各标志值对其算术平均数的离差绝对值的平均数。
平均差通常采⽤算术平均法，有简单算术平均法和加权算术平均法两种：（未分组资料）（分组资料）特点：平均差愈⼤，标志变异程度愈⼤，平均数的代表性愈⼩；平均差愈⼩，标志变异程度愈⼩，平均数代表性愈⼤。
与极差相⽐，平均差计算也很简便，⽽且反映了总体各单位标志值差异的⼤⼩，但由于采⽤绝对值运算，不适于数理统计上的数学处理，因⽽在实际中受到很⼤限制。
标准差是总体各单位标志值与算术平均数的离差平⽅的算术平均数的平⽅根，⼜称均⽅差，是测定标志变异最主要的指标。
未分组资料计算标准差：δ=分组资料计算标准差：δ=特点：标准差越⼤标志变异程度越⼤，平均数的代表性越低；标准差越⼩，标志变异程度越⼩，平均数的代表性越⾼。
同平均差⼀样，标准差反映了总体各单位标志值的变异情况，但它克服了平均差的缺点，所以运⽤较⼴泛。
2、简要阐述平均指标与变异指标在说明同质总体特征⽅⾯的联系和区别？答：平均指标和变异指标是反映总体分布的两个重要特征值。
区别：平均指标反映总体单位的集中趋势，变异指标反映总体单位的离散趋势。
联系：为了全⾯描述总体分布的特征，必须将平均指标与变异指标结合使⽤，⽤变异指标衡量平均指标的代表性，说明平均指标反映总体⼀般⽔平的有效程度，使分析结论更确切、更可靠。
3、抽样推断时，为什么必须遵循随机原则抽样样本？我们在进⾏抽样的过程中时，会产⽣代表性误差，即⽤⾮全⾯的资料推算或代替总体指标时产⽣的误差。
代表性误差⼜分为系统性误差和偶然性误差两种。
中南大学复习题及参考答案《高等数学》一、填空题1．函数1142-+-=x x y 的定义域是 . 解. ),2[]2,(∞+--∞Y 。
2．若函数52)1(2-+=+x x x f ，则=)(x f ．解. 62-x 3．________________sin lim =-∞→xxx x答案：1正确解法：101sin lim 1lim )sin 1(lim sin lim=-=-=-=-∞→∞→∞→∞→xxx x x x x x x x x4.已知22lim 222=--++→x x bax x x ，则=a _____, =b _____。
由所给极限存在知, 024=++b a , 得42--=a b , 又由23412lim 2lim 2222=+=+++=--++→→a x a x x x b ax x x x , 知8,2-==b a 5.已知∞=---→)1)((lim 0x a x b e x x ，则=a _____, =b _____。
∞=---→)1)((lim 0x a x b e x x Θ, 即01)1)((lim0=-=---→b abe x a x x x , 1,0≠=∴b a 6．函数⎪⎩⎪⎨⎧≥+<=0101sin)(x x x xx x f 的间断点是x = 。
解：由)(x f 是分段函数，0=x 是)(x f 的分段点，考虑函数在0=x 处的连续性。
因为 1)0(1)1(lim 01sinlim 00==+=+-→→f x xx x x所以函数)(x f 在0=x 处是间断的，又)(x f 在)0,(-∞和),0(+∞都是连续的，故函数)(x f 的间断点是0=x 。
7. 设()()()n x x x x y -⋅⋅--=Λ21, 则()=+1n y (1)!n + 8．2)(x x f =，则__________)1)((=+'x f f 。
中南大学工程硕士“高等工程数学”考试试卷（开卷）1考试日期：2010年 4 月 日 时间110分钟注：解答全部写在答题纸上一、填空题(本题24分，每小题3分)1. 若函数1()[,]x C a b ϕ∈,且[,]x a b ∀∈有()[,]x a b ϕ∈和1)('<≤L x ϕ, 则方程()x x ϕ=在[,]a b 上的解存在唯一，对 任意[]b a x ,0∈为初值由迭代公式)(1n n x x ϕ=+产生的序列{}n x 一定收敛于方程()x x ϕ=在[,]a b 上的解*x ，且有误差估计式*x x k-≤L-1ε；2. 建立最优化问题数学模型的三要素是： 确定决策变量 、 建立适当的约束条件 、 建立目标函数 ；3．求解无约束非线性最优化问题的最速下降法会产生“锯齿现象”，其原因是： 最速下降法前后两个搜索方向总是垂直的 ；4．已知函数)(x f y =过点(,),0,1,2,,i i x y i n =L ，[,]i x a b ∈，设函数)(x S 是()f x 的三次样条插值函数，则)(x S 满足的三个条件（1）在每个子区间[]i i x x ,1-（i=1，2，…，n ）上是不高于三次的多项式；（2）S （x ），S ’（x ），S ’’（x ）在[]b a ,上连续；（3）满足插值条件S （x i ）=y i （i=1，2，…，n ）；5．随机变量1210~(3,4),(,,,)X N X X X L 为样本，X 是样本均值，则~X N （3，0.4）；6．正交表()p q N L n m ⨯中各字母代表的含义为 L 表示正交表，N 表示试验次数，n 、m 表示因子水平数，p 、q 表示试验至多可以安排因素的个数 ；7．线性方程组Ax b =其系数矩阵满足 A=LU ，且分解唯一 时，可对A 进行LU 解，选主元素的Gauss 消元法是为了避免 采用绝对值很小的主元素 导致误差传播大，按列选取主元素时第k 步消元的主元a kk 为)1,2,......,1(1-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑+=n i a y a b y iin i j i ij i i 8．取步长0.01h =，用Euler法解'3,[0,1](0)1y x yx y ⎧=-∈⎨=⎩的公式为 。
