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直线与双曲线的位置关系及中点弦问题1.直线与双曲线的位置关系的判断设直线)0(:≠+=m m kx y l ，双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 联立解得 02)(222222222=----b a m a mkx a x k a b若0222=-k a b 即ab k ±=，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点； 若0222≠-k a b 即ab k ±≠， ))((4)2(222222222b a m a k a b mk a -----=∆0>∆⇒直线与双曲线相交，有两个交点；0=∆⇒直线与双曲线相切，有一个交点；0<∆⇒直线与双曲线相离，无交点；直线与双曲线有一个公共点是直线与双曲线相切的必要不充分条件。
2.直线与圆锥曲线相交的弦长公式设直线l :y =kx +n ，圆锥曲线：F (x ,y )=0，它们的交点为P 1 (x 1,y 1)，P 2 (x 2,y 2)，且由⎩⎨⎧+==nkx y y x F 0),(，消去y →ax 2+bx +c =0（a≠0），Δ=b 2 －4ac 。
设),(),,(2211y x B y x A ，则弦长公式为：则2122124)(1||x x x x kAB -++= 若联立消去x 得y 的一元二次方程：)0(02≠=++a c by ay设),(),,(2211y x B y x A ，则2122124)(11||y y y y k AB -++= 焦点弦长：||PF e d=（点P 是圆锥曲线上的任意一点，F 是焦点，d 是P 到相应于焦点F 的准线的距离，e 是离心率）。
【例1】过点P 与双曲线221725x y -=有且只有一个公共点的直线有几条，分别求出它们的方程。
解析：若直线的斜率不存在时，则x =，满足条件；若直线的斜率存在时，设直线的方程为5(y k x -=则5y kx =+-217x =， ∴22257(5725x kx -+-=⨯，222(257)72(5(57250k x kx --⨯-+--⨯=，当k =时，方程无解，不满足条件；当k =21075⨯⨯=方程有一解，满足条件；当2257k ≠时，令222[14(54(257)[(5165]0k k ∆=-----=，化简得：k 无解，所以不满足条件；所以满足条件的直线有两条x =10y x =+。
直线和双曲线的位置关系从近两年的高考试题来看,与椭圆相比,高考对双曲线的要求较低,重点考查双曲线的定义、标准方程、图形及几何性质等基础知识,题型大多为选择题、填空题,考查双曲线的定义、几何性质、基本运算能力,有时也会出现在解答题(如2011年高考江西卷理科第20题),难度为中等偏高,考查灵活运用数形结合、函数方程的思想、等价转化的思想,考查逻辑推理能力、分析问题解决问题的能力. 一、要点精讲1．直线和双曲线的位置关系有三种：相交、相切、相离.设双曲线方程()0,012222>>=-b a by a x ，直线Ax +By +C =0,将直线方程与双曲线方程联立,消去y 得到关于x 的方程mx 2+nx +p =0,(1)若m ≠0,当Δ>0时,直线与双曲线有两个交点；当Δ=0时,直线与双曲线只有一个公共点；当Δ<0时,直线与双曲线无公共点.(2)若m =0,则直线与双曲线只有一个公共点,此时直线与双曲线的渐近线平行. 2．弦长公式：设直线b kx y +=交双曲线于()111,y x P ，()222,y x P ，则()21221222121411x x x x k kx x P P -+⋅+=+-=， 或()()04111121221222121≠-+⋅+=+-=k y y y y kk y y P P ．二、基础自测 1．经过点⎪⎭⎫⎝⎛2,21P 且与双曲线1422=-y x 仅有一个公共点的直线有（） (A) 4条(B) 3条(C) 2条(D) 1条2．直线y= kx 与双曲线16422=-y x 不可能（）（A ）相交（B ）只有一个交点（C ）相离（D ）有两个公共点3．过双曲线的一个焦点且与双曲线的实轴垂直的弦叫做双曲线的通径，则双曲线191622=-x y 的通径长是(A)49(B)29(C) 9(D) 10 4．若一直线l 平行于双曲线的一条渐近线，则l 与双曲线的公共点个数为．解：与双曲线渐近线平行的直线与双曲线有且只有一个公共点，应注意直线与双曲线不是相切 5．经过双曲线822=-y x 的右焦点且斜率为2的直线被双曲线截得的线段的长是．6．直线l 在双曲线12322=-y x 上截得的弦长为4，且l 的斜率为2，求直线l 的方程．三、典例精析题型一：直线与双曲线的位置关系1．过双曲线2x 2－y 2－2＝0的右焦点作直线l 交双曲线于A 、B 两点，若|AB|＝4，则这样的直线有() A ．4条 B ．3条 C ．2条 D ．1条解：过双曲线右焦点作直线l 交双曲线于A 、B 两点，若l ⊥x 轴，则|AB|＝4；若l 经过顶点，此时|AB|＝2，因此当l 与双曲线两支各交于一点A 、B 时，满足|AB|＝4的直线有两条，故选B. 2、若直线y ＝kx ＋2与双曲线x 2－y 2＝6的右支交于不同的两点，则k 的取值范围是() A.⎝⎛⎭⎫－153，153 B.⎝⎛⎭⎫0，153 C.⎝⎛⎭⎫－153，0D.⎝⎛⎭⎫－153，－1解：直线与双曲线右支相切时，k ＝－153，直线y ＝kx ＋2过定点(0,2)，当k ＝－1时，直线与双曲线渐近 线平行，顺时针旋转直线y ＝－x ＋2时，直线与双曲线右支有两个交点，∴－153<k<－1.3、过点P 与双曲线221725x y -=有且只有一个公共点的直线有几条，分别求出它们的方程。
直线与双曲线的位置关系一、直线与双曲线的位置关系的判断 (1)根据图像交点个数来判断 相交：相离: 相切:（特殊情况）相交于一个交点的情况,直线和__________平行时，直线和双曲线相交于一点. 2代数法：根据直线和双曲线方程的公共解个数来判断位置关系 设直)0(:≠+=m m kx y l ，双曲线)0,0(12222>>=-b a by ax联立2222(0)1y kx m m y x ab =+≠⎧⎪⎨-=⎪⎩消去y 得 02)(222222222=----ba m a mkx a x k a b（1）若0222=-k a b 即a b k ±=，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点； （2）若0222≠-k a b 即ab k ±≠，))((4)2(222222222b a m a k a b mk a -----=∆0>∆⇒直线与双曲线相交，有两个交点； 0=∆⇒直线与双曲线相切，有一个交点； 0<∆⇒直线与双曲线相离，无交点；直线与双曲线有一个公共点是直线与双曲线相切的 条件。
直线l 与双曲线相交于两点时，若相交于同侧（两个交点在一支上）的条件为0x x >⎧⎨>⎩；若相交于异侧（两个交点在不同支上）的条件为120x x >⎧⎨<⎩二、涉及直线与双曲线相交弦的问题： 设直线l :y =kx +n 和圆锥曲线：)0,0(12222>>=-b a by ax 相交于两点，它们的交点为),(),,(2211y x B y x A且由⎩⎨⎧+==nkx y y x F 0),(，消去y →ax 2+bx +c =0（a≠0），Δ=b 2 －4ac 。
则弦长公式为：则2122124)(1||x x x x kAB -++=例1.已知直线y=kx-1与双曲线x 2-y 2=4,试讨论实数k 的取值范围,使直线与双曲线(1)没有公共点; (2)有两个公共点;(3)只有一个公共点;(4)交于异支两点；(5)与左支交于两点.例2 过双曲线22136yx-=的右焦点作倾斜角为30°的直线，交双曲线于A 、B 两点，求|AB|.三.中点弦问题例3.以P （1，8）为中点作双曲线为y 2-4x 2=4的一条弦AB ，求直线AB 的方程。
直线和双曲线的位置关系一、知识点直线和双曲线的位置关系有三种：相交、相切、相离. 设双曲线方程()0,012222>>=-b a by a x ，直线Ax +By +C =0, 将直线方程与双曲线方程联立,消去y 得到关于x 的方程mx 2+nx +p =0,(1)若m ≠0,当Δ>0时,直线与双曲线有两个交点；当Δ=0时,直线与双曲线只有一个公共点；当Δ<0时,直线与双曲线无公共点.(2)若m =0,则直线与双曲线只有一个公共点,此时直线与双曲线的渐近线平行.二、例题已知直线y=kx-1与双曲线x 2－y 2＝4，① 若直线与双曲线只有一个公共点，求k 的取值范围.② 若直线与双曲线右支有两个公共点，求k 的取值范围.③ 若直线与双曲线左支有两个公共点，求k 的取值范围.④ 若直线与双曲线左、右各一个公共点，求k 的取值范围.三、习题1．经过点⎪⎭⎫ ⎝⎛2,21P 且与双曲线1422=-y x 仅有一个公共点的直线有（ ） (A) 4条 (B) 3条 (C) 2条 (D) 1条2．直线y= kx 与双曲线16422=-y x 不可能（ ）（A ）相交 （B ）只有一个交点 （C ）相离 （D ）有两个公共点3． 若直线y ＝kx ＋2与双曲线x 2－y 2＝6的右支交于不同的两点，则k 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－153，153B.⎝⎛⎭⎫0，153C.⎝⎛⎭⎫－153，0D.⎝⎛⎭⎫－153，－14.过点P 与双曲线221725x y -=有且只有一个公共点的直线有几条，分别求出它们的方程。
5.直线1+=kx y 与双曲线1322=-y x 相交于A 、B 两点，当a 为何值时，A 、B 在双曲线的同一支上？当a 为何值时，A 、B 分别在双曲线的两支上？。
