人教版九年级上《21.2解一元二次方程》测试题(含答案解析)

人教版2021年九年级上册同步练习：21.2 解一元二次方程一．选择题1．下列x的各组取值是方程x2﹣2x＝0的根的是（）A．x＝0或x＝2B．x＝1或x＝2C．x＝2或x＝3D．x＝3或x＝4 2．用公式法解一元二次方程3x2﹣4x＝8时，化方程为一般式，当中的a，b，c依次为（）A．3，﹣4，8B．3，﹣4，﹣8C．3，4，﹣8D．3，4，83．用配方法解x2﹣8x+5＝0方程，将其化成（x+a）2＝b的形式，则变形正确的是（）A．（x+4）2＝11B．（x﹣4）2＝21C．（x﹣8）2＝11D．（x﹣4）2＝11 4．用配方法将二次三项式x2+4x﹣96变形，结果正确的是（）A．（x+2）2﹣100B．（x﹣2）2﹣100C．（x+2）2﹣92D．（x﹣2）2﹣92 5．若菱形两条对角线的长度是方程x2﹣6x+8＝0的两根，则该菱形的边长为（）A．B．4C．25D．56．已知a，b是实数，定义：a※b＝ab+a+b．若m是常数，则关于x的方程：x※（mx）＝﹣1，下列说法正确的是（）A．方程一定有实数根B．当m取某些值时，方程没有实数根C．方程一定有两个实数根D．方程一定有两个不相等的实数根7．若x1，x2是方程x2＝16的两根，则x1+x2的值是（）A．16B．8C．4D．08．将4个数a、b、c、d排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成，定义＝ad ﹣bc．例如＝8×5﹣9×3＝40﹣27＝13．则方程＝﹣9的根的情况为（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．只有一个实数根9．若（a2+b2）（a2+b2﹣3）＝4，则a2+b2的值为（）A．4B．﹣4C．﹣1D．4或﹣110．若m、n是一元二次方程x2+3x﹣9＝0的两个根，则m2+4m+n的值是（）A．4B．5C．6D．12二．填空题11．方程3x（x﹣1）＝6（x﹣1）的根为．12．关于x的一元二次方程3x2﹣kx﹣2＝0的一个根是x＝1，则这个方程的另一根为．13．将方程3x2﹣6x﹣8＝0配方为a（x﹣h）2＝k，其结果是．14．一元二次方程x2+2x+2＝0的根的判别式的值为．15．设方程x2﹣2021x﹣1＝0的两个根分别为x1、x2，则x1+x2﹣x1x2的值是．16．若a，b是方程x2﹣2x﹣5＝0的两个实数根，则代数式a2﹣3a﹣b的值是．17．现定义运算“⊗”，对于任意实数a、b，都有a⊗b＝a2﹣3a+b；如：3⊗5＝32﹣3×3+5，若x⊗2＝6，则实数x的值是．三．解答题18．解方程：（1）x2+2x＝0．（2）．19．解方程：（1）（x+1）2＝4；（2）3x（x﹣1）＝1．20．解方程（1）2x2+3x﹣3＝0；（2）x（2x﹣5）＝10﹣4x．21．小敏与小霞两位同学解方程3（x﹣3）＝（x﹣3）2的过程如下框：小敏：两边同除以（x﹣3），得3＝x﹣3，则x＝6．小霞：移项，得3（x﹣3）﹣（x﹣3）2＝0，提取公因式，得（x﹣3）（3﹣x﹣3）＝0．则x﹣3＝0或3﹣x﹣3＝0，解得x1＝3，x2＝0．你认为他们的解法是否正确？若正确请在框内打“√”；若错误请在框内打“×”，并写出你的解答过程．22．已知关于x的一元二次方程x2+2mx+m2+m＝0有实数根．（1）求m的取值范围；（2）若该方程的两个实数根分别为x1、x2，且x12+x22＝12，求m的值．23．已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+2m﹣1＝0有x1，x2两实数根．（1）若x1＝1，求x2及m的值；（2）是否存在实数m，满足（x1﹣1）（x2﹣1）＝？若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由．24．阅读材料：把形如ax2+bx+c的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫配方法．配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即a2±2ab+b2＝（a±b）2．请根据阅读材料解决下列问题：（1）填空：分解因式4a2﹣4a+1＝；（2）把x2﹣10x﹣1写成（x+h）2+k后，求出h+k的值；（3）若a、b、c分别是△ABC的三边，且a2+3b2+c2+3＝2ab+4b+2c，试判断△ABC的形状，并说明理由．参考答案一．选择题1．解：∵x2﹣2x＝0，∴x（x﹣2）＝0，则x＝0或x﹣2＝0，解得x1＝0，x2＝2，故选：A．2．解：∵3x2﹣4x＝8，∴3x2﹣4x﹣8＝0，则a＝3，b＝﹣4，c＝﹣8，故选：B．3．解：∵x2﹣8x＝﹣5，∴x2﹣8x+16＝﹣5+16，即（x﹣4）2＝11，故选：D．4．解：x2+4x﹣96＝x2+4x+4﹣4﹣96＝（x+2）2﹣100，故选：A．5．解：解方程x2﹣6x+8＝0得：x＝4和2，即AC＝6，BD＝2，∵四边形ABCD是菱形，∴∠AOD＝90°，AO＝OC＝2，BO＝DO＝1，由勾股定理得：AD＝＝，故选：A．6．解：∵a※b＝ab+a+b，∴x※（mx）＝x•mx+x+mx＝mx2+（m+1）x＝﹣1，由mx2+（m+1）x＝﹣1得mx2+（m+1）x+1＝0，△＝b2﹣4ac＝（m+1）2﹣4m＝（m﹣1）2≥0，∴方程一定有实数根．故选：A．7．解：∵x2＝16，∴x1＝4，x2＝﹣4，则x1+x2＝0，故选：D．8．解：∵方程＝﹣9，∴x2﹣6x＝﹣9，∴x2﹣6x+9＝0，∴△＝（﹣6）2﹣4×1×9＝0，∴方程＝﹣9有两个相等的实数根，故选：B．9．解：设y＝a2+b2（y≥0），则由原方程得到y（y﹣3）＝4．整理，得（y﹣4）（y+1）＝0．解得y＝4或y＝﹣1（舍去）．即a2+b2的值为4．故选：A．10．解：∵m、n是一元二次方程x2+3x﹣9＝0的两个根，∴m+n＝﹣3，mn＝﹣9，∵m是x2+3x﹣9＝0的一个根，∴m2+3m﹣9＝0，∴m2+3m＝9，∴m2+4m+n＝m2+3m+m+n＝9+（m+n）＝9﹣3＝6．故选：C．二．填空题11．解：原方程变形整理后得：3（x﹣1）（x﹣2）＝0，∴x﹣1＝0或x﹣2＝0，解得：x1＝1，x2＝2，故答案为：x1＝1，x2＝2．12．解：设关于x的一元二次方程3x2﹣kx﹣2＝0的另一个实数根是x＝α，∵关于x的一元二次方程3x2﹣kx﹣2＝0的一个根是x＝1，∴1×α＝﹣，∴α＝﹣．故答案为．13．解：3x2﹣6x﹣8＝0，∴3（x2﹣2x+1）＝8+3，∴3（x﹣1）2＝11，故答案为：3（x﹣1）2＝11．14．解：∵a＝1，b＝2，c＝2，∴△＝22﹣4×1×2＝﹣4，故答案为：﹣4．15．解：∵方程x2﹣2021x﹣1＝0的两个根分别为x1、x2，∴x1+x2＝2021，x1x2＝﹣1，∴x1+x2﹣x1x2＝2021+1＝2022．故答案是：2022．16．解：∵a，b是方程x2﹣2x﹣5＝0的两个实数根，∴a+b＝2，a2﹣2a﹣5＝0，即a2﹣2a＝5，∴a2﹣3a﹣b＝（a2﹣2a）﹣（a+b）＝5﹣2＝3．故答案为：3．17．解：由题意可知：x2﹣3x+2＝6，∴x2﹣3x﹣4＝0，∴（x﹣4）（x+1）＝0，∴x＝4或x＝﹣1．故答案为：4或﹣1．三．解答题18．解：（1）x（x+2）＝0，x＝0或x+2＝0，所以x1＝0，x2＝﹣2；（2）方程整理为3x2﹣8x﹣2＝0，∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣8）2﹣4×3×（﹣2）＝4×22，∴x＝＝＝，所以x1＝，x2＝．19．解：（1）方程（x+1）2＝4，开方得：x+1＝2或x+1＝﹣2，解得：x1＝1，x2＝﹣3；（2）方程整理得：3x2﹣3x﹣1＝0，这里a＝3，b＝﹣3，c＝﹣1，∵△＝（﹣3）2﹣4×3×（﹣1）＝9+12＝21＞0，∴x＝＝，解得：x1＝，x2＝．20．解：（1）∵a＝2，b＝3，c＝﹣3，∴△＝32﹣4×2×（﹣3）＝33＞0，则x＝＝，∴x1＝，x2＝．（2）x（2x﹣5）＝10﹣4x，x（2x﹣5）+2（2x﹣5）＝0，（2x﹣5）（x+2）＝0，∴x1＝，x2＝﹣2．21．解：小敏：×；小霞：×．正确的解答方法：移项，得3（x﹣3）﹣（x﹣3）2＝0，提取公因式，得（x﹣3）（3﹣x+3）＝0．则x﹣3＝0或3﹣x+3＝0，解得x1＝3，x2＝6．22．解：（1）根据题意得Δ＝（2m）2﹣4（m2+m）≥0，解得m≤0．故m的取值范围是m≤0；（2）根据题意得x1+x2＝﹣2m，x1x2＝m2+m，∵x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1•x2＝12，∴（﹣2m）2﹣2（m2+m）＝12，即m2﹣m﹣6＝0，解得m1＝﹣2，m2＝3（舍去）．故m的值为﹣2．23．解：（1）根据题意得△＝（﹣6）2﹣4（2m﹣1）≥0，解得m≤5，x1+x2＝6，x1x2＝2m﹣1，∵x1＝1，∴1+x2＝6，x2＝2m﹣1，∴x2＝5，m＝3；（2）存在．∵（x1﹣1）（x2﹣1）＝，∴x1x2﹣（x1+x2）+1＝，即2m﹣1﹣6＝，整理得m2﹣8m+12＝0，解得m1＝2，m2＝6，∵m≤5且m≠5，∴m＝2．24．解：（1）4a2﹣4a+1＝（2a﹣1）2；故答案为：（2a﹣1）2；（2）x2﹣10x﹣1＝x2﹣10x+52﹣52﹣1＝（x﹣5）2﹣26∴h＝﹣5，k＝﹣26，∴h+k＝﹣31；（3）△ABC为等边三角形．理由如下：∵a2+3b2+c2+3＝2ab+4b+2c，∴a2+3b2+c2﹣2ab﹣4b﹣2c+3＝0，∴a2﹣2ab+b2+2b2﹣4b+2+c2﹣2c+1＝0，∴（a﹣b）2+2（b﹣1）2+（c﹣1）2＝0，∴a﹣b＝0，b﹣1＝0，c﹣1＝0，即a＝b＝c＝1，∴△ABC为等边三角形．。

21.2 解一元二次方程 21.2.3 因式分解法一、单项选择题1. 一元二次方程x 2－x ＋＝0的根是( ) A ．， B ．x 1＝2，x 2＝－2 C ．x 1＝x 2＝ D ．x 1＝x 2＝2. 方程3x 2=0与方程3x 2=3x 的解（ ）A ．都是x=0B ．有一个相同的解x=0C ．都不相同D ．无法确定3．解方程(x ＋5)2－3(x ＋5)＝0，较为简便的方法是( )A ．直接开平方法B ．因式分解法C ．配方法D ．公式法4．方程x(x －4)＝32－8x 的解是( )A ．x ＝－8B ．x 1＝4，x 2＝－8C ．x 1＝－4，x 2＝8D ．x 1＝2，x 2＝－85. 一个三角形的两边长为3和6，第三边的边长是方程（x-3）（x-4）=0的根，则这个三角形的周长（ ）A ．13B ．11或13C ．11D ．11和136、要使4452-+-x x x 的值为0，x 的值为（ ）A ．4或1B ．4C ．1D ．-4或-114112x =21=2x -12-127、已知x2-5xy+6y2=0，那么x与y的关系是（）A．2x=y或3x=y B．2x=y或3y=xC．x=2y或x=3y D．x=2y或y=3x8、已知（a2+b2）2-2（a2+b2）+1=0，则a2+b2的值为（）A．0 B．-1 C．1 D．±1二、填空题9．方程(x－1)(x＋2)＝2(x＋2)的根是__________．10．如果代数式3x2－6的值为21，那么x的值为__________．11．已知x＝2是一元二次方程(m－2)x2＋4x－m2＝0的一个根，则m的值是______．12. 一元二次方程x(x－1)＝0的解是__________．13. 一元二次方程x2-3x=0的根是__________．14. 方程（x+1）（3x-2）=0的根是15. 请写出一个根为x=1，另一个根满足-1＜x＜1的一元二次方程：16. 已知一元二次方程（m-1）x2+7mx+m2+3m-4=0有一根为0，则m=y=17. 若2x2+9xy-5y2=0，则x三、解答题18. 用因式分解法解下列一元二次方程：(1)(x－1)(x＋3)＝－3；(2)(3x－1)2＝4(2x＋3)2.19. 如果方程x2＋mx－2m＝0的一个根为－1，求方程x2－6mx ＝0的根.20. 用因式分解法解方程x2－mx－7＝0时，将左边分解后有一个因式为x＋1，求m的值.21. 若m是关于x的方程x2+nx+m=0的根，切m≠0，则m+n的值是多少？22. 有一大一小两个正方形，小正方形的边长比大正方形边长的一半多4cm，大正方形的面积比小正方形面积的2倍少32cm2，求这两个正方形的边长．23. 阅读材料：为解方程（x 2-1）2-5（x 2-1）+4=0，我们可以将x 2-1看作一个整体，然后设x 2-1=y ①，那么原方程可化为y 2-5y+4=0，解得y 1=1，y 2=4，当y=1时，x 2-1=1，∴x 2=2，∴x=±2；当y=4时，x 2-1=4，∴x 2=5，∴x=±5，故原 方程的解为x 1=2，x 2= -2，x 3=5，x 4= -5解答问题：（1）上述解题过程，在由原方程得到方程①的过程中，利用 法达到了解方程的目的，体现了转化的数学思想。

《21.2 降次——解一元二次方程》一、选择题（共13小题）1．一元二次方程x2﹣4x+5=0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根2．下列关于x的方程有实数根的是（）A．x2﹣x+1=0 B．x2+x+1=0 C．（x﹣1）（x+2）=0 D．（x﹣1）2+1=03．关于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围为（）A．B．C．D．4．有两个一元二次方程M：ax2+bx+c=0；N：cx2+bx+a=0，其中a•c≠0，a≠c．下列四个结论中，错误的是（）A．如果方程M有两个相等的实数根，那么方程N也有两个相等的实数根B．如果方程M的两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同C．如果5是方程M的一个根，那么是方程N的一个根D．如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必是x=15．方程x2﹣2x+3=0的根的情况是（）A．有两个相等的实数根B．只有一个实数根C．没有实数根D．有两个不相等的实数根6．一元二次方程4x2+1=4x的根的情况是（）A．没有实数根B．只有一个实数根C．有两个相等的实数根D．有两个不相等的实数根7．已知一元二次方程2x2﹣5x+3=0，则该方程根的情况是（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．两个根都是自然数 D．无实数根8．若一元二次方程x2+2x+a=0的有实数解，则a的取值范围是（）A．a＜1 B．a≤4 C．a≤1 D．a≥19．下列一元二次方程中，有两个相等实数根的是（）A．x2﹣8=0 B．2x2﹣4x+3=0 C．9x2+6x+1=0 D．5x+2=3x210．一元二次方程2x2+3x+1=0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．无法确定11．下列一元二次方程有两个相等实数根的是（）A．x2﹣2x+1=0 B．2x2﹣x+1=0 C．4x2﹣2x﹣3=0 D．x2﹣6x=012．若a满足不等式组，则关于x的方程（a﹣2）x2﹣（2a﹣1）x+a+=0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．以上三种情况都有可能13．下列方程中，没有实数根的是（）A．x2﹣4x+4=0 B．x2﹣2x+5=0 C．x2﹣2x=0 D．x2﹣2x﹣3=0二、填空题（共12小题）14．若关于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0有两个相等的实数根，则m=______．15．若关于x的一元二次方程x2﹣x+m=0有两个不相等的实数根，则m的值可能是______（写出一个即可）．16．关于x的方程mx2+x﹣m+1=0，有以下三个结论：①当m=0时，方程只有一个实数解；②当m≠0时，方程有两个不等的实数解；③无论m取何值，方程都有一个负数解，其中正确的是______（填序号）．17．关于x的方程x2+2x﹣m=0有两个相等的实数根，则m=______．18．若关于x的一元二次方程ax2+3x﹣1=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是______．19．关于x的一元二次方程x2﹣x+m=O没有实数根，则m的取值范围是______．20．已知关于x的一元二次方程x2+2x+m=0有实数根，则m的取值范围是______．21．关于x的一元二次方程ax2+bx+=0有两个相等的实数根，写出一组满足条件的实数a，b的值：a=______，b=______．22．已知关于x的方程x2﹣2x+a=0有两个实数根，则实数a的取值范围是______．23．若一元二次方程（m﹣1）x2﹣4x﹣5=0没有实数根，则m的取值范围是______．24．关于x的一元二次方程x2+a=0没有实数根，则实数a的取值范围是______．25．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣k=0有两个相等的实数根，则k值为______．三、解答题（共5小题）26．已知关于x 的一元二次方程x 2﹣4x+m=0．（1）若方程有实数根，求实数m 的取值范围；（2）若方程两实数根为x 1，x 2，且满足5x 1+2x 2=2，求实数m 的值．27．已知：关于x 的方程x 2+2mx+m 2﹣1=0（1）不解方程，判别方程根的情况；（2）若方程有一个根为3，求m 的值．28．已知关于x 的一元二次方程（x ﹣3）（x ﹣2）=|m|．（1）求证：对于任意实数m ，方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程的一个根是1，求m 的值及方程的另一个根．29．已知关于x 的一元二次方程mx 2﹣（m+2）x+2=0．（1）证明：不论m 为何值时，方程总有实数根；（2）m 为何整数时，方程有两个不相等的正整数根．30．已知关于x 的一元二次方程mx 2+mx+m ﹣1=0有两个相等的实数根．（1）求m 的值；（2）解原方程．《21.2 降次——解一元二次方程》参考答案与试题解析一、选择题（共13小题）1．一元二次方程x 2﹣4x+5=0的根的情况是（ ）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．只有一个实数根D ．没有实数根【考点】根的判别式．【分析】把a=1，b=﹣4，c=5代入△=b 2﹣4ac 进行计算，根据计算结果判断方程根的情况．【解答】解：∵a=1，b=﹣4，c=5，∴△=b 2﹣4ac=（﹣4）2﹣4×1×5=﹣4＜0，所以原方程没有实数根．故选：D ．【点评】本题考查了一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0，a ，b ，c 为常数）的根的判别式△=b 2﹣4ac ．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．2．下列关于x 的方程有实数根的是（ ）A ．x 2﹣x+1=0B ．x 2+x+1=0C ．（x ﹣1）（x+2）=0D ．（x ﹣1）2+1=0【考点】根的判别式．【专题】计算题．【分析】分别计算A 、B 中的判别式的值；根据判别式的意义进行判断；利用因式分解法对C 进行判断；根据非负数的性质对D 进行判断．【解答】解：A 、△=（﹣1）2﹣4×1×1=﹣3＜0，方程没有实数根，所以A 选项错误；B 、△=12﹣4×1×1=﹣3＜0，方程没有实数根，所以B 选项错误；C 、x ﹣1=0或x+2=0，则x 1=1，x 2=﹣2，所以C 选项正确；D 、（x ﹣1）2=﹣1，方程左边为非负数，方程右边为0，所以方程没有实数根，所以D 选项错误． 故选：C ．【点评】本题考查了一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根的判别式△=b 2﹣4ac ：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．3．关于x 的一元二次方程x 2﹣3x+m=0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围为（ ）A．B．C．D．【考点】根的判别式．【专题】判别式法．【分析】先根据判别式的意义得到△=（﹣3）2﹣4m＞0，然后解不等式即可．【解答】解：根据题意得△=（﹣3）2﹣4m＞0，解得m＜．故选：B．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．4．有两个一元二次方程M：ax2+bx+c=0；N：cx2+bx+a=0，其中a•c≠0，a≠c．下列四个结论中，错误的是（）A．如果方程M有两个相等的实数根，那么方程N也有两个相等的实数根B．如果方程M的两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同C．如果5是方程M的一个根，那么是方程N的一个根D．如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必是x=1【考点】根的判别式；一元二次方程的解；根与系数的关系．【专题】压轴题．【分析】利用根的判别式判断A；利用根与系数的关系判断B；利用一元二次方程的解的定义判断C 与D．【解答】解：A、如果方程M有两个相等的实数根，那么△=b2﹣4ac=0，所以方程N也有两个相等的实数根，结论正确，不符合题意；B、如果方程M的两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同，那么△=b2﹣4ac≥0，＞0，所以a与c符号相同，＞0，所以方程N的两根符号也相同，结论正确，不符合题意；C、如果5是方程M的一个根，那么25a+5b+c=0，两边同时除以25，得c+b+a=0，所以是方程N的一个根，结论正确，不符合题意；D、如果方程M和方程N有一个相同的根，那么ax2+bx+c=cx2+bx+a，（a﹣c）x2=a﹣c，由a≠c，得x2=1，x=±1，结论错误，符合题意；故选：D．【点评】本题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系：△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；△=0⇔方程有两个相等的实数根；△＜0⇔方程没有实数根．也考查了根与系数的关系，一元二次方程的解的定义．5．方程x2﹣2x+3=0的根的情况是（）A．有两个相等的实数根B．只有一个实数根C．没有实数根D．有两个不相等的实数根【考点】根的判别式．【分析】把a=1，b=﹣2，c=3代入△=b2﹣4ac进行计算，然后根据计算结果判断方程根的情况．【解答】解：∵a=1，b=﹣2，c=3，∴△=b2﹣4ac=（﹣2）2﹣4×1×3=﹣8＜0，所以方程没有实数根．故选C．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式△=b2﹣4ac．当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程没有实数根．6．一元二次方程4x2+1=4x的根的情况是（）A．没有实数根B．只有一个实数根C．有两个相等的实数根D．有两个不相等的实数根【考点】根的判别式．【分析】先求出△的值，再判断出其符号即可．【解答】解：原方程可化为：4x2﹣4x+1=0，∵△=42﹣4×4×1=0，∴方程有两个相等的实数根．故选C．【点评】本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△的关系是解答此题的关键．7．已知一元二次方程2x2﹣5x+3=0，则该方程根的情况是（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．两个根都是自然数 D．无实数根【考点】根的判别式．【分析】判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式△=b2﹣4ac的值的符号就可以了．【解答】解：∵a=2，b=﹣5，c=3，∴△=b2﹣4ac=（﹣5）2﹣4×2×3=1＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：A．【点评】此题主要考查了一元二次方程根的判别式，掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根，是解决问题的关键．8．若一元二次方程x2+2x+a=0的有实数解，则a的取值范围是（）A．a＜1 B．a≤4 C．a≤1 D．a≥1【考点】根的判别式．【分析】若一元二次方程x2+2x+a=0的有实数解，则根的判别式△≥0，据此可以列出关于a的不等式，通过解不等式即可求得a的值．【解答】解：因为关于x的一元二次方程有实根，所以△=b2﹣4ac=4﹣4a≥0，解之得a≤1．故选C．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．9．下列一元二次方程中，有两个相等实数根的是（）A．x2﹣8=0 B．2x2﹣4x+3=0 C．9x2+6x+1=0 D．5x+2=3x2【考点】根的判别式．【分析】分别计算四个方程的判别式的值，然后根据判别式的意义判断各方程根的情况．【解答】解：A、x2﹣8=0，这里a=1，b=0，c=﹣8，∵△=b2﹣4ac=02﹣4×1×（﹣8）=32＞0，∴方程有两个不相等的实数根，故本选项错误；B、2x2﹣4x+3=0，这里a=2，b=﹣4，c=3，∵△=b2﹣4ac=（﹣4）2﹣4×2×3=﹣8＜0，∴方程没有实数根，故本选项错误；C、9x2+6x+1=0，这里a=9，b=6，c=1，∵△=b2﹣4ac=62﹣4×9×1=0，∴方程有两个相等的实数根，故本选项正确；D、5x+2=3x2，3x2﹣5x﹣2=0，这里a=3，b=﹣5，c=﹣2，∵△=b2﹣4ac=（﹣5）2﹣4×3×（﹣2）=49＞0，∴方程有两个不相等的实数根，故本选项错误；故选C．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．10．一元二次方程2x2+3x+1=0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．无法确定【考点】根的判别式．【分析】先求出△的值，再判断出其符号即可．【解答】解：∵△=32﹣4×2×1=1＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选A．【点评】本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△的关系是解答此题的关键．11．下列一元二次方程有两个相等实数根的是（）A．x2﹣2x+1=0 B．2x2﹣x+1=0 C．4x2﹣2x﹣3=0 D．x2﹣6x=0【考点】根的判别式．【分析】根据一元二次方程根的判别式判断即可．【解答】解：A、∵△=4﹣4=0，∴方程x2﹣2x+1=0有两个相等实数根；B、∵△=1﹣4×2＜0，∴方程2x2﹣x+1=0无实数根；C、∵△=4+4×4×3=52＞0，∴方程4x2﹣2x﹣3=0有两个不相等实数根；D、∵△=36＞0，∴方程x2﹣6x=0有两个不相等实数根；故选A．【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．12．若a满足不等式组，则关于x的方程（a﹣2）x2﹣（2a﹣1）x+a+=0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．以上三种情况都有可能【考点】根的判别式；一元一次方程的解；解一元一次不等式组．【分析】求出a的取值范围，表示出已知方程根的判别式，判断得到根的判别式的值小于0，可得出方程没有实数根．【解答】解：解不等式组得a＜﹣3，∵△=（2a﹣1）2﹣4（a﹣2）（a+）=2a+5，∵a＜﹣3，∴△=2a+5＜0，∴方程（a﹣2）x2﹣（2a﹣1）x+a+=0没有实数根，故选C．【点评】此题考查了解一元一次不等式组，一元二次方程根的判别式，根的判别式的值大于0，方程有两个不相等的实数根；根的判别式的值等于0时，方程有两个相等的实数根；根的判别式的值小于0时，方程无实数根．13．下列方程中，没有实数根的是（）A．x2﹣4x+4=0 B．x2﹣2x+5=0 C．x2﹣2x=0 D．x2﹣2x﹣3=0【考点】根的判别式．【分析】利用判别式分别判定即可得出答案．【解答】解：A、x2﹣4x+4=0，△=16﹣16=0有相同的根；B、x2﹣2x+5=0，△=4﹣20＜0没有实数根；C、x2﹣2x=0，△=4﹣0＞0有两个不等实数根；D、x2﹣2x﹣3=0，△=4+12＞0有两个不等实数根．故选：B．【点评】本题主要考查了根的判别式，解题的关键是熟记判别式的公式．二、填空题（共12小题）14．若关于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0有两个相等的实数根，则m= ．【考点】根的判别式．【分析】根据题意可得△=0，据此求解即可．【解答】解：∵方程x2﹣3x+m=0有两个相等的实数根，∴△=9﹣4m=0，解得：m=．故答案为：．【点评】本题考查了根的判别式，解答本题的关键是掌握当△=0时，方程有两个相等的两个实数根．15．若关于x的一元二次方程x2﹣x+m=0有两个不相等的实数根，则m的值可能是0 （写出一个即可）．【考点】根的判别式．【专题】开放型．【分析】若一元二次方程有两不等实数根，则根的判别式△=b2﹣4ac＞0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围．【解答】解：∵一元二次方程x2﹣x+m=0有两个不相等的实数根，∴△=1﹣4m＞0，解得m＜，故m的值可能是0，故答案为0．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式△=b2﹣4ac．当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程没有实数根．注意本题答案不唯一，只需满足m＜即可．16．关于x的方程mx2+x﹣m+1=0，有以下三个结论：①当m=0时，方程只有一个实数解；②当m≠0时，方程有两个不等的实数解；③无论m取何值，方程都有一个负数解，其中正确的是①③（填序号）．【考点】根的判别式；一元一次方程的解．【专题】分类讨论．【分析】分别讨论m=0和m≠0时方程mx2+x﹣m+1=0根的情况，进而填空．【解答】解：当m=0时，x=﹣1，方程只有一个解，①正确；当m≠0时，方程mx2+x﹣m+1=0是一元二次方程，△=1﹣4m（1﹣m）=1﹣4m+4m2=（2m﹣1）2≥0，方程有两个实数解，②错误；把mx2+x﹣m+1=0分解为（x+1）（mx﹣m+1）=0，当x=﹣1时，m﹣1﹣m+1=0，即x=﹣1是方程mx2+x﹣m+1=0的根，③正确；故答案为①③．【点评】本题主要考查了根的判别式以及一元一次方程的解的知识，解答本题的关键是掌握根的判别式的意义以及分类讨论的思想．17．关于x的方程x2+2x﹣m=0有两个相等的实数根，则m= ﹣1 ．【考点】根的判别式．【分析】根据方程有两个相等的实数根，判断出根的判别式为0，据此求出m的值即可．【解答】解：∵关于x的方程x2+2x﹣m=0有两个相等的实数根，∴△=0，∴22﹣4×1×（﹣m）=0，解得m=﹣1．故答案为；﹣1．【点评】本题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．18．若关于x的一元二次方程ax2+3x﹣1=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是a＞﹣且a≠0 ．【考点】根的判别式；一元二次方程的定义．【分析】根据一元二次方程的定义及判别式的意义可得a≠0且△=b2﹣4ac=32﹣4×a×（﹣1）=9+4a ＞0，解不等式组即可求出a的取值范围．【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2+3x﹣1=0有两个不相等的实数根，∴a≠0且△=b2﹣4ac=32﹣4×a×（﹣1）=9+4a＞0，解得：a＞﹣且a≠0．故答案为：a＞﹣且a≠0．【点评】此题考查了根的判别式．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．同时考查了一元二次方程的定义．19．关于x的一元二次方程x2﹣x+m=O没有实数根，则m的取值范围是m＞．【考点】根的判别式．【分析】根据方程没有实数根，得到根的判别式小于0列出关于m的不等式，求出不等式的解集即可得到m的范围．【解答】解：根据方程没有实数根，得到△=b2﹣4ac=1﹣4m＜0，解得：m＞．故答案为：m＞．【点评】此题考查了根的判别式，根的判别式大于0，方程有两个不相等的实数根；根的判别式等于0，方程有两个相等的实数根；根的判别式小于0，方程没有实数根．20．已知关于x的一元二次方程x2+2x+m=0有实数根，则m的取值范围是m≤1 ．【考点】根的判别式．【专题】探究型．【分析】先根据一元二次方程x2+2x+m=0得出a、b、c的值，再根据方程有实数根列出关于m的不等式，求出m的取值范围即可．【解答】解：由一元二次方程x2+2x+m=0可知a=1，b=2，c=m，∵方程有实数根，∴△=22﹣4m≥0，解得m≤1．故答案为：m≤1．【点评】本题考查的是一元二次方程根的判别式，根据题意列出关于m的不等式是解答此题的关键．21．关于x的一元二次方程ax2+bx+=0有两个相等的实数根，写出一组满足条件的实数a，b的值：a= 4 ，b= 2 ．【考点】根的判别式．【专题】开放型．【分析】由于关于x的一元二次方程ax2+bx+=0有两个相等的实数根，得到a=b2，找一组满足条件的数据即可．【解答】关于x的一元二次方程ax2+bx+=0有两个相等的实数根，∴△=b2﹣4×a=b2﹣a=0，∴a=b2，当b=2时，a=4，故b=2，a=4时满足条件．故答案为：4，2．【点评】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握判别式的意义是解题的关键．22．已知关于x的方程x2﹣2x+a=0有两个实数根，则实数a的取值范围是a≤1 ．【考点】根的判别式．【专题】计算题．【分析】由方程有两个实数根，得到根的判别式大于等于0，即可确定出a的范围．【解答】解：∵方程x2﹣2x+a=0有两个实数根，∴△=4﹣4a≥0，解得：a≤1，故答案为：a≤1【点评】此题考查了根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式与方程根的关系是解本题的关键．23．若一元二次方程（m﹣1）x2﹣4x﹣5=0没有实数根，则m的取值范围是m＜．【考点】根的判别式；一元二次方程的定义．【分析】据关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣4x﹣5=0没有实数根，得出△=16﹣4（m﹣1）×（﹣5）＜0，从而求出m的取值范围．【解答】解：∵一元二次方程（m﹣1）x2﹣4x﹣5=0没有实数根，∴△=16﹣4（m﹣1）×（﹣5）＜0，且m﹣1≠0，∴m＜．故答案为：m＜．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．24．关于x的一元二次方程x2+a=0没有实数根，则实数a的取值范围是a＞0 ．【考点】根的判别式．【专题】计算题．【分析】根据方程没有实数根，得到根的判别式小于0，求出a的范围即可．【解答】解：∵方程x2+a=0没有实数根，∴△=﹣4a＜0，解得：a＞0，故答案为：a＞0【点评】此题考查了根的判别式，熟练掌握根的判别式的意义是解本题的关键．25．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣k=0有两个相等的实数根，则k值为﹣3 ．【考点】根的判别式．【分析】因为方程有两个相等的实数根，则△=（﹣2）2+4k=0，解关于k的方程即可．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣k=0有两个相等的实数根，∴△=0，即（﹣2）2﹣4×（﹣k）=12+4k=0，解得k=﹣3．故答案为：﹣3．【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．三、解答题（共5小题）26．已知关于x 的一元二次方程x 2﹣4x+m=0．（1）若方程有实数根，求实数m 的取值范围；（2）若方程两实数根为x 1，x 2，且满足5x 1+2x 2=2，求实数m 的值．【考点】根的判别式；根与系数的关系．【分析】（1）若一元二次方程有两实数根，则根的判别式△=b 2﹣4ac ≥0，建立关于m 的不等式，求出m 的取值范围；（2）根据根与系数的关系得到x 1+x 2=4，又5x 1+2x 2=2求出函数实数根，代入m=x 1x 2，即可得到结果．【解答】解：（1）∵方程有实数根，∴△=（﹣4）2﹣4m=16﹣4m ≥0，∴m ≤4；（2）∵x 1+x 2=4，∴5x 1+2x 2=2（x 1+x 2）+3x 1=2×4+3x 1=2，∴x 1=﹣2，把x 1=﹣2代入x 2﹣4x+m=0得：（﹣2）2﹣4×（﹣2）+m=0，解得：m=﹣12．【点评】本题考查了一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根的判别式△=b 2﹣4ac ：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程根与系数的关系．27．已知：关于x 的方程x 2+2mx+m 2﹣1=0（1）不解方程，判别方程根的情况；（2）若方程有一个根为3，求m 的值．【考点】根的判别式；一元二次方程的解．【分析】（1）找出方程a ，b 及c 的值，计算出根的判别式的值，根据其值的正负即可作出判断；（2）将x=3代入已知方程中，列出关于系数m 的新方程，通过解新方程即可求得m 的值．【解答】解：（1）由题意得，a=1，b=2m ，c=m 2﹣1，∵△=b 2﹣4ac=（2m ）2﹣4×1×（m 2﹣1）=4＞0，∴方程x 2+2mx+m 2﹣1=0有两个不相等的实数根；（2）∵x 2+2mx+m 2﹣1=0有一个根是3，∴32+2m ×3+m 2﹣1=0，解得，m=﹣4或m=﹣2．【点评】此题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．也考查了一元二次方程的解的定义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．28．已知关于x的一元二次方程（x﹣3）（x﹣2）=|m|．（1）求证：对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程的一个根是1，求m的值及方程的另一个根．【考点】根的判别式；一元二次方程的解；根与系数的关系．【分析】（1）要证明方程有两个不相等的实数根，即证明△＞0即可；（2）将x=1代入方程（x﹣3）（x﹣2）=|m|，求出m的值，进而得出方程的解．【解答】（1）证明：∵（x﹣3）（x﹣2）=|m|，∴x2﹣5x+6﹣|m|=0，∵△=（﹣5）2﹣4（6﹣|m|）=1+4|m|，而|m|≥0，∴△＞0，∴方程总有两个不相等的实数根；（2）解：∵方程的一个根是1，∴|m|=2，解得：m=±2，∴原方程为：x2﹣5x+4=0，解得：x1=1，x2=4．即m的值为±2，方程的另一个根是4．【点评】此题考查了根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．同时考查了一元二次方程的解的定义．29．已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m+2）x+2=0．（1）证明：不论m为何值时，方程总有实数根；（2）m为何整数时，方程有两个不相等的正整数根．【考点】根的判别式；解一元二次方程-公式法．【专题】证明题．【分析】（1）求出方程根的判别式，利用配方法进行变形，根据平方的非负性证明即可；（2）利用一元二次方程求根公式求出方程的两个根，根据题意求出m 的值．【解答】（1）证明：△=（m+2）2﹣8m=m 2﹣4m+4=（m ﹣2）2，∵不论m 为何值时，（m ﹣2）2≥0，∴△≥0，∴方程总有实数根；（2）解：解方程得，x=，x 1=，x 2=1，∵方程有两个不相等的正整数根，∴m=1或2，m=2不合题意，∴m=1．【点评】本题考查的是一元二次方程根的判别式和求根公式的应用，掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；△=0⇔方程有两个相等的实数根；△＜0⇔方程没有实数根是解题的关键．30．已知关于x 的一元二次方程mx 2+mx+m ﹣1=0有两个相等的实数根．（1）求m 的值；（2）解原方程．【考点】根的判别式．【分析】（1）根据题意得到：△=0，由此列出关于m 的方程并解答；（2）利用直接开平方法解方程．【解答】解：（1）∵关于x 的一元二次方程mx 2+mx+m ﹣1=0有两个相等的实数根，∴△=m 2﹣4×m ×（m ﹣1）=0，且m ≠0，解得m=2；（2）由（1）知，m=2，则该方程为：x 2+2x+1=0，即（x+1）2=0，解得x 1=x 2=﹣1．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．。

人教版九年级数学上册《21.2解一元二次方程》练习题-附参考答案一、选择题1．用配方法解一元二次方程2x 2−3x −1=0，配方正确的是（ ） A ．(x −34)2=1716 B ．(x −34)2=12 C ．(x −34)2=134D ．(x −34)2=1142．一元二次方程(x −22)2=0的根为（ ）． A ．x 1=x 2=22B ．x 1=x 2=−22C ．x 1=0，x 2=22D ．x 1=−223．关于一元二次方程x 2+kx −9=0（k 为常数）的根的情况，下列说法正确的是（ ） A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．没有实数根D ．不能确定根的情况4．若关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则实数 的取值范围是（ ）A ． 且B ．C ．且D ．5．若关于 的一元二次方程 有一根为0，则的的值为（ ）A ．2B ．-1C ．2或-1D ．1或-26．已知a ，b 是一元二次方程x 2+3x −2=0的两根，则a 2+5a +2b 的值是（ ） A ．-5B ．-4C ．1D ．07．三角形两边长分别是8和6，第三边长是一元二次方程x 2−16x +60=0一个实数根，则该三角形的面积是（ ） A ．24B ．48C ．24或8√5D ．8√5 8．已知一元二次方程x 2+2x +6=10x +2的两实数根分别为x 1，x 2，则x 1+x 2x 1x 2的值为（ ） A ．－2 B ．2C ．12D ．−12二、填空题9．若用配方法解方程x 2+4x +1=0时，将其配方为(x +b)2=c 的形式，则c = ． 10．若实数a ，b 满足a −2ab +2ab 2+4=0，则a 的取值范围是 ． 11．已知(a 2+b 2)2−a 2−b 2−6=0，求a 2+b 2的值为 .12．关于x 的一元二次方程x 2+2x-a ＝0的一个根是2，则另一个根是 .13．设x1，x2是方程2x2+6x−1=0的两根，则x1+x2+x1x2的值是．三、解答题14．解方程：（1）x2−4x+3=0；（2）3x2−5x+1=0．15．已知x=√5−1，求代数式x2+2x−3的值．16．关于的一元二次方程有两个实数根，求实数的取值范围．17．已知关于的一元二次方程（1）若方程的一个根为，求的值及另一个根；（2）若该方程根的判别式的值等于，求的值.18．若关于x的方程有两个不相等的实数根.（1）求k的取值范围；（2）设方程的两根分别是、且满足，求的值.参考答案1．A2．A3．A4．A5．A6．B7．C8．B9．310．−8≤a<011．312．-413．−7214．（1）解：∵x2−4x+3=0∴(x−3)(x−1)=0∴x−3=0或x−1=0∴x1=3，x2=1．（2）解：∵3x2−5x+1=0∴a=3，b=−5，c=1∴Δ=25−12=13>0∴x=5±√136∴x1=5+√136，x2=5−√136．15．解：当x=√5−1时x2+2x−3＝x2+2x+1−1−3＝(x+1)2−4＝(√5−1+1)2−4＝5－4＝1．16．解：∵∴且，即．解得：且．17．（1）解：设方程的另一根是x2.∵一元二次方程mx2﹣（m+2）x+2=0的一个根为3∴x=3是原方程的解∴9m﹣（m+2）×3+2=0解得m= ；又由韦达定理，得3×x2=∴x2=1，即原方程的另一根是1（2）解：∵△=（m+2）2﹣4×m×2=1∴m=1，m=3.18．（1）解：∵关于x的方程有两个不相等的实数根∴即解得：；（2）解：设方程的两根分别是∴又∵∴∴∴解得：. 经检验，都符合原分式方程的根∵，∴。

21.2 解一元二次方程21.2.3 因式分解法1.已知x=2是关于x的一元二次方程kx²+（k²﹣2）x+2k+4=0的一个根,则k的值为．2. 解方程:2（x﹣3）=3x（x﹣3）．3.解下列方程:（1）x2+4x-9=2x-11；（2）x(x+4)=8x+12.4.小华在解一元二次方程 x2－x＝0 时,只得出一个根 x＝1,则被漏掉的一个根是（）A．x＝4 B．x＝3C．x＝2 D．x＝05.我们已经学习了一元二次方程的四种解法:直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法．请从以下一元二次方程中任选一个,并选择你认为适当的方法解这个方程．①x2－3x＋1＝0；②(x－1)2＝3；③x2－3x＝0；④x2－2x＝4.我选择______________________.6.解方程:(x2＋3)2－4(x2＋3)＝0.参考答案:1.-32.解:2（x﹣3）=3x（x﹣3）,移项得 2（x﹣3）﹣3x（x﹣3）=0, 因式分解得（x﹣3）（2﹣3x）=0, x﹣3=0或2﹣3x=0,解得:x1=3,x2=32．3.解:⑴x2+2x+2=0, (x+1)2=-1.此方程无解.⑵x2-4x-12=0,(x-2)2=16.x 1=6,x2=-2.4.D5.解:答案不唯一．若选择①,①适合公式法,x2－3x＋1＝0,∵a＝1,b＝－3,c＝1,∴b2－4ac＝9－4＝5＞0.∴x＝3±52.∴x1＝3＋52,x2＝3－52.若选择②,②适合直接开平方法,∵(x－1)2＝3,x－1＝±3,∴x1＝1＋3,x2＝1－ 3. 若选择③ ,③适合因式分解法,x2－3x＝0,因式分解,得 x(x－3)＝0.解得 x1＝0,x2＝3.若选择④,④适合配方法,x2－2x＝4,x2－2x＋1＝4＋1＝5,即(x－1)2＝5.开方,得x－1＝± 5.∴x1＝1＋5,x2＝1－ 5.5.提示:把(x2＋3)看作一个整体来提公因式,再利用平方差公式,因式分解. 解:设 x2＋3＝y,则原方程化为 y2－4y＝0.分解因式,得 y(y－4)＝0,解得 y＝0,或 y＝4.①当 y＝0 时,x2＋3＝0,原方程无解；②当 y＝4 时,x2＋3＝4,即 x2＝1.解得 x＝±1.所以原方程的解为 x1＝1,x2＝－1.。

21.2解一元二次方程-公式法1．用公式法解方程4x 2-12x=3，得到（ ）．A ．．． D ．2x 2=0的根是（ ）．A.x 1=，x 21=6，x 2 C.x 1，x 2 D.x 1=x 23．（m 2-n 2）（m 2-n 2-2）-8=0，则m 2-n 2的值是（ ）．A ．4B ．-2C ．4或-2D ．-4或24、方程x 2-4x ＋4＝0的根的情况是（ ）A.有两个不相等的实数根；B.有两个相等的实数根；C.有一个实数根；D.没有实数根.6、下列关于x 的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（ ）A ．x 2＋1＝0 B. x 2+x-1＝0 C. x 2+2x ＋3＝0 D. 4x 2-4x ＋1＝07、若关于x 的方程x 2-x ＋k ＝0没有实数根，则（ ）A.k ＜41B.k ＞41C. k ≤41D. k ≥41 8、关于x 的一元二次方程x 2-2x ＋2k ＝0有实数根，则k 得范围是（ ）A.k ＜21B.k ＞21C. k ≤21D. k ≥219．一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的求根公式是________，条件是________．10．若关于x 的一元二次方程（m-1）x 2+x+m 2+2m-3=0有一根为0，则m 的值是_____．11.用公式法解下列方程．（1）2x 2-4x-1=0 （2）5x+2=3x 2 （3）（x-2）（3x-5）=0（4）4x 2-3x+1=0 （5）x 2-3x-41=0 （6）3x 2-6x-2=0 （7）x 2-4x-7=0 （8）2x 2-22x+1=0 （9）5x 2-3x=x+1 （10）x 2+17=8x12.不解方程，判断方程根的情况。

（1）x 2＋2x －8＝0； （2）3x 2＝4x －1；（3）x （3x －2）－6x 2＝0； （4）x 2＋(3＋1)x＝0；（5）x （x ＋8）＝16； （6）（x ＋2）（x －5）＝1；13．说明不论m 取何值，关于x 的方程（x －1）（x －2）＝m 2总有两个不相等的实数根.14. 某数学兴趣小组对关于x 的方程（m+1）22mx +（m-2）x-1=0提出了下列问题．（1）若使方程为一元二次方程，m 是否存在？若存在，求出m 并解此方程．（2）若使方程为一元二次方程m 是否存在？若存在，请求出．15、ｋ取什么值时，关于x 的方程4x 2-(ｋ＋2)x ＋ｋ－１＝0有两个相等的实数根？求出这时方程的根.16、说明不论ｋ取何值，关于x 的方程x 2＋(2ｋ＋１)x ＋ｋ－１＝0总有两个不相等的实根.21.3 实际问题与一元二次方程一、选择题（本题共计10 小题，每题3 分，共计30分，）1. 某商店四月份的利润为6.3万元，此后两个月进入淡季，利润均以相同的百分比下降，至六月份利润为5.4万元．设下降的百分比为x，由题意列出方程正确的是（）A.5.4(1+x)2=6.3B.5.4(1−x)2=6.3C.6.3(1+x)2=5.4D.6.3(1−x)2=5.42. 凯达公司一月份利润是1万元，二月份、三月份平均每月增长10%，则第一季度的总利润是（）A.(1+10%)2万元B.(1+10%)10%万元C.[(1+10%)+(1+10%)2]万元D.[1+(1+10%)+(1+10%)2]万元3. 已知两数之差为4，积等于45，则这两个数是（）A.5和9B.−9和−5C.5和−5或−9和9D.5和9或−9和−54. 要组织一次排球邀请赛，计划安排28场比赛，每两队之间都要比赛一场，组织者打算邀请x个队参赛，则可列出方程（）=28A.x(x−1)=28B.x(x−1)2x2=28C.x2=28D.125. 如图，有一长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长18米），另三边用竹篱笆围成，竹篱笆的总长为35米，与墙平行的边留有1米宽的门（门用其它材料做成），若鸡场的面积为160平方米，则鸡场与墙垂直的边长为（）A.7.5米B.8米C.10米D.10米或8米6. 有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感．则每轮传染中平均一个人传染了几个人？（）A.5人B.6人C.7人D.8人7. 某种商品经过两次降价，由每件100元降低了19元，则平均每次降价的百分率为（）A.9%B.9.5%C.8.5%D.10%8. 某公司年前缴税20万元，今年缴税24.2万元．若该公司这两年的年均增长率相同，设这个增长率为x，则列方程（）A.20(1+x)3=24.2B.20(1−x)2=24.2C.20+20(1+x)2=24.2D.20(1+x)2=24.29. 某学校计划在一块长8米，宽6米的矩形草坪块的中央划出面积为16平方米的矩形地块栽花，使这矩形地块四周的留地宽度都一样，求这宽度应为多少？设矩形地块四周的留地宽度为x，根据题意，下列方程不正确的是（）A.48−(16x+12x−4x2)=16B.16x+2x(6−2x)=32C.(8−x)(6−x)=16D.(8−2x)(6−2x)=1610. 若一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，按这样的传染速度，若2人患了流感，第一轮传染后患流感的人数共有（）A.20人B.22人C.61人D.121人二、填空题（本题共计10 小题，每题3 分，共计30分，）11. 某药品原价每盒16元，为了响应国家解决老百姓看病贵的号召，经过连续两次降价，现在售价每盒9元，则该药品平均每次降价的百分率是________．12. 已知矩形的面积是4，长比宽多2，如果设宽为x，则根据题意可以列出关于x的方程：________．13. 某公司一月份的产值为70万元，二、三月份的平均增长率都为x，三月份的产值比二月份产值多10万元，则可列方程为________．14. 已知两个连续奇数的积是15，设较小的奇数为x，由此列出方程：________．15. 某商品原价是400元，连续两次降价后的价格为289元，则平均每次降价的百分率为________．16. 某学校八年级组织了一次乒乓球比赛，每班派一名同学代表班级进行比赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，共比赛28场，该校八年级共有________个班级．17. 一件衬衫的原价为100元，通过两次连续提价后为121元，若每次提价的百分率相同，则平均每次提价的百分率为________．18. 某商店今年1月份的销售额是2万元，3月份的销售额是4.5万元，从1月份到3月份，该店的销售额平均每月的增长率是________．19. 某花圃用花盆培育某种花苗，经过实验发现每盆的盈利与每盆的株数构成一定的关系．每盆植入3株时，平均单株盈利3元；以同样的栽培条件，若每盆每增加1株，平均单株盈利就减少0.5元．要使每盆的盈利达到10元，每盆应该植多少株？小明的解法如下：设每盆花苗增加x株，可列一元二次方程为________．20. 如图，小明家有一块长150cm，宽100cm的矩形地毯，为了使地毯美观，小明请来工匠在地毯的四周镶上宽度相同的花色地毯，镶完后地毯的面积是原地毯面积的2倍．若设花色地毯的宽为xcm，则根据题意列方程为________．（化简为一般式）三、解答题（本题共计6 小题共计60分，）21. 某商场销售某品牌童装，平均每天可以售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加利润，尽量减少库存，经调查发现，每件童装每降价1元，商场平均可多销售2件，若商场每天想盈利1200元，则童装应降价多少元？22. 一块长方形铁皮长为4dm，宽为3dm，在四角各截去一个面积相等的正方形，做成一个无盖的盒子，要使盒子的底面积是原来铁皮的面积一半，若设盒子的高为xdm，根据题意列出方程，并化成一般形式．23. 为了绿化学校附近的荒山，某校初三年级学生连续三年春季上山植树，至今已成活了2000棵，已知这些学生在初一时种了400棵，若平均成活率95%，求这个年级两年来植树数的年平均增长率．（只列式不计算）24. 如图，在宽为20m长为30m的矩形场地上，修筑同样宽的两条道路，余下的部分作为耕地，要使耕地的面积为500m2．若设路宽为xm，列出方程，并将其化成一元二次方程的一般形式．25. 某服装柜在销售中发现：进货价为每件50元，销售价为每件90元的某品牌服装平均每天可售出20件，现商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，经市场调查发现：如果每件服装降价1元，那么平均每天就可多售出2件，要想平均每天销售这种服装盈利l200元，同时又要使顾客得到较多的实惠，那么每件服装应降价多少元？26. 如图，在△ABC中，∠B=90∘，AB=6cm，BC=6cm，点P从点A出发沿AB边向点B以1cm/秒的速度移动，点Q从点B出发沿BC边向点C以2cm/秒的速度移动．（1）如果P、Q分别从A、B同时出发，那么△PBQ的面积S随出发时间t如何变化？请写出S关于t的函数解析式及t的取值范围．（2）如果P、Q分别从A、B同时出发，经过多长时间，△PBQ的面积为8cm2？（3）如果P、Q分别从A、B同时出发，当P、Q两点运动几秒时，PQ有最小值，并求这个最小值．。

21.2：解一元二次方程（简答题专练）-2021-2022学年九年级数学把关题分题型专练（人教版）一、解答题1．阅读下面的例题，请参照下面例题的解法解方程2110x x ---=．例.解方程220x x --=解：⑴（1）当x ≥0时，原方程化为220x x --=，解得：122,1x x ==-（不合题意，舍去）．（2）当x ＜0时，原方程化为220x x +-=，解得：122,1x x =-=（不合题意，舍去）．∴原方程的根是122,2x x ==-．【答案】原方程的根是x=1或 x=-2.【分析】分为两种情况：（1）当x−1≥0时，原方程化为x 2−x ＝0，（2）当x−1＜0时，原方程化为x 2＋x−2＝0，求出方程的解即可．【详解】解：（1）当x−1≥0时，原方程化为x 2−x ＝0，解得：x 1＝1，x 2＝0（不合题意，舍去）．（2）当x−1＜0时，原方程化为x 2＋x−2＝0，解得：x 1＝−2，x 2＝1（不合题意，舍去）．故原方程的根是x 1＝−2，x 2＝1．【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，解此题的关键是能正确去掉绝对值符号．2．.设1x 、2x 是方程22242320x mx m m -++-=的两个实根，当m 为何值时，2212x x +有最小值？并求这个最小值. 【答案】当23m =时，最小值为89 【分析】根据一元二次方程两根与系数的关系，得到两根之和，与两根之积的值，同时方程有两根，则根的判别式要大于等于0，得到m 的取值范围，再代入求解.【详解】对于方程()200++=≠ax bx c a ，1x 、2x 是此方程的两个实根，则12b x x a +=-，12c x x a=.由题意知()()2244223224160m m m m ∆=--⨯+-=-+，则23m . 又由根与系数关系，得()()222221212122322222m m x x x x x x m +-+=+-=-⨯=237248m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭. ∵23m . ∴3320443m -->. 从而，22332443m ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 于是，当23m =时，2212x x +取得最小值，且最小值为2327824389⎛⎫⨯-+= ⎪⎝⎭. 【点评】本题解题关键在于，对于方程()200++=≠ax bx c a ，1x 、2x 是此方程的两个实根，则12b x x a+=-，12c x x a=，且()2221212122x x x x x x +=+-. 3．关于x 的方程()222120x k x k ++++=有两个实数根x 1,x 2．（1）求实数k 的取值范围；（2） 若x 1,x 2满足12121x x x x +=-，求k 的值．【答案】（1）k≥74;（2）k=2 【分析】（1）根据判别式的意义得到△＝（2k ＋1）2−4（k 2＋2）≥0，然后解不等式即可；（2）根据根与系数的关系得到x 1＋x 2＝−（2k ＋1）＜0，x 1x 2＝k 2＋2＞0，则利用有理数的乘法性质可判断x 1＜0，x 2＜0，然后去绝对值得到−（x 1＋x 2）＝x 1x 2−1，则2k ＋1＝k 2＋2−1，整理得到k 2−2k ＝0，再解关于k 的方程即可得到满足条件的k 的值．【详解】（1）根据题意得△＝（2k ＋1）2−4（k 2＋2）≥0，解得k≥74； （2）根据题意得x 1＋x 2＝−（2k ＋1）＜0，x 1x 2＝k 2＋2＞0，∴x 1＜0，x 2＜0，∵|x 1|＋|x 2|＝|x 1x 2|−1，∴−（x 1＋x 2）＝x 1x 2−1，∴2k ＋1＝k 2＋2−1，整理得k 2−2k ＝0，解得k 1＝0，k 2＝2，∵k≥74， ∴k ＝2．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a≠0）的两根时，x 1＋x 2＝−b a ，x 1x 2＝c a．也考查了根的判别式． 4．现定义一种新运算：“※”，使得a ※b ＝a 2﹣ab ，例如5※3＝52﹣5×3＝10．若x ※（2x ﹣1）＝﹣6，求x 的值．【答案】x ＝3或x ＝﹣2【分析】根据x ※（2x ﹣1）＝﹣6，可得：x 2﹣x （2x ﹣1）＝﹣6，据此求出x 的值是多少即可．【详解】解：∵x ※（2x ﹣1）＝﹣6，∵x 2﹣x （2x ﹣1）＝﹣6，∴x 2﹣x ﹣6＝0，解得x ＝3或x ＝﹣2．【点评】本题考查了新运算及解一元二次方程，理解新运算并列出方程是解题关键.5．小明在解方程x 2﹣5x ＝1时出现了错误，解答过程如下：∵a ＝1，b ＝﹣5，c ＝1，（第一步）∴b 2﹣4ac ＝（﹣5）2﹣4×1×1＝21（第二步）∴52x =（第三步）∴1x =2x （第四步） （1）小明解答过程是从第 步开始出错的，其错误原因是 ．（2）写出此题正确的解答过程．【答案】（1）一，原方程没有化简为一般形式；（2）见解析【分析】（1）根据一元二次方程的解法步骤即可求出答案．（2）根据一元二次方程的解法即可求出答案．【详解】解：（1）确定一元二次方程的系数时，应该先化简为一般形式，所以小明解答过程是从第一步开始出错的，其错误原因是原方程没有化简为一般形式．故答案为：一，原方程没有化简为一般形式．（2）∵a ＝1，b ＝﹣5，c ＝﹣1，∴b 2﹣4ac ＝（﹣5）2﹣4×1×（﹣1）＝29．∴x =∴1x =，2x 【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法．6．小明在解方程2210x x --=时出现了错误，其解答过程如下：221x x -=， （第一步）2211x x -+=， （第二步）2(1)1x -=， （第三步）120,2x x ==． （第四步）（1）小明的解答过程是从第______步开始出错的，其错误原因是__________；（2）请写出此题正确的解答过程．【答案】（1）二；不符合等式的性质；（2）过程见解析；1211x x ==【分析】（1）根据等式的基本性质即可判断；（2）利用配方法解一元二次方程即可．【详解】解：（1）小明的解答过程是从第二步开始出错的，因为等式左边加上1时，右边没有加1，不符合等式的性质．故答案为：二；不符合等式的性质；（2）正确的解答过程如下：221,x x -=2212x x -+=，2(1)2,x -=1x -=所以1211x x ==【点评】此题考查的是解一元二次方程，掌握利用配方法解一元二次方程是解决此题的关键．7．选用适当的方法解下列方程：（1）（3﹣x ）2+x 2＝9；（2）（2x ﹣1）2+（1﹣2x ）﹣6＝0；（3）（3x ﹣1）2＝4（1﹣x ）2；（4x ﹣1）2＝（1﹣x ）【答案】（1）x 1＝0，x 2＝3；（2）x 1＝2，x 2＝﹣12；（3）x 1＝﹣1，x 2＝35；（4）x 1＝1，x 2 【分析】（1）用完全平方式变形后，提出公因式求解即可；（2）整理后分解因式得出两个一元一次方程，求解即可；（3）先开平方，可得出两个一元一次方程，求解即可；（4）移项后整理分解因式即可求解．【详解】解：（1）（3﹣x ）2+x 2＝9，2x 2﹣6x ＝0，x 2﹣3x ＝0，x （x ﹣3）＝0，x 1＝0，x 2＝3；（2）（2x ﹣1）2+（1﹣2x ）﹣6＝0，（2x ﹣1）2﹣（2x ﹣1）﹣6＝0，（2x ﹣1﹣3）（2x ﹣1+2）＝0，x 1＝2，x 2＝﹣12；（3）（3x ﹣1）2＝4（1﹣x ）2；3x ﹣1＝±2（x ﹣1），3x ﹣1＝2x ﹣2或3x ﹣1＝﹣2x +2，x 1＝﹣1，x 2＝35；（4x ﹣1）2＝（1﹣x ），x ﹣1）2+（x ﹣1）＝0，（x ﹣1））＝0，x 1＝1，x 2 【点评】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键．8．阅读下面的材料：解方程2||20x x --=．解：当0x >时，原方程化为220x x --=，解得122,1x x ==-（不合题意，舍去）；当0x =时，20-=，矛盾，舍去；当0x <时，原方程化为220x x +-=解得122,1x x =-=（不合题意，舍去）．综上所述，原方程的根是122,2x x ==-．请参照上面材料解方程．（1）2|1|10x x ---=；（2）2|21|4x x =-+．【答案】（1）121,2x x ==-；（2）123,1x x ==-【分析】（1）分三种情况去掉绝对值，化成一元二次方程，解一元二次方程即可．（2）分三种情况去掉绝对值，化成一元二次方程，解一元二次方程即可．【详解】（1）2|1|10x x ---=，当1x >时，原方程化为20x x -=，解得1210x x ==（舍去），（不合题意，舍去）；当1x =时，原方程化为1010--=，∴1x =是原方程的解；当1x <时，原方程化为220x x +-=，解得1221x x =-=，（不合题意，舍去）．综上所述，原方程的根是1212x x ==-，； （2）2|21|4x x =-+， 当12x >时，原方程化为2230x x --=， 解得1231x x ==-，（不合题意，舍去）； 当12x =时，144=，矛盾，舍去； 当12x <时，原方程化为2250x x +-=，解得11x =-21x =-（不合题意，舍去）．综上所述，原方程的根是1231x x ==-，【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，解此题的关键是能把含绝对值的一元二次方程转化成一元一次方程．9．解关于y 的方程：by 2﹣1＝y 2+2．【答案】当b ＞1时，原方程的解为y ＝；当b≤1时，原方程无实数解． 【分析】把b 看做常数根据解方程的步骤：先移项，再合并同类项，系数化为1，即可得出答案．【详解】解：移项得：by 2﹣y 2＝2+1，合并同类项得：（b ﹣1）y 2＝3，当b ＝1时，原方程无解；当b ＞1时，原方程的解为y ＝； 当b ＜1时，原方程无实数解．【点评】此题主要考查一元二次方程的求解，解题的关键是根据题意分类讨论．10．用配方法解下列方程：（1）225x x -=；（2）22103x x -+=； （3）22360x x --=；（4）2212033x x +-=；（5）)3x x =；（6）(23)(6)16x x +-=．【答案】（1）1211x x ==（2）原方程无实数根；（3）12x x ==（4）123,22x x ==-；（5）12x x =（6）12==x x ． 【分析】（1）方程两边加上1，再进行配方即可求解；（2）移项后，方程两边都加上23一半的平方，再进行配方即可求解； （3）先将方程的二次项系数化为1，再进行配方即可求解；（4）先将方程的二次项系数化为1，再进行配方即可求解；（5）先将方程整理后，再进行配方即可求解；（6）先将方程整理后，再进行配方即可求解．【详解】（1）225x x -=22+15+1x x -=配方，得2(1)6x -=，1211x x ∴==（2）22103x x -+= 移项，得2213x x -=-． 配方，得21839x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭． 809-<， ∴原方程无实数根．（3）22360x x --=移项，得2236x x -=．配方，得2357416x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，12x x ∴==． （4）2212033x x +-= 移项，得221233x x +=． 配方，得2149416x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 123,22x x ∴==-．（5）)3x x =原方程化为一般形式为230x -+=．移项，得23x -=-．配方，得2(0x =，12x x ∴=（6）(23)(6)16x x +-=原方程化为一般形式为229340x x --=．二次项系数化为1得29172x x -=．配方，得29353416x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，12x x ∴== 【点评】本题考查了用配方法解一元二次方程的应用，解此题的关键是能正确配方，即加上一次项系数一半的平方．11．用指定的方法解下列方程：（1）2(21)9x +=；（直接开平方法）（2）23520x x --=；（配方法）（3）22450x x --=；（公式法）（4）2(3)4(3)0x x x ---=．（因式分解法）【答案】（1）121,2x x ==-；（2）121,23x x =-=；（3）12x x ==；（4）1233,5x x ==． 【分析】（1）直接开平方转化为一元一次方程求解即可；（2）利用配方法求解即可；（3）利用求根公式进行求解即可；（4）先变号，再提公因式进行计算即可．【详解】解：（1）2(21)9x +=，开平方，得213x +=±，解得121,2x x ==-；（2）23520x x --=，移项，得2352x x -=，二次项系数化为1，得25233x x -=， 配方，得22255253636x x ⎛⎫⎛⎫-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即2549636x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 开平方，得5766x -=±， 解得121,23x x =-=； （3）2,4,5a b c ==-=-，2(4)42(5)560∴∆=--⨯⨯-=>，x ∴==12x x ==； （4）2(3)4(3)0x x x ---=，2(3)4(3)0x x x -+-=，分解因式，得(3)(34)0x x x --+=，∴30x -=或340x x -+=， 解得1233,5x x ==． 【点评】本题考查一元二次方程的解法，熟练掌握每种方法的解题步骤是解题的关键． 12．公式法解方程：（1）2220x x +-=；（2）2(2)3x x x +=-；（3）228817x x x -+=．【答案】（1）1211x x =-=-（2）121,32x x ==-；（3）1211,2x x =-=． 【分析】（1）直接利用公式法求解即可；（2）方程整理成一般式后，直接利用公式法求解即可；（3）方程整理成一般式后，直接利用公式法求解即可．【详解】（1）122a b c ===-，，，224241(2)120b ac ∴∆=-=-⨯⨯-=>，1x ∴===-即1211x x =-=-（2）2(2)3x x x +=-，22530x x ∴+-=，253a b c ∴===-，，，224542(3)49b ac ∴∆=-=-⨯⨯-=，574x -±∴===， 12132x x ∴==-，； （3）228817x x x -+=，整理，得2210x x +-=，211a b c ∴===-，，，224142(1)9b ac ∴∆=-=-⨯⨯-=，134x -±∴===， 12112x x ∴=-=，． 【点评】本题考查了解一元二次方程-公式法，熟练掌握求根公式是解本题的关键．13．已知关于x 的方程x 2﹣2(k ﹣1)x+k 2=0有两个实数根x 1，x 2．（1）求k 的取值范围；（2）若|x 1+x 2|=x 1•x 2﹣1，求k 的值．【答案】（1）k≤12；（2）k 的值是﹣3【分析】（1）根据题意可得方程的根判别式△≥0，然后解不等式即可求出k 的范围；（2）利用根与系数的关系得到x 1+x 2=2（k ﹣1），x 1x 2=k 2，由（1）中k 的范围可判断x 1+x 2＜0，然后所给式子化简绝对值后整体代入即可得到关于k 的方程，解方程并检验即得结果．【详解】解：（1）由方程有两个实数根，可得△= 4（k ﹣1）2﹣4k 2≥0，解得：k≤12；（2）依据题意可得，x 1+x 2=2（k ﹣1），x 1x 2=k 2，∵k≤12，∴2（k ﹣1）＜0，即x 1+x 2＜0，∵|x 1+x 2|=x 1•x 2﹣1，∴﹣x 1﹣x 2= x 1•x 2﹣1，∴﹣2（k ﹣1）=k 2﹣1，解得：k 1=1，k 2=﹣3，∵k≤12，∴k 的值是﹣3．【点评】本题考查了一元二次方程的根的判别式、一元二次方程的解法以及根与系数的关系等知识，熟练掌握上述知识是解题的关键．14．已知关于x 的方程()()221331180m x m x ---+=有两个正整数根（m 是正整数）．ABC 的三边a 、b 、c满足c =2280m a m a +-=，2280m b m b +-=．求：()1m 的值；()2ABC 的面积．【答案】(1)2m =；(2)1? 【解析】【分析】（1）已知关于x 的方程()()221331180m x m x ---+=有两个正整数根（m 是整数），由此即可得()22224(93)7219(3)0b ac m m m -=---=-≥，设1x ，2x 是此方程的两个根，根据根与系数的关系可得122181c x x a m ⋅==-，因为2181m -也是正整数，即可得211m -=或2或3或6或9或18，再由m 为正整数，即可得2m =；（2）由（1）得出的m 的值，然后将2280m a m a +-=，2280m b m b +-=进行化简，得出a ，b 的值．然后再根据三角形三边的关系来确定符合条件的a ，b 的值，进而得出三角形的面积．【详解】() 1∵关于x 的方程()()221331180m x m x ---+=有两个正整数根（m 是整数）．∵21a m =-，93b m =-+，18c =，∴()22224(93)7219(3)0b ac m m m -=---=-≥，设1x ，2x 是此方程的两个根， ∴122181c x x a m ⋅==-， ∴2181m -也是正整数，即211m -=或2或3或6或9或18， 又m 为正整数，∴2m =；()2把2m =代入两等式，化简得2420a a -+=，2420b b -+=当a b =时，2a b ==当a b ≠时，a 、b 是方程2420x x -+=的两根，而0>，由韦达定理得40a b +=>，20ab =>，则0a >、0b >．①a b ≠，c =2222()216412a b a b ab c +=+-=-==故ABC 为直角三角形，且90C ∠=，112ABC S ab ==．②2a b ==，c =(22<③2a b ==，c =(22+>(12ABC S =⨯=综上，ABC 的面积为1【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系以及勾股定理等知识点，本题中分类对a ，b 的值进行讨论，并通过计算得出三角形的形状是解题的关键．15．已知：关于x 的方程()22245x m x m m ++++=0没有实数根．()1求m 的取值范围；()2若关于x 的一元二次方程()2230mx n x m +-+-=有实数根，求证：该方程两根的符号相同； ()3设()2中方程的两根分别为α、β，若:1:2αβ=，且n 为整数，求m 的最小整数值．【答案】()1 m 的取值范围是4m >；()2证明见解析； ()3m 的最小值为6． 【分析】（1）根据一元二次方程根的情况与判别式△的关系解答即可；（2）根据由于方程mx 2+（n-2）x+m-3=0有两个实数根可知m≠0，当m ＞4时，即可得出两根的积3m m -＞0，从而得出方程的两根符号相同；（3）由已知得m≠0，α+β=2n m -- ，α•β=3m m -，再根据α：β=1：2，得出3α=2n m--，2α2=3m m -，再进行整理得出（n-2）2=92m （m-3），根据m ＞4，且n 为整数，得出m 为整数，即可得出答案． 【详解】()1∵关于x 的方程()22245x m x m m ++++没有实数根，∴()22(24)4150m m m =+-⨯⨯+<，∴4m >，∴m 的取值范围是4m >；()2由于方程()2230mx n x m +-+-=有两个实数根可知0m ≠，当4m >时，30m m->，即方程的两根之积为正， 故方程的两根符号相同．()3由已知得：0m ≠，2n m αβ-+=-，3m mαβ-⋅=．∵:1:2αβ=， ∴23n m α-=-，232m a m-=． 22(2)392n m m m--=，即()29(2)32n m m -=-． ∵4m >，且n 为整数，∴m 为整数；当6m =时，29(2)63812n -=⨯⨯=． ∴m 的最小值为6．【点评】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；△=0⇔方程有两个相等的实数根；△＜0⇔方程没有实数根．16．用因式分解法解下列方程：(1)212350x x -+= ；(2) 23(23)2(23)0x x ---=；(3) 229(2)16(25)x x +=-；(4) 2(3)5(3)60x x +-++=．【答案】（1）215,7x x ==；（2）12311x ,26x ==； （3）122614,511x x ==； （4）120,1x x ==- ．【解析】试题分析：（1）根据十字相乘法因式分解后，按ab=0方式解方程即可；（2）先用提公因式法因式分解，再按ab=0方式解方程即可；（3）先移项，然后按平方差公式因式分解，即可ab=0方式解方程即可；（4）把x+3看做一个整体，然后根据十字相乘法因式分解后，按ab=0方式解方程即可.试题解析：（1），∴ ， ∴ 125,7x x ==；（2），∴， ∴，∴ 12311x ,26x ==； （3）， ∴， ∴， ∴， ∴ 122614,511x x ==； （4）， ∴，∴ ， ∴ 120,1x x ==- ．17．已知1x 、2x 是关于x 的一元二次方程()222150x n x n -+++=的两实数根．（1）若12(1)(1)28x x --=，求n 的值；（2）已知等腰三角形ABC 的一边长为7，若1x 、2x 恰好是△ABC 另外两边的长，求这个三角形的周长．【答案】（1）6；（2）17.【分析】（1）根据根与系数的关系得()1221x x n +=+，2125x x n =+，接着利用12(1)(1)28x x --=，解得126,4n n ==-,根据判别式的意义b 2-4ac≥0可得n≥2，于是可得n 的值；（2）分类讨论：若7为底，即12x x =时，根据判别式得到n=2，方程化为2690x x -+=，解得123x x ==，根据三角形三边的关系，n=2舍去；若7为腰，即17x =时，把x=7代入方程得49-14(n+1)+n 2+5=0，解得124,10n n ==，当4n =时，()1221x x n +=+=10，解得23x =，则三角形的周长为3+7+7=17；当10n =时，由根与系数的关系得()1221x x n +=+=22，解得215x =，根据三角形的三边关系，10n =舍去．【详解】解：（1）由题意得：()1221x x n +=+，2125x x n =+∴2121212(1)(1)()152(1)128x x x x x x n n --=-++=+-++=解得：126,4n n ==-∵1x 、2x 是关于x 的一元二次方程()222150x n x n -+++=的两实数根，∴()()222421450b ac n n ⎡⎤∆=-=-+-+≥⎣⎦得：2n ≥ ∴6n =（2）①当7为底，即12x x =时，则240b ac -=，即()()222421450b ac n n ⎡⎤∆=-=-+-+=⎣⎦ 解得2n =把n=2代入方程得2690x x -+=∴123x x ==∵3+3＜7（舍去）②当7为腰，，即17x =时，将x = 7 代入方程得49-14(n+1)+n 2+5=0，解得124,10n n ==当4n =时，()1221x x n +=+=22，解得123,7x x ==，∴三角形的周长为3+7+7=17；当10n =时，()1221x x n +=+=10，解得1215,7x x ==∵7+7＜15（舍去）综上，三角形的周长为17．【点评】本题考查了根与系数的关系，一元二次方程的解，根的判别式等知识．牢记“两根之和等于b a-，两根之积等于c a”是解题的关键． 18．已知关于x 的方程x 2－2x －m ＝0没有实数根，试判断关于x 的方程x 2＋2mx ＋m(m ＋1)＝0的根的情况．【答案】方程x 2＋2mx ＋m(m ＋1)＝0有两个不相等的实数根，理由见解析【分析】首先根据已知方程无实根可得Δ1<0，可求出m 的取值范围，再计算新方程的判别式，结合m 的取值范围确定新方程判别式Δ2的情况，进而得出新方程根的情况即可.【详解】∵x 2－2x －m ＝0没有实数根，∴Δ1＝(－2)2－4·(－m)＝4＋4m<0，即m<－1.对于方程x 2＋2mx ＋m(m ＋1)＝0，Δ2＝(2m)2－4m(m ＋1)＝－4m>4，∴方程x 2＋2mx ＋m(m ＋1)＝0有两个不相等的实数根．【点评】本题考查了一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b 2-4ac ：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．19．用适当的方法解方程 2(23)3(23)t t +=+ ． 【答案】123,02t t =-=． 【解析】试题分析：先移项，再因式分解后，变为ab=0，解方程即可.试题解析：， ∴， ∴， ∴，∴ 123,02t t =-= 20．已知关于x 的方程x 2+2(a-3)x+a 2-7a-b+12=0有两个相等的实根，且满足2a-b=0.(1)求a 、b 的值；(2)已知k 为一实数，求证：关于x 的方程(-a+b)x 2+bkx+2k-(a+b)=0有两个不等的实根.【答案】⑴a=1，b=2. ⑵证明过程见解析.【解析】【分析】（1）让根的判别式等于0，联立已知条件2a-b=0，可得a ，b 的值；（2）先计算出△=（bk ）2 - 4（-a+b ）[2k-（a+b ）]═4（k-1）2+8＞0，即可证明．【详解】(1)∵△=4(a−3)2−4(a 2−7a−b+12)=0，∴a+b−3=0，又∵2a−b=0，∴a=1，b=2；(2)∵a=1，b=2，∴原方程为：x 2+2kx+2k−3=0∵△=(2k)2−4(2k−3)=4k 2−8k+12=4(k−1)2+8>0，∴关于x 的方程(−a+b)x 2+bkx+2k−(a+b)=0有两个不等的实根.【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是根据根的情况列出不等式进行求解. 21．如果方程x 2+px+q=0有两个实数根x 1， x 2，那么x 1+x 2=﹣p ，x 1x 2=q ，请根据以上结论，解决下列问题：（1）已知a 、b 是方程x 2+15x+5=0的二根，则a b b a+=? （2）已知a 、b 、c 满足a+b+c=0，abc=16，求正数c 的最小值．（3）结合二元一次方程组的相关知识，解决问题：已知11x x y y =⎧⎨=⎩和22x x y y =⎧⎨=⎩是关于x ，y 的方程组201x y k x y ⎧-+=⎨-=⎩的两个不相等的实数解．问：是否存在实数k ，使得y 1y 2﹣1221x x x x -=2？若存在，求出的k 值，若不存在，请说明理由．【答案】（1）43（2）4（3）存在，当k=﹣2时，1212212x x y y x x --= 【分析】（1）根据a ，b 是x 2+15x+5=0的解，求出a+b 和ab 的值，即可求出a b b a+的值． （2）根据a+b+c=0，abc=16，得出a+b=-c ，ab=16c ，a 、b 是方程x 2+cx+16c =0的解，再根据c 2-4•16c≥0，即可求出c 的最小值． （3）运用根与系数的关系求出x 1+x 2=1，x 1•x 2=k+1，再解y 1y 2-1221x x x x -=2，即可求出k 的值． 【详解】（1）∵a 、b 是方程x 2+15x+5=0的二根，∴a+b=﹣15，ab=5， ∴a b b a +=()22a b ab ab +-=()215255--⨯=43， 故答案是：43；（2）∵a+b+c=0，abc=16，∴a+b=﹣c ，ab=16c， ∴a 、b 是方程x 2+cx+16c =0的解， ∴c 2﹣4•16c ≥0，c 2﹣34c≥0， ∵c 是正数，∴c 3﹣43≥0，c 3≥43 ， c≥4，∴正数c 的最小值是4．（3）存在，当k=﹣2时，1212212x x y y x x --= ． 由x 2﹣y+k=0变形得：y=x 2+k ，由x ﹣y=1变形得：y=x ﹣1，把y=x ﹣1代入y=x 2+k ，并整理得：x 2﹣x+k+1=0，由题意思可知，x 1 ， x 2是方程x 2﹣x+k+1=0的两个不相等的实数根，故有：()()()()()()()212112121221212121212211214101112112k x x x x k y y x x x x x x x x y y x x x x x x =⎧--+>⎪+⎪⎪=+⎪⎪=--⎨⎪+-⎪--=---=⎪⎪⎪⎩ 即：23420k k k ⎧<-⎪⎨⎪+=⎩ 解得：k=﹣2．【点评】本题考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．22．阅读下面材料：丽丽这学期学习了轴对称的知识，知道了像角、等腰三角形、正方形、圆等图形都是轴对称图形.类比这一特性，丽丽发现像m +n ，mnp.太神奇了！于是她把这样的式子命名为神奇对称式.她还发现像22m n +，(m -1)(n -1)等神奇对称式都可以用,mn m n +表示.例如：222()2(1)(1)()1m n m n mn m n mn m n ，+=+---=-++.于是丽丽把mn m n +和称为基本神奇对称式 . 请根据以上材料解决下列问题：（1）代数式①1mn ， ②22m n - ， ③n m， ④ xy + yz + zx 中，属于神奇对称式的是__________（填序号）； （2）已知2()()x m x n x px q --=-+.① q =__________（用含m ，n 的代数式表示）；② 若32p q ==-，，则神奇对称式11m n +=__________；③ q 0= ，求神奇对称式33+1+1m n m n+的最小值. 【答案】（1）①，④;（2）① q =mn.②32-;③-2. 【解析】【分析】（1）根据题意新定义的神奇对称式任意交换两个字母的位置，式子的值不变来判断（2）①由所学知识十字相乘法表示对应系数相等可求出②把11m n+ 通分用mn 与m+n 的形式表示，然后转换成用p 、q 表示的代数式代入即可求出值 ③把神奇对称式33+1+1m n m n+转换成用p 、q 表示的代数式，再根据求根公式求出范围 【详解】解：（1）①，④符合神奇对称式的定义，②③交换字母的位置，式子的值会变故不符合神奇对称式的定义。

2021-2022学年人教版九年级数学上册《21.2解一元二次方程》同步专题提升训练（附答案）一．选择题1．若关于x的一元二次方程mx2+2mx+4＝0有两个相等的实数根，则m的值为（）A．0B．4C．0或4D．0或﹣42．一元二次方程x2+6x﹣5＝0配方后可化为（）A．（x+3）2＝5B．（x+3）2＝14C．（x﹣3）2＝5D．（x﹣3）2＝14 3．一元二次方程3x2+5x+1＝0根的情况是（）A．没有实数根B．有两个不相等的实数根C．有两个相等的实数根D．无法判断4．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣4x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围（）A．k＞﹣3B．k＞﹣3且k≠1C．k≥﹣3且k≠1D．k＜﹣35．一个等腰三角形两条边长分别是方程x2﹣9x+18＝0的两根，则该等腰三角形周长是（）A．12B．9C．15D．12或156．若菱形两条对角线的长度是方程x2﹣6x+8＝0的两根，则该菱形的边长为（）A．B．4C．25D．57．若（a2+b2）（a2+b2﹣3）＝4，则a2+b2的值为（）A．4B．﹣4C．﹣1D．4或﹣18．下列一元二次方程中，没有实数根的是（）A．x2+2x+1＝0B．x2+x+2＝0C．x2﹣2x＝0D．（x﹣3）2﹣2＝0二．填空题9．方程x2﹣4x＝0的实数解是．10．已知一元二次方程2x2+mx﹣4＝0的一个根是，则该方程的另一个根是．11．若m，n是一元二次方程x2+3x﹣1＝0的两个实数根，则的值为．12．关于x的一元二次方程x2﹣10x+m＝0的两个实数根分别是x1，x2，且以x1，x2，6为三边的三角形恰好是等腰三角形，则m的值为．13．在解一元二次方程x2+bx+c＝0时，小明看错了一次项系数b，得到的解为x1＝1，x2＝2；小刚看错了常数项c，得到的解为x1＝3，x2＝4．请你写出正确的一元二次方程．14．已知一元二次方程x2+x﹣2021＝0的两根分别为m，n，则+的值为．15．已知α、β是一元二次方程x2﹣2021x+2020＝0的两实根，则代数式（α﹣2021）（β﹣2021）＝．16．设一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0的两根分别是x1，x2，则x13x2﹣3x12x2＝．三．解答题17．解下列方程：（1）x2﹣4x﹣5＝0；（2）x2﹣7x+1＝0（用公式法解）．18．解方程：（1）x2+6x+4＝0；（2）x（x﹣2）+x﹣2＝0．19．已知关于x的一元二次方程x2﹣4mx+4m2﹣9＝0．（1）求证：此方程有两个不相等的实数根；（2）设此方程的两个根分别为x1，x2，若x1＝3﹣x2，求方程的两个根．20．已知关于x的一元二次方程x2+2mx+m2+m＝0有实数根．（1）求m的取值范围；（2）若该方程的两个实数根分别为x1、x2，且x12+x22＝12，求m的值．21．已知关于x的方程x2+（a﹣2）x﹣a＝0．（1）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根；（2）若此方程两个实数根都是正实数，求a取值范围．22．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+4）x+k2+4k+3＝0．（1）求证：不论k取何值，此一元二次方程总有两个不相等的实数根；（2）若此一元二次方程的两根是Rt△ABC两直角边AB、AC的长，斜边BC的长为10，求k的值．参考答案一．选择题1．解：∵mx2+2mx+4＝0是一元二次方程，∴m≠0，∵方程有两个相等的实数根，∴Δ＝4m2﹣16m＝0，∴m＝0或m＝4，∴m＝4，故选：B．2．解：∵x2+6x﹣5＝0，∴x2+6x＝5，∴x2+6x+9＝14，∴（x+3）2＝14．故选：B．3．解：∵一元二次方程3x2+5x+1＝0中，a＝3，b＝5，c＝1，∴△＝52﹣4×3×1＝13＞0，∴方程有两个不相等的实数根故选：B．4．解：根据题意得：Δ＝b2﹣4ac＝16+4（k﹣1）＝4k+12＞0，且k﹣1≠0，解得：k＞﹣3且k≠1．故选：B．5．解：∵x2﹣9x+18＝0，∴（x﹣3）（x﹣6）＝0，则x﹣3＝0或x﹣6＝0，解得x＝3或x＝6，当3是腰时，三角形的三边分别为3、3、6，不能组成三角形；当6是腰时，三角形的三边分别为3、6、6，能组成三角形，周长为3+6+6＝15．故选：C．6．解：解方程x2﹣6x+8＝0得：x＝4和2，即AC＝4，BD＝2，∵四边形ABCD是菱形，∴∠AOD＝90°，AO＝OC＝2，BO＝DO＝1，由勾股定理得：AD＝＝，故选：A．7．解：设y＝a2+b2（y≥0），则由原方程得到y（y﹣3）＝4．整理，得（y﹣4）（y+1）＝0．解得y＝4或y＝﹣1（舍去）．即a2+b2的值为4．故选：A．8．解：A、Δ＝22﹣4×1＝0，则方程有两个相等的实数根，所以A选项不符合题意；B、Δ＝12﹣4×2＝﹣7＜0，则方程没有实数根，所以B选项符合题意；C、Δ＝（﹣2）2﹣4×0＝4＞0，则方程有两个不相等的实数根，所以C选项不符合题意；D、整理整理为x2﹣6x+7＝0，Δ＝62﹣4×7＝8＞0，则方程有两个不相等的实数根，所以D选项不符合题意．故选：B．二．填空题9．解：方程x2﹣4x＝0，分解因式得：x（x﹣4）＝0，可得x＝0或x﹣4＝0，解得：x1＝0，x2＝4．故答案为：x1＝0，x2＝4．10．解：设方程的另一根为x2，∵一元二次方程2x2+mx﹣4＝0的一个根是，∴x2＝．解得x2＝﹣4．故答案是：﹣4．11．解：m，n是一元二次方程x2+3x﹣1＝0的两个实数根，∴m2+3m﹣1＝0，∴3m﹣1＝﹣m2，∵Δ＝13＞0，∴m+n＝﹣3，∴＝＝＝3，故答案为3．12．解：当6为底边时，则x1＝x2，∴Δ＝100﹣4m＝0，∴m＝25，∴方程为x2﹣10x+25＝0，∴x1＝x2＝5，∵5+5＞6，∴5，5，6能构成等腰三角形；当6为腰时，则设x1＝6，∴36﹣60+m＝0，∴m＝24，∴方程为x2﹣10x+24＝0，∴x1＝6，x2＝4，∵6+4＞6，∴4，6，6能构成等腰三角形；综上所述：m＝24或25，故答案为24或25．13．解：∵小明看错了一次项系数b，∴c＝x1•x2＝1×2＝2；∵小刚看错了常数项c，∴﹣b＝x1+x2＝3+4＝7，∴b＝﹣7．∴正确的一元二次方程为x2﹣7x+2＝0．故答案为：x2﹣7x+2＝0．14．解：∵一元二次方程x2+x﹣2021＝0的两根分别为m，n，∴m+n＝﹣1，mn＝﹣2021，∴+＝＝＝，故答案为：．15．解：∵α、β是一元二次方程x2﹣2021x+2020＝0的两实根，∴α+β＝2021，αβ＝2020，∴（α﹣2021）（β﹣2021）＝αβ﹣2021（α+β）+20212＝2020﹣2021×2021+20212＝2020．故答案为：2020．16．解：∵一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0的两根分别是x1，x2，∴x12﹣3x1＝1，x1x2＝﹣1，∴x13x2﹣3x12x2＝x1x2•（x12﹣3x1）＝（﹣1）×1＝﹣1，故答案为：﹣1．三．解答题17．解：（1）x2﹣4x﹣5＝0，（x﹣5）（x+1）＝0，x﹣5＝0或x+1＝0，解得：x1＝5，x2＝﹣1；（2）x2﹣7x+1＝0，∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣7）2﹣4×1×1＝45＞0，∴x＝＝，解得：x1＝，x2＝．18．解：（1）∵x2+6x＝﹣4，∴x2+6x+9＝﹣4+9，即（x+3）2＝5，则x+3＝±，∴，；（2）∵x（x﹣2）+x﹣2＝0，∴（x﹣2）（x+1）＝0，∴x﹣2＝0或x+1＝0，解得x1＝﹣1，x2＝2．19．解：（1）∵△＝（4m）2﹣4×1×（4m2﹣9）＝16m2﹣16m2+36＝36＞0，∴已知关于x的一元二次方程x2﹣4mx+4m2﹣9＝0一定有两个不相等的实数根；（2）∵x＝，∵，∴x1+x2＝6，∵x1+x2＝4m，∴4m＝6，∴，∴，∴x1＝6，x2＝0．20．解：（1）根据题意得Δ＝（2m）2﹣4（m2+m）≥0，解得m≤0．故m的取值范围是m≤0；（2）根据题意得x1+x2＝﹣2m，x1x2＝m2+m，∵x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1•x2＝12，∴（﹣2m）2﹣2（m2+m）＝12，即m2﹣m﹣6＝0，解得m1＝﹣2，m2＝3（舍去）．故m的值为﹣2．21．解：（1）在方程x2+（a﹣2）x﹣a＝0中，∵Δ＝（a﹣2）2﹣4×1×（﹣a）＝a2+4，∵a2+4≥4，∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．（2）设方程的两个根分别为α和β，由根与系数的关系得：，解得：a＜0．22．（1）证明：∵△＝[﹣（2k+4）]2﹣4（k2+4k+3）＝4＞0，∴不论k取何值，此一元二次方程总有两个不相等的实数根；（2）解：x2﹣（2k+4）x+k2+4k+3＝0，（x﹣k﹣1）（x﹣k﹣3）＝0，∴x1＝k+1＞0，x2＝k+3＞0，∴Rt△ABC两直角边的长为k+1和k+3，斜边BC的长为10，∴（k+1）2+（k+3）2＝102，解得k1＝﹣9（舍去），k2＝5，∴k的值为5．。

人教版九年级数学上册《21.2解一元二次方程》同步练习题-带答案一、单选题1．已知关于x 的一元二次方程250x x +=的一个根是0，则另一个根是（ ） A ．5- B ．5 C ．1- D ．1 2．方程221x =的根是（ ）A ．112x = 212x =- B ．12x 22x =C ．1212x x == D ．122x x =3．一元二次方程2350x x +-=的两根为1x 和2x ，则12x x +的值为（ ） A ．3 B ．3- C ．5 D ．5-4．若方程()29240x k x +++=的左边可以写成一个完全平方式，则k 的值为( ) A ．10-或14 B ．14- C ．10 D ．10或14- 5．若关于x 的方程2210kx x +-=有实数根，则k 的取值范围是（ ） A ．1k ≥-且0k ≠ B ．1k ≥- C ．1k >- D ．1k >-且0k ≠ 6．在平面直角坐标系中，若直线2y x m -＝不经过第四象限，则关于x 的方程2210mx x +-=的实数根的个数为（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．1或2个 7．已知关于x 的一元二次方程20x mx m ++=有两个相等的实数根，则m 的值是（ ） A ．0B ．2C ．4D ．0或4 8．解方程()()2531231x x ---=0，最合适的方法是（ ）A ．直接开平方法B ．公式法C ．因式分解法D ．配方法 9．若m ，n 为方程2220160x x +-=的两个实数根，则23m m n ++=（ ） A ．2014 B ．2015 C ．2016 D ．201710．已知方程2230x x +-=的解是11x =，23x =-则给出另一个方程()()22322330x x +++-=，它的解是（ ）A ．1-或3B ．1或3C ．1-或3-D ．1或3-二、填空题11．方程2680x x -+=的两个根为a b ，，则a b += ．12．将方程2670x x ++=配方成()2x m n +=的形式，则n m = ． 13．关于方程27160x x -+=有如下判断：（1）该方程的两根之和是7；（2）该方程的两根之积是16，以上两个判断中正确的有 个．14．三角形两边的长是2和4，第三边的长是方程212350x x -+=的根，则该三角形的周长为 ． 15．（1）已知一元二次方程2310x x -+=的两根为12x x 、，则211252x x x --的值为 ． （2）若m 、n 是方程2220x x --=的两个实数根，则222442022m n n +-+的值为 ．三、解答题16．解方程：(1)22410x x --=；(2)()5454x x x +=+．17．已知关于x 的一元二次方程2610x x k -++=有两个相等的实数根，求k 的值．18．已知关于x 的一元二次方程()22210m x x --+=．(1)若方程的一个根是1-，求方程的另一个根；(2)若该一元二次方程的两个根分别为1x 和2x ，当121213x x x x +=-时，求m 的值． 19．关于x 的一元二次方程()()2212210a x bx c x --++=中，a ，b ，c 是Rt ABC △的三条边，其中90C ∠=︒． (1)求证此方程有两个不相等的实数根；(2)若方程的两个根是1x 和2x ，且221212x x +=，求::a b c ．参考答案1．A2．B3．B4．D5．B6．D7．D8．C9．A10．C11．612．913．014．1115． 7- 204216．(1)122626x x +-==(2)1241,5x x == 17．8k18．(1)方程的另一个根为13； (2)3m =．19． (2)1:223。