直线与双曲线的位置关系及判断方法ppt.ppt

严格执行突发事件上报制度、校外活 动报批 制度等 相关规 章制度 。做到 及时发 现、制 止、汇 报并处 理各类 违纪行 为或突 发事件 。
(2)将 y＝kx＋ 2代入x32－y2＝1，得
(1－3k2)x2－6 2kx－9＝0.
由直线 l 与双曲线交于不同的两点，得
1－3k2≠0 Δ＝6 2k2＋361－3k2＝361－k2>0
方程化为 2x＝5，故此方程(*)只有一个实数解，即直线与双曲
线相交，且只有一个公共点．
严格执行突发事件上报制度、校外活 动报批 制度等 相关规 章制度 。做到 及时发 现、制 止、汇 报并处 理各类 违纪行 为或突 发事件 。
(2)当 1－k2≠0，即 k≠±1 时，Δ＝(2k2)2－4(1－k2)(－k2－ 4)＝4(4－3k2)．
x1＋x2＝2－2kk2
，
x1·x2＝k2－2 2
假设存在实数 k，使得以线段 AB 为直径的圆经过双曲线 C
的右焦点 F( 26，0)，则 FA⊥FB，
严格执行突发事件上报制度、校外活 动报批 制度等 相关规 章制度 。做到 及时发 现、制 止、汇 报并处 理各类 违纪行 为或突 发事件 。
∴(x1－ 26)(x2－ 26)＋y1y2＝0， 即(x1－ 26)(x2－ 26)＋(kx1＋1)(kx2＋1)＝0. (1＋k2)x1x2＋(k－ 26)(x1＋x2)＋52＝0， ∴(1＋k2)·k2－2 2＋(k－ 26)·2－2kk2＋52＝0，
严格执行突发事件上报制度、校外活 动报批 制度等 相关规 章制度 。做到 及时发 现、制 止、汇 报并处 理各类 违纪行 为或突 发事件 。
[解析] (1)将直线 l 的方程 y＝kx＋1 代入双曲线 C 的方程 2x2－y2＝1 后整理得，

b a
）与双曲
重合：无交点；平行：有一个交点。
2.二次项系数不为0时,上式为一元个交点）
Δ=0
直线与双曲线相切
Δ<0
直线与双曲线相离
变式：P(3，4)、（3,0）、（4,0）、（0,0）呢？
弦长问题
y
A
B F1
o
x
[1]两点间距离公式：AB x1 x2 2 y1 y 2 2
[2]弦长公式
AB 1 k 2 x1 x2
AB
1
1
k2
y1
y2
或 1 k 2 x1 x2 2 4x1x2
1
1
k2
y1 y 2 2 4y1y 2
弦中点问题
变式：若将点（2,1）改成（1,1），问是否存在 以该点为中点的弦？？
直线与圆锥曲线相交所产生的问题：
一、交点——交点个数 二、弦长——弦长公式 三、弦的中点的问题——点差法
[1] l : x 3 ,c : x2 y2 1 9 16
相切
[2] l : y 4 x 1 , c : x2 y2 1 相 交
3
9 16
回顾一下:判别式情况如何?
唉 ! 白担心一场 !
当直线与双曲线的渐进线平行时 , 把直线方 程代入双曲线方程 , 得到的是一次方程 , 根 本得不到一元二次方程 , 当然也就没有所谓 的判别式了 。
一个交点: 直线与渐进线平行
②相切：一个交点: ③相离: 无交点
△=0 △＜0
特别注意：
直线与双曲线的位置关系中：
一解不一定相切，相交不一定 两解
练习:
1、已知直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4,试讨论实数k的取
值范围,使直线与双曲线

x2 y2 1 36
的右焦点F2,倾斜角为30度的直线
交双曲线于A,B两点,求|AB|.
分析:求弦长问题有两种方法: 法一:如果交点坐标易求,可直接用两点间距离公 式代入求弦长; 法二:但有时为了简化计算,常设而不求,运用韦达 定理来处理.
弦长公式：
或
讲
课
人
：
邢
启 强
9
例题讲评
y
解：由双曲线的方程得，两焦点分别为F1(-3,0),F2(3,0).
(5)与左支交于两点. - 5 k 1
讲
2
课
人
：
邢
启 强
6
巩固练习
1.过点P(1,1)与双曲线 x2 y2 1 只有一个交点的直线共有 4 条.
9 16
变式:
Y
将点P(1,1)改为 1.A(3,4) 2.B(3,0)
（1,。1）
3.C(4,0) 4.D(0,0).
O
条;4.零条.
证明: (1)若l有斜率，设l的方程为:y=kx+b
y kx b
y2 x2
消元得(5k 2 - 3)x2 10bkx 5b2 - 15 0
3 - 5 1
L与C相交于A, B两点,5k 2
3
0, xA
xB
10kb 3 5k 2
y=kx+b
y2 x2
(5k2 3)x2 10bkx 5b2 0
Y
O
X
位 置 关 系 与 交 点 个 数
3
学习新知
y = kx + m
x2
a 2
-
y2 b2
消去y，得: (b2-a2k2)x2-2kma2x+a2(m2+b2)=0 =1

12345
内容索引
x1x2＝k2－1 3，所以 AB 的中点 P 的坐标 xP＝x1＋2 x2＝k22－k 3，yP＝kxP－2＝
k2－6 3，则 Pk22－k 3，k2－6 3.由圆的性质可知，圆心与弦中点连线的斜率垂
直于弦所在的直线，所以 kPG＝kk22－2－6k33－－0t ＝－1k，整理可得 t＝k28－k 3(*)，则
内容索引
【解析】 (1) 因为点 A(2,1)在双曲线 C：ax22－a2y－2 1＝1(a>1)上， 所以a42－a2－1 1＝1，解得 a2＝2， 所以双曲线 C：x22－y2＝1. 易知直线 l 的斜率存在，设直线 l：y＝kx＋m，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
y＝kx＋m， 联立x22－y2＝1， 消去 y 并整理，得(1－2k2)x2－4mkx－2m2－2＝0，
内容索引
由 Δ＝16m2k2＋4(2m2＋2)(1－2k2)>0，得 m2＋1－2k2>0， 所以 x1＋x2＝－2k42m－k1，x1x2＝22mk22－＋12， 所以由 kAP＋kAQ＝0，得yx22－－12＋yx11－－12＝0， 即(x1－2)(kx2＋m－1)＋(x2－2)(kx1＋m－1)＝0， 即 2kx1x2＋(m－1－2k)(x1＋x2)－4(m－1)＝0， 所以 2k×22mk22－＋12＋(m－1－2k)－2k42m－k1－4(m－1)＝0，
内容索引
同理可得 xQ＝10＋34
2，yQ＝－4
2－5 3.
所以直线 PQ：x＋y－53＝0，PQ＝136，
点 A 到直线 PQ 的距离 d＝|2＋12－35|＝232，
故△PAQ
的面积为12×136×2 3 2＝169

【补偿训练】 已知双曲线 x2－y2＝4，直线 l：y＝k(x－1)，试确定满足下列条件的实数 k 的取 值范围． (1)直线 l 与双曲线有两个不同的公共点； (2)直线 l 与双曲线有且只有一个公共点； (3)直线 l 与双曲线没有公共点．
【解析】联立x2－y2＝4，
消去 y，
y＝k（x－1），
(3)△F1MF2 的底|F1F2|＝8，由(2)知 m＝± 10 . 所以△F1MF2 的高 h＝|m|＝ 10 ，所以 S△MF1F2＝4 10 .
与双曲线有关的综合问题 (1)当与向量知识结合时，注意运用向量的坐标运算，将向量间的关系，转化为点 的坐标问题，再根据根与系数的关系，将所求问题与条件建立联系求解． (2)当与直线知识综合时，常常联立直线与双曲线的方程，消元后利用一元二次方 程的判别式、根与系数的关系构造相关数量关系求解．
弦长及中点弦问题的解题策略 (1)利用弦长公式|AB|＝ 1＋k2 |xA－xB|＝ 1＋k2 · （xA＋xB）2－4xAxB ，求解 的关键是正确应用根与系数的关系，整理时要始终保持两根之和、两根之积的形 式． (2)涉及弦长的中点问题，常用“点差法”，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标 联系起来，同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系． 其具体解题思路如下：
类型三 双曲线性质的综合应用(逻辑推理、数学运算)
x2 y2 【典例】1.设 F1，F2 是双曲线 C：a2 －b2 ＝1(a＞0，b＞0)的左右焦点，A 为左顶
16 点，点 P 为双曲线 C 右支上一点，|F1F2|＝10，PF2⊥F1F2，|PF2|＝ 3 ，O 为坐标
原点，则→OA ·→OP ＝( )
得(1－k2)x2＋2k2x－k2－4＝0.(*)

AB
1 k x
2
1 x 2 4 x1 x 2 2
7 4 3 2 4 4 2
2

经过双曲线x y 1的左焦点F1作倾斜角为
2 2

6
的弦AB。求 AB
小结:
1.直线与双曲线的位置关系。 2.直线与双曲线的公共点个数。 3.直线与曲线相交所得弦的有关问题（弦长）
复习:
直线与椭圆的位置关系及判断方法
相离
判断方法
（1）联立方程组
相切
相交
（2）消去一个未知数 （3）
∆<0
∆=0
∆>0
一 直线与双曲线位置关系种 类
Y
O
X
种类: 相离; 相切; 相交( 两个交点,一个交点)
位置关系与交点个数
Y
相交:两个交点
相切:一个交点
O X
相离: 0个交点
Y
与渐近线平行的直线 相交:一个交点
4 x y l : y x 1 , c : 1 3 9 16
2 2
相 交
5 x y [3] l : y x 1 , c : 1 相离 4 25 16
经过双曲线x y 1的左焦点F1作倾斜角为
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2 2

3
的弦AB。求 AB
设l的方程为： 3 x 2 y


y 3 x 2 由 2 2x2 6 2x 7 0 x y2 1
x y 1只有 一个 例2.过点P(1,1)与双曲线 9 16 Y 4 交点的直线 共有_______条.
（1，1） 。
2
2
变题:将点P(1,1)改为

∴x－32a2＋y2＝a22.
①
又 P 点在双曲线上，得ax22－by22＝1.
②
由①，②消去 y，得
(a2＋b2)x2－3a3x＋2a4－a2b2＝0，
即[(a2＋b2)x－(2a3－ab2)](x－a)＝0.
当 x＝a 时，P 与 A 重合，不符合题意，舍去．
当 x＝2aa32－＋abb2 2时，满足题意的 P 点存在， 需 x＝2aa32－＋abb2 2＞a， 化简得 a2＞2b2， 即 3a2＞2c2，ac＜ 26. 又 e＞1，∴离心率 e＝ac∈1， 26.
考向三 [149] 双曲线的几何性质
(1)(2014·天津高考)已知双曲线ax22－by22＝1(a>0，
b>0)的一条渐近线平行于直线 l：y＝2x＋10，双曲线的一个
焦点在直线 l 上，则双曲线的方程为( )
A.x52－2y02 ＝1
B.2x02 －y52＝1
C.32x52－130y02 ＝1
二、双曲线的标准方程和几何性质
标准方程 ax22－by22＝1(a>0，b>0)
ay22－bx22＝1(a>0， b>0)
图形
范围
x≥a或x≤－a
对称轴： 坐标轴
对称性
对称中心： 原点
y≤－a或y≥a 对称轴： 坐标轴 对称中心： 原点
性 顶点 顶点坐标：
顶点坐标：
质
A1 (－a,0)，A2 (a,0) A1 (0，－a，) A2 (0，a)
————————— [1 个对点练] ——————— 过点2，12能作几条与双曲线x42－y2＝1 有一个公共点的 直线．
【解】 (1)当斜率不存在时，直线方程为 x＝2，显然符 合题意．

2
2
=λ(λ≠0).
(5)渐近线为y=±kx的双曲线方程可设为k2x2-y2=λ(λ≠0).
(6)渐近线为ax±by=0的双曲线方程可设为a2x2-b2y2=λ(λ≠0).
跟踪训练 求适合下列条件的双曲线的标准方程：
5
（1）焦点在x轴上，虚轴长为8，离心率为3 ；ห้องสมุดไป่ตู้
跟踪训练
A.
1
4
双曲线x2-my2＝1的实轴长是虚轴长的2倍，则m等于
B.
1
2
C.2
D.4
（D）
二、求双曲线方程
例2
根据下列条件，求双曲线方程:
（1）双曲线 x
2
9

y2
1 有共同渐近线，且过点 ( 3, 2 3) ；
16
（2）与双曲线 x
2
16
解
y2
1 有公共焦点，且过点 (3 2 , 2) .
第三章
3.2
双曲线
3.2.2 双曲线的简单几何性质
学习目标
1.理解双曲线的简单几何性质（范围、对称性、顶点、渐近线、离心率）.
2.能用双曲线的简单性质解决一些简单的问题
核心素养：数学运算、数学建模
新知学习
复习引入
定义
| |MF1|-|MF2| | =2a（０ < 2a<|F1F2|）
y
y
M
M
F2
(2)焦点在 y 轴上的双曲线的标准方程可设为
2
(3)与双曲线
2
2 +
2
−
2
2
2
−
=1(a>0,b>0).
2
2
=1 共焦点的双曲线方程可设为

直线和双曲线相交有关弦的中点问题，常用 设而不求的思想方法．
1、过点P(0,3)的直线l与双曲线 C：x2 y2 1仅有
4 一个公共点，求直线 l的方程。
2、 已知双曲线方程 x2 y 2 1
42
求以M(1,1)为中点的弦AB所在的直线方程。
1、过点P(0,3)的直线l与双曲线 C：x2 y2 1仅有
直线与双曲线的 位置关系
复习: 椭圆与直线的位置关系及判断方法
相离
判断方法
（1）联立方程组 （2）消去一个未知数
（3） ∆<0
相切 ∆=0
相交 ∆>0
一、直线与双曲线的位置关系与交点个数
y
相交:两个交点
相切:一个交点
O
x 相离:0个交点
思考：当直线与双曲线渐近
Y
线平行时，直线与双曲线的
交点个数？
得k 13,此时l : y 13x 3
2、 已知双曲线方程
x2 y 2 1
42
求以M(1,1)为中点的弦AB所在的直线方程。
解：设 A(x1 ，y1) ，B(x2 ，y2) ，则 (x1 x2)
x12 4

y12 2
1
x22 4

y2 2 2
1
相减

y1 y2 x1 x2
求k的值。
注意：
极易疏忽!
解：由
y

kx
1
得 (1 k 2 )x2 2kx 5 0 即此方程只有一解
x2 y2 4
当 1 k2 0即k 1时，此方程只有一解
当 1 k2 0 时,应满足 4k2 20(1 k2 ) 0

△＞0
同侧：x1 x2＞0 异侧: x1 x2＜0 一点: 直线与渐进线平行
②相切一点: ③相 离:
△=0 △＜0
特别注意：
直线与双曲线的位置关系中：
一解不一定相切，相交不一定 两解，两解不一定同支
应 用:
例1.已知直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4,试讨论实数k的取
值范围,使直线与双曲线
小结：
1 .位置判定 2.弦长公式 3.中点问题 4.垂直与对称 5.设而不求(韦达定理、点差法)
作业：
1、已知双曲线 x2 y2 1 ，过点P(1,1)的直线l与 4
双曲线只有一个公共点，求直线l 的斜率。
x2 2、设双曲线C： a2
y2
1(a 0)与直线
l:x
y 1
相交于两个不同的点A、B。
(b2-a2k2)x2-2kma2x+a2(m2+b2)=0
1.二次项系数为0时，L与双曲线的渐近线平行 或重合。
重合：无交点；平行：有一个交点。
2.二次项系数不为0时,上式为一元二次方程,
Δ>0
直线与双曲线相交（两个交点）
Δ=0
直线与双曲线相切
Δ<0
直线与双曲线相离
一、直线与双曲线的位置关系:
①相交两点:
3取.过值原范点围与是双曲线，x4223
y2
3
1 交于两点的直线斜率的
3 2
Байду номын сангаас
，
二.弦的中点问题(韦达定理与点差法）
例2.已知双曲线方程为3x2-y2=3,求： (1)以2为斜率的弦的中点轨迹； (2)过定点B(2,1)的弦的中点轨迹； (3)以定点B(2,1)为中点的弦所在的直线方程. (4)以定点(1,1)为中点的弦存在吗？说明理由；

1
一.点与双曲线的位置关系
点P(
x0
,
y0
)与
双
曲
线
x a
2 2
y2 b2
1(a
0, b
0)的位置关系
点P( x0, y0 )在 双 曲 线 上
x0 2 a2
y02 b2
1；
点P( x0, y0 )在 双 曲 线 内
x0 2 a2
y02 b2
1；(含 焦点)
y
点P( x0 ,
y0 )在 双 曲 线 外
在 原 点
直线 三 两 条数 条 条
四条
不
两条 存
在
26
探究2:已知双曲线
x2 a2
by过22 点1P(m,n)能否
存在直线L,使L与此双曲线交于A、B两点，且点
P
是线段AB的中点？
是否
点的 位置
区
区
区
原 双曲 渐近
存在 方程
域域域
线上
Ⅰ Ⅱ Ⅲ 点 线上 (除原点)
x2 a2
y2 b2
1
不 存 在
My
曲线C:y x2 1有一个交点
求实数k的取值范围
o
x
29
ex3.当k取不同实数时，讨论方程 kx2 y 2 4所表示的曲线类型．
k 0,直线y 2 k 0时，x2 y 2 1．
44 k k 1,表示圆 k 0且k 1表示椭圆 k 0表示双曲线
30
12
课堂练习
例过双曲线
x2 y2 1 的右焦点 36
F2倾, 斜角为 30的o
直线交双曲线于A，B两点，求|AB|。
分析:求弦长问题有两种方法: 法一:如果交点坐标易求,可直接用两点间距离公 式代入求弦长; 法二:但有时为了简化计算,常设而不求,运用韦达 定理来处理.

2．教学目标 教学目标 依据教学大纲及以人为本的教育观着眼，我把教学目标 分为如下几点： （1）知识目标:掌握直线的斜率对其与双曲线位置关系的影 响。学会用根的判别式判断两者位置关系情况。初步掌握弦 长公式和中点弦有关知识。 （2）能力目标:培养学生观察、发现、分析、探索知识能力。 领悟培养数形结合和化归等思想。 （3）情感目标:通过问题情境，培养学生自主参与意识，及 合作精神，激发学生探索数学的兴趣，体验数学学习的过程 和成功后的喜悦。
3．教学的重难点 教学的重难点 根据现代教育理念，学生能力的培养必须结合探究过程的 有意渗透。结合教材特点，我认为本节课的重难点是： 重点：如何创造问题情境，引导学生探究直线与双曲线相 关知识。 难点：应用数学思维及直线与双曲线位置关系及弦长公式 等知识来解决数学问题。
4．学情分析 学情分析 对于认知主体学生 ①在能力上：他们已经学习了直线与圆、椭圆位置关系及 相关知识的推导及运用过程，但大部分还停留在经验基础上， 主动迁移、主动重组、整合能力较弱； ②在情感上：已初步形成小组自主合作、探究的学习方式。
谢谢大家 再 见！
过程演示： 相离 →相切 →相交（两个交点在同一支上）
过程演示：相交（交点落在两支上）
过程演示： 相交（一个交点）
设直线方程为ykxmm0双曲方程为k的取值范围直线与双曲线的位置关系设计意图相离无交点相切只有一个交点两个交点交点在同一支上利用直观的动态演示从运动角度帮助学生理解各位置关系的形成过程有助于学生从感性认识上升到理性认识从而发现问题的本质
探索直线与双曲线的位置关系
福鼎第四中学 数学组
一．设计理念
根据现代教学理念，数学学习不是学生对知识的记忆和被 动的接受，而是学生在某问题情境下自主探索、合作交流、提 出问题、分析问题、解决问题的体验过程，从而促进学生自主 全面、可持续的发展。 在本节课教学中，我力求通过问题情境，提供学生研究和 探讨的时间和空间，让学生充分经历“学数学”的过程，促使 学生在自主中求知，在合作中求取，在探究中求发展。

直线与双曲线的位置关系
一、复习引入
直线与椭圆的位置关系
位置关系 几何直观
相离
没有公共点
相切
只有一个公共点
相交
有两个公共点
代数方法
方程组（*）无解 △＜0 方程组（*）有一解 △＝0 方程组（*）有两解 △＞0
相离
相切
相交
直线与双曲线有哪些位置关系，该如何判断？
二、直线与双曲线的位置关系
2. 弦长公式
| AB |
1 k 2 x1 x2
1

1 k2
y1 y2
3. 中点弦问题点差法（设而不求）
六、作业布置 1.金版P46A组8（按解答题要求写过程） 2.课本P62B组4
12
二、直线与双曲线的位置关系
探究2：如果直线y kx 1 与双曲线 x2 y2 4 满足 以下条件，请分别求出 k的取值范围。
①没有公共点
k ,
5 2

5 2
,

②有两个公共点
k
5, 2
5 2

且k

1
的周长.（ F1 为双曲线的左焦点）
求直线与双曲线相交弦长的方法：
1.求出交点坐标，利用两点间的距离公式求弦长
2. 利用弦长公式| AB |
1 k 2 x1 x2
1
1 k2
y1 y2
和根与系数关系求弦长
四、中点弦问题
例3.设 A，B 为双曲线 x2－y22＝1 上的两点，AB 中点为
把直线方程代入双曲线方程
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
得到一元一次方程
直线与双曲线的 渐近线平行
相交（一个交点）

27
直线与双曲线相交中的垂直与对称问题
例3.已知直线y=ax+1与双曲线3x2-y2=1相交于A、B两点.
(1)当a为何值时，以AB为直径的圆过坐标原点； (2)是否存在这样的实数a,使A、B关于y=2x对称， 若存在，求a;若不存在，说明理由.
（1）解：将y=ax+1代入3x2-y2=1 得(3-a2)x2-2ax-2=0, 它有两个实根，必须△>0,
2 2a (a +1) +a +1=0 2 2 3a 3a
2
解得a=±1.
（2）（点差法或联立消元、根与系数的关系 ）不存在
小结：
1 .位置判定 2.弦长公式
3.中点问题 4.垂直与对称 5.设而不求(韦达定理、点差法)
1<k<
引申4：
如果直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4左支有两个公共点，求k的取值范围 解：等价于
4k2+20(1-k2)>0 1-k2≠0 x1+x2= 2 2 <0 x1x2= 2
-
<k<-1
引申5：
>0
如果直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4左、右支各1个公共点，求k的取值范围
4k2+20(1-k2)>0
解：由
y=kx-1 x2-y2=4 1-k2≠0
得(1-k2)x2+2kx-5=0(*) 即方程无解
∴
△=4k2+20(1-k2)<0
5 5 k , 2 , 2
引申2：如果直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4有两个公共点，求k的取值范围 解：直线与双曲线有两个公共点

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双曲线的图像：双曲线有两个分支，在平 面坐标系中呈现出“马蹄形”的形状。
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参数方程与图像的关系：通过参数方程可 以绘制出双曲线的图像，而通过图像也可 以读取出双曲线的参数方程。
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参数方程的应用：双曲线的参数方程在物理学、 工程学等领域有着广泛的应用，例如在研究天体 运动、电磁波传播等问题时常常会用到双曲线的 参数方程。
预习内容建议：回 顾双曲线的定义、 性质和图像
所需准备材料：笔 记本、笔、教材等
预习时间安排：建 议提前一周开始预 习
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汇报人：PPT
图像特征：与双曲 线渐行渐远
双曲线的离心率
离心率的定义：离心率是双曲线的一个重要几何性质，它表示双曲线与焦点的距离与双曲线实 轴长度的比值。
离心率的取值范围：离心率的取值范围是大于1，表示双曲线与焦点的距离大于双曲线实轴长度。
离心率与双曲线形状的关系：离心率越大，双曲线的开口越宽，形状越扁平；离心率越小，双 曲线的开口越窄，形状越接近于椭圆。
双曲线的性质
双曲线是平面上的两条曲线，它们在两个不同的方向上弯曲。 双曲线的两个焦点位于其对称轴上，并且离原点的距离相等。 双曲线的渐近线是与双曲线无限接近的直线，它们与双曲线在同一直线上。 双曲线的离心率大于1，这是双曲线与椭圆和圆的区别之一。
双曲线的几何性质
双曲线的对称性
定义：双曲线关 于原点对称
双曲线的渐近线：双曲线与坐标轴的交点为渐近线，其斜率为b/a。
双曲线的离心率：离心率e是描述双曲线离散程度的参数，其值为c/a， 其中c为焦点到原点的距离。
双曲线的焦点位置：对于中心在原点的双曲线，其焦点位置为x轴正负 方向上，距离原点为c的点。